八年级数学下册变量与函数教案新版湘教版

湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》教学设计

湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》是学生在学习了初中阶段函数概念的基础上，进一步探讨变量与函数的关系。

本节内容通过具体的实例让学生理解自变量、函数的概念，以及如何用函数式表示变量之间的关系。

教材内容由浅入深，既巩固了以前的知识，又为后续学习函数的图像和性质打下基础。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了变量、常量的概念，对函数有了初步的认识。

但部分学生对函数的定义和判断仍然存在模糊的地方，对函数式子的理解也不够深入。

因此，在教学过程中，需要帮助学生理清变量、常量、函数之间的关系，并通过具体例子让学生感受函数式表示变量之间的方法。

三. 教学目标1.理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。

2.能够判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。

2.难点：判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究变量与函数的关系。

2.利用具体实例，让学生感受函数式表示变量之间的方法。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

4.利用板书、多媒体等教学辅助工具，提高教学效果。

六. 教学准备1.准备相关实例，用于讲解变量与函数的关系。

2.准备多媒体课件，用于展示函数图像和实例。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例，如投篮问题，引导学生思考投篮命中次数与投篮次数之间的关系。

让学生意识到这两个量之间存在一种依赖关系，进而引出自变量、函数的概念。

2.呈现（10分钟）呈现投篮问题的具体数据，让学生观察命中次数与投篮次数之间的关系。

引导学生用函数式表示这种关系，如命中次数 = 投篮次数 × 命中率。

4新湘教版初中数学八年级下册精品教案.1.1 变量与函数

第4章一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y＝10＋12x，其中x是自变量，y是自变量的函数；(2)将x＝5代入y＝10＋12x，得y＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为52，则输出的函数值为()A.32 B.25 C.425 D.254解析：∵x＝52时，在2≤x≤4之间，∴将x＝52代入函数y＝1x，得y＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。

八年级数学下册 4_1_1 变量与函数导学案 (新版)湘教版

第4章一次函数4.1 函数和它的表示法4.1.1 变量与函数1.认识变量、常量.2.学会用一个变量的代数式表示另一个变量.3.认识变量中的自变量与函数.4.进一步理解掌握确定函数关系式.5.会确定自变量的取值范围.自学指导：阅读教材第110页至112页，独立完成下列问题：知识探究(1)一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.①根据题意填写下表：t/时12345s/千米60120180240300②试用含t的式子表示s为s=60t；③在以上这个过程中，不变化的量是60，变化的量是s与t.(2)每张电影票的售价为10元，早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张.①三场电影的票房收入分别是1500元，2050元，3100元.②设一场电影售票x张，票房收入y元，则用含x的式子表示y为y=10x.③在以上这个过程中，不变化的量是10，变化的量是x与y.(3)变量：在一个变化的过程中，数值变化的量；常量：在一个变化的过程中，数值不变的量.(4)一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数.(5)对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义.活动1 学生独立完成例1分别指出下列关系中的变量和常量：(1)圆面积公式S=πr2(s表示面积，r表示半径)；(2)匀速运动公式s=vt(v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程).解：(1)r、S是变量，π是常量；(2)t、s是变量，v是常量.π是圆周率，是定值，是常量，半径r每取一个值都有唯一的S值和它对应，故S和r是变量.因为是匀速运动，所以速度v是常量，t和s是变量.例2如图，一个矩形推拉窗高1.5m，则活动窗的通风面积S(m2)与拉开长度b(m)的关系式是S=1.5b.窗高1.5m是一边长，拉开长度b(m)是另一边长，因此通风面积S=1.5b.例3某火力发电厂，贮存煤1000吨，每天发电用煤50吨，设发电天数为x，该电厂开始发电后，贮存煤量为y(吨).(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)为了保障电厂正常发电，工厂每天将从外地运回煤45吨，请写出按此方案执行时，y与x之间的函数关系式，并求出发电30天时，电厂贮存煤多少吨？解：(1)y=-50x+1000；(2)y=-5x+1000，当x=30时，y=-5×30+1000=850.∴当发电30天时，电厂贮存煤850吨.电厂贮存的煤量与原贮存量，每天发电的用煤量，每天从外地运回的煤量，以及发电天数有关.活动2 跟踪训练1.设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径r的关系是V=πr2h，这个式子中常量是π，h，变量是V，r.2.若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43πＲ3.其中变量是R，V，常量是43，π.找准不变的量，再确定变量.3.下列变量间的关系：①人的身高与年龄；②矩形的周长与面积；③圆的周长与面积；④商品的单价一定，其销售额与销售量，其中是函数关系的有③④.一是明确已知两个变量是什么；二是看两个变量之间是否存在一一对应关系.4.某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米a 元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费，某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)(x>12)之间的关系式为y=2ax-12a，若该月交水费20a元，则这个月实际用水16米3.5.若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y=-2x＋180，变量是x，y，常量是-2，180.6.在△ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形的面积S=12ah，当底边a的长一定时，在关系式中的常量是12，a，变量是S，h.7.已知水池里有水200m3，每小时向水池里注水20m3，设注水时间为x小时，水池里共有水ym3，用含x 的式子表示y，则y=20x+200，其中变量为x，y，常量为20，200.8.人的心跳速度通常与人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数，经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).(1)上述关系中的常量与变量各是什么？(2)正常情况下，一名15岁的学生每分钟心跳的最高次数是多少？解：(1)常量0.8，220，变量a,b；(2)164.9.蓄水池中原有水800m3，每小时从中放出60m3的水.(1)写出池中的剩余水量Q(m3)与放水时间t(h)之间的函数关系式；(2)写出自变量t的取值范围；(3)12h后，池中还有多少水？. (3)80m3.解：(1)Q＝-60t＋800. (2)0≤t≤403实际问题中的函数关系，自变量除了要使函数关系式本身有意义，还要满足实际意义.此题要根据函数Q的取值范围0≤Q≤800来确定自变量t的取值范围.活动3 课堂小结1.常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景.2.判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应.3.确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实际问题有意义.。

新湘教版八下教案：4.1.1 变量与函数

第4章一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y＝10＋12x，其中x是自变量，y是自变量的函数；(2)将x＝5代入y＝10＋12x，得y＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为52，则输出的函数值为()A.32 B.25 C.425 D.254解析：∵x＝52时，在2≤x≤4之间，∴将x＝52代入函数y＝1x，得y＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。

湘教版数学八年级下册4.1.1《变量与函数》教案2

《变量与函数》教案教学目标知识与技能理解函数的概念，了解变量与常量以及自变量的意义.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会求自变量的取值范围，会根据自变量的取值求函数的值.过程与方法经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.情感、态度与价值观通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.通过教学活动，培养学生乐于探究，合作学习的习惯，培养学生努力解决问題的进取心.教学重点函数的概念和函数自变量的取值范围.教学难点求函数自变量的取值范围.教学设计一、导入新课问题1下图是某地一天内的气温变化图.1.这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温是多少吗？2.这一天中，最髙气温是多少？最低气温是多少？3.这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？从图中我们可以看出，随着时间t（时）的变化，相应的气温T℃也随之变化.问题2 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S 与r之间满足下列关系：S=πr2，你能算出半径为1cm、l.5cm、2cm、2.6cm时圆的面积吗？二、讲授新课1.常量和变量在上述问题中分别有几个量？分别指出每个问题中的各个量.第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化.第2个问题中，S和r是变量，而π、2是常量.常量:在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量.变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.2.函数的概念上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有唯一的温度与之对应，t是自变量，T是因变量(T是t的函数).在上述第2个问题中，S=πr2，给出变量r的一个值，便可以得到变量S唯一值和它对应，r是自变量，S是因变量(S是r的函数).函数的概念:如果在一个变化过程中，有两个变量，假设x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.要引导学生在以下几个方面加强对于函数概念的理解.变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，如果y有两个值与它对应，那么y就不是x的函数.例如y2=x.三、例题讲解例1如课本第111页图4-2，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V(cm3)是r的函数.(1)用含r的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围.(2)当r=5，10时，V是多少(结果保留π)？四、拓展练习1等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.2如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合.（1）试写出两图形重叠部分的面积y（cm2）与线段MA的长度x（cm）之间的函数关系式.（2）当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？。

八年级数学下册 4.1.1《变量与函数》教案 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中八年级下册数学教案

课题：变量与函数教学目标1、借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。

初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。

2、引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。

3、从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。

学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

重点：借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念难点：理解函数的“唯一对应”性。

教学过程：一、情境导入（出示ppt课件）如图，是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T（℃）是如何随时间t的变化而变化的。

你能从图中得到哪些信息？从图中可以看出，4时的气温是℃，14时的气温是℃.这个问题中，某地一天中的气温随着时间的变化而变化。

关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律还可以举出很多这样的例子。

二、合作探究（出示ppt课件）（一）提出问题：1.一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时，以下为汽车在每小时行驶过的路程的情况：路程（S）=速度(v)×时间（t）试用含t的式子表示S：S = 60t在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量；有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量.这个问题中，变量是，常量是。

2. 当正方形的边长x分正方形的面积S分别是多少？试填写下表：这个问题中，正方形的面积随着它的边长的变化而变化.写出s与x的关系式：s = x2这个问题中，变量是，常量是。

2023八年级数学下册第4章一次函数4.1函数和它的表示法4.1.1变量与函数教案(新版)湘教版

-在线数学教育资源库，提供相关的教学视频和练习题。
4.教学手段：
-小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作。
-示例讲解：通过具体的示例讲解函数的概念和表示方法，让学生更好地理解和掌握。
-练习题和作业：布置相关的练习题和作业，巩固学生对函数知识的理解和应用能力。
教学实施过程
1.课前自主探索
-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的函数概念和表示方法。
5.题型五：函数的实际应用
-例题：一家商店的售价y（元）与销售量x（件）之间的关系可以用函数y = 100 + 0.5x表示。如果商店想要增加收入，应该采取什么措施？
-解答：商店应该增加销售量x，因为随着销售量x的增加，售价y也会增加，从而增加收入。
教学反思与总结
在本节课的教学过程中，我主要采用了讲授法和实践活动法，通过详细的讲解和生动的实例，帮助学生理解和掌握函数的概念和表示方法。同时，我还组织了一些小组讨论和角色扮演等活动，让学生在实践中加深对知识的理解和应用。然而，在教学过程中，我也发现了一些不足之处。
-在组织课堂活动时，可以更加注重学生的思考和理解，通过提问和讨论等方式，引导学生深入思考和理解函数的概念和性质。
-在批改学生作业时，可以更加注重学生的思考过程和理解，通过提问和讨论等方式，引导学生深入思考和理解函数的概念和性质。
-加强课后辅导，针对部分学生在理解和应用函数的概念和性质方面存在困难，可以通过个别辅导和小组讨论等方式，帮助学生克服困难，提高他们的学习效果。

八年级数学下册4.1.1变量与函数教案(新版)湘教版【教案】

度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。这几个问题中都涉及两
个量的关系，地球的位
置与时间，温度与高度，
年龄与时间。二、合作交流、解读探
究
1、气温问题：上图
是北京春季某一天的气
温Ｔ随时间 t 变化的图
象，看图回答：
（1）这天的 8时的气温
是 ℃， 14时的气温
是 ℃，最高气温是
℃，最低气温
是 ℃；
（2）这一天中，在 4时 ~12时，气温（），在 16时 ~24时，气温（）。
A. 持续升高 B. 持续降低 C. 持续不变
思考：
1
（1）天气温度随
的变化而变化，即 T 随的变化而变
化；
（2）当时间 t 取定一个确定的值时，对应的温度 T 的取值是否唯一确
定？
2 、当正方形的边长 x 分别取 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7……时，正方形的
找出它们的共性，归纳出函数的概
x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y x 是自变量， y 是 x 的函数。
三、应用迁移、巩固提高
例 1 已知圆柱的高是 4cm，底面半径是 rcm，当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的体积 Vcm3是 r 的函数。（ 1）用含 r 的代数式来表示
圆柱的体积 V，指出自变量 r 的取值范围；（ 2）当 r=5,10 时， V 是多少
练习教材 P112页练习 1、 2题四、全课小结 1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。 2．函数是一种“数”吗？
五、作业：教材 P116 页 A 组 1 题
3
面积 S 分别是多少？
3、某城市居民用的天然气， 1m3收费 2.88 元，使用 x（ m3）天然气应缴纳费用 y=2.88x , 当 x=10时，缴纳的费用为多少？

湘教版数学八年级下册4.1.1《变量与函数》说课稿

湘教版数学八年级下册4.1.1《变量与函数》说课稿一. 教材分析《变量与函数》是湘教版数学八年级下册4.1.1的内容，本节内容是在学生已经掌握了代数式的知识基础上进行讲述的，旨在让学生了解变量的概念，并引入函数的概念。

教材通过生活中的实例，引导学生理解变量和函数的关系，从而为后续的函数学习打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于代数式、方程等概念有一定的了解。

但是，对于变量和函数的概念，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，帮助学生理解变量和函数的概念，并建立它们之间的关系。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解变量和函数的概念，并掌握它们之间的关系。

2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会如何用变量和函数来描述实际问题。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 说教学重难点1.重点：变量和函数的概念及其关系。

2.难点：如何用变量和函数来描述实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、实例分析、小组讨论等。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，如气温变化、物体运动等，引导学生思考变量和函数的关系。

2.新课导入：介绍变量的概念，让学生理解变量是如何表示事物的变化。

3.案例分析：分析生活中的实例，引导学生理解函数的概念。

4.知识讲解：讲解变量和函数之间的关系，让学生掌握它们的基本概念。

5.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。

6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生形成知识体系。

7.课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计如下：1.变量与函数2.变量的概念3.函数的概念4.变量与函数的关系八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果、课堂表现、作业完成情况等方面进行。

教师应及时关注学生的学习进度，针对不同学生进行差异化指导，提高教学效果。

湘教版八下数学4.1.1变量与函数说课稿

湘教版八下数学4.1.1变量与函数说课稿一. 教材分析湘教版八下数学4.1.1变量与函数是本学期的重要内容，主要让学生了解变量与函数的基本概念，理解函数的性质，掌握函数的表示方法，并能运用函数解决实际问题。

本节内容是在学习了代数式、方程、不等式的基础上，进一步引导学生研究变量之间的关系，体会数学与实际生活的联系。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对代数式、方程、不等式有一定的了解，但对于函数的概念和性质可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将以引导为主，让学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习函数的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解变量与函数的概念，掌握函数的表示方法，能运用函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主学习函数的相关知识，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：函数的概念、性质和表示方法。

2.教学难点：函数的概念的理解，函数的表示方法的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导法、自主学习法、合作学习法、讨论法。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引导学生认识变量与函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍函数的定义、性质和表示方法，让学生理解函数的基本概念。

3.实例分析：分析实际问题中的函数关系，让学生掌握函数的表示方法。

4.自主学习：让学生自主探究函数的性质，培养学生的抽象思维能力。

5.合作交流：分组讨论，让学生分享自己的学习心得，提高学生的合作能力。

6.总结提升：总结本节课的主要内容，强化学生的记忆。

7.课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计如下：1.函数的定义：–函数是一种数学关系，其中每一个自变量都有一个唯一的因变量与之对应。

2.函数的表示方法：–解析式：用数学表达式表示函数关系。

湘教版八下数学4.1.1《变量与函数》教学设计

湘教版八下数学4.1.1《变量与函数》教学设计一. 教材分析《变量与函数》是湘教版八下数学4.1.1的内容，这部分内容是学生在学习了代数和几何基础知识后，对函数概念的初次接触。

教材通过具体的实例，引导学生理解变量与函数的关系，培养学生的函数观念。

本节课的内容对于学生来说是一个新的概念，需要通过实例让学生感受和理解函数的实质。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对数学知识有一定的认识和理解。

但是，对于函数这一概念，他们可能是第一次接触，因此需要通过具体的实例和生活情境，让学生感受和理解函数的概念。

学生的学习兴趣和积极性需要通过教学设计来激发和保持。

三. 教学目标1.理解变量与函数的概念，能够识别生活中的函数关系。

2.能够用函数的 language 来描述和表示生活中的函数关系。

3.培养学生观察、分析和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.函数的概念和实质。

2.如何通过实例让学生理解函数的概念。

五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生感受和理解函数的概念。

2.问题驱动：通过提出问题，引导学生思考和探索，从而加深对函数概念的理解。

3.合作学习：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，包括实例和问题。

2.教学素材：准备相关的教学素材，如图片、图表等。

3.教学工具：准备好黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，如抛物线的运动，让学生观察和思考，引出函数的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示不同的实例，如温度与高度的关系，让学生观察和分析，引导学生理解函数的概念。

3.操练（10分钟）让学生通过小组合作，分析和学习教材中的实例，理解函数的概念。

4.巩固（10分钟）通过提问和讨论，巩固学生对函数概念的理解。

5.拓展（10分钟）让学生通过解决问题，运用和深化对函数概念的理解。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，加深学生对函数概念的理解。

湘教版八年级数学下册变量与函数教案

《变量与函数》教案教学目标知识与技能理解函数的概念，了解变量与常量以及自变量的意义.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会求自变量的取值范围，会根据自变量的取值求函数的值.过程与方法经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.情感、态度与价值观通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.通过教学活动，培养学生乐于探究，合作学习的习惯，培养学生努力解决问題的进取心.教学重点函数的概念和函数自变量的取值范围.教学难点求函数自变量的取值范围.教学设计一、导入新课问题1下图是某地一天内的气温变化图.1.这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温是多少吗？2.这一天中，最髙气温是多少？最低气温是多少？3.这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？从图中我们可以看出，随着时间t（时）的变化，相应的气温T℃也随之变化.问题2 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S 与r之间满足下列关系：S=πr2，你能算出半径为1cm、l.5cm、2cm、2.6cm时圆的面积吗？二、讲授新课1.常量和变量在上述问题中分别有几个量？分别指出每个问题中的各个量.第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化.第2个问题中，S和r是变量，而π、2是常量.常量:在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量.变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.2.函数的概念上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有唯一的温度与之对应，t是自变量，T是因变量(T是t的函数).在上述第2个问题中，S=πr2，给出变量r的一个值，便可以得到变量S唯一值和它对应，r是自变量，S是因变量(S是r的函数).函数的概念:如果在一个变化过程中，有两个变量，假设x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.要引导学生在以下几个方面加强对于函数概念的理解.变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，如果y有两个值与它对应，那么y就不是x的函数.例如y2=x.三、例题讲解例1如课本第111页图4-2，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V(cm3)是r的函数.(1)用含r的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围.(2)当r=5，10时，V是多少(结果保留π)？四、拓展练习1等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.2如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合.（1）试写出两图形重叠部分的面积y（cm2）与线段MA的长度x（cm）之间的函数关系式.（2）当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？五、课堂小结1.关于函数的定义的理解应注意两个方面，其一是变化过程中有且只有两个变量，其二是对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应.对于实际问题，同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系，即列出函数关系式.2.通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数.。

湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》说课稿

湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》这一节的内容，主要介绍了变量的概念，以及函数的定义和性质。

这是学生继七年级学习了代数基础之后，进一步深化对数学概念的理解的重要内容。

通过这一节的学习，学生能够理解变量之间的依赖关系，掌握函数的定义方法，以及了解函数的一些基本性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学内容，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了代数基础，对数学概念有一定的理解。

但八年级的学生，逻辑思维能力还在发展中，对于抽象的数学概念，还需要通过具体的例子来理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、交流等方式，深入理解变量与函数的概念。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解变量的概念，掌握函数的定义和性质，能够运用函数的知识解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、交流等过程，学生能够自主学习，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学与生活的紧密联系，增强对数学的兴趣和信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解变量的概念，掌握函数的定义和性质。

2.教学难点：学生能够运用函数的知识解决一些实际问题，理解函数的抽象性质。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、交流等方式，自主学习。

同时，利用多媒体教学手段，展示函数的图形，帮助学生直观地理解函数的性质。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引导学生思考问题中的变量之间的关系，引出变量的概念。

2.新课导入：介绍函数的定义和性质，通过示例让学生理解函数的概念。

3.课堂讲解：通过讲解和示例，让学生理解函数的性质，能够运用函数的知识解决实际问题。

4.练习与讨论：学生进行练习，教师引导学生讨论，巩固所学内容。

5.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。

湘教版八年级数学下册《变量与函数》教案及教学反思

湘教版八年级数学下册《变量与函数》教案及教学反思教学目标•理解和掌握变量的概念和表示方法；•掌握一次函数的基本性质与图像；•掌握二次函数的基本性质与图像；•归纳总结函数的概念。

教学内容1.变量的概念和表示方法；2.一次函数的定义，性质和图像；3.二次函数的定义，性质和图像；4.函数的概念与表达方法。

教学方法采用讲解、示范、引导、合作探究、情境引导、归纳总结等多种教学方法，因材施教。

在教学中以启发式教学为主导，注重“学以致用”，强调学生在教师引导下自主发现和解决问题的能力，激发学生的学习热情，提高学生的学习兴趣。

教学过程一、课前预习和导入（5分钟）教师先向学生介绍本课教学目标，并让学生提前阅读教材，自我复习和预习，为教师的教学打下基础。

在导入环节，教师可以设置一些问题或寓教于乐的游戏，引发学生的好奇心和求知欲，激发学生学习的兴趣。

二、讲解变量的概念和表示方法（15分钟）在课堂上，教师先讲解什么是变量，并通过具体的例子让学生更加理解变量的概念和表示方法。

然后，再通过实际生活中的例子练习学生对变量的理解和运用，巩固其应用能力。

三、引导学生探究一次函数的性质和图像（30分钟）教师向学生介绍一次函数的定义和性质，然后通过实际的计算和绘制图像，帮助学生更深入地理解一次函数的特点和性质，并引导学生研究一些特殊的一次函数，如自变量为0或因变量为0的一次函数。

四、合作探究二次函数的性质和图像（30分钟）教师在讲解二次函数的概念和性质之后，引领学生合作探究二次函数的特点和图像，并促使学生总结归纳出二次函数的性质和一次函数的区别，以及二次函数的特殊类型。

五、情境引导学生归纳总结函数的概念（20分钟）在教学的最后，教师通过情境引导的方式，让学生将已学习的内容进行归纳总结和概括，进一步深化对函数的理解与认识。

六、课堂小结和反思（10分钟）教师对本节课的教学进行小结和反思，让学生自主评价目前所学习到的知识和技能，发现自身的问题和不足，从而更加深入地理解课程内容，促进自身的成长和发展。

2022年湘教版八下《变量与函数》精品教案

第4章一次函数 4．1 函数和它的表示法4．变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径确实定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出以下关系中的变量与常量：(1)球的外表积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0tt 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g m/s 2)；，那么购置数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的外表积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0tt 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；，那么购置数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x w ，，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义以下说法中正确的选项是( ) A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，那么y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，那么y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，那么y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，那么y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．应选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出以下函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：此题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30翻开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t ＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y ＝0时，200－2t ＝0，解得t ＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1kg 物体，cm ；(1)求弹簧的长度y (cm)与所挂重物质量x (kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg 重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y ＝10＋12x ，其中x 是自变量，y是自变量的函数；(2)将x ＝5代入y ＝10＋12x ，得y ＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg 重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如下图程序计算函数值，假设输入x 的值为52，那么输出的函数值为( )A.32B.25C.425D.254解析：∵x ＝52时，在2≤x ≤4之间，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.应选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念 2．函数的概念 3．函数关系式4．自变量的取值范围 5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，到达整体进步.第1课时教学目标【知识与技能】了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程. 【过程与方法】在探索勾股定理的过程中，开展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性. 【情感态度】1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情.2.在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神.教学重难点【教学重点】探索和证明勾股定理.【教学难点】用拼图的方法证明勾股定理.课前准备无教学过程一、情境导入，初步认识2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会〞.这就是本届大会会徽的图案〔教师出示图片或照片〕.〔1〕你见过这个图案吗？〔2〕你听说过“勾股定理〞吗？【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图〞.通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料.二、思考探究，获取新知毕达哥拉斯是古希腊著名数学家.相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请你也观察一下类似的图案〔教材P22图形〕，你有什么发现？【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征.【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.问题等腰直角三角形三边的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？请同学们继续观察P23图17.1-3，运用割补法分别计算正方形A、B、C和正方形A′、B′、C′的面积，看看它们之间有什么关系？【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C′的面积，教师巡视，针对学生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积.一方面，正方形C 的面积为：52-4×12×2×3=25-12=13；另一方面也有正方形C的面积为：4×12×2×3+1=13，而这两种方法都可以从图中直接获得，同样可得到正方形C′的面积为34.通过观察上述问题的探讨，假设将直角三角形的两直角边记为a，b，斜边为c，那么应有a2+b2=c2，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.上述结论我们都是通过特例而获得的，是否对所有的直角三角形都能成立呢？有没有方法来证明呢？做一做将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个全等的直角三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图.想一想〔1〕中间小正方形边长是多少？它的面积呢？〔2〕你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗？不妨试试看.【教学说明】通过动手操作，可激发学生学习兴趣，并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐，在快乐中学习，增长知识.最后师生共同探讨：S大正方形=c2=4×12×a×b+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2.即a 2+b 2=c 2. 有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.教师简要阐述：现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种，前面我们利用的面积法证明勾股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法，所拼成的图案称为“赵爽弦图〞.三、运用新知，深化理解1.你能利用如下图的图形来证明勾股定理吗？不妨试试看，并与同伴交流.2.你能用勾股定理解决下面的问题吗？〔1〕在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，试求斜边AB 的长；〔2〕在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，试求直角边AC 的长.【教学说明】这两道题先由学生自主完成，然后由教师进行评讲.【答案】1.解：S 梯形＝〔a+b 〕·〔a+b 〕·12＝〔a 2+b 2+2ab 〕·12，又S 梯形＝12ab+12ab+12c 2=12〔2ab+c 2〕，综上a 2+b 2＝c 2. 有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.解：〔1〕由勾股定理有：在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2，即AB ＝25.〔2〕由勾股定理有：在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2，即AC 2＝AB 2-BC 2，∴AC ＝8. 四、师生互动，课堂小结这节课你有哪些收获？你还能想到一些证明勾股定理的方法吗？与同伴交流.课后作业1.请查阅资料或上网，收集一些证明勾股定理的方法，并与同伴交流.2.完成练习册中本课时练习.教学反思新课程标准对勾股定理这局部的教学要求与旧大纲的要求不同，新课程标准对勾股定理这局部的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单的问题.勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形〞——数与形，能够把形的特征〔三角形中一个角是直角〕转化成数量关系〔三边之间满足a 2+b 2=c 2〕，堪称数形结合的典范，在理论上占有重要地位.另外八年级学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的根本方法.但是学生在用割补方法和用面积计算方法证明几何命题的意识和能力方面存在障碍，对于如何将图形与数有机的结合起来还很陌生.基于以上三点的原因，本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.。