学第二学期天一中学高一数学期中考试试卷

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2020-2021常州市天一中学高一数学下期中第一次模拟试卷(及答案)

2．B
解析：B
【解析】
【分析】
依题意由的面积为，解得，所以，，根据勾股定理即可求．
【详解】
依题意，因为的面积为，
所以，解得，
所以，，又因为，
由勾股定理得：．
故选B．
【点睛】
本题考查直观图还原几何图形，属于简单题.利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x轴平行的线段仍然与轴平行且相等；二是与y轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.
OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.
（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；
（2）当AB中点在直线上时，求直线AB的方程.
26．如图，四棱锥中，平面分别为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
而由于两直线不一定在同一平面内,则b一定大于或等于c,判断a和b时,
因为B是上n任意一点,则a大于或等于b.
故选D.
【点睛】
本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6．C
解析：C
【解析】
分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.
【详解】
设三棱锥外接球球心为，半径为，
，故在平面的投影为中点，为中点，
，故，侧面底面，故底面 .
连接，作于，易知为矩形，设，
则，，，，解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

2020年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题(强化班)(附带详细解析)

②当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.
（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
① ； ② ； ③
（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列的前项和；
（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
A． B．
C． D．
5．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，在平面内且与平面平行的直线
A．有无数条B．有2条
C．有1条D．不存在
6．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2B．3C．5D．4
7．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
（Ⅲ）设集合，，等差数列的任意一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式.
18．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向，已知，现准备修建一条城市高架道路，在上设一出入口，在上设一出口，假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为 .
（2）求和 .
16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是中点，过、、三点的平面交于 .
求证：（1）平面；
（2）是中点.
17．已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，记与的等差中项为 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；
（2）已知直线与圆相交于，两点．

高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)

高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________．二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）：（1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。

江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一(强化班)下学期期中数学试题(解析版)

【详解】对于A，若，则“当时，存在唯一的实数λ，使得 ”不成立，故A错误；
对于B，由题意得，若与的夹角为锐角，则代入数据解得，故B错误；
对于C，由“复数是虚数”得，因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以“ ”是“复数是虚数”的必要不充分条件.故C正确；
对于D，当时满足，此时不满足 .故D错误.
当点为线段的中点时，与点重合，此时，故，同理可得 .
由，
又、、三点共线，，即，
延长交于点，则为的中点，且有，
又
，
当且仅当，时取得最小值.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
9.下列说法中错误是（）
A.若向量满足，则存在唯一的实数λ，使得
B.已知非零向，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
C.“ ”是“复数是虚数”的必要不充分条件
D.若复数，满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A举出反例即可；对于B根据向量夹角为锐角时坐标运算公式计算即可；对于C化简复数根据逻辑命题知识判断即可；对于D举出反例即可.
【详解】解：，
∴ ，
，
又，则，，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
15.若满足的恰有一个，则实数的取值范围是_________ .
【答案】或
【解析】
【分析】根据正弦定理分析解的个数问题.
【详解】由正弦定理，，
当，即时，，只有一解，
当时，，若，则，可为锐角也可为钝角，有两解，

无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学(强化班)试题(原卷+解析)

江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一强化班数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.22i+1.已知i 为虚数单位，复数z =，则复数z 的模为-i（）．A.2B.C.1D.b 的夹角为30︒2.已知向量a ，， a =2， =b ，则r r 2a +b =（）A.B.3C.D.123.如图，正方形A 'B 'C 'D '的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（）A.B 2.C.D.4.已知不重合的直线m 、n 、l 和平面α，下列命题中真命题是（A.如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面B.如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C .如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD.如果l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l ∥）απ5.在 ABC 中，B =4，BC 边上的高等于1BC ,则cos A =3（）A.B 10.10C.10D.10-6.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为3，D 为侧棱CC 1的中点，M 为侧棱AA 1上一点，且A 1M =1，N 为B 1C 1上一点，且MN 平面ABD ，则NB 1的长为（）A .1B.2C.3D 2.1217.如图，在平行四边形ABCD 中，AE 3=1AD ，BF 4=BC ，CE 与DF 交于点O .设 A =a B ， A =b D ，若AO =λa +μb ，则λ+μ=（）A.81B 7.191C 7.31D 7.11178.在钝角 ABC 中，a ,b ,c 分别是 ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是 ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是（）,1⎛⎫A. ⎪⎪⎝3⎭40,B.5⎛ ⎫⎭⎝⎪45,3⎡⎫⎪C.⎢⎪⎣⎭4D.5⎡⎢,1⎫⎭⎣⎪二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设z =a +b i(a ,b ∈R)，则下列命题为真命题的是（）B.若z +i 与2z+iA.若z ⋅z ∈R ，则z ∈RC.若|z |=1，则|z -1-i |的最大值都是实数，则|z |=D.若z 2为纯虚数，则a =b ≠+110.已知 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列条件中，能使 ABC 的形状唯一确定的有（）A.a =2,b =3,∠C =60︒ B.a =1,b =∠A =30︒C.a =1,∠B =30︒,∠C =45︒D.a =3,b =2,∠A =30︒11.六氟化疏，化学式为SF 6，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体E -ABCD -F 的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a （不计氟原子的大小），则（）B.平面ADE //平面BCF A.直线AE 与FC 为异面直线C.直线AE 与BC 为异面直线D.八面体外接球体积为a 3312.对于给定的 ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A.过点G 的直线l 交AB ､AC 于E ､F ，若 A E =λ A B AC ， A F =μ ，则11λ=μ+3B. A H 与||||B CAB cos B AC cos C+A A 共线uu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu rC.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCD. O H = O A + O B + O C三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.+λ 与13.已知非零向量a =(1,2)，b r =(1,1)且r a a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____14.已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：z +z =4；乙：2z ⋅z =3；丙：5z z ，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =______z =．15.在 ABC 中，∠BAC =120︒，AB =1，AC =2，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AE 为BC 边上的高，则 ADE 的面积为______．16.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边 PMN ，使得点A ，P 位于直线MN的两侧，则PN ⋅PB 的最小值为______．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.z 2的虚部为817.已知复数z 满足引|z |=.（1）求复数z ；（2）设复数z 、z 2、z -z 2在复平面上对应点分别为A ､B ､C ，若A 在第一象限，求(OA +OB )⋅OC 的值.18.如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC=l.求证:（1）l ∥BC;（2）MN ∥平面PAD.19.已知 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2sin2A-2sin2B-sin2C-2sin B sin C=cos2C-cos2C.1）求角A（；（2）若AD是 ABC的中线，且AD=2，求b+c的最大值.20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P､Q分别为对角线BD､CD1上的点，且12 3CQ BP QD PD==．（1）求证：PQ//平面A1D1DA；（2）若R是AB上的点，ARB的值为多少时，能使平面PQR//平面A1D1DA？请给出证明A．21.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，∠A =90 ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE =α，试求花卉种植面积S (α)的取值范围．22.已知平面直角坐标系中，点A (a ,0)，点B (0,b )（其中a ，b 为常数，且ab ≠0），点O 为坐标原点.如图所示，设点P 1,P 2,P 3, ,P n -1是线段AB 的n 等分点，其中n ∈N *,n ≥2，（1）当n =2022时，求 OA +OP 1+OP 2+ +OP n -1+OB 的值（用含a ，b 的式子表示）；（j P 2）当a =b =1,n =10时，求OP i ⋅(P O )(1≤i ,j ≤n -1,i ,j ∈N i +O *)的最小值.n (2n +1),n ∈N *.（说明：可能用到的计算公式：1+2+3+ +n =）江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一强化班数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.22i+1.已知i 为虚数单位，复数z =，则复数z 的模为-i（）．A.2B.C.1D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算，先化简z ；再由复数模的计算公式，即可得出结果.234255i 5)(2i +2+【详解】因为复数z ===+i ，所-i 以z ==1．故选：C ．b 的夹角为30︒2.已知向量a ，， a =2， =b ，则r r 2a +b =（）A.B.3C.D.12【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模的定义即可求解.b 的夹角为30︒【详解】解：向量a ，， a =2， =b∴=2a +=b ==故选：C ．3.如图，正方形A 'B 'C 'D '的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（）A.B 2.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由水平放置的平面图形的直观图的画法，画出原图形，然后根据原图形求面积即可．【详解】解：画出相应的平面直角坐标系xoy ，在x 轴上取OA =O 'A '，在y 轴上取OB =2O 'B '，作BC //x 轴，并且BC =B 'C '，然后连接OC ，AB ，则平行四边形OABC 为原图形，OA =1,OB =，∴原图形的面积为1⨯=故选：C ．4.已知不重合的直线m 、n 、l 和平面α，下列命题中真命题是（A.如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面B.如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C.如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥）nD.如果l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l ∥α【答案】C 【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案.【详解】对于A ，当l 与α相交时，在平面α内且过交点的直线与l 都是共面的，故A 错；对于B ，如图1，可能是n ∥α，故B错；对于C ，这是线面平行的性质定理的等价说法，故C 正确；对于D ，如图2，由于直线l 与α相交时，也可以有两点到α的距离相等，故D 错．故选：C.π5.在 ABC 中，B =4，BC 边上的高等于1BC ,则cos A =3（）A.B 10.10C.10-D.10-【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设2AD =a ⇒AB ,CD =2a ,AC a ⇒sin α=cos α=,sin β⇒cos ,cos βA 1=cos(α+β)=0-,故选C.考点：解三角形.6.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为3，D 为侧棱CC 1的中点，M 为侧棱AA 1上一点，且A 1M =1，N 为B 1C 1上一点，且MN 平面ABD ，则NB 1的长为（）A.1B.2C.3D 2.12【答案】B 【解析】【分析】通过构造面面平行，得到MN 平面ABD ，再利用三角形相似，能求出NB 1的长.【详解】如图所示，过点过点M 作MP //AB 交BB 1于点P ，再过点P 作PN //BD 交B 1C 1于N ，取BB 1中点为Q ，连接C 1Q .因为MP //AB ，MP ⊄平面ABD ，AB Ì平面ABD ,所以MP //平面ABD ，同理，PN //平面ABD ，又MP PN =P .MP ,PN ⊂平面MPN ,所以平面MPN //平面ABD ，又MN ⊂平面MPN ，所以MN 平面ABD ，又由题意知，四边形ABB 1A 1与四边形BCC 1B 1都为边长为3的正方形.因为A 1M =1，MP //AB ，所以B 1P =1，132因为Q 是BB 1中点，所以B 1Q 2=BB 1=，又D 为侧棱CC 1的中点，所以BQ ∥C 1D ，所以四边形BQC 1D 是平行四边形.所以C 1Q //BD ，所以C 1Q //PN ，所以 B 1PN B 1QC 1，1111B P NB 所以B 1QC B =,即132NB 13=，解得NB 1=2.故选：B.17.如图，在平行四边形ABCD 中，AE 3=1AD ，BF 4=BC ，CE 与DF 交于点O .设 A =a B ， A =b D ，若AO =λa +μb ，则λ+μ=（）A.81B 7.191C 7.31D 7.1117【答案】B 【解析】【分析】根据D ,O ,F 和E ,O ,C 三点共线，可得 A O=x A D+y A F和 A O =m A E +n A C，利用平面向量线性运算可用a ,b 表示出 A O，由此可得方程组求得x ,y ，进而得到λ+μ的值.【详解】连接AF，AC，A D ,O ,F 三点共线，∴可设 A =D x O +y A F，则x +y =1，44F AB A 1y D ⎫+y +B ⎛x ++ ⎭⎪=⎝⎛ ⎭⎪⎝b ∴AO =xAD +y ( A B )=x A D1 ⎫ +ya ；E ,O ,C 三点共线，∴可设 A O =m A E +n A C，则m +n =1，33m AD A AO B =+n +⎫ m ⎭⎪⎝b +n ( A D )=⎛+na ；4n 31m ⎧x +y =y 1⎪+=∴⎨⎪x m ⎪+1=⎪⎪⎩y =⎪n 917817x y ⎧=⎪⎪+n ，解得：⎨⎪=⎪⎩8111717AO ，∴=+ a b 8111917171，即λ+μ7=+=.故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据O 为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.8.在钝角 ABC 中，a ,b ,c 分别是 ABC 的内角A ,B ,C 所对的边，点G 是 ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cos C 的取值范围是（）,1⎛⎫A. ⎪ ⎪⎝3⎭40,B.5⎛ ⎫⎭⎝⎪45,3⎡⎫⎪C.⎢⎪⎣⎭4D.5⎡⎢,1⎫⎭⎣⎪332【答案】A 【解析】【分析】由条件可得CD 2=AB =c ，然后根据余弦定理可得a 2+b 2=5c 2、22(25a b ab a 2+b b -c 2cos C ==a )，根据三角形是钝角三角形求+出2b ，+∞)⋃(-∞∈a ，)，然后3利用对勾函数的性质求出cos C 的范围即可．【详解】如图所示：，连接CG ，并延长交AB 于D ，由G 是三角形的重心，得D 是AB 的中点，112 AG ⊥BG ，∴DG 2=AB =c ，332由重心的性质得CD =3DG ，即CD 2=AB =c ，由余弦定理得：AC 2=AD 2+CD 2-2AD ⋅CD ⋅cos ∠ADC ，BC 2=BD 2+CD 2-2BD ⋅CD ⋅cos ∠BDC ，∠ADC +∠BDC =π，AD =BD ，∴AC 2+BC 2=a 2+b 2=2AD 2+2CD 2=5c 2，22(25a bab a 2+b b -c 2则cos C ==a)+，∠AGD >∠ACD ，∠BGD >∠BCD ，∴90︒=∠AGB >∠ACB ，∴∠ACB 为锐角， ABC 是钝角三角形，∴∠BAC 或∠ABC 为钝角，∴b 2+c 2<a 2或a 2+c 2<b 2，将a 2+b 2=5c 2代入得：2b ，+∞)⋃(0∈a，3，∴<cos C <13．故选：A二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设z=a+b i(a,b∈R)，则下列命题为真命题的是（）B.若z+i与2z +iA.若z⋅z∈R，则z∈RC.若|z|=1，则|z-1-i|的最大值都是实数，则|z|=D.若z2为纯虚数，则a=b≠+10【答案】BC【解析】【分析】根据复数的运算、复数为纯虚数和实数的条件、共轭复数的定义及复数模的运算公式和几何意义逐一判断即可得出答案.【详解】对于选项A：因为z=a+b i(a,b∈R)，所以z=a-b i(a,b∈R)，所以z⋅z=(a+b i)⋅(a-b i)=a2-(b i)2=a2+b2，所以z⋅z∈R.故A选项错.对于选项B：因为z+i=a+(b+1)i为实数，所以b+1=0，所以b=-1.因为()())()i2i2i2i555a bz2a2b+(2a+b)-+(2b-a)i+b-a =(==++i为实数-，所以2+i2b-5a=0，又因为b=-1，所以a=-2.所以z=-2-i，所以z=故B选项正确=.对于选项C：若|z|=1，则a2+b2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆，|z-1-i|表示圆上的动点与点A(1,1)之间的距离，故|z-1-i|的最大值为：OA+r=1，故C正确.对于选项D：因为z=a+b i(a,b∈R)，所以z2=(a+b i)(a+b i)=a2-b2+2ab i.因为z2为纯虚数，所以a2-b2=0且2ab≠0，解得：a=b≠0或a=-b≠0.故D选项错误.故选：BC.10.已知 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使ABC的形状唯一确定的有（）B.a=1,b= A.a=2,b=3,∠C=60︒C.a=1,∠B=30︒,∠C=45∠A=30︒︒ D.a=3,b=2,∠A=30︒【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B、D；利用三角形的内角和以及正弦定理可判断C.【详解】对于A ，由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =7，解得c 7=，故A 正确；对于B ，根据正弦定理：sin a A =sin b B，可得sin B 2=，4π又因为b >a ，所以∠B >∠A ，所以∠B =或34π，故B 不正确；sin sin sin a b cA B =C，可知b ,c 均=有对于C ，由三角形的内角和可知∠A =105 ，又a =1，利用正弦定理唯一值，故C 正确；1对于D ，根据正弦定理：sin a A =sin bB ，可得sin B 3=，又因为a >b ，所以∠A >∠B ，所以ÐB 只能是锐角，故D 正确；故选：ACD11.六氟化疏，化学式为SF 6，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体E -ABCD -F 的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a （不计氟原子的大小），则（）B.平面ADE //平面BCF A.直线AE 与FC 为异面直线C.直线AE 与BC 为异面直线D.八面体外接球体积为a 33【答案】BCD 【解析】【分析】连接AC 与BD ，设AC BD =O ，连接EF ，依题意可得EF 必过点O ，即可判断A 、C ，再根据面面平行的性质判断B ，再由线段的长度可得O 即为外接球的球心，外接球的半径R 2=a ，根据球的体积公式计算可判断D ；【详解】解：连接AC 与BD ，设AC BD =O ，则O 为正方形ABCD 的中心，连接EF ，根据正棱锥的性质可知EF 必过点O ，即EF AC =O ，所以E 、F 、A 、C 四点共面，所以AE 、CF 共面，故A 错误，显然E 、B 、A 、C 四点不共面，故直线AE 与BC 为异面直线，即C 正确；因为AD //BC ，AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，所以BC //平面ADE ，依题意AB =BC =CD =AD =EB =ED =EA =EC =FA =FB =FC =FD =a ，，所以BD 2=DE 2+BE 2，即 BDE 为等腰直角三角形所以AC =BD =，a ，即四边形AFCE 为平行四边形，所以AE //CF 所以OE =OF 2=，AE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ，所以CF //平面ADE ，又BC CF =C ，BC ,CF ⊂平面BCF ，所以平面ADE //平面BCF ，故B正确；显然OE =OF =OB =OD =OC =OA 2=a ，则O 即为外接球的球心，外接球的半径R 2=a，43πR 3所以外接球的体积V 3==πa 3，故D正确；故选：BCD12.对于给定的 ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A.过点G 的直线l 交AB ､AC 于E ､F ，若 A E =λ A B AC ， A F =μ ，则11λ=μ+3B. A H 与||||B CAB cos B ACcos C+A A 共线uu r uu u r uu r uuu r uu u r uuu rC.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCD. O H= O A + O B + O C【答案】ABD 【解析】【分析】利用平面向量共线定理判断A ，根据数量积的运算律及向量垂直判断B 、C 、D ；【详解】解：对于A ，设BC 的中点为D ，1111((33333AD AB AC AE AF AF λμλ则AG μ==)+=)+= + 2 1 1，因为E ，F ，G 三点共线，则11=133λ+，所以μ11λ=3，故A 正确μ+．|||B Ccos B AC )⋅cos C +BC 对于B ，(| A B A A |AB |cos B |AC |cos C= A B ⋅BC + AC ⋅BC |AB |cos B |AC |cos C =|BC |cos C|AB |⋅| B C |cos(π-B )+|AC | ⋅=-|BC |+|BC |=0，|AB |cos B |AC |cos C所以 AB + AC与B C 垂直，又 A H ⊥C B ，|AB |cos B |AC |cos C则 AB + AC与 A H 共线，故B 正确；对于C ，OA ⋅OB =OA ⋅OC 等价于OA ⋅(OB -OC )=0，等价于OA ⋅CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故C 错误；对于D ，因为 A H ⊥C B，(OB )⊥B +O CC ；OH O ⋅A B =(∴ A H )⋅-B CC =0，(OB OC )⋅+B C =0；两式相减得(OH -OA -OB -OC )⋅BC =0；同理(OH -OA -OB -OC )⋅AC =0；H A B 若 C O - O - O - O ≠0，则该向量同时垂直于B 、 A C C ，显然不可能；∴ O H = O A + O B + O C，故D 正确；故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.+λ 与13.已知非零向量a =(1,2)，b r =(1,1)且r a a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____5【答案】(3-,0) (0,+∞)【解析】【分析】先写出a +λb =(1+λ,2+λ)，再利用a ⋅(+λb a )>0且a+λ 与a b 不共线求λ的取值范围即可.【详解】由题意知，a +λb =(1+λ,2+λ)，a ⋅(+λb a )>0且a+λ 与a b 不共线，即1+λ+2⋅(2+λ)>05且1⋅(2+λ)-2⋅(1+λ)≠0，解得λ>3-且λ≠0.5故答案为：(3-,0) (0,+∞).14.已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位)：甲：z +z =4；乙：2z ⋅z =3；丙：5z z ，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =______z=．【答案】2+i ##i +2【解析】【分析】设z =a +b i ，则z =a -b i ，然后分别求出甲，乙，丙对应的结论，先假设甲正确，则得出乙错误，丙正确，由此即可求解．【详解】解：设z =a +b i ，则z =a -b i ，甲：由z +z =4可得2a =4，则a =2，乙：由z ⋅z =3可得：a 2+b 2=3，丙：由z 5z 2z =可得z 52z 2=，z ⋅z 即2225z z b a 2=，所以a 2+b 2=5+，若a =2，则a 2+b 2=4+b 2=3，则b 2=-1不成立，4+b 2=5，则b 2=1，解得b =1或-1，所以甲，丙正确，乙错误，此时z =2+i 或z =2-i ，又复数z 对应的点在复平面第一象限内，所以z =2+i ，故答案为：2+i ．15.在 ABC 中，∠BAC =120︒，AB =1，AC =2，∠BAC 的平分线交BC 于D ，AE 为BC 边上的高，则 ADE 的面积为______．【答案】#42【解析】1B2D 【分析】由余弦定理求出BC ,使用角平分线及正弦定理得到DC =，求出BD 3=，再利用高线求出AE ,BE ，得到DE ，求出直角三角形面积.【详解】在 ABC 中，由余弦定理得：BC ===，sin AB BDADB =在三角形ABD 中，由正弦定理得：sin ∠BAD∠，AC CDADC =同理在三角形ACD 中，由正弦定理可得：sin ∠CADsin ∠，因为∠ADB +∠ADC =π，又∠BAC 的平分线交BC 于D ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD ，sin ∠ADB =sin ∠ADC ，故AB AC BD DC =1B 2D ，即DC =，所以BD 3=，227B AC C 2AB B AB 2C +-而cos B ==，又AE 为BC 边上的高⋅，所以AE =AB ⋅sin B 7==，BE =AB ⋅cos B 7=，从而372DE =BD -BE 1=-=，所以 ADE 的面积为1122721AE ⋅DE 42=⨯⨯=.故答案为：4216.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边 PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN ⋅PB 的最小值为______．1【答案】4-【解析】【分析】设出边长，通过做辅助线，将PN ⋅PB 转化为PE -E B 2 2，然后利用解三角形的知识，把P E 和BE 表示出来，建立函数关系求解最值即可.【详解】如图，连接BN ，设BN ，MN 中点分别为E ，F ，连接PE ，PF ，EF ．设CM =a ，CN =b (0≤a ≤2,0≤b ≤2)，222P 2N PN B E +PB E ⎛⎫-P =-P PN ⋅PB =-B ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭⎛⎫ 2 2，2124B 在Rt BCN 中，由勾股定理得BN 2=BC 2+CN 2=b 2+4，则B N E ⎫=⎛= ⎭⎝⎪2b 2+1，BN ，MN 中点分别为E ，F ，则EF 为△BMN 的中位线，112∴EF ∥BM 且EF 2=BM =1-a ，∴∠EFM =∠CMN，在Rt CMN 中，由勾股定理得MN ==CN MN ∴sin ∠CMN ===sin ∠EFM，2在等边 PMN 中，F 为MN 中点，则PF ⊥MN ，PF 2=MN =⋅π2cos ∠PFE =cos ⎛+∠EFM ⎫⎭⎪=-sin ∠EFM =⎝，在 PEF中，由余弦定理得34PE 2=EF 2+PF 2-2EF ⋅PF cos ∠PFE =a 22+b 2-ab -a ++1，当N 与C 重合时，△BCN ，△CMN ， PEF不存在，但可验证上述等式依然成立，1b 22- PN ⋅PB =a 2-a ++223131216441644⎡⎤⎛1⎫b +b 2-+-b b 2≥-+-=⎢a -⎥ ⎪ ⎪⎢⎝⎥4⎭⎣⎦14当且仅当a 2=+时等号成立．31164b 2∵关于b 的函数y =4-+在[0,2]上单调递增b -，3111644b 2∴4-+b -，当且仅当b =0时等号成立≥-．1∴PN ⋅PB ≥4- 1，当且仅当a 2=，b =0时等号成立.1故答案为：4-．【点睛】在处理平面向量的应用问题的时候，需要注意的是，动点在线段上，那么该点的横纵坐标是有范围限制的.四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.z 2的虚部为817.已知复数z 满足引|z |=.（1）求复数z ；（2）设复数z 、z 2、z -z 2在复平面上对应点分别为A ､B ､C ，若A 在第一象限，求(OA +OB )⋅OC 的值.【答案】（1）z =2+2i 或z =-2-2i （2）-56【解析】【分析】（1）设z =x +y i ，x ,y ∈R ，根据复数的模及复数代数形式的乘运算得到方程组，解得即可；（2）首先判断z =2+2i ，再求出A 、B 、C 的坐标，最后根据向量数量积的坐标表示计算可得；【小问1详解】解：设z =x +y i ，x ,y ∈R ，所以z 2=(x +y i )2=x 2-y 2+2xy i ，z =，z 2的虚部为8由复数z 满足|z |=．⎧x 2+y 2=8可得⎨2xy =8，解得x =y =2或x =y =-2⎩，故z =2+2i 或z =-2-2i ；【小问2详解】解：因为z 在复平面内所对应的点A 位于第一象限，所以z =2+2i ，z 2=(2+2i )2=8i ，z -z 2=2+2i -8i =2-6i ，所以A (2,2)，B (0,8)，C (2,-6)，即OA =(2,2)， B O =(0,8)， C O=(2,-6)，所以OA +OB =(2,2)+(0,8)=(2,10)，所以(OA +OB )⋅OC =2⨯2+10⨯(-6)=-56；18.如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC=l.求证:（1）l ∥BC;（2）MN ∥平面PAD.【答案】（1）证明见解析；（【解析2）证明见解析.】【分析】（1）先由BC ∥AD 证明BC ∥平面PAD ，再结合平面PBC ∩平面PAD=l ，由线面平行推出线线平行，即得证；（2）取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可证明四边形AMNE 是平行四边形，即MN ∥AE ，由线线平行推线面平行，即得证【详解】（1）∵▱ABCD ∴BC ∥AD ，又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ∴BC ∥平面PAD.又∵平面PBC ∩平面PAD=l ，BC ⊂平面PBC∴l ∥BC.（2）如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，则NE ∥CD ，且NE=1CD 2，又AM ∥CD ，且AM=1CD 2，∴NE ∥AM ，且NE=AM.∴四边形AMNE 是平行四边形.∴MN ∥AE.又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.19.已知 ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =cos 2C -cos 2C .1）求角A （；（2）若AD 是 ABC 的中线，且AD =2，求b +c 的最大值.【答案】（1）2π（2）8【解析3】【分析】（1）根据已知条件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化边及余弦定理，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解；（2）根据已知条件及中线的向量的线性表示，再利用向量的数量积极及基本不等式即可求解.【小问1详解】由2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =cos 2C -cos 2C 及二倍角的余弦公式，得2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =cos 2C -(cos 2C -sin 2C )，即2sin 2A -2sin 2B -sin 2C -2sin B sin C =sin 2C ，于是有，sin 2B +sin 2C -sin 2A =-sin B sin C 及正弦定理，得b 2+c 2-a 2=-bc ，2122c bc bc 2b b 2c +-a 2-由余弦定理，得cos A ===-，2π 0<A <π,∴A =【小问2详解3.】1 因为AD 是 ABC 的中线，所以AD 2= ( A B + A C )，两边平方，得()1A 4D A 2B = 2+2 A B ⋅ A C + A C 22π,由（1）知，A 3=，AD =2，2π413⎛所以22=+b 2c 2+2c ⋅b ⋅cos ⎫ ⎭⎪⎝，2212b 4+c ⎫所以16=c 2-bc +b 2=(b +c )2-3⨯2-3bc ≥(b +c )⎛(b +c =) ⎭⎝⎪即(b +c )2≤64，所以b +c ≤8，当且仅当b =c =4时，等号成立，所以b +c 的最大值为8.20.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ､Q 分别为对角线BD ､CD 1上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：PQ //平面A 1D 1DA ；（2）若R 是AB 上的点，AR B的值为多少时，能使平面PQR //平面A 1D 1DA ？请给出证明A ．【答案】（1）证明见解析；（2）AR B 的值A 为3，证明见解析5．【解析】【分析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，证明BC //AD ，PQ //MD 1，又MD 1⊂平面/平面A 1D 1DA ，证明PQ //平面A 1D 1DA A 1D 1DA ，PQ ⊂；（2）R 是AB 上的点，当AR B 的值A 为3时，能使平面PQR //平面A 1D 1DA ，通过证明PR //平面A 1D 1DA 5，又PQ ⋂R =P ，PQ //平面A 1D 1DA ．然后证明即可．【详解】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M点，因为四边形ABCD 为正方形，所以BC //AD ，故△PBC ~△PDM ，CP BP 23所以PM =D P ，又因为2C 3Q =BP QD 1D ==，所以2C 3Q P CP QD 1PM ==，所以PQ //MD 1．又MD 1⊂平面A 1D 1DA ，PQ ⊄平面A 1D 1DA ，故PQ //平面A 1D 1DA ．（2）当ARB的值A为3时，能使平面PQR//平面A1D1DA5．证明：因为3A5RAB=，即有2B3RRA=故BR BP，RA PD=．所以PR//DA．又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR//平面A1D1DA，又PQ⋂PR=P，PQ//平面A1D1DA．所以平面PQR//平面A1D1DA．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．21.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，∠A=90 ，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE=α，试求花卉种植面积S(α)的取值范围．12⎛,1-【答案】⎝4【解析】【分析⎦】利用正弦定理得3sin4αBEπ=sin⎛ -α⎫⎭⎝⎪34sinπsinα⎛-α⎫⎭⎪，求得S∆BDE+S∆DCF，从而，CF⎝=有S (α)=S ∆ABC -(S ∆BDE +S ∆DC F ,42 ⎝ππ)，再根据条件得α∈⎛⎫⎭⎪，从而求出答案．【详解】解：在△BDE 中，∠BED =34π-α，由正弦定理得13sin BE απ=sin ⎛ -α⎫⎭⎝4⎪，∴3sin 4αBE π=sin ⎛ -α⎫⎭⎝⎪，34π在△DCF 中，∠FDC =-α,∠DFC =α，由正弦定理得13sin 4CF π=sin ⎛ α-α⎫⎭⎝⎪，3sin πsin α⎛-α⎫ ⎝4⎭⎪∴CF =，112424ππ∴S ∆BDE +S ∆DCF =⨯BE ⨯BD ⨯sin ⨯CF ⨯CD ⨯si +n (BF +CF 4=)3sin 43sin 4παπα⎛⎫sin ⎛-α⎫ ⎪⎭⎝⎪ ⎪=+4 sin ⎛⎪-α⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin cos sin 443sin cos 4ππcos αα3ππαcos αsin α⎛sin α⎫- ⎪=+ ⎪4 sin ⎪-⎝⎭44si αn α⎛⎫=+ ⎝cos +α2==1sin 2α-cos 2α+2=2sin 2α-cos 2α+1112⎛1=+ sin 2α-cos 2α+1⎫⎭⎝⎪1124π=+⎛⎫2α- ⎭⎪+2⎝，∴S (α)=S ∆ABC -(S ∆BDE +S ∆DCF 1122)4π=-⎛⎫α- ⎭⎪+⎝2,42ππ∴AEDF 为四边形区域，∴α∈⎫⎛ ⎝3,444πππ⎫∈⎭⎪，∴2α-⎛ ⎭⎪⎝，4π⎛⎤∴sin ⎫⎛2α- ⎭⎪⎝∈⎝2⎦14<S (α)≤1⎥，2∴-，1∴花卉种植面积S (α)取值范围是2⎛,1- ⎝4⎦．【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形面积问题，属于基础题．22.已知平面直角坐标系中，点A (a ,0)，点B (0,b )（其中a ，b 为常数，且ab ≠0），点O 为坐标原点.如图所示，设点P 1,P 2,P 3, ,P n -1是线段AB 的n 等分点，其中n ∈N *,n ≥2，（1）当n =2022时，求OA +OP 1+OP 2+ +OP n -1+OB 的值（用含a ，b 的式子表示）；（j P 2）当a =b =1,n =10时，求OP i ⋅(P O )(1≤i ,j ≤n -1,i ,j ∈N i +O * )的最小值.n (2n +1),n ∈N *.（说明：可能用到的计算公式：1+2+3+ +n =）【答案】（1（2）232【解析5】 uuu r uuuuu r uu r uu u r 【分析】（1）由题意可得OP 1+OP 2021=OA +OB，进而推出OP m +OP n =OA +OB ，代入题中的等式即可；（10101-0i i 2）当a =b =1，n =10时，OP i =⎛ ⎝ ⎫⎭⎪，，101010j j OP -j =⎛ ⎝ ⎫⎭⎪，进而得，到 ij -5i -5j +5OP i ⋅OP j 50=0，从而得j OP P P ⋅( O i + O 25(i -5)j +0i )=-15i +100=，列出i 的取值即可得到对应的函数值.【小问1详解】2021120222022OA O 由题意得OP 1B =uuu +r uu r uu u r 2012021202，2OP A O 9=20122B O u +uuuu r uu r uu u r ，uuu r uuuuu r uu r uu u r所以OP 1+OP 2021=OA +OB，事实上，对任意正整数m ，n ，且m +n =2022，20222022022m m OA OB -有OP m =uuu +r uu r uu u r ，2022202220222n n OA -uuu r OP n +=uu r uu u r ，所以OP m +OP n =OA +OB所以当n =2022时，(20212OA B B +=O uuuur uu u +O r uu r OA +uu r uu r uuu r uuu uu r u r )uu u r OA +OP 1+OP 2+L +OP n -1+OB 20232|OA B +=O u |=u r uu u r .【小问2详解】当a =b =1，n =10时，10,10101010i i OP i OA O -B i ⎝=10-i + =⎛⎫⎭⎪，同理1010,10101010j j j OP OA OB --j = ⎫⎭⎝⎪ j + =⎛10101010101050j i j -OP i i ij -5i --5j +50j =⋅+ ⋅ O =P 2005i 2-0i 1i +50+⎫⎛OP i == ⎪ ⎝10⎭ 2⎛10-i ⎫⎭⎝1⎪2j i O j P P P P P ⋅( P O i + O )= O 2+ O ⋅ O i 2-10i +50+ij -5i -5j +5500=(i -5)j +i 2-15i +10500=M (j =)50(i -5)⋅1+i 2-15i +10500i 2-14i +95当i =6，7，8，9时，M (j )≥M (1)==，当i =7时，上式有最小值23255525-07+100当i =5时，M (j )==150(i -5)⋅9+i 2-15i +10500i 2-6i +55当i =1，2，3，4时，M (j )≥M (9)==，当i =3时，上式有最小值232综上5，j OP P OP i + i ⋅( O )的最小值是2325.。

2024年天一名校高一数学期中复习卷

2024-2025学年度上学期高一数学期中复习卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21A y y x ==+，集合(){}2,1B x y y x ==+，下列关系正确的是（）A ．AB =B ．0A ∈C ．(1,2)B ∈D ．(0,0)B∈2.函数3y =的定义域为（）A ．{}|33x x -≤≤B ．{|33x x -<<且}1x ≠C ．{}|33x x -<<D ．{|3x x <-或}3x >3.已知)1fx =-()f x 的解析式为（）A ．2()1f x x =-B ．2()1(1)f x x x =+≥-C ．2()1(1)f x x x =-≥-D ．2()1f x x =+4.学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，BCE 为等腰直角三角形，设AB )0BC b a =≥>，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（）A ．2a b+≥B ．2aba b≤+C ．22a b +≥D ．2a b +≤5.幂函数()()233mf x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（）A ．4m =B ．4m =或1m =-C ．是奇函数D ．是偶函数6.在上定义运算：()1x y x y *=-.若关于x 的不等式()10x x *-≥的解集是集合{}12x a x +≤≤的子集，则实数a 的取值范围（）A. B. C. D.7.已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞ D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞8.记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若()270x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则()()()()()1236970f f f f f +++++ 的值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数的值可以是（）A ．B ．12-C ．13D ．13-10.下列说法正确的有（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C．函数2y x =-17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()213f x x =+11.定义域为的函数()f x 满足：()()22,,22x y x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫∀∈=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，当0x >时，()0f x <，则下列结论正确的有（）A ．()01f =B ．()12y f x =+-的图象关于点()1,2--对称C ．()()()()()()202320252024202220242023f f f f f f +=+D ．()f x 在s +∞上单调递增()f x ()f x R 1a <-2a <-1a ≤-1a ≥-4898489949004901a 2-第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知不等式²0ax bx c ++≤的解集为{|3x x ≤-或}4x ≥,则不等式²230bx ax c b +--≤的解集是______.13.设()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则a b +的值是______；()f a =______.14.若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数()()2325,(0)f x x x g x x x=-=<，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线2y x b =-+，则实数b 的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为．（1）若()7,3M =-，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；（2）若中的一个元素是，求实数的取值范围．16.（本小题满分15分）设全集，集合，集合.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.M M 0a U =R {}|15A x x =≤≤{}122|B x a x a =--≤≤-17.（本小题满分15分）已知函数21()x f x x-=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）用函数单调性的定义证明：在(0,)+∞上为增函数；（3）求函数在区间[]2,4--上的最大值和最小值．18.（本小题满分17分）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为万元，每生产x 台，需另投入生产成本()R x 万元.当年产量不足25台时，()23R x x kx =+；当年产量不小于25台时()3200202133010R x x x =+-+，且当年产量为台时需另投入成本万元；若每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.（1）求的值；（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.19.（本小题满分17分）若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m =成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()21f x x =+是否为区间[]0,3上的“阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()31f x x =-为区间上的“阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()42f x x =+是()2221g x x ax a =-+-在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围．()f x ()f x 1000101100200k x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,211。

常州市天一中学数学高一下期中经典练习(提高培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --= 2．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（）A ．3B 13C ．32D ．333．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．(0分)[ID ：12405]三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π 5．(0分)[ID ：12399]设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]0,1 D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 7．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（） A ．2B ．32C 322D ．228．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形9．(0分)[ID ：12340]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30 10．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 11．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 12．(0分)[ID ：12391]已知点()1,2-和3,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．(0分)[ID ：12388]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+414．(0分)[ID ：12386]已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（）A 3B ．2C ．23D ．2515．(0分)[ID ：12428]在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（）A ．8B ．62C ．82D ．83 二、填空题16．(0分)[ID ：12475]如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．17．(0分)[ID ：12525]已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.18．(0分)[ID ：12519]已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.19．(0分)[ID ：12516]已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．20．(0分)[ID ：12442]正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为．21．(0分)[ID ：12440]圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803_____．22．(0分)[ID ：12507]在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．23．(0分)[ID ：12503]在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______24．(0分)[ID ：12439]三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．25．(0分)[ID ：12434]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.三、解答题26．(0分)[ID ：12628]已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.27．(0分)[ID ：12626]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．28．(0分)[ID ：12604]已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程；（2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.29．(0分)[ID ：12600]如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，23SA AB ==，，1BC =，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.30．(0分)[ID：12618]如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：(1) AD边所在直线的方程；(2) DC边所在直线的方程．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．D4．A5．B6．D7．B8．A9．C10．B11．D12．D13．D14．D15．C二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直17．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C（2a）当∠MFN最大时过点MNF的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜9019．【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得如图所示PF为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a则由得所以因为球心到平面ABC的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的20．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所21．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半22．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC 在△BPD中有PB＋PD＞BD23．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用24．【解析】【分析】以B为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF与四边形ECDF的面积关系即可求解【详解】设B到平面ACD的距离为h三角形ACD面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以25．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．C解析：C【解析】【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解.【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA ADPA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥ 1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 111122332,213132222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯= 故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为32故选：C【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．A解析：A【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线，即24116R =++=246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.5．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO故22220000103634PO x y y y ==+-+ 解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围． 6．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.7．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 8．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．9．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为V =12×3×4×5−13×12×3×4×3=24，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．10．B 解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.11．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积． 12．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (3,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121,01PA PB k k ---==-==-∵点(1,−2)和在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧，∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项. 13．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为π×12+12×2π×1×2+2×2=3π+4 ,选D. 14．D解析：D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为 10，过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（），则|AB |222(10)(5)25=-=，故选D ．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．15．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.二、填空题16．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．17．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查解析：2【解析】【分析】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，如图所示作辅助线，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得答案. 【详解】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，90BAC ∠=︒，故O 在平面ABC 的投影为BC 中点1O ，D 为AC 中点，PA PC =，故PD AC ⊥，侧面PAC ⊥底面ABC ，故PD ⊥底面ABC .连接1O D ，作OH PD ⊥于H ，易知1OO DH 为矩形，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，PD =，12OH DO ==，122CO，解得R =故答案为：2.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切． ()()22232122a a ---+-=，∴a=1或9，a=1时，2，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=52MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 19．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的3【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,22a a AB AC BC =====，1322222322ABC S ∆=⨯⨯⨯= 由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以233h =，因为球心到平面ABC 的距离为33. 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力20．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所解析：【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为33r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==．考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．21．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60，得到母线长为2k 3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可.【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803，所以()46332k k k +=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12.所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=.故答案为：360π【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.22．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P(2,4)．23．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用解析：0x y -=【解析】【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解.【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ， 1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55,33a b ==， 55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=. 故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.24．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解.【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题. 25．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ，半径为41,3V π∴=.故答案为:43π. 【点睛】本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.三、解答题26．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=，则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d === 22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-，又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-，所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-，由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.27．（1）详见解析；（2）3030．【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC 与n 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PA AM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-．设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由22020n PD y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得21,,22n ⎛= ⎝⎭． ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：|||cos ,|30||||10PC n PC n PC n ⋅<>===⋅．【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.28．（1）35100x y -+=；（2）()2215x y -+=.【解析】【分析】（1）联立方程组，求出直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点，再求出直线l 的斜率，可得直线l 的方程；（2）设出圆的标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．【详解】（1）联立方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩， ∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点()0,2P ，又∵直线5360x y +-=的斜率为53-，∴直线l 的斜率为35， ∴直线l 的方程为()3205y x -=-，化为一般式可得35100x y -+=. （2）设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，2222(3)(1)a b r ∴-+-==，1a ，0b =，∴圆的方程为22(1)5x y -+=．【点睛】本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．29．（1）见解析；（2）7. 【解析】【分析】（1）在ACD ∆中，由余弦定理可解得：4CD =所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形，又ACE ∆可证为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，即可证明//BC 平面SAE ；（2）：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：因为AB =1BC =，090ABC ∠=，所以2AC =，060BCA ∠=，在ACD ∆中，AD =2AC =，060ACD ∠=，由余弦定理可得：2222?cos AD AC CD AC CD ACD =+-∠解得：4CD =所以222AC AD CD +=，所以ACD ∆是直角三角形，又E 为CD 的中点，所以12AE CD CE == 又060ACD ∠=，所以ACE ∆为等边三角形，所以060CAE BCA ∠==∠，所以//BC AE ，又AE ⊂平面SAE ，BC ⊄平面SAE ，所以//BC 平面SAE .（2）解：由（1）可知090BAE ∠=，以点A 为原点，以AB ,AE ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2S ，)B ，)C ，()D .。

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．i是虚数，复数＝（）A．﹣1+3i B．C．1+3i D．2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C三点共线．A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝14．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．46．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c sin C＝a sin A+（b﹣a）sin B，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（）A．B．C．3D．8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（）A．3B．6C．5D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为2﹣iC．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i10．下列说法中正确的为（）A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin BB．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（a cos C+c cos A）＝2b sin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（）A．△ABC是等边三角形B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆C．四边形ABCD面积最大值为+3D．四边形ABCD面积最小值为﹣3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省天一中学2023-2024学年12月阶段测试卷(高一数学试卷)答案解析

江苏省天一中学2023-2024学年12月阶段测试卷高一数学试卷答案与解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知集合{}|02M x x =≤≤，(){}2|log 1N x y x ==−，则M N ∩为（）A.[]0,1B.[)0,1C.(]1,2D.[]1,2【答案】B 【解析】(){}2|log 1Nx y x ==− ，10x ∴−>，{}|1N x x ∴=<，[)0,1M N ∴∩=.2.已知条件p ：240x −<，条件q ：25631x x −+>，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设α是第二象限角，(),1P x 为其终边上一点，且1cos 3x α=，则tan α=（）A. B. C. D.−4.若函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()12xf x=，则()f x 的值域为（）A.()()1,00,1−∪B.()(),11,−∞−∪+∞C.()1,1−D.()(),00,−∞∪+∞【答案】C【解析】当0x =时，()0f x =；当0x >时，()()0,1f x ∈；当0x <时，()()1,0f x ∈−；综上，()f x 的值域为()1,1−.5.已知()()3cos sin 5x x π−+−=，则sin sin 2x x π⋅+=（） A.1625 B.1625− C.825D.825−6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，则（） A.b a c >> B.c a b >> C.c b a >> D.a c b >>7.若存在正实数x ，y 满足于411y x +=，且使不等式234y x m m +<−有解，则实数m 的取值范围是（） A.()4,1− B.()1,4− C.()(),14,−∞−∪+∞ D.()(),41,−∞−∪+∞8.已知0a >，且1a ≠，函数()2,2,2xa x x f x a a x −> = −≤，若关于x 的方程()1f x =有两个不相等是实数根，则a 的取值范围是（）A.B. C.31,2D.32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √322.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 143.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.15.（单选题.5分）过三点A（1.3）.B（6.-2）.C（1.-7）的圆交x轴于M、N两点.则MN=（）A.2B. 2√21C.4D. 4√216.（单选题.5分）已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.则m=（）A.3B.-1C.1或-1D.3或-17.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.1208.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为212.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√2213.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．14.（填空题.5分）已知变量x.y线性相关.由观测数据算得样本的平均数x=4，y=5 .线性回归方程ŷ=bx+a中的系数b.a满足b+a=4.则线性回归方程为___ ．15.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C满足sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC.则1tanA −1tanB=___ ．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．17.（问答题.10分）过点M（3.4）作直线l.当l的斜率为何值时．（1）直线l将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？（2）直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？18.（问答题.10分）在锐角△ABC中. a=12.______.求△ABC的周长l的取值范围．① a⃗=(−cos A2，−sin A2)，b⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且a⃗•b⃗⃗=−12．② （c-2b）cosA+acosC=0．③ f(x)=cosxcos(x−π3)+34，f(A)=54．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程；（2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程；（3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ．（1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a的最大值；.α.β∈（0.π）.求α及β的值．（3）已知f(α)+f(β)−f(α+β)=322019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √32【正确答案】：B【解析】：由已知利用诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值即可求解．【解答】：解：sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°．= 12故选：B．【点评】：本题主要考查了诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．2.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 14【正确答案】：C【解析】：基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.由此能求出其中三位数是奇数的概率．【解答】：解：用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.∴其中三位数是奇数的概率为p= mn =46=23．故选：C．【点评】：本题考查概率的求法.考查列举法等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α【正确答案】：D【解析】：根据空间中点、线、面的位置关系的符号语言求解即可．【解答】：解：点与线的位置关系用“∈”或“∉”表示.线与面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示. 则“点A在直线l上.l在平面α内”可用A∈l.l⊂α表示．故选：D．【点评】：本题考查空间中点、线、面的位置关系及符号表示.属于基础题．4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【正确答案】：D【解析】：先求出平均数.再求出该组数据的方差．【解答】：解：一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7. ∴平均数为 x = 15 （5.5+5.4+5.1+4.8+4.7）=5.1． ∴该组数据的方差为：S 2= 15 [（5.5-5.1）2+（5.4-5.1）2+（5.1-5.1）2+（4.8-5.1）2+（4.7-5.1）2]=0.1．故选：D ．【点评】：本题考查方差的求法.考查平均数、方差的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．5.（单选题.5分）过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆交x 轴于M 、N 两点.则MN=（） A.2 B. 2√21 C.4 D. 4√21 【正确答案】：B【解析】：设出圆的一般方程.由已知可得关于D 、E 、F 的方程组.求得D 、E 、F 的值.得到圆的方程.取y=0得到关于x 的一元二次方程.再由弦长公式及根与系数的关系求解．【解答】：解：设过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆的方程为： x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．则 {1+9+D +3E +F =036+4+6D −2E +F =01+49+D −7E +F =0 .解得D=-2.E=4.F=-20．∴圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 取y=0.得x 2-2x-20=0.∴MN=|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √22−4×(−20)=2√21 ．故选：B ．【点评】：本题考查圆的一般方程的求法.考查方程组的解法.训练了弦长公式的求法.是基础题． 6.（单选题.5分）已知两条直线l 1：（m-2）x+3y+1=0.l 2：x+my+1=0平行.则m=（） A.3 B.-1 C.1或-1 D.3或-1【正确答案】：B【解析】：由题意利用两条直线平行的性质.求得m的值．【解答】：解：∵已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.∴ m−21 = 3m≠ 11.求得m=-1.故选：B．【点评】：本题主要考查两条直线平行的性质.属于基础题．7.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.120【正确答案】：C【解析】：利用分层抽样.可知从高中生中抽取的比例与从整体中抽取的比例相同.列出关系式.即可解得抽取的总人数．【解答】：解：设抽取的学生总人数为x.则307200=x21600.解得x=90.故选：C．【点评】：本题主要考查分层抽样.属于基础题．8.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)【正确答案】：C【解析】：根据条件把问题转化为圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .进而得到答案．【解答】：解：本题的实质是圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .即√22+m2≤ √6 .解得：m∈[- √2 . √2 ]．故选：C．【点评】：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系.考查轨迹方程.正确转化是关键．9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b【正确答案】：ABC【解析】：利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】：解：A．∵a＞b＞0.∴ aab ＞bab. 1a＜1b.正确．B．∵a＞b.c2≥0.则ac2≥bc2.正确．C．a＞0＞b.则ab＜a2.正确．D．c＞a＞b.则0＜c-a＜c-b.∴ 1c−a ＞1c−b＞0.但是a.b与0的关系不确定.虽然a＞b.无法判断a c−a ＞bc−b的正误．综上可得：ABC正确．故选：ABC．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件【正确答案】：BC【解析】：根据互斥事件和对立事件的概念即可判断．【解答】：解：事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.包含为订甲报纸.订乙报纸.订甲乙两种报纸.事件C为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．A．A与C不互斥不对立事件.所以A与C是互斥事件.不正确；B．B与E是互斥事件.且是对立事件.正确；C．B与C不互斥不对立事件.所以B与C不是互斥事件正确；D．C与E既不互斥也不对立事件．所以C与E是互斥事件不正确；故选：BC．【点评】：本题考查互斥事件和对立事件.分清互斥事件和对立事件之间的关系.互斥事件是不可能同时发生的事件.对立事件是指一个不发生.另一个一定发生的事件．11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为2 【正确答案】：ABD【解析】：m.n＞0.m+n=2.利用“乘1法”可得：1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+2mn）.再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误．【解答】：解：m.n＞0.m+n=2.则1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+ 2mn）≥ 12（3+2 √nm •2mn）= 3+2√22.当且仅当n= √2 m=4-2 √2时成立．m+n=2≥2 √mn .解得mn≤1．∴ √mn2≤12. (√m+√n)2 =m+n+2 √mn≤2+2.∴ √m + √n≤2．m2+n2≥ (m+n)22=2.当且仅当m=n=1时取等号．综上可得：ABD正确．故选：ABD．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．12.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√22【正确答案】：BC【解析】：首先利用分割法的应用求出曲线Ω与x轴围成的曲变形的面积.进一步利用点到直线的距离和直线的平行的应用求出圆的公切线的方程.最后利用垂径定理的应用和勾股定理的应用求出结果．【解答】：解：根据题意：圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆的周长的12．圆弧CD是以（-1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．所以把图形进行分割.如图所示：① 所以曲线Ω与x轴围成的图形的面积为S= 12•π•12+14•π•12+14•π•12+1×2=π+2 .故选项A错误．② 由于圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆．所以AB̂和BĈ所在的圆的公切线平行于经过（1.0）和（0.1）的直线.所以设直线的斜率k=-1.设直线的方程为x+y+b=0.所以（0.1）到直线x+y+b=0的距离d= |1+b|√2=1 .解得b= −√2−1或√2−1 .根据图象得：公切线的方程为x+y- √2−1=0 .故选项B正确．③ 以AB̂和所在的圆的方程为（x-1）2+y2=1. BĈ所在的圆的方程为x2+（y-1）2=1.两圆相减得：x-y=0．④ CD̂所在的圆的方程为（x+1）2+y2=1.所以圆心（-1.0）到直线x-y=0的距离d= 1√2=√22.所以所截的弦长为l=2 √1−(√22)2=√2 .故选项D错误．故选：BC．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用.勾股定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．13.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．【正确答案】：[1] 75【解析】：利用两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】：解：∵ tan (α+π4)=−6 .即 tanα+11−tanα =-6. ∴解得tanα= 75．故答案为： 75 ．【点评】：本题主要考查了两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.考查了转化思想.属于基础题．14.（填空题.5分）已知变量x.y 线性相关.由观测数据算得样本的平均数 x =4，y =5 .线性回归方程 y ̂=bx +a 中的系数b.a 满足b+a=4.则线性回归方程为___ ．【正确答案】：[1] y ̂=13x +113【解析】：根据回归直线方程过样本中心点.结合题意得出关于a 、b 的方程组.求解即可．【解答】：解：线性回归方程 y ̂=bx +a 过样本中心点（4.5）. 所以4b+a=5；又a+b=4.解方程组 {4b +a =5a +b =4 .得b= 13.a= 113.所以线性回归方程为： y ̂=13x +113．故答案为： y ̂=13x +113．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.是基础题．15.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 满足sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC.则 1tanA −1tanB =___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：sinC=sin[π-（A+B ）]=sin （A+B ）=sinAcoB+cosAsinB.代入化简得（1-1tanB ）2=（1+ 1tanA ）2.结合余弦定理和正弦定理整理得到sin （A-B ）=2sinAsinB.所以 1tanA +1tanB =0 或1tanA −1tanB=-2.由题知sin 2A ＞sin 2B.即 |1tanA | ＜| 1tanB|. ① 当A.B 都是锐角时.1tanA ＜ 1tanB. 1tanA −1tanB＜0 ． ② 当A 是锐角.B 是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB . 1tanA +1tanB ＜0. ③ 当A 是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜ 1tanB . 1tanA +1tanB ＞0.所以 1tanA −1tanB =-2.【解答】：解：sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC. sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsin[π-（A+B ）].sin2A-sin2B=2sinAsinBsin（A+B）.sin2A-sin2B=2sin2AsinBcosB+2sinAsin2BcosA.sin2A-sin2B=sin2Asin2B+sin2Bsin2A.sin2A-sin2Asin2B=sin2B+sin2Bsin2A.sin2A（1-sin2B）=sin2B（1+sin2A）.sin2A（sin2B+cos2B-sin2B）=sin2B（sin2A+cos2A+sin2A）. sin2A（sinB-cosB）2=sin2B（sinA+cosA）2(sinB−cosB)2sin2B =(sinA+cosA)2sin2A（1- 1tanB ）2=（1+ 1tanA）2.所以1- 1tanB =1+ 1tanA或1- 1tanB=-（1+ 1tanA）.所以1tanA +1tanB=0或1tanA−1tanB=-2.因为sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC＞0. 所以sin2A＞sin2B.即sin 2Asin2A+cos2A =sin2Bsin2B+cos2Bsin2Asin2A+cos2A＞sin2Bsin2B+cos2B11+1tan2A ＞11+1tan2B.|1 tanA |＜| 1tanB|.① 当A.B都是锐角时. 1tanA ＜1tanB. 1tanA−1tanB＜0．② 当A是锐角.B是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB. 1tanA+1tanB＜0.③ 当A是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜1tanB. 1tanA+1tanB＞0.所以1tanA −1tanB=-2.故答案为：-2．【点评】：本题考查三角恒等变换的应用.属于中档题．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.+∞）【解析】：利用所给的关系式.二元换一元.再由0＜x＜1．解出y的范围.进而求出1x +2y−2的取值范围．【解答】：解：由xy-y=1可知.x=y+1y .所以 1x+2y−2=y y+1+2y−2 =y+1−1y+1+2y−2=1+1−1−y +1y−2 =1+（ 1−1−y+1y−2 ）（-1-y+y-2）（- 13 ）=1+（- 13）（1+1+ y−2−1−y+−1−yy−2）. 由0＜x ＜1.可得y ＜-1.所以令t= y−2−1−y ＜-1.所以 y−2−1−y +−1−yy−2＜-2.所以1+（- 13 ）（1+1+y−2−1−y+−1−yy−2 ）＞1. 即 1x +2y−2 的取值范围为（1.+∞）. 故答案为：（1.+∞）．【点评】：本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、变形转化思想方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（问答题.10分）过点M （3.4）作直线l.当l 的斜率为何值时．（1）直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？（2）直线l 与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？【正确答案】：【解析】：（1）求出圆心坐标.再由两点求斜率公式求解；（2）设出直线方程.由圆心到直线的距离等于半径列式求解．【解答】：解：（1）圆（x+1）2+（y-2）2=4的圆心坐标为（-1.2）. 若直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分.则直线l 过圆心. 又l 过点M （3.4）.则直线l 的斜率为 4−23−(−1)=12 ；（2）设直线l 的斜率为k.则直线方程为y-4=k （x-3）.即kx-y-3k+4=0．由 √k 2+1=2 .解得k=0或k= 43．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的应用.考查点到直线距离公式的应用.考查计算能力.是基础题．18.（问答题.10分）在锐角△ABC 中. a =12 .______.求△ABC 的周长l 的取值范围． ① a ⃗=(−cos A2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12 ． ② （c-2b ）cosA+acosC=0．③ f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．【正确答案】：【解析】：根据选择的条件.即可选择对应的知识进行转化.即可求出周长的取值范围．【解答】：解：（1）若选择条件 ① . a ⃗=(−cos A 2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A 2，−sin A 2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12. 则cos 2 A2 -sin 2 A2 =cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3．若选择条件 ② .则（c-2b ）cosA+acosC=0 由正弦定理可得.（sinC-2sinB ）cosA+sinAcosC=0. 即sin （C+A ）-2sinBcosA=0.解得cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3 ．若选择条件 ③ . f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ． f （x ）= 12 [cos （2x- π3 ）+cos π3 ]+ 34 = 12 cos （2x- π3 ）+1 由f （A ）= 54 .可得cos （2A- π3 ）= 12 .又A 为三角形内角. ∴2A - π3= π3.所以A= π3．无论选哪个条件.结果都是A= π3 ．（2）由正弦定理可得. asinA=b sinB=c sinC=12√32=√33. 即b= √33 sinB.c= √33 sinC.所以b+c= √33（sinA+sinB）= √33×2sin π3cos A−B2=cos（A- π3）.而0＜A＜π2 .0＜B= 2π3-A＜π2.所以π6＜A＜π2.即−π6＜A- π3＜π6.cos（A- π3）∈（12.1].l=a+b+c∈（1. 32]．故周长l的取值范围为（1. 32]．【点评】：本题主要考查利用正弦定理解三角形.以及利用三角函数的性质求三角形周长的范围.属于中档题．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．【正确答案】：【解析】：（1）设△ABC外接圆半径为R.则由正弦定理可求得BC=2Rsin∠BAC．（2）由∠DBC=2∠BCD及正弦定理得CD=2BD•cos∠BCD.再根据余弦定理得CD2=15.cos∠CBD=- 16 .sin ∠CBD=√356.由此能求出△BCD的面积．【解答】：解：（1）由题意得△ABC外接圆半径R=2. ∠BAC=π6.由正弦定理得BC=2Rsin∠BAC=4× 12=2.故BC的长为2．（2）在△BCD中.∵∠DBC=2∠BCD.∴sin∠DBC=sin2∠BCD=2sin∠BCDcos∠BCD.则由正弦定理.得CD=2BD•cos∠BCD.由余弦定理.得cos∠BCD= BC 2+CD2−BD2 2•BC•CD.∴CD= BD(BC2+CD2−BD2)BC•CD.又BC=2.BD=3.解得CD2=15.由余弦定理.得cos∠CBD= BD 2+BC2−CD22BD•BC= 9+2−152×3×2=- 16.∴sin∠CBD= √1−(−16)2= √356．∴△BCD的面积S△BCD= 12×BC×BD×sin∠CBD = √352．【点评】：本题考查三角形的边长、三角形面积的求法.正弦定理、余弦定理的应用等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1.列出方程组.能求出a.b．由频率分布直方图能估计该市居民用水的平均数．（2）由频率分布直方图先求出全市居民中月均用水量不低于2吨的频率.由此能求出全市居民中月均用水量不低于2吨的人数．（3）前6组的频率之和是0.88＞0.85.而前5组的频率之和为0.73＜0.85.从而5≤x＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.能估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【解答】：解：（1）由题意得： {0.4a =b0.04+0.08+a +0.2+0.26+a +b +0.04+0.02=1 .解得a=0.15.b=0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．（2）由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1-0.04-0.08=0.88. ∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400000×（1-0.04-0.08）=352000．（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88＞0.85. 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73＜0.85. ∴5≤x ＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.解得：x=5.8.因此.估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【点评】：本题考查平均数、频数、用水量标准的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程；（2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程；（3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得圆M 的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得a.进而得到圆N 的方程；（2）由题意可得k OA .且|OA|.设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d.得弦长|BC|=2 √r 2−d 2 .代入 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15 •2√5 .解得m.进而得直线l 的方程．（3）根据题意得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 .因为| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得实数t 的取值范围．【解答】：解：（1）因为以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.由题意设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得：a=- 12 . 所以圆N 的方程为：（x+ 12 ）2+（y+7）2= 14 ；（2）由题意可得k OA = −4−2=2.且|OA|= √(−2)2+(−4)2 =2 √5 .所以由题意可得直线l 的斜率为- 12 .设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.即x+2y-2m=0.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d= √5.所以弦长|BC|=2 √r 2−d 2 =2 √25−(√5)2 . 因为 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15•2√5 .解得m=-10± √31 .所以直线l 的方程为：y=- 12x -10+ √31 或y=- 12x -10- √31 ．（3）因为 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 . 又| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得-4-4 √6 ≤t≤-4+4 √6 . 故实数t 的取值范围为[-4-4 √6 .-4+4 √6 ．【点评】：本题考查直线.圆的方程.以及直线与圆的相交问题.属于中档题． 22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ．（1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a 的最大值；（3）已知 f (α)+f (β)−f (α+β)=32.α.β∈（0.π）.求α及β的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想.可得cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α .代入已知数据计算即可；由于α.β为锐角.所以2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）.再结合同角三角函数的平方关系和商数关系.可依次求得tan2α= −247.tan （α+β）=-2.然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α .代入已得数据进行计算即可；（2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.原问题可转化为（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].所以at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t．令y=t+ 1 t .结合对勾函数的性质即可得函数y 的最小值.从而得解；（3）根据同角三角函数的平方关系.结合配方法对等式 f (α)+f (β)−f (α+β)=32 进行变形.可推出sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.再分α=β和α=π-β两种情况.分类讨论即可．【解答】：解：（1）∵tanα= 43 .∴cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α = 1−1691+169 = −725 . ∵α.β为锐角.即 α，β∈(0，π2) .∴2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）． ∴sin2α= √1−cos 22α = 2425 .∴tan2α= sin2αcos2α=−247. ∵f （x ）=cosx.∴f （α+β）=cos （α+β）= −√55. ∴sin （α+β）= √1−cos 2(α+β) =2√55 .∴tan （α+β）= sin (α+β)cos (α+β)=-2. ∴tan （β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α = −2+2471+2×247= 211 ．综上.cos2α= −725 .tan （β-α）= 211．（2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.∵对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.∴（cos2x-3）2≤（2+a ）（cos2x-3）-2-a 恒成立.即（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].∴at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t．设y=t+ 1 t .由对勾函数的性质可知.函数y 在区间[-5.-3]上为增函数. ∴y=t+ 1 t ≥-5- 15 = −265 .∴a≤ −265. 故a 的最大值为 −265．（3）∵ f (α)+f (β)−f (α+β)=32 . ∴cosα+cosβ-cos （α+β）= 32.∴cosα+cosβ= 32 +cos （α+β）= 12 + 12 （sin 2α+cos 2α）+ 12 （sin 2β+cos 2β）+cosαcosβ-sinαsinβ = 12 + 12 （sin 2α-2sinαsinβ+sin 2β）+ 12 （cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β） = 12 + 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ）2.∴ 12 （sinα-sinβ）2+ 12 [（cosα+cosβ）2-2（cosα+cosβ）+1]=0 即 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ-1）2=0. ∴sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.当α=β时.cosα=cosβ= 12 .∵α.β∈（0.π）.∴α=β= π3；当α=π-β时.cosα=-cosβ与cosα+cosβ-1=0相矛盾.不符合题意．综上所述.α=β= π3．【点评】：本题主要考查三角恒等变换的混合运算.还涉及函数的恒成立问题.用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等.覆盖的知识面非常广.有一定的综合性.考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力.属于难题．。

2019-2020学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．sin 20cos10cos 20sin10+=o o o o （）A ．12-B ．12C ．D ．2【答案】B【解析】利用正弦的和角公式求解即可.【详解】()1sin 20cos10cos 20sin10sin 2010sin 302+=+==o o o o o o o . 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦的和角公式运用,属于基础题型. 2．用数字123、、组成没有重复数字的三位数，其中三位数是奇数的概率为( ) A ．12 B ．13 C ．23 D ．14【答案】C【解析】写出所有的三位数，从中找出奇数，即可求得概率.【详解】由1、2、3组成的没有重复数字的三位数有：123，132，213，231，312，321，共6个，其中奇数有：123，213，231，321，共4个，则三位数是奇数的概率为4263p ==. 故选：C.【点睛】本题考查了等可能事件的概率，用列举法求古典概型的概率问题，属于基础题. 3．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α内”，正确的是( ) A ．,A l l α∈∉B ．,A l l α⊂⊄C ．,A l l α⊂∈D ．,A l l α∈⊂ 【答案】D【解析】根据定义，选择正确的符号，即可表示.【详解】由定义：点A 在直线l 上，表示为∈A l ，l 在平面α内，表示为l α⊂.故选：D.【点睛】本题考查了点与线，线与面的位置关系表示方法，属于基础题.4．已知一组数据5.55.45.14.84.7,,,,，则该组数据的方差为( ) A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1【答案】D【解析】根据平均数的计算公式，先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可.【详解】 5.55.45.14.84.7,,,,的平均数为：5.5 5.4 5.1 4.8 4.7 5.15++++=，则该组数据的方差为：222221[(5.5 5.1)(5.4 5.1)(5.1 5.1)(4.8 5.1)5S =-+-+-+- 2(4.7 5.1)]0.1+-=.故选：D.【点睛】本题考查了平均数，方差的求解，考查了运算能力，属于基础题.5．过三点(1,3)(6,2),(1,7)A B C --,的圆交x 轴于M N 、两点，则=MN ( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【解析】设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，代入点的坐标，求出,,D E F ，令0y =，即可得出结论.【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(1,3)(6,2),(1,7)A B C --,代入，得：193036462014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪++-+=⎩，2,4,20D E F ∴=-==-,∴圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0y =，可得22200x x --=，1x ∴=MN =故选：B.【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题. 6．已知两条直线12:(2)310,:10l m x y l x my -++=++=平行，则m =( ) A ．3B ．1-C ．1或 1-D ．3或1-【答案】B【解析】利用直线与直线平行的系数关系，求出m 的值，经检验，舍去重合的结果，则可得结论.【详解】 12:(2)310,:10l m x y l x my -++=++=Q ，12//l l ，(2)30m m ∴--= ，则3m =或1-，当3m =时，1:310++=l x y 与2:310++=l x y 重合，当1m =-时，1:3310l x y -++=，2:10l x y -+=平行.故选：B.【点睛】本题考查了由直线平行关系求参数，注意代入检验，属于基础题.7．已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中生需抽取30名学生，则抽取的学生总人数为( )A ．40B ．60C ．90D ．120【答案】B 【解析】由题意，利用分层抽样的定义和方法，求出抽取的学生总人数.【详解】高中生所占的比例为720019600720048003=++，设抽取的学生总人数为x ，则2013x =，解得60x =. 故选：B.【点睛】本题考查分层抽样的定义，属于基础题.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:3,(2,)O x y T m +=，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且2AB MT =，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,0]B ．2]C ．[2,2]D ．(2,2)- 【答案】C【解析】本题的实质是圆O 上存在,A B 两点，使90ATB ∠=︒.若TA ，TB 为切线，则可求得6OT =过T 向圆引的两条切线的夹角不小于90︒时，6OT ≤进而求得答案.【详解】 M Q 为AB 的中点，且2AB MT =，TAB ∴V 为直角三角形，90ATB ∠=︒，若TA ，TB 为切线，且90ATB ∠=︒，则45OTB ∠=︒，在Rt OBT V 中，45OTB ∠=︒，90OBT ∠=︒，3OB =，则6OT =∴过点T 向圆引的两条切线的夹角不小于90︒时，满足题意，则圆心(0,0)O 到(2,)T m 6，即2226OT m =+…，解得22m -剟.故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了转化的思想，难度较大.二、多选题9．对于实数,,a b c ，下列说法正确的是( )A ．若0a b >>，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则2ab a <D ．若c a b >>，则a b c a c b>-- 【答案】ABC 【解析】根据不等式的基本性质对各项依次进行判断，即可选出正确答案.【详解】A.在0a b >>三边同时除以ab 得110b a>>，故A 正确； B.由a b >及2c ≥0得22ac bc ≥，故B 正确；C.由0a b >>知a b >且0a >，则2a ab >，故C 正确；D.若1,2,3c a b =-=-=-，则2a c a =--，32b c b =--， 322-<-，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查了不等关系与不等式、不等式的性质，属于基础题.10．有甲、乙两种套餐供学生选择，记事件A 为“只选甲套餐”，事件B 为“至少选一种套餐”，事件C 为“至多选一种套餐”，事件D 为“不选甲套餐”，事件E 为“一种套餐也不选”.下列说法错误的是( )A ．A 与C 是互斥事件B ．B 与E 是互斥事件，且是对立事件C ．B 与C 不是互斥事件D ．C 与E 是互斥事件【答案】AD【解析】根据互斥事件和对立事件的概念，将每个事件的基本事件列出来，对照即可判断.【详解】事件A 为“只选甲套餐”；事件B 为“至少选一种套餐”，包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种套餐都选；事件C 为“至多选一种套餐”，包括选甲套餐，选乙套餐，甲乙两种都不选；事件D 为“不选甲套餐”，包括选乙套餐，甲乙两种都不选；事件E 为“一种套餐也不选”.A.事件A 与C 既不互斥也不对立，故A 错误；B.事件B 与E 是互斥事件，且是对立事件，故B 正确；C.事件B 与C 不互斥，故C 正确；D.事件C 与E 不互斥，故D 错误.故选：AD.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题. 11．设正实数mn 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( )A ．12m n +B 的最大值为12C 2D ．22m n +的最小值为2【答案】ABD 【解析】利用基本不等式，逐一判断个选项，即可.【详解】A. 正实数mn 、满足2m n += 1211212()()(3)22n m m n m n m n m n∴+=++=++12322(32)22n m m n +≥+⋅= 当且仅当2n m m n=时，等号成立，故A 正确； B.由2m n +=且0,0m n >>得12m n mn +≤=，当且仅当1m n ==时，等号成立，则122mn ≤，故B 正确； C. 由2m n +=且0,0m n >>得22()()2m n +=，222()2[()()]4m n m n ∴+≤+=则2m n +≤ ，故C 错误；D.222()22m n m n ++≥=，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，化“1”求最值，考查了转化的思想，属于中档题.12．如图()()()()2,0,1,11,12,0A B C D --,,，»CD是以OD 为直径的圆上一段圆弧，»CB是以BC 为直径的圆上一段圆弧，»BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω.则下面说法正确的是( )A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32π B ．»CB与»BA 的公切线方程为：12=0x y +- C ．»AB 所在圆与»CB所在圆的交点弦方程为：0x y -= D ．用直线y x =截»CD所在的圆，所得的弦长为22【答案】BC【解析】由题知曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个四分之一圆，求面积和，可判断A ；设»CB与»BA 的公切线方程，由直线与圆相切的条件，列方程组，可求得直线方程，即可判断B ；由两圆方程联立相减，则可求出»AB 所在圆与»CB所在圆的交点弦方程，可判断C ；由弦长公式求出弦长，可判断D.【详解】各段圆弧所在圆方程分别为：»CD：22(1)1x y ++=，»CB ：22(1)1y x +-=， »BA：22(1)1x y -+= 曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个14圆，面积为22224πππ++⨯=+，故选项A 错误；设»CB与»BA 的公切线方程为：(0,0)y kx b k b =+<>，则221111b k b k k -++==++，解得1,12k b =-=+，所以»CB与»BA 的公切线方程为：12y x =-++，即120x y +--=，故选项B 正确；由22(1)1y x +-=及22(1)1x y -+=两式相减得： 0x y -=即为交点弦所在直线方程，故选项C 正确；»CD所在圆的方程为22(1)1x y ++=，圆心为(1,0)-，圆心到直线y x =的距离为1222d -==，则弦长为2221()22-=，故选项D 错误. 故选：BC.【点睛】本题考查圆的方程的运用，直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力，综合性较强，运算较繁杂..三、填空题13．若tan()64πα+=-，则tan α=_____________. 【答案】75 【解析】根据两角和的正切公式，列出方程，即可解得tan α.【详解】tan 1tan()641tan πααα++==--Q ， 7tan 5α∴=. 故答案为：75. 【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了方程的思想，属于基础题.14．已知变量,x y 线性相关，由观测数据算得样本的平均数=4=5x y ，，线性回归方程ˆ=ybx a +中的系数,b a 满足4b a +=，则线性回归方程为___________. 【答案】111ˆ33y x =+ 【解析】根据回归直线过样本点的中心，可列出方程组，即可解得,a b 的值，从而写出回归直线方程.【详解】由题知，点(4,5)在回归直线上，则45b a +=，又4b a +=，所以111,33a b ==，即回归直线方程为：111ˆ33y x =+. 故答案为：111ˆ33y x =+. 【点睛】本题考查了回归直线过样本点中心这一特征，考查了方程的思想，属于基础题. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 满足222s sin sin si i si n n n A B A B C -=，则11tan tan A B-=_________.【答案】2-【解析】先根据正弦定理化角为边，转化为22abc a b R-=，再利用余弦定理，得22(cos cos )a b c a B b A -=-.则可求得(cos cos )abc c a B b A R=-，又利用正弦定理化为2sin sin sin cos sin cos A B A B B A =-.根据同角三角函数的关系，11cos sin sin cos tan tan sin sin A B A B A B A B--=，则可求值. 【详解】222s sin sin si i si n n n A B A B C -=，设外接圆半径为R ，则由正弦定理得：22abc a b R-=，又由余弦定理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-则22222(cos cos )a b b a c b A a B -=--- 22(cos cos )a b c a B b A -=-，所以(cos cos )abc c a B b A R =-，即cos cos ab a B b A R=- 又由正弦定理得：2sin sin sin cos sin cos A B A B B A =- 则11cos sin sin cos 2tan tan sin sin A B A B A B A B--==- 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，同角商数关系化切为弦.难度较大.. 16．已知实数,x y 满足:1xy y -=，且01x <<.则122x y +-的最小值是__________.【答案】3【解析】利用1xy y -=，得11y x =-，则12111232x y x x +=+---，将其配凑成基本不等式可应用的式子，求得最小值.【详解】由1xy y -=得11y x =-， 12112111232232x y x x x x∴+=+-=+----121[2(32)]()13232x x x x =+-+-- 12(32)2[3]13232x x x x-=++--1(313≥+-3=，当且仅当2(32)2232x x x x -=-，即32x =-时，等号成立，则122x y +-的最小值是3.. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化和化归的思想，属于较难题.四、解答题17．过点()34M ，作直线l ，当l 的斜率为何值时. （1）直线l 将圆22(1)(2)4x y ++-=平分？（2）直线l 与圆22(1)(2)4x y ++-=相切？【答案】（1）12；（2）0或43【解析】（1）由题知，直线l 过圆心(1,2)-，则结合点()34M ，可以求出l 的斜率；（2）设过点()34M ，的切线方程为4(3)y k x -=-，利用直线与圆相切的几何性质，即圆心到切线的距离等于半径，列出方程，即可解得斜率. 【详解】解：（1）Q 直线l 将圆22(1)(2)4x y ++-=平分，∴直线l 过圆心(1,2)-，又Q 直线l 过点()34M ，， ∴直线l 的斜率为4213(1)2k -==--；（2）设切线l 的方程为：4(3)y k x -=-，即340kx y k --+=，∴圆心(1,2)-到直线的距离2d ==，解得0k =或43. 【点睛】本题考查了直线的斜率公式，直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于基础题. 18．在锐角ABC ∆中，12a =， _______，求ABC ∆的周长l 的取值范围. ①(cos ,sin )22A A a =--r ，(cos ,sin )22A Ab =-r ，且12a b ⋅=-r r ；②(2)cos 0c b A acosC -+=； ③3()cos cos()34f x x x π=-+，5()4f A =. 注：这三个条件中选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①②③均可填入；13,]22【解析】若填①，则由题设条件及二倍角公式计算a b ⋅r r可解得3A π=，则由12a =及正弦定理得sin 3b B =，2sin()33c B π=-，计算化简得周长1sin()26a b c B π++=++.根据锐角三角形条件可得(,)122B ππ∈，结合三角函数的性质，可求得周长的范围.若填②，则根据正弦定理化简该式，可得1cos 2A =即3A π=，后续解答同①.若填③，则根据恒等变换求得3A π=，后续解答同①.【详解】解：填①，由221cossin cos 222A A a b A ⋅=-+=-=-r r ，即1cos 2A =，又(0,)A π∈Q ，3A π∴=，由正弦定理有sin sin sin 3b c a B C A ===2,sin()3b Bc B π∴==-，则ABC V 的周长12sin()2333a b c B B π++=++-11sin )22B B B =+11cos 22B B =+ 1sin()26B π=++，由锐角三角形知2(0,),(0,)232B B πππ∈-∈，则(,)62B ππ∈，2(,)633B πππ∴+∈，sin()6B π+∈故周长3]2a b c ++∈；若填入②(2)cos 0c b A acosC -+=，由正弦定理可得(sin 2sin )cos sin cos 0C B A A C -+=，则2sin cos sin()sin B A A C B =+=，sin 0B >Q ，1cos 2A ∴=，后续解答同填入①；若填入③3()cos cos()34f x x x π=-+，13cos (cos )24x x x =++213cos cos 224x x x =++13(1cos 2)sin 2444x x =+++ 1sin(2)126x π=++，又15()sin(2)1264f A A π=++=，1sin()62A π∴+=，(0,)2A π∈Q ，72(,)666A πππ∴+∈，则5266A ππ+=，即3A π=，后续解答同填入①. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，三角恒等变换，三角函数的性质以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了转化的思想和运算能力，属于中档题.19．平面四边形ABCD ，点,,A B C 均在半径为2的圆上，且6BAC π∠=.（1）求BC 的长；（2）若3BD =，2DBC BCD ∠=∠，求BCD ∆的面积. 【答案】（1）2；（2）352【解析】（1）设外接圆半径为R ，则由正弦定理可求得2sin BC R BAC =∠；（2）由2DBC BCD ∠=∠及正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，再根据余弦定理求得215CD =，1cos 6CBD ∠=-，35sin CBD ∠=，从而计算三角形的面积1sin 2BCD S BC BD CBD =⋅⋅∠V . 【详解】解：（1）设外接圆半径为2R =，在ABC V 中，6BAC π∠=，由正弦定理得12sin 422BC R BAC =∠=⨯=，即2BC =；（2）在BCD V 中，2DBC BCD ∠=∠Q ，sin sin 22sin cos DBC BCD BCD BCD ∴∠=∠=∠∠则由正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，又由余弦定理知222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅，222()BD BC CD BD CD BC CD+-∴=⋅，又2BC =，3BD =，解得215CD =，由余弦定理2222232151cos 22326BD BC CD CBD BD BC +-+-∠===-⋅⨯⨯，则35sin 6CBD ∠=， BCD ∴△的面积135sin 2BCD S BC BD CBD =⋅⋅∠=V . 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题.20．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中0.4a b =.（1）求直方图中,a b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由.【答案】（1）0.15a =，0.06b =；4.07（2）35.2万；（3） 5.8x =【解析】（1）由频率之和为1以及0.4a b =列方程组求得,a b 的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数；（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；（3）由频率分布直方图计算频率，可判断56x <<，再根据频率列出方程，求出x 的值.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =，该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.156.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.040.080.12+=，则月均用水量不低于2吨的频率为：10.120.88-=，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400.8835.2⨯=（万）；（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x （吨），56x <<，0.730.15(5)0.85x ∴+-= ，解得 5.8x =，即标准为5.8吨. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，求平均数，计算频率，总体百分位数的估计，考查了数据处理能力和运算能力，属于中档题.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y ++++=及其上一点(2,4)A --.（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线7y =-上，求圆N 的方程；（2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且1=5BC OA ，求直线l 的方程；（3）设点()0,T t 满足：存在圆M 上的两点,P Q ，使得TQ TP TA -=u u u r u u r u u r，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2211()(7)24x y ++-=；（2）2200x y +++=或2200x y ++-=；（3）[44---+ 【解析】（1）设出圆的标准方程222:()(7)(0)N x a y r r -++=>，由两圆外切，列出方程65a r +=+.再由圆N 与y 轴相切，得a r =，联立解出,a r ，进而写出圆的方程；（2）先求出OA 的斜率以及OA ，则可设直线:20l x y m ++=，利用直线与圆的相交的弦长公式列方程，解出m 的值，从而写出l 的方程；（3）利用向量的运算，将TQ TP TA -=u u u r u u r u u r 化为PQ TA =u u u r u u r.因,P Q 为圆上的两点，则10PQ ≤u u u r ，即10TA ≤u u r.利用两点间的距离公式，列出不等式，即可解得t 的取值范围.【详解】解：（1）因为圆N 的圆心N 在直线7y =-上，所以设圆222:()(7)(0)N x a y r r -++=> 又圆M 的标准方程为22(6)(7)25x y +++=，圆M 与N 外切，则圆心距65a r +=+①，又因为圆N 与y 轴相切，则a r =②，联立①②解得，11,22a r =-=，则所求圆N 的方程为2211()(7)24x y +++=；（2）422OA k -==-Q，OA == 又直线l OA ⊥，则可设直线:20l x y m ++=，圆心(6,7)--到直线l的距离d ==，∴弦长BC =15BC OA ==，2(20)12555m -∴-=，即2402760m m -+=，解得20m =±:2200l x y ∴+++=或2200x y ++-=；（3）由TQ TP TA -=u u u r u u r u u r 可得PQ TA =u u u r u u r，,P Q Q 为圆上的两点，10PQ ∴≤u u u r ，即10TA ≤u u r，又(0,),(2,4)T t A --Q ，10≤，即28800t t +-≤，44t ∴--≤-+即t 的取值范围为[44---+. 【点睛】本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，弦长公式，两点间的距离公式，考查了转化思想和运算能力.难度较大. 22．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值. 【答案】（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ==【解析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值；（3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】解：（1）4tan 3α=Q ，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==-- 则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()5f αβαβ+=+=-，,αβ为锐角，sin()5αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-；（2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，Q 2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立，令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又Q 函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-；（3）3()()()2f f f αβαβ+-+=，即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ，cos cos()22αβαβα+-=+Qcoscossin sin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-Q ， 232cos cos 2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=，则24cos4cos cos 10222αβαβαβ++--+=， 22(2cos cos )1cos 0222αβαβαβ+---+-=，即22(2cos cos )sin 0222αβαβαβ+---+=， 2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<Q ，0βπ<<，3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题.。

无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题(原卷+解析)

江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知12iz i-=，则在复平面内z 对应的点的坐标为（）A.()1,2-- B.()1,2- C.()2,1- D.()2,1--2.如图，A O B '''V 为水平放置的AOB 斜二测画法的直观图，且3,42''''==O A O B ，则AOB 的周长为（）A.9B.10C.11D.123.若向量a ，b 满足||1a = ，||b = ，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（）A.2π B.23π C.34π D.56π4.在ABC 中，a =3b =，6A π=，则此三角形（）A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定5.已知复数z 满足4z z ⋅=，且||0z z z ++=，则2022z 的值为（）A.1B.20222 C.1- D.20222-6.高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a ，下底面直径为18a ，母线长为13a ，则该篮球的表面积为（）A.2154a π B.26163a π C.2308a π D.2616a π7.在ABC 中，角A B C ､､所对应的边分别为,1c b a b c a b a c+=++､､，则B C +=（）A.3πB.23π C.6π D.4π8.在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠= ，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（）A.34B.53C.73D.83二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列叙述错误的是（）A.已知直线l 和平面α，若点∈A l ，点B l ∈且,A B αα∈∈，则l α⊂B.若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面C.若直线1l 和2l 不平行，且12,,l l l αβαβ⊂⊂= ，则l 至少与12,l l 中的一条相交D.若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则α内的所有直线与l 都不相交10.向量(cos ,sin )aθθ=，b = ，则2a b - 的值可以是（）A.2B. C.4D.11.已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.若120z z +=，则12=z zB.若1211z z +=+，则12=z zC.2211z z = D.若312z z z =，则312z z z =12.在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，22a b bc =+，则（）A.22sin sin sin sin A B B C -=B.(12cos )b c A =+C.2A B= D.ABC 不可能为锐角三角形三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若31bia bi i+=+-(,a b 为实数，i 为虚数单位)，则a b +=________.14.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.15.在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24a cb C ==-，.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.16.如图，在ABC 中，AB a = ，AC b =，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，且2AE EB = .若BP xa yb =+ ，则x y +=___________；若3AB =，4AC =，π3BAC ∠=，则BP ED ⋅=___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数()()2281543i,z m m m m m R =-++-+∈.（1）若z 是实数，求实数m 的值；（2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面1,2PAD BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：AD //平面PBC （2）求证：CE //平面PAB .19.已知向量(cos ,sin )a b αα==，设()R m a tb t =+∈ .（1）3πα=，求当||m 取最小值时实数t 的值；（2）若a b ⊥ ，问：是否存在实数t ，使得向量a b - 与向量m 的夹角为4π？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由.20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11B D 上的一个动点，E ，F 分别是,BC CM 的中点.（1）设G 为棱CD 上的一点，问：当G 在什么位置时，平面GEF 平面11BDD B ？（2）设三棱锥C BDF -的体积为1V ，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为2V ，求12V V .21.北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD 休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道,2AC D B ∠∠=，且1,3,cos 3AD CD B ===.（1）求氢能源环保电动步道AC 的长；（2）若___________；求花卉种植区域总面积.从①3BCA π∠=，②=BC 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.22.在ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，且2AO OC =，R 为BO 和CP 的交点，设,AB a AC b ==.（1）试用,a b表示AR ；（2）若H 在边BC 上，且RH BC ⊥，设||2||1,a b θ== ，为,a b 的夹角，若2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求||||CH CB的取值范围.江苏省天一中学2021-2022学年春学期期中考试高一数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知12iz i-=，则在复平面内z 对应的点的坐标为（）A.()1,2-- B.()1,2- C.()2,1- D.()2,1--【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简为复数的标准形式，得到对应点的坐标，进而判定.【详解】()212122i ii z i i i--===--，则z 对应的点为()2,1--，故选:D ．2.如图，A OB '''V 为水平放置的AOB 斜二测画法的直观图，且3,42''''==O A O B ，则AOB 的周长为（）A.9B.10C.11D.12【答案】D 【解析】【分析】由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解.【详解】由直观图可得，在OAB 中，23,4OAO A OB O B '''='===，且OA OB ⊥，所以5AB ==，所以OAB 的周长为34512++=.故选：D.3.若向量a ，b 满足||1a = ，||b = ，且()a b a +⊥ ，则a 与b 的夹角为（）A.2πB.23π C.34π D.56π【答案】C 【解析】【分析】由()ab a +⊥，得()0a b a += ，即20a a b += ，再由||1a =，||b =，可得cos ,2a b <>=-，根据,[0,]a b π<>∈可得答案．【详解】解：()a b a +⊥，()0a b a ∴+= ，即20a a b +=，又||1a =，||b =，11cos ,0a b ∴+<>=，得cos ,2a b <>=- ，而,[0,]a b π<>∈ ，43,a b π∴<>=，故选：C ．4.在ABC中，a =3b =，6A π=，则此三角形（）A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出sin B 的值，再根据所求值及a 与b 的大小关系即可判断作答.【详解】在ABC中，a =3b =，6A π=，由正弦定理得3sinsin sin 12b AB aπ===<，而A 为锐角，且a b <，则3B π=或23B π=，所以ABC 有两解．故选：C5.已知复数z 满足4z z ⋅=，且||0z z z +=，则2022z 的值为（）A .1B.20222 C.1- D.20222-【答案】B 【解析】【分析】先设出复数()i ,z a b a b =+∈R ，由4z z ⋅=，||0z z z +=求出,a b ，再求得38z =，即可求解.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i ,z a b a b =-∈R ，()22i 4i ()a b a b z z a b +-=+⋅==，i ||20i z z a b a b a z +++++-=+=，解得1,a b =-=±，则1z =-±，又()()()()()3231112182-+=-+-+=---+==，()()()()()3231112182--=----=-+--==，故()()674674332022202222z z ===.故选：B.6.高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a ，下底面直径为18a ，母线长为13a ，则该篮球的表面积为（）A.2154a π B.26163a π C.2308a π D.2616a π【答案】D 【解析】【分析】先画出球与垃圾篓组合体的轴截面图，然后根据题意求出垃圾篓的高，从而可求出球心到上底面的距离，进而可求出球的半径，于是可求得球的表面积【详解】球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示.根据题意，得垃圾篓的高为h =.所以球心到上底面的距离为.设篮球的半径为r ，则()22221012154ra a a =+=.故篮球的表面积为224616r a ππ=.故选：D.7.在ABC 中，角A B C ､､所对应的边分别为,1c b a b c a b a c+=++､､，则B C +=（）A.3π B.23π C.6π D.4π【答案】B 【解析】【分析】化简所给的条件，用余弦定理即可.【详解】由1,c ba b a c+=++()()221ac c ab b a b a c +++=++，得222a b c bc=+-，由余弦定理得，2222cos a b c bc A=+-，∴1cos,23A A π==，23BC π+=；故选：B.8.在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠= ，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（）A.34B.53C.73D.83【答案】C 【解析】【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅= ，同理得出212AM AC AC ⋅= ，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅= ，同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29m =，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列叙述错误的是（）A.已知直线l 和平面α，若点∈A l ，点B l ∈且,A B αα∈∈，则l α⊂B.若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面C.若直线1l 和2l 不平行，且12,,l l l αβαβ⊂⊂= ，则l 至少与12,l l 中的一条相交D.若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则α内的所有直线与l 都不相交【答案】BD 【解析】【分析】由点线面的位置关系及相关定理依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，若一条直线上两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，正确；对于B ，若三条直线相交于一点，则三条直线能确定一个平面或三个平面，错误；对于C ，若l 与12,l l 均不相交，则l 与12,l l 均平行，可得12,l l 平行，与直线1l 和2l 不平行矛盾，则l 至少与12,l l 中的一条相交，正确；对于D ，若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则直线l 与平面α相交，设交点为A ，则平面α中所有过点A 的直线均与直线l 相交，错误.故选：BD.10.向量(cos ,sin )aθθ=，b = ，则2a b- 的值可以是（）A.2B.C.4D.【答案】ABC 【解析】【分析】利用公式表达出2a b- ，利用三角函数恒等变换，求出2a b- 的范围，进而求出结果.【详解】())()22cos ,2sin 2cos 2sin 1ab θθθθ-=-=--，所以2a b -=== ，因为[]πsin 1,13θ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π88sin 0,163θ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，[]20,4a b -∈ ，显然ABC 均满足题意.故选：ABC11.已知复数123,,z z z ，1z是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.若120z z +=，则12=z z B.若1211z z +=+，则12=z z C.2211z z = D.若312z z z =，则312z z z =【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解．【详解】解：选项A ：若120z z +=，则12z z =-，所以122||||||z z z =-=，故A 正确，选项B ：设124i z =+，24z =，则12|1||34i |5|1||5|5z z +=+==+==，但是12||||4z z ==≠=，故B 错误，选项C ：设1i(,R)z x y x y =+∈，则()22212i 2i z x y x y xy =+=-+，1||z =，所以2221||z x y =+，故2211≠z z ，故C 错误；选项D ：设1i z x y =+，2i(z a b x =-，y ，a ，R)b ∈，则12(i)(i)()()i z z x y a b ax by ay bx =+-=++-，则12||z z ==12||||z z =312||||z z z =，故D 正确，故选：AD ．12.在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，22a b bc =+，则（）A.22sin sin sin sin A B B C-= B.(12cos )b c A =+C.2A B= D.ABC 不可能为锐角三角形【答案】AC 【解析】【分析】由正弦定理即可判断A 选项；由余弦定理即可判断B 选项；由B 选项得(12cos )b A c +=，再结合正弦定理及三角恒等变换即可判断C 选项；取特殊值说明存在锐角三角形即可判断D 选项.【详解】对于A ，由正弦定理可得22sin sin sin sin A B B C =+，即22sin sin sin sin A B B C -=，故A 正确；对于B ，2222222(12cos )121222b c a b c b bc c c A c c bbc bc b⎛⎫⎛⎫+-+--+=+⋅=+⋅=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，由上知：2(12cos )c c A b+=，即(12cos )b A c +=，结合正弦定理可得()sin (12cos )sin sin sin()B A C A B A B π+==-+=+⎡⎤⎣⎦，整理得sin()sin A B B -=，则A B B -=或A B B π-+=，即2A B =或A π=（舍），故C 正确；对于D ，222222cos 222b c a b c b bc c b A bc bc b+-+---===，取2,3a b c ===，满足22a b bc =+，此时角A 最大，且1cos 04A =>，即A 为锐角，即ABC 为锐角三角形，故D 错误.故选：AC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若31bia bi i+=+-(,a b 为实数，i 为虚数单位)，则a b +=________.【答案】3【解析】【详解】因为31bia bi i+=+-，所以()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,{,a b b a b +=-=解得0,{3,a b ==所以3a b +=.【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查.14.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为___________.【答案】81【解析】【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP ′，由余弦定理求出2cos =3P OP π'∠，求出底面圆的半径r ，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：(222222441cos =22442OP OP PP P OP OP OP +-''+-'∠==-'⨯⨯ ∴2cos =3P OP π'∠.设底面圆的半径为r ,则有2243r ππ= ,解得43r =,所以这个圆锥的高为3h =，则这个圆锥的体积为2111163339381VSh r h ππ===⨯⨯=.故答案为：81.【点睛】立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.15.在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24a cb C ==-，.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.【答案】3⎛⎝【解析】【分析】根据题意和余弦定理，求得224a c ac =+-，再结合余弦定理求得1cos 2B =，再由正弦定理可得a A =，c C =，化简84sin 2363ac A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据ABC 是锐角三角形求得62A ππ<<，得到1sin 2,162A π骣纟琪ú-Î琪琪ú桫û，即8,43ac ⎛⎤∈⎥⎝⎦，结合面积公式，即可求解.【详解】由余弦定理可得224cos 424a c a c C a +-==-，整理得224a c ac =+-，又由2241cos 22a c B ac +-==，因为()0,B π∈，所以3B π=．由正弦定理可知：sin b B ==，所以aA =，c C =，故16162161sin sin sin sin sin cos sin 333322acA C A A A A A π⎛⎫⎛⎫=⋅=-=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2881184cos sin sin 2cos 2sin 233222363A A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，022032A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62A ππ<<，可得52,666A πππ骣琪-Î琪琪桫，所以1sin 2,162A π骣纟琪ú-Î琪琪ú桫û，故8,43ac ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又由ABC的面积1sin 234Sac π==，所以3S ⎛∈ ⎝．故答案为：3⎛⎝16.如图，在ABC 中，AB a = ，AC b =，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，且2AE EB = .若BP xa yb =+ ，则x y +=___________；若3AB =，4AC =，π3BAC ∠=，则BP ED ⋅= ___________.【答案】①.13-②.43【解析】【分析】利用平面向量基本定理求解出2133BP a b =-+ 及1162ED a b =-+，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算.【详解】连接DF，因为D ，F 分别为BC ，AC 的中点，所以DF 是△ABC 的中位线，所以12DF PD AB AP ==，则()2212133233BP BA AP AB AD AB AB AC a b =+=-+=-+⨯+=-+ ，所以21,33x y =-=，所以13x y +=-；()21113262ED EA AD AB AB AC a b =+=-++=-+ ，故2221111717π81cos 336291861833BP ED a b a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-+=-⋅+=-⋅+⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 718413418233=-⨯⨯⨯+=故答案为：13-，43四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数()()2281543i,z m m m m m R=-++-+∈.（1）若z 是实数，求实数m 的值；（2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值.【答案】（1）1m =或3；（2）5m =；（3）3m =.【解析】【分析】（1）结合z 是实数，得到2430m m -+=，解之即可求出结果；（2）结合z 是纯虚数，得到228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解之即可求出结果；（3）先求出复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，根据z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，得到2281543m m m m -+=-+，解之即可求出结果.【详解】（1）因为z 是实数，所以2430m m -+=，解得1m =或3；（2）因为z 是纯虚数，所以228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得5m =；（3）复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，又因为z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，所以2281543m m m m -+=-+，解得3m =.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC平面1,2PAD BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：AD //平面PBC（2）求证：CE //平面PAB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可证得AD //BC ，进而证得AD //平面PBC ；（2）取PA 中点F ，先证四边形BCEF 为平行四边形，进而证得CE //BF ，即可证得CE //平面PAB .【小问1详解】因为BC //平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以AD //BC ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，则AD //平面PBC ；【小问2详解】取PA 中点F ，连接,EF BF ，易得EF //AD ，且12EF AD =，由（1）知AD //BC 且12BC AD =，则EF //BC 且EF BC =，则四边形BCEF 为平行四边形，则CE //BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，则CE //平面PAB .19.已知向量3),(cos ,sin )a b αα== ，设()R m a tb t =+∈ .（1）3πα=，求当||m 取最小值时实数t 的值；（2）若ab ⊥，问：是否存在实数t ，使得向量a b - 与向量m 的夹角为4π？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t=-时min ||0m =（2）6t =-或23t =【解析】【分析】（1）首先求出b ，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到m ，最后求出m的模；（2）根据数量积的运算律求出||ab -，||a tb + ，()()a b a tb-⋅+ ，再根据()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+ 得到方程，解得即可；【小问1详解】解：当3πα=时，13cos ,sin =2323b ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，所以(((133=3+,331322222t t t m a tb t ⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2||1222t m t⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以当2t=-时min ||0m =【小问2详解】解：依题意()()cos 4a b a tb a b a tbπ-⋅+=-+ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅= ，又3)a = ，(cos ,sin )b αα= ，所以()22132a =+=，22cos sin 1b αα=+= 又因为2222241522a b a a b b a a b b -=⋅+==--⋅++= ，22222222242a tb a a b t b a a b t b t t t +=⋅+=⋅+=+++所以||a b -=，||a tb += ，()()22224a b a tb a ta b a b tb a t b t -⋅+=+⋅-⋅-=-=- ，2=，且4t <，整理得2316120t t +-=，解得6t =-或23t =，所以存在6t =-或23t =满足条件．20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11B D 上的一个动点，E ，F 分别是,BC CM的中点.（1）设G 为棱CD 上的一点，问：当G 在什么位置时，平面GEF平面11BDD B ？（2）设三棱锥CBDF -的体积为1V ，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为2V ，求12V V .【答案】（1）G 为CD 中点时，平面GEF平面11BDD B ；（2）112【解析】【分析】（1）G 为CD 中点时，先证EF平面11BDD B ，再证GE平面11BDD B ，即可证得平面GEF平面11BDD B ；（2）由12C BDFF BDC M BDC VV V ---==，结合11B D平面BCD 得1216M BDC B BDC V V V --==即可求得12112V =.【小问1详解】G 为CD 中点时，平面GEF平面11BDD B ，理由如下：连接BM ，取CD 的中点G ，连接,EG FG ，因为E ，F 分别是,BC CM的中点，则EFBM ，EF ⊄平面11BDD B ，BM ⊂平面11BDD B ，则EF平面11BDD B ，同理可得GEBD ，GE ⊄平面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ，则GE平面11BDD B ，又GEEF E ⋂=，,GE EF ⊂平面GEF ，则平面GEF平面11BDD B ；【小问2详解】由F 是CM 的中点得12C BDFF BDC M BDC V V V ---==，又11B D BD ，BD ⊂平面BCD ，11B D ⊄平面BCD ，则11B D平面BCD ，又点M 是线段11B D 上的一个动点，则111111211112236ABCD A B B C M BDCB B A D DC BCD VV V V V ----===⨯=，则1221112612V=⨯=，则12112V V =.21.北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD 休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道,2AC D B ∠∠=，且1,3,cos 3AD CD B ===.（1）求氢能源环保电动步道AC 的长；（2）若___________；求花卉种植区域总面积.从①3BCAπ∠=，②=BC 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用二倍角公式求出cos D ，利用余弦定可求AC 的长；（2）选①：由正弦定理可求得2AB =，利用两角和的正弦公式可求得sin BAC ∠，可分别求得ABC S ，ADC S △，从而可求花卉种植区域总面积．选②：利用余弦定理求出AB =，利用面积公式可求得ABC S ，ADC S △，从而可求花卉种植区域总面积．【小问1详解】解：cos 3B =．2D B ∠=∠，21cos cos 22cos 13D B B ∴==-=-，1AD = ，3CD =，∴由余弦定理得22212cos 196(123AC AD CD AD CD D =+-⋅=+-⨯-=，0AC >，∴=AC 【小问2详解】解：若选①：3BCA π∠=，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB AC ACB B =∠，cos 3B =．sin 3B ∴=，由（1）知AC =23=2AB =，13sin sin()sin cos cos sin 32326BAC B ACB B ACB B ACB +∠=∠+∠=∠+∠=⨯+⨯=，11369sin 22264ABC S AB AC BAC +∴=⨯⋅∠=⨯ ，1cos 3D =-，sin 3D ∴==，故11sin 13223ADCSAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ，∴花卉种植区域总面积为44+=．若选②：=BC ABC中，由余弦定理得2cos 3B ==，解得AB =AB =（舍去），cos 3B =．sin 3B ∴=，11sin 223ABC S AB BC B ∴=⨯⋅=⨯= 1cos 3D =-，sin D ∴==，故11sin 13223ADCSAD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ，∴花卉种植区域总面积为=22.在ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，且2AO OC =，R 为BO 和CP 的交点，设,AB a AC b ==.（1）试用,a b表示AR ；（2）若H 在边BC 上，且RH BC ⊥，设||2||1,a b θ== ，为,a b 的夹角，若2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求||||CH CB的取值范围.【答案】（1）1142AR a b =+；（2）19,428⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】21【分析】（1）由点共线可得PR PC λ= ，BR BO μ= ，结合线性运算可得12AR a b λλ-=+ ，()213AR a b μμ=-+ ，由平面向量基本定理得方程组解出,λμ，即可求解；（2）由（1）及题设可得1124RC b a =- ，()()CH kCB k AB AC k a b ==-=-，再由RH BC ⊥可得cos θ关于k 的表达式，结合2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即可求出k 的范围，即可求解.【小问1详解】由,,P R C 三点共线可得，存在实数λ使PR PC λ= ，即()AR AP AC AP λ-=- ，整理得()112AR AP AC a b λλλλ-=-+=+ ；又由,,B R O 三点共线可得，存在实数μ使BR BO μ= ，即()AR AB AO AB μ-=- ，整理得()()2113AR AB AO a b μμμμ=-+=-+ ；由平面向量基本定理得11223λμμλ-⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12λ=，则1142AR a b =+ ；【小问2详解】由（1）知：12PR PC = ，则()111111222224RC PC AC AP AC AB b a ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭ ，由,CH CB共线，设,0CH kCB k => ，则()()CH kCB k AB AC k a b ==-=- ，又RH BC ⊥，有()()()()11024R R b H BC RC CH BC C CH AC B a ka k A b b a ⋅-⎛⎫-+⎝=+⋅=-+⋅-⋅= ⎪=⎭ ，又||2||1a b == ，，则335(2)024k k a b -++-⋅= ，即3352(2024k k θ-++-=，可得352cos 342k k θ-=-，由2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，即3511232242k k --≤≤-，解得19428k ≤≤，故||||CH CB 的取值范围为19,428⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中考试数学(平行班)试题(解析版)

2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中考试数学（平行班）试题一、填空题1．已知集合{}{}2,3,4,3,5A B ==,则A B =_____.【答案】{3}【解析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A ＝{2，3，4}，B ＝{3，5}； ∴A ∩B ＝{3}．故答案为：{3}．【点睛】考查列举法的定义以及交集的运算，属于基础题.2．在极坐标系中，点2,2A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线(cos )6ρθθ=的距离为_____.【答案】【解析】把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A 到直线的距离．【详解】解：点A （2，2π）的直角坐标为（0，2），直线ρ（sinθ）＝6的直角坐标方程为 x y ﹣6＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A （2，2π）到直线ρ（）＝6的距离为故答案为【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．【答案】3m >【解析】由题，“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则(),m +∞是()3,+∞的真子集，可得答案. 【详解】因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >，故答案为3m >. 【点睛】本题考查了不要不充分条件，属于基础题.4．函数()2f x log x =在点()A 2,1处切线的斜率为______ 【答案】12ln2【解析】求得函数的导数()1'ln2f x x =，计算得()1'22ln2f =，即可得到切线的斜率．【详解】由题意，函数()2log f x x =，则()1'ln2f x x =，所以()1'22ln2f =，即切线的斜率为12ln2，故答案为：12ln2．【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____. 【答案】710【解析】基本事件总数n ＝25C ＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m ＝211223C C C +＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【详解】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，基本事件总数n ＝25C ＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m ＝211223C C C +＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p ＝710m n =．故答案为：710．【点睛】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．将函数()sin(2)f x x π=+的图象向右平移4π个单位后,得到函数()g x 的图象，则()4g π的值是____. 【答案】0【解析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得g （x ）的解析式，再代入4π后可得g （4π）的值．【详解】解：将函数f （x ）＝sin （2x +π）的图象向右平移4π个单位后，得到函数g （x ）＝sin[2（x ﹣4π）+π]＝cos2x 的图象，则g （4π）＝cos （2×4π）＝0，故答案为：0．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象平移变换，属于基础题．7．函数sin y x x =+在[0,]π上的单调减区间为______.【答案】,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先根据两角和与差的公式化简，然后利用正弦函数的单调递减区间可得．【详解】解：∵y ＝2sin （x +3π），由2π+2k π≤x +3π≤32π+2k π，k ∈Z ．得6π+2k π≤x ≤76π+2k π，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴x ∈,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了正弦函数的单调性，考查了三角函数辅助角公式，属中档题． 8．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4x f x =，5()(2019)2f f -+的值是____.【答案】2-【解析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），结合解析式求出f （12）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f （﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x，则f （12）＝124＝2，则f （﹣52）＝﹣f （12）＝﹣2；则5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2；故答案为：﹣2 【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．9．己知矩阵1106,0114A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，若矩阵C 满足AC B =，则矩阵C 的所有特征值之和为____.【答案】5【解析】本题根据矩阵乘法运算解出矩阵C ，再依据特征多项式求出特征值，即可得到所有特征值之和．【详解】解：由题意，可设C ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦•a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝0614⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．即0614a c b d c d +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，解得a 1b 2c 1d 4=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．∴C ＝1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．∵f （λ）＝1214λλ---＝（λ﹣1）（λ﹣4）+2＝λ2﹣5λ+6＝（λ﹣2）（λ﹣3）＝0，∴特征值λ1＝2，λ2＝3． ∴λ1+λ2＝2+3＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查矩阵乘法运算及依据特征多项式求出特征值，本题不难，但有一定综合性．本题属基础题． 10．已知1sin()64x π+=，则 25sin()cos ()63x x ππ-+-的值是_____. 【答案】516【解析】由sin （x +6π）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos 2（x +6π）的值，将所求式子的第一项中的角56x π-变形为π-（x +6π），第二项中的角3x π-变形为2π﹣（x +6π），分别利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【详解】解：∵sin （x +6π）＝14， 25sin()cos ()63x x ππ-+-=2sin cos 626x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =2sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11416+ =516故答案为：516. 【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题.11．已知函数 2(),()4x f x e x g x x bx =-=-+,若对任意1(1,1)x ∈-,存在2(3,4)x ∈,12()()f x g x ≥，则实数b 的取值范围为_____.【答案】[4,)+∞【解析】利用导数求函数f （x ）在（﹣1，1）上的最小值，把对任意x 1∈（﹣1，1），存在x 2∈（3，4），f （x 1）≥g （x 2）转化为g （x ）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．【详解】解：由f （x ）＝e x﹣x ，得f ′（x ）＝e x﹣1，当x ∈（﹣1，0）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增， ∴f （x ）min ＝f （0）＝1．对任意x 1∈（﹣1，1），存在x 2∈（3，4），f （x 1）≥g （x 2），即g （x ）在（3，4）上的最小值小于等于1，函数g （x ）＝x 2﹣bx +4的对称轴为x ＝2b ．当2b≤3，即b ≤6时，g （x ）在（3，4）上单调递增，g （x ）＞g （3）＝13﹣3b ，由13﹣3b ≤1，得b ≥4，∴4≤b ≤6；当2b≥4，即b ≥8时，g （x ）在（3，4）上单调递减，g （x ）＞g （4）＝20﹣4b ，由20﹣4b ≤1，得b ≥194，∴b ≥8；当3＜2b ＜4，即6＜b ＜8时，g （x ）在（3，4）上先减后增，2min ()424b b g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由244b -≤1，解得b -…b ≥∴6＜b ＜8．综上，实数b 的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题．12．已知函数()4log ,04{13,42x x f x x x <≤=-+>，若a b c <<且()()()f a f b f c ==，则()1cab +的取值范围是___________．【答案】()16,64【解析】作出函数()4log ,04{13,42x x f x x x <≤=-+>的图象，如图所示．∵a b c <<时， ()()()f a f b f c ==，∴44log log a b -=，即44log log =0a b +，则4log =0ab ，∴11464a b c <<<<<<，且1ab =，∴()4616212264cc ab =<+=<=，即()1cab +的取值范围是()16,64，故答案为()16,64.13．用长度分别为3,4,5,6cm cm cm cm的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是____2cm.【答案】【解析】在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，利用余弦定理可得S ABCD2+116（（a2+d2﹣b2﹣c2）2＝14（ad+bc）2﹣abcd cos2α≤14（ad+bc）2，设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，代入计算可得所求最大值．【详解】在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，由S ABCD＝S△BAD+S△BCD＝12ad sin A+12bc sin C，①在△ABD中，BD2＝a2+d2﹣2ad cos A，在△BCD中，BD2＝b2+c2﹣2bc cos C，所以有a2+d2﹣b2﹣c2＝2ad cos A﹣2bc cos C，1 4（a2+d2﹣b2﹣c2）＝12ad cos A﹣12bc cos C，②①2+②2可得S ABCD2+116（（a2+d2﹣b2﹣c2）2＝14（a2d2sin2A+b2c2sin2C+2abcd sin A sin C）+14（a2d2cos2A+b2c2cos2C﹣2abcd cos A cos C）＝14[a2d2+b2c2﹣2abcd cos（A+C）]＝14[（ad+bc）2﹣2abcd﹣2abcd cos2α]＝14（ad+bc）2﹣abcd cos2α≤14（ad+bc）2．当α＝90°，即四边形为圆内接四边形，此时cosα＝0，S ABCD由题意可设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6则该平面四边形面积的最大值为S＝（cm2），故答案为：．【点睛】本题考查四边形的面积的最值求法，运用三角形的面积公式和余弦定理，以及化简变形，得到四边形为圆内接四边形时面积取得最大值，是解题的关键，属于难题． 14．在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22cos cos A B +的最大值为______.【答案】12【解析】先由题得222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=，再化简得22cos cos A B +=1)224C π-+，再利用三角函数的图像和性质求出最大值. 【详解】在△ABC 中，有222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=, 所以22cos cos A B +=1+cos 2111sin cos (sin 2cos 2)222C C C C C --=-+=11)2242C π-+≤,当sin(2)=-14C π+即58C π=时取等.故答案为：12【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.解题的关键是三角恒等变换.二、解答题15．（1）求直线:20l x y -+=在矩阵3012M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应变换作用下的直线l 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos()24πθ+=-，求曲线C 与直线l 交点的极坐标(0,0<2)ρθπ≥≤.【答案】（1） 20x y -+=；（2）3,2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭. 【解析】（1）设直线上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 对应变换作用下的点(,)P x y '，然后矩阵的变换列出关系式，代入原直线方程即可求出变换后的直线.（2）将曲线C 和直线方程转化为直角坐标系下的直角坐标方程，求出交点坐标，然后再转化为极坐标即可. 【详解】（1）设直线上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 对应变换作用下的点(,)P x y '则3012x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，所以32x x x y y ''=⎧⎨-+=⎩，解得1311'62x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪. 因为点(,)P x y 在直线上，所以11120362x x y '''⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即3120x y ''-+=，所以变换后的直线l '的方程为3120x y -+=.（2）已知曲线cos :1sin x C y a α=⎧⎨=+⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为：22(1)1y x +-=，直线l 'cos 24π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭θ．转换为直角坐标方程为：20x y -+=.由22(1)120x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩转换为极坐标为32,42ππ⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查矩阵变换公式和点的坐标变换，考查极坐标与直角坐标的互换，属于基础题. 16．甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对,,A B C 三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍,,A B C 的概率分别为311,,423,乙同学购买书籍,,A B C 的概率分别为211,,322,假设甲、乙是否购买,,A B C 三种书籍相互独立. （1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为X ,求X 的概率分布列和数学期望.【答案】（1）18；（2）分布列见解析，56.【解析】（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列. 【详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A ，则3111()4238P A =⨯⨯=. 答：甲同学购买3种书籍的概率为18. （2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为1p ，2p . 则131********42342342312p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2211211111532232232212p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以12p p =，所以5~2,12X B ⎛⎫⎪⎝⎭. 02025749(0)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11125770(1)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2225725(2)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的概率分布为4970255()0121441441446E X =⨯+⨯+⨯=. 答：所求数学期望为56.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ACB π∠=，,D E 分别是1,AB BB 的中点，且AC BC ==12AA =.（1）求直线1BC 与1A D 所成角的大小；（2）求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值.【答案】（1）6π；（2）33．【解析】试题分析：由已知有AC 、BC 、CC 1两两互相垂直，故可分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.然后由已知就可写出所需各点的空间坐标．（1）由此就可写出向量D A BC 11,的坐标，然后再由两向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅<>=求出这两向量的夹角的余弦值，最后转化为对应两直线的夹角大小；只是应该注意两直线的夹角的取值范围是]2,0[π，而两向量的夹角的取值范围是],0[π；所以求出两向量的夹角的余弦值后取绝对值才是两直线的夹角的余弦值；（2）由中点坐标公式可求得点Ｅ的坐标，进而就可写出向量E A 1的坐标，再设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z =,由10CA e CD e ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,就可求出平面CD A 1的一个法向量，从而就可求得这两向量夹角的余弦值，注意直线与平面所成的角的正弦值就等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值．试题解析：解：分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得：(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C , 又 ,D E 分别是1,AB BB 的中点，∴(1,1,0)D ,(0,2,1)E . 3分（1）因为1(0,2,2)BC =-， 1(1,1,2)A D =--，所以111111cos ,22BC A D BC A D BC A D⋅===-⋅， 7分∴直线1BC 与D A 1所成角的大小为6π. 8分（2）设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z =,由100CA e CD e ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得2200x z x y +=⎧⎨+=⎩,∴可取(1,1,1)e =--， 10分又 1(2,2,1)A E =--，所以111cos ,||.||3A E e A E e A E e ⋅===， 13分∴直线E A 1与平面CD A 1所成角的正弦值为33.14分【考点】１．异面直线所成的角；２．直线与平面所成的角．18．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且22cos c a B =，a =（Ⅰ）若c =ABC ∆的面积；（Ⅱ）若ABC ∆c -的取值范围. 【答案】（Ⅰ）ABC S ∆=（Ⅱ）【解析】（I ）运用正弦的和公式，计算A 角大小，结合余弦定理，计算出b ，结合三角形面积计算公式，即可。

河南省天一大联考2020-2021学年高一下学期期中考试理科数学试题

16．在平面四边形中，，，，， .若，则 ______.
三、解答题
17．已知 .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
18．已知向量，，向量 .
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求，夹角的余弦值.
19．如图，半圆的直径，，为半圆弧上的两个三等分点.
（Ⅰ）求向量在向量上的投影；
（1）由题意知，若，则，所以，
又因为，所以，得，所以；
（2）因为，所以，
正弦函数在区间上的单调递增区间为和，
此时即或，得或，
所以在上的递增区间为和 .
22．（Ⅰ）表格见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ） .
【分析】
（Ⅰ）直接根据关键点即可确定；
（Ⅱ）先得到平移后的函数，再将代入得，结合范围即可得解；
（Ⅱ）求 .
20．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周的噪，然后降噪芯片生成与嗓声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.
已知某噪声的声波曲线的振幅为2.且经过点 .
（Ⅰ）求降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式 .
（Ⅱ）试探究是否为定值.若是，求出定值；若不是，说明理由.
21．已知函数 .若函数在区间上的最大值为，最小值为 .
【详解】
解：因为，，所以
因为与垂直，所以，即，解得
故答案为：
14．
【分析】
由，，判断，，根据给定的三角函数值分别计算此角的另一个三角函数值，代入两角差的正弦公式计算结果.
【详解】
解：，，所以，又因为，所以，；
，，则；
.
故答案为： .
15．

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2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试试
卷
必修 2
试卷满分：150分考试时间：120分钟
卷I
一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线x ＝3的倾斜角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．30°
D ．不存在 2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为( )
A ．(2，0）
B ．（0，2）
C ．(-2，0）
D ．（0，-2）
3、已知,a b αα⊂//，则直线a 与直线b 的位置关系是（）
A 、平行；
B 、相交或异面；
C 、异面；
D 、平行或异面。

4.如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（）
5、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（）
A ．30°
B ．45°
C ．90°
D ． 60°
6．直线2x-y ＋4＝0同时过第（）象限
A ．一，二，三
B ．二，三，四
C ．一，二，四
D ．一，三，四
7．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )
A ．2
B ．3
C ．9
D ．－9
8．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A ．3x －y －8＝0
B ．3x ＋y ＋4＝0
C ．3x －y ＋6＝0
D ．3x ＋y ＋2＝0 9．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为
( )
A ．1∶9
B ．1∶27
C ．1∶3
D ．1∶1
10．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )
A ．在圆内
B ．在圆上
C ．在圆外
D ．无法判断 11．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )
12．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
1 D 1 B 1
A 1
M
D
B A
二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上）
13、已知l 1：2x ＋my ＋1＝0与l 2：y ＝3x －1，若两直线平行，则m 的值为________． 14．已知直线5x ＋12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为________． 15、过点（1，2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 16、已知,a b 为直线，,,αβγ为平面，有下列三个命题：（1） a b αβ////,，则a b //；（2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //；（3） ,a b b α⊂//，则a α//；（4） ,a b a α⊥⊥，则b α//；
其中正确命题是。

三、解答题（本大题共6道小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）如下图(2),建造一个容积为3
16m ，深为2m ，宽为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120m 2
/元，池壁的造价为80m 2
/元，求水池的总造价。

18．（本小题满分12分）已知直线2x ＋(t －2)y ＋3－2t ＝0，分别根据下列条件，求t 的值：
(1)过点(1,1)；
(2)直线在y 轴上的截距为－3．
19、（本小题满分12分）求经过M （-1，2），且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x + y + 5 = 0平行；
（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直； 20．（本小题满分12分）求圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程． 21．（本小题满分12分）直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交，截得的弦长为45，求l 的方程．
22、（本小题满分12分）如下图（4），在正方体1111ABCD A B C D -中，（1）求证直线BD 与平面1111D C B A ；（2）求证：面11BB DD ⊥面1AB C （2）求二面角11A B C C --的大小；
图2
图（4）
图（2）
2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试
试卷答案必修2
（非选择题共90分）
一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上） 13、3
2
-
14、 15、3,2+==x y x y 16、（2）。

17、（本小题满分12分）如下图(2),建造一个容积为3
16m ，深为2m ，宽为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120m 2
/元，池壁的造价为80m 2
/元，求水池的总造价。

解：分别设长、宽、高为,,am bm hm ；水池的总造价为y 元
16,2,2V abh h b ====Q ，
4a m ∴=———————————
则有2
428S m =⨯=底————————6分
()2224224S m =⨯+⨯=壁—————9分
12080120880242880y S S =⨯+⨯=⨯+⨯=底壁（元）———————10分
18. (1)过点(1,1) 所以当x=1，y=1时 2+t-2+3-2t=0 t=3
2)直线在y 轴上的截距为-3 所以过点（0，-3） -3(t-2)+3-2t=0 5t=9
t=9/5
19.（本小题满分12分）Q点M（-1，2）
（1）2
-
=
k-----3分直线方程为0
2=
+y
x--------5分
（2）
2
1
=
k---------6分直线方程为0
5
2=
+
-y
x--------8分
20（本小题满分12分）求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．
（x-1）2+（y+4）2=8．
21．（本小题满分12分）直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为45，求l的方程．
解：由题意易知直线的斜率ｋ存在，设直线的方程为
由题意知，圆C：的圆心为(0，0)，半径为5，圆心到直线的距离
在中，即解得
所以的方程为
22. 19、（本小题满分12分）如下图（4），在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，
∴
1
AEC
∠为二面角
11
A B C C
--的平面角。

———————————4分
（2）证明：
1
D D ABCD
⊥
Q面，AC ABCD
⊂面
1
D D AC
∴⊥——6分
又Q在正方形ABCD中AC BD
∴⊥
—————————————8分
1
D D BD D
=
Q I
11
AC DD B B
∴⊥面————————————10分
图
又1AC AB C ⊂Q 面 ∴面11BB DD ⊥面1AB C ———————————12分（3）画出二面角11A B C C --的平面角；（2）求证：面11BB DD ⊥面1AB C 解：（1）如图，取1B C 的中点E ,连接1,AE EC 。

11,,AC AB B C Q 分别为正方形的对角线
E Q 是1B C 的中点 1AE B C ∴⊥ ——————2分
又Q 在正方形11BB C C 中 11EC B C ∴⊥ ——————————3分。