《自动控制原理》第5章 控制系统的频域分析 (3)

当
=
n时， (n )
=
−90o，A(n )
=
1
2
，
表明振荡环节与虚轴的交点为− j 1 .
2
1.幅相曲线： G(
j )
=
1
1 − T2 2 +
j2T
G(
j )
=
1 − T2 2 (1 − T2 2 )2 + (2T )2
+
j (1 −
− 2T T2 2 )2 + (2T )2
分析：T = 0 T = 1 T →
G(s) jw = G1 ( jw)G2 ( jw)
= A1 ( )e j1 ( ) A2 ( )e j2 ( ) = A1 ( ) A2 ( )e j[1 ( )+2 ( )]
L( ) = 20 lg G( j )
= 20 lg A1( ) + 20 lg A2 ( )
= L1( ) + L2 ( )
1 − 2 2 , 0
2 0.707 2
Mr = A(r ) = 2
1 ,0 1− 2
2 0.707 2
另外： dMr 0, 0 2
d
2
当0
2 2
，且
（0，r）
时
，A(
)单调增
；
（r，）时，A( )单调减。
当 2 1时，A( )单调减。
2
2.Bode图：（对数幅频渐近特性曲线）
•对数幅频特性曲线 L( ) = 20 lg | G(j ) |
L( ) = −20lg
(1
−
2
2 n
)2
+
4
2
2
2 n
n , L() 0. 低频渐近线为0d B线。
n,
L( ) −40lg . n
高频渐近线为：
过(n , 0)点，斜率为− 40dB的直线。
37
交接频率为n。 对数幅频渐近特性为：
实部 1
0
0
虚部 0
−
1
2
0
( ) 0 − 90 − 180
32
u = T
另外：
A(0) = 1, A() = 0.
求A( )的极值。
dA( )
=
−
−
2
2 n
(1 −
2
2 n
)
+
4
2
2 n
=
0
d
(1
−
2
2 n
)2
+
4
2
2
2 n
2 n2
= 1 − 2
2
所以谐振频率和相应谐振峰值：
r = n
1.
1 (T = )
n
振荡环节的频率特性：
幅值 :| G( j) |=
1
(1 − T2 2 )2 + 4 2T2 2
相角: ( )
=
− −
2T arctan 1 − T2 2 ,
T
(
−
arctan
2T
T2
2
−
), 1
1
T
1
30
显然：
(0) = 0o ,() = −180o.
相频曲线从0o单调减至− 180o.
m
K (Ti s +1)
G(s) =
i =1 n−v
(K 0)
sv (Tj s +1)
j =1
G( j) = 1 + jT
| G( j ) |= 1 + 2T 2 ( ) = arctanT
1.幅相曲线： 2.Bode图： 结论：五版P194
传递函数互为倒数 Bode图关于0dB线和0度线对称
29
六、二阶振荡环节
G(s) =
(s
) wn 2
1
+ 2 (s
wn )+ 1 , n
0, 0
6
2、说明
7
传递函数、微分方程、频率特性的关系：
s= p
微分方程
传递函数
系统
s = j
频率特性
j = p
8
二、频域分析法
1. 频域分析法： 应用频率特性研究线性系统的方法。
2. 频域分析法特点： （1）可用于无法获得系统微分方程的场合； （2）用图形分析系统，易于工程应用； （3）物理意义明确，对系统理解更直观； （4）易于研究高频系统； （5）频域指标和时域指标有对应的关系。
1
( ) = − arctan T
1 + 2T 2
•对数幅频特性曲线 L( ) = −20 lg 1 + 2T 2
用高频段和低频段的渐近线表示对数幅频曲线； 交接频率（转折频率）
T 1, L( ) 0; T 1, L( ) −20lgT
•对数幅频渐近特性特性：
La
(
)
=
0,
1;
T
− 20 lgT ,
2
一、频率特性
1、频率特性定义：
例： R
输入：x(t ) = Asint
输出：y(t) = B sin(t + )
x(t)
C
y(t)
微分方程： Ty(t) + y(t) = x(t) T = RC 传递函数： Y(s) = 1
X (s) Ts + 1
3
输入：x(t ) = Asint
稳态输出：y(t ) = B sin(t + )
L(dB) 40
积分环节
20dB / dec
0
微分环节
− 20dB / dec
−40
( )
90
0 −90
微分环节 积分环节
23
四、一阶惯性环节
G(s)
=
1 (T
Ts + 1
0)G(
j )
=
1+
1
jT
G(
j )
=
1
1 + T 2 2
−
j
T 1 + T 2 2
| G( j ) |=
1
1 + 2T 2
La
(
)
=
0, − 40lg
n
,
n
n
由于La ( )与阻尼比无关，用渐近线近似表示 对数幅频曲线存在误差，误差大小不仅和有关，
也和有关。
根据误差曲线可以修正渐近特性曲线而获得准
确曲线。
0.707 = 0.707 0.707
•对数相频特性曲线
幅角:
(
)
==
−
arctan
1
2T − T2
L(dB)
0
( )
180 90 0 −90 −180
二阶微分环节
二阶振荡环节
二阶微分环节
二阶振荡环节
43
传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频 曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于 0度线对称。
八、非最小相位环节 １、最小相位环节
若系统开环传递函数的零、极点均不在 [s]的右面， 且不含纯滞后环节，为最小相位环节。
第五章 控制系统的频域分析
（Frequency-Response analysis）
1
5.1 概述
x(t)
系统 y(t)
时域分析：t：0→∞，y(t)如何变化？
频域分析： x(t) = Asin(t + )或
n
x(t) = Aisin(it + i ) i=1
或i从0 → 变化时, y(t)如何变化?
1 为惯性环节的交接频率 T
1.
T
26
•误差（如右图所示）： L() = L() − La ()
| G( j ) |=
1
( ) = − arctanT
1 + 2T 2
•对数相频特性曲线 ( ) = − arctanT
T 1 T = 1 T 1
0 − 45 − 90
28
五、一阶微分环节 G(s) = Ts + 1(T 0)
mm
KK((jTi sTi++1)1)
G( jG()s=) =
i =i =11 n −nv− v
(K( K 0)0)
( jsv)v (T( jjs +T1j )+ 1)
j =j1=1
G(
j )
=
(
K
j )n−m
| G( j ) |= 0
( ) = − 90 (n − m)
52
②绘制终点ω→+∞ 非最小相位系统
二阶微分环节 G(s) = T2s2 − 2Ts + 1(T 0)
46
非最小相位环节与最小相位环节极坐标图、 Bode图的对称关系。
（1）幅频特性相同，相频特性符号相反；
（关于实轴对称）
（2）对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于 0度线对称。
5.4 复杂系统频率特性图绘制
一、串联系统频率特性 G(s) = G1(s)G2 (s)
( ) = − arctan T
1.幅相曲线：
2.Bode图：
Im
ω=∞
ω=0 -45o
ω=1/T
24
L(dB) 60 40 20 0
−20 −40 −60 ( ) 90
0
−90
一阶比例微分环节 20dB / dec
惯性环节 − 20dB / dec
一阶比例微分环节
惯性环节
25
| G( j ) |=
否则为非最小相位环节。
45
2、非最小相位环节
思考：非最小相位环节与最小相位环节极坐标图、Bode图的
对称关系？
比例环节 G(s) = K(K 0)
惯性环节 G(s) = 1 (T 0) − Ts + 1
一阶微分环节 G(s) = −Ts + 1(T 0)
二阶振荡环节
1
G(s) = T2s2 − 2Ts + 1 (T 0)
( )
90
0 −90
微分环来自百度文库 积分环节
21
三、微分环节 G(s) = s G( j) = j
G( j) = 0 + j
幅值 | G( j) |= 幅角() = 90
1.幅相曲线： 2.Bode图：
每10倍频程增加 20dB
L() = 20lg | G( j) |= 20lg () = 90
22
(2)极坐标图用于稳定性分析
14
二、对数频率特性曲线（Bode图）
1.坐标的选取： 横坐标： 对数坐标
= lg
单位是rad/s （弧度/秒）
线性刻度
0.01 0.1 1
10 100 1000 10000
十倍频程
15
1.坐标的选取： 纵坐标： 对数幅频特性：单位是分贝（dB）
L() = 20lg A() = 20lg | G( j) |
1.幅相曲线： → 0, → +
19
幅值 | G( j ) |= 1
2.Bode图：
幅角( ) = −90
每10倍频程衰减 20dB
L() = 20lg | G( j) |= −20lg () = −90
20
L(dB) 40
积分环节
20dB / dec
0
微分环节
− 20dB / dec
−40
2
分析：T 1 T = 1 T 1
0 − 90 − 180
图：
40
七、二阶微分环节
G(s) = T2s2 + 2Ts + 1
G( j ) = (1 − T2 2 ) + j2T
幅值 :| G( j ) |= (1 − T2 2 )2 + 4 2T2 2
(
)
=
arctan
1
2T − T2
2
42
=
分析：
1
e − j arctan T
1 + 2T 2
=0
1
T
+
P( ) 1
1
0
2
Q( ) 0
−1
0
2
A( ) 1
22
0
( ) 0
− 45
− 90
13
Im
ω=∞
ω=0 -45o
缺点：
变化时，虚、实部 A( )和 ( )的数值不直观。
Re
ω=1/T
优点： (1)变化时，虚、实部变化，A( )、( )变化直观
9
5.2 频率特性几何表示 一、极坐标图（幅相曲线、Nyquist图）
G( j ) = A( )ej ( ) = G(j ) ejG(j)
= Re[G( j)] + j Im[G( j)]
= P() + jQ()
当从0 → +时, P( )和Q( )变化的曲线。如图：
10
G( j) = P() + jQ() Q()
幅值 | G( j) |= K 幅角() = 0
1.幅相曲线： 2.Bode图： L() = 20lg | G( j) |= 20lg K
() = 0
18
二、积分环节 G(s) = 1
s
G( j ) = 1 j
G( j ) = 0 − j 1
幅值 | G( j ) |= 1
幅角( ) = −90
A()
( )
[G] P()
11
例5.1中的RC网络：G(s) = 1 Ts + 1
G(
j )
=
1+
1
jT
=
1
1 + T 2 2
−
j
T 1 + T 2 2
=
1
e − j arctan T
1 + 2T 2
A( )
() = − arctanT
12
G(
j )
=
1
1 + T 2 2
−
j
T 1 + T 2 2
B=
A
1 + T 2 2
( ) = − arctan T
幅值比A( ) = B ,
A
相位差 ( ) =
4
频率特性定义一
对于稳定的线性定常系统,
若输入为Asint,稳态输出为B sin(t + ), 则称幅值比A( ) = B 为幅频特性,
A
相位差( )为相频特性.
5
频率特性定义二
G(s) = G( j ) s= j = A( )ej ( ) = G(j ) ejG(j )
对数相频特性：单位是度 ( )
16
2. Bode图的优点
（1）扩大频带；
（2）化幅值乘除为叠加做图；
（3）
G2 (
j
)
=
1
G1( j
)
Bode图关于0dB线和0。线对称
17
5.3 开环系统典型环节频率特性图
一、比例环节 G(s) = K（K 0） G( j) = K
G( j) = K + j0 = Ke j0
( ) = 1( )+ 2 ( )
48
二、串联系统幅相曲线
方法： ①绘制起点ω→0+ ②绘制终点ω→+∞ ③求与负实轴的交点 ④象限分析
绘制概略图 用于稳定性分析
49
系统传递函数
m
K (Ti s + 1)
G(s) =
i =1 n−v
(K 0)
sv (Tj s + 1)
j =1
50
①绘制起点ω→0+
G(
j )
=
(
K
j )v
m
K (Ti s + 1)
G(s) =
i =1 n−v
(K 0)
sv (Tj s + 1)
j =1
v 0 起点为原点 v = 0 起点为实轴上的点G( j ) = K0 v 0 G( j ) = − 90 v
思考：v>0, K<0的起点
51
②绘制终点ω→+∞ 最小相位系统