第六章量子力学
量子力学导论第6章答案
第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m Mr p-==∙μ （1） 总动量1p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121pMP m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） p P m p +=21μ，p P m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m R ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’）总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m u R p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p mMr p p R -⨯++⨯=)2)(1(p r P R ⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m p P u m pPm m um m p P u m pPm m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p Pm m m Pm m m μ2222pMP +=（4’）［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、P 和L 的算术表示式r i p ∇-= R i P ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m mMi p m p mMp ∇-∇-=-=（1）其中 1111z k y j x ir ∂∂+∂∂+∂∂=∇，而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111，同理，y YM m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZM m z ∂∂+∂∂=∂∂11；（利用上题（17）（18）式。
量子力学课件第六章
第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。
现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。
我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。
微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。
图6.1：受到小微扰的无限深势阱。
首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。
此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。
下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。
将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。
对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。
（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。
）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。
但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。
又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。
它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。
例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。
量子力学 第6章-2-第18讲
m 0, 1, 2,... (4)
代入能量本征方程，可求得径向方程
2
2M
2
2
1
m2
2
1 2
M
2 L
2
R
(
)
E m R()
(5)
L
可解出能量本征值E ( Landau能级 )
E EN N 1 L ,
N (2n m m) 0, 2, 4, , n 0,1, 2,
EN N 1 0
N 2n m 0,1, 2,...
f (N) N 1
E EN N 1 L ,
均匀磁场中的电子
N (2n m m) 0, 2, 4,...,
∞
n 0,1, 2,...
对于较低的几条能级的简并度分析
E EN N 1 L ,
N (2n m m) 0, 2, 4, , n 0,1, 2,
第6章 电磁场中粒子的运动
§1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
§2 正常Zeeman效应 §3 Landau能级 §4* Aharonov-Bohm(AB)效应
§3 Landau能级
一、电子的Hamilton量
考虑电子（质量M，荷电-e）在均匀磁场B 中运动，则相应的矢势A可取为
A 1 Br 2
(6)
N
EN/ћωL
nρ
m
0
1
0
0,-1,-2,-3,…
2
3
0
1
1
0,-1,-2,-3,…
4
5
6
7
0
2
1
1
2
0,-1,-2,-3,…
0
3
1
2
2
1
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.10-6#6 @
1 N L 2
耦合之后总磁矩
1 1 N L J ( g p g N )N S J J 2 2 R J ( J 1)
因 J LS 有
N 3 ( g p g N ) N (1) J / 2
旋 S , 然后总自旋再与轨道角动量 l 耦合形成总角动量 J , 用核磁子表示你的结果. 已知质子和 中子的磁矩分别是 2.79 和-1.91 核磁子. 解: (i) S,D 态的宇称为正, 而 P 态的宇称为负, 由于宇称守恒, 开始时为 S 态的量子态在任何 时刻都不可能有 P 态混入 (ii)
1 1 1.5 ( g p g N ) N J 0.31 N J 2 2
取 J 方向的投影并使 J s 为最大值 J 1 , 从而有 0.31 N 6.11 一个 介子(赝标粒子, 自旋为零, 奇宇称)最初别束缚在氘核周围, 并处在最低库仑态
的角分布是多少? (i). 反应前后宇称守恒, 有
p( ) p(d )(1) L1 p(n) p(n)(1) L
L1 , L2 分 别 是 d 及n+n 的 轨 道角 动量 . 但反 应 前 是 在库 仑 势的 最低 能 态
中, L1 0 , 且已知: p( ) 1, p(d ) 1 有
2/3 c , 2/ d 3 , 1/ 3
p 1,1 p 1, 1 0 n 1, 0
查 C G 系数表, 可得
a 1 / 3b ,
共振态的 I 3/ 2 , 经过此面的截面比为 1 2 4 2 a : b : c 1: a : ac 1: : 9 9
能的, 因为 L 1 , 所以几率为 0 (iii) 从而有 初始态为 J , J z 1,1 , 将其变成非耦合表象 L 1, S 1, L, L3 , S , S z
量子力学第六章
dL mr dv r ma r F 磁力矩的存在将引起角动量的变化
dt
dt
B
L
B
d d L μ B 或
dt
dt
d ; B
dt
这就是拉莫尔进动的角速度公式。它表明：在均匀外磁场中
的一个高速旋转的磁矩并不向 B 方向靠拢，而是以一定的角 速度 绕 B 进动， 的方向和 B 的方向一致。
积；n0是垂直于该面积的单位矢量。
B
从经典电磁学知道载流线圈在均匀外磁场中磁力矩： iSB sin
iS iSn0
iS B
磁矩在均匀外场中不受力，但受到一个力矩的作用
B
原子中电子绕核运动必定产生一个磁矩。若电子绕核旋转的
圆周频率为ν，轨道半径为r，则磁矩为
iSn0
e r2n0
e 2 r
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据一系列的实 验事实大胆地提出这样一个假设：电子不是点电荷，它除了轨 道角动量以外，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量。
L ll 1 , l 0,1,2,3,......n. S ss 1 , s 1/ 2
轨道量子数
自旋量子数
Lz ml ml 0,1,2,..... l
Sz
1 2
ms
1. 2
任何电子都有相同的自旋角动量 1 ，而且它们在z方
2
向的分量只取两个数值 1 ，自旋磁矩是理论值的两倍。
2
电子自旋是原子物理学和量子力学中十分重要的概念， 在假说的提出与被接受的过程中，从名不见经传的在校学 生到物理学权威皆卷入其间，不同观点针锋相对，虽然电 子自旋假说的提出稍早于量子论的矩阵力学和波动力学， 但它们之间没有直接的逻辑联系，因此不是物理学史家关 注的焦点。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.7-6#15
1 的本征态，粒子 2
1 2 的本征态，取 =1 ，求体系总自旋 S 的可能值及相应的概率。 2
解： S x ;
1 Sz ; Sz ; 2
1 2
（1）
Sz ; Sx ;
（2）
系统处于 S1z ; S2 x ; 的态上，将其写到 S z 的表象中为
S1z ;
编辑者：霍团长 6— 7
对于两个自旋 1/2 的例子组成的体系，证明张量算符
S12
3 (σ1 r )(σ2 r ) σ1 σ2 r2
和 S 2 及 J 对易。 S 为总自旋， J 是总角动量 J = S + l ，l 是体系的轨迹角动量，在质心坐 标系中， l 的算符形式是：
l r p i r , r = r1 - r2
而 S s( s 1)
2
1 S2 z ; S2 z ; 2
其可能值为 0或2 总自旋为零的态可表示为：
0
1 S1z ; S2 z ; S1z ; S2 z ; 2
0
1 1 1 S2 z ; S1z ; S1z ; S2 z ; 2 2 2
证明： （1）
3 2 , σ1 3, ( 1n )2 1 4 1 S s1 s2 (σ1 σ2 ) 2 3 1 ∴ S 2 σ1 σ 2 2 2 1 1 Sn S n (σ1 n σ2 n) ( 1n 2 n ) 2 2 1 1 1 ∴ Sn 2 ( 1n 2 2 n 2 2 1n 2 n ) 1n 2 n 4 2 2
2 解：取系统的力学量完全集为 ( H , S12 , S 2 , Sz )
量子力学(第六章)
i ( ) t 2 2 q 1 p p A p A p c 2
1 q p p p p A 2 c 2q i p p A 2 c
代入正则方程
H H ,P r P r
(2)
即可得出
式中
1 r q E v B (3) c 1 E A (电场强度) (4) c t
B A (磁感应强度)
c
• H和 p 的关系一样。这里 p 为正则动量。由这
个原理和正则量子化规则可知，有电磁场时， 量子化规则应当变更为
i i q t t q i A c
• 这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程 。于是， 有电磁场时的 Schrodinger 方程为
的电子的速度 v 远小于光速 c ( v / c 102 ),辐
射场中磁场对电子的作用远小于电场,一般只
考虑电场的作用 。
本章将讨论恒定磁场中原子能级和光谱
的变化(Zeeman效应)以及自由荷电粒子在恒
定磁场中的运动(Lanbau能级)。 下面首先给出给出荷电粒子在恒定电磁 场中的Schrodinger方程。
A A A ( r , t ) 1 (r , t ) (16) c t 电场强度 E 和磁场强度 B 都不改变。
可以证明Schrodinger方程(9)在规范变换(16)
式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变
量子力学 6-1 电子自旋的实验证据
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全888—1969），
1888年2月17日出生于德国。1906年开 始学习物理化学，1912年在布雷斯劳大 学获博士学位。同年他到布拉格当爱因 斯坦的助手，以后又随爱因斯坦转到苏 黎世，1913年成为物理化学私人讲师。 1943年诺贝尔物理学奖授予斯特恩，表 彰他发展分子束方法和发现了质子的磁矩。
M sz e Sz
7
S
自旋回旋磁比率：
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
注意
此节重点
(1)理解电子自旋是一种纯粹的量子力学效应，没有经 典图象与之对应。（不是电子自转之类的空间运动）
(2)验证电子自旋存在的实验是斯特恩—盖拉赫实验 (3)每个电子具有自旋角动量 向的取值只能有两个 S z 。 2
1922年，他和合作，成功地做了斯特恩-盖 拉赫实验，通过这个著名实验，他们用分 子束方法证明了空间量子化的真实性，并 为进一步测定质子之类的亚原子粒子的磁 矩奠定了基础。
2
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
格拉赫（Walther Gerlach）
1889出生于德国. 1912年于图宾根大学获得物理学博士学位。 他的研究对象是黑体辐射和光电效应。一战期间, 盖拉赫和 维恩一起发展无线电报技术。在工业界呆了一段时间后, 盖 拉赫于1920年在法兰克福的实验物理研究所谋到了一个助手 的位置, 该所紧捱着玻恩的理论物理所。后来和斯特恩合作 完成了斯特恩-盖拉赫实验. 3
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
从薛定谔方程出发可以解释许多微观现象，例如计 算谐振子和氢原子的能级从而得出它们的谱线频率 等。计算结果在相当精确的范围内与实验符合。
第六章-力学量与本征态1
第六章 力学量与本征态 §6 - 1 量子力学中的力学量 一 力学量用算符表达量子力学中的两个基本概念 ● 量子态 波函数 ● 力学量 （具有特定性质的）算符算符代表着对波函数的一种运算（但并不一定都与力学量相对应）：()ddx ψ：对波函数取导数，ψ)(r U ：对波函数乘以)(r U ，*ψ： 对波函数取复共轭，ψ： 对波函数开平方根考察位置算符r 和动量算符pˆ：r r →,（6. 1）∇-=→ i ˆpp . （6. 2）经典力学中的力学量还有：势能)(r V 纯位置坐标的函数（算符不变）力)()(r r F V ∇-=速度m /p v = 动量的函数（算符可由动量的对应关系得出）动能m p T 2/2= 动能2222ˆ ()222P T m m m x y z222222∂∂∂==-∇=-++∂∂∂ (6. 3)角动量∇⨯-=⨯=r p r Li ˆˆ (6. 4)在直角坐标系中的分量表达式)(i ˆˆˆyz z y p z py L y z x ∂∂-∂∂-=-= )(i ˆˆˆzx x z p x pz L z x y ∂∂-∂∂-=-=(6. 5))(i ˆˆˆxy y x p y px L x y z ∂∂-∂∂-=-=角动量算符Lˆ的模方(L ˆ的平方) L LL ˆˆˆˆ22⋅==L 222ˆˆˆz y x L L L ++=. (6. 6)角动量在球面坐标系的表示]sin 1)sin (sin 1[ˆ22222ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂-= L(6. 7)ϕ∂∂-= i ˆz L (6. 8)θθθθθ2222sin ˆ)sin (sin ˆzL L +∂∂∂∂-= （6. 9）利用了：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =， θcos r z =；2222z y x r ++=，rz =θcos , x y=ϕtan .图21 - 1 球面坐标系二 量子力学中的哈密顿量1、 哈密顿算符 薛定谔方程的普遍形式在量子力学中，薛定谔方程的普遍形式是ψψH tˆi =∂∂(6. 10)式中H ˆ是体系的哈密顿算符( = 动能函数 +势能函数)V T H +=,(6. 11)对于一个粒子在势场V ( r )中运动的情况，有)(2ˆ22r V mH +∇-= ,(6. 12) 讨论：● 哈密顿算符决定了体系的量子态随时间的变化规律，在量子力学中占有特别重要的地位。
量子力学概论第6章 不含时微扰理论
6.4.3 中间情况的塞曼效应
表6.2 存在精细结构和塞曼分裂的氢原子n=2能级
图6.12 弱场、中间场、强场下，氢 原子n=2能态的塞曼分裂
6.5 超精细分裂图6.1 基态氢原子的超精细分裂图6.14 两个相邻的极化原子
图6.6 例题6.2中的简并的消除
6.3 氢原子的精细结构
6.3.1 相对论修正 6.3.2 自旋-轨道耦合
表6.1 氢原子玻尔能量修正量级图
6.3.2 自旋-轨道耦合
图6.7 从电子看质子运动
图6.8 带电圆环绕轴旋转
图6.9 考虑了精细结构的氢原子能级图(未按比例大小给出)
6.4 塞曼效应
第6章 不含时微扰理论
6.1 非简并微扰理论 6.2 简并微扰理论 6.3 氢原子的精细结构 6.4 塞曼效应 6.5 超精细分裂
6.1 非简并微扰理论
6.1.1 6.1.2 6.1.3
一般公式 一级近似理论 二级能量修正
6.1.1 一般公式
图6.1 受到小微扰的无限深方势阱
对于零级(λ0)项1有H0ψ0n=E0nψ0n, 有 H0ψ0n=E0nψ0n,(6.1)
对于一级项(λ1)有，
H0ψ1n+H′ψ0n=E0nψ1n+E1nψ0n.(6.7)
对于二级项(λ2)有，
H0ψ2n+H′ψ1n=E0nψ2n+E1nψ1n+E2nψ0n， (6.8)
依次类推。(方程中并没有λ——它仅仅用来 更清楚地按数量级分出各方程——所以现在 把λ取为1。)
6.1.2 一级近似理论
E0nxnynz=π2ћ22ma2(n2x+n2y+n2z).(6.32) 注意到基态(ψ111)是非简并的；它的能量为：
北京大学群论第六章-群论与量子力学
第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r H ρˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g ρρ1-=，()r f ρ为任意函数，有：故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r Hρρ（由()r f ρ为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r ρρ='，()()()r H r H r g H ρρϖˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H ρρ或()()r H P P r H g g ρρˆˆ= 即当哈密顿算符()r H ρˆ在函数变换算符gP 的作用下不变时，则()r H ρˆ与P g 对易： 【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hρˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g Hg G H ρρˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hρρˆˆ= 令r g r ρρ='，则'1r g r ρρ-=，代入得：()'ˆ1r gg H ρ-，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H ρρ=-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g ρρρρρρ=====----结合律和单位元显然存在。
【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
量子力学曾谨言习题解答第六章
第六章：中心力场[1]质量分别为 m 1,m 2的两个粒子组成的体系，质心座标及相对座R标r为：R =212211m m r m r m ++ (1)r 12r r r-= (2)试求总动量21p p P+=及总角动量21l l L +=在R ,r表象中的算符表示。
1. [解] （a ）合动量算符21p p P+=。
根据假设可以解出1r ，2r令21m m m +≡ ： r m m R r121-= （３）r m m R r212+= （４）设各个矢量的分量是),,(1111z y x r ，),(22,22z y x r ,),,(z y x r和),,(Z Y X R 。
为了计算动量的变换式先求对1x ， 2x 等的偏导数：xX m m x x x X x X x ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111 （5）xX m m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2222 （6） 关于1y ∂∂，2y ∂∂，1z ∂∂，2z ∂∂ 可以写出与（5）（6）类似的式子，因而： )()(212^1^^2^1^x x i p p p p P x x x x ∂∂+∂∂=+=+==Xi x X m m x X m m i ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )(21 RiZ i k Y i j X i i P ∇=∂∂+∂∂+∂∂= ^(b)总角动量)(2211^2^1^∇⨯+∇⨯=+=r r il l Lx x r r iL )(2211^∇⨯+∇⨯==)()(2222111y z z y i z z y i ∂∂-∂∂+-∂∂ 利用（3），（4），（5），（6）： ))({(12^zZ m m y m m Y i L x ∂∂-∂∂-=))((12y Y m m z m m Z ∂∂-∂∂-- ))((21zZ m m y m m Y ∂∂+∂∂++ )})((21yY m m z m m Z ∂∂+∂∂+- =)()({1y Z z Y Y Z Z Y m m i ∂∂-∂∂-∂∂-∂∂ )()(221y z z y m m Y z Z y m m m ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂-)()(2yZ z Y Y Z Z Y m m ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+)}()(2221yz z y m m Y z Z y m m m ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+=)}(){(yz z y Y Z Z Yi∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ =x r R r iR i )(∇⨯+∇⨯因而 r R r iR i L ∇⨯+∇⨯=^[2]证明r r r ∂∂+=∇1],[212，∇=∇],[212r（证明）第一式ψ)(2122∇-∇r r =))((21222222222ψz y x zy x ++∂∂+∂∂+∂∂ )(21222222222zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂++-ψψψ但xz y x z y x x z y x x∂∂+++++=++∂∂ψψψ222222222)( 22222222()(z y x x x z y x x ++∂∂=++∂∂ψψ+)222xzy x ∂∂++ψ =232222222)())((z y x x x xz y x ++-+∂∂++ψψψ+2222223222)(xz y x z y x x x∂∂+++++∂∂ψψ即2222222222x z y x z y x x ∂∂++-++∂∂ψψ=232222222)(2z y x x zy x x x++-+++∂∂ψψψ同样写出关于y,z 的式子，相加得：22222222{21)(21zy x zz y y x xr r ++∂∂+∂∂+∂∂=∇-∇ψψψψ+}3222zy x ++-ψψ=r z r z y r y x r x ψψψψ+∂∂+∂∂+∂∂ =ψ)1(rr +∂∂ 因ψ是任意函数，因而第一式得证。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.1-6#13
0 1 0 i Sn cos cos i 0 cos 2 1 0
cos 1 0 0 1 2 cos i cos
2
cos i cos cos
设 J 2 , J z 共同的本征态为 j , m ，利用升降算符，将 J x , J y 表示为
J x
Jx
1 1 J J , J y J J 2 2i 1 j, m J x j m j m J J j ,m 2
，
则
j m j m
1 j m j m , 2
6.2 求 自 旋 角 动 量 在 任 意 方 向 n （ 方 向 余 弦 是 co s , co s 的投影 , c） os
Sn S xc o s Sy c o s Sz
c的本征值和本征函数。 os
解：在 S z 表象内，电子自旋算符 S x , S y , S z 的矩阵表示为，故 S n 的矩阵形式为：
(iii) y Βιβλιοθήκη =1 轾 犏2c 1 (S z )Y 10 (q, j ) + c 1 (S z )Y 1- 1(q, j ) 3犏 臌 -2 2
J 2 = j ( j + 1)h 2 =
35 2 15 2 h = h 22 4 2 1 1 1 1 J z = (Lz + S z )h = (0 - )h + (- 1 + )h = - h 3 2 3 2 2
a1 cos a2 (cos i cos ) a1 a1 (cos i cos ) a2 cos a2
求解此方程可得
量子力学-第六章散射(碰撞)
8
单位时间内穿过半径为R球面上dS的粒子数
其中
dn
jrdS v
f
( , )
2
dS r2
v
f (,) 2 d
jr
i 2m
( 2
r
2
2
r
2
)
v r2
f ( ,) 2 v
k m
由定义式： dn q(,) jd
因为
j
i 2m
(
1
1
z
1
1 )
z
k m
v
所以 dn q(,)vd
故有 q( ,) f ( ,) 2
2
Q 0 0 q( ,)d
粒子被散射到空间各方向上的几率和。 7
2.微分散射截面与散射振幅的关系
设入射粒子： 质量m， 动量 k 波函数 1 eikz
出射粒子：质量m ， 动量 k
波函数
2
fห้องสมุดไป่ตู้
( ,) eikr r
其中f(,)为散射振幅. r→处的波函数：
reikz f ( ,) eikr
l
)
Al
sin(kr l 2
kr
π
l )
12
r
l 0
Al kr
sin(kr
1 2
lπ
l
)Pl
(cos
)
另一方面
eikz eikrcos (2l 1)il jl (kr)Pl (cos ) l0
根据球贝塞耳函数在无穷远处的渐进行为
r
l0
(2l
1)il
1 kr
sin(kr
1 2
lπ)
S
d
6
第六章_群论与量子力学
第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r Hˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g1-=，()r f 为任意函数，有：()()()()()()()()r f P r g H P r g f r g H P r f r H P P r f r Hg g g g g 11ˆˆˆˆˆ--=== 故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r H（由()r f为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r='，()()()r H r H r g H ˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H 或()()r H P P r H g g ˆˆ=即当哈密顿算符()r H ˆ在函数变换算符g P 的作用下不变时，则()r Hˆ与P g 对易：[]0,=g P H【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g H g G H ˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hˆˆ= 令r g r ='，则'1r g r-=，代入得：()'ˆ1r gg H -，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H =-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g =====----结合律和单位元显然存在。
【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
量子力学 Wigner算符与Husimi算符
第六章 Wigner 算符与Husimi 算符的纯态密度矩阵形式在量子力学的相空间描述中，Wigner 分布函数是最常用的一类，因为一个量子态的Wigner 函数的两个边缘分布正好对应着在坐标和动量空间中测量粒子的概率密度，但是Wigner 函数本身并不总是正定的,故不能作为一个概率分布函数 (通常称之为准概率分布函数)。
在Wigner 函数定义的基础上Husimi 引入了一个新的分布函数——Husimi 函数，克服了Wigner 函数不总是正定的缺点，因而可作为一个新的概率分布函数； Husimi 分布函数的边缘分布有其自身的特点，特别适合于研究复杂体系的量子态。
但是对于Husimi 函数以前还没有人定义过与之对应的Husimi 算符, 本章中我们将引入它, 并发现它是一个纯压缩相干态密度矩阵, 利用IWOP 技术我们很容易导出其正规乘积形式，这就为求各种量子态的Husimi 函数提供了简洁明确的方法，这是量子统计一个新进展。
§ 6.1 从Wigner 算符到Husimi 算符：纯压缩相干态的密度矩阵[1]由于在量子力学中不能同时精确地测量粒子的坐标和动量，Wigner [2]曾提出描写粒子或系综的相空间函数理论。
在第一章中，我们曾看到位置与动量纯态密度矩阵分别为()2::q Q q q e--=， ()2::p P p p e--=， （6.1.1）把二者以如下方式合并写为()()()221::,q Q p P e q p π----≡∆， （6.1.2）而以往的文献中把(),q p ∆写在坐标表象中为(),2ipu duq p q u q u e π∞-∞∆=+-⎰。
（6.1.3） 从（6.1.2）式可见()()22,::q Q dp q p e q q q ψψψψψψ∞---∞∆===⎰, （6.1.4）()()22,::p P dq q p e p ψψψψ∞---∞∆==⎰. （6.1.5）它们分别代表在坐标和动量空间测到的概率密度，这正符合Wigner 当初引入相空间分布函数的动机，所以(),q p ψψ∆就是ψ态的Wigner 函数。
量子力学第六章
当代入（1）式得，，则本征函数为
利用归一化条件来确定常数 ： ，即
取 因此，对应于的本征函数是 当时代入（1）式得，，本征函数为 利用归一化条件求常数：
，即 取 因此对应于的本征函数是
同理可求对应的本征函数为 现在求的本征值和本征函数。设的本征函数为
本征值为，则本征方程为 即
而
即
将以上两式与（1）与（2）式对比可知 ，
，
以上是用特殊的方法求得。 6.12 已知在和共同表象中，算符和的矩阵分别为 ，
求它们的本征值和归一化本征矢，最后将矩阵和分别对角化。 解 设的本征函数（在和的共同表象中）为
本征值为，则本征方程为 即
（1） 齐次方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即 展开整理后得
解 （1）因为和都是对称的实矩阵，故和都是厄密矩阵，即 ，
(2)
可见与对易，即 （3）求和的共同本征矢 因为是对角矩阵，故，，是的本征矢，分别对应本征值，，，而且 ，， ， 也是的本征矢，对应本征值为，这是因为
但，都不是的本征矢，将，重新组合：
（+）
（）
则有
，
可见，，就是的本征矢。
因为，是，的线性组合，当然仍是的本征矢。这样，我们就找到了
与的共同本征矢：
本征值 本征值
（+） （） 6.10 粒子在力学量的三个本征矢和所张成的三维态空间中运动，其 Hamiltonian和另一力学量算符的形式如下： （为实数） （1）求的本征值和相应的本征矢；（2）若时粒子处于
所描述的状态，求时粒子的态矢，问它是否定态？（3）求时，的平
均，并讨论随时间变化的规律。
代入（1）式得
于是得到 （3）利用平均值公式 则
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3)二者均为角动量，有共性 S2 S S 1 h2
S
S S 1h
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2
1 2
1h
3h 2
,
L
Sz ms h,
ms
1 ,2s
2
1
2个值，
Lz ml h, ml 0, 1,L , l (2l 1)个
双线：两个磁矩（角动量）值，2s 1 2
l l 1h
7.2 自旋态与自旋算符
一、自旋态的描述
z
对角
ˆ z
1
0
0 1
(17)
这时
ˆ x ,ˆ y
不一定对角化，可由ˆi 对易关系和
ˆ
2 i
1
求出。
２）设
ˆ x
a
d
b c
(18)
由厄米性：ˆ ˆ ，可见 a, c 为实数，b d
ˆ x
a
b
b c
(19)
将(19)式代入(12)式之３,即 z x x z 0 ，可得
4
Sˆx2
Sˆ
2 y
Sˆz2
h2 4
(3)
Svˆ 2 3 h2 3 h2 (4) 44
写为角动量算符的一般形式：S 2 S(S 1)h2 3 h2 (5)
4
由(5)得 S 1 (6) 2
２、泡利算符 及其对易关系：
1)定义：
v S
h
v， 则 ( 2)式 可 写 为 ： (7)
特例：s态原子，l=m=0,Enl分裂为两个能级，Stern Gerlach实验即看到了这个现象（纯自旋效应）
3.谱线分裂:nlm nlm ,
= nlm
nlm h
0
eB
2
m 0
l m
(12)
其中0
nlm
nlm h
，
由选择定则m 0，1，所以
0，0 l
（13）
例：求正常Zeeman Effect的选择定则H=e r:
，所以ˆi 的本征
1 (10)
2)泡利算符的反对易关系 用 y分别左乘和右乘(8)-2式：
y y z y z y 2i y x y z y z y y 2i x y (11)
两式相加可得： x y y x 0
作业证
x y y x 0 y z z y 0 (12) z x x z 0
vv
vv
U M gB MBz cos, (M , B)
原子在外磁场中偏转受力（沿Z方向分量）
Fz
U Z
M
Bz Z
cos
如果原子磁矩方向能够在空间任意取向，
则 cos 可以在[-1，+1]间变化。这样P 处
的底上应当出现连续分布的带状粒子痕迹。
实验结果：两条分立的线，对应 cos 1。
表示。但自旋应当满足角动量算符的普遍性质：
Svˆ Svˆ ihSvˆ
(1)
即
SSˆˆxy
Sˆy Sˆz
Sˆy Sˆx Sˆz Sˆy
ihSˆz ihSˆx
(2)
Sˆz Sˆx Sˆx Sˆz ihSˆy
所值以。由它Sˆ于x 们，SvˆSˆ各y在自，空Sˆ的z间平各任方自意即的方本向h2征上值。的都所投只以影能本只分征能别值取取平两为方个：值 h2：两h2 个，
自旋磁矩都将与外磁场耦合，产生附加的 能量，自旋与轨道运动之间也有相互作用 能 LvgSv。如外磁场足够强，仅得轨道、自 旋磁矩与外磁场之间的耦合能远大于LS耦 合，则可观察到正常塞曼效应。
如，钠黄线（ =589.3nm）分裂为三条 （l=1）,角频率， L , L , l为拉莫频率，l B
式(10)、(14)和(15)概括了泡利算符的全部代数性质。
３、泡利矩阵（泡利表象）
１的） 本由征自值旋 只能Sv 取在任1何，方对向应的的投本影征只态能分取别为 h2自旋，向所上以和ˆ z
向下两个态：
1 0
,
0
1
(16)
而算符在其自身表象中的矩阵表示应为对角矩阵，矩
阵元（对角元）即为本征值，所以，存在一个ˆ 化的表象（ ˆ，2 ˆ z 的共同本征态为基），使
（9）式代入（5）（6）两式中：
Sz
1 2
: Enlm
Enl
eB
2
(m 1)h
Enl
l (m 1)h
(10)
Sz
1 2
:
Enlm
Enl
eB
2
(m 1)h
Enl
l (m 1)h
(11)
l
eB
2c
eB
2
可见，当B 0时，Enlm与m有关，原来对于m量v 子数的简并 被外磁场消除，同时，能量与自旋和外磁场B的耦合有关.
解：空间部分：n无，l= 1,m=0, 1v,已由Ylm 的正交归一性导出现在看第4个自由度S :
nlms
nlm
0
nlm
或
nlms
G Gˆ d (26)
7.3简单塞曼效应 一、正常塞曼效应
1.氢原子或类氢原子在均匀外磁场中，原来的 中心力场球对陈性被破坏，能级简并性被解除。 原来库仑场中电子能级为n 2 度简并，而类氢原子 及碱金属原子由于核外电子的屏蔽效应，能级由 量子数nr和角量子数l共同决定：Enl , 能级为2l+1度简并。在外磁场下，此简并度进一 步解除，能级将与量子数（n,l,m)都有关。 原来一条能级分裂为2l+1条，同时，轨道磁矩、
(6)
电子自旋的回转磁比率：
M SZ e 2 M L 2 e
Sz
L
2
（7）
三. 电子自旋角动量与轨道角动量的比较：
1）电子自旋值S= h ,而轨道角动量l为整数倍h，l 0,1, 2,L 2
2)自旋磁矩/自旋 e ，而 轨道磁矩/轨道角动量 e ，
2
即自旋g因子为2，轨道g因子为1 。
2
rv,
h 2
2
d3r 1
(3)
3.分离变量形式的波函数 当哈密顿量不含自旋变量或可表示成空间坐标部分
与自旋变量部分之和，及其他情况，波函数可以分
离变量：
rv,Sz = vr Sz
(4)
Sz 为描述自旋态的波函数，其一般形式为：
Sz
a b
(5)
(5)式中 a 2 与 b 2 分别代表电子处于自旋投影
=1
2
0
1
或
= 1 2
0
2
(3)(4)
代入（3）得：
-
h2
2
2 1
U
r 1
eB
2
(Lµz
h) 1
E 1
（5）
-
h2
2
2 2
U
r 2
eB
2
(Lµz h) 2
E 2
（6）
当B=0:氢原子
U
r
es2 r
, 波函数 nlm , En仅由总量子数
n决定.
碱金属原子：屏蔽库仑势U r es2
d3r
rv,
h 2
2
表示电子自旋向上（Sz
=
h ）的几率 2
2
d3r
rv,
h 2
表示电子自旋向下（Sz
=-
h 2
）的几率
归一化：
Sz
h 2
d3r rv,Sz 2
d3r
*
rv,
h 2
,
*
rv,
h 2
rv, rv,
h 2
h 2
=
d3 r
rv,
h 2
1. 旋量波函数
自旋角动量是与轨道运动无关的独立变量，
是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第
四个变量。要准确描写电子的运动，必须计入
自旋状态，即考虑电子自旋在某给定方向的投
影的两个可能的波幅，给出取这两个值的几率，
所以波函数中还应包含自旋投影这个变量（Sz）,
记为
rv, Sz
(1)
由于Sz只取
r
e2a
r2
(0 x 1)
这时
仍为本征波函数，但能级本征值E
nlm
nl不仅与n有
关，而且与l有关.
-
h2
2
2 nlm
U
r nlm Enl nlm
（7）
当B=0： Q nlm是lµz的本征函数：
Lµz nlm mh nlm
(8)
nlm仍为方程（5）(6）的解：
1 2 nlm Rnl r Ylm , （9）
2
x y y x 2i z
x , y 2i z
y z z y 2i x 或 y , z 2i x (8)
z x x z 2i y
z , x 2i y
(8)式可以合写为 i , j 2iijkk (9)
由值于只能Sv 取沿为任一1方向，的i2投影x2只能取y2 h2z2
h 2
两个分立值，因此仅用二分量波函数描述：
rv,
Sz
rv, rv,
h 2
h 2
2.旋量波函数的物理意义：
旋量波函数
（2）
2
rv,
h 2
是电子自旋向上（Sz
=
h 2
）,位置在rv处的
几率密度。
rv,
h 2
2
是电子自旋向下（Sz
=-
h ），位置在rv*处 2
的几率密度。
而
1 2i
1 0
0 0
1
1
1 0
1 2i
0 1
11
0
0
0 1
0 i
i 0
(22)