第十二章无穷级数
高等数学-第十二章-无穷级数
1
1 (1 p1
1 n p1
)
1 1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如
1 2 3 234
(1)n1 n n1
无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。
高等数学无穷级数
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 ( un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n ( uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数 ( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧: 利用 “拆项相消” 求和
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
第十二章 级数
n1
1 ( p 0)的敛散性。 p n
当 0 p 1 时 , 级数条件收敛， 当 p 1 时 , 级数绝对收敛。
例3。讨论下列级数 的敛散性，如果收敛， 是绝对收敛还是条件收 敛 ? (1) （） 1 3n n1
n1
sin
n
(2)
(1)
n1
n1
ln n n
第十二章
1。无穷级数的概念
级数
§1。无穷级数的概念及其基本性质
定义1。设一数列 u1 , u2 , un , 则和式
un u1 u2 un 称为无穷级数，
n1
简称级数。
un 称为级数的通项或一般 项。
sn uk u1 u2 un 称为级数的
n1
un 其中
un 0 (n 1,2,3,) 那么称它为交错级数。
定理1。 (莱布尼茨判别法 ) 若交错级数 ( 1) n1 u n (其中 u n 0 )满足条件：
n 1
(1) u n1 u n (n 1,2,3, ) (2) lim u n 0
收敛， q 1 时 发散， q 1 时
1 例3。讨论级数 ln(1 ) 的敛散性。 n n 1 1 例4。讨论级数 arctan 2 的敛散性。 2n n 1
例5。讨论级数 an a1 a2 1 a1 (1 a1 )(1 a2 ) (1 a )(1 a2 ) (1 an )
1 (3) sin(n ) ln n n2
常数项级数的敛散性判别法
un
n 1
un ？ 0
第十二章无穷级数练习题含答案
第十二章无穷级数练习题含答案第十二章无穷级数练习1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n?);?n?1n!n?;n?n?1(2n?13n?2)2n?12.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？（？1）n？1n？1n1；[n？]3n2??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn3.求幂级数?n?0(x?1)nn?1的收敛区间。
4.证明系列？N1n！NNX何时|x |？当e是绝对收敛时，当| x |？E.1n）处的散度单调增加，而limxn？En??nn注：数列xn?(1?5.找出区间（？1,1）中的幂级数n?1xn?1n的和函数。
6.找到这个系列吗？N21（n？1）和22 n。
一7.设a1?2,an?1?12(an?1an)（n?1,2,?）证明1）利曼存在；2）连续剧？（n？Anan？1？1）收敛。
n?18.设定一个？？40? ntanxdx1）求?n?11n(an?an?2)的值；2）验证：对于任何常数？？0系列？N1安？汇聚19.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问a?1?是否收敛？并说明理N1.N1n拜拜。
1211??11?xlndx。
10.已知1?2?2[参见教材246页]，计算??1?x3580x。
二无穷级数例题选解1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n21n?);n?1n!n2?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1解决方案：1）？sin1n2和N11n收敛，由比较审敛法知2）?ln(1?1n?n?1sin1n2收敛。
)~ 1n（n？？）和N1.1n散度，由比较审敛法的极限形式知联合国？1un？N1ln（1？1n）散度。
n3）??lim?nlim(n?1)!(n?1)n?1?n??1?nlim，NN1n！Ennn？？知识收敛比1n1n!n2收敛。
14）?? 林恩？？un4？2n？1.2n？1.N林N3n？29 3n？2.2n？1.2n？1.汇聚1.从根值收敛法，我们可以知道3n？2.N1.2.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？N1（？1）n？1n1；[n？]3n?n?12??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn解：1）对于级数?(?1)n?1n32n，N1人？？林？|联合国？1 | | un | n？1n13.知道进展情况吗？（？1）n？1.N32n绝对收敛，n1[n?]条件收敛。
高等数学下册第十二章 无穷级数
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
DMU
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称为无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和.
xx0
f
(x)
A
xnk
x0
(xnk
x0 )
(k )
f (xnk ) A
例如 lim n2 ((1 1)2n e2 )
n
n
(1 lim
x0
1
)
2 x
x
x2
e2
2 ln(1 1 )
ex x
lim
x0
x2
e2
e (e 2
2 ln(1 1 )2 xx
1)
lim
x0
x2
DMU
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
n1
莱布尼茨定理： 如果交错级数 （-1）n-1un满足条件 ：
n1
（1）un un1(n 1, 2,3, );
（2）lim n
un
0,
则级数收敛，且其和s u1 ,
其余项rn的绝对值 rn un1.
DMU
第三节 一般常数项级数的收敛判别法
用莱布尼茨 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
DMU
级数发散 ;
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
《高等数学》第12章无穷级数12_6一致收敛
若函数项级数 un (x) 在区间 I 上满足:
n1
1) un (x) an (n 1, 2,);
2) 正项级数 an 收敛 ,
n1
则函数项级数 un (x) 在区间 I 上一致收敛 .
n1
简介 目录 上页 下页 返回 结束
证: 由条件2), 根据柯西审敛原理, 0, N , 当
1 2
,
因此级数在
[0,
1]
上不
一致收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Sn (x) xn S(x) 0,
1,
0 x 1 x 1
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
y
(1,1)
n 1
n2
n4
n 10
n 30
o
S(x) 1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn (x) r n , 任给 > 0, 欲使
(0 x )
因此, 任给
> 0, 取自然数
N
1
1
,
则当n > N 时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在
[0,
+∞)
上一致收敛于
S(x)
x
1
. 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 证明级数 x (x2 x) (x3 x2 ) (xn xn1)
在 [0,1] 上不一致收敛 .
un (x) 一致收敛于和函数S(x)
n1
部分和序列 Sn (x) 一致收敛于S(x)
余项 rn (x) 一致收敛于 0
高等数学 第十二章 无穷级数
n 1
n 1
设法求出和函数s( x)
an xn ,
n 1
n(n 1)
例10 求 n 1
2n
的和.
1 将其转化成幂级数求和函数问题.
2
原式
s(
1 2
),
s(x)
n(n
n 1
1)xn
2x (1 x)2
.
3
推广：
n1
n（n 3n
1）
S
(
1
)，
3 n1
n（n 1
n1）
S(1) 5
.
5
n1 的和 .
n0
(2n1)!
解: 原式 = 1 (1)n (2n 1) 1
2 n0 ( 2 n 1)!
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1 [cos1 sin 1 ].
2
（参见例6 ，也可用间接法解本题.）
（间接法）求数项级数和：
化
an an x0n s( x0 ),
0
0
n 0
∴
f(x)
x(1)nx2ndx(1)nx2n 1
(
x
1).
0 n0
n0 2n1
例13
将函数
(2
1
x )2
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2x)2
1 2x
11
2
1
x 2
1 2
xn 2n
n0
1 2
n 1
n x n1 2n
x2 (
)n
x n1 2
1x12x2
x 2x2
,
教案《新编高等数学》(理工类)(第八版) (4)[8页]
![教案《新编高等数学》(理工类)(第八版) (4)[8页]](https://img.taocdn.com/s3/m/f59feed30912a216157929ed.png)
)
(x
x0
)
f
(x0 ) 2!
(x
x0 )2
f
n ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
其中 Rn (x)
f (n1) (ξ ) (n 1)!
(x
x0 )n1
(
ξ
在
0
与
x
之间),为拉格朗日余项。
在泰勒公式中,当 x0 0 则有麦克劳林公式
f (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x 2!
数 f (x) 在该区间内能展开成幂级数.
一、泰勒级数
1. 泰勒(Taylor)公式与麦克劳林 (Machaurin)公式
定理(泰勒定理)如果函数 f (x) 在 x0 的某邻域内有 n 1阶导数，则对此邻域内任意点 x ,
有 f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x)
f (x0 )
f
( x0 1!
n
取极限得，
lim
n
Sn1
(
x)
f
(x) ，即
f (x)
f (x0 )
f
(x0 ) (x 1!
x0 )
f
(x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n) (x0 ) n!
(x
x0 )n
反之，若上式成立，则必有
lim
n
Rn
(
x)
0.
另外，还需要注意，为使上式成立，f (x) 在 x x0
的某邻域内必须有任意阶导数.
f x
n1
f
n (x0 n!
)
(完整版)级数知识点总结,推荐文档
un ，un
0 ）lim
n
Sn
S
前 n 项和存在极限则收敛；
un 收敛 S n 有界；
n 1
n 1
比较审敛法：且u n v n
(n 1,2,3,)，若 vn 收敛，则 un 收敛；若 un 发散，则 vn 发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
比较法的极限形式：lim un l
n 1
n 1
nБайду номын сангаас1
2、 交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数： (1)n un ，un 0 满足：un 1 un
(n
1,2,3,)，且lim n
un
0 ，则级数 (1)nun 收敛。
n 1
n 1
条件收敛：
un 收敛，而
un
发散；绝对收敛：
un
收敛。
un 绝对收敛，则
un 收敛。
若级数收敛 则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级
数去括号后未必收敛.
u lim 0
必要条件：级数 un 收敛 n n
.（注意：不是充分条件！唯一判断发散条件）
n 1
3)
审敛法：（条件：均为正项级数 表达式：
2、 和函数s(x )的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域(R , R )内可导，且可逐项求导; 和函数s(x )在收敛域I 上可积分，且可逐项
第1页共2页
积分.( R 不变,收敛域可能变化).
3、
泰勒级数：f(x )
f
(n
)(x
0
) (x
n0 n !
x 0 )n
第十二章常数项级数的概念和性质
例 2 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
的收敛性.
(a 0)
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn 1q
a aqn , 1q 1q
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1
q
当q 1时,
lim qn
即 sn s 误差为 Rn
即
级数收敛
lim
n
Rn
0
例 1 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
例 1 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性
13 35
(2n 1) (2n 1)
sn
1 (1 2
1 2n
), 1
lim
n
sn
lim 1 (1 1 ) n 2 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 L an L
2).
1 3
3 3 3 10 100 1000
3 10n
2、概念
高数(同济第六版)下册无穷级数要点
若 lim S n = S ，称数列收敛， S 为级数的和，即：
n →∞
∑u
N =1
n
=S；
若 lim S n 不存在，称级数发散。
n →∞
�
性质：
（1） 若级数 � �
∑u ,∑v
n n
n
都收敛，则
∑ (u
± vn ) 也收敛，且 ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn
也收敛，且
∑ cu
n =0
幂级数收敛定理——阿贝尔定理
∞
如果幂级数
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时收敛， 则对满足不等式 x < x0 的一切 x ， 幂级
数都收敛，并且是绝对收敛；
∞
如果幂级数 数都发散。
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时发散， 则对满足不等式 x > x0 的一切 x ， 幂级
∑ u ( x) = u ( x) + u ( x ) + ⋯ + u ( x ) + ⋯ 为函数项级数。
n
1 2
∞
n
n =1
∞
�
函数项的收敛点： ∀x0 ∈ I ，
∑ u ( x ) 收敛，称 x 为函数项级数的收敛点；
n
0 0
n =1
∞
函数项的发散点： ∀x0 ∈ I ， � � 收敛域：收敛点的全体。
n →∞
p
∑u
n =1
n
收敛。
∞
�
比值审敛法：设
∑u
n =1
n
是正项级数，则 lim
12(1)常数项级数的概念和性质
24
性质2 设有两个级数 un与 vn,
n1
n1
若 un s, vn , 则 (un vn ) s .
n1
n1
n1
n
n
n
证 级数的部分和 (ui vi ) ui vi
i 1
i 1
i 1
n
n
n
所以
lim
n
i 1
(ui
vi
)
lim
n
i 1
ui
lim
n
i 1
vi
s 得证.
n1
即
lim
n
sn存在
(不存在)
常数项级数收敛(发散).
13
un u1 u2 u3 un (1)
n1
级数的敛散性它与部分和数列是否有 极限是等价的.
这种等价关系将级数的敛散性，转化为 数列极限是否存在的问题。 它是最基本的级数敛散性的判断方法。
14
un u1 u2 u3 un (1)
a 1q
级数收敛
sn
1
a
q
aqn 1q
当q 1 时,
lim qn n
lim n
sn
级数发散
如果q 1 时
当q 1 时, sn na 级数发散
当q 1 时, 级数变为 a a a a 级数发散
综上
n0
aq
n
当 当
q q
1时,收敛 1时, 发 散
以后会经常用到， 必须记住！
的敛散性.
例
1 2
1 22
1 2n
收敛
1
2
...
100
1 2
1 22
1 2n
高等数学@12.1 级数概念与性质
n0
（1）当|q|
<1时，收敛，其和为
1
a
q
（2）当|q|≥1时，发散
如：
n0
5 3n
,
收敛
(1)n
n0 2n , 收敛
(2)n
n0
发散
思考(2)：级数 1 1 1 1 1 是否收敛？
n1 n
23
n
S
n
1
1 2
1 3
(1)
lim
n
un
0
则 un 发散。
n1
(2)若加括号后的级数发散， 则原级数必发散。
(3)若级数 un 收敛， vn 发散
n1
n1
则级数 (un vn ) 必发散
n1
(4) 级数 kun与 un 收敛性相同 (k 0)
n1
n1
(5) 级数 un 与 un 收敛性相同。
收敛，则
lnimun
0
（必要条件）
问题
1.若
lim
n
un
0
则 un 发散
n1
2.若
lim
n
un
0
则 un
n1
未必收敛
如 1 n1 n
性质1 若常数k≠0，则级数 un 与 kun 收敛性相同.
n1
n1
证 设 Sn u1 u2 un
1. 级数收敛的性质：
（1）常数 k≠0，级数 un与 kun同敛散。
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第十二章无穷级数
1下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ）
A.∑
∞
=+1
n 2
2
1n 3n B. ∑
∞
=+-1
n n
1n )1( C. ∑
∞
=--3
n 1
n n ln )1( D.
∑
∞
=+1
n 1n n
32 2.设幂级数∑∞
--1
)3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( )
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ）
A ．∑
∞
=++15312n n n B ．∑
∞
=--+11)1(1n n n C ．∑
∞
=-15
1
n n
D ．∑
∞
=--1
1
)1(n n n
4．设正项级数∑∞
=1
n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）
A ．∑∞=+1
100n n u B ．∑∞=++1
1)(n n n u u C ．∑∞
=1
)3(n n u
D ．∑∞
=+1
)1(n n u
5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ） A.()∑
∞
=+11
1
n n n B. ∑
∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛+13101n n
C.
∑
∞
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+12
110
1
n n n D. ∑
∞
=+11
3
2n n n
6.无穷级数∑∞
=023n n n
的前三项和S 3=( )
A.-2
B.
419 C.8
27
D.
8
65
7.幂级数1!
n
n x n ∞
=∑的和函数为（ ）
A.1x e -
B.x e
C.1x e +
D.2x e +
8.已知幂级数()n
1
1n n a x ∞
=+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1
1
!n n ∞
=∑
的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1
f x -⎧=⎨⎩ ,
,
0x x ππ
-≤≤≤＜
()S x 是()f x 傅里叶级数的和函数，则()S π-=______________.
11.设f (x )是周期为2π的函数，f (x )在[-π, π]，上的表达式为f
(x )=⎩
⎨⎧∈-∈),0[,)0,[,0ππx e x x S (x )为f (x )的傅里叶级数的和函数，则S (0)=_________.
12.设函数f (x )是周期为2π的函数,f (x )的傅里叶级数为
()
∑∞
=--+-1
21
2,cos 4
1π3
1
n n nx n
则傅里叶级数b 3=_____________. 13．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为
[)[)⎪⎩⎪
⎨⎧∈-∈=.π,0,2
3
sin .0,π,0
)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0）=__________.
14．设f (x )是周期为2π的函数，f(x)的傅里叶级数为
∑
∞
=+-+--+-11
2)sin )1()12cos(π)12(2(2πn n nx n
x n n 则傅里叶系数a 2=___________. 15.无穷级数∑∞
=0!
2n n
n 的和为 .
16. 函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数为___________.
17．求幂级数∑
∞
=+1n n 3
2
x 1
n n 的收敛半径和收敛区间. 18.判断级数()∑
∞
=-+-1
3
1
321n n n
n 是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
19．判断无穷级数∑
∞
=1
!n n
n n 的敛散性.
20．判断无穷级数∑
∞
=--+1
2
1
2)1(1n n n 的敛散性. 21.判断无穷级数()∑∞=-2ln 1n n
n
的敛散性.
22.判断无穷级数∑∞
=+1
)1
1ln(n n 的敛散性.
23.判断级数121
2(1)sin
n n n
π
∞
-=-∑是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛？
24．判断无穷级数1
2(
)31
n
n n n ∞
=+∑的敛散性。
25．设函数3
()sin f x x x =的马克劳林级数为0
n n n a x ∞
=∑，求系数10a 。
26.已知无穷级数1
n n u ∞=∑收敛，并且1
n
n k
k S u ==∑
(1)求112;n n n S S S +-+-(2)求11lim(2).n n n n S S S +-→∞
+- 27.将函数f (x )=x arctan x 展开为x 的幂级数. 28.将函数()x x x f +=1ln )(2展开为x 的幂级数. 29．将函数5
1
)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 30．将函数4
)(+=
x x
x f 展开为x －1的幂级数. 31.设()⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 0,0
,0的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a ,求
系数b 7.
32．设函数f(x)=x+1,x ∈[)ππ-,的傅里叶级数展开式为∑
∞
=++1
n n n 0)nx sin b nx cos a (2a 求
系数a 5 .
33．设无穷级数∑
∞
=1n 2n
a 和∑
∞
=1
n 2n
b 均收敛，证明无穷级数∑∞
=1
n n n b a 是绝对收敛.
34.将函数()2
31
2
+-=
x x x f 展开为(x +1)的幂级数. 35.证明无穷级数 +++++++++++
n
21132112111收敛,并求其和. 36．设无穷级数∑∞
=1n n u 收敛，证明：0lim =∞
→n n u .
37.证明无穷级数∑∞
==+1
.1)!1(n n n
38.将函数21
()2
f x x x =--展开成1x -的幂级数.
39.将函数f (x )=
2
1
x 展开为(x +1)的幂级数.
40．证明：无穷级数∑∞
=
-
=
+
+
-
+
1
2
1
)
1
2
2
(
n
n
n
n。