中考梳理_第五章_第3讲_解直角三角形
九年级数学复习解直角三角形山东教育版知识精讲
九年级数学复习解直角三角形某某教育版【本讲教育信息】一、教学内容复习解直角三角形二、学习目标：1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用锐角三角函数来表示直角三角形中两边的比。
2. 熟记30、45、60角的各个三角函数值，会计算含有特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊角的三角函数值计算角。
3. 理解并掌握直角三角形中边、角之间的关系，会用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，锐角三角函数解直角三角形。
4. 会用解直角三角形的有关知识解某些简单实际问题，进一步理解数形结合的思想。
三、重点、难点重点理解锐角三角函数，应用其解直角三角形；难点是解决一些生活实际问题。
（一）熟练掌握直角三角形的边角关系如图，ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：=A sin ba A tan ,cb A cos ,c a ==，所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。
解直角三角形的基本类型题解法如下表所示： 类型已知条件 解法两边两直角边a ，bA90B ,b aA tan ,b a c 22-︒==+= 一直角边a ，斜边cA90B ,c aA sin ,a c b 22-︒==-=一边、一锐角一直角边a ，锐角A斜边c ，锐角AA cos c b ,A sin c a ,A 90B ⋅=⋅=-︒=（二）弄清解直角三角形的涵义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
1. 隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件。
2. 已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形。
因为边角的组合有边边、边角、角角，但角角不能确定三角形的大小，更无法求其边长，所以不能解三角形。
中考总复习解直角三角形
解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
初三数学知识点讲解解直角三角形
初三数学知识点讲解解直角三角形
下面是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的初三数学知识点讲解解直角三角形，希望可以帮助到同学们!
★重点★解直角三角形
☆内容提要☆
【一】三角函数
1.定义：在Rt△ABC中，C=Rt，那么sinA= ;cosA= ;tgA=
;ctgA= .
2. 特殊角的三角函数值：
0 30 45 60 90
sin
cos
tg /
ctg /
3. 互余两角的三角函数关系：sin(90-)=cos
4. 三角函数值随角度变化的关系
5.查三角函数表
【二】解直角三角形
1. 定义：边和角(两个，其中必有一边)所有未知的边和角。
2. 依据：①边的关系：
②角的关系：A+B=90
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
【三】对实际问题的处理
1. 俯、仰角：
2.方位角、象限角：
3.坡度：
4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
【四】应用举例(略)
由精品小编整理的初三数学知识点讲解解直角三角形就到这里了，希望同学们喜欢!。
2017中考数学整理复习第五章 解直角三角形PPT课件
1 2
3 2
3 3
1 2
1
3
3．巧记特殊角的三角函数：正弦、余弦分母为2， 分子是“ 1， 2 ， 3 ，3 ，2 ，1”；正切 1 、 3 1、 3 ．
4．同角公式： sina = cos （90 － a ） ，cosa = sin （90 －a）；
sin a tana = ； cos a
考点2：特殊角的三角函数值 2 例 2．式子 2cos30°－tan45°－ (1 tan 60） 的 值是（ B ） A． B． 0 2 3 －2
C． 2 3 D． 2
【举一反三】2．（2013· 邵阳）在△ABC中，若
1 1 sinA cosB 0 ，则∠C的度数是（ D ） 2 2
【举一反三】1．如右下图，小明家在A处，门前有 一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的 小路． 现新修一条路AC到公路l．小明测量出 ∠ACD = 30°，∠ABD=45°，BC =50m．请你 帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度．（精 确到0.1 m．参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732）
cos2a+ sin2a =1．
课堂精讲
考点1：锐角三角函数的意义 例1．如右图，已知在Rt△ACB中，∠C =90°，
AB=13，AC = 12，则cosB的值为
5/13 ．
【举一反三】 1．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD是BC边上 的中线，BD=4，AD = 2 5 ，则tan ∠CAD的值是 （ A ） A． 2 B． 2 C． 3 D． 5
解：过C作CD丄AB于D， 在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30° ∴DC=ACsin30°=5，AD=AC cos30°= ， 5 3 在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC= ， 5 2 5 2 则用AC+BC－（AD+BD）=10+ －（ +5 5） 3
初三数学解直角三角形知识点总结
2019年初三数学解直角三角形知识点总结
鉴于数学知识点的重要性，小编为您提供了这篇2019
年初三数学解直角三角形知识点总结，希望对同学们的数学有所帮助。
★重点★解直角三角形
☆ 内容提要☆
一、三角函数
1.定义：在Rt△ABC中，C=Rt，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
2. 特殊角的三角函数值：
0 30 45 60 90
sin
cos
tg /
ctg /
3. 互余两角的三角函数关系：sin(90-)=cos
4. 三角函数值随角度变化的关系
5.查三角函数表
二、解直角三角形
1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)所有未知的边和角。
2. 依据：①边的关系：
②角的关系：A+B=90
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1. 俯、仰角：
2.方位角、象限角：
3.坡度：
4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例(略)
这篇2019年初三数学解直角三角形知识点总结是精品小编精心为同学们准备的，祝大家学习愉快!。
初三数学知识点讲解解直角三角形
初三数学知识点解说—解直角三角形下面是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的初三数学知识点解说解直角三角形，希望可以帮助到同学们!★ 重点★解直角三角形☆ 内容纲要☆一、三角函数1.定义：在 Rt△ ABC 中，C=Rt ，则 sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .2.特别角的三角函数值：030456090sincostg /ctg /3.互余两角的三角函数关系： sin(90-)=cos4.三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1.定义：已知边和角(两个，其中必有一边)所有未知的边和角。
2.依据：①边的关系：②角的关系： A+B=90③边角关系：三角函数的定义。
第1页/共3页注意：尽量防备使用中间数据和除法。
三、对实责问题的办理照本宣科是一种传统的授课方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的睁开,照本宣科被作为一种僵化的、阻拦学生能力发展的授课方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面 ,老师们又为提高学生的语文涵养沥尽心血。
其实,只要应用适合 , “死记硬背”与提高学生素质其实不矛盾。
相反,它正是提高学生语文水平的重要前提和基础。
1. 俯、仰角： 2.方向角、象限角：3.坡度：“教书先生”生怕是街市百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人敬慕甚或敬畏的一种社会职业。
可是更早的“先生”看法其实不是源于教书，最初出现的“先生”一词也其实不是有教授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？” 等等，均指“先生”为父兄或有学问、有道德的长辈。
其实《国策》中自己就有“先生长辈，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真切的“教师”之意，倒是与此刻“先生”的称呼更凑近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，其实不是具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记录，首见于《礼记 ?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之教授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
解直角三角形知识点总结
解直⾓三⾓形知识点总结 解直⾓三⾓形是中考数学的⼀⼤考点，但相关的知识点其实并不是⼗分的难，下⾯解直⾓三⾓形知识点总结是⼩编为⼤家带来的，希望对⼤家有所帮助。
解直⾓三⾓形知识点总结 【知识梳理】 1.解直⾓三⾓形的依据(1)⾓的关系:两个锐⾓互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边⾓关系:锐⾓三⾓函数 2.解直⾓三⾓形的基本类型及解法：(1)已知斜边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(2)已知⼀条直⾓边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(3)已知两边解直⾓三⾓形. 3.解直⾓三⾓形的应⽤：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 【课前预习】 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量： a b c ∠A ∠B 6 30° 10 45° 2、所⽰，在△ABC中，∠A=30°，，AC= ，则AB= . 变式：若已知AB，如何求AC? 3、在离⼤楼15m的地⾯上看⼤楼顶部仰⾓65°，则⼤楼⾼约 m. (精确到1m， ) 4、铁路路基横断⾯为⼀个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3⽶，路基⾼为4⽶， 则坡⾓= °，腰AD= ,路基的下底CD= . 5、王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100m到B地，再从B地向正南⽅向⾛200m到C地，此时王英同学离A地 m. 【解题指导】 例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB. (1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长. 例2 34-4所⽰，某居民⼩区有⼀朝向为正南⽅向的居民楼，该居民楼的⼀楼是⾼6m的⼩区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前⾯15m处要盖⼀栋⾼20m的新楼.当冬季正午的阳光与⽔平线的夹⾓为32°时. (1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么? (2)若新楼的影⼦刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少⽶? (结果保留整数，参考数据： ) 例3某校初三课外活动⼩组，在测量树⾼的⼀次活动中，34-6所⽰，测得树底部中⼼A到斜坡底C的⽔平距离为8.8m.在阳光下某⼀时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡⽐，求树⾼AB.(结果保留整数，参考数据 ) 例4 ⼀副直⾓三⾓板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长. 【巩固练习】 1、某坡⾯的坡度为1: ，则坡⾓是_______度. 2、已知⼀斜坡的坡度为1:4，⽔平距离为20m，则该斜坡的垂直⾼度为 . 3、河堤的横断⾯1所⽰，堤⾼BC是5m，迎⽔斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 . 4、菱形在平⾯直⾓坐标系中的位置2所⽰, ,则点的坐标为 . 5、先锋村准备在坡⾓为的⼭坡上栽树，要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶，那么这两树在坡⾯上的距离AB为 . 6、⼀巡逻艇航⾏⾄海⾯处时,得知其正北⽅向上处⼀渔船发⽣故障.已知港⼝处在处的北偏西⽅向上,距处20海⾥; 处在A处的北偏东⽅向上,求之间的距离(结果精确到0.1海⾥) 【课后作业】 ⼀、必做题： 1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm. 2、某⼈沿着有⼀定坡度的坡⾯前进了10⽶,此时他与⽔平地⾯的垂直距离为⽶,则这个坡⾯的坡度为__________. 3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___. 4、6,将以A为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . 5、7所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°⽅向⾛了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了若⼲千⽶到达C地，测得A地在C地南偏西30°⽅向，则A、C两地的距离为( ) (A) (B) (C) (D) 6、8，⼩明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，⽶，则岛B到公路l的距离为( )⽶. (A)25 (B) (C) (D) 7、9所⽰，⼀艘轮船由海平⾯上A地出发向南偏西40°的⽅向⾏驶40海⾥到达B地，再由B地向北偏西10°的⽅向⾏驶40海⾥到达C地，则A、C两地相距( ). (A)30海⾥ (B)40海⾥ (C)50海⾥ (D)60海⾥ 8、是⼀⽔库⼤坝横断⾯的⼀部分，坝⾼h=6m，迎⽔斜坡AB=10m，斜坡的坡⾓为α，则tanα的值为( ) (A) (B) (C) (D) 9、11，A，B是公路l(l为东西⾛向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°⽅向上. (1)求出A，B两村之间的距离; (2)为⽅便村民出⾏，计划在公路边新建⼀个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请⽤尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法). 10、是⼀个半圆形桥洞截⾯⽰意图,圆⼼为O,直径AB是河底线,弦CD是⽔位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,⽔⾯要以每⼩时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将⽔排⼲? 11、所⽰，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑⼀条⾼速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中⼼P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的⽅向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆⼼，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条⾼速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据：， ) 12、，斜坡AC的坡度(坡⽐)为1: ，AC=10⽶.坡顶有⼀旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有⼀条彩带AB 相连，AB=14⽶.试求旗杆BC的⾼度. ⼆、选做题： 13、,某货船以每⼩时20海⾥的速度将⼀批重要物资由A处运往正西⽅向的B处,经过16⼩时的航⾏到达.此时,接到⽓象部门的通知,⼀台风中⼼正以40海⾥每⼩时的速度由A向北偏西60o⽅向移动,距台风中⼼200海⾥的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少⼩时内卸完货物? 14、所⽰，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长; (2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值; (3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.。
中考专题：解直角三角形
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学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。
谢谢使用！！！】中考专题：解直角三角形考点分析：1、 锐角三角函数的概念（1）在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个值，b a c b c a ,,和ab，都是惟一确定的，我们说这些比值是锐角A 的三角函数。
其定义为：∠A 的正弦为：∠A 的对边与斜边的比值，记作斜边的对边A A ∠=sin ；∠A 的余弦为：∠A 的邻边与斜边的比值，记作斜边的邻边A A ∠=cos ，∠A 的正切为：∠A 的对边与邻边的比值，记作的邻边的对边A A A ∠∠=tan ；∠A 的余切为：∠A 的邻边与对边的比值，记作的对边的邻边A A A ∠∠=cot 。
sinA,cosA,tanA,cotA分别叫做∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A 的三角函数。
锐角三角函数的概念应通过画图帮助分析，通过画图找出直角三角中边、角关系，加深对概念的理解。
（2）锐角三角函数的取值范围：（∠A 为锐角）0< sinA<1、0< cosA <1，tanA>1，cotA>0。
一个锐角的正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
一个锐角的余弦、余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
比较大小时应先化为同名三角函数，再利用函数的增减性进行判断。
（3）例数关系：ααααααtan 1cot cot 1tan 1cot tan ===⋅或或 平方关系：1cos sin 22=+αα ；商的关系：αααααsin cos cot ,cos sin tan == 互余关系：)90tan(cot ),90cot(tan ),90sin(cos ),90cos(sin 0000αααααααα-=-=-=-=———————————————————————————————————————2、 特殊角的三角函数值（1） 特殊角的三角函数值： 角函数αsin21 22 23 1αcos123 22 21 0αtan0 33 13不存在αcot不存在 3133 0同学们在记忆这些三角函数值时，一方面要能由角度求出它的各个三角函数值，另一方面，也要能由三角函数值求出相应的角度。
初三下册数学《解直角三角形》知识点整理
初三下册数学《解直角三角形》知识点整理解直角三角形一、锐角三角函数、锐角三角函数定义在直角三角形AB中，∠=900，设B=a，A=b，AB=，锐角A的四个三角函数是：正弦定义：在直角三角形中AB，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=a,余弦的定义：在直角三角行AB，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作sA，即sA=b,正切的定义：在直角三角形AB中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tanA=ba，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作tA即aAAAb的对边的邻边t៕៕锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条：锐角∠A必须在直角三角形中，且∠=900;在直角三角形AB中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。
否则，不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确a，b，ba，ab四个比值的大小同△AB的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;、同角三角函数的关系平方关系：22sin៕S៹倒数关系：tanata=1商数关系：៕= 01;sinst,ssintan注意：这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。
中考数学复习《解直角三角形》 知识讲解
《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边a b ，c 222a b c +=(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB. 同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．Rt △ABC由求∠A ，∠B=90°－∠A ，由求∠A ，∠B=90°－∠A ，sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c c b a====sin ,cos ,tan ,cot b a b a B B B B c c a b====，∠B=90°－∠A，，∠B=90°－∠A，，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
初中数学《解直角三角形》知识全解
《解直角三角形》知识全解课标要求（1）理解直角三角形的五个元素。
（2）理解直角三角形边与角的关系，及锐角三角函数。
（3）会运用直角三角形的有关性质解决实际问题。
知识结构（1）在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．（2）解直角三角形过程中一般要用到：①三边之间的关系；②两锐角之间的关系；③边角之间的关系．（3）直角三角形中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，求出其余三个元素．（4）四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用．第一个实际问题用到正弦函数；第二个问题用到余弦函数；第三个问题用到正切函数；第四个实际问题要反复利用正弦函数．内容解析“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用．通过设计的两个实际问题抽象成数学问题，从而引出解直角三角形的内容．教科书通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用．我们采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想．重点难点本节内容的重点是理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；难点是通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受．教法导引全等三角形的有关理论对理解本节内容有积极的作用．在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素，这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来，因此就可以利用这两个元素求出其余的元素．因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容．教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．学法建议解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角之间的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．因此在本节教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解．。
初三下册数学《解直角三角形》知识点整理
初三下册数学《解直角三角形》知识点整理知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理，供大家参考阅读。
1解直角三角形?一、锐角三角函数?(一)、锐角三角函数定义?在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：??(1)?正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sin?A?=?ca,??(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cos?A?=?cb,?(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tan?A?=ba?，?(4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA即aAAAb的对边的邻边cot?????锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。
?这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：?(1)锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900;??(2)在直角三角形?ABC?中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。
?否则，不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确(1)?ca，cb，ba，ab?四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A?取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;?(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;?(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;?(二)、同角三角函数的关系?(1)平方关系：??122sin???COS??(2)倒数关系：tana?cota=1?(3)商数关系：???????sincoscot,cossintan?注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。
中考数学专题复习《解直角三角形及其应用》知识点梳理及典例讲解课件
图
形
概
念
定
义
一般指以观测者的位置为中心，将正北
或正南方向作为起始方向旋转到目标方
向线所成的角（一般指锐角），通常表
方向角
示成北（南）偏东（西）多少度，方向
角的角度在0°～90°之间.点A，B，C关于
点O的方向角分别是北偏东30°，南偏东
60°，北偏西45°（也称西北方向）
图
形
考点一
锐角三角函数的定义
典例1 （2023·芜湖镜湖一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
2，AB＝3，则cosB的值为（ D ）
A.
C.
5
2
3
2
B.
5
3
D.
2
3
典例1图
典例2 （2023·蚌埠蚌山模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的网
格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的☉A与BC交于点F，则
DF⊥CE于点F，则∠AEF＝∠DFC＝∠DFE＝90°.
又∵ ∠DAB＝90°，∴ 四边形AEFD是矩形.
∴ ∠ADF＝90°，AE＝DF.∵ ∠ADC＝120°，∴
∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝30°.在Rt△CDF中，
cos30°＝ ，CD＝100，∴ DF＝CD·cos30°＝
＝50
tan53.3°≈1.34，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50）.
解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过
点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.易得四边形CDEF
是矩形，∴ EF＝CD＝10cm，DE＝CF.在Rt△ADE中，
初三解直角三角形.docx
辅导讲义(1) 三边关系：a 2+b 2=c 2,(2) 角关系：ZA+ZB=—,sin B = — ,cos A =—,cos B = —, tan A c c c c 二、同步题型分析直角三角形的性质已知：如图，ADDBC,F 是AB 中点，DF 交CB 延长线于点E, CE = CD ，则图中与ZADE 相等的 有 ,与ZADE 互余的角有 ___ •解题分析：(1)注意题中直线的平行关系，利用平行线的性质找出相等角(2)利用等腰三角形的性质，判定哪些三角形是直角三角形，再利用Rt △的两个锐角互余进行处理1. 几何题注意先标清题屮给出的条件，寻找突破门;sin A (3)边角关系:AB（亍2.灵活运用平行线性质；3.注意等腰三角形三线合一.瑪例题3如图，A、C是ZMON的0M边上两点,A3丄0W于B,CD丄ON于D, 若OA=-,OB=CD,OD+AB=1 求ZMON的度数.2解题分析：(1)注意分析OD+AB二1二20A,可联想到三角形中的性质，延长0D至II,使得DII二AB,连CII；(2)利用三角形全等,可确定OA=CH=| OH,可得ZA=30°；(3)本题主要注意截长补短方法的运用.1.先标出己知条件，通过己知条件推导岀其中隐含的条件，再灵活运用这些条件解题;2.注意截长补短方法的运用；3.在Rt△屮，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。
.如图，已知在AABC中，ZACB = 90°, AC = BC, AE 丄BE于E, AE = -BD . 2求证：BZ)平分ZABC.4解题分析：（1）延长AE、BC,相交点F,连接CE；（2）灵活利用：在Rt△中，斜边上的小线等于斜边的一半；（3）同时注意垂直平分线定理的运用. 詈衣采弑一弑./1.己知：如图所示，AE、BD相交于点C, M、F、G分别是AD、BC、中点，AB = AC, DC = DE .求证：MF = MG .解题分析：连接AF、DG.灵活运用刚学的相关知识（在Rt△屮，斜边上的中线等于斜边的一半）进行处理.2.如图，在AA3C^,Z3 = 40o,ZC = 20°,AD 丄C4于人交BC于D .求证：CD = 2AB.解题分析：取CD 中点连接AM.灵活运用刚学的相关知识(在Rt △中，斜边上的中线等于斜边的一半)进行处理.3. 如图，正\ABC 的边长为1, P 是AB±不与A,3重合的任意一点，PQ 丄BC , QR 丄AC, RS 1 AB t Q,R,S为垂足，设BP = x, AS = y.求(1) y 与x 之间的函数关系式；(2) 当SP =丄时，求AP 的长； 4(3) 当点P 与S 重合时，与4R 的长各为多少?解题分析：在Rt △中，如果一个锐角等于30。
九年级解直角三角形知识点
九年级解直角三角形知识点直角三角形是初中数学中的重要概念之一，在解直角三角形的问题时，需要运用到多个知识点和技巧。
本文将介绍一些九年级解直角三角形的常见知识点，并阐述其应用。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形中最基本的定理之一，也是解决许多三角形问题的重要工具。
勾股定理表达为：直角三角形的斜边的平方等于其他两边长度的平方和。
即a² = b² + c²，其中a表示斜边的长度，b和c分别表示其他两条边的长度。
二、三角函数与直角三角形相关的三角函数有正弦、余弦和正切。
根据定义，正弦等于对边与斜边的比值，余弦等于邻边与斜边的比值，正切等于对边与邻边的比值。
这些三角函数的计算可通过公式或查表完成。
三、解直角三角形的步骤解直角三角形的一般步骤可以分为以下几个方面：1. 已知条件：根据题目给出的已知条件，确定出直角三角形的相关长度或角度信息。
2. 选择适当的公式：根据已知条件，选择适用的定理或公式，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
3. 计算并解决问题：根据所选公式，进行计算并求解问题。
注意角度的单位要统一，一般使用弧度或度。
4. 检验答案：通过重新计算或其他方法，检验所得解的准确性。
四、实例分析为了更好地理解解直角三角形的过程，我们来看一个实例。
已知一个直角三角形，其中直角边的长为3，斜边的长为5，求另外一个直角边的长度。
解：根据已知条件，我们可以使用勾股定理来解答。
根据定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，即5² = 3² + b²，得到25 = 9 +b²，再经过计算可得b² = 16，最后得到b = 4。
通过这个实例，我们可以看出解直角三角形的过程并不复杂，只需要根据已知条件，灵活运用数学知识进行计算和推导即可获得答案。
五、解直角三角形的应用解直角三角形的知识点在实际中有很多应用。
例如，我们可以用正弦定理和余弦定理解决含有直角三角形的航海、测量、工程设计等实际问题。
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。
解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。
解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。
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解直角三角形一、知识点讲解：1、解直角三角形的依据在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系为2、其他有关公式面积公式：（hc为c边上的高）3、角三角形的条件在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。
4、直角三角形的关键是正确选择关系式在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。
（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。
5、直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。
（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。
（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算二、例题解析：例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8说明：（1）由于知两边和及第三边的长，故相当于存在两个未知量，因为是在直角三角形中，所以可以利用勾股定理来沟通关系。
（2）由于是求解未知量问题，所以要运用方程思想，把问题转化为与未知量相关的方程问题，用方程知识求解。
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
表示为：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ； ∴ CD=21AB=BD =AD 4、勾股定理：222c b a =+5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2 ，AB AD AC ∙=2， AB BD BC ∙=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC 锐角三角函数的概念1、 如图，在△ABC 中，∠C=90°c a sin =∠=斜边的对边A A c bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aabcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、锐角三角函数的取值范围：0 sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.ACBD锐角三角函数之间的关系（1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系tanA=AAcos sin 特殊角的三角函数值α sinα cosα tanα 30° 45° 60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
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1
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A.2
B. 2
3 C. 2
答案：C 4.计算：cos245°＋sin245°＝( )
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1
A.2
B.1
C.4
答案：B
D. 3 2
D. 2
新中考系列
5.(2017
年贵州毕节)计算：－
33－2＋(π－
2)0－|
2－
3|
＋tan 60°＋(－1)2017.
解：原式＝－1332＋1＋ 2－ 3＋ 3－1 ＝3＋1＋ 2－ 3＋ 3－1＝3＋ 2.
AC＝6 cm，则 BC 的长.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
[名师点评]求解锐角三角函数通常蕴含一定的图形背景(网
格、平行线、三角形、圆等)，通过相关角、线段的转化或构建
特殊的直角三角形进行求解.
新中考系列
特殊角的三角函数值的计算 3.cos 30°的值等于( )
∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB＝90°，
则
sin∠BAC＝BACB＝
5 5.
答案： 5 5
[易错陷阱]根据三角函数的定义求三角函数值时，一定要 在直角三角形内求解，可利用辅助线构造直角三角形，也可利
用几何图形的性质将该角转移到直角三角形中.
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【试题精选】
1.(2018 年湖北宜昌)如图 5-3-5，要测量小河两岸相对的两
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【试题精选】
6.(2018 年吉林长春)如图 5-3-7，某地修建高速公路，要从
A 地向 B 地修一条隧道(点 A，B 在同一水平面上).为了测量 A，
B 两地之间的距离，一架直升机从 A 地出发，
垂直上升 800 米到达 C 处，在C处观察B地的
俯角为α，则 A，B 两地之间的距离为( ) A.800sin α 米 B.800tan α 米 C.s8in00α米
点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，
测得 PC＝100 米，∠PCA＝35°，则小河宽 PA 等于( )
A.100sin 35°米
B.100sin 55°米
C.100tan 35°米
D.100tan 55°米
图 5-3-5
答案：C
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2.(2016 年湖南怀化)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝45，
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锐角三角函数的概念及求值 例 1：(2018 年山东德州)如图 5-3-4，在 4×4 的正方形方格 图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上， 则∠BAC 的正弦值是________.
图 5-3-4
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解析：∵AB2＝32＋42＝25，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋ 22＝5，∴AC2＋BC2＝AB2.
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第3讲 解直角三角形
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1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A， cos A，tan A)知道 30°，45°，60°角的三角函数值.
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三 角函数值求它对应的锐角.
3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一 些实际问题.
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1.在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则 cos∠A＝ ________________.
答案：45 2.(2017 年湖南郴州)计算：2sin 30°＋(π－3.14)0＋|1－ 2| ＋(－1)2017＝____________. 答案： 2
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3.(2017 年湖北宜昌)△ABC 在网格中的位置如图 5-3-1(每 个小正方形边长为 1)，AD⊥BC 于点 D，下列选项中，错误的 是( )
解直角三角形 及其应用 解直角三角
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2; (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
形的理论依 据
(3)边角之间的关系：sin A＝ac，cos A＝bc， tan A＝ba
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(续表)
知识点
内容
(1)仰角：视线在水平线上方的角叫做仰角.
俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角.
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1.(2016 年广东)如图 5-3-11，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为(4,3)，那么 cos α的值是( )
图 5-3-11
A.34
B.43
C.35
D.45
答案：D
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2.(2015 年广东)如图 5-3-12，已知锐角三角形 ABC. (1)过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D(用尺规作图 法，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)条件下，若 BC＝5，AD＝4，tan∠BAD＝34，求 DC 的长.
到达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距
离(即 PC 的长)为( )
图 5-3-8
A.40 海里 B.60 海里 C.20 3海里 D.40 3海里
答案：D
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8.(2018 年广西南宁)如图 5-3-9，从甲楼底部 A 处测得乙楼 顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的 俯角是 45°，已知甲楼的高 AB 是 120 m ，则乙楼的高 CD 是 ________m.(结果保留根号)
解：设每层楼高为 x m， 由题意，得 MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m). ∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1. 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°， ∴C′A′＝tDanC6′0°＝ 33(5x＋1).
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在 Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°， ∴C′B′＝taEnC3′0°＝ 3(4x＋1). ∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB， ∴ 3(4x＋1)－ 33(5x＋1)＝14. 解得 x≈3.17，则居民楼高为 5×3.17＋2.5＝18.4(m). 答：居民楼的高度为 18.4 m. [名师点评]本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角 问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解决本题的关键.
[名师点评]在锐角的条件下，特殊角的三角函数值可以正、 反联用.关键是要理解三角函数的概念要领和熟记特殊角(30°， 45°，60°)的三角函数值.
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解直角三角形及其应用
例 2：(2017 年山东潍坊)如图 5-3-6，某数学兴趣小组要测
量一栋五层居民楼 CD 的高度.该楼底层为车库，高 2.5 m；上
面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地 1.5 m，在 A 处测
得五楼顶部点 D 的仰角为 60°，在
B 处测得四楼顶点 E 的仰角为 30°，
AB＝14 m.求居民楼的高度.(精确到
0.1 m，参考数据： 3≈1.73)
图 5-3-6
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[思路分析]设每层楼高为x m，由MC－CC′求出MC′的 长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中， 利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′， 由 C′B′－C′A′求出 AB 的长即可.
垂线所夹的角，叫做观测的方向角
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(续表)
知识点
内容
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图 形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它 解直角三角 们之间的关系，把实际问题转化为解直角 解直角三角形 及其应用 形实际应用 三角形问题； 的一般步骤 (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、 准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符 合实际意义，从而得到问题的解
答案：40 3
图 5-3-9
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9.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图5-3-10， 加固前拦水坝的横断面是梯形 ABCD.已知迎水坡面 AB＝12 米， 背水坡面 CD＝12 3米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为 梯形 ABED，tan E＝133 3，则 CE 的长为________米.
答案：C
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5.(2017 年广西南宁)如图 5-3-3，一艘海轮位于灯塔 P 的南 偏东 45°方向，距离灯塔 60 n mile 的 A 处，它沿正北方向航行 一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的 B 处，这 时，B 处与灯塔 P 的距离为( )
A.60 3 n mile C.30 3 n mile
A.sin α＝cos α C.sin β＝cos β 答案：C
图 5-3-1 B.tan C＝2 D.tan α＝1
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4.(2017 年山东烟台)如图 5-3-2，数学实践活动小组要测量 学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼 房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处，测得 点 D 的仰角为 67.5°，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为(结果精确到 0.1 米， 2≈1.414)( )
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比
解直角三角形 及其应用
仰坡和角度方、、向俯坡角角角、叫坡表做角示坡：，度坡则面有(或与i＝者水t叫a平n做α面.坡的比夹)，角用叫字做母坡i表角示，.用α
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条
水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为
北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅
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[名师点评]在实际工程、测量等问题中，关键是将实际问 题转化为数学模型，往往把计算角度、线段的长、图形的面积 等问题转化为解直角三角形中边与角的问题，利用三角函数的 知识解决问题.而在解直角三角形的情境应用中，需要发挥条件 中的角度、平行、垂直等信息的作用，有时需要像上面这样构 造新的直角三角形才能求出问题的解.
图 5-3-10
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解析：分别过 A，D 作 AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为 F， G，如图 D83.