第二章 实数回顾与思考(教学设计)

第二章实数
回顾与思考
一、学生起点分析
本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础．
二、教学任务分析
本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法．
因此，本节课的教学目标是：
①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算；
②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想；
③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流；
本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念．
本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握
的难点．
本章的知识结构框图
2
2
2
3
3
0)
x a x a x a
x a x
x a a x
x a x a x a
x a x
a
⎧⎧
⎨
⎪
⎪⎩
⎨
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎩
⎧=
⎪⎪
==
⎨
⎪=
⎪⎩
⎧=
⎪
⎨
==
⎪⎩
≥
整数
有理数
分数
实数分类
正无理数
无理数
负无理数
定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根平方根表示：若，则
算术平方根：若，则的算术平方根为
定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根立方根
表示：若，则
实数叫做二次根式
二次根式
最简二次
2
3
(0)
0,0)
0,0)
a a
a
a
a
a b
a b
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧
⎨⎪
⎨
⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎧
=≥
⎪
⎪
=
⎪
⎪=
⎪
⎪
⎪=
⎪
⎪=≥≥
⎪
⎪
=≥≥
⎪
⎪
⎪⎩
根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式重要性质
实数的性质应用
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：典例精析；
第三环节：运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．
第一环节知识回顾
知识点填空:
（1）无限不循环小数叫做无理数．
（2）有理数和无理数统称为实数．
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩
整数有理数分数实数分类正无理数无理数负无理数
（3） 实数 和数轴上的点是一一对应的．
（4）=2a a ；)0()(2≥=a a a ；a a =33)(；a a =33；
)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ；)0,0(≥≥=b a b
a b a
（5）把 分母 中的根号化去，叫做分母有理化．
（6）最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式
（7）同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；化简时，有同类二次根式要合并，可以约分的分式要约分．
设计说明：以上7个填空题老师可带着学生共同完成，通过填空让学生清晰
本章的几个重要概念，特别是（4）中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清楚．这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫.
第二环节 典例精析
（一）实数的相关概念
例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
23
3.14159265
π-
1
，2(，3.1010010001…（相邻两个1之间0的各数逐次加1）
设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方
法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含π的数；③是无限小数且不循环．在判
断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的
2(虽然都含有根号，但它们都是有理数.所以此题中的有理数有：3.14159265，
2(；无理数有：23π-1，3.1010010001…（相邻两个1之间0的各数逐次加1）
（二）实数的相关性质及运算
例2 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简a b +
设计说明：此题考查算术平方根的意义，也培养学生的读图能力，体现数学
中的数形结合思想方法．由数轴上a 、b 的位置可知0a b +<，0b a ->，从而根据算术平方根与绝对值的意义有：
()2a b a b b a a b b a a
+=-++-=--+-=-
例3 计算： (2) 482
1319125+- 设计说明：意在复习实数的运算法则及二次根式的化简.
1010==-=-
9
==+==
例4 （1）已知a 、b 30b +=，求2013()a b +的值
（2）已知3y =，求y x 的值.
设计说明：运用算术平方根的双重非负性解决此题，这也是本章的难点之一.
解：（1）0,30b ≥+≥
又30b +=
0,30b =+=
2,3a b ∴==-
201320132013()(23)(1)1a b ∴+=-=-=-
（2）240,420x x -≥-≥
24420x x ∴-=-=
2x ∴=
0033y ∴=-+=
328y x ∴==
（三）实数中的数形结合
例5、已知△ABC 中，AB =17，AC =10，BC 边上的高AD =8，则边BC 的长为多少？
设计说明：此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题．其易错点是△ABC 的形状有两种情况，学生容易忽略钝角三角形的情况．通过此题意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力.
分析：（1）当△ABC 为锐角三角形时，易求BD =15，DC =6，从而求得BC =15+6=21.
（2）当△ABC 为钝角三角形时，易求BD =15，DC =6，从而求得BC =15－6=9. 第三环节 运用巩固
1．下列说法错误的是（ ）
A ．4的算术平方根是2 B
2的平方根
C ．－1的立方根是－1
D ．－3
2．当32<<x
26x -的值．
3
x 的取值范围. 4．一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6
角形的周长与面积．
设计说明：通过这几道题意在巩固第二环节的学习效果，让学生自己动笔练习，并在独立完成后通过小组合作来进行交流订正．
B
答案：1．D 2．2 3．2x > 4．ABC C ∆=51ABC S ∆=
第四环节 课堂小结
请同学们认真思考下列问题：
1、通过本堂课的学习我收获了什么？
2、我还有哪些没有解决的困惑？
设计说明：用2分钟左后时间让学生思考这两个问题，并请学生回答，及时肯定学生的收获并加以归纳，同时发现学生的困惑及时答疑．
第五环节 布置作业
完成课本4749P -复习题知识技能1题、4题、10题；数学理解14题；问题解决21题．
设计说明：1题是关于有理数与无理数概念的题；4题为实数的运算题；10题考查的是“实数与数轴上的点一一对应”这一知识点，巩固数形结合的思想方法；14题看似简单，其实考查了本章的众多概念，特别适合用于检验学生对基础知识的掌握情况；21题为实数的应用，在考查计算的同时也锻炼了学生作图、读图、数形结合的综合能力．
四、教学设计反思
1．选择性的使用例题
在此教学设计中，例题数量并不少，针对不同的学生群体，老师可适当删减，做到有的放矢，但是建议概念例题保留．
2．给予学生充分的表达和交流的机会
老师可以在前四个环节中根据具体情况采用不同的教学方法，可以师生互动也可以生生互动，通过交流讨论让学生学会表达、学会倾听、学会归纳．其实教学活动最主要的意图就是让学生主动起来，应多给予学生交流的时间与机会．
3．注意收集学生生成性的学习资源
在师生的问答活动中、在学生的独立思考中、在生生之间的互动交流中都会迸发出许多我们难以预料的惊喜或困惑，也许是一些精彩的发言、也许是一个精妙的方法、也许是一个典型的错误、也许一个重要的经历、也许是一串宝贵的收
获…这些在课堂中新生成的资源是学生学习过程中的宝贵财富，因此我们应鼓励学生多收集这些闪光点用以形成自己可以学习借鉴的学习资源．。