圆周运动专题《圆周运动中的临界问题》

圆周运动专题（一）圆周运动中的临界问题教学目的：理解圆周运动中的动力学特征；掌握圆周运动中临界问题的分析方法和解题；培养学生正确分析物理过程、建立正确的物理模型的能力。

教学重点：有关圆周运动中临界问题的分析 教学过程：一．描述圆周运动的物理量 1． 线速度 2． 角速度 3． 周期和频率 4． 向心加速度，5． 线速度、角速度、周期和频率、向心加速度的关系r f T r v ωππ===22 v r Tr f r r v a ωππω=====22222244解圆周运动的运动学问题关键在于熟练掌握各物理量间的关系 二．圆周运动中的向心力1． 作用效果：产生向心加速度，以不断改变物体的速度方向，维持物体做圆周运动。

2． 大小：22224Tmr v m mr r v m ma F πωω===== 3． 产生：向心力是按效果来命名的，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一力提供，也可以由几个力的合力提供或是某一个力的分力提供，要根据物体受力的实际情况判定。

4． 特点：（1） 匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。

可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。

（2） 变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力大小都会发生变化，求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度。

在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时改变，其方向也不沿半径指向圆心。

合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。

（3） 物体做圆周运动的条件，是提供的向心力（沿半径方向的合力）等于需要的向心力（F 供=F 需）。

当F 供>F 需时物体做近心运动，当F 供<F 需时物体做离心运动. 例1 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ）A ．根据公式v=ωr ，可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍。

D ．根据上述选项B 和C 给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的2/2倍 答案CD三．圆周运动的临界问题：1． 水平面内的圆周运动的临界问题：例2：如图所示细绳一端系着质量为M=0.6Kg 的物体,静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m=0.3Kg 的物体，M 的重心与圆孔距离为r=0.2m,并知M 和小平面的最大静摩擦力为F m =2N 。

现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围内m 处于静止状态？(g=10m/s 2)解析：设物体M 和水平面保持相对静止，当ω具有最小值时，M 有向着圆心O 运动的趋势，故水平面对M 的摩擦力方向背离圆心向外，且等于最大静摩擦力。

对于M ：由牛顿第二定律得：21ωMr F F m T =-代入数据得：s rad 9.21=ω当ω具有最大值时，M 有离开圆心的趋势，水平面对M 摩擦力的方向指向圆心，由牛顿第二定律得：22ωMr F F m T =+ 代入数据得：s rad 5.62=ω故ω的范围是s rad s rad 5.69.2≤≤ω解题小结：本题用极限法，通过分析两个极端（临界）状态，来确定变化范围，是求解“范围类”问题的基本思路和方法。

提供的向心力（沿半径方向的合力）等于需要的向心力（F 供=F 需）时，物体做圆周运动。

当F 供>F 需时物体做近心运动，当F 供<F 需时物体做离心运动，这是分析临界问题的关键。

拓展：若M 带电量为q ，水平面上有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B ，则情况如何？ 思考：汽车转弯等问题2．竖直平面内的圆周运动的临界问题 例3： 用长L=1.6m 的细绳，一端系着质量M=1kg 的小球，另一端挂在固定点上。

现有一颗质量m=20g 的子弹以v 1=500m ／s 的水平速度向小球中心射击，结果子弹穿出小球后以v 2=100m ／s 的速度前进。

问小球能运动到多高？（取g=10m ／s 2，空气阻力不计）【错解】在水平方向动量守恒，有 mv 1=Mv+mv 2 (1)式①中v 为小球被子弹击中后的速度。

小球被子弹击中后便以速度v 开始摆动。

由于绳子对小球的拉力跟小球的位移垂直，对小球不做功，所以小球的机械能守恒，在最高点时，动能为零，即h 为小球所摆动的高度。

解①，②联立方程组得到 v=8(v/s) h=3.2(m)【错解原因】这个解法是错误的。

实际上，在小球向上运动的过程中，速度逐渐减小。

当小球运动到某一临界位置C 时，如图4－4所示，小球所受的重力在绳子方向的分力恰好等于小球做圆周运动所需要的向心力。

此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了。

小球就从这个位置开始，以此刻所具有的速度v c 作斜上抛运动。

小球所能到达的高度就是C 点的高度和从C 点开始的斜上抛运动的最大高度之和。

分析与解：如上分析，从式①求得v A =v=8m/s 。

小球在临界位置C 时的速度为v c ，高度为h′=L(1+cosθ)如图所示，根据机船能守恒定律有小球从C 点开始以速度v c 做斜上抛运动所能达到的最大高度h″为解题小结：本题的关键是对物体过程的分析，正确判断物体的运动性质，物体能否做圆运动，不是我们想象它怎样就怎样，这里有一个需要的向心力和提供向心力能否吻合的问题，当需要的向心力能从实际提供中得到满足时，就可以做圆运动。

所谓需要就是符合牛顿第二定律的力22224Tmr v m mr r v m ma F πωω=====，而提供则是实际中的力沿半径方向指圆心的分力（或合力），若两者不相等，则物体将做向心运动或者离心运动。

拓展1：若把细绳改为轻质细杆，情况如何？（h=3.2m ）拓展2：原题中若子弹射进小球后不再穿出，要使小球能在竖直平面内做圆周运动，子弹射入小球前的速度至少应为多大？解析：物体恰能通过最高点的临界条件是：物体的重力恰好提供向心力即Lv M m g M m 20)()(+=+，临界速度是gL v =0碰后小球上升过程中，机械能守恒则有202)(212)()(21v M m L g M m v M m +++=+ 碰撞过程中，水平动量守恒则有v M m mv )(1+= 由以上三式代入数据得sm v 52041=结论：物体在没有支撑物时，在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界条件是：物体的重力提供向心力即rv m mg 2=，临界速度是gr v =0：在其它位置要能做圆周运动，也必须满足F 供=F 需。

物体在有支撑物时，物体恰能达到最高点的临界速度0v =0拓展3：拓展2中若子弹带电量为q ，所在空间有竖直向下的场强为E 的匀强电场，要使小球能在竖直平面内做圆周运动，子弹射入小球前的速度至少应为多大？（只要求列式） 解析：子弹带电的电性要要讨论1、若子弹带正电，则临界点仍在最高点，对小受力分析Lv M m Eq g M m 20)()(+=++上升过程中由功能关系得202)(2122)()(21v M m L Eq L g M m v M m ++++=+ 碰撞过程中，水平动量守恒则有v M m mv )(1+=2、若是子弹带负电，则临界点的位置还和电场力与重力的大小有关 （1）当g M m Eq )(+<时，临界点仍在最高点，且有Lv M m Eq g M m 2)()(+=-+上升过程中由功能关系得202)(2122)()(21v M m L Eq L g M m v m m ++-+=+ 碰撞过程中，水平动量守恒则有v M m mv )(1+= （2）当g M m Eq )(+>时，则临界点在最低点且有Lv M m g M m Eq 2)()(+=+-上升过程中由功能关系得202)(2122)()(21v M m L Eq L g M m v m m ++-+=+ 碰撞过程中，水平动量守恒则有v M m mv )(1+=拓展4：拓展3中若所加电场方向水平向右，且子弹带正电g M m Eq )(+=情况又如何？ 解析：此时的临界点不在最高点也不在最低点，对射入子弹后的小球分析可知，除绳的拉力外小球还受到水平向右的电场力和竖直向下的重力，这两个力的合水平成450角斜向下，且大小恒为g M m )(2+，小球从A 到B 的过程中合力对小球做正功，小球的动能增大，从B 到C 的过程中合力对小球做负功，小球的动能减小，所以小球在B 点动能最大（为物理最低点），小球在C 点动能最小（为物理最高点），即C 点为小球恰能完成圆周运动的临界点，则有Lv M m g M m 20)()(2+=+从A 经B 到C 的过程中由动能定理得20200)(21)(2145cos )45sin 1()(v M m v M m EqL gL M m +-+=+++碰撞过程中，水平动量守恒则有v M m mv )(1+= 思考：子弹带负电时如何？拓展5：拓展2若所在空间不加电场，而加一个与该平面垂直且指向里面的匀强磁场，磁感应强度为B ，要使小球能在竖直平面内做圆周运动，子弹射入小球前的速度至少应为多大？E解析：对射入子弹后的小球分析可知，小球除受绳子的拉力外还受到重力和洛仑兹力作用，面洛仑兹力始终与速度方向垂直永不做功，但洛仑兹力是指向圆心还是背离圆心还与电性有关。

讨论：1、当子弹带正电时洛仑兹力指向圆心，这时临界点仍在最高点且Lv M m Bqv g M m 200)()(+=++碰后小球上升过程中，机械能守恒则有202)(212)()(21v M m L g M m v M m +++=+ 碰撞过程中，水平动量守恒则有v M m mv )(1+=2、当子弹带负电时洛仑兹力背离圆心，若g M m Bqv )(+=，则小球以任何速度都能做完整的圆周运动。

若g M m Bqv )(+<，则临界点仍在最高点且Lv M m Bqv g M m 20)()(+=-+碰后小球上升过程中，机械能守恒则有202)(212)()(21v M m L g M m v M m +++=+ 碰撞过程中，水平动量守恒则有v M m mv )(1+=拓展6：拓展2中若竖直向下的匀强电场和与该垂直平面向外的匀强电场同时存在，且子弹带负电，重力和电场力大小又相等。

情况又如何？解析：对小球受力分析知：小球所受重力和电场力等大反向，所以向心力由洛仑兹力和绳的拉力的合力提供，而洛仑兹力的方向始终指向圆心，所以，小球以任何速度都能做完整的圆周运动。

思考：带正电时又如何？重力和电场力大小不相等时呢？小结：关于圆周运动的临界问题的分析，关键是找出临界点，在找临界点时，要注意对“场”的分析，弄清各种场力的特性。