稳定性模型食饵捕食者模型(课堂PPT)
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稳定性模型食饵捕食者地中海鲨鱼问题知识讲解
定理1 对于x>0，y>0，方程(4)给出了一族封闭曲线(相 轨线)，且每条封闭曲线不包含方程组(1)的任何平衡点 。 由定理1，当x(0)及y(0)皆为正数时，方程组(1)的解x(t)， y(t)都是时间t的周期函数，设周期为T>0。 方程(4)无解析解，数值积分求解，绘制如下图 注意到平衡点P(c/f,a/b)，在图中分析得
D’Ancona的数据是捕食者每年的年平均数，为了比较，我 们必须算出方程组(1)的解 x(t)、y(t)的平均值。我们易算出
x
1 T
T
0
xtdt
1 T
T
0
c
y f
y
dt
c f
1 fT
ln
yTln
y0
捕食者死亡率下降或食饵对 捕食者供养能力提高将导致
由y(t) 的周期性，y(0)=y(T) ，得 食饵减少
稳定性模型食饵捕食者地中海鲨 鱼问题
建立微分方程组模型
设食用鱼的数量为x(t)，鲨鱼等软骨鱼的数量为y(t)，根据 鲨鱼靠捕食食用鱼为生这一事实，假设a为食饵(食用鱼)的 自然增长率，b为捕食者(鲨鱼)掠取食饵的能力的比例系数 ，c为捕食者死亡率，f为食饵对捕食者的供养能力(使捕食 者增多)的比例系数。我们建立下面的微分方程组：
dx dt
f x, y
dy
dt
g x, y
(2)
f x, y 0 gx, y 0
平衡点P0(x0,y0)就是右端对应代数方程组的解，仅当 limx(t)=x0 且limy(t)=y0 时，我们说平衡点P0是稳定的。称 x=x0，y=y0为方程组（2）的平衡解。
注意到，方程组(1)有两组平衡解x(t)=0，y(t)=0及x(t)=c/f， y(t)=a/b。对第一组平衡解，没有讨论的实际意义。 Nhomakorabea dx dt
稳定性模型--食饵捕食者模型PPT文档共22页
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ生
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
稳定性模型--食饵捕食者模型
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
稳定性模型--食饵捕食者模型
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
建模——捕食者
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
捕食-被捕食模型(精)
都有
lim x(t) x ,
t
0
称x0是方程(1)的稳定平衡点
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
(1)的近似线性方程
x F(x )(x x ) (2)
0
0
F(x0 ) 0 x0稳定(对(2),(1))
F(x0 ) 0 x0不稳定(对(2),(1))
P*
P
y=f(x)
E r x0稳定 0
x0*=N/2 x0
Nx
P的横坐标 x0~平衡点
P的纵坐标 h~产量
产量最大
P*
(
x* 0
N
/
2,
hm
rN
/ 4)
E* hm / x0* r / 2
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞
强度使效益最大.
假设 • 鱼销售价格p • 单位捕捞强度费用c
产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
F(x) 0
平衡点
x0
N (1
E ), r
x1 0
稳定性判断
F(x0 ) E r, F(x1) r E
E r F(x0 ) 0, F(x1) 0 x0稳定, x1不稳定
E r F(x0 ) 0, F(x1) 0 x0不稳定, x1稳定
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1) 一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
人教版高中生物必修3 5.5生态系统的稳定性公开课(共22张PPT)
__c__ ，种群密度减少的种群是__a__。 • (3)若持续干旱使a大量死亡，c和d种群密度将会 降低 。 • (4)当受到外界的轻微干扰后，经过一段时间，该生态系
统可以恢复到原来的状态，说明该系统具有 恢复力稳定性 与热带雨林相比，该生态系统的抵抗力稳定性 低 (低、高)
【练习2】6月5日是世界环境日，今年我国的世界环境 日主题是“践行绿色生活 ”. 草原是绿色生态环境的 重要组成部分。某草原生态系统的食物网如图所示。
（1）图中食物网的简单，因此，该 草原生态系统的__自_我__调__节____能力 较差，其__抵__抗__力____稳定性也相应 较低。除图中所示的生物类群外， 该生态系统的生物组成成分还应有 __分__解__者___才能保证其物质循环的 正常进行。 （2）如果图中草能提供10000KJ的
能量，营养级间的能量传递效率为10% ～ 20%，那么鹰占据 的营养级能得到的最低和最高能量值分为是_1_0_KJ和_4_0_0_KJ。 若去除蛇，且狐的数量不变，则草原容纳鹰的数量会__增__加__。
自身是如何抑制害虫种群的增长的？
结果:抑制或减弱了最初发生的变化，使 生态系统达到或保持稳定。 意义:是生态系统自我调节能力的基础
生态系统具有保持自身结构和功能相对稳 定的能力----------生态系统的稳定性
讨论2：河流受到轻微污染时（ 如生活污水），如何恢复正常？
• 物理沉降 • 化学分解 • 微生物分解
2、对人类利用强度较大的生态系统，应实施相 应的物质能量投入，保证生态系统内部结构与功 能的协调。
【练习1】假设a、b、c、d是一个简单生态系统中最初仅有 的四个种群，其a、c、d的营养关系为a→c→d，a与b的 关系如图，a是该生态系统主要的自养生物，请回答：
统可以恢复到原来的状态，说明该系统具有 恢复力稳定性 与热带雨林相比，该生态系统的抵抗力稳定性 低 (低、高)
【练习2】6月5日是世界环境日，今年我国的世界环境 日主题是“践行绿色生活 ”. 草原是绿色生态环境的 重要组成部分。某草原生态系统的食物网如图所示。
（1）图中食物网的简单，因此，该 草原生态系统的__自_我__调__节____能力 较差，其__抵__抗__力____稳定性也相应 较低。除图中所示的生物类群外， 该生态系统的生物组成成分还应有 __分__解__者___才能保证其物质循环的 正常进行。 （2）如果图中草能提供10000KJ的
能量，营养级间的能量传递效率为10% ～ 20%，那么鹰占据 的营养级能得到的最低和最高能量值分为是_1_0_KJ和_4_0_0_KJ。 若去除蛇，且狐的数量不变，则草原容纳鹰的数量会__增__加__。
自身是如何抑制害虫种群的增长的？
结果:抑制或减弱了最初发生的变化，使 生态系统达到或保持稳定。 意义:是生态系统自我调节能力的基础
生态系统具有保持自身结构和功能相对稳 定的能力----------生态系统的稳定性
讨论2：河流受到轻微污染时（ 如生活污水），如何恢复正常？
• 物理沉降 • 化学分解 • 微生物分解
2、对人类利用强度较大的生态系统，应实施相 应的物质能量投入，保证生态系统内部结构与功 能的协调。
【练习1】假设a、b、c、d是一个简单生态系统中最初仅有 的四个种群，其a、c、d的营养关系为a→c→d，a与b的 关系如图，a是该生态系统主要的自养生物，请回答：
高中生物必修3 5.5生态系统的稳定性公开课(共22张PPT)[优秀课件][优秀课件]
![高中生物必修3 5.5生态系统的稳定性公开课(共22张PPT)[优秀课件][优秀课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/44c4213869dc5022aaea00c3.png)
（1）图中食物网的简单，因此，该 草原生态系统的__自_我__调__节____能力 较差，其__抵__抗__力____稳定性也相应 较低。除图中所示的生物类群外， 该生态系统的生物组成成分还应有 __分__解__者___才能保证其物质循环的 正常进行。 （2）如果图中草能提供10000KJ的
能量，营养级间的能量传递效率为10% ～ 20%，那么鹰占据 的营养级能得到的最低和最高能量值分为是_1_0_KJ和_4_0_0_KJ。 若去除蛇，且狐的数量不变，则草原容纳鹰的数量会__增__加__。
温故知新
生态系统的结构
非生物物质和能量
生态系统 的成分
生产者 消费者
食物链（网） （营养结构）
分解者 生态系统的功能
物质循环 能量流动 信息传递
生态系统的稳定性
溧阳市埭头中学 马建华
亚马逊森林历经上千万年了，为什么仍能 保持相对稳定？
生态系统具有自我调节能力
讨论1：森林中负，反害虫馈数调量节增加时，系统
2、对人类利用强度较大的生态系统，应实施相 应的物质能量投入，保证生态系统内部结构与功 能的协调。
【练习1】假设a、b、c、d是一个简单生态系统中最初仅有 的四个种群，其a、c、d的营养关系为a→c→d，a与b的 关系如图，a是该生态系统主要的自养生物，请回答：
• (1)该生态系统中a和b的种间关系是__竞__争__ 。 • (2)若d大量死亡，则一定时间内种群密度增加的种群是
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没
能量，营养级间的能量传递效率为10% ～ 20%，那么鹰占据 的营养级能得到的最低和最高能量值分为是_1_0_KJ和_4_0_0_KJ。 若去除蛇，且狐的数量不变，则草原容纳鹰的数量会__增__加__。
温故知新
生态系统的结构
非生物物质和能量
生态系统 的成分
生产者 消费者
食物链（网） （营养结构）
分解者 生态系统的功能
物质循环 能量流动 信息传递
生态系统的稳定性
溧阳市埭头中学 马建华
亚马逊森林历经上千万年了，为什么仍能 保持相对稳定？
生态系统具有自我调节能力
讨论1：森林中负，反害虫馈数调量节增加时，系统
2、对人类利用强度较大的生态系统，应实施相 应的物质能量投入，保证生态系统内部结构与功 能的协调。
【练习1】假设a、b、c、d是一个简单生态系统中最初仅有 的四个种群，其a、c、d的营养关系为a→c→d，a与b的 关系如图，a是该生态系统主要的自养生物，请回答：
• (1)该生态系统中a和b的种间关系是__竞__争__ 。 • (2)若d大量死亡，则一定时间内种群密度增加的种群是
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没
稳定性模型食饵捕食者模型课件
m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模 型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导，直接得出模型在 各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况， 但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度，以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是 一种生态学数学模型，用于描 述捕食者和食饵之间的相互作 用关系。
该模型由两个微分方程组成， 分别描述了食饵和捕食者的种 群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳 定性，可以了解种群数量的变 化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由 美国生态学家洛特卡和沃尔特 拉提出的，用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量，表示在理想 环境下，食饵种群的最大数量 。
H
捕食者的半饱和常数，表示捕 食者达到最大捕食效率时所需 要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率，表示 在没有环境限制的情况下，食 饵种群的增长速度。
a
捕食效率，表示单位时间内， 一个捕食者能够捕获的食饵数 量。
通过分析系统的数学模型 ，可以确定分岔的类型和 发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模 型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察，对捕食者 对食饵的捕食率进行更精确的估 计和调整，以提高模型的预测精 度。
调整死亡率
根据环境和物种特性，调整食饵 和捕食者的死亡率，使模型更符 合实际情况。
一类食饵-捕食模型的稳定性和Hopf分岔
一类食饵-捕食模型的稳定性和Hopf分岔引言：食物链是自然界中生物互相作用的重要方面之一，而食饵-捕食模型是描述这种互相作用的数学模型之一。
在这类模型中，食饵是指养分来源，捕食者则以食饵为食。
在这篇文章中，我们将探究现象。
一、模型的建立假设食饵种群的增长率与其种群大小成正比，而捕食者种群的增长率与食饵种群大小和捕食者种群大小成正比。
以t表示时间，x(t)和y(t)分别表示食饵种群和捕食者种群的大小，则该模型的数学表达式如下：dx/dt = ax - bxydy/dt = cxy - dy其中，a、b、c和d为常数，分别表示食饵种群的增长率、食饵种群遭到捕食者捕食的速率、食饵被捕食后被转化为捕食者的速率和捕食者种群的死亡率。
二、平衡点的分析平衡点是指在一段时间内，系统中各个种群的大小保持不变的状态。
在我们的模型中，稳定的平衡点应该满足以下条件： dx/dt = 0 => ax - bxy = 0dy/dt = 0 => cxy - dy = 0由以上两个方程可以解得平衡点为：(x*, y*) = (d/c,a/b)。
当系统处于平衡点时，食饵和捕食者种群的大小不再发生变化。
三、线性稳定性分析为了探究平衡点的稳定性，我们需要对系统进行线性稳定性分析。
假设系统在平衡点周边有微小的扰动，即令(x, y) = (x* + ε, y* + δ)，其中ε和δ为很小的变量。
将这个微小扰动代入模型的微分方程中，可以得到以下近似方程：dε/dt = (a - b(y* + δ))εdδ/dt = (c(x* + ε)y* - d)δ通过对近似方程进行线性化，可以得到雅可比矩阵：J = | a - by* -bx* || cy* cx* - d|其中，x*和y*为平衡点的坐标。
依据线性稳定性理论，平衡点(x*, y*)是稳定的当且仅当雅可比矩阵的全部特征值具有负实部。
四、Hopf分岔的分析除了探究系统的稳定性外，我们还关注系统是否存在Hopf分岔现象。
一类捕食者-食饵扩散模型的稳定性分析
则有 Ｌ＞ ． ４ 式及 文［ ］ ０ 由（ ） ９ 引理 ２ ５ ３得 ．．
± 竺
ｕ
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’ ｈ； ｕｕ
Ｊ“ “ ｎ－ ｄ （一 ） ｘ
（一‘ｄ＝・ ｕ “ ０ ｚ２ｘ ）
令 Ａ＝ ， 则 （ Ａ）＝ 当 。 ∞时
＋ ＋ Ａ
什么条件下 问题 的（ ） １ 的正平衡点稳定．
由上 、 解 方 法 知 ： 任 意 非 负 光 滑 的 初 始 函 数 下 对
。 。 ２ｕ 了 “ － ｅ［一 ＿ ＝
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ａ２ ＝ １
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一
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（）ｉ ，， Ｘ ，：１ ２ 问题 （ ） １ 存在 唯 一 非负 整体 解 （ ｕ，
＝， ， ０ ∈ ｎ｝
衡点 ， 则相应 于（ ） １ 的常微 分方程组存在唯一稳定 的 极限环． 若正平衡点存在 唯一且局部 稳定 ， 则该正 平
衡点全局 渐近稳 定． 意到 （ ） 注 １ 的常微 分方程组形式 的解是反 应扩散 问题 （ ） １ 的特解． 因此 ， 当常微 分方 程组 形式 的（ ） １ 的正 平衡 点不稳定时 ， 它仍 是反应扩 散问题 （ ） １ 的不稳 定平衡 点． 本文 的主要 问题 是 ： 故
正平衡点 的局 部渐 近稳定 性 和全 局渐 近稳 定性 ， 其
中 ｎ是 Ｒ 中边界光滑 的有 界 区域 ， 是 ０ 上的单 ７ ７ １ ２ 位外 法向量， ＝ａａ ， Ｘ ｔ ， （ ，） ｄ ／ ｕ （ ，） Ｘ ｔ 分别是食 饵 种群和捕食者种群 的密度 函数 ， ， Ｉ，， Ｗ都 是 ａ ｂ ｃｄ ｈ和 正常数． 由文 ［ ，］ ， （ ） 在唯 一的不稳 定 的正 平 １２ 知 若 １ 存
4.6 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型)
甲独立生存的增长率为 r
乙独立生存的死亡率为d 乙使甲的增长率减小， 减小量与 y成正比 甲使乙的死亡率减小， 减小量与 x成正比
x rx
y(t ) dy
x1 (t ) x1 (r11 x2 ) (1) x2 (t )＝x2 (r2 2 x1 ) (2)
2 :食饵供养捕食者能力
消去dt
dx1 x1 (r1 1 x 2 ) dx2 x 2 (r2 2 x1 )
r2 1nx1 2 x1 r11nx2 1 x2 c1
r ( x1r 2 e 2 x1 )( x21e 1x 2 ) c
令
r ( x1 ) x1r 2 e 2 x1 ( x2 ) x21e 1x 2
x1 (t ) x 2 (t ) 平均值分别为 x1 x 2
x2 (t )＝x2 (r2 2 x1 )
1 x2 x1 (t )＝ （ r2 ) 2 x 2
r2 1 T x1 x1 (t )dt T 0 2
x1 x
0 1
x2
0 2
r1
1
r1
r2
2
, x2 x
用此模型解释战争期间捕获量下降对鲨鱼更有利
自然环境下考虑人工捕获的影响
捕获能力的系数为e 捕食者的死亡率
r2 e
食饵的自然增长率 r1 e
y1(t),y2(t)表示这种情况下食饵和捕食者的数量 平均值为
y1 r2 e
2
, y2
r1 e
1
战争期间捕获系数下降为e2
食饵z1(t)和捕食者z2(t)的平均值为
0 0 Q1 ( x1 , x2 ) Q2 ( x1, x 2 )
稳定性模型PPT课件
• 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F(x) f (x) h(x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1) 一阶非线性（自治）方程
y(t)很小，但因x 0, y 0 ，也会重整军备。
4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0，
也会因 x ky g 使该方重整军备， 即存在互不信任( k 0 ) 或固有争端(g 0 ) 的单方
面裁军不会持久。
6.3 种群的相互竞争
• 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间 的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。
E r F(x0 ) 0, F(x1) 0 x0不稳定, x1稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大 图解法
F(x) f (x) h(x)
y
f (x) rx(1 x )
N
hm
h
h(x) Ex
x(t) ax by y(t) cx dy
的平衡点及其稳定性
平衡点 P0(0,0)
特征根 ( p p2 4q) / 2 1, 2
微分方程一般解形式 c e1t c e2t
1
2
1,2为负数或有负实部
p>0且q>
0 p<0或q<
0
平衡点 P0(0,0)稳 定 平衡点 P0(0,0)不稳定
1
食饵捕食者模型
食饵捕食者模型Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】楚雄师范学院数学系《数学模型》课程食饵—捕食者模型3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。
自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。
二者共同组成食饵—捕食者系统。
一食饵—捕食者选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。
九年级下科学_生态系统的稳定性_上课课件ppt浙教版
温故而知新
生态系统组成
生物群落
非生物环境
生产者 消费者 分解者
非
生
主
指
指
命
指
各
微
物
绿
种
生
质
色
动
物
和
植
物
能
物
量
温故而知新
生态系统
生物 物质、能量 无机 群落 （连续）交换 环境
生态系统中生物个体的数量在不断变化，物质 和能量总是不断地从无机环境进入生物群落，又 从生物群落回到无机环境，故生态系统总是在变 化发展的。
在这个生态系统中，鼠类数量大量增加会引 起生态系统怎样的变化？
鼠类数量减少
食鼠 鼠食 动植 物物 增减 加少
生态系统发展到一 定阶段，它的结构和功 能能够通过一定的调节 作用而保持相对稳定。
食鼠 鼠食 动植 物物 减增 少加
鼠类增加
所会以 破适 坏量原生砍有态伐生系树 态统木 系具有、 统一适 的定量 结的放 构自牧 功动、 能调适。节能量力捕捉并不
布在长江中上游地区实施天然林保护工程。
生态系统中的成分越单纯，生物种类越少，自 生态系统中的成分越复杂，生物种类越多，自动调节能力就越强，生态系统的稳定性越高。
而当今世界的生物物种正在一天天减少却是确凿无疑的。
动调节能力就越弱，生态系统的稳定性越低。 后来生态学家立足于改善食物链，从我国引进了若干屎壳郎，这些屎壳郎将牛粪滚成球，推到地下，清除了污染，肥沃了土壤，促进
⑴人们盲目引进新物种，使原有的__生__态__平__衡__遭到破坏。
⑵引进屎壳郎后，重新调整了生态系统的___分__解__者__组成部分， 恢复了___生__态__平__衡_______。
生态系统组成
生物群落
非生物环境
生产者 消费者 分解者
非
生
主
指
指
命
指
各
微
物
绿
种
生
质
色
动
物
和
植
物
能
物
量
温故而知新
生态系统
生物 物质、能量 无机 群落 （连续）交换 环境
生态系统中生物个体的数量在不断变化，物质 和能量总是不断地从无机环境进入生物群落，又 从生物群落回到无机环境，故生态系统总是在变 化发展的。
在这个生态系统中，鼠类数量大量增加会引 起生态系统怎样的变化？
鼠类数量减少
食鼠 鼠食 动植 物物 增减 加少
生态系统发展到一 定阶段，它的结构和功 能能够通过一定的调节 作用而保持相对稳定。
食鼠 鼠食 动植 物物 减增 少加
鼠类增加
所会以 破适 坏量原生砍有态伐生系树 态统木 系具有、 统一适 的定量 结的放 构自牧 功动、 能调适。节能量力捕捉并不
布在长江中上游地区实施天然林保护工程。
生态系统中的成分越单纯，生物种类越少，自 生态系统中的成分越复杂，生物种类越多，自动调节能力就越强，生态系统的稳定性越高。
而当今世界的生物物种正在一天天减少却是确凿无疑的。
动调节能力就越弱，生态系统的稳定性越低。 后来生态学家立足于改善食物链，从我国引进了若干屎壳郎，这些屎壳郎将牛粪滚成球，推到地下，清除了污染，肥沃了土壤，促进
⑴人们盲目引进新物种，使原有的__生__态__平__衡__遭到破坏。
⑵引进屎壳郎后，重新调整了生态系统的___分__解__者__组成部分， 恢复了___生__态__平__衡_______。
稳定性模型食饵捕食者模型.优秀PPT资料
x(t) 1(y d) by
1(lny(T)lny(0)dT)
T
b
b
x(t)(ra)yx
xd/b
yr/a
轨线 中心
P (x 0 ,y 0 ):x 0 d/b ,y 0 r/a
xx0,yy0
模型解释
x(t)(ra)yx y(t)(db)xy
初值 P0(x0 , y0 ) 相轨线的方向
T1:x(t)y(t)
P点稳定性不能用近似线性方程分析
用相轨线分析 P(d/b,r/a)点稳定性
x(t) (r ay)x y(t) (d bx)y
消去dt
dx x(r ay) dy y(d bx)
dbxdxraydy
x
y
d lx n b r x ly n a c y 1
(xdebx)(yreay)c
取指数
c 由初始条件确定
60
40
20
y(t)
0
0 T1 2 T2 4 T3 6
T 8
10
4
12
模型解释
30
捕食者 数量
y
r a
25 20
15
r ~食饵增长率
r/a10
5
a ~捕食者掠取食饵能力 0 0
P 20d/b 40
捕食者数量与r成正比, 与a成反比
计算结果（数值，图形）
观察，猜测
x(t), y(t)是周期函数，相轨线(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为10.7 xmax 99.3, xmin 2.0, ymax 28.4, ymin 2.0 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10.
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…
…
…
5.1000 9.6162 16.7235
5.2000 9.0173 16.2064
…
…
…
9.5000 18.4750 4.0447
9.6000 19.6136 3.9968
9.7000 20.8311 3.9587
4
食饵-捕食者模型(Volterra)
x(t) (r ay)x y(t) (d bx) y
5
Volterra模型的平衡点及其稳定性
x(t) (r ay)x rx axy
稳定性分析
y(t) (d bx)y dybxy
r ay ax
平衡点
P(d / b, r / a), P(0,0)
A
by
d bx
0 ad / b
A P br / a
0
p =0, q > 0 P: 临界状态
x x0 , y y0 10
模型解释
x(t) (r ay)x y(t) (d bx)y
初值 P0(x0 , y0 ) 相轨线的方向
T1 : x(t) y(t) T2 : x(t) y(t) T3 : x(t) y(t)
T4 : x(t) y(t)
30 T3
P(d / b, r / a)
( xd ebx )( yr eay ) c
取指数
c 由初始条件确定
7
用相轨线分析 P(d / b, r / a) 点稳定性
( xd ebx )( yr eay ) c f (x) g(y)
f(x) fm
相轨线 f (x)g( y) c
在相平面上讨论相轨线的图形
OБайду номын сангаас
x0
x
g(y)
f (0) f () 0, f (x0 ) fm , x0 d / b gm
r 0
A P 0
d
q<0 P´ 不稳定
P点稳定性不能用近似线性方程分析 6
用相轨线分析 P(d / b, r / a) 点稳定性
x(t) (r ay)x y(t) (d bx) y
消去dt
dx x(r ay) dy y(d bx)
d bx dx r ay dy
x
y
d ln x bx r ln y ay c1
30
捕食者 数量
y r a
25 20
15
r ~食饵增长率
r/a10
5
a ~捕食者掠取食饵能力 0 0
P 20d/b 40
捕食者数量与r成正比, 与a成反比
P(d / b, r / a)
60 80 100 120
食饵 数量
x
d b
d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力
食饵数量与d成正比, 与b成反比
(2)
a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 方程(1),(2) 无解析解
3
用数学软件MATLAB求微分方程数值解
t
x(t)
y(t)
0
20.0000 4.0000
0.1000 21.2406 3.9651
0.2000 22.5649 3.9405
0.3000 23.9763 3.9269
计算结果（数值，图形）
观察，猜测
x(t), y(t)是周期函数，相轨线(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为10.7 xmax 99.3, xmin 2.0, ymax 28.4, ymin 2.0 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10.
25
20 x 0
T2
15 y 0 x 0，y 0
10 x 0 P x 0，y 0
• T54 y 0 P0
0
0
20 40 60 80
T1
100 120
120
x(t) 的“相位”领先
100
y(t)
80
x(t)
60
40
20
y(t)
0
0 T1 2 T2 4 T3 6
T 8
10
12
4
11
模型解释
第七章 稳定性模型
§7.5 食饵-捕食者模型
1
7.5 食饵-捕食者模型 (种群的弱肉强食)
• 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠 捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如 食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫.
• 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海 渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)， 但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？
存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q Q3(x,y1), Q4(x,y2)
x是[x1, x2]内任意点
相轨线是封闭曲线族 9
用相轨线分析 P(d / b, r / a) 点稳定性
相轨线是封闭曲线
x(t), y(t)是周期函数(周期记 T)
求x(t), y(t) 在一周期的平均值 x, y y(t) (d bx) y
12
模型 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降， 解释 但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？
自然环境 P(x, y) x d / b, y r / a
y0 Q1
P
Q2
y
y1
O
Q3 x1 x x0
Q3 x x2 x
相轨线退化为P点 P~中心
c fm gm 设c pgm 令y y0 g( y) gm f (x) p fm
存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p
Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)
考察x [x1, x2 ] f (x)g( y) pgm f (x) p g( y) q gm
2
食饵-捕食者模型(Volterra)
食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t)
甲独立生存的增长率 r
x rx
乙使甲的增长率减小， x(t) (r ay)x rx axy (1)
减小量与 y成正比
乙独立生存的死亡率 d
y dy
甲使乙的死亡率减小， 减小量与 x成正比
y(t) (d bx)y dy bxy
x 1 T x(t)dt 1 T 1 ( y d )dt
T0
T 0b y
x(t) 1 ( y d ) by
1 (ln y(T ) ln y(0) dT )
T
b
b
x(t) (r ay)x
x d/b
y r/a
轨线 中心
P(x0, y0 ) : x0 d / b, y0 r / a
g(0) g() 0, g( y0 ) gm , y0 r / a
O
y0
y
c fm gm 时无相轨线 以下设 c fm gm 8
相轨线 f (x)g( y) c
f(x) fm p
O x1 x0
c fmgm
g(y)
gm q
x2
x O y1
x x0, y y0
y y2
Q4
Q4
y0 y2