数学建模预测模型与案例
数学建模讲座--预测模型
年份
1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
时序 （ t） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
总额 （ yt ） 604.5 638.2 670.3 732.8 770.5 737.3 801.5 858.0 929.2 1023.3 1106.7
k
(一) 直线趋势外推法
适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线 上升或下降的情形。 该预测变量的长期趋势可以用关于时间 的直线描述，通过该直线趋势的向外延伸 （外推），估计其预测值。 两种处理方式：拟合直线方程与加权拟合直线 方程
例 3.1 某家用电器厂 1993～2003 年利润额数据资料如表 3.1 所示。试预测 2004、2005年该企业的利润。
二 、趋势外推法经常选用的数学模型
根据预测变量变动趋势是否为线性，又分为线性趋势外推法 和曲线趋势外推法。
ˆt b0 b （一）线性模型y 1t （二）曲线模型 1.多项式曲线模型 2.简单指数曲线模型 3.修正指数曲线模型 4.生长曲线模型 （龚珀资曲线模型）
2
ˆt b0 b1t b2t bk t y 多项式模型一般形式：
预测模型简介
数学模型按功能大致分三种： 评价、优化、预测 最近几年，在大学生数学建模竞赛常常出 现预测模型或是与预测有关的题目：
1.疾病的传播； 2.雨量的预报； 3.人口的预测。
统计预测的概念和作用
（一）统计预测的概念
概念: 预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。 统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计 方法对事物的未来发展进行定量推测.
数学建模模型案例
数学建模模型案例一、旅行商问题(TSP)旅行商问题是一个典型的数学优化问题，在旅行商问题中，旅行商需要在给定的一系列城市之间找到一条最短路径，使得他能够只经过每个城市一次并最终回到起点城市。
这个问题可以用图论和线性规划等方法来进行建模和求解，可以应用于物流配送、路径规划等领域。
二、股票价格预测模型股票价格预测是金融领域中的一个重要问题。
可以使用时间序列分析、机器学习等方法来建立股票价格预测模型。
模型需要考虑多个因素，如历史股价、经济指标、市场情绪等，以预测未来股票价格的趋势和波动。
三、疫情传播模型疫情传播模型是在流行病学领域中使用的一种数学模型，用于研究疾病在人群中的传播规律。
常见的疫情传播模型有SIR模型、SEIR 模型等，这些模型可以用来预测疫情的传播速度、感染人数以及制定相应的防控策略。
四、能源优化调度模型能源优化调度模型用于优化电力系统、能源系统等中的能源调度问题。
这种模型需要考虑电力需求、能源供应、能源转换效率等因素，以最小化成本或最大化效益，并且满足各种约束条件。
五、机器学习分类模型机器学习分类模型用于将数据集中的样本分为不同的类别。
这种模型可以使用各种机器学习算法，如逻辑回归、决策树、支持向量机等，以根据样本的特征来预测其所属的类别。
六、交通拥堵预测模型交通拥堵预测模型用于预测城市交通网络中的拥堵情况。
这种模型可以使用历史交通数据、天气数据、道路网络数据等进行建模，以预测未来某个时刻某个路段的交通状况，并提供相应的交通管理建议。
七、供应链优化模型供应链优化模型用于优化供应链中的物流和库存管理等问题。
这种模型需要考虑供应商、生产商、分销商之间的关系，以最小化库存成本、运输成本等，并满足客户需求。
八、排课调度模型排课调度模型用于学校或大学的课程安排问题。
这种模型需要考虑教室、教师、学生、课程等因素，以最大化教学效果、减少冲突，并满足各种约束条件。
九、旅行路线规划模型旅行路线规划模型用于帮助旅行者规划旅行路线。
数学建模的实例与分析
数学建模的实例与分析在现代社会中，数学建模作为一种重要的科学方法，被广泛应用于各个领域。
通过数学模型的构建和分析，我们能够深入了解问题的本质，预测未来的趋势，并为决策提供科学依据。
本文将为大家介绍两个关于数学建模的实例，并对其进行详细分析。
实例一：股票价格预测股票市场一直以来都备受人们的关注，因为其价格的波动会对投资者的财富造成重大影响。
为了帮助投资者更好地预测股票价格，数学建模成为了一种重要的工具。
在股票价格预测的建模过程中，一般使用时间序列分析方法。
首先，我们需要获取一段时间内的历史股票数据，包括每日的股票价格和交易量。
然后，通过统计学方法对这些数据进行分析，例如平均值、标准差等。
接下来，我们可以利用时间序列模型，如ARIMA模型，来对未来的股票价格进行预测。
除了时间序列分析，机器学习算法也可以应用于股票价格的预测。
例如，可以使用支持向量机（SVM）或人工神经网络（ANN）等算法，通过训练模型来捕捉股票价格的变化规律，并进行预测。
这些算法能够根据历史数据中的模式和趋势，预测未来股票价格的走势。
通过数学建模，我们能够更好地理解股票市场的运行规律，并及时预测股票价格的变化，为投资者提供决策参考。
实例二：交通拥堵模拟随着城市化的发展，交通拥堵成为了一个普遍存在的问题。
为了有效地缓解交通拥堵，数学建模可以帮助我们研究交通流的特性，并设计出更好的交通管理策略。
在交通拥堵模拟中，常常使用微观模型和宏观模型相结合的方法。
微观模型关注个体车辆的行为，例如车辆的加速度、减速度以及车头间距等。
而宏观模型则关注整体交通流的特性，例如道路容量、流量以及速度等。
通过对交通流的建模和仿真，我们可以模拟城市道路网络中交通流的变化，以及拥堵的产生和扩散过程。
借助于数学建模，我们可以预测在不同交通管理策略下，拥堵情况的变化以及交通状况的优化效果。
此外，数学建模还可以结合其他领域的知识，如人工智能和大数据分析，来进一步提高交通拥堵模拟的准确性和可靠性。
数学建模与应用案例
数学建模与应用案例数学建模是一种将数学方法和技巧应用于实际问题求解的过程。
它通过建立数学模型，对问题进行抽象和描述，然后利用数学工具进行分析和求解，最终得出问题的解决方案。
数学建模在各个领域都有广泛的应用，本文将介绍几个数学建模与应用的案例。
案例一：交通流量预测交通流量预测是城市交通规划和管理中的重要问题。
通过对交通流量进行预测，可以合理安排交通资源，提高交通效率。
数学建模可以通过分析历史交通数据，建立交通流量预测模型。
以某城市的交通流量预测为例，可以采用时间序列分析方法，通过对历史交通数据的分析，建立交通流量与时间的关系模型。
然后利用该模型对未来的交通流量进行预测，从而为交通规划和管理提供科学依据。
案例二：股票价格预测股票价格预测是金融领域的重要问题。
通过对股票价格进行预测，可以帮助投资者做出更明智的投资决策。
数学建模可以通过分析历史股票数据，建立股票价格预测模型。
以某股票的价格预测为例，可以采用时间序列分析方法，通过对历史股票数据的分析，建立股票价格与时间的关系模型。
然后利用该模型对未来的股票价格进行预测，从而为投资者提供参考。
案例三：疾病传播模型疾病传播是公共卫生领域的重要问题。
通过建立疾病传播模型，可以预测疾病的传播趋势，制定有效的防控策略。
数学建模可以通过分析疾病传播的规律，建立疾病传播模型。
以某传染病的传播为例，可以采用传染病动力学模型，通过对疾病传播的机理进行建模，预测疾病的传播速度和范围。
然后利用该模型对疾病传播进行预测，从而为公共卫生部门提供决策支持。
案例四：物流配送优化物流配送是供应链管理中的重要问题。
通过优化物流配送方案，可以降低物流成本，提高物流效率。
数学建模可以通过分析物流配送的需求和约束条件，建立物流配送优化模型。
以某物流公司的配送问题为例，可以采用线性规划方法，通过对物流配送的需求和约束进行建模，优化配送方案。
然后利用该模型对物流配送进行优化，从而为物流公司提供最佳配送方案。
数学建模 -的范例
针对问题三，本文首先对主要风险因子进行了灰色预测，计算出未来几年水资源总量、降水量、平均气温、生活用水量、工业用水量。
然后采用问题二中的BP神经网络预测每年的缺水量。
最后通过整合往年的数据，运用问题二中的熵值取权的模糊评价模型预测出未来几年内水资源短缺的风险等级。
由于考虑到降水量和地下储水相关系数高，我们依据历年的降水量估测出平水年，偏枯年，枯水年三种不同年份的水资源总量，并应用问题二的风险评价模型进行评估，得到三种不同年份水资源短缺风险等级依次为高，较高，较低。
最后我们分析了南水北调工程对北京市未来两年水资源短缺的风险等级影响，风险等级依次变为低，偏低，无。
针对问题四，我们从北京市水资源现状及分析、北京市严重缺水的原因探究、北京市水资源开发利用对策三个层面向相关行政主管部门提交建议报告，以求帮助其合理规避水资源短缺风险。
关键字：水资源短缺风险、灰色关联度分析、主成分分析，模糊综合评价、BP 神经网络、熵值取权一、问题重述1.1 问题背景水是生命之源，万物之本，是人类生存和发展不可或缺的物质，是地球上最普遍、最常见同时也是最珍贵的自然资源。
水是人类一切生产活动的基础，有水的地方欣欣向荣，水资源枯竭的地方则文明消失。
长期以来，我们注重经济社会发展，却忽略了水资源的承载能力，注重水资源开发利用，却没有同等重视节约和保护。
随着经济社会发展，1.2 问题重述水资源短缺危险泛指在特定的时空环境下，由于来水和用水的不确定性，室区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及有此产生的损失。
近年来我国水资源短缺问题日趋严重，以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，属严重缺水地区。
虽然政府采取了一些列措施，如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。
但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。
如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。
数学建模解决实际问题的实践案例
数学建模解决实际问题的实践案例数学建模是一种将实际问题进行抽象、建模、求解、验证的一种方法，可以解决各种各样的实际问题。
实践中，数学建模已经发展成为一门独立的学科，吸引着越来越多的学生和专业人士关注和参与。
本文将介绍数学建模解决实际问题的一些实践案例，以期为学习和实践的人提供一些启示和借鉴。
1. 预测疫情发展趋势随着全球新冠疫情的爆发，各国政府和公众非常关注疫情的发展趋势。
数学建模可以帮助预测疫情的传播和爆发趋势，为政府制定应对措施提供参考和依据。
一个成功的例子是2020年初，中国各大高校和研究机构联合开展的“新冠疫情数学建模竞赛”，其中多个团队使用了数学模型预测了疫情的发展趋势，并对实际情况进行调整和优化，取得了很好的成果。
2. 优化交通运输系统交通拥堵是城市发展的一大难题，为了解决这个问题，可以使用数学模型优化交通运输系统。
例如，瑞典斯德哥尔摩的交通问题比较突出，瑞典皇家理工学院的研究人员使用数学模型建立了一个交通仿真系统，可以模拟不同的交通场景，优化交通路线和信号灯的配时，从而减少拥堵和排放污染物。
3. 改善医疗服务质量医疗服务是人民生活的重要组成部分，如何优化医疗服务质量是医疗行业面临的重要问题。
数学模型可以帮助医疗机构优化医疗流程和资源配置，提高医疗服务效率和质量。
例如，美国佛罗里达州的一家医疗中心就使用了数学模型对医生的看诊时间进行优化，从而减少了等待时间和排队人数，提高了医疗服务质量和满意度。
4. 提高金融风险管理能力金融风险管理是金融机构必须面对的问题之一，如何预测和管理风险是保证金融行业稳定发展的关键。
数学模型可以帮助金融机构进行风险评估和预测，制定风险管理策略。
例如，中国银监会就使用了数学模型对风险指标进行监测和预测，从而提高了银行业的风险管理能力和金融稳定性。
总的来说，数学建模可以解决各种各样的实际问题，这些案例只是冰山一角。
数学建模不仅有理论上的重要性，更有实践上的应用价值。
数学教学中的数学建模案例
数学教学中的数学建模案例数学建模是指运用数学原理与方法解决实际问题的过程。
在数学教学中，数学建模可以帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力和应用数学的能力。
本文将介绍几个数学建模在数学教学中的典型案例。
案例一：用数学建模解决实际问题我们以一个实例开始，假设一个园区的供电系统需要进行优化和改造，以降低能耗和成本。
为了解决这个问题，我们可以通过数学建模来分析和优化供电系统。
首先，我们可以收集园区的用电数据，包括用电量、峰谷电价等信息。
然后，我们可以建立数学模型，使用线性规划等方法来优化供电系统的运行。
通过调整供电系统的负荷分配和电源配置，我们可以找到一种最优方案，以达到降低能耗和成本的目标。
在数学教学中，我们可以通过这个案例引导学生运用数学知识和方法解决实际问题。
学生可以根据实际场景，收集数据，建立数学模型，并利用计算机软件进行模拟和优化。
这样，学生不仅可以巩固数学知识，还可以提高他们的问题解决能力和创新思维。
案例二：用数学建模解决交通流问题交通流问题是城市规划中的一个重要问题。
如何合理安排信号灯的时序，以及交通流的优化调度，都是需要运用数学建模来解决的。
我们可以以某个路口的交通流问题为例。
假设某个路口存在交通拥堵问题，我们需要通过数学建模来优化车辆的行驶路径和交通信号。
首先，我们可以通过收集交通流数据，包括车辆数量、车速等信息。
然后，我们可以建立数学模型，使用图论等方法来分析交通网络的拓扑结构，考虑车辆的速度、密度等因素，并结合交通信号的控制，来优化交通流的调度和路口的通行效率。
在数学教学中，我们可以通过这个案例让学生了解到数学在交通规划中的应用。
学生可以通过收集数据、建立数学模型，运用图论等数学知识，来解决交通流问题。
通过这种实践性的学习，学生可以更好地理解数学的应用和实际问题的解决方法。
案例三：用数学建模解决金融风险问题金融风险管理是银行和其他金融机构需要处理的一个重要问题。
银行数学建模竞赛案例
银行数学建模竞赛案例以下是一个可能的银行数学建模竞赛案例：题目：银行客户流失预测模型背景：某银行希望通过数学建模来预测客户的流失情况，以便采取措施提高客户的留存率。
该银行提供各种金融服务，包括储蓄账户、贷款、信用卡等。
要求：针对该银行的客户数据库，建立一个客户流失预测模型，并使用该模型预测未来一年内的客户流失率。
数据集：- 客户特征数据：包括客户的年龄、性别、职业、收入、信用评级等。
- 服务使用情况数据：包括客户是否使用过各种金融产品，如储蓄账户、贷款、信用卡等。
- 客户流失数据：包括客户是否在过去一年内流失。
任务：1. 数据探索：对提供的数据进行统计分析和可视化，了解数据的分布、关联性等。
2. 特征工程：根据数据探索的结果，选择合适的特征用于模型建立，并进行数据预处理（如缺失值处理、标准化等）。
3. 模型建立：选择合适的机器学习模型或统计模型来建立客户流失预测模型。
可选择的模型包括逻辑回归、决策树、随机森林、支持向量机等。
4. 模型评估：使用交叉验证等方法评估模型的性能，并选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1分数等）。
5. 模型优化：根据评估结果，对模型进行优化，可以尝试不同的特征选择、模型调参等方法。
6. 未来预测：使用优化后的模型预测未来一年内客户的流失率，并给出相关报告和建议。
参考解决思路：1. 数据探索：使用统计方法和可视化工具对数据进行探索，分析客户特征和服务使用情况之间的关系，并观察流失客户与非流失客户的差异。
2. 特征工程：根据数据探索的结果选择重要的特征，并对数据进行预处理，如处理缺失值、进行标准化或归一化等。
3. 模型建立：根据任务的要求选择合适的模型进行建立，可以尝试多种模型并进行比较。
4. 模型评估：使用交叉验证等方法评估模型的性能，并选择合适的评估指标进行评估。
5. 模型优化：根据评估结果对模型进行优化，可以尝试不同的特征选择、模型调参等方法来提高模型的性能。
6. 未来预测：使用优化后的模型对未来一年内客户的流失率进行预测，并给出相关报告和建议，如哪些客户群体容易流失，可以采取什么措施来提高他们的留存率等。
数学建模预测模型与案例
代科学的重要任务。 20 世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需 求有很大关系，另一方面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的 发展是可以预测的。而且借助可靠的数据和科学的方法，以及预测技 术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这 也是预测技术迅速发展的另一个重要原因。 科学技术、经济和社会预测的应验率也是很高的。维聂尔曾预言 20 世纪是电子时代，法国思想家迈希尔 18 世纪末到 19 世纪初对巴 黎未来几百年的发展进行了预测。从 1950 年的实际情况分析，他的 预测中有 36％得到证实，28％接近实现，只有 36％是错误的。法国 哲学家和数学家冠道塞在法国大革命时期曾采用外推法进行了一系 列社会预测，其中 75％得到证实。沙杰尔莱特 1901 年在《二十世纪 的发明》 一书中的一些预测， 其中 64％得到证实。 凯木弗尔特在 1910 年和 1915 年公布的 25 项预测中，到 1941 年只有 3 项未被证实，3 项是错误的。我国明朝开国功臣刘基就预测将来是天上铁鸟飞，地上 铁马跑，那时还没有火车、飞机。 预测的目的在于认识自然和社会发展规律， 以及在不同历史条件 下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展 的途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并 能动地控制其发展，使其为人类和社会进步服务。因而预测是决策的 重要的前期工作。决策是指导未来的，未来既是决策的依据，又是决 策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。预测
2．处理方法
（1）判别法
4
通过对历史数据的判断，选择其中可代表整个预测过程中很可能 发生的模式的数据作为建模数据； （2）剔除法 如果数据量比较大，且非必须具备连续的数据量，这时可剔除数 据中受随机干扰的异常值； （3）平均值法 在数据比较少或需要连续数据时，则可采取平均值法对数据进行 处理。 对于时间序列数据，可用异常值前后两期数据的算术平均值或几 何平均值对异常值进行修正，即
数学建模比赛例题解析
数学建模比赛例题解析
数学建模比赛通常提供一些实际问题，要求参赛者使用数学方法进行分析和解决。
以下是一个典型的数学建模比赛例题以及解析示例：
例题：某城市树木的生长速度问题
问题描述：某个城市的市政部门想要了解该城市内树木的生长速度，以便合理安排树木修剪和绿化工作。
为了解答该问题，需要参赛者进行如下任务：
1. 收集并分析该城市内树木的生长数据；
2. 建立数学模型，描述树木生长的规律；
3. 根据模型，预测未来某个时间点树木的高度；
4. 提出合理的树木修剪和绿化方案。
解析示例：
1. 收集并分析数据：参赛者可以通过实地调查和测量，收集不同树木在不同时间点的高度数据。
例如，可以选择20棵树木
作为样本，每个月测量它们的高度，记录在数据表中。
2. 建立数学模型：参赛者可以通过分析数据，找到树木生长的规律，建立数学模型描述树木的高度与时间的关系。
例如，可以假设树木的生长速度是线性增加的，即高度随时间的增加而增加。
3. 预测未来高度：根据建立的数学模型，参赛者可以使用已有数据预测未来某个时间点树木的高度。
例如，可以根据已有数据的拟合曲线，计算未来6个月后树木的预计高度。
4. 提出修剪和绿化方案：参赛者可以根据已有数据和预测结果，提出合理的修剪和绿化方案。
例如，可以根据树木的生长速度
和最佳高度范围，制定修剪方案，并根据城市规划要求，提出绿化方案。
总结：数学建模比赛的例题通常要求参赛者通过数据分析和数学建模，解决实际问题。
参赛者需要收集数据、建立模型、预测结果和提出解决方案。
经典的数学建模例子
一、摘要SARSSARS就是传染性非典型肺炎，全称严重急性呼吸综合症（Severe Acute Respiratory Syndromes），简称SARS，是一种因感染SARS相关冠状病毒而导致的以发热、干咳、胸闷为主要症状，严重者出现快速进展的呼吸系统衰竭，是一种新的呼吸道传染病，传染性极强、病情进展快速。
当一种传染病流行的时候，会给人们的工作学习带来很大的不变，能有效地进行隔离、预防，会大大减少人员的得病率，当一种传染病开始流行时，在一定的条件下其趋势就像真菌的繁殖曲线，如果能通过计算预测但大概推算出其发病率高峰时期，及时的隔离预防。
那会给社会人力带来很大的方便，当年SARS的爆发给我们带来和大的不便和损失，因此本论文就以SARS为例，来研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件和帮助。
1二、正文1、模型的背景问题描述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
要求：（1）建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立一个适合的模型，说明为什么优于问题1中的模型；特别要说明怎样才能3建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
表中提供的数据供参考。
（3）说明建立传染病数学模型的重要性。
2、模型假设（一）答；从上列图表可知道在4月20到5月7日期已确诊的发病人总数呈指数增长趋势5月20到6月1日增长缓慢，6月1日到6月12日总数几乎不变。
其形式与生物学中真菌繁殖总数相似。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模应用案例
数学建模应用案例嘿，你知道数学建模吗？它的应用可广啦，就像一把神奇的钥匙，能打开好多问题的大门呢！比如说在交通规划方面，我有个朋友在交通局工作，他们就遇到了一个大难题。
城市里的车越来越多，道路拥堵得不行。
这时候数学建模就派上用场啦！他们通过收集各种交通数据，像车流量、道路宽度、红绿灯时间等等，然后建立数学模型。
经过一番研究，他们找到了优化交通信号灯时间的方法，就像给交通装上了一个智能调节器。
结果你猜怎么着？道路拥堵情况明显改善了，大家上下班都节省了不少时间呢！你说数学建模厉害不厉害？哇哦，数学建模在经济领域也有大作为呢！我认识一个做投资的大哥，他在分析股票市场的时候就用到了数学建模。
他把各种经济指标、公司财务数据等都纳入模型中，就像一个精明的猎手在收集猎物的踪迹。
通过这个模型，他能预测股票的走势，从而做出更明智的投资决策。
有一次，他凭借数学建模成功预测了一只股票的上涨趋势，赚了不少钱呢！这数学建模简直就是他的赚钱法宝呀！你对股票投资感兴趣吗？要是懂数学建模，说不定也能在股市里如鱼得水哦！哎呀，在环境保护方面，数学建模也能发挥重要作用哦！我有个同学是环保志愿者，他们团队在研究河流污染治理的时候就用到了数学建模。
他们测量河流的流速、污染浓度、周边污染源等数据，建立模型来分析污染的扩散情况和治理效果。
就像给河流做了一个详细的“体检报告”。
通过这个模型，他们制定了更有效的治理方案，让河流逐渐恢复了清澈。
你看，数学建模是不是为保护环境出了一份力呀？我们都应该感谢它呢！嘿呀，数学建模在医疗领域也有精彩表现哦！我听说有个医院在研究疾病传播规律的时候，就用数学建模来帮忙。
他们收集患者的发病时间、地点、接触人群等信息，建立模型来预测疾病的传播趋势。
这就像给疾病画了一张“行动路线图”。
医生们根据这个模型可以提前采取防控措施，更好地保护大家的健康。
比如说在流感季节，通过数学建模可以更合理地安排疫苗接种和医疗资源分配，减少疾病的传播。
matlab数学建模30个案例分析
案例4：基于微分方程的最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕鱼策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…,4龄组,各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× 个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵 产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22 × /1.22× +n）
案例12：基于主成分分析的长江水质的评价和预测模型
运用主成分分析法对长江流域主要城市水质检测报告进行分析，选取主成分，并把主成分得分按方差贡献率加权求和，得出每个地区的污染综合评价指数，进而可以计算每个月长江流域的污染综合评价指数。
第三部分 优化问题
案例13：基于线性规划求解飞行管理模型
第二部分 评价问题
案例7：基于层次分析法的高考志愿选择策略
一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。成都丙、重庆丁四所大学。
现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员。该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。
招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿。
数学建模模型案例
数学建模模型案例1. 汽车加速度模型在这个模型中，我们可以通过测量汽车的速度和时间来确定汽车的加速度。
通过使用加速度的定义，我们可以得到一个基本的数学模型，该模型描述了汽车在给定时间内的速度变化情况。
我们可以使用这个模型来预测汽车的行驶速度，或者评估不同驾驶条件下的加速性能。
2. 疫情蔓延模型疫情蔓延模型用于描述传染病在人群中的传播过程。
通过考虑人群的接触模式和传染病的传播机制，可以建立数学模型来预测疫情的蔓延速度和范围。
这个模型可以帮助政府和卫生机构制定有效的疫情控制策略，以减少疫情的影响。
3. 股票价格预测模型股票价格预测模型是通过分析历史股票价格和相关经济指标来预测未来股票价格的数学模型。
通过使用统计方法和机器学习算法，可以建立一个模型，该模型可以根据过去的数据来预测未来的股票价格走势。
这个模型可以帮助投资者做出更明智的投资决策。
4. 能源消耗模型能源消耗模型用于估计不同能源消耗的量和趋势。
通过分析能源的使用模式和相关因素，可以建立一个数学模型，该模型可以预测未来能源消耗的变化。
这个模型可以帮助能源公司和政府制定合理的能源规划，以提高能源利用效率。
5. 物流配送模型物流配送模型用于优化物流配送过程中的路线规划和资源分配。
通过考虑不同的因素，如货物数量、距离和交通情况，可以建立一个数学模型，该模型可以帮助物流公司或配送中心确定最优的配送路线和资源分配方案，以提高效率和降低成本。
6. 生产计划模型生产计划模型用于优化生产过程中的资源分配和生产安排。
通过考虑不同的因素，如生产能力、订单需求和原材料供应，可以建立一个数学模型，该模型可以帮助生产企业确定最优的生产计划，以提高生产效率和降低成本。
7. 交通流模型交通流模型用于描述交通流量和交通拥堵情况。
通过考虑不同的因素，如道路容量、车辆速度和交通信号灯，可以建立一个数学模型，该模型可以帮助交通管理部门优化交通信号灯控制和道路规划，以减少交通拥堵和提高通行效率。
数学建模及典型案例分析
d dt [ p(t)V (t)] p1(t)r1(t) p2 (t)r2 (t)
下面讨论池中盐水体积的变化。
t t
t t
V (t t) V (t) t
r1( )d t
r2 ( )d
由积分中值定理，存在η∈(t, t+Δt), 使得
进一步讨论
如果只测量一次尸体的温度, 你能估计出死亡的时间吗?
例2 湖水污染浓度
有一个小湖, 水容量为2000m3, 分别有一 入水口和出水口, 水流量都为0.1m3/s. 在 上午11:05时, 因交通事故一个盛有毒性 化学物质Z的容器倾翻, 在入口处注入湖 中. 于11:35时事故得到控制, 但已有数量 不详的化学物质泻入湖中, 初步估计为 5~20m3. 建立一个模型, 估计湖水污染程 度随时间的变化规律, 并估计
z rT
rT
(e V
1).
这样就可以得到物质Z在时刻t的浓度为
c(t)
z
rT
z
rT
rt
(1- e V ), 0 t
rT
rt
(e V -1)e V , T
T, t.
c(t)在[0,T]内是增函数,在[T,∞)内是减函数, 且c(t)是连续
的, 所以c(t)的最大值为
V (t t) V (t) [r1(t t) r2 (t t)]t
于是有
d dt
V
(t
)
r1
(t
)
r2
(t
)
t
V (t) V0 0 [r1( ) r2 ( )]d
d dt
数学建模预测案例
数学建模预测案例《数学建模预测案例：神奇的“数字魔法”》嘿，你有没有想过，就像拥有一个能预见未来的魔法水晶球一样，数学建模也可以搞预测呢！这可不是瞎忽悠的事儿。
我有个朋友小明，他在一家电商公司上班。
那公司啊，有一大堆关于销售的数据，什么不同商品的销量啊，每个月的销售额变化啊，多得像一团乱麻。
这时候，数学建模就像超级英雄登场啦。
小明跟他的团队就开始鼓捣数学建模，想预测下一个季度的销售情况。
他们首先得找各种数据之间的关系。
比如说，就像在一个复杂的拼图里找到那些关键的小块一样。
他们发现商品的价格和销量之间有个很有趣的联系。
就拿那种时尚的T恤举例吧，价格要是定高了，销量蹭蹭地往下降，就像高温下的雪人，化得特别快。
可要是价格合适呢，那销量啊，就像火箭发射一样，噌地就上去了。
然后他们用各种数学公式来构建模型。
这模型可复杂了，就像是一个超级精密的机器，每个小齿轮都得转得恰到好处。
他们把各种影响销售的因素，像季节、流行趋势、促销活动都放进去啦。
再说说我另一个朋友小美在的环保组织。
他们想用数学建模预测城市的空气质量。
这可不像电商销售数据那么直观。
小美他们就像是侦探一样，找各种线索。
比如说，汽车的排放量、周围工厂的运行情况、还有天气因素。
他们把这些的数据收集起来，然后建立模型。
这就好比盖房子，一块砖一块砖地把模型搭建起来。
然后发现，只要到了冬季，空气质量就特别容易变差，就像人在冬天更容易感冒似的。
这时候呢，如果能控制住那些工厂的排放量，就像给城市穿了一层防护服，空气质量就能好不少呢。
从这些案例来看，数学建模预测真的特别有用啊。
它能让企业提前做好准备，像是在暴风雨来临前把船帆调整好。
也能让环保组织制定策略，像给混乱的交通指挥一样，规划好改善环境的步骤。
我就觉得啊，数学建模预测就像是一把神奇的钥匙，能打开未来那扇神秘的大门，让我们不管是在商业还是环保等多个领域，充满信心地朝着正确的方向大步前进，真的是非常了不起啊。
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（Ⅱ）数据的分析和处理
建模不仅需要大量的数据，同时数据必须可靠，并适合建模的要 求。这些数据虽然是历史的客观写照，但有可能是失真的数据。对于 失真的数据， 以及不符合建模的数据， 必须通过分析， 加以适当处理。
1．处理的原则
（1） 准确， 处理后的数据能正确反映事物发展的未来趋势和状况；
（2）及时，数据的处理要及时； （3）适用，处理的数据能满足建模的需要； （4）经济，要尽量减少数据处理的费用，以降低预测成本； （5） 一致， 处理的数据在整个比较性。 使用期间内必须是一致的， 具有可比较性
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采用第二手数据。 第二手数据多为已经公布和发表的资料，易于获取，代价低，数 据精度也有一定的保证。其缺点是数据可能不能直接适用于预测情 况。因此，常常需要对已公布的数据进行修正和处理，使其适应于预 测需要。 无论是第一手数据还是第二手数据，都可能是混乱的、无序的、 彼此间孤立的。预测人员都应将原始数据按“单元”或“类别”整理 和集中，以便使其成为内容上完整、有序、系统，形式上简明统一的 数据。
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（6）代用品或近似代用品的产量和进口量； （7）与有关新投入的产品前后关联度高的产品的产量； （8）国家计划规定的产品或代用品的生产指标； （9）产品出口量； （10）个人或集体消费者们的实贯或嗜好； （11）法律方面的资料。
二 专家的选择和专家组的组成
在现实生活中，有时不得不在不确定的条件下作出决策，这是因 为或者决策的制约因素过多，或者其中某些因素无法度量。我们常称 之为定性因素。为这类决策提供预测，因为没有严格的理论依据，定 量方法无法采用。在这种情况下，借助专家的经验判断则有可能作出 定量方法难以得到的科学预测。专家的素质取决于他的知识、经验、 智慧和对未来的预测能力，以及其他一些因素。实践表明，在当今如 此复杂多变的情况下，任何个人或一个专家都难于作出较精确的预 测。必须集中多方专家的意见才能作出科学的预测。因此选择专家组 成员是预测能否成功的重要环节，是预测要做的首要工作。应邀的专 家要具有广泛的知识，对预测所涉及主题的各领域应有较深的造诣。 选择专家不能简单从事， 不能事先未经征得同意就将调查表发给拟邀 请的专家。因为有的专家可能不愿意参加这项预测。那么选择专家应 如何进行呢？
预
测
模
型
最近几年，在全国大学生数学建模竞赛常常出现预测模型或是 与预测有关的题目，例如疾病的传播，雨量的预报等。什么是预测模 型？如何预测？有那些方法？对此下面作些介绍。 预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现，但作为一门 科学的预测学，是在科学技术高度发达的当今才产生的。 “预测”是 来自古希腊的术语。我国也有两句古语： “凡事预则立，不预则废” ， “人无远虑，必有近忧” 。卜卦、算命都是一种预测。中国古代著名 著作 “易经” 就是一种专门研究预测的书， 现在研究易经的人也不少。 古代的预测主要靠预言家，即先知们的直观判断，或是借助于某些先 兆，缺乏科学根据。预测技术的发展源于社会的需求和实践。20 世 纪初期风行一时的巴布生图表就是早期的市场预测资料， 哈佛大学的 每月指数图表为商品市场、证券市场和货币市场预测提供了依据。然 而这些预测都未能揭示 1929-1930 年经济危期的突然暴发，使工商界 深感失望。尔后，经济学家们从挫折中吸取了教训，采用趋势和循环 技术对商业进行分析和预测，科学预测也因此开始萌生。20 世纪 30 年代凯思斯提出政府干预和市场机制相结合的经济模型，1937 年诺 依曼又提出了扩展经济模型，对近代经济模型产生重要的影响，科学 的经济和商业预测也就步入发展阶段。 技术预测开始于二次世界大战后的 20 世纪 40 年代，直到 20 世 纪 50 年代未才广泛应用于工农业和军事部门。由于社会、科学技术 和经济的大量需求，预测技求才成为一门真正的科学，预测未来是当
（Ⅲ）数据的内涵及数量
在预测过程中，由于预测对象不同，预测内容不同，以及预测期 限不同，所需的数据内涵及数量也不同。经济预测的数据主要包括： （1）国民经济总产值及各部类的分配情况； （2）各行业的生产规模和生产能力以及技术水平； （3）政府的经济政策及产业政策； （4）生产力布局； （5）人口发展趋势及就业情况； （6）国民经济投资及分配； （7）国际环境及变化趋势。 市场需求预测需要的数据主要有： （1）人口及人均收入； （2）国民收入的增长及分配情况； ； （3）与产品消费直接有关的政府政策和法规，如进口限制、进口 税、销售稅和其它税费、信贷管理及外费管理等。 （4）一段时期内产量和产值的生产能力； （5）一段时期内的产品的进口量；
1
代科学的重要任务。 20 世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需 求有很大关系，另一方面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的 发展是可以预测的。而且借助可靠的数据和科学的方法，以及预测技 术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这 也是预测技术迅速发展的另一个重要原因。 科学技术、经济和社会预测的应验率也是很高的。维聂尔曾预言 20 世纪是电子时代，法国思想家迈希尔 18 世纪末到 19 世纪初对巴 黎未来几百年的发展进行了预测。从 1950 年的实际情况分析，他的 预测中有 36％得到证实，28％接近实现，只有 36％是错误的。法国 哲学家和数学家冠道塞在法国大革命时期曾采用外推法进行了一系 列社会预测，其中 75％得到证实。沙杰尔莱特 1901 年在《二十世纪 的发明》 一书中的一些预测， 其中 64％得到证实。 凯木弗尔特在 1910 年和 1915 年公布的 25 项预测中，到 1941 年只有 3 项未被证实，3 项是错误的。我国明朝开国功臣刘基就预测将来是天上铁鸟飞，地上 铁马跑，那时还没有火车、飞机。 预测的目的在于认识自然和社会发展规律， 以及在不同历史条件 下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展 的途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并 能动地控制其发展，使其为人类和社会进步服务。因而预测是决策的 重要的前期工作。决策是指导未来的，未来既是决策的依据，又是决 策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。预测
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例如，某一生产生产资料的大型企业，80 年代中期前销售额一直 呈递增趋势，而 80 年代中期后，受压缩基建规模的影响，销售量突 然下降。又如轿车在 80 年代中期以前一直是紧俏商品，后因国家实 行控购政策，销售量一度急剧下降。这时，对上述某一生产资料销售 量或对轿车销售量进行预测，都要考虑政策因素的影响，对于前期数 据采用比例法进行适当修正（当时是计划经济，私人买不起轿车。买 轿车的都国家机关、企事业单位。 ） 当然比例法不仅仅限于对数值向下调，也适合向上调。比例法数 据处理公式为
yl , ym 分别是与 xl , xm 相对应的因变量统计值
（4）拉平法 由于条件发生变化，常常使一些厉史数据不能反映现时的情况， 例如，大型钢铁厂、化肥厂、或油气田的建成投产或开发，可以使产 量猛增，这时历史数据将发生突变，出现一个转折，如用这类数据建 模，则需要处理。这时拉平法是一种较好的方法。它的原理是对转折 点前的数据加一个适当的量值，使其与折点后的数据走向一致。 （5）比例法 销售条件与环境的变化常常会引起一个企业产品市场销售比例的 改变。当比例变化较大时，说明销售条件与环境对销售的影响己超过 其他因素对销售的影响， 也说明以前的销售统计数据所体现出的销售 发展规律不再适用之于目前的情况了。 如果仍然利用这些数据建立预 测模型，将无法体现销售条件和环境变化后的销售量变化的规律，用 这样的模型进行预测，将会造成较大的误差。因此，如果还想利用这 些数据建立模型，进行预测，就应该把它们处理成能体现条件与环境 发生变化之后的情况的数据。对于这类数据，比例法就是一种比较有 效的处理方法。
（Ⅰ）数据的收集和整理
按时态分，数据可分为历史数据和现实数据；按预测对象分，可 分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第 二手数据。 第一手数据，包括以各种形式初次收集的数据。收集第一手数据 的途径包括：抽样调查，连续调查，或全面调查。在预测的定性方法 中常常需要第一手数据， 例如特尔斐法的第一个阶段就是收集第一手 数据。由于获取第一手数据的费用较高，时间较长，所以定量方法常
2．处理方法
（1）判别法
4
通过对历史数据的判断，选择其中可代表整个预测过程中很可能 发生的模式的数据作为建模数据； （2）剔除法 如果数据量比较大，且非必须具备连续的数据量，这时可剔除数 据中受随机干扰的异常值； （3）平均值法 在数据比较少或需要连续数据时，则可采取平均值法对数据进行 处理。 对于时间序列数据，可用异常值前后两期数据的算术平均值或几 何平均值对异常值进行修正，即
yt −i = yt −i
ut 其中： ut −i
yt −i t − i年修正后的数 yt −i t − i年实际数据 ut t年的市场占有率 ut −i t − i年的市场占有率
（6）移动平均和指数平滑法 如果原始数据总体走向具有一定规律性，但因受随机因素干扰， 数据离散度很大， 采用平均值法也难以处理。 这时可采用一次、 二次、 甚至三次移动平均和指数平滑对数据进行平滑，用平滑的数据建模。 在分解预测时，为处理季节数据，则必须采用高次幂的移动平均 法，对数据平滑。 （7）差分法
7
有些模型，例如鲍克斯-詹金斯模型只能处理平稳数据，如果原始 数据为非平稳数据，则需釆取差分处理。差分有三种主要类型：前向 差分、后向差分、中心差分。 前向差分：在处理时间数列时，一阶前向差分定义为
= x xt +1 − xt
' t
一阶前向差分是当时间由 t 变到 t+1 时， 二阶前向差分定义为
同理可以定义高阶后向差分 中心差分：在处理时间数列时，一阶中心差分定义为
= xt' xt + 1 − xt − 1
2
2
二阶中心差分定义为
xt'' = xt' + 1 − xt' − 1 = xt +1 − 2 xt + xt −1