离散数学07级第二章

例子 分别指出个体词和谓词
（1）他是三好学生
（2）7是质数
（3）每天早上做广播体操是个好习惯
（4）5大于3
（5）哥白尼指出地球绕太阳转
谓词的表示
用大写英文字母 A,B,C,D,…,表示谓词，用 小写字母表示客体。 前面的例子可表示为： (1) A(x): x是三好学生，h:他， A(h): 他是三好学生
使用量词要注意的问题
(1) 在讨论有量词的命题函数时如果事先没有
给出个体域，那么都应以全总个体域为个
体域。
(2) 对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。
对存在量词，特性谓词常做合取项。
• 例：试用量词、谓词表示下列命题：
（1）所有大学生都热爱祖国；
（2）每个自然数都是实数； （3）一些大学生有远大理想；
• 例1 判断下列哪些是合式公式 (1)x(P(x)∨Q(x)) (2)(x)(y)(P(x,y)→R(y))
(3) xP(x) →R(x)
(4) (x)(y)(∧P(x,y))
谓词逻辑的翻译
• 把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出 来，称为谓词逻辑的翻译或符号化。 • 一般说来，符号化的步骤如下：
• 全称量词
–用符号“”表示，“x”表示对个体域里的 所有个体。(x)P(x)表示对个体域里的所有个 体都有属性P。表达“对所有的”，“每一个”， “对任一个”，“凡”，“一切”等词。
• 存在量词
–用符号“”表示。x表示存在个体域里的个 体。(x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性 质P。表达“某个”，“存在一些”，“至少有 一个”，“对于一些”等词。
原命题符号化成: (x)(M(x) ∧G(x))
例: ―有些病人相信所有的医生”。
解: 设: F(x): x是病人; G(x): x是医生; H(x,y): x相信y 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
谓词公式与翻译
• 谓词公式 – 把形如A(x1,x2,……, xn)的n元谓词称为谓词演算 的原子公式，其中x1,x2,……, xn是个体变项。如 Q, A(x), H(x, y), A(a, y)等
– 谓词演算的合式公式定义如下：
（1）A(x1,x2,…,xn)称为原子谓词公式，原子谓词公 式是合式公式。 （2）若A是合式公式，则(A)是一个合式公式。 （3）若A和B都是合式公式，则(A∧B) ，(A∨B)， (A→B)， (AB)和都是合式公式。
（4）如果A是合式公式，x是A中出现的任何 变元，则(x)A，(x)A，和(!x)A都是合式 公式。 （5）只有经过有限次的应用规则(1)，(2)， (3)，(4)所得到的公式是谓词合式公式。
内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。
对此，命题逻辑是无能为力的。
所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作
进一步分析，分析出其中的个体词、谓词和量词，
以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，
研究它们的形式结构及逻辑关系、总结出正确的推
理形式和规则，这些正是谓词逻辑的基本内容。
主要内容
• 从上例中可看到，把命题函数确定为命题， 与客体变元的论述范围——论域有关。 • 通常，把一个n元谓词中的每个个体词的论 域综合在一起作为它的论域，称为n元谓词 的全总个体域。定义了全总个体域，为深
入研究命题提供了方便。
• 考虑如下命题：
所有人都是要死的， 有的人能活到一百岁以上 如何用谓词表达式表示？ 以上给出的命题，除了有个体词和谓词以外， 还有表示数量的词，称表示数量的词为量词。 量词有两种： 全称量词(universal quantifier) 存在量词(existential quantifier)
L(x,3)表示“x小于3‖是一元谓词，L(2,3)表
示“2小于3‖是0元谓词。
因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊情况。 0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命题 都可以用0元谓词表示。
• 复合命题函数
–由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结 词组合而成的表达式。 – 命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含义 完全相同。 例子 （1）A(x)表示x是素数，B(x)表示x是 奇数，则A(x)表示“x不是素数”，A(x) ∧B(x)表示“x是素数又是奇数”
• (2) (x) (N(x) → R(x))
• (3) (x) (S(x) ∧ H(x))
• (4) (x) (N(x) ∧ P(x))
例：“有些人是要死的”.
解1：采用全体人作为个体域. 设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x) 解2：采用全总个体域.
设: M(x): x是人; G(x):x是要死的.
• 谓词表达式 简单命题函数与逻辑联结词组合而成。
示例分析 P59 (1) a),b),c) a) 设W(x):x是工人，z:小张，则原命题表示 为：W(z)
b) 设S(x):x是田径运动员， B(x):x是球类运 动员，h:他，则原命题表示为： S(h) B(h)
c) 设C(x):x是聪明的，B(x):x是美丽的，a:小 莉，则原命题表示为： C(a) B(a)
(x)F(x)表示宇宙间一切事物都要死的，这与
原命题不符。
(x)G(x)表示宇宙间一切事物中存在百岁以上，
这与原命题不符。
因此必须引入一个新的谓词，将人分离出来。 在全总个体域的情况下，以上两个命题叙述 如下： (1) 对于所有个体而言，如果它是人，则它是 要死的。
(2) 存在着个体，它是人并且活过百岁以上。
设： P：所有的人都是要死的；
Q：苏格拉底是人；
R：苏格拉底是要死的。
前提：P，Q
结论：R
则(P∧Q)R表示上述推理，然而，(P∧Q) →R并 不是永真式，故推理形式又是错误的，一个推理， 得出矛盾的结论
问题在哪里？？
问题在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是
体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题的
• 谓词的概念和表示
• 命题函数与量词 • 谓词公式与翻译 • 变元的约束
• 谓词演算的等价式与蕴含式
• 谓词演算的推理理论
谓词的概念和表示
• 在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈
述句。从语法上分析，一个陈述句由主语
和谓语两部分组成。
• 在谓词逻辑中，为揭示命题内部结构及其
不同命题的内部结构关系，就按照这两部
• 唯一存在量词
– “恰好存在一个”，用符号“!‖表示。
• 现在对以上两个命题符号化，在进行符号 化之前必须确定个体域。 第一种情况：考虑个体域D为人类集合。 设：F(x) ：x是要死的。
G(x)：x活百岁以上。
则有(x)F(x)和(x)G(x)
这两个命题都是真命题
第二种情况：考虑个体域D为全总个体域。 不能符号化为(x)F(x)和(x)G(x)，因为:
注意：命题函数不是一个命题，只有客体 变元取特定客体时，才能成为一个命题。 但是客体变元在哪些范围取特定的值，对 命题函数以下两方面有极大影响： (1) 命题函数是否能成为一个命题； (2) 命题的真值是真还是假。
例：令S(x)：x是大学生 （1）若x的讨论范围为某大学的计算机系中 的全体同学，则S(x)是永真的； （2）若x的讨论范围是某中学的全体学生， 则S(x)是永假的； （3）若x的讨论范围是某剧场中的观众，因 为观众中有大学生也有非大学生的其他观 众，则S(x)是真值不确定的。
则命题表示为：L(a,b) → L(a,c) (3) H(x,y):x比y高，a:张明，b:李民，c:赵亮 则命题表示为：H(a,b) ∧ H(b,c) → H(a,c)
命题函数与量词
• 命题函数 一般来说，当谓词P给定， x1,x2,…,xn是客 体变元 ，P(x1,x2,…,xn) 不是一个命题，因 为他的真值无法确定，要想使它成为命题， 要用n个客体常项代替n个客体变元。 P(x1,x2,…,xn) 就是命题函数。 比如L(x,y)表示“x小于y‖，那么L(2,3)表示 了一个真命题“2小于3‖。而 L(5,1)表示了 一个假命题“5小于1‖
（4）有的自然数是素数。
• 因为没有事先指定个体域，所以在全总个体域中
讨论。 • 解：令S(x)：x是大学生；L(x)：x热爱祖国； • N(x)：x是自然数；R(x)：x是实数； • H(x)：x有远大理想；P(x)：x是素数。
• 则例中各命题分别表示为：
• (1) (x) (S(x) → L(x))
• 又如：(P(x,y)P(y,z))P(x,z) 如果P(x,y)解释为“x小于y‖，当x,y,z都在 实数域中取值，则这个式子为永真式。 如果P(x,y)解释为“x为y的儿子”，当x,y,z 都指人的话，则这个式子为永假式。 如果P(x,y)解释为“x距离y的10米”，若 x,y,z表示地面上的房子，则这个命题的真 值将由x,y,z的具体位置决定，可能为真， 也可能为假。
分对命题进行分析，并且把主语称为个体
词或客体，把谓语称为谓词。
谓词的概念和表示
谓词的概念 定义1：谓词（predicate） 在命题中，所描述的对象称为客体或个体词，用以刻画 客体的性质或客体之间关系的词即是谓词，谓词相当于命 题中的谓语部分。 例如： (1) 他是三好学生 “他”是个体，“是三好学生”是表示个体性质的谓词 (2) 5大于3 ―5‖和“3‖是个体，“大于”是表示个体之间关系的谓词 客体——是指可以独立存在的，它可以是具体的事物，也可 以是抽象的概念。 如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定理等
• 单独一个谓词不是完整的命题，将谓 词字母后填以客体所得的式子称为谓 词填式。
• 谓词和谓词填式是两个不同的概念
• 一元谓词表达了客体的“性质”，多 元谓词表达了客体之间的“关系”。
• • • •
例：将下列命题用谓词来表示 （1）2是素数且是偶数 （2）如果2大于3，则2大于4 （3）如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明 比赵亮高 • 解（1）F（x）:x是素数，G（x）：x是偶数，a：2 则命题表示为：F(a)∧G(a) (2) L(x,y)：x大于y，a：2，b：3，c：4
(2) G(x,y): x大于y，
G(5,3): 5大于3
如何利用谓词表达命题
用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体两 个部分。比如： A(x)可以表示“x是A‖类型的命题，表达了客 体的性质，称为一元谓词 。 B(x,y) 可以表示“x小于y‖类型的命题，表达 了客体之间的关系，称为二元谓词 。 L(x,y,z) 可以表示“点x在y与z之间”类型的 命题，表达了客体之间的关系，称为三元 谓词。 用P(x1,x2,…,xn)表示n元谓词，在这里n个客 体变元的顺序一经约定不能随意改动。
– 正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其中 每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表达 出来； – 把每个原子命题分解成个体词、谓词和量词；在 全总个体域讨论时，要给出特性谓词； – 找出适当量词。应注意全称量词(x)后跟条件式， 存在量词(x)后跟合取式
பைடு நூலகம்
• 定义2-2.1 由一个谓词，一些客体变元组
成的表达式称为简单命题函数。比如：A(x)， B(x,y)，L(x,y,z) 简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z
等取特定的客体才确定了一个命题。
对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它
本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一
个特殊情况。
比 如 ： L(x,y) 表 示 “ x 小 于 y‖ 是 二 元 谓 词 ，
于是，在符号化时必须引入一个新的谓词 M(x)：x是人。 称这个谓词为特性谓词。
在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其
个体域，为了方便，可使用全总个体域。限
定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓词。
利用特性谓词，对以上两个命题进行符号化 (1) (x)( M(x)→F(x) ) (2) (x)( M(x)∧G(x) )
第二章 谓词逻辑
Predicate Logic
苏格拉底三段论(Socrates syllogism)：
所有人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
（Socrates, 古希腊哲学家,公元前470~ 前399）
(孔子,中国伟大哲学家,公元前551~前 479)
根据常识，认为这个推理是正确的。但是，在命题 逻辑中，如果