离散数学07级第二章

• 谓词的概念和表示
• 命题函数与量词 • 谓词公式与翻译 • 变元的约束
• 谓词演算的等价式与蕴含式
• 谓词演算的推理理论
谓词的概念和表示
• 在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈
述句。从语法上分析，一个陈述句由主语
和谓语两部分组成。
• 在谓词逻辑中，为揭示命题内部结构及其
不同命题的内部结构关系，就按照这两部
• 全称量词
–用符号“”表示，“x”表示对个体域里的 所有个体。(x)P(x)表示对个体域里的所有个 体都有属性P。表达“对所有的”，“每一个”， “对任一个”，“凡”，“一切”等词。
• 存在量词
–用符号“”表示。x表示存在个体域里的个 体。(x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性 质P。表达“某个”，“存在一些”，“至少有 一个”，“对于一些”等词。
分对命题进行分析，并且把主语称为个体
词或客体，把谓语称为谓词。
谓词的概念和表示
谓词的概念 定义1：谓词（predicate） 在命题中，所描述的对象称为客体或个体词，用以刻画 客体的性质或客体之间关系的词即是谓词，谓词相当于命 题中的谓语部分。 例如： (1) 他是三好学生 “他”是个体，“是三好学生”是表示个体性质的谓词 (2) 5大于3 ―5‖和“3‖是个体，“大于”是表示个体之间关系的谓词 客体——是指可以独立存在的，它可以是具体的事物，也可 以是抽象的概念。 如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定理等
例子 分别指出个体词和谓词
（1）他是三好学生
（2）7是质数
（3）每天早上做广播体操是个好习惯
（4）5大于3
（5）哥白尼指出地球绕太阳转
谓词的表示
用大写英文字母 A,B,C,D,…,表示谓词，用 小写字母表示客体。 前面的例子可表示为： (1) A(x): x是三好学生，h:他， A(h): 他是三好学生
于是，在符号化时必须引入一个新的谓词 M(x)：x是人。 称这个谓词为特性谓词。
在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其
个体域，为了方便，可使用全总个体域。限
定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓词。
利用特性谓词，对以上两个命题进行符号化 (1) (x)( M(x)→F(x) ) (2) (x)( M(x)∧G(x) )
• (2) (x) (N(x) → R(x))
• (3) (x) (S(x) ∧ H(x))
• (4) (x) (N(x) ∧ P(x))
例：“有些人是要死的”.
解1：采用全体人作为个体域. 设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x) 解2：采用全总个体域.
设: M(x): x是人; G(x):x是要死的.
• 单独一个谓词不是完整的命题，将谓 词字母后填以客体所得的式子称为谓 词填式。
• 谓词和谓词填式是两个不同的概念
• 一元谓词表达了客体的“性质”，多 元谓词表达了客体之间的“关系”。
• • • •
例：将下列命题用谓词来表示 （1）2是素数且是偶数 （2）如果2大于3，则2大于4 （3）如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明 比赵亮高 • 解（1）F（x）:x是素数，G（x）：x是偶数，a：2 则命题表示为：F(a)∧G(a) (2) L(x,y)：x大于y，a：2，b：3，c：4
• 又如：(P(x,y)P(y,z))P(x,z) 如果P(x,y)解释为“x小于y‖，当x,y,z都在 实数域中取值，则这个式子为永真式。 如果P(x,y)解释为“x为y的儿子”，当x,y,z 都指人的话，则这个式子为永假式。 如果P(x,y)解释为“x距离y的10米”，若 x,y,z表示地面上的房子，则这个命题的真 值将由x,y,z的具体位置决定，可能为真， 也可能为假。
L(x,3)表示“x小于3‖是一元谓词，L(2,3)表
示“2小于3‖是0元谓词。
因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊情况。 0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命题 都可以用0元谓词表示。
• 复合命题函数
–由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结 词组合而成的表达式。 – 命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含义 完全相同。 例子 （1）A(x)表示x是素数，B(x)表示x是 奇数，则A(x)表示“x不是素数”，A(x) ∧B(x)表示“x是素数又是奇数”
使用量词要注意的问题
(1) 在讨论有量词的命题函数时如果事先没有
给出个体域，那么都应以全总个体域为个
体域。
(2) 对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。
对存在量词，特性谓词常做合取项。
• 例：试用量词、谓词表示下列命题：
（1）所有大学生都热爱祖国；
（2）每个自然数都是实数； （3）一些大学生有远大理想；
• 例1 判断下列哪些是合式公式 (1)x(P(x)∨Q(x)) (2)(x)(y)(P(x,y)→R(y))
(3) xP(x) →R(x)
(4) (x)(y)(∧P(x,y))
谓词逻辑的翻译
• 把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出 来，称为谓词逻辑的翻译或符号化。 • 一般说来，符号化的步骤如下：
• 从上例中可看到，把命题函数确定为命题， 与客体变元的论述范围——论域有关。 • 通常，把一个n元谓词中的每个个体词的论 域综合在一起作为它的论域，称为n元谓词 的全总个体域。定义了全总个体域，为深
入研究命题提供了方便。
• 考虑如下命题：
所有人都是要死的， 有的人能活到一百岁以上 如何用谓词表达式表示？ 以上给出的命题，除了有个体词和谓词以外， 还有表示数量的词，称表示数量的词为量词。 量词有两种： 全称量词(universal quantifier) 存在量词(existential quantifier)
– 正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其中 每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表达 出来； – 把每个原子命题分解成个体词、谓词和量词；在 全总个体域讨论时，要给出特性谓词； – 找出适当量词。应注意全称量词(x)后跟条件式， 存在量词(x)后跟合取式
– 谓词演算的合式公式定义如下：
（1）A(x1,x2,…,xn)称为原子谓词公式，原子谓词公 式是合式公式。 （2）若A是合式公式，则(A)是一个合式公式。 （3）若A和B都是合式公式，则(A∧B) ，(A∨B)， (A→B)， (AB)和都是合式公式。
（4）如果A是合式公式，x是A中出现的任何 变元，则(x)A，(x)A，和(!x)A都是合式 公式。 （5）只有经过有限次的应用规则(1)，(2)， (3)，(4)所得到的公式是谓词一些客体变元组
成的表达式称为简单命题函数。比如：A(x)， B(x,y)，L(x,y,z) 简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z
等取特定的客体才确定了一个命题。
对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它
本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一
个特殊情况。
比 如 ： L(x,y) 表 示 “ x 小 于 y‖ 是 二 元 谓 词 ，
原命题符号化成: (x)(M(x) ∧G(x))
例: ―有些病人相信所有的医生”。
解: 设: F(x): x是病人; G(x): x是医生; H(x,y): x相信y 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
谓词公式与翻译
• 谓词公式 – 把形如A(x1,x2,……, xn)的n元谓词称为谓词演算 的原子公式，其中x1,x2,……, xn是个体变项。如 Q, A(x), H(x, y), A(a, y)等
(2) G(x,y): x大于y，
G(5,3): 5大于3
如何利用谓词表达命题
用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体两 个部分。比如： A(x)可以表示“x是A‖类型的命题，表达了客 体的性质，称为一元谓词 。 B(x,y) 可以表示“x小于y‖类型的命题，表达 了客体之间的关系，称为二元谓词 。 L(x,y,z) 可以表示“点x在y与z之间”类型的 命题，表达了客体之间的关系，称为三元 谓词。 用P(x1,x2,…,xn)表示n元谓词，在这里n个客 体变元的顺序一经约定不能随意改动。
(x)F(x)表示宇宙间一切事物都要死的，这与
原命题不符。
(x)G(x)表示宇宙间一切事物中存在百岁以上，
这与原命题不符。
因此必须引入一个新的谓词，将人分离出来。 在全总个体域的情况下，以上两个命题叙述 如下： (1) 对于所有个体而言，如果它是人，则它是 要死的。
(2) 存在着个体，它是人并且活过百岁以上。
• 谓词表达式 简单命题函数与逻辑联结词组合而成。
示例分析 P59 (1) a),b),c) a) 设W(x):x是工人，z:小张，则原命题表示 为：W(z)
b) 设S(x):x是田径运动员， B(x):x是球类运 动员，h:他，则原命题表示为： S(h) B(h)
c) 设C(x):x是聪明的，B(x):x是美丽的，a:小 莉，则原命题表示为： C(a) B(a)
设： P：所有的人都是要死的；
Q：苏格拉底是人；
R：苏格拉底是要死的。
前提：P，Q
结论：R
则(P∧Q)R表示上述推理，然而，(P∧Q) →R并 不是永真式，故推理形式又是错误的，一个推理， 得出矛盾的结论
问题在哪里？？
问题在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是
体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题的
（4）有的自然数是素数。
• 因为没有事先指定个体域，所以在全总个体域中
讨论。 • 解：令S(x)：x是大学生；L(x)：x热爱祖国； • N(x)：x是自然数；R(x)：x是实数； • H(x)：x有远大理想；P(x)：x是素数。
• 则例中各命题分别表示为：
• (1) (x) (S(x) → L(x))
则命题表示为：L(a,b) → L(a,c) (3) H(x,y):x比y高，a:张明，b:李民，c:赵亮 则命题表示为：H(a,b) ∧ H(b,c) → H(a,c)