第八节 函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点

如果函数在开区间 (a , b )内连续 , 并且在左端点
11
连 续 区 间
x = a处右连续 , 在右端点 x = b处左连续 , 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 .
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定义1’. 设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义. 且
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ).
函数 f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件:
(1) f ( x )在点 0处有定义; 在点x
9
连 续 条 件
( 2) lim f ( x )存在;
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∆y = f ( x ) − f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于 ∆x的增量 .
5
y
y = f (x)
y
∆y
∆y
y = f (x)
∆x
x 0 + ∆x
0
∆x x0 x 0 + ∆x x
0
x0
x
①增量∆x、 ∆y可以是正的,可以是负的,也可以为零; ②记号∆x是一个整体不可分割的记号。
x→0 x→0
x→0 x→0
23
例
故 lim f ( x) = lim | x |= 0
x→0 x→0
又因为 f (0)=0.
从而 lim f ( x) = f (0)
x→0
故 f ( x) =| x | 在x = 0处连续.
第8节函数的连续性与间断点

在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
22
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 个不存在 振荡间断点
高等数学 ● 戴本忠
19
第 一 类 间 断 点 y 第 二 类 间 断 点
y
y
可去型
跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
如果 lim f ( x ) f ( x ) 存在且等于 f ( x ) 即 f ( x 0 0 0 ) f ( x0 ) x x0
则函数f ( x)在点x0左连续;
如果 lim f ( x ) f ( x ) 存在且等于 f ( x ) 即 f ( x 0 0 0 ) f ( x0 ), x x0
无穷型
22
高等数学 ● 戴本忠
20
思考与练习
1. 讨论函数 间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . x sin 1 x0 x , , a ____ 时 f ( x) 为 2. 设 f ( x ) 2 a x , x 0 连续函数. 提示: f (0 ) 0 , f (0 ) f (0) a
22
高等数学 ● 戴本忠
15
, 例 6 当 a取 何 值 时 cos x , f ( x) a x , x 0, x 0, 在 x 0处 连 续 .
解 f ( 0) a ,
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
1-8 函数的连续性与间断点 (高等数学)

§1.8 函数的连续性与间断点教学内容:一.函数连续的概念定义 增量:设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ,终值与初值的差21-u u 称为变量u 的增量,记为∆u ,即21∆=-u u u .定义 在某一点处的连续性:(1)设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,如果当自变量x 有增量x ∆时,函数相应的有增量y ∆, 若0lim 0x y ∆→∆=,则称函数()y f x =在点0x 处连续,0x 为()f x 的连续点.(2)设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若00lim ()()x x f x f x →=,则称()y f x =在点0x 处连续.(3)设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义,如果对于任意正数ε,总存在正数δ,使得当x 满足不等式0x x δ-<时,有0()()f x f x ε-<,则称函数()y f x =在点0x 处连续.定义 函数在区间上的连续性:如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续,则称()f x 在(,)a b 内连续;如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续,且在左端点x a =处右连续,在右端点x b =处左连续,则称()f x 在闭区间a b [,]上连续,并称a b [,]是()f x 的连续区间.注 (1) ()f x 在左端点x a =右连续是指满足lim ()();x a f x f a +→=(2) ()f x 在右端点x b =左连续是指满足lim ()()x b f x f b -→=.定理:函数()f x 在点0x 处连续的充分必要条件是函数()f x 在点0x 处既左连续又右连续.二.函数的间断点定义函数间断点:如果函数()f x 在点0x 处不连续,则称函数()f x 在点0x 处间断,点0x 称为()f x 的间断点.第一类间断点 ()f x 在点0x 的左右极限00()f x -和00()f x +都存在的间断点为第一类间断点. 它包含两种类型:可去间断点与跳跃间断点.第二类间断点 称00()f x -和00()f x +中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.。
高数第一章第八节 函数的连续性与间断点

如图:
f ( x0 )
O
y f ( x)
y
y f ( x)
y
f ( x0 )y
x
x 0 x x
O
x
x0
x 0 x x
x0
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 U ( x0 , ) 内有定义, 若
x 0
lim y 0
则称函数f(x)在x0处 连续,并称x0为函数f(x)的 把极限与连续性联系起来了,且提 连续点. 供了连续函数求极限的简便方法—— 只需求出该点函数特定值. f ( x0 ), 设 x x0 x, y f ( x )
左端点 x a 右连续 ( lim f ( x ) f (a ))
右端点 x b 左连续 ( lim f ( x ) f (b ))
x b
x aBiblioteka 连续函数的图形f ( x ) C [a , b ]
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
函数的连续性与间断点
例如, 多项式函数
P ( x ) a0 a1 x an x n
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) 在x 1处 连续. x 1, 1 x ,
1
x
函数的连续性与间断点
例如:
y
y tan x
2
为其无穷间断点 . x 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
2
即函数 y sinx对任意x (,) 都是连续的.
( 类似可证, 函数 y cos x在区间 ,)内
第八节 函数的连续性与间断点共26页PPT资料

|cosx(x)|1, sin||( R )
2
|y|2|sinx| 2| x||x|.
2
2
故 lim y0. x 0
即 函y 数 six 对 n 任 x (意 , )都 是 . 连
同理, 函 y 数 co x 对 s x 任 (, 意 )连 . 续
例2.
讨 论f函 (x)数 xx222,,
x0 在 x0处
x0
的 连.续 性
解: f(0 )lim f(x )li(m x 2 )2
x 0
x 0
f(0 )lim f(x )li(m x22 ) 2
x 0
x 0
f(0)f(0) f (0)
3. 单侧连续
(1) 左连续 如 果 f(x0)xl ix0 m f(x)f(x0),
则称f函 (x)在 数 x0左连 . 续
(2) 右连续 如 果 f(x0)xl ix0 m f(x)f(x0),
则 称 f函 (x)在 数 x0右 连 . 续
函 f(x ) 数 在 x 0处 连 x l x i0fm (x 续 ) f(x 0 ) f(x 0 )f(x 0 )f(x 0)
二、函数的间断点
设 f ( x)在点 x 0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点 x 0 不连续 :
(1) 函数 f ( x)在 x 0 无定义 ;
(2) 函数 f ( x) 在 x 0 虽有定义 , 但 lim f (x) 不存在; xx0
(3) 函数 f ( x)在 x 0 虽有定义 , 且 lim f (x) 存在 , 但 xx0 xl im x0 f(x)f(x0)
高等数学第八节函数的连续性

设函数 f (x) 在 U(x0)
内有定义, xU(x0) , 则称
y
x = x x0 为自变量 x 在
x0 点处的增量. 此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处
O
y = f (x)
y x x0
x
x
有增量 y
y = f (x) f (x0 ) = f (x0 + x) f (x0 )
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点:
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义;(包括在点 x0 处有定义)
(2) lim f ( x) a 存在 ;( x x0 时, f ( x ) 有极限 )
讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处 的连续性.
y
解
lim | x | 0
x0
y=|x|
y x 0 | x | x 0 0
O
x
y = | x | 在点 x = 0 处连续.
例3
讨论函数 f (x) =
x2,
x 1,
x + 1, x >1,
在 x = 1 处的连续性.
x x0
(3) a f ( x0 ) . (极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
例1
解
函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ? y = x 2 在 U(0) 内有定义,
又 且
lim x 0
高等数学 第一章 第八节 函数的连续性与间断点

4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
1 例如, u 在 ( , 0) (0, )内连续, x y sin u 在(, )内连续,
1 y sin 在 ( , 0) (0, )内连续. x
教学:复合函数的极限、连续问题归纳,三个定理。
4. 反函数的连续性.
定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.
教学:谈谈不连续的情形,第一类(可去、跳跃)、第二类(无穷大、振荡)
定理
(1) y f ( x) 在点 x0 处连续
f ( x0 ) 有定义, lim f ( x) 存在,且 lim f ( x) f ( x0 ) ;
x x0 x x0
(2) y f ( x) 在点 x0 处连续
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
例
函数的连续性与间断点(教师教材)

x0
x0
25
函数的连续性与间断点
三、小结
1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的 三个条件;
2. 区间上的连续函数; 3. 函数间断点的分类:
第一类间断点: 跳跃型,可去型 间断点
第二类间断点:无穷型, 无穷次振荡型 (见下图)
26
函数的连续性与间断点
第y 一 类 间 断 点O
可去型
x0
x
第 二
x1
x 1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数f (x)在点x 1处不连续.
11
函数的连续性与间断点
4. 连续函数(continous function)与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间
上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
4
函数的连续性与间断点
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
(2) lim f ( x) 存在; x x0
y f ( x) f ( x0 ) f (x0 x) f (x0 )为函数的
增量. y 如图:
x x0 x
y f (x)
y
y
y f (x)
f ( x0 )y
x
f ( x0 )
x
O
x0
x0 x x O
x0 x0 x x
3
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
函数连续性的定义

对自变量的增量 函数
x x0
有函数的增量 连续有下列等价命题:
x 0
在点
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim f ( x0 x) f ( x0 )
lim y 0
y y f ( x)
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1 2
1
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
x 为其无穷间断点 . 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
o 1 2 , x 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在
的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
可见 , 函数 (1) (2) 极限
(3) 在点
在点 x0 连续必须具备下列条件: 有定义 , 即 存在 ;
第八节函数的连续性与间断点65761

连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C [a , b].
例如,
( 有理整函数 )
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只要 Q( x0 )(0, ,都 有),xlixlmimx0x0RP((xx))RP((xx00))
对自变量的增量
有函数的增量
函数 在点 连续有下列等价命题:
任取 x0 ( , ) ,
证明过程
y a x a x0 a x0 (ax 1) , ( x x x0 )
lim ax 1 , lim y 0 ,
x 0
x 0
即 y a x 在 x0 点连续, y a x 在 ( , ) 连续.
例4
y
f
(
x)
x 1
2
, ,
x x0 sin x
可以逐个证明:
lim cos x xx0
lim sin x
x x0
cos x0 sin x0
cot x0 .
( x0 k
)
六种三角函数在其定义域上连续.
例3. 证明指数函数 y a x (a 0 , a 1) 在其定义域内连续.
证 . 我们能够证明 lima x 1 , * (用 定义证) x0
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f ( x0 x)
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
lim y 0 .
x 0
y x
lim y 0 .
y
x0
第八节函数的连续性与间断点

(可 去)
若等于
若不等于 x x0为间断点 x x0为间断点
(第 二 类)
(跳 跃)
x x0为连续点 x x0为间断点(可去)
四、作业
P64 习题1-8, 3,4,6 思考:P65, 5
(0 a 1) y
y ax
y 1
.. 0
y 1
x
ln(1 ) ln(1 )
back
ln a
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U( x0, )内有定义, x U( x0, ), x x x0, 称为自变量在点x0的增量.
y f ( x0 x) f ( x0 ), 称为函数 f ( x)相应于x的增量. y
y f (x)
y
x 0 x0 x0 x x
2.连续的定义
ln a
证 即证 : 0, 0, 使得当 x 0 时, 就有ax a0 .
(1) 设0 a 1
0 (设 1)
要使ax a0 即ax 1 即 1 ax 1
即 ln( 1 ) x ln a ln(1 )
即 ln( 1 ) x ln a ln(1 )
如果函数f ( x)在其定义域内每一点都连续, 则称函数f ( x)为连续函数.
直观上,连续函数的图形是一条连续而不 间断的曲线.
例4 证明函数 y sin x是连续函数.
证 定义域 D (,) 任取一点x0 (,), 任给自变量 x 一个增量 x
相应地, 函数 y sin x 在 x0 点有增量
定义 1 设函数 y f ( x) 在U( x0, ) 内有定义,任给 x
增量x ,相应地 y 有增量 y = f ( x0 x) f ( x0 ) .
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f (x)
f ( x0 )
则称函数y = f ( x)在 x0点连续. x0称为f (x)的连续点.
若 f (x) 在点 x0 不连续,则称点 x0为f (x) 的间断点
【注】若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ), 则称函数 y = f (x)在x0
点左连续。
若
lim
x x0
f (x)
小结
1. 函数在一点连续
函数在一点左右连续
2. 区间上的连续函数;
3. 间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点: 可去型,跳跃型. 第二类间断点: 无穷型,振荡型.
作业 P64 习题1-8
2(1) 3(1)
第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性
内容提要
1 连续函数的和、差、积、商的连续性 2.反函数、复合函数的连续性 3.初等函数的连续性
二、函数的间断点
如果函数 f (x) 在点x0 处不连续,就称f (x) 在点 x0 处间断,x x0 点称为函数 f (x)的间断点或者 不连续点。 由函数连续性定义可知 , f(x) 在点 x0 连续必须
同时满足以下三个条件:
(1) 函数 f (x)在点 x0 有定义; (2) lim f ( x) 存在;
( g( x0 ) 0)
也在点 x0 处连续。
例如, sin x,cosx在(- ,+)内连续,
故 tanx,cot x,secx,cscx 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数的区间上单调增加(或单调减少) 且连续,那么他的反函数也在对应的区间上单调 增加(或单调减少)且连续。
教学要求
1.了解连续函数的和、差、积、商的连续 性,知道反函数与复合函数的连续性, 了解初等函数的连续性
2.掌握用连续性计算初等函数的极限
一、四则运算的连续性
定理1 若函数 f ( x), g( x) 在点 x0 处连续,则
f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
,由于
lim f ( x) lim 1 所以x =1为f (x)的第
x1
x1 x 1
二类间断点。(无穷型间断点)
1
例5
讨论函数
y
sin
1 x
在
x
0
处的连续性。
解
f ( x) 在 x 0处没有定义,
且
1 lim sin
不存.在
x0
x
x 0 为第二类间断点。
y sin 1 x
(振荡间断点)
1
ln[lim(1 x) x ] ln e 1. x0
例2
求 lim e x 1 . x0 x
解 令 e x 1 y x ln(1 y),
x 0, y 0.
lim
x0
e
x
x
1
lim
y0
y ln(1
lim 1 y) y0
ln(1
1
y) y
1.
同理可得
lim a x 1 ln a. x0 x
使得 f ( ) 0
f ( x0 ), 则称函数 y = f (x)在x0
点右连续。
结论: 函数 y = f (x)在x0点连续的充分必要条是: 函数y = f (x)在x0 点既左连续且右连续
例1
讨论函数
f
(
x)
x 2
1, 0 x,1
x x
1 3
在 x 1处的连续性。
解:
lim f x lim x 1 0
(二)第二类间断点 (左、右极限至少有一个不存在)
2 x, 0 x 1,
例1
函数
f
(x)
1,
x1
y
1 x, x 1,
2
f (1) 1, lim f ( x) lim 2 x 2
x1
x1
lim f ( x) lim(1 x) 2
1
o
1
x
x1
x1
lim f ( x) 2 f (1),
作业
P69习题1-9 3(3)(4)、 4(2)(3)、6
第十节 闭区间上连续函 数的性质
闭区间上连续函数的性质
定理(最值定理) 若函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连 续,则它在这个区间上一定有最大值和最小值。
定理:(零点定理)若函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连
续,且 f (a)与 f (b)异号则至少存在一点 (a,b)
说明: 由此可见当
时, 有
ln(1 x) : x e x 1 ~ x
例7.求
3
lim(1 2 x)sin x .
x0
解: 原式
3 x
2 x
说明: 若 lim u( x) a , lim v( x) b,则有
x x0
x x0
lim u( x)v( x) ab
x x0
小结
1. 连续函数的运算法则; ① 法则1(连续函数的四则运算法则); ② 法则2(反函数的连续性); ③法则2(复合函数的连续性); 2. 初等函数的连续性; 注意 初等函数求极限的方法代入法.
x1
x1
lim f ( x) lim( x b) 1 b
x1
x1
f (1) a
要使函数在 x 1 点处的连续,必须
lim f ( x) lim f ( x) f (1)
x1
x1
解得 a 1 b 0
3、函数在区间上的连续性
(1) 若函数 f (x)在开区间(a,b)内每一点都连续。
y au , u loga x.
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意
1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D : x 0,2p ,4p ,
这些孤立点的邻域内没有定义.
所以x =1为函数f(x) 的可去间断点。
令 f (1) = 2
y
x2 1
则函数f (x)在x =1点处就连续了。2
•
y x1
o1 x
指出:
对于可去间断点,我们可以补充 ( 当 f (x0 )无定义时)
或改变 ( 当f (x0 )有定义时) 函数在x0 点处的定义 ,
使函数在x0 点处连续。
x 1 x 0
x1
故 x = 1为函数的可去间断点. 令 f (1) = 2,
则
f
(
x
)
2
x,
1 x,
0 x 1, x 1, 在x =1处连续.
例2 函数
x2 1 f (x)
x1
lim f ( x) lim x2 1 lim( x 1) = 2
x1
x1 x 1 x1
f (x)在 x =1 处无定义,
2..函数在点x0 处的连续性
定义1 设函数f(x)在点x0 的某个领域内有定义
如果
lim Dy
Dx0
lim[
Dx0
f ( x0
Dx)
f ( x0 )]
0
则称函数y = f ( x)在 x0点连续. x0称为f (x)的连续点.
定义2 设函数f(x)在点x0 的某个领域内有定义
如果
lim
x x0
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 2) 2 f (0)
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f (x)在点 x=0处不连续.
x2 x 1, 0 x 1
例
2:已知函数
f
x
a,
x1 ,
x b,
1 x2
试求a,b值,使函数在 x 1 连续。
解: lim f ( x) lim( x2 x 1) 1
x
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义 域内是连续的.
★ 指数函数 y a x (a 0, a 1) 在(,) 内单调且连续
★ 对数函数 y loga x (a 0, a 1) 在 (0, ) 内单调且连续
★ y x a loga x 在 (0, ) 内连续
x x0
(3) lim f ( x) f ( x) x x0
由定义可知, f ( x)在 x0满足下列三 条中的任一条, x0就是 f ( x)的间断点。
1、 f ( x)在 x0没有定义
2、 lim f ( x)不存在 x x0
3、 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
间断点分类 :
定理4 设函数 u ( x)在点 x x0连续且 ( x0 ) u0 而函数y f (u) 在点 u u0 连续,则 复合函数 y f [( x)] 在点 x x0也连续
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如, u 1 在 (, ) 内连续。 x
y sin u 在 (, ) 内连续。 y sin 1 在 (, ) 内连续。
则称 f ( x)在开区间 (a,b)内连续。 (2) 若函数f (x)在开区间(a,b)内连续, 在左端
点x =a处右连续且在右端点 x =b 处左连续 , 则称 f (x) 在闭区间 [a,b]上连续, 函数连续点的全体所 构成的区间 , 称为函数的连续区间。
在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的 曲线。
当自变量从x0变到x,函数值也从f(x0)变到f(x) (1)自变量的改变量(增量)
x x0 称为自变量的该变量,记为 Dx , 即 Dx x x0 x x0 Dx (可正可负)