2019版高考文科数学二轮复习专题训练：考前强化练6+Word版含解析
云南省昆明第一中学2019-2020学年高中新课标高三第六次考前基础强化数学(文)试题(解析版)
昆明第一中学2020届高中新课标高三第六次考前基础强化文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合||12}A x Z x =∈-≤≤，{}2|1B x x =≤，则（ ）A. {}1,0,1A B =-IB. {}1,0,1,2A B ⋃=-C. {}|11A B x x ⋂=-≤≤D. {}|12A B x x ⋃=-≤≤【答案】A 【解析】 【分析】用列举法表示出集合A ，再求解出不等式21x ≤的解集为集合B ，即可计算出,A B A B ⋃⋂的结果. 【详解】因为集合{|12}{1,0,1,2}A x Z x =∈-≤≤=-，{}2|1{|11}B x x x x =≤=-≤≤， 所以{1,0,1}A B ⋂=-，{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃， 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，难度较易.2.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A. x x <甲乙，σσ<甲乙B. x x <甲乙，σσ>甲乙C. x x >甲乙，σσ<甲乙D. x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】 【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选.【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题. 3.设有下面四个命题：1p ：0a =是(),a bi a b R +∈为纯虚数的充要条件；2p ：设复数123z i =-，212z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点位于第四象限； 3p ：复数1z i=的共轭复数z i =-；4p ：设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，则1||1z =. 其中真命题为（ ） A. 1p ，3p B. 1p ，4p C. 2p ，3p D. 2p ，4p【答案】D 【解析】 【分析】1p ：考虑,a b 同为零的情况；2p ：先计算12z z +的结果，然后判断所在象限；3p ：计算出z ，然后即可得到共轭复数；4p ：设1z a bi =+，根据2z 是实数得到,a b 的关系，由此求解出1z . 【详解】命题1p ：若0a =，0b =时，则0a bi +=不是纯虚数，所以1p 为假命题；命题2p ：121z z i +=-，在复平面内所对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，所以2p 为真命题； 命题3p ：1z i i==-，它的共扼复数为z i =，所以3p 为假命题；命题4p ：设1z a bi =+（,a b ∈R ，且0b ≠），则212222111a b z z a bi a b i z a bi a b a b ⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，因为2z 是实数，0b ≠， 所以221a b +=，即1||1z =，所以4p 为真命题. 故选：D.【点睛】本题考查复数的概念、除法运算以及复数的几何意义，属于综合型问题，难度较易.已知z a bi =+，则a 为实部，b 为虚部，共轭复数z a bi =-，复数的模z =.4.1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率是（ ）A.B.34C.23D.2【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型中的面积模型可知：点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率等于阴影部分面积比上整个梯形的面积，由此得到结果.【详解】在直角BCE ∆中，cos15a c =︒，sin15b c =︒，则()22222112211sin 303cos15sin15()2CDE ABCDc S c P S c a b ∆︒︒︒=====+++梯形. 故选：C.【点睛】本题考查几何概型中的面积模型，难度较易.解答问题的关键：将图形的面积比值与概率联系在一起.5.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 为C 上一点且||4AF =，则OFA ∆的面积为（ ）（O为A.B.C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解出A 点的坐标，然后代入坐标OFA ∆的面积即可计算出.【详解】由抛物线的定义得点A 到准线1x =-的距离为4，所以点A 的横坐标为3x =，代入抛物线C ：24y x =得212y =，y =±，所以OFA ∆的面积为112S =⨯⨯= 故选：B.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积求解，涉及到利用抛物线的定义求坐标，难度较易.已知抛物线方程()220y px p =>，则抛物线上点()00,P x y 到抛物线焦点F 的距离02p PF x =+. 6.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱CD ,AD 的中点，则（ ） A. 1EF DC ⊥ B. 1EF DB ⊥C. 11EF D C ⊥D. 11EF B C ⊥【答案】B 【解析】 【分析】画出几何体，连接,AC BD ，再根据线面关系、线线关系作出判断. 【详解】如图所示：连结AC 、BD ，则AC ⊥平面1B DB ，所以1AC DB ⊥， 又//EF AC ，所以1EF DB ⊥.【点睛】本题考查正方体中线面垂直、线线垂直关系的判断，难度较易.判断时注意根据正方体的几何特点简化判断.7.已知,x y 满足251000y x x y y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A.307B. 107-C. 5D. 5-【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式表示的可行域，采用平移直线法判断出在何处取最小值，由此得到结果. 详解】作出可行域如图所示：由图可知目标函数2z x y =+在点A 处取得最小值，因为2510y x x y =⎧⎨+=⎩，所以107107x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以min 1010302777z =+⨯=， 故选：A.【点睛】本题考查利用线性规划求解线性目标函数的最值，难度较易.求解线性目标函数的最值的常用方法：平移直线法，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起，利用数形结合思想解决问题. 8.函数()()12x x f x x e -=-的大致图象是（）【A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域计算出导函数()f x '的正负，由此判断函数()f x 的单调性并判断出图象. 【详解】因为定义域{}|2x x ≠，所以()2233()0(2)xx x f x x e --+'=<-，所以()f x 在(),2-∞和()2,+∞上单调递减， 故选：A.【点睛】本题考查函数的图象的辨别，难度一般.根据函数解析式辨别函数图象，可以从函数的奇偶性、单调性、特殊点等方面进行分析. 9.定义在R 上的函数()f x 满足()1f x +的图象关于1x =-对称，且()f x 在(),0-∞上是减函数，若()0.3a f π=，()2b f e -=，21log 9c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. a c b >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据条件分析出()f x 奇偶性以及在()0,∞+上的单调性，再根据指、对数函数的单调性分析所给自变量的大小，由此判断出函数值之间的大小关系.【详解】因为函数()f x 满足()1f x +的图象关于1x =-对称，则()f x 图象关于y 轴对称，则()f x 是偶函数且在()0,∞+上是增函数， 因为0.313π<<，201e -<<，21|log |39>，所以c a b >>， 故选：C.【点睛】本题考查根据函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，难度一般.()f x a +的图象关于x a =-对称()f x ⇔的图象关于y 轴对称()f x ⇔是偶函数；()f x a +的图象关于(),0a -成中心对称()f x ⇔的图象关于()0,0成中心对称()f x ⇔是奇函数.10.执行如图所示的程序框图，如果输出的28A =，那么在图中的判断框中可以填入（ ）A. 5?n ≥B. 5?n >C. 7?A ≤D. 7?A ≥【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，将每一次循环对应的结果列出，再根据输出结果是28A =选择判断框中的内容. 【详解】当0n =时，1A =；当1n =时，1A =；当2n =时，0A =；当3n =时，1A =-； 当4n =时，0A =；当5n =时，7A =；当6n =时，28A =， 所以判断框中的内容应填写：5?n >，故选：B【点睛】本题考查补全程序框图中的判断框内容，难度较易.处理此类问题常用的方法是根据循环语句列举出每一步的结果，然后再根据结果进行分析. 11.在ABC ∆中，3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（ ）A.B. C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，再根据三角恒等变换中的辅助角公式计算出2AB BC +的最大值即可. 【详解】因为2sin sin sin AB AC BCC B A===，所以22sin 4sin 2sin 4sin 4sin )3AB BC C A C C C C C πϕ⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪⎝⎭，其中tan ϕ=()sin 1C ϕ+=取得最大值，存在C使得最大值为 故选：B.【点睛】本题考查正弦定理与辅助角公式的综合运用，难度一般.（1）注意()()sin cos 0a x b x x ab ϕ+=+≠，其中tan b aϕ=；（2）解三角形时，注意隐含条件A B C π++=的运用.12.已知,A B 是双曲线222x y -=右支上的两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据()()()()222222121212211122x x y y x y x y x y xy +=++--并结合平方的非负性，计算出OA OB ⋅u u u r u u u r的最小值.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r，因为()()()()()2222222121212211122122144x x y y x y x y x y x y x y x y +=++--=++≥.当且仅当2121y y x x =-时，即,A B 关于x 轴对称时等号成立， 又因为渐近线方程为：y x =±，所以,OA OB u u u r u u u r的夹角小于242ππ⨯=，所以0OA OB ⋅>u u u r u u u r，所以()min2OA OB⋅=u u u r u u u r，故选：D.【点睛】本题考查双曲线中的向量数量积的最值计算，对于分析和转化计算能力要求很高，难度较难.解答问题的关键能将()21212x x y y +变形为可直接判断大小的式子.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知非零向量a r ，b r 满足(2)a b a +⊥r r r ，若1||||2a b =r r，则a r 与b r 的夹角为__________．【答案】π【解析】 【分析】根据向量垂直对应的数量积为0，得到关于,a b <>r r 的等式，将1||||2a b =r r代入即可计算出,a b <>r r 的值.【详解】因为()2a b a +⊥r r r ，所以()20a b a +⋅=r r r，即2||20a a b +⋅=r r r ，解得cos ,1a b <>=-r r ，所以,a b π<>=r r.故答案为：π.【点睛】本题考查向量夹角的计算，难度较易.注意当a b ⊥r r时，一定有0a b ⋅=r r ，反之亦成立.14.曲线()12f x x=在点()41-,处的切线方程为__________． 【答案】5y x =- 【解析】 【分析】先求解出()f x 的导函数()f x '，再根据导数的几何意义求解出切线的斜率，根据直线的点斜式方程求解出切线方程.【详解】因为()212f x x'=，由导数的几何意义知()f x 在点()41-,处的切线斜率()41k f '==，则()f x 在点()41-,处的切线方程为：()114y x +=⨯-，即5y x =-.故答案为：5y x =-.【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程的求解，难度较易.曲线()f x 在某点处()()00,x f x 的切线方程的求解思路：（1）先求导函数()f x '；（2）计算该点处的导数值()0f x '，即为切线斜率；（3）根据直线的点斜式方程求解出切线方程. 15.若cos sin 2cos sin θθθθ+=-，则(cos sin )(cos sin )θθθθ+-=__________．【答案】45【解析】 【分析】先根据条件计算出tan θ，然后根据“齐次式”的计算方法，将待求式子变形为关于tan θ的形式，从而可求解出结果. 【详解】由cos sin 1tan 2cos sin 1tan θθθθθθ++==--，所以1tan 3θ=，而22222222cos sin 1tan 4(cos sin )(cos sin )cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθθθθ--+-=-===++. 故答案为：45【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系的运用，难度一般.利用“齐次式”的概念进行求值时，若出现的是2222sin cos sin cos a b c d θθθθ++的形式，考虑分子、分母同除以2cos θ即可；若出现的是22sin cos a b θθ+，注意将其补全一个分母22sin cos θθ+以变形为分式结构.16.已知在半径为3的球面上有,,,A B C D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 体积的最大值为__________．【答案】3【解析】 【分析】过CD 作空间四边形ABCD 的截面PCD ，由体积公式可知只需求解出PCD S V 的最大值即可，由此进行分析求解.【详解】过CD 作平面PCD ，使得AB ⊥平面PCD ，交AB 于P 点，如下图：设P 到CD 的距离为h ，所以122223323PCD h h V S ⨯=⨯⨯=⨯=V ， 当球的直径通过,AB CD 的中点时，此时h的值最大，且max h ==所以max V =.故答案为：3. 【点睛】本题考查几何体的体积最值与球的综合运用，难度较难.涉及到几何体外接球的问题，注意利用球本身的性质去分析问题，从而达到简化问题的目的.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，310a =，1111S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及此时n 的值.【答案】（1）319n a n =-+；（2）当6n =时，n S 有最大值为651S = 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于1,a d 的方程组，求解出1,a d 即可求出通项公式； （2）利用0d <对应{}n a 为递减等差数列，根据10n n a a +≥⎧⎨≤⎩确定出n 的取值，从而n S 的最大值以及取最大值时n 的值都可求.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由310a =可得1210a d +=，由1111S =可得1115511a d +=， 所以1121051a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1163a d =⎧⎨=-⎩，所以16(1)(3)319n a n n =+-⨯-=-+；（2）由131903160n n a n a n +=-+≥⎧⎨=-+≤⎩，解得161933n ≤≤， 所以当6n =时，n S 有最大值，此时最大值为651S =.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将n S 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出n S 的最大值以及取最大值时n 的值. 18.如图所示的几何体中，BE ⊥平面ABCD ，//AF BE ，四边形ABCD 为菱形，2==AB AF ，点M ，N 分别在棱FD ，ED 上.（1）若//BF 平面MAC ，设FMFDλ=，求λ的值； （2）若60ABC ∠=︒，12EN ND =，直线BN 与平面ABCD所成角的正切值为3，求三棱锥B ENF -的体积.【答案】（1）12λ=；（2）9【解析】 【分析】（1）连接AC BD P =I ，连接MP ，利用线面平行的性质定理判断出//BF MP ，由此求出λ的值； （2）过N 作//NG BE 且NG BD G ⋂=，根据线面角的正切值计算出BE 的长度，即可求解出BEF V 的面积，再利用体积公式即可计算出三棱锥B ENF -的体积.【详解】（1）连接AC 、BD ，设AC BD P =I ，因为四边形ABCD 为菱形，所以P 为AC 与BD 中点，连接MP ，因为//BF 平面MAC ，且平面BFD ⋂平面MAC MP =，所以//BF MP ， 因为P 为BD 的中点，所以M 为FD 的中点，即12FM FD =，12λ=.（2）因为60ABC ∠=︒，四边形ABCD 为菱形，2AB CB ==，所以BD = 过N 作//NG BE ，且NG BD G ⋂=，因为12EN ND =，所以3BG =，设BE a =，则23NG a =， 因为直线BN 与平面ABCD所成角的正切值为tan NBG ∠==，所以a =BEF的面积1S == 而点N 到平面BEF 的距离即点G 到平面BEF的距离为h，由113B ENF N BEF V V S h --==⋅=， 所以三棱锥B ENF -的体积为9【点睛】本题考查根据线面平行关系求解参数、已知线面角正切值求解长度、棱锥体积计算，属于综合型问题，难度一般.（1）已知线面平行求解参数时，注意使用线面平行的性质定理分析问题；（2）利用几何方法计算线面角的三角函数值时，可采用找射影点的方法完成求解.19.我市某区2018年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2019年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2019年2月后该区新建住宅销售均价的数据：的（1）研究发现，3月至7月的各月均价y （百元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求价格y （百元/平方米）关于月份x 的线性回归方程；（2）用i y ∧表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值iy ∧与实际相应月份销售均价i y 差的绝对值记为i ξ，即||i i i y y ξ∧=-，1,2,3,4,5i =.若0.25i ξ≤，则将销售均价的数据i y 称为一个“好数据”，现从5个销售均价数据中任取2个，求抽取的2个数据均是“好数据”的概率.参考公式：回归方程系数公式^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，^^a yb x =-；参考数据：511984i ii x y==∑，521135i i x ==∑.【答案】（1） 1.688y x ∧=-+；（2）310P = 【解析】 【分析】（1）先计算出,x y ，然后根据b $的计算公式求解出b $，再根据线性回归方程过样本点中心(),x y 求解出$a，由此求解出线性回归方程；（2）先根据定义计算出()1,2,3,4,5i i ξ=，利用古典概型的概率计算方法，先列举出所有可能的情况，然后分析其中满足的情况，由此计算出抽取的2个数据均是“好数据”的概率. 【详解】（1）由表格中的数据，可得3456755x ++++==，8382807877805y ++++==， 所以219845580 1.613555b ∧-⨯⨯==--⨯，则80 1.6588a ∧=+⨯=，所以y 关于x 的回归方程 1.688y x ∧=-+. （2）利用（1）中的回归方程为 1.688y x ∧=-+，可得13x =，183.2y ∧=，24x =，281.6y ∧=，35x =，380y ∧=，46x =，478.4y ∧=，57x =，676.8y ∧=，所以10.2ξ=，20.4ξ=，30ξ=，40.4ξ=，50.2ξ=， 即5个销售均价数据中有3个即1y ，3y ，5y 是“好数据”，从5个销售均价数据中任意抽取2个的所有可能结果：()12,y y ，()13,y y ，()14,y y ，()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共10种，抽取的2个数据均为“好数据”的结果是：()13,y y ，()15,y y ，()35,y y ，共3种， 所以310P =. 【点睛】本题考查线性回归方程的求解和古典概型的概率计算，难度一般.（1）求解回归直线方程中的参数值时，注意回归直线方程过样本点的中心(),x y ；（2）利用古典概型求解概率时，最常用的方法是列举法，将所有的基本事件列举出来，同时写出目标事件对应的基本事件，根据事件数目即可计算出对应的概率.20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆短轴端点，若12AF F ∆为直角三角形且周长为4+. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，直线OM ,ON 斜率的乘积为22b a-，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）[]1,1- 【解析】 【分析】（1）根据12AF F ∆的形状以及周长，计算出22,a b 的值，从而椭圆C 的方程可求；（2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数,k m 关系找到，由此即可化简计算出OM ON⋅u u u u r u u u r的取值范围.【详解】（1）因为12AF F ∆为直角三角形，所以b c =，a =，又12AF F ∆周长为4，所以222)4a c c +==，故c =24a =，22b =，所以椭圆C ：22142x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线l 斜率不存在时，121212OM ONy y k k x x ⋅==-,12x x =，12y y =-，所以212112OM ON y k k x ⋅=-=-， 又2211142x y +=，解得212x =，211y =，221212111OM ON x x y y x y ⋅=+=-=u u u u r u u u r .当直线l 斜率存在时，设直线方程为:l y kx m =+，由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124240k x kmx m +++-=，>0∆得()()222216412240k m k m -+->即2242m k <+，12221224122412km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()()2222121212122412m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+ 由121212OM ONy y k k x x ⋅==-得22222411224212m k k m k -+=--+，即2221m k =+， 所以22121212222122121[1,1)2121212m k OM ON x x y y x x k k k--⋅=+====-∈-+++u u u u r u u u r 所以[]1,1OM ON ⋅∈-u u u u r u u u r.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，其中涉及到焦点三角形的周长以及向量数量积的取值范围，难度一般.（1）椭圆的焦点三角形的周长为：()2a c +；（2）椭圆中的向量数量积问题，首选方法：将向量数量积表示为坐标形式，借助韦达定理完成求解. 21.已知函数2()(12)ln ,f x x a x a x a R =+--∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）[]0,1a ∈ 【解析】 【分析】（1）先求解出导函数()f x '，将其因式分解并根据a 的取值范围作分类讨论，由此得到函数的单调性；（2）根据不等式恒成立，对参数a 分类讨论：0,0,0a a a =><，分别判断函数单调性并根据()min 0f x ≥求解出a 的取值范围.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，因为22(12)()(21)()212a x a x a x a x f x x a x x x+---+'=+--==， 若0a ≤，则()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增；若0a >，则当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 则()f x 在()0,a 单调递减，则(),a +∞单调递增.（2）由（1）可知，当0a =时，()2f x x x =+在()0,∞+单调递增，()0f x >，满足题意；当0a >时，要使()0f x ≥，则2min ()()ln 0f x f a a a a a ==-+-≥，即ln 10a a +-≤，构造()ln 1g x x x =+-，则()110g x x'=+>，故()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()10g =，故当(0,1]x ∈时，()0g x ≤，故由()0g a ≤得1a ≤， 当0a <时，当x 趋于0时，()f x 趋于-∞，与题意不符，舍去； 综上，要使()0f x ≥，则[]0,1a ∈.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到求解含参函数的单调性和根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.利用导数求解不等式恒成立问题，常用的两种方法：（1）分类讨论法；（2）分离参数法.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-分别与曲线1C 交于极点O 外的三点,,A B C .（1）求||||||OB OC OA +的值；的（2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值.【答案】（1；（2）2m =，23πα= 【解析】 【分析】（1）利用极坐标表示出,,A B C ，然后将,,OA OB OC 转化为极径，根据对应的极径即可计算出||||||OB OC OA +的值；（2）先求解出BC 的极坐标将其转化为直角坐标可求斜率，由此先求解出倾斜角α的值，再根据点在线上代入求解出m 的值即可.【详解】（1）设点,,A B C 的极坐标分别为()1,ρϕ,2,4πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭,3,4πρϕ⎛⎫-⎪⎝⎭, 由点,,A B C 在曲线1C 上得：14cos ρϕ=，24cos 4πρϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，34cos 4πρϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以23||||4cos 4cos 44OB OC ππρρϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1||4cos OA ρϕ==，所以||||||OB OC OA +=；（2）由曲线2C 的参数方程知，曲线2C 是倾斜角为α且过定点()0m ,的直线，当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫-⎪⎝⎭，化为直角坐标为(B ,(3,C ,所以，直线的斜率为tan α=23πα=，又因为直线BC 的方程为：y =+，由点()0m ,在直线BC 上得：2m =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、直线的参数方程化为普通方程、根据点在曲线上求解参数值，难度一般.直角坐标与极坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==. 23.已知函数()22,f x x x a a R =---∈． （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，()0f x >即2230x x --->等价于：3{210x x ≤->或32{2350x x <<-+>或2{10x x ≤-+>，解出不等式即可；（Ⅱ）()22f x x x a =---所以()0f x <可化为22x a x ->-①，即22x a x ->-或22x a x -<-，①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<，据此即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）当3a =时，()0f x >即2230x x --->等价于：3{210x x ≤->或32{2350x x <<-+>或2{10x x ≤-+>解得312x <≤或3523x <<或x ∈∅所以原不等式的解集为：5{|1}3x x <<（Ⅱ）()22f x x x a =---所以()0f x <可化为22x a x ->-①即22x a x ->-或22x a x -<-，①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<Q (,2)x ∈-∞，∴a ∈∅或4a ≥，4a ∴≥考点：1．绝对值不等式；2．恒成立问题．。
{名校}2019年高考考前强化模拟文科数学试卷二含答案解析
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21．（12 分）[2019·东莞期末]已知函数 f x x alnx ， g x a x2 x （ a 0 且 a 为常数）．
2
（1）当 a 0 时，求函数 f x 的最小值； （2）若对任意 x 1 都有 f x g x 成立，求实数 a 的取值范围．
y f x 的“拐点”．若点 1, 3 是函数 g x x3 ax2 bx 5a,b R 的“拐点”，也是函数 g x 图像上的
点，则函数 h x 1 a sin x 1 b cos2 x 的最大值是_______．
3
2
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2
4
f x 1的解集为 P ．
（1）求 M ， P ；
（2）证明：当 m M ， n P 时， m 2n 1 2mn ．
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文科数学答案二
一、选择题． 1．【答案】D
【解析】因为
z
2 1+i
21 i 1 i 1 i
19．（12 分）[2019·揭阳一中]如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， BAD 60 ， 点 M 在线段 PC 上，且 PM 2MC ， O 为 AD 的中点． （1）若 PA PD ，求证 AD PB ； （2）若平面 PAD 平面 ABCD ， △PAD 为等边三角形，且 AB 2 ，求三棱锥 P OBM 的体积．
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2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟文科数学试题(全国Ⅱ卷)Word版含解析
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟文科数学试题（全国Ⅱ卷）一、选择题1．已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则AB =（ ）（A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}， 【答案】D【解析】试题分析：由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{1,2}A B =，故选D. 【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算. 2．设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 【考点】 复数的运算，共轭复数.3．函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A【解析】试题分析：由图知，2A =，周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+， 因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22(Z)32k k ππϕπ+=+∈，令0k =得，6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数图像的性质4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）（A ）12π （B ）323π（C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为2412ππ⋅=，故选A. 【考点】 正方体的性质，球的表面积.5．设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y=kx（k>0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k=（ ） （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D【解析】试题分析：因为F 抛物线24y x =的焦点，所以(1,0)F ， 又因为曲线(0)k y k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k=，所以2k =，选D. 【考点】 抛物线的性质，反比例函数的性质.6．圆x 2+y 2−2x −8y+13=0的圆心到直线ax+y −1=0的距离为1，则a=（ ）（A ）−43 （B ）−34（C （D ）2【答案】A【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，半径2r =，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，1=，解得43a =-，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式.7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C.【考点】 三视图，空间几何体的体积.8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） （A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）310【答案】B【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B. 【考点】 几何概型.9．中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s=（ ）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C【解析】试题分析：由题意，当2,2,0,0x n k s ====，输入2a =，则0222,1s k =⨯+==，循环；输入2a =，则2226,2s k =⨯+==，循环；输入5a =，62517,32s k =⨯+==>，结束.故输出的17s =，选C.【考点】 程序框图，直到型循环结构.10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ） （A ）y=x （B ）y=lgx （C ）y=2x（D ）y=【答案】D【解析】试题分析：lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ． 【考点】 函数的定义域、值域，对数的计算. 11．函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】B【解析】试题分析：因为22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+，而s i n [1,]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质.12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），若函数y=|x 2-2x-3| 与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B【解析】试题分析：因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 【考点】 函数的奇偶性，对称性.二、填空题13．已知向量a=（m,4），b=（3,-2），且a ∥b ，则m=___________. 【答案】6-【解析】试题分析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-． 【考点】平面向量的坐标运算 ，平行向量.14．若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________【答案】5-【解析】试题分析：由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，点()1,2A ，由1030x y x -+=⎧⎨-=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，点()3,4B ，由3030x x y -=⎧⎨+-=⎩得30x y =⎧⎨=⎩，点()C 3,0，分别将A ，B ，C 代入2z x y =-得：1223z A =-⨯=-，3245z B =-⨯=-，C 3203z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】 简单的线性规划.15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a=1，则b=____________. 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=， 又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，三角函数和差公式.16．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.【考点】 推理.三、解答题17．等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】试题分析：（Ⅰ）题目已知数列{n a }是等差数列，根据通项公式列出关于1a ，d 的方程，解方程求得1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）根据条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求n b ，需要对n =分类讨论，再求数列{}n b 的前10项和.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==， 所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n =1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n =4,5时，2323,25n n b +≤<=； 当n =6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n =9,10时，2345,45n n b +≤<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.【考点】等差数列的性质 ，数列的求和. 18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A 的估计值；（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求()P B 的估计值； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值. 【答案】（Ⅰ）由6050200+求()P A 的估计值；（Ⅱ）由3030200+求()P B 的估计值；（Ⅲ）根据平均值得计算公式求解.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知数据，一年内出险次数小于2的有2种情况，由频数和除以样本总数即可得到一年内险次数小于2的频率；（Ⅱ）由已知数据，一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％，即为一年内出险次数大于1且小于4.由频数和除以样本总数即得()P B 的估计值； （Ⅲ）由题所求分布列，由平均数的计算公式求解结论. 试题解析：（Ⅰ）事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60500.55200+=， 故P （A ）的估计值为0.55.（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3200+=， 故P （B ）的估计值为0.3. （Ⅲ）由题所求分布列为： 保费 0.85a a 1.25a1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.250.15 0.15 0.10 0.05调查200名续保人的平均保费为0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 【考点】 样本的频率、平均值的计算.19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF 交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置.（Ⅰ）证明：'AC HD ⊥；（Ⅱ）若55,6,,'4AB AC AE OD ====求五棱锥D ABCEF '-体积. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）694. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证//.AC EF 再证//.'AC HD （Ⅱ）根据勾股定理证明OD H '∆是直角三角形，从而得到.'⊥OD OH 进而有⊥AC 平面BHD '，证明'⊥OD 平面.ABC 根据菱形的面积减去三角形DEF 的面积求得五边形ABCFE 的面积，最后由椎体的体积公式求五棱锥D ABCEF '-体积. 试题解析：（Ⅰ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD 又由=AE CF 得=AE CFAD CD，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （Ⅱ）由//EF AC 得1.4==OH AE DO AD由5,6==AB AC 得 4.===DO BO所以1, 3.'===OH D H DH于是2222219,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH 由（Ⅰ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ，所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH ACOH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC又由=EF DH AC DO 得9.2=EF 五边形ABCFE 的面积11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S所以五棱锥'ABCEF D -体积16934=⨯⨯=V 【考点】 空间中的线面关系判断，几何体的体积. 20．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，对实数a 分类讨论，用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 所以曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （Ⅱ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ， 则222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，（Ⅰ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ， 故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；（Ⅱ）当2>a 时，令()0'=g x 得1211=-=-x a x a由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x .综上，a 的取值范围是(],2.-∞【考点】 导数的几何意义，函数的单调性.21．已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当AM AN =2k <<.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故1||2|AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k =-+，故同理可得212||43AN k=+.由2||||AM AN =得2223443kk k=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2k <<. 【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.22．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求直线l 的极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程212cos 110.ρρα++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．试题解析：（Ⅰ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB 得23cos ,tan 8αα==，所以l . 【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.23．选修4—5：不等式选讲已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ； （Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）分12x <-，1122x -≤≤和12x >三种情况去掉绝对值，再解不等式()2f x <，即可得集合M ；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，确定21a -和21b -的符号，从而证明不等式1a b ab +<+成立.试题解析：（Ⅰ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.。
2019高考数学(文科)二轮复习选择填空狂练六等差等比数列含答案
6 等差、等比数列1．[2018·阜阳三中]{}n a 为等差数列，且7421a a -=-，30a =，则公差d =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．22．[2018·阜阳三中]在等比数列{}n a 中，若37a =，前3项和321S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-3．[2018·阜阳调研]已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．164．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-5．[2018·长春实验]已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是（ ）A ．29B ．30C ．31D ．326．[2018·琼海模拟]朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中第3天共分发大米（ ）A ．192升B ．213升C ．234升D ．255升7．[2018·长寿中学]在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．[2018·潮南冲刺]已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S =（ ）A ．3B ．9C ．10D ．139．[2018·诸暨适应]等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若2a ，3a ，6a 成等比，则（一、选择题）A ．10a d >，30dS >B ．10a d >，30dS <C ．10a d <，30dS >D ．10a d <，30dS <10．[2018·湖北模拟]设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1111．[2018·郑州质测]已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件12．[2018·衡水中学]已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点()222,log M a 、()255,log N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n -B ．122n +-C ．21n -D ．121n +-13．[2018·长春质测]各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =，则3S =_____．14．[2018·定远模拟]等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=_____．15．[2018·郑州质测]设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a 前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为________．16．[2018·山西二模]数列{}n a 满足1111,231,n n n n n a a a a a ----⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，若134a =，则数列{}n a 的前100项的和是__________．二、填空题1．【答案】B【解析】7421a a -=- ，()33421a d a d ∴+-+=-，421d d ∴-=-，12d ∴=-．故选B ．2．【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的首项为a ，公比为q ，所以有方程组22721aq a aq aq ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，解得1q =或12q =-，答案选择C ．3．【答案】C【解析】在等比数列{}n a 中有31174a a a =，所以2774a a =，74a =，所以774a b ==，又{}n b 是等差数列，59728b b b +==，答案选择C ．4．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ．5．【答案】C【解析】设正项等比数列的公比为q ，则3416a q =，6716a q =，4a 与7a 的等差中项为98，即有4794a a +=，即36916164q q +=，解得12q =（负值舍去），则有()5515116112311112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭===--．故选C ．6．【答案】C【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ，可得数列是首项164a =，公差为7的等差数列，则第三天派出的人数为3a ，且3642778a =+⨯=，又根据每人每天分发大米3升，则第3天共分发大米783234⨯=升，故选C ．答案与解析一、选择题7．【答案】C【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，由题意可知14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n da S na n n -=+=-，二次函数的对称轴为358.754n ==，开口向下，又因为n ∈*N ，所以当9n =时，n S 取最大值．故选C ．8．【答案】C【解析】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，满足6a ，43a ，5a -成等差数列，4656a a a ∴=-，()2446a a q q ∴=-，0q >，260q q ∴--=，0q >，解得3q =，则()()4124221313131103131a S S a --==+=--，故选C ．9．【答案】C【解析】由2a ，3a ，6a 成等比数列．可得2326a a a =，可得()()()211125a d a d a d +=++，即2120a d d +=，∵公差d 不等于零，10a d ∴<，120a d +=，()23133302dS d a d d ∴=+>=，故选C ．10．【答案】C【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，设公差为d ，44a =，515S =，则4534155a S a ===⎧⎨⎩，解得1d =，则()44n a n n =+-=．由于()1111111n n a a n n n n +==-++，则11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++ ，解得10m =，故答案为10．故选C ．11．【答案】A【解析】由题可得，()12n n n n a a S na +=<，化简可得1n na na <，即1n a a <，所以()111a a n d <+-，即()102n d n ->≥当恒成立，所以0d >，即数列{}n a 为递增数列，故为充分条件．若数列{}n a 为递增数列，则0d >，()()()1111122n n n n n n d na S n a n d na d --⎡⎤-=+--+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当2n ≥时，0n n na S ->，即n n S na <，故为必要条件，综上所述为充分必要条件．故选A ．12．【答案】C【解析】因为点()222,log M a 、()255,log N a 都在直线1y x =-上，所以22log 211a =-=，可得22a =，25log 514a =-=，可得516a =，35122128 21112n n n q a q S a a =⎧-==⇒⇒==-⎨=-⎩，故选C ．13．【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若n S 是等比数列的和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -， ，仍是等比数列，得到：()()263396S S S S S -=-，解得310S =，故答案为10．14．【答案】5【解析】由题意知21534a a a ==，且数列{}n a 的各项均为正数，所以32a =，()()()225123451523433352a a a a a a a a a a a a a ∴=⋅⋅=⋅==，()521222324252123452log log log log log log log 25a a a a a a a a a a ∴++++===．15．【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为后3个数成等差数列且和为15，故可依次设后3个数为5d -，5，5d +，（0d ≠且5d ≠），又前3个数构成等比数列，则第一个数为()255d -，即()25555d d k -+-+=，化简得2157550d d k -+-=，因为满足条件的数列的个数大于1，需要0Δ>，所以154k >．再由0d ≠且5d ≠，得5k ≠，且15k ≠，故答案为()()15,55,1515,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．16．【答案】450二、填空题【解析】∵数列{}n a 满足1111,231,n n n n n a a a a a ----⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，∵134a =，∴211712a a ==，3231317152a a =+=⨯+=，432612a a ==，541312a a ==，653140a a =+=，762012a a ==，871012a a ==，98125a a ==，1093116a a =+=，1110128a a ==，1211142a a ==，1312122a a ==，1413121a a ==，同理可得：154a =，162a =，171a =， ．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{}n a 的前100项的和()()1211121314151629a a a a a a a a =++++++++ ()()341752261340201051684229142=+++++++++++++⨯++450=．故答案为450．。
2019年高考文科数学二轮复习分专题解答题训练共八套 Word版附答案及解析
2019年高考文科数学（通用版）二轮复习解答题训练共八套PS ：答案及解析页码为：14～35页专题一：解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.专题二：数 列1.在等差数列{a n }中， a 1＝－2，a 12＝20. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，求数列{3b n }的前n 项和S n .2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1. (1)求b 1，b 14，b 61； (2)求数列{b n }的前200项和.专题三：立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中， ∠ABC ＝120°， BC ＝2CD, AD ＝AF , AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.4.(2018·乐山联考)如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.专题四：解析几何1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝43.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值.3.已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积； (3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”. 若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围.专题五：概率与统计1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.2.为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.3.为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润Z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量约为多少时，年利润Z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .4.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生有21人.(1)求总人数N 和分数在110～115的人数n ；(2)现准备从分数在110～115的n 名学生⎝⎛⎭⎫女生占13中任选2人，求其中恰好有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x (满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .专题六：函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，求实数a 的取值范围.4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数).(1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.专题七：坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).专题八：不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.答案及解析专题一：解三角形1.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos 2A ＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC， 故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2π＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12， 可得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＋cos A ＝12， 则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12， 因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6， 所以A ＝2π3. 专题二：数 列1.解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n 1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n < 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝⎛⎭⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项；当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项；当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项.∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.专题三：立体几何1.(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD .∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝3 2，∴V B－ADEF＝13×(2×2)×32＝233.2.(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD. 由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67， ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . 3.(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面P AC ，故BC ⊥平面P AC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2. 又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点.因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2. 又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2， 所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23. 由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23， CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2. 设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23， 解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1. 又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13. (3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62.专题四：解析几何1.(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值.2.解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故y ′|x ＝23＝233. 所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立， 得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0， 所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ， 故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2， 由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2，所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 3.(1)解 由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程， 得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)解 因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明 由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)， 即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝⎛⎭⎫x 204＋y 203， 因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).4.解 (1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎨⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A ||PM |·sin ∠APM12|PB ||PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM →＝－λ2PN →.由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0，Δ>0恒成立，即得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)λ2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23).专题五：概率与统计1.解 (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25，40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种，所以事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率是P (A )＝610＝35.2.解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝⎛⎭⎫0.05＋0.075＋x2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5， 所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步).(2)设评价级别是及格的2天分别为a ，b ，评价级别是良好的3天分别为x ，y ，z ， 则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果： ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz ，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab ，xy ，xz ，yz .所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P ＝410＝25.3.解 (1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－(－1.23)×3＝8.69，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝8.69－1.23x . (2)年利润Z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， ∴当年产量约为2.72吨时，年利润Z 最大.4.解 (1)分数在100～110内的学生的频率为P 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数N ＝210.35＝60，分数在110～115内的学生的频率为P 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1， 分数在110～115内的人数n ＝60×0.1＝6.(2)由(1)可知，分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，男生有4名， 设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个， 所以所求的概率为P ＝815.(3)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据公式得到b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50，所以当x ＝130时，y ^＝115.所以他的物理成绩的估计值是115分.专题六：函数与导数1.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1，则切线方程为x ＋2y －3＝0. (2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2， 则h ′(x )＝3x 2＋4x －3， 设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2， 由于x 1x 2＝－1<0， 不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0，因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0，所以f (x )>0.2.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x ，由g ′()x >0得0<x <1， 由g ′()x <0得x >1； 若0<12a <1，即a >12时，由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，由g ′()x <0得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a 或0<x <1，由g ′()x <0得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；当a >12时，函数g ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.3.解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1， 所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上，f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . (3)由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， 则a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，x >0，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (e)＝3e＋e ＋2，h (1)＝4，所以h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0， 所以h (e)<h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，3e ＋e ＋2. 4.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x，x ∈[1，e]. 当a 2≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；当1<a 2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，e 上单调递增， 所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24－a ＋a ln a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1. 因为2<a <2e ，所以0<ln a 2<1， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1<0恒成立，所以2<a <2e ；当a 2≥e ，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2－2e e －1，所以f (e)<0， 所以a ≥2e ，综上，a ≥－1.专题七：坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0， 所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4， 所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23， 将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1， 所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2. 专题八：不等式选讲1.解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，故f (x )的最小值为|a |,∴a ＝±2.(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，故∃a ∈[－2,2]，使m 2－|m |<|a |成立，即 m 2－|m |<2，∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，∴－2<m <2.2.解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤f (x )≤3，∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞).3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12， 由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).4.解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，3m ，x ≤－m ，当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12， 又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5， ∴3m ≤5，又m >0，∴0<m ≤53.。
{名校}2019年高考考前强化模拟文科数学试卷十含答案解析
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （12 分）[2019·河南期末]在公差为 d 的等差数列 an 中， a12 a2 2 a1 a2 ． （1）求 d 的取值范围；
1 n （2）已知 d 1 ，试问：是否存在等差数列 bn ，使得数列 2 ？ 的前 n 项和为 n 1 an bn
D． f x x 1
6 ． [2019· 江南十校 ] 已知边长为 1 的菱形 ABCD 中， BAD 60 ，点 E 满足 BE 2 EC ，则 AE BD 的值是（
） B．
1 2
A．
1 3
C．
1 4
D．
最优解仅为 1,3 ，则 a 的取值范围为（ A． 1,1 B． 0,1
） C． ,1 1, D． 1,0
12． [2019·东师附中]已知函数 f x ax ln x 合是（ ） B． a a 0
1 2 则实数 a 构成的集 x a 有且只有一个极值点， 2
D． 1 i
4．[2019·湖北联考]设双曲线 C :
x y 2 1 a 0, b 0 的右焦点与抛物线 y 2 16 x 的焦点相同， 2 a b
双曲线 C 的一条渐近线方程为 3 x y 0 ，则双曲线 C 的方程为（ A．
）
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 B． C． D． 1 1 1 1 12 4 4 12 16 48 48 16 5．[2019·延边质检]下列函数中，既是奇函数，又是 R 上的单调函数的是（ ）
）
{名校}2019 年高考考前强化模拟文科数学试卷十含答案解析
2019届高考数学备战冲刺预测卷6文科(含答案)
2019届高考数学备战冲刺预测卷6 文1、已知i 是虚数单位,复数5i 2i -=- ( ) A. 2i -B. 2i +C. 2-D. 22、已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则B ⋃= ( ) A. {}1,2,4B. {}2,3,4C. {}0,2,4D. {}0,2,3,43、已知() f x 为定义在R 上的奇函数, ()()g x f x x =-,且当(],0x ∈-∞时, ()g x 单调递增,则不等式()()2123f x f x x --+≥-的解集为( )A. ()3,+∞B. [)3,+∞C. (,3]-∞D. (,3)-∞4、已知:11p x -?,2:230q x x --?, 则p 是q ⌝的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、已知等差数列{}n a 的公差为2,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于( )A. 4-B. 6-D. 10-6、执行程序框图,如果输入的a,b,k分别为1,2,3,输出的158M=,那么,判断框中应填入的条件为() A. ?n k<B. ?n k≥C. 1?n k<+ D. 1?n k>+7、已知实数,x y满足3020230x yx yx y+-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y=+的最大值为( )A.3B.4C.5D.68、已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A.2 8π3 -C. 48π3- D. 82π-9、已知 C 是正方形ABDE 内的一点,且满足AC BC ⊥, 2AC BC =,在正方形ABDE 内投一个点,该点落在图中阴影部分内的概率是( )A.15B. 25C. 35D. 45 10、已知12,F F 是双曲线2214x y -=的两个焦点,P 在双曲线上,且满足1290F PF ∠=︒,则12F PF ∆的面积为( )A.1C.211、在△ABC 中,已知7,5,3a b c ===,则角A 大小为( )A. 120B. 90C. 60D. 4512、函数()22,0,{2,0,x e x x f x x x x --≥=+<的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.313、若向量,a b 满足||2a b ==,且()2a a b ⋅-=,则向量a 与b 的夹角为__________14、已知(),,0,a b μ∈+∞且191a b+=,则使得a b μ+≥恒成立的μ的取值范围是________. 15、已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点,且AC BC ⊥,则实数a 的值为__________.16、已知函数()sin f x x x =+,则下列命题正确的是__________.①函数f ()x1;②函数f ()x 的图象与函数()2cos 6h x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象关于 x 轴对称; ③函数f ()x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称; ④若实数 m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ,则1232x x x π++>;17、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且555,5S a ==数列{}n b 满足12b =-，且113n n n nb b a ++-=． 1.求数列{}n a 的通项公式；2.求数列{}n b 的通项公式．18、如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中, DB BC =,DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点。
全国通用-2019年最新高考数学文科第二次高考模拟冲刺卷及答案解析
最新高考二模突破冲刺交流试卷（01）高三数学（文）一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是合题目要求的. 1.已知集合{|2sin ,}M y y x x R ==∈，{}lg N x y x ==，则MN 为（ ）A. ［-2，2］B. (0，＋∞)C. (0，2］D.［0，2］ 2.若5cos 13α=-，且α为第三象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512- 3.已知复数z 满足(2)5i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i =-),则复数z 的共轭复数是（ ） A.12i -+ B.12i + C.12i - D.12i -- 4.设x R ∈ ，则“31x +< ”是“220x x +-> ”的( ) A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件5．有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5)4 [19.5，23．5) 5[23.5,27.5) 16 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5，39.5)的概率约是( ) A ．16B ．13C ．12D ．236.如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ． 2D ． 37.将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直8.已知向量()()2016,2,,2016-==k b k a 的夹角为钝角，则函数()201622++=k k k f 的最小值为（ ）A. 2013B. 2014C. 2015D.20169.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A (1)(1)(0)f f f <-<B (0)(1)(1)f f f <<-C (1)(0)(1)f f f -<<D (1)(0)(1)f f f <<- 10.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）A ．1B ．43C ．54D ．2 11.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=600,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为183，则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π 12.已知函数f(x)=|log 2x|-m(m>0)的零点分别为x 1,x 2(x 1<x 2),函数g(x)=|log 2x|8(0)21m m ->+的零点分别为x 3,x 4(x 3<x 4),则2413x x x x --的最小值为( )A.4√43B.8√43C.4√2D.8√2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
全国通用-2019年最新高考数学文科第二次高考模拟试题及答案解析二
A. —176.通过随机询问B. C. D.最新高三下学期第二次模拟考试数学试题(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|a—1 ExEa+2},B ={x|3<x <5},则使得A m B成立的实数a的取值范围是( )A.〔a|3；a£4)B. ：a|3 ：a：：4)C. ：a|3<a<4?D..一2.复数三1=A + Bi (A,B w R ),则A + B的值是()12iA. 6B. 0C. -- D -45 53.对于函数y = f (x),x W R, " y =|f (x)的图象关于y轴对称"，是“ y = f (x )是奇函数”的()A.充分而不必有条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.根据下列算法语句：x = input ("x =" 'if x <= 50y =0.5* xelsey=25 +0.6*(x-50 ] endpr int(%io(2), y).当输入x为60时，输出的y的值为( )A.25B. 30C. 31D. 614 4 * * d 』5.已知a = (—3,2 ),b = (—1,0 ),向量入a+b与a—2b垂直，则实数人的值为( )100 10 30-20 4050 50 30 70参考上面附表得出的正确结论是（）A.在犯错的概率不超过 5%的前提下，认为“是否爱好吃零食与性别有关”B.在犯错的概率不超过 5%的前提下，认为“是否爱好吃零食与性别无关C.有97.5%以上的把握认为“是否爱好吃零食与性别有关”D.有97.5%以上的把握认为“是否爱好吃零食与性别无关”1 ，， 7 .已知各项均为正数的数列 {4},其前n 项和为Sn , &,an, —且成等差数列，则数列1^口}的通项公2式为（）A.2nB. 2n2 C. 2n' D"N 18 .某单位有职工750人，其中青年职工 350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单 位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为 7人，则样本容量为（）A. 15B. 15人的身体健康状况C. 750人D.750人的身体健康状况一 ....1 39 .已知a =log 8 2,b =log 8 —,c =一,则三个数a,b,c 的大小关系正确的是()2 4A. a :: c :: bB. b :: a :: cC. a :: b :: cD. b :: c :: a10 .某几何体的三视图如图所示，当 xy 取最大值时，该几何体的体积为（）A. 2、, 7B. 4.7C. 8,7D. 16.711 .已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,抛物线白准线与 x 轴的交点为P,以坐标原点 。
2019届全国统一考试数学文科临考冲刺卷(二)含解析
普通高等学校招生全国统一考试临考冲刺卷高三文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1=1A x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，{}2=4B x y x =，则A B =（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．()0,1 D ．()0,+∞【答案】B2．若复数z 满足()2i 17i z +=+，则z =（ ）A B ．C D ．2【答案】A3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（ ）A ．数列{}21n-的第4项B ．数列{}21n-的第5项C ．数列{}21n-的前4项的和D ．数列{}21n-的前5项的和【答案】B4．在ABC △中，AD AB ⊥，33CD DB ==，1AD =，则=AC AD ⋅（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件【答案】A7．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为a ；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为b ．甲同学认为a 有可能比b 大，乙同学认为a 和b 有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（ ） A ．甲对乙不对 B ．乙对甲不对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对【答案】B8．某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）A ．3A ∈B ．5A ∈C ．AD ．A【答案】D 9．已知函数()1cos f x x x=+，下列说法中正确的个数为（ ） ①()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ②()f x 在()0,π上的最小值是2π； ③()f x 在()0,π2上有两个零点． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C10．已知A ，B ，C ，D 4AC BD ==，AD BC ==AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是（ ）A ．B ．C ．D 【答案】C11．已知函数()2ln xf x a x x a =+-，()01a a >且≠，对任意的1x ，[]20,1x ∈，不等式()()122f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣B ．[)e,+∞C ．[]2,eD ．2e,e ⎡⎤⎣⎦【答案】A12．已知S 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点M ，N ，交y 轴于点P ，Q ，若()118OP OQ OM ON ⎛⎫+⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．(D．)+∞【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x ，y 满足：1310x yx y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，则3x y +的最大值为_______．【答案】1314．设函数()22,1lg ,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，则()()4f f -=_______．【答案】1-15．抛物线28y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，2π3OFA ∠=，则tan ACB ∠=_______．【答案】16．设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a ，前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为_______． 【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()cos 2cos C b A =．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）6A π=；（2）2+【解析】（1cos 2sin cos cos A C B A C A =，()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =，又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A =， 又A 为三角形内角，所以6A π=．（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22422b c bc =+-≥-，所以(42bc ≤，所以1sin 22S bc A == 18．（12分）在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．②根据以上数据，完成22⨯列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．【答案】（1）5人，4人；①15，②是．【解析】（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为1=10.95=0.05P -，语文特别优秀的同学有1000.05=5⨯人，数学成绩特别优秀的概率为2=0.00220=0.04P ⨯，数学特别优秀的同学有1000.04=4⨯人． ①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，记两科都特别优秀的3人分别为1A ，2A ，3A ，单科特别优秀的3人分别为1B ，2B ，3B ，从中随机抽取2人，共有：()12A A ,，()13,A A ，()23,A A ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B 共15种，其中这两人成绩都特别优秀的有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：31=155P =． ②，()2210039412245042.982 6.63549659557k ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，AD BC ∥，112AD AB AE BC ====且BC ⊥底面ABE ，M 为棱CE 的中点． （1）求证：直线DM ⊥平面CBE ；（2）当四面体D ABE -的体积最大时，求四棱锥E ABCD -的体积．【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】（1）因为AE AB =，设N 为EB 的中点，所以AN EB ⊥， 又BC ⊥平面AEB ，AN ⊂平面AEB ，所以BC AN ⊥，又BC BE B =，所以AN ⊥平面BCE ，又DM AN ∥，所以DM ⊥平面BCE ． （2）AE CD ⊥，设=EAB θ∠，=1AD AB AE ==，则四面体D ABE -的体积111sin sin 326V AE AB AD θθ=⨯⨯⋅⋅⋅=， 当90θ=︒，即AE AB ⊥时体积最大，又BC ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，所以AE BC ⊥，因为BC AB B =，所以AE ⊥平面ABC ，()1111211322E ABCD V -=⨯⨯+⨯⨯=．20．（12分）已知动点(),M x y =（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设A ，B 是轨迹E 上的两个动点，线段AB 的中点N 在直线1:2l x =-上，线段AB 的中垂线与E 交于P ，Q 两点，是否存在点N ，使以PQ 为直径的圆经过点()1,0，若存在，求出N 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）1,2N ⎛- ⎝⎭． 【解析】（1）2212x y +=． （2）当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为12x =-，此时()P，)Q，221F P F Q ⋅=-，不合题意；当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点()1,02N m m ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为k ， ()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()()1212121220y y x x y y x x ⎛⎫-+++⋅= ⎪-⎝⎭，则140mk -+=， 故14k m=，此时，直线PQ 斜率为14k m =-， PQ 的直线方程为142y m m x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即4y mx m =--，联立22412y mx mx y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得：()222232116220m x m x m +++-=， 所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -⋅=+，由题意220F P F Q ⋅=，于是()()()()()22121212121211144F P F Q x x y y x x x x mx m mx m ⋅=--+=⋅-+++++()()()2221212116411m x x m x x m =+⋅+-+++()()()()()()22222222211622411619110321321321m m m m m mm m m +----=+++==+++，m ∴=，因为N 在椭圆内，278m ∴<，m ∴=符合条件，综上所述，存在两点N 符合条件，坐标为1,2N ⎛-⎝⎭． 21．（12分）已知函数()ln f x ax x x =-在2e x -=处取得极值． （1）求实数a 的值；（2）设()()()21ln F x x x x f x a =+-++，若()F x 存在两个相异零点1x ，2x ，求证：122x x +>．【答案】（1）1a =-；（2）见解析．【解析】（1）因为()ln f x ax x x =-，所以()ln 1f x a x '=--，因为函数()f x 在2e x -=处取得极大值，所以()2e0f -'=，即()22e ln e 10f a --'=--=， 所以1a =-，此时()ln 2f x x '=--，经检验，()f x 在()20,e -上单调递增，在()2e ,-+∞单调递减，所以()f x 在2e x -=处取得极大值，符合题意，所以1a =-．（2）由（1）知：函数()()()21ln F x x x x f x a =+-++，函数()F x 图像与x 轴交于两个不同的点()1,0C x ，()2,0D x ，()12x x <， 为函数()2ln 1F x x x x =---的零点，令()()()212112121x x x x F x x x x x-+--'=--==， ()F x ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增且()110F =-<，1x ∴，()21,x ∈+∞，欲证：122x x +>，即证：212x x >-，即证()()212F x F x >-，即证()()112F x F x >-， 构造函数()()()()()20,1x F x F x x ϕ=--∈，()()()22102x x x x ϕ--'=<-，()()10x ϕϕ∴>=，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0α≤<π）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若8AB =，求a 的值． 【答案】（1）sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，24x y =；（2）4απ=或34π． 【解析】（1）直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，则22cos 4sin ρθρθ=，24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．（2）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）代入曲线2:4C x y =，22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，1224sin cos t t αα∴+=，1224cos t t α-⋅=，128AB t t =-===， cos 2α∴=±，4απ∴=或34π．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）证明：22a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）92． 【解析】（1）证明：2b a -<，()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即22a b +=．（2）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a b t ab+≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==时，2a bab +取得最小值92， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92．。
{名校}2019年高考考前强化模拟文科数学试卷六含答案解析
2019年高考考前强化模拟文科数学试卷六第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·柳州模拟]已知集合(){},1A x y y x ==-，(){},25B x y y x ==-+，则A B = （）A ．(){}2,1B ．{}2,1C ．(){}1,2D ．{}1,5-2．[2019·合肥一中]设1i 1iz +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．1-B ．i C ．1D ．43．[2019·皖江名校]2018年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9～12月同比增长25%，该市2017年9～12月邮政快递业务量柱形图及2018年9～12月邮政快递业务量结构扇形图如图所示，根据统计图，给出下列结论：①2018年9～12月，该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2018年9～12月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9～12月相比有所减少；③2018年9～12月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%，其中正确结论的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．04．[2019·河南联考]已知cos 4α=，则()cos π2α-=（）A．8-B ．34-C．8D ．345．[2019·汕头期末]已知x ，y 满足的束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =-+的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．[2019·广大附中]已知函数()()()()sin 2cos 20πf x x a x ϕϕϕ=+++<<的最大值为2，且满足()π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ϕ=（）A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π37．[2019·马鞍山一模]函数()2sin 2x f x x x x=+-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．8．[2019·自贡一诊]如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为63，36，则输出的a =（）A ．3B ．6C ．9D ．189．[2019·河南联考]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α 平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（）A B ．C ．13D 10．[2019·东莞期末]圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A ．9:32B ．8:27C ．9:22D ．9:2811．[2019·东莞模拟]已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（）A ．2B ．2C ．3D ．3412．[2019·广东期末]已知函数()sin sin 3f x x x =-，[]0,2πx ∈，则函数()f x 的所有零点之和等于（）A ．0B ．3πC ．5πD ．7π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．14．[2019·常州期末]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________．15．[2019·广州外国语]已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若πA =，a =，且ABC △的面积为2，则ABC △的周长为______．16．[2019·太原期末]已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x 都有()()2f x f x +-=，且当(),0x ∈-∞时，都有()1f x '<，若()1f m m >+，则实数m 的取值范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·河南一诊]已知数列{}n a 满足1321212222n n n a a a a +-++++=- ()*n ∈N ，4log n n b a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）[2019·九江一模]某企业为了增加某种产品的生产能力，决定改造原有生产线，需一次性投资300万元，第一年的年生产能力为300吨，随后以每年40吨的速度逐年递减，根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，该设备的使用年限为3年，该产品的销售利润为1万元/吨．（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．（i ）根据频率分布直方图估计年销售利润不低于180万的概率和不低于220万的概率；（ii ）试预测该企业3年的总净利润．（3年的总净利润3=年销售利润-投资费用）19．（12分）[2019·华师附中]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB ==，1π3BAA ∠=，D 为1AA 的中点，点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上．（1）求证：1B D CBD ⊥平面；（2）若CBD △是正三角形，求三棱柱111ABC A B C -的体积．20．（12分）[2019·永州二模]已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点P 在抛物线E 上，点P 的纵坐标为8，且9PF =．（1）求抛物线E 的方程；（2）若点M 是抛物线E 准线上的任意一点，过点M 作直线n 与抛物线E 相切于点N ，证明：FM FN ⊥．21．（12分）[2019·昌平期末]已知函数()2ln 2f x x ax ax =-+．（1）若1a =-，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·济南外国语]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·石室中学]已知函数()21f x x a =++，（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2）若存在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，使得不等式()22f x b x a ≥++的解集非空，求b 的取值范围．文科数学答案六第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由题意125y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得2x =，1y =，故(){}2,1A B = ．故选A ．2．【答案】C【解析】()()()21i 1i i 1i 1i 1i z ++===--+，则i z =- ，故()i i 1z z ⋅=⋅-=，故选C ．3．【答案】B【解析】2017年的快递业务总数为242.49489.61200++=万件，故2018年的快递业务总数为1200 1.251500⨯=万件，故①正确．由此2018年9～12月同城业务量完成件数为150020%300⨯=万件，比2017年提升，故②错误．2018年9～12月国际及港澳台业务量1500 1.4%21⨯=万件，219.6 2.1875÷=，故该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%．故③正确．综上所述，正确的个数为2个，故选B ．4．【答案】D【解析】由题意，利用诱导公式求得()223cos π2cos 212cos 1244ααα⎛⎫-=-=-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故选D ．5．【答案】D【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线22z x y =-+过点()1,0A 时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值4．故选D ．6．【答案】D【解析】∵函数()()()()sin 2cos 20πf x x a x ϕϕϕ=+++<<的最大值为2，2=，∴a =，∴()()()πsin 222sin 23f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+±+=+± ⎪⎝⎭，又∵()π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴π4x =是函数()f x 的一条对称轴，∴()πππ2πk k ϕ⨯+±=+∈Z ，∴()ππk k ϕ=±+∈Z ，又∵0πϕ<<，∴π3ϕ=或2π3．故选D ．7．【答案】D【解析】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ，当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1x x→，()101f x →+=，排除A ，故选D ．8．【答案】C【解析】由63a =，36b =，满足a b >，则a 变为633627-=，由a b <，则b 变为36279-=，由b a <，则27918a =-=，由b a <，则1899b =-=，由9a b ==，退出循环，则输出的a 的值为9．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意知，点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α 平面ABCD m =，根据面面平行的性质，可得m AC ∥，∴直线m 与1A C 所成角即为直线AC 与直线1A C 所成的角，即1ACA ∠为直线m 与1A C 所成角，在直角1ACA △中，1116cos 3AA ACA A C ∠==，即m 与1A CB ．10．【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl l r r==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231ππ33r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图，则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r =．故选A ．11．【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒，∵tan a OMA b ∠=，∴tan 60a b ≥︒=，∴a ≥，()2223a a c ≥-，∴2223a c ≤，22e ≥，e ≥C ．12．【答案】D 【解析】()()sin sin3sin sin 2sin sin cos2cos sin 2f x x x x x x x x x x x=-=-+=--()()3222sin 1cos 2cos sin 22sin 2sin cos 2sin sin cos x x x x x x x x x x =--=-=-2sin cos 2x x =-，由()0f x =得到sin 0x =或者cos 20x =．当sin 0x =时，0x =，π，2π；当cos 20x =时，π4x =，3π4，5π4，7π4；∴()f x 的所有零点之和等于7π，选D ．另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令()0f x =，则sin sin 3x x =，在同一坐标系中画出函数sin y x =和sin 3y x =的图像，如图所示，两个函数图像在区间[]0,2π有7个交点，∴()f x 有7个零点，其中3个零点是0，π，2π，另外四个零点为图中的1x ，2x ，3x ，4x ，由对称性可知，12πx x +=，343πx x +=，∴()f x 的所有零点之和等于7π，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】1-【解析】由()+⊥a b a 得()0+⋅=a b a ，得20+⋅=a a b ，∴1⋅=-a b ，故答案为1-．14．【答案】y =【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，2c a =，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，可得2c =，∴1a =，由2223b c a =-=，则b =，又双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线C的渐近线方程为y =．故答案为y =．15．【答案】5+【解析】∵πA =，a =2222cos a b c bc A =+-可得：227b c bc =+-；又ABC △的面积为2，∴1sin 22bc A =，∴6bc =，∴5b c +===，∴周长为5a b c ++=+．故答案为5+16．【答案】(),0-∞【解析】由题意，知()()2f x f x +-=，可得()f x 关于()0,1对称，令()()()1g x f x x =-+，则()()1g x f x ''=-，∵()1f x '<，可得()g x 在(],0-∞上单调递减，且()g x 关于()0,1对称，则在()0,+∞上也单调递减，又∵()01f =，可得()00g =，则()1f m m >+，即()()0g m g >，解得0m <，即实数m 的取值范围是(),0-∞．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）212n n a -=；（2）4n n T =+．【解析】（1）∵13121221++222222n n n n n a a a a a +---+++=- ，∴()312122+222222n n n a a a a n --+++=-≥ ，两式相减得112222n n n nn a +-=-=，∴()2122n n a n -=≥．又当1n =时，12a =满足上式，∴()21*2n n a n -=∈N ．∴数列{}n a 的通项公式212n n a -=．（2）由（1）得21421log 22n n n b --==，∴()()11411221212121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭∴122311*********n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⋅⋅⋅-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14212121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．18．【答案】（1）206；（2）（i ）0.7，0.4；（ii ）290．【解析】（1）年销量的平均数0.11200.21600.32000.252400.15280206x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨）．（2）（i ）该产品的销售利润为1万元/吨，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220吨时，年销售利润才不低于220万，∴年销售利润不低于220万的概率0.250.150.4P =+=；同理，年销售利润不低于180万的概率0.30.250.150.7P =++=．（ii ）由（1）可知第一年的利润为：2061206⨯=（万元），第二年的利润为：()0.11200.21600.32000.42401200⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（万元），第三年的利润为：()0.11200.21600.72001184⨯+⨯+⨯⨯=（万元），∴预测该企业3年的总净利润为：206200184300290++-=（万元）．19．【答案】（1）见证明；（2）34．【解析】（1）证明：设点C 在平面11ABB A 内的射影为E，则E BD ∈，CE CBD ⊂平面，且11CE ABB A ⊥平面，因111B D ABB A ⊂平面，∴1CE B D ⊥，在ABD △中，1AB AD ==，π3BAD ∠=，则πππ323ABD ADB -∠=∠==，在11A B D △中，1111A B A D ==，112π3B A D ∠=，则11112πππ326A B D A DB -∠=∠==，故1ππππB DB ∠=--=，故1BD B D ⊥，因CE BD E = ，故1B D CBD ⊥平面．（2）法一、1111133ABC A B C A ABC C A AB V V V ---==，由（1）得11CE ABB A ⊥平面，故CE 是三棱锥1C A AB -的高，CBD △是正三角形，1BD AB AD ===，2CE =，11111πsin 12sin 2232A AB S AB AA BAA =⋅∠=⨯⨯⨯=△，1111133224C A AB A AB V S CE -=⋅=⨯=△，故三棱柱的体积1111334ABC A B C C A AB V V --==，故三棱柱111ABC A B C -的体积为34．法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因PAC BAC S S =且高一样，故11111ABC A B C APC A QC V V --=，故1111111112ABC A B C APC A QC ABB A PCC Q V V V ---==，由（1）得11CE ABB A ⊥平面，故CE 是四棱柱111ABB A PCC Q -的高，故111111π3sin 12sin 32ABB A PCC Q ABB A V S CE AB AA BAD CE -=⋅=⨯∠⨯=⨯⨯⨯，故1111111324ABC A B C ABB A PCC Q V V --==，故三棱柱111ABC A B C -的体积为34．法三、在三棱锥C ABD V -中，由（1）得CE ABD ⊥平面，CE 是三棱锥C ABD -的高，记D 到平面ABC 的距离为D h ，由D ABC C ABD V V --=得1133ABC D ABD S h S CE =⋅⋅，即ABD D ABCS CE h S ⋅=，D 为1AA 的中点，故A 到平面ABC 的距离为22ABD D ABCS CEh S ⋅=，1111π322211sin 234ABC A B C ABC D ABD V S h S CE -=⨯=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯．故三棱柱111ABC A B C -的体积为34．20．【答案】（1）24x y =；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为2py =-，又点P 的纵坐标为8，且9PF =，于是892p+=，∴2p =，故抛物线E 的方程为24x y =．（2）设点(),1M m -，()00,N x y ，00x ≠，∵214y x =，∴1'2y x =，切线方程为()0001y y x x x -=-，即20011y x x x =-，令1y =-，可解得20042x m x -=，∴2004,12xM x ⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭，又()0,1F ，∴20042x FM x ⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭ ，，()00,1FN xy =- ∴222000000442220222x x x FM FN x y x --⋅=⋅-+=-+= ．∴FM FN ⊥．21．【答案】（1）20x y --=；（2）[]0,1．【解析】函数()f x 的定义域为()0,+∞，（1）1a =-时，()2ln 2f x x x x =+-，()122f x x +'=-，()11f '=，且()11f =-．∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x --=-，即20x y --=．（2）若()f x x ≤恒成立，即()0f x x -≤恒成立．设()()()2ln 21g x f x x x ax a x =-=-+-，只要()max 0g x ≤即可；()()22211ax a x g x x -+-+'=．①当0a =时，令()0g x '=，得1x =．x ，()g x '，()g x 变化情况如下表：x ()0,11()1,+∞()g x '+0-()g x 极大值∴()()max 110g x g ==-<，故满足题意．②当0a >时，令()0g x '=，得12x a =-（舍）或1x =；x ，()g x '，()g x 变化情况如下表：x ()0,11()1,+∞()g x '+0-()g x 极大值∴()()max 11g x g a ==-，令10a -≤，得01a <≤．③当0a <时，存在121x a =->，满足112ln 20g a a ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()0f x <不能恒成立，∴0a <不满足题意．综上，实数a 的取值范围为[]0,1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）2212x y +=；（2）11MA MB +=【解析】（1）曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=，∵222x y ρ=+，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=，即2212x y +=．（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=，∴1222cos 1sin t t αα+=-+，12211sin t t α-⋅=+，∴121211MAMB AB t t MA MB MA MBMA MB +-+===⋅⋅-⋅，∵1221sint tα-=+，∴22111sin 11sin MA MB αα++==+．23．【答案】（1）13x x ⎧⎫-<<-⎨⎩⎭；（2）13,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【解析】（1）当2a =时，函数()221f x x =++，解不等式()2f x x +<化为2212x x +++<，即221x x +<-，∴1221x x x -<+<-，解得133x -<<-，∴不等式的解集为133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭．（2）由()22f x b x a ≥++，得2221b x a x a ≤+-++，设()2221g x x a x a =+-++，则不等式的解集非空，等价于()max b g x ≤；由()()()222211g x x a x a a a ≤+-++=-+，∴21b a a ≤-+；由题意知存在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，使得上式成立；而函数()21h a a a =-+在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为11339h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴13b ≤；即b 的取值范围是13,9⎛⎤-∞ ⎝⎦．。
2019年高考新课标数学(文)二轮复习配套试卷及答案
2019年高考现场模拟名师教你最后一招——考场应试技巧1．“穿”“带”双齐进考场穿着整齐进考场，不要穿拖鞋，背心等。
带齐考试用品：数、理、化可带规定的计算器，2B铅笔、准考证，万一忘带准考证，及时找带队老师，考后一定要把准考证交回。
2．掌握时间心不慌掌握考试时间，迟到15分钟不得进场，一般要提早20分钟。
充分利用开考前的五分钟，认真倾听监考老师宣读有关规则和注意事项，以免事后惹麻烦。
接过考卷，先认真填写姓名、学校、准考证号、座号等，只须检查一下有没有漏项、白页即可，无须把题目从头到尾地详细看一遍，只须看清解题的要求，试卷页数，大致了解一下试题份量、难度等。
然后对每一题要仔细审题，准确解题。
题目读两遍，慢审快解(题目看仔细，想清楚再解题)，最好能做到一次性准确。
先从容易的做起，因为一开始就感觉顺利，可使自己心情放松，利用有利的感觉推向“下一题”，能引起“自信”的连锁反应，有利于情绪的稳定。
3．打响高考第一枪进入考场，调整一下姿势，舒适地坐在位子上；摆好文具，带眼镜的同学把眼镜摘下擦一擦，尽快进入角色；此时心中想着的只是考试的注意事项，不要再多虑考试的结果、成败、得失。
开考前不宜过早地在教室外等待考试，可以在操场等场所有意识地放松。
做到镇定自如，不慌张。
如果出现心律加快，手脚发抖等紧张现象，也属于正常现象，可以适当进行调节，如深呼吸，同时告诫自己别紧张，不害怕，也可以在嘴里放块口香糖以分散紧张情绪。
4．先易后难不慌忙先易后难：按照题号顺序审题，会一道就做一道，一时不会做的就先跳过(有疑问的、不会的在草稿纸上做记录)，这样做的好处是：(1)使自己很快进入答题状态，(2)随着答题数的增加，心中越来越有数，信心不断增强，智力操作效率将越来越高，难题或许不会再难了。
—————————————————第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U ＝{x ∈N *|x 2－9x ＋8≤0}，A ＝{1,2,3}，B ＝{5,6,7}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{4,8}B ．{2,4,6,8}C ．{1,3,5,7}D ．{1,2,3,5,6,7}答案：A解析：因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A ＝{4,5,6,7,8}，∁U B ＝{1,2,3,4,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{4,8}，故选A.2．在复平面内，复数z 满足i z ＝(1＋2i)2，则|z |＝( ) A ．5 B ．25 C. 5 D ．2 5答案：A解析：由i z ＝(1＋2i)2得z ＝(1＋2i )2i ＝－3＋4i i ＝(－3＋4i)(－i)＝4＋3i ，所以|z |＝42＋32＝5，故选A.3．若平面向量a ，b 满足a －2b ＝(23，－1)，b －2a ＝(－3，－1)，则a ，b 的夹角是( )A.5π6B.2π3C.π6D.π3答案：D解析：由题意可得a ＝(0,1)，b ＝(－3，1)，设a ，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，所以θ＝π3，故选D.做题时：整体安排有序，依序答题，先易后难，先简后繁． 选择题一般30分钟左右完成，对于较容易的题目可直接在第Ⅰ卷原题空隙附近计算，认真读准题目的每一个字，一定要抓住关键词、关键句，提取有效信息，明白出题人的真正意图，千万不要想当然，没读完就开始做．最好认真看清已知条件．即使时间再紧张，看清题目也是至关重要的．否则，必定造成不应有的失误．如：选择题题干常常这样问“下列有关……叙述，不正确的是”，“不”字的存在与否使答案完全相反．这样丢失、失分很是可惜．1．先确定集合U 中的元素，再进行集合运算，送分题，选A. 2．复数的运算法则是高频考点，细心计算，选A.3．利用夹角公式求解，注意避免计算向量a ，b 的坐标时出错．选D.4．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x －1)＝－1f (x ＋1)成立，且f (x )在[－2,0]上单调递增，设a ＝f (6)，b ＝f (22)，c ＝f (4)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b <c <aD ．c >b >a答案：D解析：由f(x－1)＝－1f(x＋1)，得f(x)＝－1f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－1f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，则函数f(x)的周期T＝4，a＝f(6)＝f(－2)，b＝f(22)＝f(22－4)，c＝f(4)＝f(0)．因为－2<22－4<0，且f(x)在[－2,0]上单调递增，所以f(－2)<f(22－4)<f(0)，即c>b>a，故选D.4．从f(x－1)＝－1f(x＋1)入手，可得f(x)为周期函数，然后把a，b，c转化为求在[－2,0]上的函数值，选D.常用结论：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.5．如图是一个算法框图，若输出的a的值为365，则输入的最小整数t的值为()A．121 B．122C ．123D ．124答案：B解析：第一次循环，a ＝3×1－1＝2；第二次循环，a ＝3×2－1＝5；第三次循环，a ＝3×5－1＝14；第四次循环，a ＝3×14－1＝41；第五次循环，a ＝3×41－1＝122；第六次循环，a ＝3×122－1＝365，此时循环结束，所以输入的最小整数t 的值为122，故选B.5．逐次把循环结束的结果准确计算出来是解答此类问题的关键，易出现错误判断循环体结束的条件，导致出错，选B.6．如图所示是某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.163 cm 3 B.24－2π3 cm 3 C.20－π3 cm 3D.20＋π3 cm 3答案：C解析：由三视图知几何体为一个正方体中挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥与一个底面是边长为2的正方形、高为1的四棱锥后余下部分组成的几何体，其体积为V＝23－13×π×12×1－13×2×2×1＝20－π3(cm3)，故选C.6．根据三视图的规则，还原该几何体为一个正方体中挖去一个圆锥与一个正四棱锥余下的部分组成的几何体．还原空间几何体的实际形状时一般以正视图和俯视图为主，选C.7．已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是() A．[4,6] B．(4,6)C．(0,4]∪[6，＋∞) D．(0,4)∪(6，＋∞)答案：A解析：因为圆C上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则以PQ的中点(2,0)为圆心、t为半径的圆(x－2)2＋y2＝t2与已知圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1有公共点，则|t－1|≤(2＋2)2＋(0－3)2≤|t＋1|，解得4≤t≤6，故选A.7．根据P，Q两点坐标及∠PMQ＝90°，可得点M在以PQ的中点为圆心、t为半径的圆上，利用两圆相交的条件列不等式求出t的取值范围．解决圆与圆位置关系问题要以圆心距d与两圆半径和、差的关系入手，选A.8．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何？”意思是：女子从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则该女子第5天所织的布的尺数为( )A ．7 B.10715 C.21931 D.20929答案：D解析：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布，则由题意知30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629，所以第5天所织的布的尺数为5＋(5－1)×1629＝20929，故选D.8．将问题转化为等差数列问题解决，确定首项、项数、公差、和分别是多少，再根据通项公式计算，选D.9．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标压缩为原来的12(纵坐标不变)，所得函数的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3 答案：A解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标压缩为原来的12(纵坐标不变)得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6单调递增，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6上单调递增，故选A. 9．横坐标压缩则周期变小，防止出错，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6→y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，求单调区间时，逐步计算，不要急于求成，选A.10．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形，若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.32π3 B ．12π C ．16π D ．32π答案：C解析：设球心O 在平面BCD 上的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×332＝ 3.又因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.10.画出组合体的图形解决本题，确定球心O 与其在平面BCD 上的投影O 1的位置是关键，在Rt △OO 1D 中，球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2.也可将该四面体还原为球内接正三棱柱(底边长为3，高为2)解决，选C.11．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x答案：C解析：设抛物线C 的方程为y 2＝2px ，p >0，经过焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线C 的方程整理得y 2－2pmy －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 44p 2＝p 24，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34p 2＝－12，解得p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选C.11．解决直线与圆锥曲线的问题，常规方法是联立方程，利用根与系数的关系解决，本题抛物线方程设为y 2＝2px (p >0)，将直线方程设为x ＝my ＋p2(p >0)较为简便．选C.12．定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t ，使得f (t ＋x )＝－tf (x )恒成立，则称f (x )是一个“关于t 函数”．有下列“关于t 函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“关于t 函数”； ②“关于12函数”至少有一个零点； ③f (x )＝x 2是一个“关于t 函数”． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0答案：A解析：若f (x )＝c ≠0，取t ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“t 函数”，①不正确．若f (x )是“关于12函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f (x )有零点；若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在定理知在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内存在零点，②正确．若f (x )＝x 2是一个“关于t 函数”，则(x ＋t )2＋tx 2＝0对任意x ∈R 恒成立，令x ＝1，求得t ＝0且t ＝－1，矛盾，③不正确．∴正确的结论的个数是1，故选A.12．本题属于创新型问题，理解“关于t 函数”这一定义是关键，用反例可说明结论①不正确；可结合零点存在性定理说明②正确；用举例法说明③不正确．选A.本题难度较大，若感到困难，可跳过做后面的填空题，避免耽误较多时间．完成选择题后，及时将答案涂在答题卡指定位置．选择题的作答，要求用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，忌用钢笔、圆珠笔、假2B 铅笔填涂；填涂时要做到“满、深、匀”，忌没有填满、填实、填涂过轻、没有填成小方块或在选项中涂一个很小的点或打一个“√”；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号，忌填错后修改时没有擦干净．否则，机器不能正确读出，会造成丢分．第Ⅱ卷 非选择题(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．请在答题卡指定区域内作答．13．某校高一年级招收的新生中有男生480人，女生360人．为了解该年级学生的视力情况，用分层抽样的方法从新生中抽取一个容量为42的样本进行调查，则样本中女生人数为________．答案：18解析：样本中女生人数为42×360480＋360＝18. 填空题用时可在20分钟左右，注意书写答案时要求清楚、规范．13．分层抽样是按比例抽样，抽样比为360480×360＝37，故样本中女生人数为42×37＝18，本题较易，送分题．14．已知数列{a n }满足a n ＋1a n＝q ，|q |>1，且a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.答案：－7解析：由题意可得{a n }是公比为q 的等比数列，则a 5a 6＝a 4a 7＝－8.又a 4＋a 7＝2，|q |>1，所以a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－2，则a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝1－8＝－7.14.a n ＋1a n＝q (|q |>1)，故{a n }为等比数列． 由等比数列的性质可得a 4·a 7＝a 5·a 6＝－8，进而可求a 4＝－2，a 7＝4，q 3＝－2，∴a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7，关注各项符号间的关系，根据等比数列的性质解题是关键所在．15．若点(1,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，则以a ，b 为直角边的直角三角形的斜边长度的最小值是________．答案：3解析：由题意可得1a 2＋4b 2＝1(a >0，b >0)，以a ，b 为直角边的直角三角形的斜边长为a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝3，当且仅当b 2a 2＝4a 2b2，即a 2＝3，b 2＝6时等号成立，所以斜边长度的最小值是3.15．本题条件中有两个变量a ，b ，且易得1a 2＋4b 2＝1，故可想到利用基本不等式求解最小值，关键是巧用“1”的代换： a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2 ＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2 ≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝3.利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”三个条件．16．如图，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ，并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为________.⎝⎛⎭⎪⎫其中cos 48.19°取近似值23 答案：10解析：在△ADC 中，由正弦定理得|AC |＝|DC |sin D sin ∠DAC＝2×2212＝2 2.在△BCE 中，由正弦定理得|BC |＝|EC |sin E sin ∠CBE ＝23×3222＝3 2.在△ACB 中，由余弦定理可得|AB |2＝(22)2＋(32)2－2×22×32×23＝10，所以|AB |＝10.,16．要求得AB 的长度，在△ABC 中，已知∠ACB ＝48.19°，只需求AC ，BC 的长，再利用余弦定理可得AB 的长，故应分别在△ADC ，△BCE 中，根据正弦定理求解AC ，BC 的长度，本题已知条件较多，解答时可将已知数据分别标注在题中图形的相应位置上，帮助分析问题，灵活运用正、余弦定理是解答本题的关键．完成填空题后将题目答案及时填写在答题卡相应位置，并检查一遍，然后开始做解答题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知正项数列{a n }，{b n }，{c n }满足b n ＝a 2n －1，c n ＝a 2n ，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ，(b n ＋1)2＝4S n .数列{c n }的前n 项和T n ＝3n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前2n 项和A 2n .解：(1)由(b n ＋1)2＝4S n 得(b 1＋1)2＝4b 1，解得b 1＝1.又(b n －1＋1)2＝4S n －1，n ≥2，则(b n ＋1)2－(b n －1＋1)2＝4S n －4S n －1＝4b n ，n ≥2，化简得b 2n －b 2n －1＝2(b n ＋b n ＋1)，n ≥2，又b n >0，所以b n －b n －1＝2，n ≥2，则数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1＝a 2n －1，所以当n 为奇数时，a n ＝n .由T n ＝3n －1得c 1＝2，T n －1＝3n －1－1，n ≥2，则c n ＝3n －3n －1＝2×3n －1，n ≥2，当n ＝1时，上式也成立， 所以c n ＝2×3n －1＝a 2n ，所以当n 为偶数时，a n ＝2×3n －22 ，综上知，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n 为奇数，2×3n －22 ，n 为偶数.(2)因为前2n 项中有n 个奇数项，n 个偶数项，奇数项的和为n (1＋2n －1)2＝n 2， 偶数项的和为2(1－3n )1－3＝3n －1，所以A2n＝n2＋3n－1.解答题答卷中要做到先易后难，稳扎稳打，答题步骤完整、规范，字字有据，步步准确，尽量一次成功(直接将步骤写在答题卡题号规定的区域，不能超出答题框)，保持卷面整洁．17．本题考查数列由递推公式求通项及数列求和．根据条件：b n ＝a2n－1与c n＝a2n，可知{a n}的通项公式应分n为偶数和奇数两种情形，故先分别由(b n＋1)2＝4S n求b n，由T n＝3n－1求c n.第(2)问A2n可根据奇数项与偶数项的和求得．解答此类问题通常以递推关系出发，灵活变形，注意解答步骤规范，步步为赢．18．(本小题满分12分)汽车发动机排量可以分为两大类，高于1.6 L的称为大排量，否则称为小排量．加油时，有92号与95号两种汽油可供选择．某汽车网站的注册会员中，有300名会员参与了网络调查，结果如下：，n＝a＋b＋c＋d.附：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)(1)时进行的型号选择与汽车排量有关？(2)从调查的大排量汽车中按“加油类型”用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个整体，从中任意抽取3辆汽车，求这3辆汽车都是“加92号汽油”的概率．解：(1)∵K 2＝300×(160×24－96×20)2180×120×256×44≈4.545>3.841， ∴有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关．(2)由题意可知，抽出的5辆汽车中加92号汽油的有4辆，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4；加95号汽油的有1辆，记为B .从抽出的5辆汽车中抽取3辆，有：{B ，A 1，A 2}，{B ，A 1，A 3}，{B ，A 1，A 4}，{B ，A 2，A 3}，{B ，A 2，A 4}，{B ，A 3，A 4}，{A 1，A 2，A 3}，{A 1，A 2，A 4}，{A 1，A 3，A 4}，{A 2，A 3，A 4}，共计10种结果，满足条件的有：{A 1，A 2，A 3}，{A 1，A 2，A 4}，{A 1，A 3，A 4}，{A 2，A 3，A 4}，共计4种结果．由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝410＝25.18．第(1)问根据公式计算K 2的值，再与临界值比较得出结论，较为简单，但要注意运算准确．第(2)问为古典概型问题，用列举法求基本事件的个数．列举时注意按规律进行，避免重复或遗漏．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3，M 是棱PC 的中点．(1)求证：P A ∥平面MQB ；(2)求三棱锥P －DQM 的体积．(1)证明：连接AC ，交BQ 于点N ，连接MN ，CQ ，∵BC ∥AD 且BC ＝12AD ，即BC ∥AQ ，BC ＝AQ ，∴四边形BCQA 为平行四边形，∴N 为AC 的中点．又点M 是棱PC 的中点，∴MN ∥P A .又∵MN ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，∴P A ∥平面MQB .(2)解：连接DM ，则V P －DQM ＝V M －PDQ ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴点M 到平面P AD 的距离为12CD .又∵P A ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，∴PQ⊥QD，且PQ＝ 3.∴V P－DQM＝V M－PDQ＝13S△PDQ·12CD＝13·12·QD·PQ·12CD＝14.19．(1)通常证明线面平行有两种方法：通过证明线线平行或面面平行得到线面平行．本题条件中，M是棱PC的中点，联想到可通过作出辅助线，利用三角形的中位线，证明线线平行即可，连接AC交BQ于N，连接MN，证明MN∥P A.(2)求三棱锥的体积，关键是计算出三棱锥的底面积与高，而本题中△DQM的面积与三棱锥中底面DQM的高不易求得，所以需要转化为求V M－PDQ解决．20.(本小题满分12分)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.① 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＋k BN ＝0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0即k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0， 整理得2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，将①代入得2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4， 所以当点N 为(4,0)时，能使得x 轴平分∠ANB .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －bx ＋c ，f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＋4＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调区间；(3)若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5内，恒有f (x )≥x 2＋ln x ＋kx 成立，求k 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝1x －b ，∴f ′(1)＝1－b ，又f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1，故1－b ＝－1，b ＝2.将(1，f (1))代入方程x ＋y ＋4＝0得1＋f (1)＋4＝0，f (1)＝－5， ∴f (1)＝－b ＋c ＝－5，将b ＝2代入得c ＝－3，故f (x )＝ln x －2x －3.(2)依题意知x >0，f ′(x )＝1x －2.令f ′(x )>0得0<x <12，再令f ′(x )<0得x >12，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5内f (x )≥x 2＋ln x ＋kx ，则ln x －2x －3≥x 2＋ln x ＋kx ，∴k ≤－x －2－3x . 设g (x )＝－x －2－3x ，g ′(x )＝－1＋3x 2，令g ′(x )＝0得x ＝3(负值舍去)．令g ′(x )>0得0<x <3，令g ′(x )<0得x >3，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，函数g (x )单调递增，当x ∈(3，5)时，函数g (x )单调递减，∴g (x )的最小值只能在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5的端点处取得． 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12－2－6＝－172，g (5)＝－5－2－35＝－385， ∴g (x )min ＝－172.∴k ≤－172，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－172. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．21．(1)根据导数的几何意义求出b 的值，利用点(1，f (1))代入f (x )的解析式求出c 的值，第(1)问较容易，不能失分．(2)求出f ′(x )>0和f ′(x )<0的解集，即可求出f (x )的单调区间，还要关注f (x )的定义域，第(2)问也不难，估计解答到此能得5分左右，力争第(3)问多得分，要充满信心．(3)一般解决恒成立问题，都要转化为函数的最值问题，分离参数是常用方法，本题中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5，故可分离参数k ，构造函数g (x )＝－x －2－3x ，求g (x )的最小值．考查g (x )的导数，探究g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5上的单调性是解题的关键．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22a cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π4(a >0)． (1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)；(2)若直线l 与C 2相切，求a 的值．解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝x 2，x ∈[－2，2]，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4(舍去)，故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4. (2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0，即(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a >0)．由直线l 与C 2相切，得|－a ＋a －2|2＝2a ，故a ＝1.选修4系列题型基本固定，难度不大，选择自己最拿手的题目解答．22．本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化．(1)将曲线C 1与直线l 的方程化为直角坐标方程，联立即可求出交点坐标．(2)根据圆的切线性质列方程求解a 的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1,3]，求a 的取值范围．解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1，x －1，x ≥1. 当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2,2－a ]，由A ⊆[－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2；当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2<x <a ，2－a ，x ≥a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]， 由A ⊆[－1,3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3， 又a ≥2，故2≤a ≤3.综上，a 的取值范围为[1,3]．23．(1)分x <1和x ≥1两种情况讨论求解．(2)对a 分a <2与a ≥2两种情况，分别求得g (x )的值域，再根据A ⊆[－1,3]求a 的取值范围．解答题全部完成后做最后的检查：看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，对解题结果采用特值法、估算法等方法进行检验．—————— 模拟2017高考单科考试胜利结束 —————— 考后立即离开考场，不要在考场外校对答案，不要“看别人脸上的天气预报”，因为太多不准．做到考完一门，忘掉一门，不回忆，不细想，不追究答案，不在已考的科目上浪费时间，集中精力对付下一门．做到胜不骄败不馁．当某一科考试失败或不理想时，要学会安慰自己：每一位同学不可能没有失败，总可能有一两科不理想，只不过他们不说，没有表现出来而已，因为我难别人也难，我考不出来，他也未必考得出来．关键是要总结经验教训，调整考试方法，以争取在下面几门考试中加以弥补，把损失夺回来．当某一科考得特别好，自我感觉飘飘然时，要告诫自己：我浅别人也浅，我考得好，要特别谨慎，因为一不小心，就会在下一场考试中失败．因为成功往往存在于再努力一下之中，所以一定要做到胜不骄败不馁，及时调整心态，分分必争，充分发挥水平，考出满意成绩．。
2019年高考文科数学二轮复习仿真模拟训练题6份
φ)(0<φ<3)的图象都关于直线 x＝－ 1π2对称，则 ω 与 φ 的值分别为
() A．8，712π B．2，712π C．8，1π2 D．2，1π2
8．[2018 ·天津一中、 益中学校月考 ]已知 f(x)是定义在区间 [ －1,1]
上的奇函数，当 x<0 时， f(x)＝x(x－1)．则关于 m 的不等式 f(1－m) ＋f(1－m2)<0 的解集为 ( )
x∈D 的概率是 ( ) 731 1
A.10B.5C.10D.5 3．[2018 ·山东沂水一中期中 ]已知集合 A＝{x ∈ Z|x2＋3x<0} ，则
满足条件 B? A 的集合 B 的个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．8 x2 y2
4．[2018 ·安徽省皖江八校联考 ]已知双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)，
2019 年高考文科数学二轮复习
仿真模拟训练题 6 份
目录
仿真模拟训练 (一 ) .................................................................................................................... 1 仿真模拟训练 (一 ) .................................................................................................................... 6 仿真模拟训练 (二 ) .................................................................................................................. 13 仿真模拟训练 (二 ) .................................................................................................................. 19 仿真模拟训练 (三 ) .................................................................................................................. 26 仿真模拟训练 (三 ) .................................................................................................................. 31 仿真模拟训练 (四 ) .................................................................................................................. 38 仿真模拟训练 (四 ) .................................................................................................................. 45 仿真模拟训练 (五 ) .................................................................................................................. 52 仿真模拟训练 (五 ) .................................................................................................................. 57 仿真模拟训练 (六 ) .................................................................................................................. 64 仿真模拟训练 (六 ) .................................................................................................................. 70
高考数学二轮复习练习：专题限时集训6 数列 含答案
专题限时集训(六)数列(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(四川省凉山州2019届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{a n }是常数列，则a ＝________.－2[因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.]2．(江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________.63[由a 4＋a 5＋a 6＝21得a 5＝7，所以S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝63.]3．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．1830[当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1； 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3. 所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， 所以a 2k －1＝a 2k ＋3，所以a 1＝a 5＝…＝a 61. 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝30×3＋1192＝30×61＝1830.]4．(江苏省泰州中学2019届高三上学期第二次月考)等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________.12[∵S 3＝12，∴S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝12.解得d ＝2，则a 6＝a 1＋5d ＝2＋2×5＝12.]5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，则a 3＝________.3[∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，∴a 13－3－1＋a 14－3－1＝533，解得a 1＝13.则a 3＝13×32＝3.] 6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________．2[∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1－q 91－q ＝a 1－q 31－q ＋a 1－q61－q，a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12，∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2.]7．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 1322[设最上面一节的容积为a 1， 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝3，⎝⎛⎭⎪⎫9a 1＋9×82d －⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 1＋6×52d ＝4，解得a 1＝1322.]8．已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，则a 1的值是________.【导学号：56394041】－527[设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∵a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝a 1＋3d a 1＋4d ，9a 1＋9×82d ＝1，解得a 1＝－527.]9．(广东湛江市2019届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若log 2a 2＋log 2a 8＝1，则a 3·a 7＝________.2[由log 2a 2＋log 2a 8＝1得log 2(a 2a 8)＝1，所以a 2a 8＝2，由等比数列性质可得a 3a 7＝a 2a 8＝2.] 10．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．31[若等比数列的公比等于1，由a 1＝1，则S 4＝4,5S 2＝10，与题意不符． 设等比数列的公比为q (q ≠1)， 由a 1＝1，S 4＝5S 2，得a 1－q 41－q＝5a 1(1＋q )，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2. 则S 5＝1－251－2＝31.]11．(广东郴州市2019届高三第二次教学质量监测试卷)在△ABC 中，A 1，B 1分别是边BA ，CB 的中点，A 2，B 2分别是线段A 1A ，B 1B 的中点，…，A n ，B n 分别是线段A n －1A ，B n －1B (n ∈N *，n >1)的中点，设数列{a n }，{b n }满足：向量B n A n →＝a n CA →＋b n CB →(n ∈N *)，有下列四个命题，其中假命题是：________.【导学号：56394042】①数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列； ②数列{a n ＋b n }是等比数列； ③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 有最小值，无最大值；④若△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12.③[由BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (CA →－CB →)，B n B →＝12n CB →，B n A n →＝B n B →＋BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1CB →，所以a n ＝1－12n ，b n ＝12n －1－1.则数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列，故①正确；数列{a n ＋b n }即为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 是首项和公比均为12的等比数列，故②正确；而当n ＝1时，a 1＝12，b 1＝0，a n b n 不存在；n ＞1时，a n b n ＝2n－12－2n ＝－1＋12－2n 在n ∈N *上递增，无最小值和最大值，故③错误；在△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|2＝(a 2n ＋b 2n )CA →2＋2a n b n CA →·CB →＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －352－15，当n ＝1时，取得最小值，即有|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12，故④正确．]12．(天津六校2019届高三上学期期中联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23[因为a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －2λ)·2n，因为数列{b n }是单调递增数列，所以当n ≥2时b n ＋1>b n ⇒(n －2λ)·2n>(n －1－2λ)·2n －1⇒n >2λ－1⇒2>2λ－1⇒λ<32；当n ＝1时，b 2>b 1⇒(1－2λ)·2>－λ⇒λ<23，因此λ<23.]13.(山西大学附属中学2019级上学期11月模块诊断)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为________．S 9a 9[S 17>0⇒a 1＋a 172>0⇒a 92>0⇒a 9>0，S 18<0⇒a 1＋a 182<0⇒a 9＋a 102<0⇒a 10＋a 9<0⇒a 10<0，因此S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9>0，S 10a 10<0，而S 1<S 2<…<S 9，a 1>a 2>…>a 8>a 9，所以S 1a 1<S 2a 2<…<S 8a 8<S 9a 9.] 14．(云南大理2019届高三第一次统测)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)；令b n＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________. 5050[由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n，∴a n ＝3n－1，所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝＋2＝5050.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)(泰州中学2019届高三上学期期中考试)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }满足：b 1＝a 1，b 2＝a 2－1，若数列c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . [解](1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意设d >0.由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16.① 由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55.②4分由①得2a 1＝16－7d 将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220.即256－9d 2＝220，∴d 2＝4，又d >0，∴d ＝2.代入①得a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)2＝2n －1.6分(2)∵b 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝2n －1，∴c n ＝a n b n ＝(2n －1)2n －1， 8分S n ＝1·20＋3·21＋…＋(2n －1)·2n －1,2S n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n .两式相减可得：－S n ＝1·20＋2·21＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝1＋2×－2n －11－2－(2n －1)·2n， 10分∴－S n ＝1＋－2n －11－2－(2n －1)·2n ＝1＋2n ＋1－4－(2n －1)·2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n ，∴S n ＝3＋(2n －1)·2n－2n ＋1＝3＋(2n －3)·2n.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2019届高三年级精英对抗赛)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前五项和S 5＝20，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．[解](1)设数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝20，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，2d 2＝a 1d .2分又因为d ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1.4分 所以a n ＝n ＋1. 5分(2)因为1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝nn ＋. 7分因为存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立， 所以存在n ∈N *，使得n n ＋－λ(n ＋2)≥0成立， 即存在n ∈N *，使λ≤n n ＋2成立.10分又n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋4n＋4≤116(当且仅当n ＝2时取等号)，所以λ≤116.即实数λ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，116. 14分17．(本小题满分14分)(四川省凉山州2019届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n ，n ∈N *.(1)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值a 4＋1，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域； (2)求数列{a n }的通项公式． [解](1)∵a n a n ＋1＝2n，则a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2a n＝2， 又a 1＝1，故a 1a 2＝21，即a 2＝2，∴a 3＝2，a 4＝4，∴A ＝a 4＋1＝5，故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，4分 又x ＝π6时，f (x )＝5，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，且0<φ<π，解得φ＝π6， ∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，6分而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，故2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，综上知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，5. 8分18．(本小题满分16分)(天津六校2019届高三上学期期中联考)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 2n ＋12a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足：b 1＝1，b n －b n －1＝2a n (n ≥2)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <2；(3)若T n ≤λ(n ＋4)对任意n ∈N *恒成立，求λ的取值范围.【导学号：56394043】[解](1)n ＝1时，a 1＝a 21＋12a 1，∴a 1＝12.⎩⎪⎨⎪⎧S n －1＝a 2n －1＋12a n －1S n ＝a 2n ＋12a n⇒a n ＝a 2n －a 2n －1＋12a n －12a n －1，⇒(a n ＋a n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －a n －1－12＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝12， ∴{a n }是以12为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝12n .4分(2)证明：b n －b n －1＝n ，⎩⎪⎨⎪⎧b 2－b 1＝2b 3－b 2＝3⋮b n －b n －1＝n⇒b n －b 1＝n ＋n －2⇒b n ＝n n ＋2.1b n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，即T n <2.12分(3)由2n n ＋1≤λ(n ＋4)得λ≥2nn ＋n ＋＝2n ＋4n ＋5，当且仅当n ＝2时，2n ＋4n＋5有最大值29，∴λ≥29.16分19．(本小题满分16分)(中原名校豫南九校2019届第四次质量考评)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27>(－1)nk (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围． [解](1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －4. 6分(2)S n ＝－n ＋3nn －2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ；8分(－1)nk <n ＋1＋9n，当n 为奇数时，k >－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ；当n 为偶数时，k <n ＋1＋9n，∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n的最小值为7，当n为偶数时，n ＝4时，n ＋1＋9n 的最小值为294，∴－7<k <294.16分20．(本小题满分16分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝12＋log 2x1－x的图象上任意两点，且OM →＝12(OA →＋OB →)，已知点M 的横坐标为12.(1)求证：M 点的纵坐标为定值；(2)若S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ，n ∈N *，且n ≥2，求S n； (3)已知a n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1S n＋Sn ＋1＋，n ≥2.其中n ∈N *.T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n <λ(S n ＋1＋1)对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围.【导学号：56394044】[解](1)证明：∵OM →＝12(OA →＋OB →)，∴M 是AB 的中点．设M 点的坐标为(x ，y )，由12(x 1＋x 2)＝x ＝12，得x 1＋x 2＝1，则x 1＝1－x 2或x 2＝1－x 1.2分 而y ＝12(y 1＋y 2)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋log 2x 11－x 1＋12＋log 2x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1＋log 2x 21－x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1·x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 1x 2x 1x 2＝12()1＋0＝12，∴M 点的纵坐标为定值12. 5分(2)由(1)，知x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝y 1＋y 2＝1，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ， 两式相加，得2S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝1＋1＋…＋1n －1，∴S n＝n －12(n ≥2，n ∈N *).8分(3)当n ≥2时，a n ＝1S n ＋S n ＋1＋＝4n ＋n ＋＝4⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2.10分T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝23＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋2＝2n n ＋2. 12分由T n <λ(S n ＋1＋1)，得2n n ＋2<λ·n ＋22.∴λ>4n n ＋2＝4nn 2＋4n ＋4＝4n ＋4n＋4.∵n ＋4n≥4，当且仅当n ＝2时等号成立，∴4n ＋4n＋4≤44＋4＝12. 因此λ>12，即λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 16分。
2019高考数学(文)精编冲刺练全国通用版六附答案
星期一 (数列) 2019年____月____日【题目1】 (本小题满分12分)已知数列{a n }满足a n ＝2＋2cos 2n π2，n ∈N *，等差数列{b n }满足a 1＝2b 1，a 2＝b 2. (1)求b n ；(2)记c n ＝a 2n －1b 2n －1＋a 2n b 2n ，求c n ； (3)求数列{a n b n }前2n 项和S 2n . 解 (1)由题意知a n ＝3＋cos n π， 当n 为奇数时，a n ＝2； 当n 为偶数时，a n ＝4.于是b 1＝12·a 1＝1，b 2＝a 2＝4，故数列{b n }的公差为3，首项为1. 故b n ＝1＋(n －1)·3＝3n －2.(2)c n ＝2[3(2n －1)－2]＋4[3(2n )－2]＝36n －18. (3)由(2)知，数列{c n }为等差数列，且c 1＝18， 故S 2n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 2n －1b 2n －1＋a 2n b 2n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝n （c 1＋c n ）2＝18n 2.星期二 (三角) 2019年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝3＋23sin x cos x ＋2cos 2x 且f (A )＝5.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意可得：f (A )＝3＋23sin A cos A ＋2cos 2A ＝5，∴23sin A cos A ＝2(1－cos 2A )，∴sin A (3cos A －sin A )＝0，∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0， ∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，A ＝π3.(2)由余弦定理可得： 4＝b 2＋c 2－2bc cosπ3， 4＝b 2＋c 2－bc ≥bc (当且仅当b ＝c ＝2时“＝”成立)， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，故△ABC 面积的最大值是3.星期三 (立体几何) 2019年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)(2018·衡水中学质检)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ，AA 1＝DA 1，∠ABC ＝120°. (1)证明：AD ⊥BA 1；(2)若AD ＝DA 1＝4，BA 1＝26，求多面体BCD －A 1B 1C 1D 1的体积.(1)证明 取AD 中点O ，连接OB ，OA 1，BD ， ∵AA 1＝DA 1，∴AD ⊥OA 1. 又∠ABC ＝120°，AB ＝AD ， ∴△ABD 是正三角形， ∴AD ⊥OB ，又OA 1⊂平面OBA 1，OB ⊂平面OBA 1，且OA 1∩OB ＝O ， ∴AD ⊥平面OBA 1，又∵A 1B ⊂平面OBA 1，∴AD ⊥A 1B . (2)解 由题设知△A 1AD 与△BAD 都是边长为4的正三角形， ∴A 1O ＝OB ＝23，又A 1B ＝26，∴A 1O 2＋OB 2＝A 1B 2， ∴A 1O ⊥OB ，又A 1O ⊥AD ，且OB ∩AD ＝O ，OB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的高， 又S ▱ABCD ＝AD ·OB ＝4×23＝83，∴VBCD －A 1B 1C 1D 1＝VABCD －A 1B 1C 1D 1－VA 1－ABD ＝S ▱ABCD ·A 1O －13S △ABD ·A 1O ＝83×23－13×12×23×4×23＝40，即几何体BCD －A 1B 1C 1D 1的体积为40.星期四(概率统计) 2019年____月____日【题目4】(本小题满分12分)(2018·潍坊二模)“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”.他随机选取了40位好友(女20人，男20人)，统计他们在某一天的走路步数作为样本.其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5 860 8 520 7 326 6 7987 3258 430 3 216 7 453 11 754 9 8608 753 6 450 7 290 4 850 10 2239 763 7 988 9 176 6 421 5 980男性好友走路的步数情况可分为五个类别：A(0～2 000步)(说明：“0～2 000”表示大于等于0，小于等于2 000，下同)，B(2 001～5 000步)，C(5 001～8 000步)，D(8 001～10 000步)，E(10 001步及以上)，且B，D，E 三种类型人数比例1∶3∶4，将统计结果绘制成如图所示的柱状图.男性好友各类别人数的条形统计图若某人一天的走路步数超过8 000被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”.(1)若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信朋友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5 001～10 000步的人数；(2)请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？(3)若从杨老师当天选取的步数大于10 000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查，然后再从这5位好友中选取2人进行访谈，求有一位女性好友的概率. 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），解 (1)在样本数据中，男性好友B 类别设为x 人，则由题意知1＋x ＋3＋3x ＋4x ＝20，可知x ＝2，故B 类别有2人，D 类别有6人，E 类别有8人，走路步数在5 001～10 000步的包括C ，D 两类别共计9人；女性朋友走路步数在5 001～10 000步共有16人. 用样本数据频率估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，则每天走路步数在5 001～10 000步的人数为600×9＋1640＝375.(2)根据题意在抽取的40个样本数据的2×2列联表：得：K 2＝40×（14×12－6×8）220×20×22×18＝4011<3.841，故没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关，(3)步数大于10 000的女性好友有2人，男性好友有8人，共计10人，在步数大于10 000的好友中分层选取5位好友，男性有：5×810＝4人，记为A ，B ，C ，D ，女性1人记为e ；从这5人中选取2人，基本事件是AB ，AC ，AD ，Ae ，BC ，BD ，Be ，CD ，Ce ，De 共10种，这2人中有一位女性好友的事件是Ae ，Be ，Ce ，De 共4种，故所求概率p ＝410＝25.星期五 (函数与导数) 2019年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝12x |x |.(1)求g (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)令F (x )＝x ·f (x )－g (x )，求F (x )的单调区间；(3)若任意x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1>x 2，都有m [g (x 1)－g (x 2)]>x 1f (x 1)－x 2f (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)x <0时，g (x )＝－12x 2，g ′(x )＝－x ，故g (－1)＝－12，g ′(－1)＝1，故g (x )在x ＝－1处的切线方程是：y ＋12＝1×(x ＋1)，即2x －2y ＋1＝0.(2)由题意知F (x )＝x ln x －12x |x |＝x ln x －12x 2(x >0)，F ′(x )＝ln x －x ＋1，令t (x )＝F ′(x )＝ln x －x ＋1，则t ′(x )＝1x－1，令t ′(x )>0，解得0<x <1，令t ′(x )<0，解得x >1， 故F ′(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )≤F ′(1)＝0，故F (x )在(0，＋∞)上递减，所以F (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间. (3)已知可转化为x 1>x 2≥1时，mg (x 1)－x 1f (x 1)≥mg (x 2)－x 2f (x 2)恒成立，令h (x )＝mg (x )－xf (x )＝m2x 2－x ln x (x >0)，则h (x )在(0，＋∞)上为单调递增的函数，故h ′(x )＝mx －ln x －1≥0恒成立，即m ≥ln x ＋1x恒成立，令m (x )＝ln x ＋1x，则m ′(x )＝－ln x x2，∴当x ∈[1，＋∞)时，m ′(x )≤0，m (x )在[1，＋∞)上单调递减，m (x )≤m (1)＝1，即m ≥1，故实数m 的取值范围是[1，＋∞).星期六 (解析几何) 2019年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)(2018·郑州质量检测)已知平面上动点P 到点F (3，0)的距离与到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1.①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程；并探究：若M (m ，n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)设P (x ，y )，由题意，得（x －3）2＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 整理，得x 24＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2，∵直线与圆有两个不同交点C ，D ，∴|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2，又m 24＋n 2＝1， 故|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43m 2＋4， 由0<d <1，又|m |≤2，所以|m |≤2且m ≠0，又|m |≤2，∴0<m ≤2.所以0<1－43m 2＋4≤34，因此|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(0，3]，故|CD |的取值范围为(0，3].②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1； 当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12.根据椭圆对称性，猜想E ′的方程为4x 2＋y 2＝1. 下证：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切，其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ， 消去y 得：(m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0， 即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，∴Δ＝4m 2－16(1－n 2)＝4(m 2＋4n 2－4)＝0恒成立. 从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切.若点M (m ，n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A＋y 2B＝1(A ·B ≠0)恒相切.星期天 (选考内容) 2019年____月____日【题目7】 (在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.)1.(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值.解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x a，y 0＝y a .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa ＝2＋2cos θ，y a ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a ，0)为圆心，以2a 为半径的圆. (2)法一 A 点的直角坐标为(1，3)，∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.法二 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得：ρ＝4a cos θ， 令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)， ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin 2α－3cos 2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3，∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －m |.(1)若f (x )≥2，求实数m 的取值范围； (2)已知m >1，若∃x ∈(－1，1)使f (x )≥x 2＋mx ＋3成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －m |≥|m ＋1|， ∴只需要|m ＋1|≥2，∴m ＋1≥2或m ＋1≤－2，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).(2)∵m >1，∴当x ∈(－1，1)时，f (x )＝m ＋1， ∴不等式f (x )≥x 2＋mx ＋3，即m ≥x 2＋mx ＋2， ∴m (1－x )≥x 2＋2，m ≥x 2＋21－x ，令g (x )＝x 2＋21－x ＝（1－x ）2－2（1－x ）＋31－x ＝(1－x )＋31－x －2， ∵0<1－x <2，∴(1－x )＋31－x≥23(当且仅当x ＝1－3时取“＝”)， ∴g (x )min ＝23－2，∴m ≥23－2.所以实数m 的取值范围是[23－2，＋∞).。
近年高考数学二轮复习考前强化练6解答题组合练(B)文(2021年整理)
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考前强化练6 解答题组合练(B）1。
(2018辽宁抚顺一模，文17）在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a，b,c，且b sin 2A-a sin（A+C）=0.(1)求角A；(2）若c=，△ABC的面积为,求a的值.2.（2018山西太原一模，文17)△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b,c，已知。
（1）求角B;（2）若b=，求△ABC面积的最大值。
3。
(2018湖北重点高中联考协作体，文18）某移动支付公司随机抽取了100名移动支付用户进行调查,得到如下数据:（1)在每周使用移动支付超过3次的样本中,按性别用分层抽样随机抽取5名用户.①求抽取的5名用户中男、女用户各多少人;②从这5名用户中随机抽取2名用户,求抽取的2名用户均为男用户的概率.（2)如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”,能否在犯错误的概率不超过0。
05的前提下,认为“喜欢使用移动支付”与性别有关?附表及公式：K2=P(K2≥k)0.500.250.100。
050。
0100.0050。
001k0。
4551.3232。
7063.8416。
6357。
87910.828 04.(2018山西太原一模，文18）某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。
2019届高考数学二轮复习仿真冲刺卷六文(含答案)
仿真冲刺卷(六)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={x|2x2-3x≤0,x∈Z},B={x|1≤2x<32,x∈Z},集合C满足A C⊆B,则C的个数为( )(A)3 (B)4 (C)7 (D)82.(2018·安徽淮北一模)设复数z满足(1+i)z=i,则|z|等于( )(A) (B) (C) (D)23.(2018·大同一中模拟)如果数据x1,x2,…,x n的平均数为,方差为82,则5x1+2,5x2+2,…,5x n+2的平均数和方差分别为( )(A),82(B)5+2,82(C)5+2,25×82(D),25×824.(2018·广东模拟)已知曲线C:y=sin(2x-),则下列结论正确的是( )(A)把C向左平移个单位长度,得到的曲线关于原点对称(B)把C向右平移个单位长度,得到的曲线关于y轴对称(C)把C向左平移个单位长度,得到的曲线关于原点对称(D)把C向右平移个单位长度,得到的曲线关于y轴对称5.(2017·安徽黄山二模)若圆(x-3)2+y2=1上只有一点到双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率为( )(A)(B)(C)(D)6.(2018·广东模拟)如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )第6题图(A)48+8π(B)96+8π(C)96+16π(D)48+16π7.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|等于( )(A)2 (B)2(C)4 (D)128.(2017·河南商丘市三模)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+B(A>0,ω>0,|ϕ|<)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后,得到的图象关于点(,-1)对称,则m的最小值是( )第8题图(A)(B)(C)π(D)9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n等于( )(A)4 (B)5 (C)2 (D)310.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-,则角A的最大值是( )(A)(B)(C)(D)11.(2017·湖南省高考模拟)中心为原点O的椭圆,焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P为椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取值范围是( )(A)[,1) (B)(,1) (C)[,) (D)(0,)12.已知对任意实数k>1,关于x的不等式k(x-a)>在(0,+∞)上恒成立,则a的最大整数值为( )(A)0 (B)-1 (C)-2 (D)-3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2018·镇江期末)已知x,y∈R,则“a=1”是直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个).14.(2018·太原模拟)函数y=e x+sin x在点(0,1)处的切线方程是.15.(2018·河南安阳市一模)已知向量a=(2,3),b=(x,y),且变量x,y满足则z=a·b的最大值为.16.如图,正三棱柱ABC A 1B1C1的各棱长均相等,D为AA1的中点,M,N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中正确的序号为.①△DMN可能是直角三角形;②三棱锥A 1DMN的体积为定值;③平面DMN⊥平面BCC1B1;④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0,].三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知数列{a n}的各项都是正数,它的前n项和为S n,满足2S n=+a n,记b n=(-1)n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前2 016项的和.18.(本小题满分12分)(2018·邢台期末)如图,已知直三棱柱ABC A 1B1C1的侧面是正方形ACC1A1,AC=4,BC=3,∠ACB=,M在棱CC1上,且C1M=3MC.(1)证明:平面ABC1⊥平面A1BC;(2)若平面A1BM将该三棱柱分成上、下两部分的体积分别记为V1和V2,求的值.19.(本小题满分12分)(2018·昆明一中月考)某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时(1)根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;(3)从(2)中抽取的5位女性中,再随机抽取3人赠送礼品,试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.参考数据:20.(本小题满分12分)(2017·江西师大附中高考三模)已知椭圆C1:+=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点F2也为抛物线C2:y2=8x的焦点,过点F2的直线l交抛物线C2于A,B两点.(1)若点P(8,0)满足|PA|=|PB|,求直线l的方程;(2)T为直线x=-3上任意一点,过点F1作TF1的垂线交椭圆C1于M,N两点,求的最小值.21.(本小题满分12分)(2018·郴州一中月考)已知函数f(x)=xln x-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)探究:是否存在实数a,使得f(x)+a≥0恒成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程(2017·青海省西宁市高考二模)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ-)=2.(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;(2)设点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x|+|x-1|.(1)若f(x)≥|m-1|恒成立,求实数m的最大值;(2)记(1)中m的最大值为M,正实数a,b满足a2+b2=M,证明:a+b≥2ab.1.C 由2x2-3x≤0,解得0≤x≤.所以A={x|2x2-3x≤0,x∈Z}={0,1}.由1≤2x<32可得0≤x<5,B={x|1≤2x<32,x∈Z}={0,1,2,3,4},因为集合C满足A C⊆B,所以C={0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4}, {0,1,3,4},{0,1,2,3,4}.则C的个数为7.故选C.2.A 由(1+i)z=i,得z===+i,所以|z|==.故选A.3.C 根据平均数的概念,其平均数为5+2,方差为25×82,故选C.4.D 对于选项D,把C向右平移个单位长度,得到y=sin[2(x-)-]=sin(2x-)=-cos 2x,该函数为偶函数,其图象关于y轴对称.5.A 因为圆(x-3)2+y2=1上只有一点到双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,所以圆心到渐近线bx+ay=0的距离d==2,所以b2=a2,所以c2=a2,所以e==,故选A.6.B 由题可知该几何体为一个长方体截去了两个半圆柱而形成的,则该几何体的表面积为4×6×2+2(4×6-4π)+2×2π×4=96+8π.7.A 由|a-b|=3,即|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以a·b===,由向量a在向量b方向上的投影为-2,则==-2,即|a|2=4,所以|a|=2.故选A.8.A 根据函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+B(A>0,ω>0,|ϕ|<)的部分图象,可得y轴右侧第一条对称轴为x==, 故=-,所以ω=2.因为x=时函数取得最小值,故有2×+ϕ=,所以ϕ=.再根据B-A=-3,且Asin(2×+)+B=+B=0,所以A=2,B=-1,即f(x)=2sin(2x+)-1. 将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后,得到y=g(x)=2sin(2x+2m+)-1的图象,根据得到的函数g(x)图象关于点(,-1)对称,可得2×+2m+=kπ,k∈Z,所以m=-,k∈Z,则m的最小值是,故选A.9.A 结合题意以及程序框图可得a=1,A=1,S=0,n=1,S=2,不满足条件S≥10,执行循环体,n=2,a=,A=2,S=,不满足条件S≥10,执行循环体,n=3,a=,A=4,S=,不满足条件S≥10,执行循环体,n=4,a=,A=8,S=,满足条件S≥10,退出循环,输出n的值为4.故选A.10.A 因为=-,所以由余弦定理可得=-3×, 解得2a2+b2=c2,所以cos A===≥=.当且仅当3b2=c2时,等号成立.因为A∈(0,π),所以角A的最大值是.故选A. 11.B 设椭圆标准方程为+=1(a>b>0),设P(x,y),点P在以OA为直径的圆上.圆的方程(x-)2+y2=()2,化简为x2-ax+y2=0,可得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,则x=或x=a,因为0<x<a,所以x=,所以0<<a,可得<e<1,选B.12.B 令f(x)=(x>0),依题意,对任意k>1,当x>0时,y=f(x)的图象在直线y=k(x-a)下方,f′(x)=,f′(x),f(x)随x的变化如下表:y=f(x)则当a=0时,因为f′(0)=2,所以当1<k<2时不成立;当a=-1时,设y=k0(x+1)与y=f(x)相切于点(x0,f(x0)).则k0==⇔1-=x0,解得x0=∈(0,1).所以k0=<<1,故成立,所以当a∈Z时,a max=-1.13.解析:若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行,则有a2=1,即a=±1,且当a=-1时,两直线重合,舍去,因此a=1,即a=1是直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行的充要条件. 答案:充分必要14.解析:因为y′=e x+cos x,k=y′|x=0=e0+cos 0=2,所以切线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.答案:2x-y+1=015.解析:由约束条件作出可行域如图,联立解得A,,因为a=(2,3),b=(x,y),所以z=a·b=2x+3y,化为y=-x+,由图可知,当直线y=-x+过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为.答案:16.解析:对于①,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时D M,D N的长大于B B1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误;对于②,当M,N分别在BB1,CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM 的距离不变,所以三棱锥N A 1DM的体积不变,即三棱锥A1DMN的体积为定值,故正确;对于③,因为M,N分别在BB1,CC1上运动,且满足BM=C1N,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,而DO⊥平面BCC1B1,所以平面DMN⊥平面BCC1B1,故正确;对于④,当M,N分别为BB1,CC1中点时,平面DMN与平面ABC所成的角为0,当M与B重合,N与C1重合时,平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大,为∠C1BC,等于.所以平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为(0,],故正确,所以正确的是②③④.答案:②③④17.解:(1)因为2S n=+a n,所以2S n+1=+a n+1,所以2S n+1-2S n=(+a n+1)-(+a n),即(+a n)(a n+1-a n-1)=0.因为a n>0,所以a n+1+a n>0,所以-a n=1,令n=1,则2S1=+a1,所以a1=1或a1=0.因为a n>0,所以a1=1,所以数列{a n}是以1为首项,以1为公差的等差数列,所以a n=a1+(n-1)d=n,n∈N*.(2)由(1)知b n=(-1)n=(-1)n(+),所以数列{b n}的前2 016项的和为T n=b1+b2+…+b2 016=-(1+)+(+)-(+)+…-(+)+(+)=-1-++--+…--++=-1+=-.18.(1)证明:因为ABC A 1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥底面ABC,所以CC1⊥BC,又∠ACB=,即BC⊥AC,且CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1,所以BC⊥AC1,又A1C⊥AC1,且A1C∩BC=C,所以AC1⊥平面A1BC,又AC1⊂平面ABC1,所以平面ABC1⊥平面A1BC.(2)解:因为V1==××4=14,=(×4×3)×4=24,所以V2=24-14=10,==.19.解:(1)由列联表可得K2===≈0.649<3.841,所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关.(2)根据题意所抽取的5位女性中,“微信控”有3人,“非微信控”有2人.(3)抽取的5位女性中,“微信控”3人分别记为A,B,C;“非微信控”2人分别记为D,E.则从中随机抽取3人构成的所有基本事件为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共有10种;抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共有6种,所求概率为P==.20.解:(1)由抛物线C2:y2=8x得F2(2,0),当直线l斜率不存在,即l:x=2时,满足题意.当直线l斜率存在,设l:y=k(x-2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-4k=.设AB的中点为G,则G(,),因为|PA|=|PB|,所以PG⊥l,k PG·k=-1,所以×k=-1,解得k=±,则y=±(x-2), 所以直线l的方程为y=±(x-2)或x=2.(2)因为F2(2,0),所以F1(-2,0),b2=6-4=2,C1:+=1,设T点的坐标为(-3,m),则直线TF1的斜率==-m,当m≠0时,直线MN的斜率k MN=,直线MN的方程是x=my-2,当m=0时,直线MN的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式,所以直线MN的方程是x=my-2.设M(x3,y3),N(x4,y4),则得(m2+3)y2-4my-2=0,所以y3+y4=,y3y4=-,|TF1|=,|MN|===,所以==≥,当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.21.解:(1)依题意,f′(x)=ln x+1-a,令f′(x)=0,解得ln x=a-1,故x=e a-1,故当x∈(0,e a-1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(e a-1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;故函数f(x)的单调递减区间为(0,e a-1),单调递增区间为(e a-1,+∞).(2)记g(x)=xln x-a(x-1),其中x>0,由题意知g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,g′(x)=ln x+1-a,由(1)可知,g(x)min=g(x)极小值=g(e a-1)=(a-1)e a-1-a(e a-1-1)=a-e a-1,所以a-e a-1≥0,记G(a)=a-e a-1, 则G′(a)=1-e a-1,令G′(a)=0,得a=1.当a所以G(a)max=G(a)极大值=G(1)=0,故a-e a-1≤0,当且仅当a=1时取等号,又a-e a-1≥0,从而得到a=1.即存在实数a,使得f(x)+a≥0恒成立.22.解:(1)因为曲线C的参数方程为(α为参数),所以曲线C的直角坐标方程为+=1,直线l的极坐标方程为Ρcos(θ-)=2,展开得(ρcos θ+ρsin θ)=2,ρcos θ+ρsin θ=4,所以直线l的直角坐标方程为x+y=4.(2)设点P的坐标为(2cos α,sin α),得P到直线l的距离d=,令sin ϕ=,cosϕ=.则d=,显然当sin(α+ϕ)=-1时,d max=.此时α+ϕ=2kπ+,k∈Z.所以cos α=cos(2kπ+-ϕ)=-sinϕ=-,sin α=sin92kπ+-ϕ）=-cosϕ=-,即P(-,-).23.(1)解:由f(x)=得f(x)min=1,要使f(x)≥|m-1|恒成立,只要1≥|m-1|,即0≤m≤2,实数m的最大值为2.(2)证明:由(1)知a2+b2=2,又a2+b2≥2ab,故ab≤1,(a+b)2-4a2b2=a2+b2+2ab-4a2b2=2+2ab-4a2b2=-2(ab-1)(2ab+1),因为0<ab≤1,所以(a+b)2-4a2b2=-2(ab-1)(2ab+1)≥0,所以a+b≥2ab.。
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2019版高考文科数学二轮复习专题训练
考前强化练6解答题组合练(B)
1.(2018辽宁抚顺一模,文17)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b sin 2A-a sin(A+C)=0.
(1)求角A;
(2)若c=,△ABC的面积为,求a的值.
2.(2018山西太原一模,文17)△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
.
(1)求角B;
(2)若b=,求△ABC面积的最大值.
3.(2018湖北重点高中联考协作体,文18)某移动支付公司随机抽取了100名移动支付用户进行调查,得到如下数据:
(1)在每周使用移动支付超过3次的样本中,按性别用分层抽样随机抽取5名用户.
①求抽取的5名用户中男、女用户各多少人;
②从这5名用户中随机抽取2名用户,求抽取的2名用户均为男用户的概率.
(2)如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“喜欢使用移动支付”与性别有关?
附表及公式:K2=。