4.4.3静定梁的内力方程及内力图

绘制剪力图和弯矩图的步骤
(1) 求支座反力
以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座 情况，由静力平衡方程求出支座反力。 (2) 将梁分段 以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫 处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分 段。 (3) 列出各段的剪力方程和弯矩方程
各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原 点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。
从所作的内力图知，若a>b，则在CB段任一截面上的剪力值都相等且比 AC段的要大，其值｜Qmax｜=Pa/l，最大弯矩发生在集中力P作用的截面上， 其值｜Mmax｜=Pab/l。
如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2，则
｜Qmax｜=P/2
｜Mmax｜=Pl/4
【例 9.7】简支梁受集中力偶m作用如图9.17(a)所示，试画出梁的剪力图和弯 矩图。
4.4.3
梁的内力方程源自文库 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
从式(b)可见，弯矩M(x)是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只 需确定始末两个控制截面的弯矩值，就能画出弯矩图。由式(b)
x=0，MA=0 x=l，MB左=-Pl 弯矩图如图9.14(c)所示。 从所作的内力图可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪 力，其值为｜Qmax｜=P；弯矩的最大值发生在固定端，其值为｜Mmax｜=Pl。 最大剪力和最大弯矩指的是绝对值最大的剪力和弯矩。
(4) 画弯矩图
从式(b)可知，AC段的弯矩是x的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只需 确定该段始末两个控制截面的弯矩值，就能画出该段的弯矩图。由式(b) x=0，MA=0 x=a，MC=Pab/l 从式(d)可知，CB段的弯矩是x的一次函数，弯矩图也是一条斜直线，由 式(d) x=a，MC=Pab/l x=l，MB=0
BC段：坐标原点取在右端C点处，距原点C为x2处的任意截面，其剪力方 程和弯矩方程为
Q(x2)=qx2(0≤x2<2a) M(x2)=-qx22/2 (0≤x2≤2a)
(3) 画剪力图
从式(a)可知，AB段的剪力Q(x1)是x1的一次函数，剪力图是一条斜直线， 由式(a)
x1=4a，QB左=-2.5qa
x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
【例9.5】简支梁如图9.15(a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和 弯矩图。
【解】(1) 求支座反力 由于载荷对称，支座反力也对称，有 RA=RB=ql/2 (2) 列剪力方程和弯矩方程 坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截面，其剪力方程和弯 矩方程为 Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0＜x＜l) M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2 (0≤x≤l)
RA=1.5qa ∑mA(F)= 0，RB×4a-q×6a×3a=0 RB=4.5qa (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在B截面处有支座反力RB作用，需分为AB段和BC段。
AB段：坐标原点取在左端A点处，距原点A为x1处的任意截面，其剪力 方程和弯矩方程为
Q(x1)=RA－qx1=1.5qa-qx1(0<x1<4a) M(x1)=RAx1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12 (0≤x1≤4a)
【解】(1) 列剪力方程和弯矩方程 将坐标原点取在梁右端B点上，取距坐标原点为x的任意截面右侧梁为研 究对象。利用计算剪力和弯矩的规律，列出剪力方程和弯矩方程分别为 Q(x)=P(0<x<l) M(x)=-Px(0≤x<l) (2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线，如图9.14(b)所示。
图9.18
图9.18
(3) 画剪力图和弯矩图
由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式(a) x=0，QA右=ql/2 x=l，QB左=-ql/2 剪力图如图9.15(b)所示。 由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至 少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式(b)
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得
∑mB(F)= 0，RAl-m=0
RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB段。取梁左端A为坐 标原点
AC段：
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB段： Q(x)=RA=m/l (a≤x<l) M(x)=RAx-m=m/lx-m(a<x≤l) (3) 画剪力图
从式(a)和式(c)可知，AC段和CB段的剪力为常数m/l，剪力图是一条在x 轴线上侧与x轴平行的直线。剪力图如图9.17(b)所示。
【例 9.8】外伸梁受荷载作用如图9.18(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得
∑mB(F)= 0，q×6a×a-RA×4a=0
(4) 画剪力图和弯矩图
先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯 矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或 弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然 后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)。 剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大 弯矩值，其相应的横截面称为危险断面。
【例 9.4】悬臂梁如图9.14(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁 的剪力图和弯矩图。
x1=0，MA=0
x1=4a，MB=-2qa2 为计算AB段的极值弯矩，首先要确定产生极值弯矩截面的位置。由例9.5 知，在剪力为零的截面有弯矩的极值，令Q(x1)=0，有 1.5qa-qx1=0 得x1=1.5a 即距离原点A为1.5a处的截面上剪力为零，该截面上有极值弯矩。将 x1=1.5a代入式(b) Mx1=1.5a=1.5qa×1.5a-q/2 (1.5a)2=1.125qa2
从式(d)可知，BC段的弯矩M(x2)是x2的二次函数，弯矩图也是一条二次抛 物线，由式(d)
x2=0，MC=0 x2=2a，MB=-2qa2 画出弯矩图如图9.18(c)所示。
图9.14
图9.14
图9.15
图9.15
图9.16
图9.16
图9.17
图9.17
图9.17
图9.18
从式(c)可知，BC段的剪力Q(x2)是x2的一次函数，剪力图也是一条斜直线， 由式(c) x2=0，QC=0 x2=2a，QB右=2qa 画出剪力图如图9.18(b)所示。 (4) 画弯矩图
从式(b)可知，AB段的弯矩M(x1)是x1的二次函数，弯矩图是一条二次抛物 线，至少需要确定A截面、B截面和极值弯矩截面三个控制截面上的弯矩值， 才能画出弯矩图。由式(b)