2016年考研数学二真题及答案解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =

+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无

穷小量按照从低阶到高阶的排序是(

)

（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .

（D ）321,,a a a .

【答案】

（B ）【解析】当0x +

→时，

211

(cos 1)~2

a x x x =--,5

362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x

=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.

2、已知函数2(1),1,

()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩

则()f x 的一个原函数是

（A ）2(1), 1.

()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨

-≥⎩（B ）2(1), 1.

()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨

+-≥⎩（C ）2(1), 1.

()(ln 1)1, 1.

x x F x x x x ⎧-<=⎨

++≥⎩（D ）2(1), 1.

()(ln 1)1, 1.

x x F x x x x ⎧-<=⎨

-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2

(1)1

()()ln 1

x x F x f x dx x x x C

x ⎧-<=

=⎨

-+>⎩⎰

，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1

C ⇒=3、反常积分1

21x e dx x -∞⎰①，1

+201x e dx x

∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.

（D ）①发散，②发散.

【答案】

（B ）【解析】11111

020011

(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x

--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111

+20

00011(lim lim )1lim 0x x x x x x

x x x e dx e d e e e e x x

++∞

+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰

⎰，发散

故选B.

4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则(

)

（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.

【答案】（B ）

【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。根据极值的充分条件知，在某点左右导函数符号发生改变，则该点是极值点，因此从图形可知函数()f x 有2个极值点.

根据拐点的必要条件可知，拐点可能是二阶导为0的点或二阶导不存在的点，根据拐

点的充分条件可知，曲线在某点左右导函数的单调性发生改变，则该点是曲线的拐点，因此曲线()y f x =由3个拐点，故选B.

5、设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线

()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =的曲率，则在0x 的某个领域内，有(

)

（A ）12()()()f x f x g x ≤≤（B ）21()()()f x f x g x ≤≤（C ）12()()()f x g x f x ≤≤（D ）21()()()

f x

g x f x ≤≤【答案】

（A ）【解析】因为()i f x ''连续且'

'

0()0i f x <，所以根据连续的定义和极限的保号性在0x 的某领

域0()U x 内有()0i f x ''<，所以()i f x 在0()U x 内是凸的.又因为在0x x =处具有公切线

()y g x =，根据凸函数的几何意义可知曲线与切线位置关系为()()i f x g x ≤.在点0x 处1()y f x =曲率大于2()y f x =，所以1020()()0f x f x ''''<<，所以令12()()()F x f x f x =-，

因为在0x x =处具有公切线()y g x =，所以0()0F x =，0()0F x '=.再由0()0F x ''<得，

0()0F x =为()F x 的极大值，所以在0x 的某领域10()U x 内()0F x ≤，故12()()f x f x ≤.从

而12()()()f x f x g x ≤≤.故选A.

6、已知函数(,)x

e f x y x y

=-，则

（A ）'

'0x y f f -=（B ）'

'0x y f f +=（C ）''x y f f f -=（D ）'

'x y f f f

+=【答案】

（D ）【解析】因为22()(,),(,)()()x x x

x y e x y e e f x y f x y x y x y --''==--，

所以(,)(,)()x

x y e f x y f x y f x x y

''+=

=-.故选D.7、设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（A ）T

A 与T

B 相似（B ）1A -与1

B -相似（

C ）T

A A +与T

B B +相似（D ）1

A A -+与1

B B -+相似【答案】（

C ）【解析】

A 与

B 相似，所以存在可逆阵P

使得1.

P AP B -=11()()T T T T T T T B P A P P A P --==，即T A 与T B 相似.

111B P A P ---=，即1A -与1B -相似.