2016年考研数学二真题及答案解析
2016年考研数学(二)真题及答案解析完整版
2
故渐近线为 y x . 2
（10）极限
lim
n
1 n2
sin
1 n
2 sin
2 n
nsin
n n
.
【答案】 sin1 cos1
【解析】由 I
lim
n
n i 1
i sin
i n
1 n2
lim n i sin i 1 n n i1 n n
1
x sin xdx
0
x cos x |10
（A） AT 与 BT 相似. （B） A1 与 B1 相似.
（C） A AT 与 B BT 相似.
（D） A A1 与 B B1 相似.
【答案】（C）
【解析】此题是找错误的选项.由 A 与 B 相似可知，存在可逆矩阵 P, 使得 P1AP B ，则 (1) (P1AP)T BT PT AT (PT )1 BT AT ~ BT , 故（A ）不选； (2) (P1AP)1 B1 P1A1P B1 A1 ~ B1，故（B）不选； (3)P1( A A1)P P1AP P1A1P B B1 A A1 ~ B B1, 故（D ）不选； 此 外 ， 在 （ C ） 中 ， 对 于 P1( A AT )P P1AP P1AT P ， 若 P1AP=B ， 则
PT AT (PT )1 BT ，而 P1AT P 未必等于 BT ，故（C）符合题意.综上可知，（C）为正确选
项.
（8）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32) 2x1x2 2x2x3 2x1x3 的正负惯性指数分别
为1, 2 ，则( )
（A） a 1. （B） a 2. （C） 2 a 1. （D） a 1 或 a 2.
2016考研数学二真题和答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在 处无定义，且 所以 是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在， ，于是，存在，此时.当 时， ，=不存在， ，因此，在 连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
2016考研数学二真题答案
2016全国研究生入学考试考研数学二解析本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()(1231,1,1a x a a ===，当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）()A 123,,a a a ()B 231,,a a a ()C 213,,a a a ()D 321,,a a a【答案】：B【解析】2121~x a -，562~a x ，x a 31~3，则321,,a a a 从低阶到高阶排列应为132,,a a a 。
（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()21,1()ln 1,1x x A F x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x B F x x x x ⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩()()()21,1()ln 11,1x x C F x x x x ⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x D F x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩【答案】：()D【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数()F x 在1x =连续，而()A 、()B 、()C 中的函数在1x =处均不连续，故选()D 。
（3）反常积分()1211x e dx x -∞⎰与()12012x e dx x+∞⎰的敛散性为（ ） ()A ()1收敛，()2收敛 ()B ()1收敛，()2发散 ()C ()1发散，()2收敛 ()D ()1发散，()2发散【答案】B【解析】1101102=-=∞-∞-⎰xx e dx e x ，故()1收敛。
∞+∞+-=⎰11021x xe dx e x，由于1lim x x e +→=+∞，故()2发散（4）设函数()y f x =在()-+∞∞，内连续，其导数的图像，如图所示，则（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点【答案】：（B ）【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点.（5）设函数()i y f x =()1,2i =具有二阶连续导数，且()0i f x ''<()1,2i =，若两条曲线()i y f x =()1,2i =在点()00,x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线()1y f x =的曲率大于曲线()2y f x =的曲率，则在点0x 的某个邻域内，有（ ）()()()()12A f x f x g x ≤≤ ()()()()21B f x f x g x ≤≤ ()()()()12C f x g x f x ≤≤ ()()()()21D f x g x f x ≤≤【答案】A【解析】 ：由于()0i f x "<可知，)(1x f 与)(2x f 均为凸函数，可知)(1x f y =，)(2x f y =的图像均在其切线下方，故)()(),(21x g x f x f ≤，由曲率公式232222232111))((1)(,))((1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=x f x f k x f x f k ，由21k k >可知，1020()()f x f x ""<，则)()(21x f x f <.（6）已知函数(),xe f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -= （B ）''+0x y f f = （C ） ''x y f f f -= （D ） ''x y f f f += 【答案】： （D ）【解析】()()''''22,,x x x xy x y e e e f f f f f x y x y x y =-=+=---. （7）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）()A T A 与T B 相似 ()B 1A -与1B -相似()C T A A +与T B B +相似 ()D 1A A -+与1B B -+相似【答案】：()C【解析】：因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P ，使得1,P AP B -=两端取转置与逆可得：()1TTTT P A PB -=,111P A P B ---=,()111P A A P B B ---+=+,可知()A 、()B 、()D 均正确，故选择()C 。
2016年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
（12）已知函数 f (x) 在 (, ) 上连续，且 f (x) (x 1)2 2 x f (t)dt ，则当 n 2 时，f (n) (0) 0
____________.
2
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（13）已知动点 P 在曲线 y x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标时间
【详解】u( x, y) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u( x, y) 在 D 内必然有最大值和最小值．并且如果在
内部存在驻点 ( x0 ,
y0 ) ，也就是
u x
u y
0
，在这个点处
A
2u x 2
,C
2u y 2
,B
2u xy
2u yx
，由条
件，显然 AC B2 0 ，显然 u( x, y) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x, y) 的最大值点和最小值
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x t 2 7,
4．曲线
y
t
2
4t
1
上对应于 t 1的点处的曲率半径是（
）
（Ａ） 10 （Ｂ） 10
50
100
(Ｃ）10 10 （Ｄ） 5 10
【详解】 曲线在点 ( x, f ( x)) 处的曲率公式 K
y" ，曲率半径 R 1 ．
(1 y'2 )3
K
2
本题中 dx 2t, dy 2t 4 ，所以 dy 2t 4 1 2 ， d 2 y t 2 1 ，
的变化率为常数 v0 ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 _______ .
2016年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2016年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设a1=x(cos一1)，a2=，a3=一1．当x→0+时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是__________．A．a1，a2，a3B．a2，a3，a1C．a2，a1，a3D．a3，a2，a1正确答案：B2．已知函数f(x)=则厂(x)的一个原函数是___________．A．F(x)=B．F(x)=C．F(x)=D．F(x)=正确答案：D3．反常积分①，②的敛散性为___________．A．①收敛，②收敛B．①收敛，②发散C．①发散，②收敛D．①发散，②发散正确答案：B4．设函数厂(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则_________．A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点正确答案：B5．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi(x0)，则_________．A．fx一fy=0B．fx+fy=0C．fx－fy=fD．fx+fx=f正确答案：D7．设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是_______．A．AT与BT相似B．A－1与B-1相似C．A+AT与B+BT相似D．A+A-1与B+B-1相似正确答案：C8．设二次型f(x1，X2，X3)=a()+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则___________．A．a>1B．a<一2C．一2<a<1D．a=1或a=一2正确答案：C填空题9．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为_________·正确答案：y=x+10．极限____________．正确答案：sinl—cosl11．以y=x2一ex和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为________．正确答案：y一y=2x—x212．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2 f(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_________．正确答案：5.2n－113．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为ι．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，ι对时间的变化率是____________．正确答案：14．设矩阵等价，则a=________.正确答案：2解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2016考研数学二真题和答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在 处无定义，且 所以 是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在， ，于是，存在，此时.当 时， ，=不存在， ，因此，在 连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是 的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
2016考研数学二真题及答案
2016考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22x x ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ，313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u 及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂yux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上． 所以应该选（A ）．7．行列式dc d c ba b a0000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-【详解】20000000000000000)(bc ad dc ba bc d cb a ad dc c ba b d c db a a dc d c ba b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ． 11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021231010==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ， 即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D DD Ddr r r d dxd y x dxdyy x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ，[]b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(，Λ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰1111111110101，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf ，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数．又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵． （1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)(ΛM M MΛΛ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλΛ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00Λλ~A ； 1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(ΛM M M ΛΛ所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλΛ,；。
考研数学二2016真题及超详细答案解析(跨考教育-文字版)
2016考研数学二真题及超详细解析（跨考教育-文字版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()(1231,1,1a x a a ==+=.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a【答案】（B ） 【解析】当+→0x 时()2121~1cos x x x a --=()6532~1ln x x x a +=()x x a 31~11313-+= 故从低阶到高级顺序：132,,a a a ，选B（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由原函数必连续，故A ，C 排除。
又1≥x 时，()[]x x x ln '11ln =+-，故选Ｄ（3）反常积分①121,x e dx x -∞⎰②1201x e dx x+∞⎰的敛散性为 （A ）①收敛②收敛 （B ）①收敛②发散（C ）①收敛②收敛 （D ）①发散②发散【答案】（B ）【解析】()110|101102=--=-=∞-∞-⎰x xe dx e x 收敛 ()+∞=--=-=∞+∞∞+⎰e e dx e xx x 1|101102 发散 （4）设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点【答案】（A ）【解析】由()x f '两个零点左右都反号，故极值点有两个， 又拐点是()x f '的极值点，故拐点有两个。
2016年考研数学二真题及答案解析
16π .
s
s
0
5
21.（本题满分
11
分） [
]
()
已知 f (x) 在
3π 0,
上连续, 在
3π 0,
内是函数
cosx
的一个原函数, 且
2
2
2x − 3π
f (0) = 0.
[
]
( I ) 求 f (x) 在区间
3π 0,
上的平均值;
2
()
( II ) 证明 f (x) 在区间
3π 0,
内存在唯一零点.
0
ˆ 1 t2 dy −1 t2
− +
1 1
dt
=
ˆ 1 t2 0 t2
− +
1 1
dt
y2
y2
ˆ1 1
1
π
=1−2
0
t2 + 1 dt = 1 − 2 arctan t
=1− .
0
2
19.（本题满分 10 分）
已知 y1(x) = ex, y2(x) = µ(x)ex 是二阶微分方程 (2x − 1) y′′ − (2x + 1) y′ + 2y = 0 的两个解, 若 µ(−1) = e, µ(0) = −1, 求 µ(x) 并写出该微分方程的通解.
(B) a < −2. (D) a = 1 或 a = −2.
二、填空题：9 ∼ 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.
9. 曲线 y =
x3
+ arctan (1 + x2) 的斜渐近线方程为
π y = x+
.
1 + x2
2016考研数学二真题及答案解析
故渐近线为 y x （10）极限 lim n
2
1 1 2 n sin 2sin n sin 2 n n n n
【答案】 sin1 cos1 【解析】由 I lim
n
i sin
i 1
n
n 1 i 1 i i 1 lim sin x sin xdx 2 n nn nn 0 i 1 n
2 x 1 , x 1 B F x x ln x 1 1, x 1
）
2 x 1 , x 1 A F x x ln x 1 , x 1
2 2 x 1 , x 1 x 1 , x 1 C F x D F x x ln x 1 1, x 1 x ln x 1 1, x 1
x
x3 arctan 1 x 2 的斜渐近线方程为 2 1 x
2
x2 y arctan 1 x 2 lim 2 x x x 1 x
1
x3 2 b lim y x lim x arctan 1 x x x 1 x 2 x lim arctan 1 x 2 2 x 1 x 2
2 2 2
为 1, 2 ，则（
）
（A） a 1 （B） a 2 （C） 2 a 1 （D） a 1 或 a 2 【答案】（C） 【解析】考虑特殊值法，当 a 0 时， f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x1 x3 ，
2016考研数学二真题和答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在 处无定义，且 所以 是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在， ，于是，存在，此时.当 时， ，=不存在， ，因此，在 连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是 的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
2016年数学真题(数二).pdf
（8）设二次型fx1,x2,x3ax12x22x322x1x22x2x32x1x3的正负惯性指数分别
为 1,2，则
（A）a1（B）a2（C）2a1（D）a1与a2
【解析】C
a
1
1
1aBiblioteka 1二次型矩阵A =
1
1
a
(B)函数f(x)有 2 个极值点，曲线yf(x)有 3 个拐点
(C)函数f(x)有 3 个极值点，曲线yf(x)有 1 个拐点
(D)函数f(x)有 3 个极值点，曲线yf(x)有 2 个拐点
【解析】B
考研帮 2016 真题解析
导函数图形如图，可能为极值的点为 a,b,c,d
1
当xa时，f'(x)0
a 为极大值点a为极大值点
当xa时，f'(x)0
2
当xb时，f'(x)0
a 不是极大值点
当xb时，f'(x)0
3
当xc时，f'(x)0
c 为极小值点
当xc时，f'(x)0
4
当xd和xd时，f'(x)0故xd不是极值点
有 2 个极值点
排除 C，D.
又当xb时，f(x)当bxe时，f(x)
当bxe时，f(x)当exd时，f(x)
(x)f
(x)
1
0
0
1
0
2
0
又yf1(x)与yf2(x)在(x0
,y0)处的曲率关系为k1k2
因为k1
|f
(x) |
,k2
|f(x) |
1
0
2
0
[1f12
3
12
3
考研数学二解析2016
2016年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（B ）.[解] 因为 5 〜• （— —X j = — —x 2 , g 〜丘' Vx =x 6 , as 〜三工， 所以以上三个无穷小量从低阶到高阶的次序为,应选（E ）.（2）【答案】（D ）.【解】F （_z ）=]\x (In x — 1) + C + I9 2彳1・（（工 一 ]）2 工<]取C=o 得/'（工）的一个原函数为F （^）=■, '八… 、「应选（D ）.（In jc — 1） + 19 工乍 1.（3）【答案】【解】(B).fo因为'+°°1 1—e * Ax = 一 e r x 1丄 1―e T d:r = 一 e r x=—(0 — 1) =1，=+°°,°+°°1 丄-ve x Ax 发散9应选(B).0 XJ 01 丄二扌山收敛，-°° X（4）【答案】（E ）.【解】 如图所示,f\x ）的零点从左到右依次为工1（< 1）,工2，工3・/■'（工）> 0, /（jc ） <0, /（^） <0, /a ） <0,'/■‘（工）< o,、f'（工）> 0,值点；八工）> 0,fO >o,故f （J7）有两个极值点.f"⑺在工=1处不存在，又切线水平对应的点为工。
及工3,即 /"（工。
）=0,7""（工3）=0.由由“〃（工） "） fjf"⑺f ）即y =/（x ）有三个拐点，应选（E ）.所以*0x <L x },Hi <C x VIzi V 工 < 1,得工= \ <Z X x 21 < H V 「，F得xX 2 V z V H 3得工=x x 为f （工）的极大值点=X 2为f （工）的极小1不是/■&）的极值点;由由由、3'得工=g 不是y （z ）的极值点,工 > 工3由< 0,> 0,> 0,< 0,< 0,> 0,了 V ]' 得（1 ,/（1））为曲线y = f （工）的拐点；1 < H < X q、。
2016考研数学二真题和答案及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在 处无定义，且 所以 是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在， ，于是，存在，此时.当 时， ，=不存在， ，因此，在 连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是 的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
2016年考研数学二试题及答案解析
【详解 1】如果对曲线在区间[a, b] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 g( x) f (0)(1 x) f (1)x 就是联接 (0, f (0)),(1, f (1)) 两点的直线方程．故当 f ( x) 0 时，曲线是凹 的，也就是 f ( x) g( x) ，应该选（D） 【详解 2】如果对曲线在区间[a, b] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F ( x) f ( x) g( x) f ( x) f (0)(1 x) f (1)x ，则 F (0) F (1) 0 ，且 F"( x) f "( x) ，故当 f ( x) 0 时，曲线是凹的，从而 F ( x) F (0) F (1) 0 ，即 F ( x) f ( x) g( x) 0 ，也就是
0cd 0
cd cd
c 0d c0d
c00d
应该选（B）．
8．设1 , 2 ,3 是三维向量，则对任意的常数 k, l ，向量1 k3 ， 2 l3 线性无关是向量1 , 2 ,3
线性无关的 （A）必要而非充分条件 （C）充分必要条件
小值点必定都在区域 D 的边界上． 所以应该选（A）．
0a b 0
a00b
7．行列式
等于
0cd 0
c00d
（A） (ad bc)2
（B） (ad bc)2 （C） a 2d 2 b2c 2 （D） a 2d 2 b2c 2
【详解】
0a b 0
a0b a0b
a 0 0 b a 0 d 0 b 0 c 0 ad a b bc a b (ad bc)2
2016年考研数学二真题及答案解析
z z x, y 的极值。
（18）（本题满分 11 分） 3
设 D 是由直线 y 1, y x, y x 围成的有界区域，计算二重积分
D
x2 xy y2 x2 y2
dxdy
（19）（本题满分 10 分）
已知 y1 (x)= ex , y2 (x )= u (x )ex 是二阶微分方程 (2x- 1) y ''- (2x + 1) y '+ 2y = 0 的两个解，若
（13）已知动点 P 在曲线 y x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标对时间的
变化率为常数 v0 ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 _________ .
a 1 1 1 1 0
（14）设矩阵 1 a 1 与 0 1 1 等价，则 a _________ .
（11）以 y x2 ex 和 y x2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 _________ .
（12）已知函数 f (x) 在 (,) 上连续，且 f (x) (x 1)2 2 x f (t)dt ，则当 n 2 时，f n (0) 0 2
_________ .
按照从低阶到高阶的排序是（ ）
A a1, a2, a3
B a2, a3, a1
C a2, a1, a3
D a3, a2, a1
（2）已知函数
f
x
2
x 1, x
ln x, x 1
2016年考研数学二真题及答案解析
2016年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121（D ）),(210 【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）．2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）x x y 12sin += 【详解】对于xx y 1sin+=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤（C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当。
2016年全国硕士研究生招生考试考研数学二真题及详解【圣才出品】
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F
(
x)
(x x(ln
1)2 , x 1)
1,
x 1 x 1
为 f（x）的一个原函数。
3．反常积分①
0
1 x2
1
e x dx
，②
+ 0
1 x2
1
e x dx 的敛散性为（
）。
A．①收敛，②收敛
B．①收敛，②发散
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2016 年全国硕士研究生招生考试考研数学二真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求。）
1．设
a1 x(cos x 1)
a2 x ln(1 3 x )
5 / 26
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内 F（x）≤0，也即 f1（x）≤f2（x）。 同理设 G（x）＝fi（x）－g（x）（i＝1，2），可得在 x0 的某个邻域内 G（x）≤0，也即
fi（x）≤g（x）。 综上，在 x0 的某个邻域内，f1（x）≤f2（x）≤g（x）。
6．已知函数 f（x，y）＝ex/（x－y），则（ ）。 A．fx′－fy′＝0 B．fx′＋fy′＝0 C．fx′－fy′＝f D．fx′＋fy′＝f 【答案】D 【考点】偏导数的计算
【解析】因为 所以，
5
a2 x ln(1 3 x ) ~ x 6
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a3
3
x
1
1
(1
2016考研数学二试题及答案详解
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． (1) 设 a1 x (cos x 1), a2 照从低阶到高阶的排序是 (A) a1 , a2 , a3 【答案】(B)
所以由定积分定义得，原极限
1
0
x sin xdx ( x cos x sin x) 0 sin1 cos1 .
1
(11) 以 y x 2 e x 和 y x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 ___________ . 【答案】 y y 2 x x 2 【解析】设一阶非齐次线性微分方程为 y p ( x ) y q( x) .根据线性微分方程齐次与非齐次解之 间 的 关 系 知 x 2 ( x 2 e x ) e x 为 y p ( x ) y 0 的 解 . 所 以 p( x) 1 . 又 因 为 y x 2 为
0
x
f n 0 ?___________ .
5 n 2 2 【解析】当 x 0 时， f (0) 1 ；
【答案】
f ( x) ( x 1)2 2 f (t )dt 两边同时对 x 求导，得 f ( x) 2( x 1) 2 f ( x ) ， f (0) 4 ；
1 1 0 1 1 1 x x 【解析】① e dx = e d = e x x 2 x 0
0
( lim e lim e ) 1 ，收敛.
x 0 1 x 1 x 0 x 0 1
1 x
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2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .（D ）321,,a a a .【答案】（B ）【解析】当0x +→时，211(cos 1)~2a x x x =--,5362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2(1)1()()ln 1x x F x f x dx x x x Cx ⎧-<==⎨-+>⎩⎰，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1C ⇒=3、反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.（D ）①发散，②发散.【答案】（B ）【解析】11111020011(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111+2000011(lim lim )1lim 0x x x x x xx x x e dx e d e e e e x x++∞+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰⎰，发散故选B.4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答案】（B ）【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。
根据极值的充分条件知，在某点左右导函数符号发生改变，则该点是极值点，因此从图形可知函数()f x 有2个极值点.根据拐点的必要条件可知，拐点可能是二阶导为0的点或二阶导不存在的点，根据拐点的充分条件可知，曲线在某点左右导函数的单调性发生改变，则该点是曲线的拐点，因此曲线()y f x =由3个拐点，故选B.5、设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =的曲率，则在0x 的某个领域内，有()（A ）12()()()f x f x g x ≤≤（B ）21()()()f x f x g x ≤≤（C ）12()()()f x g x f x ≤≤（D ）21()()()f xg x f x ≤≤【答案】（A ）【解析】因为()i f x ''连续且''0()0i f x <，所以根据连续的定义和极限的保号性在0x 的某领域0()U x 内有()0i f x ''<，所以()i f x 在0()U x 内是凸的.又因为在0x x =处具有公切线()y g x =，根据凸函数的几何意义可知曲线与切线位置关系为()()i f x g x ≤.在点0x 处1()y f x =曲率大于2()y f x =，所以1020()()0f x f x ''''<<，所以令12()()()F x f x f x =-，因为在0x x =处具有公切线()y g x =，所以0()0F x =，0()0F x '=.再由0()0F x ''<得，0()0F x =为()F x 的极大值，所以在0x 的某领域10()U x 内()0F x ≤，故12()()f x f x ≤.从而12()()()f x f x g x ≤≤.故选A.6、已知函数(,)xe f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -=（B ）''0x y f f +=（C ）''x y f f f -=（D ）''x y f f f+=【答案】（D ）【解析】因为22()(,),(,)()()x x xx y e x y e e f x y f x y x y x y --''==--，所以(,)(,)()xx y e f x y f x y f x x y''+==-.故选D.7、设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（A ）TA 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似【答案】（C ）【解析】A 与B 相似，所以存在可逆阵P使得1.P AP B -=11()()T T T T T T T B P A P P A P --==，即T A 与T B 相似.111B P A P ---=，即1A -与1B -相似.又1B P AP -=，从而有111()B B P A A P---+=+所以1A A -+与1BB -+相似，从而选C.8、设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正、负惯性指数分别为1,2，则()（A ）1a >（B ）2a <-（C ）21a -<<（D ）1a =与2a =-【答案】（C ）【解析】二次型123(,,)f x x x 对应的矩阵111111a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由21111(2)(1)011aE A aa a aλλλλλλ----=---=---+=---得，A 的特征值为1232,1a a λλλ=+==-，由于123(,,)f x x x 的正、负惯性指数分别为1,2，且正负惯性指数恰好等于特征值中正、负数的个数，所以20a +>且10a -<，即21a -<<.故选C.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、曲线322arctan(1)1x y x x=+++的斜渐近线方程为____________.【答案】2y x π=+【解析】因为3221l im lim (arctan(1))11x x y x a x x x x →∞→∞==++=+，322l im()lim(arctan(1))12x x x b y ax x x x π→∞→∞=-=++-=+.所以斜渐近线为2y x π=+.10、极限2112lim(sin 2sin sin )n nn n n n n→∞+++= ____________.【答案】sin1cos1-【解析】因为2112111121lim(sin 2sin sin )lim (sin 2sin sin )n n n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞+++=+++ 1sin sin1cos1x xdx ==-⎰11、以2x y x e =-和2y x =为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.【答案】22y y x x'-=-【解析】设一阶非齐次线性微分方程为()()y p x y q x '+=.根据线性微分方程齐次与非齐次解之间的关系知22()x x x x e e --=为()0y p x y '+=的解，所以()1p x =-.又因为2y x =是()()y p x y q x '+=的解，所以2()2q x x x =-.故一阶非齐次线性微分方程为22y y x x '-=-.12、已知函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，且2()(1)2()d xf x x f t t =++⎰，则当2n ≥时，()(0)n f =____________.【答案】522n ⨯【解析】当0x =时，(0)1f =；20()(1)2()d xf x x f t t =++⎰两边同时对x 求导，得()2(1)2()f x x f x '=++，(0)4f '=；()2(1)2()f x x f x '=++两边同时对x 求导，得()22()f x f x '''=+，(0)10f ''=；()22()f x f x '''=+两边同时对x 求导，得()2()f x f x '''''=；……..依次求导得()2()2()n n fx f x -''=；所以()225(0)2(0)10222n n n n f f --''==⨯=⨯.13、已知动点P 在曲线3y x =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l .若点P 的横坐标时间的变化率为常数0V ，则当点P 运动到点(1,1)时，l 对时间的变化率是_______.【答案】022v 【解析】2226l x y x x =+=+，同时对t 求导得，526262dl dl dx x x dxdt dx dt dtx x +==+，又因为01,dx x v dt ==，所以10082222x dlv v dt===.14、设矩阵111111a a a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与110011101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦等价，则_________.a =【答案】2【解析】1100110101B =-=，()2r B =21111(1)(2)011a A a a a a--=--=+-=--当1a =-时，()1r A =；当2a =时，()2r A =，故2a =.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）求极限41l im(cos 22sin 1)x x x x x →+-【解析】44011lim(cos22sin 1)lim(cos 22sin 1)x x x x x x x x x x e→+-→+-=其中324434400111(2)(2)()2(())1124!3!lim (cos 22sin 1)lim x x x x x o x x x o x x x x x x→→-+++-+-+-=4242444440021122())1()1333lim lim 3x x x x x x o x x o x x x →→-++-+-+===因此，原极限13e=16、（本题满分10分）设函数1220()(0)f x t x dt x =->⎰，求'()f x 并求()f x 的最小值.【解析】1220(),(0)f x t x dt x =->⎰当01x <≤时，122220()()()xxf x x t dt t x dt=-+-⎰⎰33323211141(1)33333x x x x x x x =-+---=-+当1x >时，222220()()3f x x t dt x dt t dt x =-=-=-⎰⎰⎰即322410133()113x x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩2'4201()21x x x f x xx ⎧-<≤=⎨>⎩令'()0f x =可得当01x <≤时12x =为驻点且为极小值点11()24f =，而2(1)3f =所以()f x 的最小值为14.17、（本题满分10分）已知函数(,)z z x y =由方程22()ln 2(1)0x y z z x y +++++=确定，求(,)z z x y =的极值.【解析】222212201220z z z xz x y x x z x z z z x yz y yy z y ∂∂∂⎧++++=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪++++=∂∂∂⎪⎩221010ln 2(1)0xz yz x z y z z x y +=⎧⎪⇒+=⎨⎪+++++=⎩111x y z =-⎧⎪⇒=-⎨⎪=⎩由221220z z z xz xy x x z x∂∂∂++++=∂∂∂再对x 求导可得222222221122()()0z z z z z x x y x x z x z x∂∂∂∂+++-+⋅=∂∂∂∂将0,1,1,1zx y z x ∂==-=-=∂代入可得22203z A x∂==-<∂，同理：220z y ∂<∂由221220z z zxz xy x x z x∂∂∂++++=∂∂∂再对y 求导可得222221122()0z z z z z z x y x y y x x y z x y z x y ∂∂∂∂∂∂+++-⋅⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂∂∂将0,0,1,1,1z zx y z x y∂∂===-=-=∂∂代入可得20z x y ∂=∂∂20A C B ->且0A <，所以(1,1)--处取得极大值.18、（本题满分10分）设D 是由直线1y =，y x =，y x =-围成的有界区域，计算二重积分2222.D x xy y dxdy x y --+⎰⎰【解析】22222122222222D D Dx xy y x y y xy I dxdy dxdy dxdy I I x y x y x y --+-==-=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰又区域D 关于y 轴对称，则02=I 4322212I I dx dy y x ydxdy I DD +=+-=⎰⎰⎰⎰其中13==⎰⎰Ddxdy I ，dx y x y dy dxdy y x y dxdy y x y I y D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=10022222222244421又yyxy y x d y x y dx y x y y y y4a rctan 11002222π==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎰⎰故214ππ==⎰ydy I ，则12I π=-.19、（本题满分10分）已知1()xy x e =，2()()xy x x e μ=是二阶微分方程(21)(21)'20n x y x y y --++=的两个解，若(1)e μ-=，(0)1μ=-，求()x μ并写出该微分方程的通解.【解析】已知2()()xy x x e μ=是二阶微分方程(21)''(21)'20x y x y y --++=的解，代入并整理得(21)''(32)'x x μμ-=-，即''32'21xx μμ-=-，所以''32'21xdx dx x μμ-=-⎰⎰，1122ln |'|ln |21|ln 21x dx x x C x μ-+==-+-+-⎰.所以1|'()||21|x x e x C μ-=⋅-，1'()(21)xx C x e μ-=-。