一般级数的审敛法
微积分公式手册
导数公式:(tgx)f = sec2 % (ctgx)f = -CSC2X (SeCXy = SeC X ∙%gx (CSCXy =-cscx∙ CtgX (a x), = a x lna(Ioga X)' = -γ-xlna (arcsin x)' = / 1Nl-X2 / V 1 (arccosx)=——1=/ 、， 1 {arctgx)=-―-1 + x, 、, 1 {arcctgx)= -------- --1 + x 微积分公式基本积分表：^tgxdx = - ln∣cosx∣ + Cdx = ln∣sin x∣ + Cʃsee xdx = ln∣sec x + ⅛Λ∣+C ʃese xdx = ln∣csc x -c⅛x∣ + C P ax f 2 j ∕-ι---- -= sec xdx = tgx j cos X Jr ax f 2 j「-= esc xdx = -ctgx + C J sin x JJsecx√gΛzZx= SeCX +Cdx2a +x'dx2 x -a,2∣∙ dxJ -2 2J a -xdx2 -X2Leg-a a1 1x — a C —— ----- +C 2a x + a1 1 a + x C —— ----- + C 2a a-x•X C =arcsin—+ C2a ʃese x ∙ ctgxdx = - esc x + C∖a x dx = ———I-CJ InQ^shxdx = chx +Cfc/zxt/x = ShX +Cπ2^ π2^I n= ∫sinπXdX= ∫cos n xdx =F1n-2n_________ ____________________ 2 __________ JJ/ + 〃2 dχ = — NX2+ ɑ` + In(X + Jx.+ a?) + CI_________ U I __________________ C 2 I _________JJχ2 —a1dx = jʌ/ɪɪJΛ∕G,2 -X2dx= ɪvɑɪ三角函数的有理式积分：2_____ 22 a . 工 .-x H ----- arcsin—+ C. 2ιι 1 — U2 smx = ------ -, cos% =------- y1 + 〃 1 + w7 2duax = ---- -I + /l-x2和差角公式： •和差化积公式：sin(a ± /?) = SinaCOs 〃 ± cos a sin β COS(O ±β) = cos a cos β μsina sin βfg(a±0 =产吗 lμtga -tgβ ct g (a±^=ctga -ctgβμi ctgβ±ctgasin a + sin 尸=2 sin ，+ 2 cos —~~—2 2• ∙ n ɔ a-∖-β . a -βsin a-smp =2 cos ------- - sin ....... -2 2 o C CC + βCC- β cos a + cos p = 2 cos --- - cos ....... -2 2 .a-∖- β . a — βcos a - cos p = 2 sin ------ sin -------2 2一些初等函数: 两个重要极限:双曲正弦：MX=e 1 2 双曲余弦:MX= e'+e '2 r/y Y PX -f> ~x双曲正切：防X =更竺=chx e x +e xarshx = ln(x + √x 2 +1) archx = ±ln(x + √x 2 -1) Iim x→0sιnx =1lim(l + ⅛ = e = 2.718281828459045 (x)→∞ x三角函数公式:•诱导公式：•倍角公式:Jl•反三角函数性质： arcsinx = ------ a rccosx2高阶导数公式——莱布尼兹(LeibniZ)公式:（MV ）⑺=£c ；a （T ）v ⑹ k=0=+ + 〃（〃 T ）M （"-2）V 〃 +A + 〃（〃 T ）A （〃T +1） Ii fG ） +A+uv wk ∖中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：/(⅛)-∕(α) = ∕W(⅛-α) 柯西中值定理：‘3卜=/地F(b)-F(a) Pe)当F(X) = X 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
第三节 一般常数项级数
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例3：判定级数 ∑ ：
∞
n =1
x 的敛散性。 的敛散性。 n
∞
n
高等数学
xn xn | , 记 un = | 解： 考察正项级数 ∑ | |, n n=0 n
n→ ∞
lim
un +1 un
则交错级数收敛，其和 s ≤ u1 , 余项满足 | Rn | ≤ un+1 则交错级数收敛， 4. 检验条件（1）常用的方法 检验条件（ ）
un+1 是否成立？ ≤ 1 是否成立？ （1）比值法： 考察 ）比值法： un 是否成立？ （2）差值法： 考察 un+1 un ≤ 0 是否成立？ ）差值法：
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定理7（莱布尼兹定理） 定理 （莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
高等数学
∑ (1)
∞
n1
= u1 u 2 + u 3 u 4 + L + ( 1) n1 u n + L un
满足条件： 满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
原级数绝对收敛， 从而收敛， 当 | x | < 1 时，原级数绝对收敛， 从而收敛，
xn 发散，且是用比值法判别的， | x | > 1 时， ∑ | | 发散，且是用比值法判别的， n n =1 xn 所以原级数 ∑ n =1 n
∞
∞
发散。 发散。
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例3：判定级数 ∑ ：
∞
一般项级数
vn 收敛, 即级数(7)是绝对收敛的.
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第三步 证明绝对收敛级数(7)的和也等于S. 根据第 一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 所以先
要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令
pn
un
un , 2
qn
un
un . 2
(8)
当 un 0 时, pn un 0,qn 0;
一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
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一、交错级数
若级数的各项符号正负相间, 即
u1 u2 u3 u4 (1)n1 un
(1)
(un 0, n 1, 2, ), 则称为交错级数.
定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足:
n 1
n 1
推论 :当 un 时, n 1
un的和数s 它的所有正项组成的级数的和数,
n 1
减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数.
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例1 级数
n 2
n1 n!
2!
n
n!
的各项绝对值所组成的级数是
n
2
n
.
n!
2!
n!
应用比式判别法,对于任意实数 ,都有
lim un1 lim 0,
u n n
n n 1
因此, 所考察的级数对任何实数 都绝对收敛.
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注: (1).定理12.12的作用,
一般项级数
正项级数
(2)定理12.12的逆定理不真, 例如 :
数项级数及审敛法
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
高等数学级数的概念和敛散性
( 3 ) 1 x x 2 ( 1 ) n 1 x n 1
( 4 ) c x c o 2 x o c s 3 x o s c n s o x
上述数列中, (1)、(2)是数项级数，(3)、(4) 是函数
项级数.
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4
第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
而级数 1 发散 ,
n1n1
级数
1
发散 .
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n1 n(n1)
17
第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
[例4] 判断下列级数的敛散性:
2.
1
n1 n(n 1)
解
1 n(n1)
1 n2
,
而级 n 1n 1数 2是 p级，数 p21时收 , 敛
级数
1 收敛 .
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例 u n22 ( n1)n2 3 nvn,
级n 数 1unn 122 ( n1)n收,敛
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
lnima2n
1, 6
ln ima2n1
3, 2
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limun1 u n
n
ln i man不
存.
在
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第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
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第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
5.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：
设
un
n 1
是正项级数,如果 lim un1 u n
n
(为常数或 ) ,则有
(1) (2) (3) 能发散.
泰勒公式判断级数敛散性的方法
教学方法课程教育研究学法教法研究 123引言大学数学课程中，级数部分是该课程知识体系中重要的组成部分。
数学专业的后续课程，如《复变函数论》等都和级数有密切的关系，对于工科的学生来讲，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控和电子产品的制造等领域，因此级数和这些内容的相应的课程紧密相关。
作为函数项级数基础的数项级数部分自然尤为重要。
判断数项级数敛散性是学习级数的重要环节，关系到后面各类函数项级数的学习。
数项级数敛散性的判断如果掌握了一些特定的技巧，则可以帮助我们巧妙地解决这个问题。
关于数项级数敛散性的判断，有一些基本方法，如：敛散性的定义、级数收敛的必要条件、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等，这些方法针对一些特定形式的级数敛散性判断都非常有效，该部分在文献[4]中有详细讲解，这里不再赘述。
但是，这里存在的普遍问题是，以上方法只是针对一些特定形式的数项级数能够确定其敛散性，对于一般级数的问题，需要探索新的方法，比如对于交错级数，只有级数满足Leibniz 定理[4]的两个条件时，才能判断它是收敛的，显然这个方法有一定的局限性。
泰勒公式是高等数学课程中一个功能强大的工具，我们熟知的在近似计算、误差估计、极限计算等方面都有广泛的使用[3]。
用泰勒公式判定级数的敛散性在一些文章已有所提及[5],但这些论证没有深入挖掘它的奇妙之处及具体使用方法。
下面，本文将论证用泰勒公式判定级数的敛散性的方法：：该等式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 。
2.在几类基本初等函数中，幂函数是形式简单，容易确定极限的一类函数，借助泰勒公式可以把各类函数转化为幂函数的问题。
泰勒公式中，参照点取零，展开式各项都是关于的幂函数，余项是当变量趋向零时的无穷小量，这样无论原始级数什么形式都可以通过幂函数的次数判断该项的敛散性。
以下通过三个实例分别说明用泰勒公式判别交错级数、任意项级数、正项级数的敛散性的方法。
级数的概念及其性质
级数的概念及其性质我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。
下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项.取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，…这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数：的和是1.证明：当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.级数的性质1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即：注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。
正项级数的收敛问题对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。
下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。
高等数学 级数的概念和敛散性
当q < 1时 收 ; , 敛
当q ≥ 1时 发 . , 散
四川职业技术学院数学教研室
第八章 无穷级数 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
∞
三、基本性质
性质 1 如果级数
注意： 注意：
n→∞
收敛, ∑u 收敛,则 limu
n=1 n
n→∞
n
= 0.
（ 1 ） 若 limun = 0 ， 则 也可能发散. 也可能发散 .
∑u
n =1 ∞
∞
n
的部分和 sn 收敛,这时 收敛 ,
有极限 s , 即 lim sn = s 则称无穷级数
n →∞ ∞
∑u
n =1
n
极限 s 叫做级数
∑u
n =1
n
的和. 的和. 并写成
∞
u1 + u2 + ⋯ + u3 + ⋯ = s
如 果 sn 没 有 极 限 ,则 称 无 穷 级 数
∑1 u n 发 散 . n=
1 1 1 例如：级数 1 + + + + ⋯收敛于 2，去 2 4 8 1 1 1 1 掉前两项后得级数 + + + ⋯收敛于 ． 2 4 8 16
四川职业技术学院数学教研室
第八章 无穷级数 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
∞
四、正项级数及其审敛法
1.定义 1.定义: 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0，这种 定义:
∞
1 2 3 n n 例如级数 ∑ = + + +⋯+ +⋯， 2 3 4 n +1 n =1 n + 1
级数的审敛法
级数的审敛法
级数的审敛法是一种判定级数是否收敛或发散的方法。
下面介绍几种常用的审敛法：
1. 正项级数判别法：如果级数的各项都是非负数，并且级数的通项递减，则该级数收敛。
这是因为正项级数的部分和一定是递增有界的。
2. 比较判别法：设有两个级数∑a_n和∑b_n，如果在有限项后
总有a_n ≤ b_n，则如果∑b_n收敛，∑a_n也收敛；如果∑a_n
发散，∑b_n也发散。
这个方法常用于比较一个级数与已知的
收敛或发散的级数。
3. 比值判别法：对于一个级数∑a_n，如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≤ r < 1，则级数绝对收敛；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ 1，则级数发散；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ r > 1，则级数发散或者条件收敛。
4. 积分判别法：对于一个非负递减的函数f(x)，如果∫f(x)dx从
1到无穷收敛，则级数∑f(n)也收敛；如果∫f(x)dx从1到无穷发散，则级数∑f(n)也发散。
这个方法利用了级数与函数的关系。
以上只是一些常用的审敛法，对于特定的级数，可能需要使用其他方法进行判断。
莱布尼兹审敛法
莱布尼兹审敛法本论文介绍了莱布尼兹算法中的审敛法。
审敛法是一种计算极限的方法，通过反复逼近来获得更精确的结果。
在莱布尼兹算法中，审敛法被广泛应用于计算数列和级数的极限。
本文详细介绍了莱布尼兹审敛法的原理和步骤，并通过具体案例进行说明。
通过阅读本文，读者将能够更好地理解和应用莱布尼兹审敛法来计算极限问题。
关键词：莱布尼兹算法，审敛法，数列，级数，极限引言：莱布尼兹审敛法是一种常用的数学计算方法，主要应用于计算数列和级数的极限。
这一方法是由德国数学家莱布尼兹提出的，通过逐步逼近的方式来获得极限值的近似结果。
审敛法在数学领域具有广泛的应用，尤其在级数求和和函数逼近方面有着重要作用。
本文将详细介绍莱布尼兹审敛法的原理和步骤，并通过具体案例进行说明，旨在帮助读者更好地理解和应用这一方法来计算数学问题。
一、莱布尼兹审敛法的原理莱布尼兹审敛法是基于交错级数的性质来进行计算的。
交错级数是具有正负项交替出现的级数，而莱布尼兹审敛法的核心思想就是利用交错级数的性质来逼近极限值。
一般来说，交错级数的部分和项数越多，逼近的结果越精确。
二、莱布尼兹审敛法的步骤莱布尼兹审敛法的计算步骤如下：1. 确定要计算的交错级数，并确定级数的通项形式。
2. 计算交错级数的部分和，即将级数中的正项和负项分别相加，得到部分和序列。
3. 判断部分和序列是否单调递减，并确定其极限是否存在。
如果序列单调递减并且极限存在，则说明交错级数收敛。
4. 判断交错级数的部分和与其极限之间的误差范围。
通过逐渐增加级数的项数来缩小误差。
三、莱布尼兹审敛法的应用举例举例说明莱布尼兹审敛法的应用：考虑级数1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...，我们使用莱布尼兹审敛法来计算这个级数的近似值。
按照步骤2，计算出前n个部分和。
例如，当n=1时，部分和为1；当n=2时，部分和为1/2；当n=3时，部分和为5/6；依次类推。
通过观察部分和序列，我们发现它是单调递增的，并且在n趋向于无穷大时，序列的极限趋向于1。
高等数学教材分册下册答案
高等数学教材分册下册答案第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 极限的运算法则1.3 连续与间断第二章：导数与微分2.1 导数的概念与基本性质2.2 常用函数的导数2.3 高阶导数与高阶导数的计算方法2.4 已知导数求原函数2.5 微分的概念与微分近似计算第三章：一元函数微分学应用3.1 函数的单调性与最值3.2 函数与弧长3.3 曲线的凹凸性与拐点3.4 渐近线与无穷小3.5 泰勒公式与函数的局部性质第四章：多元函数微分学4.1 多元函数的极限4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数4.4 高阶偏导数4.5 多元函数的极值与条件极值第五章：重积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 二重积分的应用5.4 三重积分的概念与性质5.5 三重积分的计算方法5.6 三重积分的应用第六章：曲线积分与曲面积分6.1 曲线积分的概念与性质6.2 曲线积分的计算方法6.3 曲线积分的应用6.4 曲面积分的概念与性质6.5 曲面积分的计算方法6.6 曲面积分的应用第七章：无穷级数7.1 数列与数列的极限7.2 无穷级数的概念与性质7.3 正项级数的审敛法7.4 一般级数的审敛法第八章：法波那契数列与数学归纳法8.1 法波那契数列与黄金分割8.2 数学归纳法的思想与方法8.3 应用数学归纳法证明不等式第九章：常微分方程9.1 微分方程基本概念与解的存在唯一性定理9.2 一阶线性微分方程9.3 二阶齐次线性微分方程9.4 二阶非齐次线性微分方程第十章：向量代数与空间解析几何10.1 向量的基本概念与运算10.2 空间直线与平面的方程10.3 空间曲线与曲面的方程10.4 空间几何体的体积与表面积以上是《高等数学教材分册下册》的答案内容，希望对您的学习有所帮助。
请注意，在阅读答案时，应先进行自主思考和尝试解答，然后参考答案进行对照和学习。
级数审敛法
级数审敛法介绍级数是数学中重要的概念，它是由一系列数相加得到的。
级数的审敛法是用来判断一个级数是否收敛或发散的方法。
在实际的数学应用中，我们经常需要判断级数的收敛性，以便得到准确的结果或做出正确的推理。
基本概念在讨论级数审敛法之前，我们首先需要了解一些基本概念。
级数的定义给定一个数列 {an}，我们将其求和得到的数列称为级数，表示为 S = a1 + a2 + a3 + … + an + …部分和级数的部分和是指从第一项到第 n 项的和，表示为Sn = a1 + a2 + a3 + … + an收敛和发散如果级数的部分和 {Sn} 极限存在，那么我们称该级数收敛，并将收敛的值作为该级数的和。
如果级数的部分和没有极限或极限为无穷大，那么我们称该级数发散。
级数审敛法级数审敛法是一组用于判断级数收敛性的方法，不同的方法适用于不同的情况。
下面将介绍几种常用的级数审敛法。
正项级数审敛法如果级数的每一项都是非负的（即 an >= 0），并且级数的部分和是有界的，那么该级数收敛。
比较审敛法比较审敛法是通过与已知级数进行比较来判断级数的收敛性。
1.如果级数的每一项都大于（或等于）一个收敛的级数的对应项，那么该级数发散。
2.如果级数的每一项都小于（或等于）一个发散的级数的对应项，那么该级数收敛。
3.如果级数的每一项与一个收敛级数的对应项同阶无穷（即两个项的比的极限为正无穷或负无穷），那么该级数与这个收敛级数的收敛性相同。
比值审敛法比值审敛法（又称达朗贝尔审敛法）是通过计算级数中相邻两项的比值或比值的极限来判断级数的收敛性。
1.如果存在一个常数 r，使得级数的相邻两项的比值的绝对值小于 r，那么该级数收敛。
2.如果级数的相邻两项的比值的绝对值大于 1，那么该级数发散。
3.如果级数的相邻两项的比值的绝对值等于 1，那么比值审敛法无法确定级数的收敛性，可能收敛，也可能发散。
根值审敛法根值审敛法（又称柯西审敛法）是通过计算级数中项的根值或根值的极限来判断级数的收敛性。
考研数一知识点总结大全
考研数一知识点总结大全一、极限与连续1. 函数极限：定义、性质、极限存在准则、无穷小与无穷大、夹逼定理、洛必达法则等。
2. 数列极限：定义、性质、单调有界数列的极限、无穷小与无穷大、柯西收敛准则等。
3. 连续性：函数连续的概念、常用函数的连续性、间断点的分类与性质、闭区间连续函数的性质等。
二、微分学1. 导数的定义：函数在一点处的导数、导数的几何意义、导数的物理意义等。
2. 导数的运算：常见函数的导数、高阶导数、导数的四则运算、高阶导数的Leibniz 公式等。
3. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则等。
4. 隐函数与参数方程的求导：隐函数的导数、参数方程的求导、高阶导数的计算等。
三、积分学1. 不定积分：基本初等函数的不定积分、换元积分法、分部积分法等。
2. 定积分：定积分的定义、性质、牛顿-莱布尼茨公式、定积分中值定理等。
3. 积分中值定理：第一中值定理、第二中值定理等。
4. 微积分基本定理：微积分基本定理的两种形式、牛顿公式、柯西公式、Leibniz公式等。
四、级数1. 数项级数的收敛性：数项级数的概念、正项级数的收敛性判别法、一般项级数的审敛法、绝对收敛与条件收敛等。
2. 收敛级数的性质：收敛级数的四则运算、级数收敛性的不等式判别法、级数收敛的Cauchy准则等。
3. 函数项级数：函数项级数的概念、一致收敛性、函数项级数的积分法、逐项积分与微分等。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：常微分方程的定义、解的概念、初值问题、解的存在唯一性等。
2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程、齐次方程及一阶可降阶线性微分方程等。
3. 高阶常微分方程：高阶线性常微分方程、常系数齐次线性方程、常系数非齐次线性方程、欧拉方程等。
4. 线性常微分方程组：齐次线性常微分方程组、非齐次线性常微分方程组、解的结构等。
六、偏微分方程1. 偏微分方程的基本概念：偏微分方程的定义、分类、特征曲线、解的概念等。
级数
基本问题：判别敛散；
求收敛域；
求和函数；
求和 展开
级数展开.
(在收敛域内进行)
1. 正项级数和一般项级数敛散性的判定
(1) 利用部分和数列的极限 (定义法) (2) 利用级数的基本性质 (3)正项级数的判别法 (4)交错级数的判别法 (5)记住一些常见级数敛散性的结论
1. 正项级数和一般项级数敛散性的判定
a 1;
n
n 1(n ).
另：绝对收敛、条件收敛概念:
若 若
收敛 , 称 发散 , 但
绝对收敛 un 收敛
n 1
收敛 称
条件收敛
判断绝对收敛、条件收敛的步骤：
a. 先验证一下必要条件：lim u n 0
n
b. 若满足必要条件再验证正项级数 c. 若不是绝对收敛，再验证
n 0 n
(an 0) :
先求收敛半径 ：
R 1
;
再讨论端点的收敛性 . 2) 对缺无穷项的幂级数 求收敛半径时直接用比值法或根值法,
注意：看清题目到底是让求收敛域 还是收敛区间。
3. 求幂级数的和函数
性质1： 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减 与乘运算. 性质2：若幂级数 的收敛半径 则其和函数
4. 函数展开成幂级数
步骤： • 将f(x)化为(x-x0)因式 • 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 • 根据已知函数展开式的收敛域求新收敛域 注: 若结果为两个幂级数和则能合并要合并 常用函数的幂级数展开式：
e
x
ln (1 x ) =
, x ( 1, 1]
sin x、cos x、(1 x )
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1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
定理 如果任意项级数
n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1
sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.
例4 判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？
（） 1
加，于是分别有：
u1v1 + u1v2 + u2v2 + u2v1 + u1v3 + u2v3 + u3v3 +
和
u1v1 + u1v2 + u2v1 + u1v3 + u2v2 + u3v1 +
定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)（2）都绝对 收敛，则对（3）中所有乘积 ui v j 按任意顺序排列 所得到的级数 wn也绝对收敛，且其和等于 AB .
v n收敛,
n 1
又 un ( 2v n un ),
un 收敛.
n 1
n 1
n 1
上定理的作用：
任意项级数
正பைடு நூலகம்级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1
n 1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
证：以v1 1 , vk k k 1 (k 2,3, , n)分别乘以
k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
推论 （阿贝尔引理）若 （ 1 ） 1 , 2 ,
, n 是单调数组；
（2）对任一正整数 k (1 k n) 有 | k | A, 则记
n 1
三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 引理（分部求和公式）设 i , vi (i 1,2, , n)为两组 实数，若令 k v1 + v2 +
n
+ vk (k 1,2, , n)
则有如下分部求和公式成立：
v (
i 1 i i
1
2 ) 1 + ( 2 3 ) 2 + + ( n1 n ) n1 + n n
2. 级数的乘积 设
u v
n
u1 + u2 + v1 + v2 +
+ un + + vn +
A B
(1) (2)
n
为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有 可能的乘积列成下表： u1v1 u1v2 u1v3 u1v n
u2 v1 u2 v2 u3 v1 u3 v2
u2 v3 u3 v3
证明
un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) + (u3 u4 ) + L + (u2n1 u2n )
数列 s2 n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) L (u2n2 u2n1 ) u2n
u1
n
数列 s2 n是有界的 ,
un un+1
n 收敛。 （* * ） 2 n +1
（） 2 1 n1
1
n+1 n
解
un
1
n 1
1 1 n+1 n 2 n n+1 + n
n 1
而
2 n
发散 ，所以 un 发散
n 1
从而 1
1
n+1
n 非绝对收敛
k 1
n
| (1 2 ) + + ( n1 n ) | + A | n | A | 1 n | + A | n | A(| 1 | +2 | n |) 3 A
以下讨论级数
a b
n 1
n n
a1b1 + a2b2 +
+ anbn +
un +1 n ( 3) lim lim x | x | n un n n + 1
则当| x | 1时，级数收敛；当| x | 1时，级数发散， 而 x 1时，级数是否收敛取决于 为何值.
绝对收敛级数的两个重要性质
1. 级数的重排 定义:把正整数列{1, 2, , n } 到它自身的一一映射
u2 vn u3 vn un vn
un v1 un v2 un v3
u1v1
u1v2
u1v3 u2 v3 u3 v3
u1v n u2 vn u3 vn un vn
u2 v1 u2 v2 u3 v1 u3 v2
un v1 un v2 un v3
这些乘积 ui v j 可以按各种方法排成不同的级数， 常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相
又 lim un lim
n
n
n+1 n
lim
n
1 n+1 +
n
0
1 un n + 1 n n+1 + n
1 un +1 n+1 + n+ 2
故：原级数条件收敛。
( 1)n 例5 判定级数 是否条件收敛？ n 1 n ln n
是否绝对收敛？ 解
n 1
un u1 + u2 + L + un + L
un + 1 lim （其中 可以为 + ） n un
n 1 n 1
满足条件
则当 1时，级数 un 收敛，且绝对收敛； 当 1时，级数 un 发散
例 6 判别下列级数的收敛性:
1 1 , 而 1 发散, n ln n n n1 n
( 1) 1 发散, n1 n ln n n1 n ln n n
即原级数非绝对收敛．
( 1) 是交错 级数, n1 n ln n
n
由莱布尼茨定理：
ln n ln x 1 lim lim lim 0, n + n x + x x + x 1 1 lim lim n 0, n + n ln n n + ln n 1 n f ( x ) x ln x ( x 0), 1 f ( x ) 1 0 ( x 1), x
un+1 1)un+1 un 0； 2） 1； un
3）相应函数的单调性 .
二、绝对收敛与条件收敛
1. 绝对收敛和条件收敛:
任意项级数的各项取绝对值 任意项级数 正项级数 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
任意项级数的敛散性
1. un绝对收敛： un 收 敛 ；
xn (1) ; n 0 n!
2n x (2) ( 1)n ; ( 2n)! n 1
(3)
n 1
( 1)L( n + 1)
n!
xn
解
un +1 | x |n +1 n! | x| (1) lim lim lim 0 n n un n ( n + 1)! | x | n n + 1
n un lim 2 0 解 又 lim n n n + 1 x 设f ( x ) ( x 1) 2 1+ x
则 f ' ( x)
1 + x
1 x2
2 2
0( x 1)
f ( x )在[1， + ）上单调递减
由莱布尼兹判别准则， 1
1 n 1
则此级数对一切 x ( x + ) 绝对收敛
un + 1 ( 2n)! ( 2) lim lim | x |2 n un n ( 2n + 2)! 1 lim | x |2 0 n ( 2n + +2)( 2n + 1)