一般级数的审敛法

2. 级数的乘积 设
u v
n
u1 + u2 + v1 + v2 +
+ un + + vn +
A B
(1) (2)
n
为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有 可能的乘积列成下表： u1v1 u1v2 u1v3 u1v n
u2 v1 u2 v2 u3 v1 u3 v2
u2 v3 u3 v3
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
max{| k |} 时，有：|
k

k 1
n
k
vk | 3 A
证：由（1）知
1 2 , 2 3 , , n1 n 都是
同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得
| k vk || ( 1 2 ) 1 + ( 2 3 ) 2 + + ( n1 n ) n1 + n n |
n 1
三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 引理（分部求和公式）设 i , vi (i 1,2, , n)为两组 实数，若令 k v1 + v2 +
n
+ vk (k 1,2, , n)
则有如下分部求和公式成立：
v (
i 1 i i
1
2 ) 1 + ( 2 3 ) 2 + + ( n1 n ) n1 + n n
n
解
x (1 + x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
x 故函数 单调递减, un un+1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛 . n n n 1
注意 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 必要条件； 思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立， 结果如何？ 2.判定 un+1 un的方法

又 lim un lim
n
n

n+1 n

lim
n
1 n+1 +
n
0
1 un n + 1 n n+1 + n
1 un +1 n+1 + n+ 2
故：原级数条件收敛。
( 1)n 例5 判定级数 是否条件收敛？ n 1 n ln n

是否绝对收敛？ 解
则此级数对一切 x ( x + ) 绝对收敛
un + 1 ( 2n)! ( 2) lim lim | x |2 n un n ( 2n + 2)! 1 lim | x |2 0 n ( 2n + +2)( 2n + 1)
则此级数对一切 x ( x + ) 绝对收敛
12.3 一般项级数
一、交错级数及其审敛法
二、绝对收敛与条件收敛
三、 阿贝尔判别法和狄里克雷判别法
一、交错级数及其判别法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.

( 1) n 1
n 1
un或 ( 1) un (其中un 0)
n n 1
定理12.11(莱布尼茨) 如果交错级数满足条件 : : (ⅰ) u u ( n 1,2,3,L) ;(ⅱ)lim un 0 , n n+1 n 则级数收敛,且其余项 r 的绝对值 r u + n n1 n .
加，于是分别有：
u1v1 + u1v2 + u2v2 + u2v1 + u1v3 + u2v3 + u3v3 +
和
u1v1 + u1v2 + u2v1 + u1v3 + u2v2 + u3v1 +
定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)（2）都绝对 收敛，则对（3）中所有乘积 ui v j 按任意顺序排列 所得到的级数 wn也绝对收敛，且其和等于 AB .
n 1

则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
u2 vn u3 vn un vn
un v1 un v2 un v3
u1v1
u1v2
u1v3 u2 v3 u3 v3
u1v n u2 vn u3 vn un vn
u2 v1 u2 v2 u3 v1 u3 v2
un v1 un v2 un v3
这些乘积 ui v j 可以按各种方法排成不同的级数， 常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相
解
1
1

n 1
n n2 + 1
n 1 n 2 un 2 n +1 n + n n+1

1 而 发散 ，所以 un 发散 n 1 n + 1 n 1
从而 1
1

n 1
n 非绝对收敛 （*） 2 n +1
（） 1
1
1

n 1
n n2 + 1
的收敛性。
定理12.15 (阿贝尔判别法) 若
{an } 为单调有界
数列,且级数 bn 收敛,则级数 anbn 收敛.
满足收敛的两个条件,
rn un+1 .
定理证毕.
1 1 1 例1 判 别 交 错 级 数 1 + + L 2 3 4 的敛散性 .
1 1 un+1 ( n 1， 2， L） 解 un n n+1
Байду номын сангаас
又 lim un 0
n
故级数收敛.
( 1) n 的收敛性 例 2 判别级数 . n1 n 2
n 1
un u1 + u2 + L + un + L
un + 1 lim （其中 可以为 + ） n un
n 1 n 1

满足条件
则当 1时，级数 un 收敛，且绝对收敛； 当 1时，级数 un 发散
例 6 判别下列级数的收敛性:
un+1 1)un+1 un 0； 2） 1； un
3）相应函数的单调性 .
二、绝对收敛与条件收敛
1. 绝对收敛和条件收敛:
任意项级数的各项取绝对值 任意项级数 正项级数 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
任意项级数的敛散性
1. un绝对收敛： un 收 敛 ；
证明
un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) + (u3 u4 ) + L + (u2n1 u2n )
数列 s2 n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) L (u2n2 u2n1 ) u2n
u1
n
数列 s2 n是有界的 ,
un +1 n ( 3) lim lim x | x | n un n n + 1
则当| x | 1时，级数收敛；当| x | 1时，级数发散， 而 x 1时，级数是否收敛取决于 为何值.
绝对收敛级数的两个重要性质
1. 级数的重排 定义:把正整数列{1, 2, , n } 到它自身的一一映射
un un+1
n 收敛。 （* * ） 2 n +1
（） 2 1 n1
1


n+1 n


解

un
1
n 1

1 1 n+1 n 2 n n+1 + n
n 1

而
2 n
发散 ，所以 un 发散
n 1
从而 1
1


n+1
n 非绝对收敛
1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
定理 如果任意项级数
1 1 , 而 1 发散, n ln n n n1 n
( 1) 1 发散, n1 n ln n n1 n ln n n

即原级数非绝对收敛．
( 1) 是交错 级数, n1 n ln n
n
由莱布尼茨定理：
ln n ln x 1 lim lim lim 0, n + n x + x x + x 1 1 lim lim n 0, n + n ln n n + ln n 1 n f ( x ) x ln x ( x 0), 1 f ( x ) 1 0 ( x 1), x
f : n k ( n)
称为正整数列的重排,相应地对于数列
un 的 u 是级数 n 1
n 1 k ( n)
{un } 按映射 F : un uk ( n) 所得到的数列 {uk ( n ) }称为原

级数的重排,相应也称级数 重排.
定理12.13 设级数 un 绝对收敛,且其和等于 S
证：以v1 1 , vk k k 1 (k 2,3, , n)分别乘以
k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
推论 （阿贝尔引理）若 （ 1 ） 1 , 2 ,
, n 是单调数组；
（2）对任一正整数 k (1 k n) 有 | k | A, 则记
n un lim 2 0 解 又 lim n n n + 1 x 设f ( x ) ( x 1) 2 1+ x
则 f ' ( x)
1 + x
1 x2
2 2
0( x 1)
f ( x )在[1， + ）上单调递减
由莱布尼兹判别准则， 1
1 n 1
n 1 n 1 n 1



sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n

sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.

例4 判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？
（） 1
k 1
n
| (1 2 ) + + ( n1 n ) | + A | n | A | 1 n | + A | n | A(| 1 | +2 | n |) 3 A
以下讨论级数

a b
n 1
n n
a1b1 + a2b2 +
+ anbn +
xn (1) ; n 0 n!

2n x (2) ( 1)n ; ( 2n)! n 1
(3)

n 1

( 1)L( n + 1)
n!
xn
解
un +1 | x |n +1 n! | x| (1) lim lim lim 0 n n un n ( n + 1)! | x | n n + 1
n 1

n 1



2. un条件收敛： un 发 散 ， un收 敛 ；
n 1
n 1 n 1

3. un发散.
n 1

定理 2
若
u
n 1

n
收敛, 则
u
n 1

n 收敛 .
1 证明 令 vn ( un + un ) ( n 1,2,L), 2 显然 vn 0, 且 vn un ,
v n收敛,
n 1
又 un ( 2v n un ),
un 收敛.
n 1
n 1
n 1
上定理的作用：
任意项级数


正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1
n 1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.