正态分布总结

第13讲 正态分布教学目的：理解并熟练掌握正态分布的密度函数、分布函数、数字特征及线性性质。

教学重点：正态分布的密度函数和分布函数。

教学难点：正态分布密度曲线的特征及正态分布的线性性质。

教学学时：2学时 教学过程:第四章 正态分布§4.1 正态分布的概率密度与分布函数在讨论正态分布之前，我们先计算积分()⎰∞+∞---dx ex 22221σμσπ。

首先计算⎰∞+∞--dx ex 22。

因为πθσπ20220222222222===⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+-+-∞+∞--∞+∞--rdr ed d edy edx er Rx x y x (利用极坐标计算) 所以π222=⎰∞+∞--dx ex 。

记t x =-σμ，则利用定积分的换元法有()12212121212222222====⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞---ππππσπσμdt edt edx et t x因为()021222≥--σμσπx e，所以它可以作为某个连续随机变量的概率密度函数。

定义 如果连续随机变量X 的概率密度为()(),,21222+∞<<∞-=--x ex f x σμσπ则称随机变量X 服从正态分布,记作()2,~σμN X ,其中()0,>σσμ是正态分布的参数。

正态分布也称为高斯（Gauss ）分布。

对于1,0==σμ的特殊情况,即如果()1,0~N X ,则称X 服从标准正态分布,它的概率密度记为()x ϕ,有()2221x ex -=πϕ。

函数()2221x ex -=πϕ的图象的特点：令()0222=-='-x ex x πϕ，得驻点0=x 。

根据()x ϕ'的正负性可知, 0=x 是()x ϕ的极大值点,该点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛π21,0。

令()()021222=-=''-x exx πϕ,得1±=x ,根据()x ϕ''的正负性可知,函数()x ϕ在()1,-∞-和()+∞,1内是凹的,在()1,1-内是凸的, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121,1e π和⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2121,1e π是拐点。

因为021lim22=-∞→x x eπ,所以x 轴是该曲线的渐近线。

根据()x ϕ的偶函数性质,函数()x ϕ的图象关于y 轴对称。

根据上述特点作出()x ϕ的曲线如下：对于一般的正态分布()2,~σμN X ,概率密度函数()()22221σμσπ--=x ex f 有如下特点：(1)在μ=X 处达到极大值，极大值点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛σπμ21,。

(2)在σμ±=X 处为图象的拐点，拐点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-2121,e σπσμ,在()σμσμ+-,内是凸的,其它范围内是凹的。

(3)x 轴为渐近线。

(4)σ越大，最大值越小，拐点越偏离μ。

(5)图象关于直线μ=x 对称。

对于()2,~σμN X ,它的分布函数为()()()()⎰⎰∞---∞---==≤=xt xt dt edt ex X P x F 2222222121σμσμσπσπ对于()1,0~N X ,记它的分布函数为()⎰∞--=Φxt dt ex 2221π。

根据()()x x ϕ=Φ'以及()()x x ϕ'=Φ''的正负性质,得()x Φ在整个实数范围内单调递极大值点增。

在0>x 范围内图象是凸的,在0<x 范围内图象是凹的,0=x 是拐点。

又()()1lim ,0lim =Φ=Φ+∞→-∞→x x x x ,得两条渐近线1=y 和x 轴。

根据()x ϕ的对称性，得()210=Φ。

根据上述讨论作出()x Φ的图象如下：根据()x ϕ的性质还可以得到()()x x Φ-=-Φ1。

()x Φ的直接计算是比较困难的,但可以通过查表得到()x Φ在0>x 时的数值。

对于0<x 的情况，可以根据()()x x -Φ-=Φ1求得。

一般的正态分布()2,~σμN X 的分布函数()x F 与()x Φ的关系如下：()()().21212122222222σμσμσσμσμπσπμσπ-∞---∞--∞---Φ==-==⎰⎰⎰-x v ux u xt x dv ev duet u dtex F 记记有了()x F 与()x Φ的关系，就可以求出任何正态随机变量X 落在某个区间内的概率。

对于()2,~σμN X ,某两个数21,x x 满足21x x <,则有()()()()()121221x F x F X x P x X P x X x P -=≤-≤=≤<又因为X 是连续随机变量,因此有()()()()()12212121x F x F x X x P x X x P x X x P -=<<=<≤=≤≤例1 已知()4,5.1~N X ,求()4-<X P 和()2>X P 。

解 X 服从参数2,5.1==σμ的正态分布,故有()()()0030.09970.0175.2175.225.144=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ=-<X P()()()()()()()()()4414.05981.09599.0225.075.1225.0175.125.12125.12212222=--=Φ-Φ-=Φ-+-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=<-+-<=>+-<=>X P X P X P X P X P例2 已知()2,~σμN X ,求()σμk X P -<-,()3,2,1=k 。

解()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==-Φ==-Φ==-Φ=-Φ=-Φ-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Φ==+<<-=<-.3,9974.0132;2,9544.0122;1,6826.011212k k k k k k k k k X k P k X P σμσμσμσμσμσμσμ例3 已知()1,0~N X ,求随机变量2X Y =的概率密度函数。

解 因为()1,0~N X ,所以X 的密度函数()()()+∞∞-∈==-,,2122x ex x f x X πϕ,则Y的分布函数()()()y X P y Y P y F Y ≤=≤=2。

显然当0≤Y 时,()0=y F Y ,此时()()0='=y F y f Y Y 。

对于0>Y 的情况有()()()⎰⎰---==≤-=≤=yx yyx Y dx edx ey X y P y X P y F 0222222221ππ此时()()22122212122222y y yx Y Y ey yedx edy d y F y f ----=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='=⎰πππ故随机变量Y 的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,00,21221y y e y y f y Y π注 称上述随机变量Y 服从自由度为1的2χ分布。

§4.2 正态分布的数字特征我们首先讨论一般正态分布()2,σμN 与标准正态分布()1,0N 数字特征间的关系。

由一般正态分布()2,~σμN X 的分布函数()x F 与标准正态分布的分布函数()x Φ的关系可知，如果随机变量()2,~σμN X ,则()1,0~N X Y σμ-=。

由期望与方差的线性性质知()()()()()().,2Y D Y D X D Y E Y E X E σμσμσμσ=+=+=+=，因此,要研究正态分布的数字特征,只需研究标准正态分布的数字特征就可以了。

1. 正态分布的数学期望 对于()1,0~N Y ,().021212122222222=-==⋅=+∞∞--∞+∞--∞+∞--⎰⎰x x x x ededx ex Y E πππ对于()2,~σμN X ,()().μμσ=+=Y E X E 2. 正态分布的方差对于()1,0~N Y ,()()()[]22Y E Y E Y D -=,已知()0=Y E ，().12210212121212122222222222222=⋅+=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--∞+∞--∞+∞--πππππππdxexee d x dex dx ex YE x x x x x x所以()()()[]122=-=Y E Y E Y D 。

对于()2,~σμN X ,()()22σσ==Y D X D 。

综合上面的讨论知，正态分布()2,σμN 的期望值是μ,方差是2σ。

§4.3 正态分布的线性性质1. 单个正态随机变量线性函数的分布已知()2,~σμN X ,()0,≠∈b R b a ,记随机变量bX a Y +=,下面讨论Y 的性质。

因为()2,~σμN X b a Y =-, ()1,0~N X σμ-,故有 ()1,0~N b b a Y b aY σμσμ--=--由此可见()22,~σμb b a N Y +，既单个正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布。

2. 两个正态随机变量和的分布已知两个独立的随机变量Y X ,满足()211,~σμN X ,()222,~σμN Y ,则Y X Z +=仍然服从正态分布。

由数字特征的线性性质可得()()()()()()222121,σσμμ+=+=+=+=Y D X D Z D Y E X E Z E因此有()222121,~σσμμ+++=N Y X Z 。

对于上述结论不予证明,其有更广泛的结论。

定理 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，都服从正态分布()n i N X i i i ,,2,1 ,,~2=σμ则它们的线性组合∑=ni i i X c 1也服从正态分布，且有⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===ni i i n i i i ni i i c c N X c 12211,~σμ 其中n c c c ,,,21 为常数。