正态分布总结

第13讲 正态分布

教学目的：理解并熟练掌握正态分布的密度函数、分布函数、数字特征及线性性质。 教学重点：正态分布的密度函数和分布函数。

教学难点：正态分布密度曲线的特征及正态分布的线性性质。 教学学时：2学时 教学过程:

第四章 正态分布

§4.1 正态分布的概率密度与分布函数

在讨论正态分布之前，我们先计算积分()⎰∞

+∞

---

dx e

x 2

2

221σμσ

π。

首先计算⎰∞

+∞--dx e

x 2

2。因为

π

θσπ20

2

20

2

2

2

22222

2===⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰

∞

+-+-

∞+∞

--

∞

+∞

--rdr e

d d e

dy e

dx e

r R

x x y x (利用极坐标计算) 所以π22

2=⎰∞

+∞

--dx e

x 。

记

t x =-σ

μ

，则利用定积分的换元法有

()1

22121

21212

2

22

22

2==

=

=⎰⎰

⎰

∞

+∞

--

∞

+∞

--

∞

+∞

---

ππ

π

π

σ

πσμdt e

dt e

dx e

t t x

因为

()0212

2

2≥--

σμσ

πx e

，所以它可以作为某个连续随机变量的概率密度函数。

定义 如果连续随机变量X 的概率密度为

()(),,

212

22+∞<<∞-=

--

x e

x f x σμσ

π

则称随机变量X 服从正态分布,记作()2,~σμN X ,其中()0,>σσμ是正态分布的参数。正态分布也称为高斯（Gauss ）分布。

对于1,0==σμ的特殊情况,即如果()1,0~N X ,则称X 服从标准正态分布,它的概率密度记为()x ϕ,有()2

221x e

x -

=

π

ϕ。

函数()2

221x e

x -

=

πϕ的图象的特点：

令()022

2=-=

'-

x e

x x π

ϕ，得驻点0=x 。根据()x ϕ'的正负性可知, 0=x 是()x ϕ的

极大值点,该点坐标为⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛π21,0。

令()()021

2

2

2=-=

''-

x e

x

x π

ϕ,得1±=x ,根据()x ϕ''的正负性可知,函数()x ϕ在()

1,-∞-和()+∞,1内是凹的,在()1,1-内是凸的, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121,1e π和⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-21

21,1e π是拐点。

因为021lim

2

2

=-

∞

→x x e

π

,所以x 轴是该曲线的渐近线。

根据()x ϕ的偶函数性质,函数()x ϕ的图象关于y 轴对称。 根据上述特点作出()x ϕ的曲线如下：

对于一般的正态分布()2,~σμN X ,概率密度函数()()2

2

221σμσ

π--

=x e

x f 有如下特

点：

(1)在μ=X 处达到极大值，极大值点为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛σπμ21

,。 (2)在σμ±=X 处为图象的拐点，拐点坐标为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±-2121,e σπσμ,在()σμσμ+-,内是凸的,其它范围内是凹的。

(3)x 轴为渐近线。

(4)σ越大，最大值越小，拐点越偏离μ。 (5)图象关于直线μ=x 对称。 对于()2,~σμN X ,它的分布函数为

()()()()⎰⎰

∞

---

∞

---

=

=≤=x

t x

t dt e

dt e

x X P x F 2

2

2

2

2221

21σμσμσ

πσ

π

对于()1,0~N X ,记它的分布函数为()⎰

∞

--

=

Φx

t dt e

x 2

2

21π

。

根据()()x x ϕ=Φ'以及()()x x ϕ'=Φ''的正负性质,得()x Φ在整个实数范围内单调递

极大值点

增。在0>x 范围内图象是凸的,在0

()()1lim ,0lim =Φ=Φ+∞→-∞→x x x x ,得两条渐近线1=y 和x 轴。

根据()x ϕ的对称性，得()21

0=Φ。根据上述讨论作出()x Φ的图象如下：

根据()x ϕ的性质还可以得到()()x x Φ-=-Φ1。

()x Φ的直接计算是比较困难的,但可以通过查表得到()x Φ在0>x 时的数值。对

于0

一般的正态分布()2,~σμN X 的分布函数()x F 与()x Φ的关系如下：

()()().2121212

2222

22

2

σ

μ

σ

μ

σσμσ

μ

π

σ

πμ

σ

π-∞

--

-∞

--

∞

---

Φ

==-==

⎰

⎰

⎰

-x v u

x u x

t x dv e

v du

e

t u dt

e

x F 记记

有了()x F 与()x Φ的关系，就可以求出任何正态随机变量X 落在某个区间内的概率。

对于()2,~σμN X ,某两个数21,x x 满足21x x <,则有

()()()()()121221x F x F X x P x X P x X x P -=≤-≤=≤<

又因为X 是连续随机变量,因此有

()()()()()12212121x F x F x X x P x X x P x X x P -=<<=<≤=≤≤

例1 已知()4,5.1~N X ,求()4-X P 。 解 X 服从参数2,5.1==σμ的正态分布,故有