高考数学试题分类汇编(导数)

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导数21 大题(其他、中档、中上、未)-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

导数——大题——其他中下：1.（2022年湖北宜昌夷陵中学J39）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若()f x ¢是()f x 的导函数，()f x ''是()f x ¢的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''=⎡⎤⎦'+⎣．已知函数()()()ln cos 10,0x f x ae x b x a b =---≥>，若0a =，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为22．（1）求b ；（2）若函数()f x 存在零点，求a 的取值范围；（①）（3）已知1.098ln 3 1.099<<，0.048 1.050e <，0.0450.956e -<，证明：1.14ln π 1.15<<．（求导，中下；第二问，未；）导数——大题——其他中档：1.（2022年广东肇庆J36）已知函数()()ax f x axe a b x =++，()(1)ln g x x x =+.（1）当1a b =-=时，证明：当,()0x ∈+∞时，()()f x g x >；（②）（2）若对(0,)∀∈+∞x ，都[1,0]b ∃∈-，使()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（切线放缩，比较大小，中档；第二问，未；）导数——大题——中档、中上、未：1.（2022年河北演练二J40）已知函数(1)ln (),()|ln |1x xf xg x x x -==+.（1）若()()(1,1)f m g n m n =>>，证明：m n >；（③）（2）设函数()(1)ln (1)F x x x a x =--+，若()0F x =有两个不同的实数根12,x x ，且12x x <，证明：221eax x >⋅.（中档，未；第二问，未；）2.（2022年湖北荆州中学J19）已知函数f （x ）=e x -e -x -a sin x ，其中e 是自然对数的底数．（1）当x ＞0，f （x ）＞0，求a 的取值范围；（④）（2）当x ＞1时，求证：12x x e e x x ---+＞sin sin(ln )x x -.（中档，未；第二问，未；）3.（2022年湖北荆门四校J21）已知函数3()ln()4f x ax x ax=++（其中实数0a >）的最小值为5，（1）求实数a 的值；（⑤）（2）若不等式()(4)5f x k x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围．（中上，未；第二问，未；）4.（2022年湖北襄阳五中J23）已知函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x-=-++>（e 是自然对数的底数）．（1）当1a =时，试判断()f x 在()1,+∞上极值点的个数；（⑥）（2）当1e 1a >-时，求证：对任意1x >，()1f x a >．（中档，未；第二问，未；）2.（2022年河北衡水中学J15）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（⑦）（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（中上，未；第二问，未；）（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21ax x n<+-1.（2022年湖南师大附中J11）已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--.（⑧）（1）若1a =，比较(log 10f 与()5log 9f 的大小；（2）讨论函数()f x 的零点个数.（中档，未；第二问，未；）1.（2022年江苏江阴J61）已知函数()e (1ln )x f x m x =+，其中m ＞0，f '(x )为f (x )的导函数，设()()ex f x h x '=，且5()2h x ≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（⑨）（中档，未；第二问，未；）（2）设函数f (x )的零点为x 0，函数f '(x )的极小值点为x 1，求证：x 0＞x 1．1.（2022年山东枣庄一模J60）已知函数()()e sin xf x x a x a =-∈R ．（1）若[]0,πx ∀∈，()0f x ≥，求a 的取值范围；（⑩）（2）当59a ≥-时，试讨论()f x 在()0,2π内零点的个数，并说明理由．（中档，未；第二问，未；）①【答案】（1）1；（2）10,e⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）将0a =代入并计算()1f ，()f x ''，根据曲率直接计算即可.（2）等价转化为()ln cos 1xx x a e+-=有根，然后令()()ln cos 1xx x g x e+-=并研究其性质，最后进行判断可得结果.（3）依据（2）条件可知1ln 1x x e-+≤，然后根据π3113π,π3ln 1ln 13πe e -+<+<判断即可.【详解】（1）当0a =时，()()ln cos 1f x x b x =---，()1f b =-．()()1sin 1f x b x x '=-+-，()()21cos 1f x b x x''=+-．∴()f x 在()1,b -处的曲率为3212122b k b +==⇒=．（2）()()()ln cos 1ln cos 10x xx x f x ae x x a e +-=---=⇒=令()ln 1h x x x =+-，则()111x h x x x-'=-=当()0,1∈x 时，()0h x '>，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+¥单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，则ln 1x x +≤又令()x x m x e =，则()1'xxm x e -=当()0,1∈x 时，()0m x '>，当()1,∈+∞x 时，()0m x '<所以函数()m x 在()0,1单调递增，在()1,+¥单调递减所以()1(1)m x m e≤=令()()ln cos 1xx x g x e+-=，∴()ln 11x x x x g x e e e+≤≤≤，当且仅当1x =时取“=”，显然，当1a e>时，()f x 无零点．当10a e ≤≤时，()11g a e =≥，111cos 110ee g a e e ⎛⎫-+- ⎪⎛⎫⎝⎭=<≤ ⎪⎝⎭∴存在1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0g x a =，符合题意．综上：实数a 的取值范围为10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）由（2）知ln 11xx e e+≤，∴1ln 1x x e -+≤（当且仅当1x =时取“=”）∴π10.0483πln 13e e -+<<，∴0.048ln π1ln 3 1.0501 1.099 1.15e <-+<-+<又∵310.045π3ln 1πe e -+<<，∴0.045ln πln 31 1.09810.956 1.14e ->+->+->综上：1.14ln π 1.15<<．【点睛】关键点点睛：第（1）问关键在于求导；第（2）问关键在于等价转化的使用以及常用不等式（ln 1x x +≤）的使用以及放缩法；第（3）问在于利用第（2）问的条件ln 11xx e e+≤进行比较.②【答案】（1）证明见解析；（2）1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.③【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由()()(1,1)f m g n m n =>>，列出m 与n 的关系式，利用指数对数的运算性质进行化简与放缩即可证明；(2)把()0F x =化成()f x a =的形式，根据导数确定()f x 的单调性与极值，画出简图，确定12,x x 与1的大小关系，利用(1)的结论，可以得到12,x x 与e a 的关系，进而可证得结论.【小问1详解】证明：由()()(1,1)f m g n m n =>>，得(1)ln |ln |ln 1m mn n m -==+，则有(1)ln 1121ln 1111e(e)m m m m m m m m m n mmm ----++++====<，所以m n >；【小问2详解】证明：令()(1)ln (1)0(0)F x x x a x x =--+=>，化简可得(1)ln 1x xa x -=+，即()f x a =，2212ln 2ln 1()(1)(1)(1)x x x x x f x x x x x +--'=+=+++，令1()2ln g x x x x=+-，221()10x x xg =++>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增且(1)0g =，则()g x 即()0f x '<时()0,1x ∈，()0f x '>时()1,x ∈+∞，可得()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，且有(1)0f =，由下图可知，1201x x <<<，0a >，又2222(1)ln ()ln e ln e =(e )1a a a x x f x a g x -====+，即22()=(e )(1,e 1)a a f x g x >>，由(1)可得2e ax >⋅⋅⋅①，又由1()f x a =得1111111111(1)ln (1)ln 1(()ln e ln e =(e )111a a a x x x x f f x a g x x x --======++，即1111((e )(1,e 1)a a f g x x >>，由(1)可得11e a x >⋅⋅⋅②，①②相乘可得221e a x x >，即221e a x x >⋅.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．④22.【答案】解：（1）由题意可知f '（x ）=e x +e -x -a cos x ，①当0＜a ≤2时，由-1≤cos x ≤1可知-2≤-a ≤a cos x ≤a ≤2，又因为e x +e -x ≥2恒成立，所以f '（x ）=e x +e -x -a cos x ≥0恒成立，所以y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．又f （0）=0，所以f （x ）＞0对x ＞0恒成立；②当a ＞2时，，且可知y =e x +e -x 与y =a cos x 必有一个交点，不妨设为x 0，所以y =f （x ）在[0，x 0）上为减函数，在[x 0，+∞）为增函数，又f （0）=0，所以f （x 0）＜0，与题意不符，故舍去．综合可知a 的取值范围是（0，2]．（2），只需证，即证，即证e x -e -x -2sin x ＞e ln x -e -ln x -2sin （ln x ），即证f （x ）＞f （ln x ）（此时a =2），由（1）问可知当0＜a ≤2时y =f （x ）在[0，+∞）上恒为增函数．所以即证x ＞ln x ，不妨令g （x ）=x -ln x ，则所以y =g （x ）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．又因为g （x ）min =g （1）=1＞0所以g （x ）=x -ln x ＞0恒成立，即x ＞ln x ，所以原结论得证．⑤【答案】（1）2；（2）(],4-∞-.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，构造2()43(0)g x ax ax x =+->并由二次函数性质判断其零点0x 及区间符号，进而确定()f x 的单调性、极值，结合已知最值列方程得003ln2(41)6041x x ++-=+，再构造中间函数求零点，进而求a 的值；（2）令2(0)t x t =>问题转化为()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，构造中间函数研究()F t 的最值，并判断单调性，最后可求k 的范围．【小问1详解】由题设，2243()(0)ax ax f x x ax +-'=>且0a >，令2()43(0)g x ax ax x =+->，则()g x 在(0,)+∞上递增且(0)30=-<g ，所以()0g x =有唯一正实根，记为0x ，则200430ax ax +-=．当00x x <<时，()0g x <即()0f x '<，()f x 单调递减，当0x x >时，()0>g x 即()0f x '>，()f x 单调递增，所以极小值也是最小值为00003()ln()45f x ax x ax =++=．又200430ax ax +-=，可得00341ax x =+，故003ln2(41)6041x x ++-=+，令3()ln26(1)h t t t t =+->，其中041t x =+，则121()20t h t t t-'=-+=>，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增且(3)0h =，而3t =，即012x =，从而2a =．综上，实数a 的值为2.【小问2详解】由题意，3ln(2)502x kx x+--≥恒成立，令2(0)t x t =>．令3()ln 5(0)2kt F t t t t =+-->，则2226()2kt t F t t-+-'=，令2()26(0)t kt t t ϕ=-+->ⅰ、当0k ≥时，(1)202kF =--<，不合题意，舍去，ⅱ、当0k <时，()0t ϕ=有唯一的正实根，记为0t ，且200260t kt -=<，则0(0,3)t ∈且0312kt t -=当00t t <<时，()0t ϕ<，即()0F t '<，当0t t >时，()0t ϕ>，即()0F t '>所以()F t 在0(0,)t 单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，则极小值也是最小值为00000036ln 5ln 62()kt t F t t t t +--+==-．要使()0F t ≥对(0,)t ∈+∞恒成立，则0()0F t ≥．令6()ln 6(03)m x x x x =+-<<，则26()0x m x x-'=<，即()m x 在(0,3)上递减，又(1)0m =，所以不等式()0m x ≥的解集为(]0,1，故001t <≤，又(]020062,0,1,k t t t -=+∈则k 的取值范围是(],4-∞-．【点睛】关键点点睛：（1）构造中间函数，并结合导数研究()f x 单调性、最值，根据已知求得参数间的函数关系及参数范围；（2）令2(0)t x t =>，根据已知确定隐零点0t 与参数k 的关系，并求出0t 的范围，进而求k 的范围.⑥【答案】（1）()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；（2）求出函数的导数，构造函数()=e 1x axh x x ---，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，故可将原问题转化为对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.【小问1详解】当1a =时，()1e ln ln2x f x x x-=-+,则1122(1)(e )e (1)11()x x xx x x f x x x x ------'=-=，设1()=e1x x x x ϕ---，则11()e 11x x x ϕ-=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()x ϕ→-∞，(2)e 20ϕ=->，所以存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=，当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ<，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，所以()f x 在()1,+∞上只有一个极值点，即唯一极小值点；【小问2详解】证明：由22(1)(e )e (1)11()x a x a xx x x f x x xx ------'=-=，设()=e1x ax h x x ---，则1()e 11x ah x x -=---在()1,+∞上是增函数，当1x +→时，()h x →-∞，因为1e 1a >-，所以1(1)e 10h a a +=-->，所以存在0(1,1)x a ∈+，使得0000()e01x ax h x x -=-=-，当0(1,)x x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，即()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，则()0f x '>，即()f x 在0(1,)x 上单调递增，故0x x =是函数()()e ln ln 1(0)x af x x a a x -=-++>的极小值点，也是最小值点，则()0000e ln l 1)n ()(x af x x f x a x --+=+≥，又因为000e1x ax x -=-，所以()000ln ln 11(1)x a f x x -++-=，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a-++>-，即证：对任意1x >，()001ln ln 111x a x a->-+-，设()ln 11g x x x =--，则()ln 11g x x x =--在()1,+∞上单调递减，因为0(1,1)x a ∈+，所以0()(1)g x g a >+，故()001ln ln 111x a x a->-+-，故对任意1x >，()1f x a>.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的问题，综合性较强，要能熟练求导，利用导数判断函数的单调性以及求函数最值，解答的关键是根据函数或导数的特点，构造函数，进而结合零点存在定理判断导数正负，求得函数的最值，利用函数最值进而证明不等式成立.⑦【答案】（Ⅰ）当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【详解】（Ⅰ）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论：（1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,1)-∞-(1,1)-(1,)+∞()f x '-+-()f x所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增.（2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n -=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即，则0()()()F x f x f x -'''=由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()20()g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.a x x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1a x n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101a x x x x x n''-<-=+-.因为2n ≥，所以11112(11)111n n n C n n ---=+≥+=+-=，故1102n n x -≥=，所以2121a x x n-<+-.【解析】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.⑧【答案】（1）(()25log 10log 9f f >（2）当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点【解析】【分析】（1）利用导数判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，根据函数的单调性即可得出答案；（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数可求得()min 2f x a '=-，再分20a -≥和20a -<两种情况讨论，结合零点的存在性定理，从而可得出结论.【小问1详解】解：当1a =时，()()()1ln 1f x x x x =+--，()1ln 11ln x f x x x x x+'=+-=+，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，因为2445log 10log 10log 9log 91=>>>，所以(()25log 10log 9f f >；【小问2详解】解：()11ln ln 1x f x x a x a x x +'=+-=++-，令()1ln 1g x x a x =++-，则()()221110-'=-=>x g x x x x x，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()min 12g x g a ==-，即()min 2f x a '=-，①若20a -≥，即2a ≤，则()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上递增，因为()10f =，则1x =为()f x 的唯一零点；②若20a -<，即2a >，则()()min 10f x f ''=<，因为e 1a >，()1e 10e aaf '=+>，则()f x '在()1,+∞内仅有个零点，记为n ，因为0e 1a -<<，()e e 21a af a -'=-+设()e 21a h a a =-+，则当2a >时，()e 20ah a '=->，所以()h a 在()2,+∞内单调递增，从而()()22e 30h a h >=->，即()e 0af -'>，所以()f x 在()0,1内仅有一个零点，记为m ，于是，当()0,x m ∈或(),x n ∈+∞时，()0f x '>，当(),x m n ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),n +∞和()0,m 上递增，在(),m n 上递减，因为01m n <<<，()10f =，则()0f m >，()0f n <，故()f x 在(),m n 内有唯一零点，因为()()()e e 1e 12e 0aa a a f a a a ----=-+--=-<，则()f x 在()0,m 内有唯一零点，因为()()()e e 1e 120a a af a a a =+--=>，则()f x 在(),m +∞内有唯一零点，所以()f x 在()0,∞+内有3个零点.综上所述，当2a ≤时，()f x 有1个零点；当2a >时，()f x 有3个零点.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了利用导数研究函数的零点的问题，考查了二次求导，考查了学生的数据分析能力及分类讨论思想，属于难题.⑨【答案】（1）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得()'f x 解析式，即可得()h x 解析式，利用导数求得()h x 的单调区间和最小值，结合题意，即可得m 的范围.（2）求得()f x ''解析式，令22()1ln (0)m m t x m x x x x=++->，利用导数可得()t x 的单调性，根据零点存在性定理，可得存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得t (x 2)＝0，进而可得f '(x )在x ＝x 2处取得极小值，即x 1＝x 2，所以11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++-=∈ ⎪⎝⎭，令()1ln s x m x =+，分析可得s (x 1)＜0，即可得证【小问1详解】由题设知()e (1ln )x m f x m x x'=++，则1ln (())0h m m x x x x ++>=，所以22(1)()m m m x h x x x x -'=-=当x ＞1时，h '(x )＞0，则h (x )在区间(1，＋∞)是增函数，当0＜x ＜1时，h '(x )＜0，则h (x )在区间(0，1)是减函数，所以h (x )min ＝h （1）＝512m +≥，解得32m ≥，所以m 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【小问2详解】222e 1ln e )n (1l x x m m m m m m x m x x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫+++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'=⎭'令22()1ln (0)m m t x m x x x x=++->则2322()m m m t x x x x '=-+＝2233(1)1(22)0m x m x x x x ⎡⎤-+-+⎣⎦=>恒成立，所以t (x )在(0，＋∞)单调递增．又1(1)10,1l 3ln 20n 2122t m t m ⎛⎫=+>=-≤- ⎪⎝⎭<，所以存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得t (x 2)＝0，当x ∈(0，x 2)时，t '(x )＜0，即f ''(x )＜0，则f '(x )在(0，x 2)单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，t '(x )＞0，即f ''(x )＞0，则f '(x )在(x 2，＋∞)单调递增；所以f '(x )在x ＝x 2处取得极小值．即x 1＝x 2，所以t (x 1)＝0，即11211211ln 0,,12m m m x x x x ⎛⎫++-=∈ ⎪⎝⎭，所以1122111(12)21ln 0m x m m m x x x x -+=-=<，令()1ln s x m x =+，则s (x )在(0，＋∞)单调递增；所以s (x 1)＜0因为f (x )的零点为x 0，则01ln 0m x +=，即s (x 0)＝0所以s (x 1)＜s (x 0)，所以x 0＞x 1【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调区间，极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需结合零点存在性定理，判断零点所在区间，再进行分析和求解，属中档题.⑩【答案】（1）(],1-∞（2）若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点，证明见解析.【解析】【分析】(1)求导，然后，分别讨论0a ≤，01a <≤和1a >时的单调性即可.(2)根据(1)的结论，分别讨论590a -≤≤，01a <≤和1a >时零点的个数.【小问1详解】'()(1)e cos x f x x a x=+-①若0a ≤，当[0,]x π∈时，0a -≥，sin 0x ≥，()e ()sin 0x f x x a x =+-≥，当且仅当0x =时取等号，可见，0a ≤符合题意.②若01a <≤，当[0,]2x π∈时，0'()(1)e cos 10f x x a x a ≥+-≥-≥；当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，cos 0x <，'()(1)e (cos )0x f x x a x =++⋅->.可见，当[]0,x π∈时，'()0f x ≥，当且仅当1a =，且0x =时取等号.所以()f x 在[0,]π上单调递增，所以，()(0)0f x f ≥=.所以01a <≤符合题意.③若1a >，因为(1)e x y x =+在[]0,π上单调递增，cos y a x =-在[]0,π上单调递增，所以，'()(1)e cos x f x x a x =+-在[]0,π上单调递增，又'(0)10f a =-<，2'((1)e 022f πππ=+>，由零点存在定理及'()f x 的单调性，存在唯一的0(0,2x π∈，使得0'()0f x =.当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=，()f x 单调递减，所以，()(0)0f x f <=.可见，1a >不符合题意.综上，a 的取值范围是(],1-∞【小问2详解】①若590a -≤≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.当(),2x ∈ππ时，1sin 0x -≤<，0sin 1x <-≤，sin a x a -≥，又由e x y x =单调递增，则33()e sin e 3e 593 2.7590.0490x f x x a x a ππ=->+>->⨯-=>.可见，若590a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点.②若01a <≤，由(1)，(]0,x π∈时，()0f x >，()f x 在(]0,π内无零点.当(,2)x ππ∈时，sin 0x ->，()e (sin )0x x f x x a x xe =+->>.可见，若01a <≤，()f x 在(0,2)π内无零点.③若1a >，由(1)，存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当0(0,)x x ∈时，0'()'()0f x f x <=.()f x 单调递减；当0(,)x x π∈时，0'()'()0f x f x >=，()f x 单调递增.又(0)0f =，所以0()(0)0f x f <=.又()e 0f πππ=>，由零点存在定理及()f x 的单调性，存在唯一的10(,)x x π∈，使得1()0f x =.可见，()f x 在(]0,π内存在唯一的零点.当(,2)x ππ∈时，sin 0,sin 0x a x <->，所以，()e sin e 0x x f x x a x x =->>，所以，()f x 在(,2)ππ内没有零点，可见，()f x 在(0,2)π有且仅有1个零点.综上所述，若591a -≤≤，()f x 在(0,2)π内无零点；若1a >，()f x 在(0,2)π内有且仅有1个零点.【点睛】关键点睛：通过导数讨论含参函数的单调性时，要对参数进行分类讨论，分类讨论时，要注意做到不重不漏；讨论含参函数的零点个数时，要利用零点存在定理来讨论零点个数，利用零点存在定理讨论零点个数时，要注意结合单调性讨论，属于难题。

函数与导数例高考题汇编(含答案)

函数与导数高考题1.(安徽理3)设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x'-x,则f()=(A)-3 (B)- 1 (C)1 (D)3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法 .属容易题.【解析】f()= - f( - 1)= - 42( - 1)²- ( - 1)]= - 3 .故选A.2 . (安徽理10)函数f (x )=ax ”g 1- x )“在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ,n 的值可能是(A)m=1,n=1(B) m=1,n=2(C) m=2,n=1(D) m=3,n=1【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当m = 1 , n = 2 , f ( x ) = a x g ( 1 - x ) ² = n ( x ³ - 2 x ² + x ) ,则f ' ( x ) = a ( 3 x ² - 4 x + 1 ) , 由 ,结合图像可知函数应在递增，在递减，即在, 知 a 存在 . 故选 B .3.(安徽文5)若点(a,b)在y=lgx 图像上，a≠1,则下列点也在此图像上的是(A)(,b) (B)(10a,1 b) (C)(,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系 .【解析】由题意b = 1 g a , 2 b = 2 1 l g a = 1 g a ² , 即( a ² , 2 b )也在函数 y = l g x 图像上 .4 . (安徽文10) 函数f(x )=ax ”g (1 - . x )² 在区间(0,1)上的图像如图所示，则n 可能是 (A)1 (B) 2取得最大值，由f'(x)=a(3x²-4x+1)=0可知，(C) 3 (D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当7=1时，f(x)=axg(1-x)²=a(x³-2x²+x),则f(x)=a(3r²-4x+1)由f ( x ) = a ( 3 x ² 4 x + 1 ) = 0 可知，,结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由, 知a 存在. 故选A .7 . (福建理5) 等于A.1B.e- 1C. CD.e+1【答案】C8 . (福建理9 )对于函数f ( x ) = a s i n x + b x + c (其中，a , b ∈R , c ∈Z ) ,选取a , b , C 的一组值计算f ( )和f ( - 1 )所得出的正确结果一定不可能是A . 4和6B . 3和1C . 2和4D . 1和2【答案】D9 . ( 福建理1 0 ) 已知函数f ( x ) = e⁴+ x , 对于曲线y = f ( x ) 上横坐标成等差数列的三个点A , B , c , 给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B10.(福建文6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A.(- 1,1)B.(-2,2)C.(-o,-2)U(2,+o)D.(-o,- 1)U(1,+c)【答案】C11. (福建文8)已知函数 ,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】A12.(福建文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A.2B.3C. 6D. 9【答案】D13.(广东理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A . f(x)+1g(x)是偶函数B . f(x) - 1g(x)是奇函数c.if(x)\+g(x)是偶函数 D . i f ( x ) - g ( x )是奇函数【答案】A【解析】因为g(x)是R 上的奇函数，所以lg(x)是R 上的偶函数，从而f(x)+1g(x)是偶函数，故选A.14 . (广东文4)函的定义域是 ( )A.(-~,- 1)B.(1,+~) c.(- 1,1)U(1,+oo) D.(-0,+oo)【答案】C16.(湖北理6)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a¹-a ⁴+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)=A.2B.C.D. a² 【答案】B【解析】由条件f(2)+g(2)=a²-a²+2,f(-2)+g(-2)=a²-a²+2, 即-f(2)+g(2)=a²-a²+2, 由此解得g(2)=2,f(2)=a²-a-所以 a = 2 ,, 所以选 B18 . (湖南文7)曲线主点处的切线的斜率为( )A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】19.(湖南文8)已知函数f(x)=e¹-1,g(x)=-x²+4x -3.若有f(a)=g(b),则b 的取值范围为A.[2-√2,2+√2]B.(2-√2.2+√2)c.[1,3] p.(1,3)【答案】B【解析】由题可知f(x)=e ⁴- 1>- 1,g(x)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1≤1,若有f(a)=g(b),则g(b) ∈(- 1,1), 即-b²+4b-3>- 1,解得2-√Z<b<2+√2., 所以,y=020 . (湖南理6)由直线与曲线y=COSX 所围成的封闭图形的面积为( )A.2B.1C.D.√3 【答案】D【解析】由定积分知识可得, 故选 D 。

2024年高考数学真题分类汇编09：函数与导数(含详细答案解析)

函数与导数一、单选题1.(2024·全国)已知函数为f (x )=-x 2-2ax -a ,x <0e x+ln (x +1),x ≥0，在R 上单调递增，则a 取值的范围是()A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)2.(2024·全国)已知函数为f (x )的定义域为R ，f (x )>f (x -1)+f (x -2)，且当x <3时f (x )=x ，则下列结论中一定正确的是()A.f (10)>100B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<100003.(2024·全国)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24.(2024·全国)设函数f (x )=(x +a )ln (x +b )，若f (x )≥0，则a 2+b 2的最小值为()A.18B.14C.12D.15.(2024·全国)曲线f x =x 6+3x -1在0,-1 处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-326.(2024·全国)函数f x =-x 2+e x -e -x sin x 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为()A. B.C. D.7.(2024·全国)设函数f x =e x +2sin x1+x 2，则曲线y =f x 在0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.238.(2024·北京)已知x 1,y 1 ，x 2,y 2 是函数y =2x图象上不同的两点，则下列正确的是()A.log 2y 1+y 22>x 1+x22 B.log 2y 1+y 22<x 1+x22C.log 2y 1+y 22>x 1+x 2D.log 2y 1+y 22<x 1+x 29.(2024·天津)下列函数是偶函数的是()A.y=e x-x2x2+1B.y=cos x+x2x2+1C.y=e x-xx+1D.y=sin x+4xe|x|10.(2024·天津)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a11.(2024·上海)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x+cos xB.sin x cos xC.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x12.(2024·上海)已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M=x0x0∈R,x∈-∞,x0,f x <f x0，在使得M =-1,1的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x=2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x=-1处取到极小值二、多选题13.(2024·全国)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f x2C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x)14.(2024·全国)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则()A.当a>1时，f(x)有三个零点B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a，使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题15.(2024·全国)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=.16.(2024·全国)已知a>1，1log8a -1log a4=-52，则a=．17.(2024·全国)曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为．18.(2024·天津)若函数f x =2x2-ax-ax-2+1有唯一零点，则a的取值范围为．19.(2024·上海)已知f x =x,x>01,x≤0,则f3 =．四、解答题20.(2024·全国)已知函数f(x)=ln x2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0，且f (x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(3)若f (x )>-2当且仅当1<x <2，求b 的取值范围．21.(2024·全国)已知函数f (x )=e x -ax -a 3．(1)当a =1时，求曲线y =f (x )在点1,f (1) 处的切线方程；(2)若f (x )有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．22.(2024·全国)已知函数f x =a x -1 -ln x +1．(1)求f x 的单调区间；(2)若a ≤2时，证明：当x >1时，f x <e x -1恒成立．23.(2024·全国)已知函数f x =1-ax ln 1+x -x ．(1)当a =-2时，求f x 的极值；(2)当x ≥0时，f x ≥0恒成立，求a 的取值范围．24.(2024·北京)已知f x =x +k ln 1+x 在t ,f t t >0 处切线为l ．(1)若切线l 的斜率k =-1，求f x 单调区间；(2)证明：切线l 不经过0,0 ；(3)已知k =1，A t ,f t ，C 0,f t ，O 0,0 ，其中t >0，切线l 与y 轴交于点B 时．当2S △ACO =15S △ABO ，符合条件的A 的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95)25.(2024·天津)设函数f x =x ln x ．(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的取值范围；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．26.(2024·上海)若f x =log a x (a >0,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．27.(2024·上海)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ，令s x =(x -a )2+f x -b 2，若P x 0,f x 0 是s x取到最小值的点，则称P 是M 在f x 的“最近点”．(1)对于f (x )=1x(x >0)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P ，使得点P 是M 在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在f x 的“最近点”，且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直；(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x )，且函数g (x )在定义域R 上恒正，设点M 1t -1,f t -g t ，M 2t +1,f t +g t ．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．参考答案：1.B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为f x 在R上单调递增，且x≥0时，f x =e x+ln x+1单调递增，则需满足--2a2×-1≥0-a≤e0+ln1，解得-1≤a≤0，即a的范围是[-1,0].故选：B.2.B【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)，则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1)+ f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.3.D【分析】解法一：令F x =ax2+a-1,G x =cos x，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令h x =f(x)-g x ,x∈-1,1，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a=2，并代入检验即可.【解析】解法一：令f(x)=g x ，即a(x+1)2-1=cos x+2ax，可得ax2+a-1=cos x，令F x =ax2+a-1,G x =cos x，原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F0 =G0 ，即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F x =G x ，可得2x2+1-cos x=0因为x∈-1,1，则2x2≥0,1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意；综上所述：a=2.解法二：令h x =f(x)-g x =ax2+a-1-cos x,x∈-1,1，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4.C【分析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，分类讨论-a 与-b ,1-b 的大小关系，结合符号分析判断，即可得b =a +1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln (x +b )的符号，进而可得x +a 的符号，即可得b =a +1，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；若-a ≤-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-b <-a <1-b ，当x ∈-a ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-a =1-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a <0,ln x +b <0，此时f (x )>0；当x ∈1-b ,+∞ 时，可知x +a ≥0,ln x +b ≥0，此时f (x )≥0；可知若-a =1-b ，符合题意；若-a >1-b ，当x ∈1-b ,-a 时，可知x +a 0,ln x +b 0，此时f (x )<0，不合题意；综上所述：-a =1-b ，即b =a +1，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12；解法二：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；则当x ∈-b ,1-b 时，ln x +b <0，故x +a ≤0，所以1-b +a ≤0；x ∈1-b ,+∞ 时，ln x +b >0，故x +a ≥0，所以1-b +a ≥0；故1-b +a =0，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12.故选：C .【点睛】关键点点睛：分别求x +a =0、ln (x +b )=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5.A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】f x =6x 5+3，所以f 0 =3，故切线方程为y =3(x -0)-1=3x -1，故切线的横截距为13，纵截距为-1，故切线与坐标轴围成的面积为12×1×13=16故选：A .6.B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入x =1可得f 1 >0，可排除D .【解析】f -x =-x 2+e -x -e x sin -x =-x 2+e x -e -x sin x =f x ，又函数定义域为-2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又f 1 =-1+e -1e sin1>-1+e -1e sin π6=e 2-1-12e >14-12e>0，故可排除D .故选：B .7.A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】fx =ex+2cos x 1+x 2 -e x +2sin x ⋅2x1+x 22，则f0 =e 0+2cos0 1+0 -e 0+2sin0 ×01+02=3，即该切线方程为y -1=3x ，即y =3x +1，令x =0，则y =1，令y =0，则x =-13，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S =12×1×-13 =16.故选：A .8.A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设x 1<x 2，因为函数y =2x 是增函数，所以0<2x 1<2x 2，即0<y 1<y 2，对于选项AB ：可得2x1+2x 22>2x 1·2x 2=2x 1+x 22，即y 1+y 22>2x 1+x 22>0，根据函数y =log 2x 是增函数，所以log 2y 1+y 22>log 22x 1+x22=x 1+x22，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如x 1=0,x 2=1，则y 1=1,y 2=2，可得log 2y 1+y 22=log 232∈0,1 ，即log 2y 1+y 22<1=x 1+x 2，故C 错误；对于选项D ：例如x 1=-1,x 2=-2，则y 1=12,y 2=14，可得log 2y 1+y 22=log 238=log 23-3∈-2,-1 ，即log 2y 1+y 22>-3=x 1+x 2，故D 错误，故选：A .9.B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解析】对A ，设f x =e x -x 2x 2+1，函数定义域为R ，但f -1 =e -1-12，f 1 =e -12，则f -1 ≠f 1 ，故A 错误；对B ，设g x =cos x +x 2x 2+1，函数定义域为R ，且g -x =cos -x +-x 2-x 2+1=cos x +x 2x 2+1=g x ，则g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设h x =e x -xx +1，函数定义域为x |x ≠-1 ，不关于原点对称，则h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设φx =sin x +4x e |x |，函数定义域为R ，因为φ1 =sin1+4e ，φ-1 =-sin1-4e ，则φ1 ≠φ-1 ，则φx 不是偶函数，故D 错误.故选：B .10.B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为y =4.2x 在R 上递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a <1a >c ，故选：B 11.A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【解析】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．12.B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【解析】对于A ，若存在y =f (x )是偶函数, 取x 0=1∈[-1,1],则对于任意x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而f (-1)=f (1), 矛盾, 故A 错误；对于B ，可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ，当x <-1时，则f x =-2，当-1≤x ≤1时，f x ∈-1,1 ，当x >1时，f x =1，则该函数f x 的最大值是f 2 ，则B 正确；对C ，假设存在f x ，使得f x 严格递增，则M =R ，与已知M =-1,1 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在f x ，使得f x 在x =-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n ，使得f n >f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B .13.ACD【分析】求出函数f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数f x 在1,3 上的值域即可判断C ；直接作差可判断D .【解析】对A ，因为函数f x 的定义域为R ，而f x =2x -1 x -4 +x -1 2=3x -1 x -3 ，易知当x ∈1,3 时，f x <0，当x ∈-∞,1 或x ∈3,+∞ 时，f x >0函数f x 在-∞,1 上单调递增，在1,3 上单调递减，在3,+∞ 上单调递增，故x =3是函数f x 的极小值点，正确；对B ，当0<x <1时，x -x 2=x 1-x >0，所以1>x >x 2>0，而由上可知，函数f x 在0,1 上单调递增，所以f x >f x 2 ，错误；对C ，当1<x <2时，1<2x -1<3，而由上可知，函数f x 在1,3 上单调递减，所以f 1 >f 2x -1 >f 3 ，即-4<f 2x -1 <0，正确；对D ，当-1<x <0时，f (2-x )-f (x )=1-x 2-2-x -x -1 2x -4 =x -1 22-2x >0，所以f (2-x )>f (x )，正确；故选：ACD .14.AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为x =0,x =a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出f (x )在(-1,0),(0,a ),(a ,2a )上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，则f (x )=f (2b -x )为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【解析】A 选项，f (x )=6x 2-6ax =6x (x -a )，由于a >1，故x ∈-∞,0 ∪a ,+∞ 时f (x )>0，故f (x )在-∞,0 ,a ,+∞ 上单调递增，x ∈(0,a )时，f (x )<0，f (x )单调递减，则f (x )在x =0处取到极大值，在x =a 处取到极小值，由f (0)=1>0，f (a )=1-a 3<0，则f (0)f (a )<0，根据零点存在定理f (x )在(0,a )上有一个零点，又f (-1)=-1-3a <0，f (2a )=4a 3+1>0，则f (-1)f (0)<0,f (a )f (2a )<0，则f (x )在(-1,0),(a ,2a )上各有一个零点，于是a >1时，f (x )有三个零点，A 选项正确；B 选项，f (x )=6x (x -a )，a <0时，x ∈(a ,0),f (x )<0，f (x )单调递减，x ∈(0,+∞)时f (x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )在x =0处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，即存在这样的a ,b 使得f (x )=f (2b -x )，即2x 3-3ax 2+1=2(2b -x )3-3a (2b -x )2+1，根据二项式定理，等式右边(2b -x )3展开式含有x 3的项为2C 33(2b )0(-x )3=-2x 3，于是等式左右两边x 3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简f (1)=3-3a ，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，事实上，f (x )+f (2-x )=2x 3-3ax 2+1+2(2-x )3-3a (2-x )2+1=(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a ，于是6-6a =(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a即12-6a =012a -24=018-12a =6-6a，解得a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f (x )=2x 3-3ax 2+1，f (x )=6x 2-6ax ，f (x )=12x -6a ，由f (x )=0⇔x =a 2，于是该三次函数的对称中心为a 2,f a2，由题意(1,f (1))也是对称中心，故a2=1⇔a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：(1)f (x )的对称轴为x =b ⇔f (x )=f (2b -x )；(2)f (x )关于(a ,b )对称⇔f (x )+f (2a -x )=2b ；(3)任何三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是f (x )=0的解，即-b 3a ,f -b3a 是三次函数的对称中心15.ln2【分析】先求出曲线y =e x +x 在0,1 的切线方程，再设曲线y =ln x +1 +a 的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，求出y ，利用公切线斜率相等求出x 0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【解析】由y =e x +x 得y =e x +1，y |x =0=e 0+1=2，故曲线y =e x +x 在0,1 处的切线方程为y =2x +1；由y =ln x +1 +a 得y =1x +1，设切线与曲线y =ln x +1 +a 相切的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，由两曲线有公切线得y =1x 0+1=2，解得x 0=-12，则切点为-12,a +ln 12 ，切线方程为y =2x +12 +a +ln 12=2x +1+a -ln2，根据两切线重合,所以a -ln2=0，解得a =ln2.故答案为：ln216.64【分析】将log 8a ,log a 4利用换底公式转化成log 2a 来表示即可求解.【解析】由题1log 8a -1log a 4=3log 2a -12log 2a =-52，整理得log 2a 2-5log 2a -6=0，⇒log 2a =-1或log 2a =6，又a >1，所以log 2a =6=log 226，故a =26=64故答案为：64.17.-2,1【分析】将函数转化为方程，令x 3-3x =-x -1 2+a ，分离参数a ，构造新函数g x =x 3+x 2-5x +1,结合导数求得g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令x 3-3x =-x -1 2+a ，即a =x 3+x 2-5x +1，令g x =x 3+x 2-5x +1x >0 ,则g x =3x 2+2x -5=3x +5 x -1 ，令g x =0x >0 得x =1，当x ∈0,1 时，g x <0，g x 单调递减，当x ∈1,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，g 0 =1,g 1 =-2，因为曲线y =x 3-3x 与y =-x -1 2+a 在0,+∞ 上有两个不同的交点，所以等价于y =a 与g x 有两个交点，所以a ∈-2,1.故答案为：-2,1 18.-3,-1 ∪1,3【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数g x =2x 2-ax 与h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，则两函数图象有唯一交点，分a =0、a >0与a <0进行讨论，当a >0时，计算函数定义域可得x ≥a 或x ≤0，计算可得a ∈0,2 时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当a ∈0,2 时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当a <0时，按同一方式讨论即可得.【解析】令f x =0，即2x 2-ax =ax -2 -1，由题可得x 2-ax ≥0，当a =0时，x ∈R ，有2x 2=-2 -1=1，则x =±22，不符合要求，舍去；当a >0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥a 或x ≤0，当x ≤0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =2时，即4x +1=0，即x =-14，当a ∈0,2 ，x =-12+a 或x =12-a>0(正值舍去)，当a ∈2,+∞ 时，x =-12+a <0或x =12-a<0，有两解，舍去，即当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤0时有唯一解，则当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥a 时需无解，当a ∈0,2 ，且x ≥a 时，由函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在1a ,2a上单调递减，在2a ,3a上单调递增，令g x =y =2x 2-ax ，即x -a 2 2a 24-y 2a 2=1，故x ≥a 时，g x 图象为双曲线x2a 24-y 2a2=1右支的x 轴上方部分向右平移a2所得，由x2a 24-y 2a2=1的渐近线方程为y =±aa 2x =±2x ，即g x 部分的渐近线方程为y =2x -a 2，其斜率为2，又a ∈0,2 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x ≥2a 时的斜率a ∈0,2 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在a ,+∞ 上单调递增，故有1a <a 3a>a，解得1<a <3，故1<a <3符合要求；当a <0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥0或x ≤a ，当x ≥0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =-2时，即4x -1=0，即x =14，当a ∈-2,0 ，x =-12+a <0(负值舍去)或x =12-a0，当a ∈-∞,2 时，x =-12+a >0或x =12-a>0，有两解，舍去，即当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥0时有唯一解，则当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤a 时需无解，当a ∈-2,0 ，且x ≤a 时，由函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在2a ,1a上单调递减，在3a ,2a上单调递增，同理可得：x ≤a 时，g x 图象为双曲线x 2a 24-y 2a 2=1左支的x 轴上方部分向左平移a2所得，g x 部分的渐近线方程为y =-2x +a 2，其斜率为-2，又a ∈-2,0 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x <2a 时的斜率a ∈-2,0 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在-∞,a 上单调递减，故有1a >a 3a<a，解得-3<a <-1，故-3<a <-1符合要求；综上所述，a ∈-3,-1 ∪1,3 .故答案为：-3,-1 ∪1,3 .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数f x 的零点问题转化为函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.19.3【分析】利用分段函数的形式可求f 3 .【解析】因为f x =x ,x >01,x ≤0, 故f 3 =3，故答案为：3.20.(1)-2(2)证明见解析(3)b ≥-23【分析】(1)求出f x min =2+a 后根据f (x )≥0可求a 的最小值；(2)设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，可证P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n 也在函数的图像上，从而可证对称性；(3)根据题设可判断f 1 =-2即a =-2，再根据f (x )>-2在1,2 上恒成立可求得b ≥-23.【解析】(1)b =0时，f x =ln x2-x+ax ，其中x ∈0,2 ，则f x =1x +12-x =2x 2-x+a ,x ∈0,2 ，因为x 2-x ≤2-x +x 2 2=1，当且仅当x =1时等号成立，故f x min =2+a ，而f x ≥0成立，故a +2≥0即a ≥-2，所以a 的最小值为-2.，(2)f x =ln x2-x+ax +b x -1 3的定义域为0,2 ，设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n ，因为P m ,n 在y =f x 图象上，故n =ln m2-m+am +b m -1 3，而f 2-m =ln 2-m m +a 2-m +b 2-m -1 3=-ln m2-m +am +b m -1 3 +2a ，=-n +2a ，所以Q 2-m ,2a -n 也在y =f x 图象上，由P 的任意性可得y =f x 图象为中心对称图形，且对称中心为1,a .(3)因为f x >-2当且仅当1<x<2，故x=1为f x =-2的一个解，所以f1 =-2即a=-2，先考虑1<x<2时，f x >-2恒成立.此时f x >-2即为lnx2-x+21-x+b x-13>0在1,2上恒成立，设t=x-1∈0,1，则ln t+11-t-2t+bt3>0在0,1上恒成立，设g t =ln t+11-t-2t+bt3,t∈0,1，则g t =21-t2-2+3bt2=t2-3bt2+2+3b1-t2，当b≥0，-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0，故g t >0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当-23≤b<0时，-3bt2+2+3b≥2+3b≥0，故g t ≥0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当b<-23，则当0<t<1+23b<1时，g t <0故在0,1+2 3b上g t 为减函数，故g t <g0 =0，不合题意，舍；综上，f x >-2在1,2上恒成立时b≥-2 3 .而当b≥-23时，而b≥-23时，由上述过程可得g t 在0,1递增，故g t >0的解为0,1，即f x >-2的解为1,2.综上，b≥-2 3 .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.21.(1)e-1x-y-1=0(2)1,+∞【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；(2)解法一：求导，分析a≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知f (x)=e x-a有零点，可得a>0，进而利用导数求f x 的单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可.【解析】(1)当a=1时，则f(x)=e x-x-1，f (x)=e x-1，可得f(1)=e-2，f (1)=e-1，即切点坐标为1,e-2，切线斜率k=e-1，所以切线方程为y-e-2=e-1x-1，即e-1x-y-1=0.(2)解法一：因为f(x)的定义域为R，且f (x)=e x-a，若a≤0，则f (x)≥0对任意x∈R恒成立，可知f (x )在R 上单调递增，无极值，不合题意；若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，则g a =2a +1a>0，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ ；解法二：因为f (x )的定义域为R ，且f (x )=e x -a ，若f (x )有极小值，则f (x )=e x -a 有零点，令f (x )=e x -a =0，可得e x =a ，可知y =e x 与y =a 有交点，则a >0，若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，符合题意，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，因为则y =a 2,y =ln a -1在0,+∞ 内单调递增，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ .22.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x >1时，e x -1-2x +1+ln x >0即可.【解析】(1)f (x )定义域为(0,+∞)，f (x )=a -1x =ax -1x当a ≤0时，f (x )=ax -1x <0，故f (x )在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，x ∈1a,+∞ 时，f (x )>0，f (x )单调递增，当x ∈0,1a时，f (x )<0，f (x )单调递减.综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,+∞)上单调递减；a >0时，f (x )在1a ,+∞ 上单调递增，在0,1a上单调递减.(2)a ≤2，且x >1时，e x -1-f (x )=e x -1-a (x -1)+ln x -1≥e x -1-2x +1+ln x ，令g (x )=e x -1-2x +1+ln x (x >1)，下证g (x )>0即可.g (x )=e x -1-2+1x ，再令h (x )=g (x )，则h (x )=e x -1-1x2，显然h (x )在(1,+∞)上递增，则h (x )>h (1)=e 0-1=0，即g (x )=h (x )在(1,+∞)上递增，故g (x)>g (1)=e0-2+1=0，即g(x)在(1,+∞)上单调递增，故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0，问题得证23.(1)极小值为0，无极大值.(2)a≤-12【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数，就a≤-12、-12<a<0、a≥0分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】(1)当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，故f (x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln(1+x)-11+x+1，因为y=2ln(1+x),y=-11+x+1在-1,+∞上为增函数，故f (x)在-1,+∞上为增函数，而f (0)=0，故当-1<x<0时，f (x)<0，当x>0时，f (x)>0，故f x 在x=0处取极小值且极小值为f0 =0，无极大值.(2)f x =-a ln1+x+1-ax1+x-1=-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，设s x =-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，则s x =-ax+1-a+11+x2=-a x+1+a+11+x2=-ax+2a+11+x2，当a≤-12时，sx >0，故s x 在0,+∞上为增函数，故s x >s0 =0，即f x >0，所以f x 在0,+∞上为增函数，故f x ≥f0 =0.当-12<a<0时，当0<x<-2a+1a时，sx <0，故s x 在0,-2a+1 a上为减函数，故在0,-2a+1a上s x <s0 ，即在0,-2a+1 a上f x <0即f x 为减函数，故在0,-2a+1 a上f x <f0 =0，不合题意，舍.当a≥0，此时s x <0在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上f x <f0 =0恒成立，不合题意，舍；综上，a≤-1 2 .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.24.(1)单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)证明见解析(3)2【分析】(1)直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；(2)写出切线方程y-f(t)=1+k1+t(x-t)(t>0)，将(0,0)代入再设新函数F(t)=ln(1+t)-t1+t，利用导数研究其零点即可；(3)分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S ABO 得到13ln (1+t )-2t -15t1+t=0，再设新函数h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)研究其零点即可.【解析】(1)f (x )=x -ln (1+x ),f (x )=1-11+x =x1+x(x >-1)，当x ∈-1,0 时，f x <0；当x ∈0,+∞ ，f x >0；∴f (x )在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.则f (x )的单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)f (x )=1+k 1+x ，切线l 的斜率为1+k1+t，则切线方程为y -f (t )=1+k1+t (x -t )(t >0)，将(0,0)代入则-f (t )=-t 1+k 1+t,f (t )=t 1+k1+t ，即t +k ln (1+t )=t +t k 1+t ，则ln (1+t )=t 1+t ，ln (1+t )-t1+t =0，令F (t )=ln (1+t )-t1+t，假设l 过(0,0)，则F (t )在t ∈(0,+∞)存在零点.F (t )=11+t -1+t -t (1+t )2=t(1+t )2>0，∴F (t )在(0,+∞)上单调递增，F (t )>F (0)=0，∴F (t )在(0,+∞)无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).(3)k =1时，f (x )=x +ln (1+x ),f (x )=1+11+x =x +21+x>0.S △ACO =12tf (t )，设l 与y 轴交点B 为(0,q )，t >0时，若q <0，则此时l 与f (x )必有交点，与切线定义矛盾.由(2)知q ≠0.所以q >0，则切线l 的方程为y -t -ln t +1 =1+11+t x -t ，令x =0，则y =q =y =ln (1+t )-tt +1.∵2S △ACO =15S ABO ，则2tf (t )=15t ln (1+t )-t t +1，∴13ln (1+t )-2t -15t 1+t =0，记h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)，∴满足条件的A 有几个即h (t )有几个零点.h(t )=131+t -2-15(t +1)2=13t +13-2t 2+2t +1 -15(t +1)2=2t 2+9t -4(t +1)2=(-2t +1)(t -4)(t +1)2，当t ∈0,12 时，h t <0，此时h t 单调递减；当t ∈12,4 时，h t >0，此时h t 单调递增；当t ∈4,+∞ 时，h t <0，此时h t 单调递减；因为h (0)=0,h 120,h (4)=13ln5-20 13×1.6-20=0.8>0，h (24)=13ln25-48-15×2425=26ln5-48-725<26×1.61-48-725=-20.54<0，所以由零点存在性定理及h (t )的单调性，h (t )在12,4 上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h (t )有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.25.(1)y =x -1(2)2(3)证明过程见解析【分析】(1)直接使用导数的几何意义；(2)先由题设条件得到a =2，再证明a =2时条件满足；(3)先确定f x 的单调性，再对x 1,x 2分类讨论.【解析】(1)由于f x =x ln x ，故f x =ln x +1.所以f 1 =0，f 1 =1，所以所求的切线经过1,0 ，且斜率为1，故其方程为y =x -1.(2)设h t =t -1-ln t ，则h t =1-1t =t -1t，从而当0<t <1时h t <0，当t >1时h t >0.所以h t 在0,1 上递减，在1,+∞ 上递增，这就说明h t ≥h 1 ，即t -1≥ln t ，且等号成立当且仅当t =1.设g t =a t -1 -2ln t ，则f x -a x -x =x ln x -a x -x =x a 1x -1-2ln 1x=x ⋅g 1x.当x ∈0,+∞ 时，1x的取值范围是0,+∞ ，所以命题等价于对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0.一方面，若对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0，则对t ∈0,+∞ 有0≤g t =a t -1 -2ln t =a t -1 +2ln 1t ≤a t -1 +21t -1 =at +2t-a -2，取t =2，得0≤a -1，故a ≥1>0.再取t =2a ，得0≤a ⋅2a +2a 2-a -2=22a -a -2=-a -2 2，所以a =2.另一方面，若a =2，则对任意t ∈0,+∞ 都有g t =2t -1 -2ln t =2h t ≥0，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是2 .(3)先证明一个结论：对0<a -ab-1 1-a b+ln a =1+ln a ，所以ln a +11e时f x >0.所以f x 在0,1e 上递减，在1e,+∞ 上递增.不妨设x 1≤x 2，下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一：当1e≤x 1≤x 2<1时，有f x 1 -f x 2 =f x 2 -f x 1 <ln x 2+1 x 2-x 1 <x 2-x 1<x 2-x 1，结论成立；情况二：当0<x 1≤x 2≤1e时，有f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2.对任意的c ∈0,1e，设φx =x ln x -c ln c -c -x ，则φx =ln x +1+12c -x.由于φx 单调递增，且有φ c 2e1+12c=ln c2e1+12c+1+12c -c2e1+12c<ln1e1+12c+1+12c -c2=-1-12c +1+12c=0，且当x ≥c -14ln 2c-1 2，x >c 2时，由12c -x≥ln 2c -1可知φ x =ln x +1+12c -x >ln c 2+1+12c -x =12c -x-ln 2c -1 ≥0.所以φ x 在0,c 上存在零点x 0，再结合φ x 单调递增，即知0<x <x 0时φ x <0，x 0<x <c 时φ x >0.故φx 在0,x 0 上递减，在x 0,c 上递增.①当x 0≤x ≤c 时，有φx ≤φc =0；②当0<x <x 0时，由于c ln 1c =-2f c ≤-2f 1e =2e <1，故我们可以取q ∈c ln 1c,1 .从而当0<x <c1-q 2时，由c -x >q c ，可得φx =x ln x -c ln c -c -x <-c ln c -c -x <-c ln c -q c =c c ln 1c-q <0.再根据φx 在0,x 0 上递减，即知对0<x <x 0都有φx <0；综合①②可知对任意0<x ≤c ，都有φx ≤0，即φx =x ln x -c ln c -c -x ≤0.根据c ∈0,1e和0<x ≤c 的任意性，取c =x 2，x =x 1，就得到x 1ln x 1-x 2ln x 2-x 2-x 1≤0.所以f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2≤x 2-x 1.情况三：当0<x 1≤1e ≤x 2<1时，根据情况一和情况二的讨论，可得f x 1 -f 1e≤1e -x 1≤x 2-x 1，f 1e -f x 2 ≤x 2-1e ≤x 2-x 1.而根据f x 的单调性，知f x 1 -f x 2 ≤f x 1 -f 1e 或f x 1 -f x 2 ≤f 1e-f x 2 .故一定有f x 1 -f x 2 ≤x 2-x 1成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合f x 的单调性进行分类讨论.26.(1)x |1<x <2(2)a >1【分析】(1)求出底数a ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围．【解析】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ，故log a 4=2，故a 2=4即a =2(负的舍去)，而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数，故f 2x -2 <f x ，故0<2x -2<x 即1<x <2，故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，故2f ax =f x +1 +f x +2 有解，故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ，因为a >0,a ≠1，故x >0，故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解，由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解，令t =1x ∈0,+∞ ，而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ，故a 2>1即a >1.27.(1)证明见解析(2)存在，P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0)，利用基本不等式即可；(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，对两等式化简得f x 0 =-1g (t )，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t ，最后得到函数单调性.【解析】(1)当M (0,0)时，s x =(x -0)2+1x -0 2=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2，当且仅当x 2=1x 2即x =1时取等号，故对于点M 0,0 ，存在点P 1,1 ，使得该点是M 0,0 在f x 的“最近点”．(2)由题设可得s x =(x -1)2+e x -0 2=(x -1)2+e 2x ，则s x =2x -1 +2e 2x ，因为y =2x -1 ,y =2e 2x 均为R 上单调递增函数，则s x =2x -1 +2e 2x 在R 上为严格增函数，而s 0 =0，故当x <0时，s x <0，当x >0时，s x >0，故s x min =s 0 =2，此时P 0,1 ，而f x =e x ,k =f 0 =1，故f x 在点P 处的切线方程为y =x +1.而k MP =0-11-0=-1，故k MP ⋅k =-1，故直线MP 与y =f x 在点P 处的切线垂直．(3)设s 1x =(x -t +1)2+f x -f t +g t 2，s 2x =(x -t -1)2+f x -f t -g t 2，而s 1x =2(x -t +1)+2f x -f t +g t f x ，s 2x =2(x -t -1)+2f x -f t -g t f x ，若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，设P x 0,y 0 ，则x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则x 0也是两函数的极小值点，则存在x0,使得s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，即s 1 x 0 =2x 0-t +1 +2f x 0 f x 0 -f (t )+g (t ) =0①s 2 x 0 =2x 0-t -1 +2f x 0 f x 0 -f (t )-g (t ) =0②由①②相等得4+4g (t )⋅f x 0 =0，即1+f x 0 g (t )=0，即f x 0 =-1g (t )，又因为函数g (x )在定义域R 上恒正，则f x 0 =-1g (t )<0恒成立，接下来证明x 0=t ，因为x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，则s 1x 0 ≤s (t ),s 2x 0 ≤s (t )，即x 0-t +1 2+f x 0 -f t +g t 2≤1+g t 2，③x 0-t -12+f x 0 -f t -g t 2≤1+g t 2，④③+④得2x 0-t 2+2+2f x 0 -f (t ) 2+2g 2(t )≤2+2g 2(t )即x 0-t 2+f x 0 -f t 2≤0，因为x 0-t 2≥0,f x 0 -f t 2≥0则x 0-t =0f x 0 -f t =0，解得x 0=t ，则f t =-1g (t )<0恒成立，因为t 的任意性，则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t )，再利用最值点定义得到x 0=t 即可.。

高考数学真题分项汇编专题05 导数选择、填空(理科)(解析版)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编导数选择、填空目录题型一：导数的概念及其几何意义 ..................................... 1 题型二：导数与函数的单调性 ......................................... 8 题型三：导数与函数的极值、最值 ..................................... 9 题型四：导数与函数的零点 .......................................... 14 题型五：导数的综合应用 ............................................ 16 题型六：定积分 (20)题型一：导数的概念及其几何意义一、选择题1．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( )A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<【答案】D解析:在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y ′=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t −=−，即()1t ty e x t e +−，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e +−上，可得()()11t tt b ae t e a t e =+−=+−，令()()1t f t a t e =+−，则()()t f t a t e ′=−．当t a <时，()0f t ′>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t ′<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max a f t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a b f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点,故选D ．2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)函数43()2f xx x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为( )A ．21y x =−− B ．21y x =−+ C ．23y x =− D ．21y x =+ 【答案】B【解析】()432f x x x =− ，()3246f x x x ′∴=−，()11f ∴=−，()12f ′=−，因此，所求切线的方程为()121y x +=−−，即21y x =−+．故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D解析：设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =的导数为y ′=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x −−，即00x x −+=，由于直线l 与圆2215x y +==，两边平方并整理得2005410x x −−=，解得01x =，015x =−(舍)，则直线l 的方程为210x y −+=，即1122y x =+．故选：D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第6题)已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．,1a e b ==−B ．,1a e b ==C ．1,1a e b −==D ．1,1a e b −==−【答案】D【解析】由/ln 1x y ae x =++，根据导数的几何意义易得/1|12x y ae ==+=，解得1a e −=，从而得到切点坐标为(1,1)，将其代入切线方程2y x b =+，得21b +=，解得1b =−，故选D ．【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。

2024全国高考真题数学汇编：导数在研究函数中的应用

2024全国高考真题数学汇编导数在研究函数中的应用一、单选题1．（2024上海高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合 0000,,,M x x x x f x f x R ，在使得 1,1M 的所有 f x 中，下列成立的是（）A ．存在 f x 是偶函数B ．存在 f x 在2x 处取最大值C ．存在 f x 是严格增函数D ．存在 f x 在=1x 处取到极小值二、多选题2．（2024全国高考真题）设函数2()(1)(4)f x x x ，则（）A ．3x 是()f x 的极小值点B ．当01x 时， 2()f x f xC ．当12x 时，4(21)0f xD ．当10x 时，(2)()f x f x 3．（2024全国高考真题）设函数32()231f x x ax ，则（）A ．当1a 时，()f x 有三个零点B ．当0a 时，0x 是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b 为曲线()y f x 的对称轴D ．存在a ，使得点 1,1f 为曲线()y f x 的对称中心三、填空题4．（2024全国高考真题）曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题5．（2024全国高考真题）已知函数3()e x f x ax a ．(1)当1a 时，求曲线()y f x 在点 1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．6．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x ax x x ．(1)当2a 时，求 f x 的极值；(2)当0x 时， 0f x ，求a 的取值范围．7．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x a x x ．(1)求 f x 的单调区间；(2)当2a 时，证明：当1x 时， 1e x f x 恒成立．8．（2024上海高考真题）对于一个函数 f x 和一个点 ,M a b ，令 22()()s x x a f x b ，若 00,P x f x 是 s x 取到最小值的点，则称P 是M 在 f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x，求证：对于点 0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在 f x 的“最近点”；(2)对于 e ,1,0x f x M ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x 在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x 在定义域R 上存在导函数()f x ，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点11,M t f t g t ， 21,M t f t g t ．若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，试判断 f x 的单调性．9．（2024北京高考真题）设函数 ln 10f x x k x k ，直线l 是曲线 y f x 在点 ,0t f t t 处的切线．(1)当1k 时，求 f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点 0,0.(3)当1k 时，设点 ,0A t f t t ， 0,C f t ， 0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S △△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10 ，1.60ln51.61 ，1.94ln71.95 ）10．（2024天津高考真题）设函数 ln f x x x ．(1)求 f x 图象上点 1,1f 处的切线方程；(2)若 f x a x 在 0,x 时恒成立，求a 的值；(3)若 12,0,1x x ，证明 121212f x f x x x ．11．（2024全国高考真题）已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x (1)若0b ，且()0f x ，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x 是中心对称图形；(3)若()2f x 当且仅当12x ，求b 的取值范围．参考答案1．B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数2,1,111,1x f x x x x即可判断.【详解】对于A ，若存在()y f x 是偶函数,取01[1,1]x ,则对于任意(,1),()(1)x f x f ,而(1)(1)f f ,矛盾,故A 错误；对于B ，可构造函数 2,1,,11,1,1,x f x x x x满足集合 1,1M ，当1x 时，则 2f x ，当11x 时， 1,1f x ，当1x 时， 1f x ，则该函数 f x 的最大值是 2f ，则B 正确；对C ，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M R ，与已知 1,1M 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在 f x ，使得 f x 在=1x 处取极小值，则在1 的左侧附近存在n ，使得 1f n f ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．ACD【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数 f x 在 1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数 f x 的定义域为R ，而 22141313f x x x x x x ，易知当 1,3x 时， 0f x ，当 ,1x 或 3,x 时， 0f x 函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3上单调递减，在 3, 上单调递增，故3x 是函数 f x 的极小值点，正确；对B ，当01x 时， 210x x x x ，所以210x x ，而由上可知，函数 f x 在 0,1上单调递增，所以 2f x f x ，错误；对C ，当12x 时，1213x ，而由上可知，函数 f x 在 1,3上单调递减，所以 1213f f x f ，即 4210f x ，正确；对D ，当10x 时， 222(2)()12141220f x f x x x x x x x ，所以(2)()f x f x ，正确；故选：ACD.3．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ，由于1a ，故 ,0,x a 时()0f x ，故()f x 在 ,0,,a 上单调递增，(0,)x a 时，()0f x ，()f x 单调递减，则()f x 在0x 处取到极大值，在x a 处取到极小值，由(0)10 f ，3()10f a a ，则(0)()0f f a ，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a ，3(2)410f a a ，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a ，则()f x 在(1,0),(,2)a a 上各有一个零点，于是1a 时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ，a<0时，(,0),()0x a f x ，()f x 单调递减，,()0x 时()0f x ，()f x 单调递增，此时()f x 在0x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x ，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x ，根据二项式定理，等式右边3(2)b x 展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x ，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a ，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a ，于是266(126)(1224)1812a a x a x a即126012240181266a a a a，解得2a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax ，2()66f x x ax ，()126f x x a ，由()02a f x x ，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122a a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x ；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x 的解，即,33b b f aa是三次函数的对称中心4． 2,1 【分析】将函数转化为方程，令 2331x x x a ，分离参数a ，构造新函数 3251,g x x x x 结合导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 2331x x x a ，即3251a x x x ，令 32510,g x x x x x 则 2325351g x x x x x ，令 00g x x 得1x ，当 0,1x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 1,x 时， 0g x ， g x 单调递增， 01,12g g ，因为曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，所以等价于y a 与 g x 有两个交点，所以 2,1a .故答案为：2,1 5．(1) e 110x y (2)1, 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e x f x a 有零点，可得0a ，进而利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e 1x f x x ，()e 1x f x ，可得(1)e 2f ，(1)e 1f ，即切点坐标为 1,e 2 ，切线斜率e 1k ，所以切线方程为 e 2e 11y x ，即 e 110x y .（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若0a ，则()0f x 对任意x R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，则 120g a a a，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, ；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若()f x 有极小值，则()e x f x a 有零点，令()e 0x f x a ，可得e x a ，可知e x y 与y a 有交点，则a ，若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，符合题意，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，因为则2,ln 1y a y a 在 0, 内单调递增，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, .6．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a 、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(12)ln(1)f x x x x ，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x，因为12ln(1),11y x y x在 1, 上为增函数，故()f x 在 1, 上为增函数，而(0)0f ，故当10x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，故 f x 在0x 处取极小值且极小值为 00f ，无极大值.（2） 11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x，设 1ln 1,01a x s x a x x x，则222111211111a a x a a ax a s x x x x x ，当12a 时， 0s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s ，即 0f x ，所以 f x 在 0, 上为增函数，故 00f x f .当102a 时，当0x 0s x ，故 s x 在210,a a 上为减函数，故在210,a a上 0s x s ，即在210,a a上 0f x 即 f x 为减函数，故在210,a a上 00f x f ，不合题意，舍.当0a ，此时 0s x 在 0, 上恒成立，同理可得在 0, 上 00f x f 恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x 时，1e 21ln 0x x x 即可.【详解】（1）()f x 定义域为(0,) ，11()ax f x a x x当0a 时，1()0ax f x x，故()f x 在(0,) 上单调递减；当0a 时，1,x a时，()0f x ，()f x 单调递增，当10,x a时，()0f x ，()f x 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,) ；0a 时，()f x 的单调递增区间为1,a ，单调递减区间为10,a.（2）2a ，且1x 时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ，令1()e 21ln (1)x g x x x x ，下证()0g x 即可.11()e 2x g x x ，再令()()h x g x ，则121()e x h x x，显然()h x 在(1,) 上递增，则0()(1)e 10h x h ，即()()g x h x 在(1,) 上递增，故0()(1)e 210g x g ，即()g x 在(1,) 上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g ，问题得证8．(1)证明见解析(2)存在，0,1P (3)严格单调递减【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得 22(1)e x s x x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到 10200s x s x ，对两等式化简得 01()f xg t ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t ，最后得到函数单调性.【详解】（1）当(0,0)M 时， 222211(0)02s x x x x x ，当且仅当221x x 即1x 时取等号，故对于点 0,0M ，存在点 1,1P ，使得该点是 0,0M 在 f x 的“最近点”．（2）由题设可得 2222(1)e 0(1)e x x s x x x ，则 2212e x s x x ，因为 221,2e x y x y 均为R 上单调递增函数，则 2212e xs x x 在R 上为严格增函数，而 00s ，故当0x 时， 0s x ，当0x 时， 0s x ，故 min 02s x s ，此时 0,1P ，而 e ,01x f x k f ，故 f x 在点P 处的切线方程为1y x .而01110MP k ，故1MP k k ，故直线MP 与 y f x 在点P 处的切线垂直．（3）设 221(1)()s x x t f x f t g t ，222(1)()s x x t f x f t g t ，而 12(1)2()s x x t f x f t g t f x ， 22(1)2()s x x t f x f t g t f x ，若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，设 00,P x y ，则0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点，则存在0x ,使得 10200s x s x ，即 10000212()()0s x x t f x f x f t g t ① 20000212()()0s x x t f x f x f t g t ②由①②相等得 044()0g t f x ，即 01()0f x g t ，即 01()f x g t，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正，则 010()f xg t 恒成立，接下来证明0x t ，因为0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，则 1020(),()s x s t s x s t ，即 2220011x t f x f t g t g t ，③ 2220011x t f x f t g t g t ，④③ ④得 222200222()2()22()x t f x f t g t g t 即 22000x t f x f t ，因为 2200,00x t f x f t 则 0000x t f x f t，解得0x t ，则 10()f tg t 恒成立，因为t 的任意性，则 f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 01()f x g t，再利用最值点定义得到0x t 即可.9．(1)单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k ，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t ，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S 得到13ln(1)21501t t t t ，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x，当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x ，()0f x ¢>；()f x 在(1,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .（2）()11k f x x ，切线l 的斜率为11k t，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t，即ln(1)1k t k t t tt ，则ln(1)1t t t ，ln(1)01t t t ，令()ln(1)1t F t t t，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t 存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t ，()F t 在(0,) 上单调递增，()(0)0F t F ，()F t 在(0,) 无零点，与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k 时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x.1()2ACO S tf t ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t 时，若0q ，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q .所以0q ，则切线l 的方程为 111ln 1x t y t t t，令0x ，则ln(1)1t y q y t t.215ACO ABO S S ，则2()15ln(1)1t tf t t t t，13ln(1)21501t t t t ，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t，满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t ，当10,2t时， 0h t ，此时 h t 单调递减；当1,42t时， 0h t ，此时 h t 单调递增；当 4,t 时， 0h t ，此时 h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.10．(1)1y x (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a ，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于 ln f x x x ，故 ln 1f x x .所以 10f ， 11f ，所以所求的切线经过 1,0，且斜率为1，故其方程为1y x .（2）设 1ln h t t t ，则 111t h t t t，从而当01t 时 0h t ，当1t 时 0h t .所以 h t 在 0,1上递减，在 1, 上递增，这就说明 1h t h ，即1ln t t ，且等号成立当且仅当1t .设 12ln g t a t t ，则ln 1f x a x x x a x x a x g .当 0,x0, ，所以命题等价于对任意 0,t ，都有 0g t .一方面，若对任意 0,t ，都有 0g t ，则对 0,t 有112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t，取2t ，得01a ，故10a .再取t，得2022a a a，所以2a .另一方面，若2a ，则对任意 0,t 都有 212ln 20g t t t h t ，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b ，有 ln 1ln 1f b f a a b b a.证明：前面已经证明不等式1ln t t ，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b，所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a，即 ln 1ln 1f b f a a b b a.由 ln 1f x x ，可知当10e x 时 0f x ，当1ex 时()0f x ¢>.所以 f x 在10,e上递减，在1,e上递增.不妨设12x x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x 时，有122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x ，结论成立；情况二：当1210e x x 时，有 12121122ln ln f x f x f x f x x x x x .对任意的10,e c，设ln ln x x x c cln 1x x 由于 x单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c，且当2124ln 1x c c，2cx2ln 1c 可知2ln 1ln 1ln 102c x x c.所以 x 在 0,c 上存在零点0x ，再结合 x 单调递增，即知00x x 时 0x ，0x x c 时 0x .故 x 在 00,x 上递减，在 0,x c 上递增.①当0x x c 时，有 0x c ；②当00x x112221e e f f c，故我们可以取1,1q c .从而当201cx q1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c.再根据 x 在 00,x 上递减，即知对00x x 都有 0x ；综合①②可知对任意0x c ，都有 0x ，即ln ln 0x x x c c .根据10,e c和0x c 的任意性，取2c x ，1x x，就得到1122ln ln 0x x x x .所以12121122ln ln f x f x f x f x x x x x 情况三：当12101e x x时，根据情况一和情况二的讨论，可得11e f x f21e f f x而根据 f x 的单调性，知 1211e f x f x f x f或 1221e f x f x f f x .故一定有12f x f x 成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论.11．(1)2 (2)证明见解析(3)23b【分析】（1）求出 min 2f x a 后根据()0f x 可求a 的最小值；（2）设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，可证 ,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n 也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断 12f 即2a ，再根据()2f x 在 1,2上恒成立可求得23b .【详解】（1）0b 时， ln 2xf x ax x，其中 0,2x ，则112,0,222f x a a x x x x x，因为 22212x x x x，当且仅当1x 时等号成立，故 min 2f x a ，而 0f x 成立，故20a 即2a ，所以a 的最小值为2 .，（2） 3ln12x f x ax b x x的定义域为 0,2，设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n ，因为 ,P m n 在 y f x 图象上，故 3ln 12m n am b m m，而 3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m，2n a ，所以 2,2Q m a n 也在 y f x 图象上，由P 的任意性可得 y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a .（3）因为 2f x 当且仅当12x ，故1x 为 2f x 的一个解，所以 12f 即2a ，先考虑12x 时， 2f x 恒成立.此时 2f x 即为 3ln21102x x b x x在 1,2上恒成立，设 10,1t x ，则31ln201t t bt t在 0,1上恒成立，设 31ln2,0,11t g t t bt t t，则2222232322311t bt b g t bt t t，当0b ，232332320bt b b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当203b 时，2323230bt b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当23b ，则当01t 时， 0g t故在上 g t 为减函数，故 00g t g ，不合题意，舍；综上， 2f x 在 1,2上恒成立时23b .而当23b 时，而23b 时，由上述过程可得 g t 在 0,1递增，故 0g t 的解为 0,1，即 2f x 的解为 1,2.综上，23b .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.。

导数10 大题(单调性)中下4-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

导数——大题——单调性4：1. （2022年山东临沂J15）已知函数ln ()(exx kf x k +=为常数，e 2.71828=…是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线与x 轴平行．2. （1）求k 的值；3. （2）求()f x 的单调区间；（①）（单调性，易；第三问，未；）4. （3）设2()()()g x x x f x =+'，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2()1e g x -<+．5. （2022年山东威海三模J27）已知函数()2ln a f x x x x=-+． 6. （1）当34a =时，求()f x 的单调区间；（②）（单调性，中下；第二问，未；） 7. （2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，从下面两个结论中选一个证明．8. ①()()21212f x f x x x a-<--； ②()222ln 223f x a <+-．9. （2022年山东济宁三模J42）已知函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .10. （1（当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；（③）11. （2（若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.12. （单调性，最值，中下；第二问，未；）13. （2022年山东实验中学J46）已知函数()e sin xf x x =⋅.14. (1)求函数()f x 的单调区间；（④）15. (2)如果对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围；16. (3)设函数()()20152017e cos ,,22xF x f x x x ππ⎡⎤=+⋅∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值. 17. （单调性，中下；第二问，未；）1.（2022年广东韶关二模J06）(本小题满分12分) 已知f(x)=e x．;（⑤）2.(1)求证：当x>0时，f(x)>1+x+x223.(2)若不等式f(x)≥2x ln x+mx+1，（其中m∈R）恒成立时，实数m的取值范围为(-∞，t]，4.求证：t>23．（单调性，最值，切线放缩，中下；第二问，未；）20①【答案】（1）1k =；（2）()f x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题设求导函数()f x '，再由(1)0f '=求参数k 值. （2）由（1）得1ln ()e xx x xf x x --'=且,()0x ∈+∞，构造函数()1ln h x x x x =--，结合导数研究()h x 的符号，进而求()f x 的单调区间.（3）由题设只需证2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++在(0,)+∞上恒成立，由（2）易得21ln 1e x x x ---≤+，再构造()e (1)x m x x =-+并应用导数判断e ),(1xx +的大小关系，即可证结论. 【小问1详解】由题设，1ln ()e xkx x xf x x --'=，,()0x ∈+∞，又()y f x =在(1,(1)f )处的切线与x 轴平行，即1(1)0ekf -'==， 1k ∴=.【小问2详解】由（1）得：1ln ()e xx x xf x x --'=，,()0x ∈+∞，令()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞，当(0,1)x ∈时，()0h x >，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，又e 0x >，(0,1)x ∴∈时，()0f x '>，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)递增，在(1,)+∞递减；【小问3详解】由2()()()g x x x f x =+'，即1()(1ln )e xx g x x x x +=--，,()0x ∈+∞， 0x ∴∀>，22e ()1e 1ln (1e )1xg x x x x x --<+⇔--<++，由（2），对于()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞， ()ln 2h x x ∴'=--，,()0x ∈+∞，2(0,e )x -∴∈时()0h x '>，()h x 递增，2(e x -∈,)∞+时()0h x <，()h x 递减，22max ()(e )1e h x h --∴==+，即21ln 1e x x x ---≤+，设()e (1)xm x x =-+，则0()e 1e x x m x e '=-=-，(0,)x ∴∈+∞时()0m x '>，()m x 递增，即()(0)0m x m >=，则e 11x x >+，综上，22e 1ln 1e (1e )1x x x x x----≤+<++，故0x ∀>，()21e g x -<+，得证．【点睛】关键点点睛：第三问，应用分析法转化为证明2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++在(0,)+∞上恒成立，结合（2）中()h x 的单调性得到21ln 1e x x x ---≤+，再判断e ),(1x x +的大小关系.②【答案】（1）()f x 的单增区间为13,22⎛⎫⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）若选①，不等式转化为证明212121ln ln x x x x ax x -<=-，变形为证明2212111212lnx x x x x x x x <=1()2ln ,1h t t t t t=-+>，即可证明；若选②，首先根据函数有两个极值点，证得212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，再变换为()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+，通过构造函数，利用导数，即可证明. 【小问1详解】22222()1(0)a x x af x x x x x-+-'=--=>，当34a =时，2222232483(21)(23)4()44x x x x x x f x x x x -+--+--==--'=，令()0f x '>，解得1322x <<；令()0f x '<，解得102x <<或32x >，所以()f x 的单增区间为13,22⎛⎫⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】证明①：由题意知，12,x x 是220x x a -+=的两根，则12122x x x x a +=⎧⎨=⎩，()()()()()122121211221212ln ln a x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=--，将12x x a =代入得，()()()212121212ln ln 2f x f x x x x x x x --=---，要证明()()21212f x f x x x a -<--，只需证明()21212ln ln 22x x x x a--<--，即212121ln ln x x x x ax x -<=-，因为120x x <<，所以210x x ->，只需证明2212111212lnx x x x x x x x <= 21x t x =，则1t >，只需证明21ln t t t <-，即12ln 0(1)t t t t-+<>，令1()2ln ,1h t t t t t=-+>，22221(1)()10t h t t t t--=--=<'，所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，可得()(1)0h t h <=，所以12ln 0(1)t t t t-+<>，综上可知，()()21212f x f x x x a-<--．证明②：22222()1(0)a x x af x x x x x -+-'=--=>设2()2g x x x a =-+-，因为()f x 有两个极值点，所以Δ440(0)0a g =->⎧⎨<⎩，解得01a <<，因为(2)0,(1)10g a g a =-<=->，所以212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，由题意可知22220x x a -+-=，可得2222a x x =-+代入得，()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+，令2210()2ln 2(12)33h x x x x x =+-+<<， 24102(1)(23)()333x x h x x x x--=+-='，当31,,()02x h x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭'，所以()h x 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当3,2,()02x h x ⎛⎫∈>⎪⎝⎭'，所以()h x 在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调速增，因为212x <<，所以()2max{(1),(2)}h x h h <，由2(1),(2)2ln 223h h =-=-，可得()22ln8ln (2)(1)03e h h --=>，所以(2)(1)h h >，所以()2(2)h x h <，所以()222ln 223f x a -<-，即()222ln 223f x a <+-．③【答案】（1）证明见解析；（2）e 21a -<< 【解析】【分析】（1）构造函数()()()()=e 21g x f x x ---，证得min ()0g x ≥即可；（2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定. 小问1详解】证明：当0a =时，设()()()()=e 21(e 1)(ln 1)g x f x x x x ---=---，1()(e 1)x g x x-'=-，由()001g x x '<⇒<<，()01g x x '>⇒>，可得()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，则()0g x ≥，即()()()e 21f x x ≥--；【小问2详解】函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，(1)0,(e)0f f ==，若函数()f x 在()1,e 内有零点，则函数()f x 在()1,e 内至少有两个极值点，即()f x '在()1,e 内至少有两个变号零点.2ln e 12ln e 1()1a x a x a x a f x x x x----++'=--=，等价于()2ln e 1h x x a x a =--++在()1,e 内至少有两个变号零点，22()1a x ah x x x-'=-=，()1,e x ∈，当12a ≤或e 2a ≥时，()0h x '≥或()0h x '≤恒成立，则()h x 在()1,e 上单调，不合题意；当122ea <<时，由()012h x x a '<⇒<<，()02e h x a x '>⇒<<，可得()h x 在(1,2)a 单调递减，在(2,e)a 上单调递增，所以当(1)0)(e)0(2)0h h h a >⎧⎪>⎨⎪<⎩时，()h x 在()1,e 内有两个变号零点且最多两个，即2e 01032ln 2e 10a a a a a -+>⎧⎪->⎨⎪--+<⎩，令2t a =，()1,e t ∈，设31()ln e 1()ln 0e 22F t t t t F t t t '=--+⇒=-=⇒=(e t ∈时，()0F t '>，()F t 单调递增，当)e,e t ∈时，()0F t '<，()F t 单调递减，所以max 3()(e)e e e e 1e e 102F t F ==+=+<，即32ln 2e 10a a a --+<在122ea <<上恒成立，所以e 21a -<<.此时()0h x =即()0f x '=有两个零点，设为121e x x <<<，当()11,x x ∈和()2,e x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以1()(1)0f x f >=，2()(e)0f x f <=，则()f x 在()12,x x 上有零点，综上可得：e 21a -<<. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．④【答案】(1)()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)(],1-∞ (3)1008π【分析】（1）对函数求导()π2sin 4xf x e x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数()F x 过点1,02M π-⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程，各切点的横坐标满足00πtan 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0x 为函数1tan y x =和2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，从而根据对称性得出结果. (1)（()()πsin cos 2sin 4x xf x e x x e x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，增区间应满足：()0f x '>，22,4k x k k z ππππ≤+≤+∈减区间应该满足：()0f x '<，222,4k x k k z πππππ+≤+≤+∈（()f x 的增区间为()π3π2π,2π44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；减区间为()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，（()()sin cos xg x e x x k '=+-令()()sin cos x h x e x x =+，则()2cos 0xh x e x '=≥对π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，（()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()π21,h x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，（()()min 00g x g ==，（1k ≤满足题意；（当π21k e <<时，()0g x '=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实根0x ，()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，（()0(0)0g x g <=不符合题意；（当π2k e ≥时，()0g x '≤恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，（()()00g x g <=不符合题意，（1k ≤，即(],1k ∈-∞. (3)（()()()cos sin cos x x F x f x e x e x x =+=+（()2cos xF x e x '=，设切点坐标为()()0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos xF x e x '=，从而切线方程为()()000000sin cos 2cos xxy e x x e x x x -+=-，（()0000000π1πsin cos 2cos tan 222x xex x e x x x x -⎛⎫⎛⎫-+=-⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1tan y x =，2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，又在2015π2017π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π. （1008πS =.⑤第11页共11页。

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。

考点：函数的奇偶性。

2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。

若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。

又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。

由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。

3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。

高考文科数学试题分类汇编----函数与导数

函数与导数一选择题（辽宁文）（11）函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（A ）（1-，1）（B ）（1-，+∞）（C ）（∞-，1-）（D ）（∞-，+∞）（重庆文）3．曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 A ．31y x =- B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =（重庆文）6．设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是A ．a b c <在x a =处取最小值，则a =A．1+ B．1 C ．3D ．4（辽宁文）（6）若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a =（A ）21 （B ）32 （C ）43（D ）1 （上海文）15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为 A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =（全国新课标文）（3）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -=（全国新课标文）（10）在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（A ）1(,0)4- （B ）1(0,)4 （C ）11(,)42 （D ）13(,)24（全国新课标文）（12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（A ）10个（B ）9个（C ）8个（D ）1个（全国大纲文）2．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥（全国大纲文）10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．12（湖北文）3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e +=，则()g x =A ．xxe e-- B ．1()2x xe e -+ C ．1()2xx e e -- D ．1()2x xe e -- （福建文）6．若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围 A ．（-1,1） B ．（-2,2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞）（福建文）8．已知函数f （x ）=。

高考数学分类汇编函数(包含导数)

高考数学分类汇编函数(包含导数)一、选择题1.（市回民中学2008-2009学年度上学期高三第二次阶段测试文科）函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（1，e ）答案：B.2（市回民中学2008-2009学年度上学期高三第二次阶段测试文科）具有性质：1()()f f x x =-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①1y x x=-；②1y x x =+；③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有① 答案：B.3.（二中2009届高三期末数学试题）已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数x b a x a x x f ⋅++=23||2131)(在R 上有极值，则与的夹角围为（） A ．)6,0[π B ．],6(ππC ．],3(ππD ．2[,]33ππ答案：C.4.（二中2009届高三期末数学试题）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，都有(1)(3)f x f x -=+。

当[4,6]x ∈时，()21x f x =+，设函数()f x 在区间[2,0]-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -的值为 A ．2log 3- B ．22log 3- C ．212log 3-D ．232log 3-答案：D.5.（省二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知),(,)1(log )1()3()(+∞-∞⎩⎨⎧≥<--=是x x x ax a x f a 上是增函数，那么实数a 的取值围是（）A ．（1，+∞）B ．（3,∞-）C ．)3,23[D ．（1，3）答案：C.6.（省二中2008—2009学年上学期高三期中考试）若关于x 的方程,01)11(2=+++xx a ma （a>0，且1≠a ）有解，则m 的取值围是（） A ．)0,31[- B ．]1,0()0,31[ - C ．]31,(--∞D ．),1(+∞答案：A.7.（省二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，都有)3()1(+=-x f x f 。

(完整版)高考导数专题(含详细解答)

导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点处的切线方程为（）。

A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。

对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，因此切线方程为即。

故本题正确答案为B 。

2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分）设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。

导数14 大题(单调性分类讨论)2-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

第1页共22页导数——大题——单调性分类讨论：1.（2022年湖南衡阳八中J27）已知a ∈R ，函数()()ln 1f x x a x =+-，()xg x e =．2.(1)讨论()f x 的单调性；（①）3.(2)过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ，求证：存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数；4.(3)若函数()()2h x x a f x =+-的图象与x 轴交于两点()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<．设012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，0μλ≥>，试判断函数()h x 在点()()00,M x h x 处的切线斜率的正负，并说明理由．（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）5.（2022年湖南衡阳八中J28）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.6.（I ）讨论f (x )的单调性；（②）7.（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

（单调性分类讨论，简单的二次函数，中下；第二问，未；）8.（2022年湖南永州J30）已知函数()()e xf x a x a =-∈R .9.（1）求()f x 的极值；（③）10.（2）若()21121212e e 0t tat at t t t t ==<<时，()1220t t t λλ-+>恒成立，求实数λ的取值范围．11.（单调性，极值，ex ，分类讨论，中下；第二问，未；）12.（2022年湖南岳阳一中J34）已知函数()()()ln 2f x a x x a R =+-∈.13.（1）讨论()f x 的单调性和最值；（④）14.（2）若关于x 的方程21e ln (0)2xm m m m x =->+有两个不等的实数根12,x x ，求证：122e e x x m+>.15.（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）1.（2022年广东中山三模J25）已知函数()e ()=-∈R x f x ax a ．第2页共22页2.（1）讨论()f x 的单调性．（⑤）（单调性分类讨论，涉及ex ，中下；第二问，未；）3.（2）若0a =，证明：对任意的1x >，都有432()3ln f x x x x x ≥-+．1.（2022年山东泰安J10）已知函数()()ln f x g x x =-.（⑥）2.（1）若函数21()ln 2g x x ax a x =++，讨论()f x 的单调性.3.（2）若函数2211()ln 2g x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，证明：1ln 2()2f x +>.4.（单调性分类讨论，二次函数可因式分解，中下；第二问，未；）5.（2022年山东J53）已知函数()()1ln 0f x a x x x=+>．6.（1）讨论函数()f x 的单调性；（⑦）（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）7.（2）若存在1x ，2x 满足120x x <<，且121x x =+，()()12f x f x =，求实数a 的取值范围．8.（2022年山东聊城一模J40）已知函数()()2ln ,f x ax x g x x nx m =-=-+.9.（1）讨论()f x 的单调性；（⑧）（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）10.（2）当104a <<时，若对于任意的0x >，都有()()0f x g x ，求证：2ln 4nm <<.11.（2022年山东菏泽一模J37）已知函数()1e xf x ax -=-．12.（1）讨论()f x 的单调性；（⑨）（单调性分类讨论，涉及ex ，中下；第二问，未；）13.（2）若()224a f x x -≥对于任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．1.（2022年山东猜想J54）已知函数()()1ln f x a x a R x=+∈，()21g x x x x =--.2.（1）讨论()f x 的单调性；（⑩）3.（2）若函数()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，且曲线()y F x =在12x x x =第3页共22页方程为()y G x =，求使不等式()()F x G x <成立的x 的取值范围.4.（单调性分类讨论，一次函数，中下；第二问，未；）5.（2022年江苏南京六校联调J03）已知函数x a e x f x)1()(-+=，x x ax x g cos sin )(++=6.（1）求函数)(x f 的最值；（⑪）（单调性分类讨论，最值，涉及ex ，中下；第二问，未；）7.（2）令)()()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间),4(+∞-π上的零点个数，并说明理由．4.（2022年广东深圳一模J23）已知函数()()22ln 121f x x a x ax =-+-+（a R ∈）．5.（1）求函数()f x 的单调区间；（⑫）6.（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ．7.（i ）求实数a 的取值范围；8.（ii ）求证：1211a x x +>+（单调性分类讨论，二次函数可因式分解，中下；第二问，未；）①【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)函数()h x 在点()()00,M x h x 处的切线斜率为正．理由见解析．【分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）由导数求得2l 的斜率，从而得1l 的斜率为1e，设()f x 的切点坐标为00(,)x y ，利用导数几何意义得000()y f x x '=得出关于a 的方程，再引入新函数，利用导数证明此方程有正数解；（3）求出()h x ，()h x '，由12()()0h x h x -=得出用12,x x 表示a 的式子，0()h x '中就消去了a ，通过设12x t x =，得到关于t 的函数，而且(0,1)t ∈，利用不等式的性质和导数的知识确定其正负即可．(1)()f x 的定义域是(0,)+∞，1()f x a x'=-，0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞递增，0a >时，10x a <<时，()0f x '>，1x a >时，()0f x '<，()f x 的增区间是1(0,a，减区间是1(,)a+∞．(2)1()f x a x'=-，()e x g x '=，设()g x 的切线方程是y kx =，则e x k =，显然0k >，ln x k =，切点为(ln ,)k k ，于是ln kk k=，解得e =k ，所以2l 的斜率为e ，于是1l 的斜率为1e设()f x 的切点坐标为00(,)x y ，由011e a x -=，0e e 1x a =+，又00()1e f x x =，所以e e 1eln (1)e 1e 1e e 1a a a a +-=⨯+++，整理得ln(e 1)a a =+，设()ln(e 1)G x x x =+-，e e 1e ()1e 1e 1xG x x x --'=-=++，当e 10e x -<<时，()0G x '>，()G x 递增，而(0)0G =，所以e 1()0eG ->，e 1ex ->时，()0'<G x ，()G x 递减，又343(e )ln(e 1)e 580G =+-<-<，所以存在30e 1(,e )ex -∈，使得0()0G x =，因此关于a 的方程ln(e 1)a a =+有正数解．所以存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数；(3)2()ln h x x x ax =-+，1()2h x x a x'=-+，因为函数()()2h x x a f x =+-的图象与x 轴交于两2点()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<．所以2111122222()ln 0()ln 0h x x x ax h x x x ax ⎧=-+=⎨=-+=⎩，两式相减得：22121212(ln ln )()0x x x x a x x ---+-=，121212ln ln ()x x a x x x x -=-+-，1λμ+=01212121()()2()h x h x x a x x x x λμλμλμ''=+=-+++121212ln ln ()x x x x x x -=-+-121212()x x x x λμλμ-+++12121212ln ln 1(21)()x x x x x x x x λλμ-=--+--+因为1λμ+=，0μλ≥>，所以210λ-≤，又120x x <<，120x x -<，所以12(21)()0x x λ--≥，下面考虑121212ln ln 1x x x x x x λμ---+即112212ln x x x x x x λμ--+的符号，令12(0,1)x t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t λμλμ---=-++，设1()ln t H t t t λμ-=-+，(0,1)t ∈，222222222221(1)(21)()()()()()t t t t t t H t t t t t t t λμλλλμμλλμμλμλμλμ+--+-+-++'=-==+++2222(1)()()t t t t λμλμ--=+，因为01,0t λμ<<<≤，所以10t -<，2220t λμ-<，所以()0H t '>在(0,1)上恒成立，所以()H t 在(0,1)上是增函数，所以()(1)0H t H <=，即112212ln0x x xx x x λμ--<+，又120x x -<，所以121212ln ln 10x x x x x x λμ-->-+，所以12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x λλμ---+->-+，即0()0h x '>，所以函数()h x 在点()()00,M x h x 处的切线斜率为正．【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，导数的几何意义，研究方程根的分布等等，解题关键是掌握转化与化归思想，方程有正数解问题转化为函数有正的零点，这就可结合零点存在定理用导数知识来研究函数的性质，判断函数值的正负，通过换元法，设12x t x =，化不确定为确定，化二元为一元：(0,1)t ∈，转化为研究函数()H t 的正负．本题对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，属于困难题．②22.（I ）2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>(0a ≤当时，'()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减.0a >当时，由'()f x =0，有2x a=此时，当x ∈12a（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈1+)2a∞时，'()f x >0，()f x 单调递增.（II ）令()g x =111ex x --，()s x =1e x x --.则'()s x =1e1x --.而当1x >时，'()s x >0，所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增.又由(1)s =0，有()s x >0，从而当1x >时，()f x >0.当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<.故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >.当102a <<时，2a由（I ）有)(1)02f f a<=,从而(02g a>，所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立.当12a ³时，令()()()(1)h x f x g x x =-³，当1x >时，3212222111112121()2e 0xx x x x h x ax x x x x x x x x --+-+¢=-+->-+-=>>，因此，()h x 在区间(1,)+¥单调递增.又因为(1)=0h ，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立.综上，1[,)2a Î+¥③【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）对()f x 求导得()e 1xf x a '=-，分别讨论0a ≤和0a >时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，再由极值的定义可求得结果；（2）()1220t t t λλ-+>恒成立，转化为()()()12121221122112++21122112e e ===e +e e e e e e +e t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t a t t λ---->+--对任意12101lnt t a <<<<恒成立，进一步令21t t m -=，e e m m mλ->-对任意0m >恒成立，令()e e 0m m m h m λ-=-->，分类讨论120λ-≥和120λ-<是否满足()min 0h m >，即可得出答案.【小问1详解】解：函数()e xf x a x =-的定义域为R ，()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x '<在x ∈R 恒成立，()f x 在x ∈R 单调递减，故()f x 无极值；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，则1lnln x a a==-，(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在(),ln x a ∈-∞-单调递减；()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln ,x a ∈-+∞单调递增；故()f x 在1lnln x a a==-取极小值，且1ln 1ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值综上，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 在1ln ln x a a==-取极小值，且1ln 1ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值.【小问2详解】解：∵()21121212e e 0t t at at t t t t ==<<，∴2121e e 1t t a a t t ==，即22e 0t a t -=且11e 0t a t -=∴()111e 0tf t a t =-=且()222e 0tf t a t =-=，即1t ，2t 为()f x 的两个零点∴由（1）知，当0a >时，()f x 在ln x a =-取极小值，且()ln 1ln 0f a a -=+<，故10ea <<又∵()1e 10f a =-<，∴12101ln t t a<<<<，又∵()1220t t t λλ-+>恒成立，∴1212t t t t λ>+对任意12101ln t t a<<<<恒成立，∵1212e 0e 0t t a t a t ⎧-=⎨-=⎩，∴()2121e e t tt t a +=+，12+221e t t t t a =且2121e e t tt t a -=-∴()()()12121221122112++21122112e e ===e +e e e e e e +e t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t a t t λ---->+--对任意12101ln t t a<<<<恒成立∴令21t t m -=，则0m >，e e m mmλ->-对任意0m >恒成立，则0λ>.∴e e 0m mmλ--->对任意0m >恒成立令()e e 0m mm h m λ-=-->，则()1e +e m m h m λ-'=-当120λ-≥，即12λ≥时，()1e +e 0m m h m λ-'=->恒成立故()h m 在()0,m ∈+∞为单调递增函数，又∵()00h =，∴()0h m >对0m >恒成立当120λ-<，即102λ<<时，()h m '为单调增函数，又∵()1020h λ'=-<，1ln 0h λλ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，∴010,ln m λ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()00h m '=，当()00,m m ∈时，()0h m ¢<，故()h m 在()00,m m ∈单调递减∴当()00,m m ∈时，()()00h m h <=，不合题意综上，实数λ的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求函数的极值及导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的运算求解能力和转化与化归能力.属于综合型、难度大型试题.④【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.（2）利用同构可得原方程即为2e x x m +=有两个不同的实数根12,x x ，结合构造法可证122e e x x m+>成立.【小问1详解】()2122a a x f x x x --'=-=++，其中2x >-若0a ≤，则()0f x ¢<在()2,-+∞上恒成立，故()f x 在()2,-+∞上为减函数，故()f x 无最值.若0a >，当()2,2x a ∈--时，()0f x ¢>；当()2,x a ∈-+∞时，()0f x ¢<；故()f x 在()2,2a --上为增函数，在()2,a -+∞上为减函数，故()max ()2ln 2f x f a a a a =-=-+，()f x 无最小值.【小问2详解】方程21e ln (0)2xm m m m x =->+即为()e ln 2ln 2x m x m x x ++=+++，故()ln ln eln e 2ln 2x mx m x x +++=+++，因为ln y x x =+为()0,+∞上的增函数，所以ln 2e e x m x x m ++==所以关于x 的方程21e ln (0)2xm m m m x =->+有两个不等的实数根12,x x 即为：2e x x m +=有两个不同的实数根12,x x .所以12122e ,2e x xx m x m +=+=，所以()1212e -exx x x m -=，不妨设12x x >，12t x x =-，故()()12121212e e e e e e x x x x x x x x m -+=+-，要证：122e e x x m+>即证()()1212122e e e e x x x x x x m m -+>-，即证()121212e12e 1x x x x x x ---+>-，即证()()e 120e 1ttt t +>>-，即证()()e 12e 20ttt t +>->，设()()e 12e 2tts t t =+-+，则()()e 1e 2e 1e 1t t t ts t t t '=++-=-+，故()e 0ts t t ''=>，所以()s t '在()0,+∞上为增函数，故()()00s t s ''>=，所以()s t 在()0,+∞上为增函数，所以()()00s t s >=，故122e e x xm+>成立.【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.⑤【答案】（1）单调性讨论见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据a 的符号分类讨论即可；（2）考虑x 的取值范围，采用缩放法可以证明.【小问1详解】()'e x f x a =-，当0a ≤时，()'fx >，()f x 是单调递增的；当0a >时，令()'e 0x f x a =-=，得到0ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'f x <，()f x 单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，()'f x >，()f x 单调递增；【小问2详解】由题意，1x >时，()4323ln f x x x x x ≥-+等价于()2e 3ln 1x x x x x x≥-+，设()()()'2e 1e ,x x x h x h x x x -==，当1x >时，()'0h x >，()h x 单调递增，()()1e h x h >=…①，设()()'1ln 1,10k x x x k x x=--=->，()k x ∴是增函数，()()ln 110k x x x k =-->=，即1ln ,ln 1x x x x ->->-，()2223ln 1311231x x x x x x x x -+>+-+=-++，()()223ln 1231x x x x x x x -+>-++，令()()23223123p x x x x x x x =-++=-++，()'2661p x x x =-++=66066061212x x ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当66012x +>时，()'0p x <，当6606601212x +<<时，()'0p x >，66012x +∴=时，()p x 取最大值566013126+=⨯+，608<，566015141382.53126312618∴⨯+<⨯+=<，即()p x 的最大值小于2.5，由①可知，()e h x > 2.5>，∴当1x >时，()()()h x p x k x >>，即()4323ln f x x x x x≥-+；【点睛】本题的第二问要从1x >考虑，因为e xx的最小值就是在1x =取得，对于原不等式，由于导数计算过于复杂，因此考虑对ln x 进行缩放，使得计算比较简单.⑥【答案】（1）当1a ≥时，f (x )在(0,)+∞上单调递增;当1a <时,f (x )在(0,1-a )上单调递减，在(1-a ,+∞)上单调递增；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由题意可得21()(1)ln 2f x x ax a x =++-，求导，分1a ≥和1a <讨论即可；(2)令()ln h x x x =-，利用导数确定()h x 的单调性并求出最小值，再令2()ln ,0x x x x ϕ=->，利用导数确定()ϕx 的单调性并求出最小值即可得证.【小问1详解】解：因为，所以21()(1)ln 2f x x ax a x =++-，()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)(1)()a x x a f x x a x x-++-'=++=.当1a ≥时，()0,()f x f x ≥'在(0,)+∞上单调递增.当1a <时，若(0,1)x a ∈-，则()0,()f x f x <'单调递减；若(1,)x a ∈-+∞，则()0,()f x f x >'单调递增.综上所述：当1a ≥时，f (x )在(0,)+∞上单调递增;当1a <时,f(x)在(0,1-a )上单调递减，在(1-a,+∞)上单调递增；【小问2详解】证明：211()(ln )ln 2f x x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦.设()ln h x x x =-，则1()x h x x=-'.当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x <'单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x >'单调递增.所以min ()(1)1,ln 1h x h x x ==-≥，因此222211111(ln )2222x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+≥+≥⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立.设2()ln ,0x x x x ϕ=->，则221()x x xϕ-'=.当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0,()x x ϕϕ<'单调递减：当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0,()x x ϕϕ>'单调递增.因此min2121ln 2()ln 2222x ϕϕ⎛⎫+==-= ⎪ ⎪⎝⎭，从而1ln 2()()2f x x ϕ+≥≥，则1ln 2()2f x +≥，因为212≠，所以1ln 2()2f x +≥中的等号不成立，故1ln 2()2f x +>.⑦【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）()2,+∞.【解析】【分析】（1）根据a 的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）根据已知等式构造函数()1ln h t a t t t=+-，利用导数的性质，结合一元二次方程的求解根公式判断该函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()21ax f x x -'=．当0a ≤时，()0f x <′，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x <′，得10x a <<，令()0f x >′，得1x a>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】()()21212121211111ln ln ln 0x f x f x a x a x a x x x x x =⇒+=+⇒+-=，又121x x =+，则21212212121121ln 0ln 0x x x x x x x x a a x x x x x x +++-=⇒+-=．令211x t x =>，即方程1ln 0a t t t+-=在()1,+∞上有解．令()1ln h t a t t t=+-，()1,t ∈+∞，则()2211a t t at t h t t t⎛⎫-+ ⎪-+-⎝⎭'==，()1,t ∈+∞．12t t+>，当2a ≤时，()0h t '<，()h t 在()1,+∞上单调递减，又()10h =，则()0h t <在()1,t ∈+∞上恒成立，不合题意；当2a >时，240a ->，令210t at -+-=，可知该方程有两个正根，因为方程两根之积为1且1t >，所以242a a t +-=．当241,2a a t ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，当24,2a a t ⎛⎫+-∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0h t '<；则241,2a a t ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()10h t h >=，而()()221ee 1e 2eaa a a h aa a =+-<+->．令()()21e2xx x x ϕ=+->，则()2e x x x ϕ'=-，令()()m x x ϕ='，()2e 0xm x '=-<，则()x ϕ'在()2,+∞上单调递减，()()224e 0x ϕϕ'<'=-<，则()x ϕ在()2,+∞上单调递减，()()225e 0x ϕϕ<=-<，即()e0ah <，故存在204,e 2a a a t ⎛⎫+-∈⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h t =，故2a >满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是()2,+∞．【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造新函数，再根据不等式的形式构造新函数是解题的关键.⑧【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()1()0f x a x x'=->，分0a 和0a >两种情况讨论即可得答案；（2）由（1）根据函数零点存在定理存在12110,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120f x f x ==，由对于任意的0x >，都有()()0f x g x ，可得12,x x 也是函数()g x 的两个零点，即12,x x 是方程20x nx m -+=的根，所以1212,x x n x x m +==，又1122ln ,ln ax x ax x ==，所以()()121212ln ln ln ln m x x x x a x x ==+=+，所以2ln 4nm <<等价于()121224x x a x x +<+<，由104a <<，不等式右边易证，左边要证122x x a +>，即证212x x a >-，构造函数2()()p x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即可证明.【小问1详解】解：()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-，当0a 时，对于任意的0x >，都有()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞内单调递减；当0a >时，令()0f x '>，解得1x a >；令()0f x '<，解得10x a<<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增；【小问2详解】证明：因为当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，又21111ln 1ln 40,(1)0,2ln 0f a f a f a a a a ⎛⎫⎛⎫=+<-<=>=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在12110,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120f x f x ==，且当()10,x x ∈时，()0f x >，当()12,x x x ∈时，()0f x <，当()2,x x ∈+∞时,()0f x >，因为对于任意的0x >，都有()()0f x g x ，所以12,x x 也是函数()g x 的两个零点，即12,x x 是方程20x nx m -+=的根，所以1212,x x n x x m +==，又因为1122ln ,ln ax x ax x ==，所以()()121212ln ln ln ln m x x x x a x x ==+=+，所以2ln 4n m <<等价于()121224x x a x x +<+<，因为104a <<，所以()12124x x a x x ++<，下面证明：122x x a +>.要证122x x a +>，即证212x x a>-，因为2121,,,()x x f x a a ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以只需证()212f x f x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，又因为()()12f x f x =，所以也只需证()112f x f x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，设2()()p x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，则2()()p x f x f x a ⎛⎫'='+'- ⎪⎝⎭222a a x x a =-⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为221x x a a⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p x '<，所以()p x 在10,a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又因为10p a ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0p x >，即2()f x f x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，因为110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()112f x f x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以122x x a +>成立，即()122a x x +>，因此2ln 4n m <<.【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是根据函数零点存在定理判断存在12110,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120f x f x ==，从而可得12,x x 也是函数()g x 的两个零点，即12,x x 是方程20x nx m -+=的根，进而将欲证不等式2ln 4nm <<等价转化为证明()121224x x a x x +<+<.⑨【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),1ln a -∞+上单调递减，在()1ln ,a ++∞上单调递增（2）122e24ln 2a --≤≤-【解析】【分析】（1）分类讨论0a ≤与0a >两种情况，函数求导即可判断函数的增减区间.（2）将函数代入后化简即可将式子转化为1122e e 2x x ax x ----≤≤-+，对两侧函数分别求导求出最值即可求出实数a 的取值范围.【小问1详解】()1e x f x a-='-①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；②当0a >时，令()1e0x f x a --'==，1ln x a =+，当(),1ln x a ∈-∞+时，()0f x '<，()f x 在(),1ln a -∞+上单调递减；当()1ln ,x a ∈++∞时，()0f x '>，()f x 在()1ln ,a ++∞上单调递增；【小问2详解】由()224a f x x -≥，得2212e 42x a a x ax x -⎛⎫≥++=+ ⎪⎝⎭，对于任意0x ≥恒成立，因此1122ee 2x x ax x ----≤≤-+，记()12ex h x x -=-+，由()1211e 02x h x -=-+='，得12ln 2x =+，当[]0,12ln 2x ∈+时，()h x 单调递减，当[]12ln 2,x ∈++∞时，()h x 单调递增，所以()min 12ln 2h x =-，因此24ln 2a ≤-；记()12e x t x x -=--，易知()t x 在调递减，所以()()12max0e t x t -==-，所以122e a -≥-；综上，122e24ln 2a --≤≤-．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．⑩【答案】（1）答案见解析；（2）2a ⎛ ⎝.【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，进而确定函数的单调性；（2）先对()F x 求导，然后结合极值存在条件可转化为()0F x '=有两个不等正实数解，结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系及导数几何意义求出切线方程，构造函数()()()h x F x G x =-，结合导数与单调性关系进而可求．【详解】解：（1）()21-='ax f x x ，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，易得当1x a >时，()0f x '>，当10x a<<时，()0f x '<，故()f x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，（2）()()()2ln F x f x g x a x x x =+=+-，所以()2221a x x aF x x x x-+'=+-=，0x >，因为()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，所以()220x x aF x x-+'==有两个不等正实数解，即220x x a -+=有两个不等式正根，所以18002a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，解得108a <<，因为122a x x =，122a x x x ==所以212a F a '=-，ln 22222a a a a a F =+-所以曲线()y F x =在12x x x =处的切线方程为()ln 22122222a a a a a y a x ⎛⎛-+=-- ⎝⎝，即()()321ln 222a a a G x y a x ==-+-，令()()()23ln 22ln 222a a a h x F x G x x a x ax =-=+-+-，()2222220x a x ax ah x xx-+'==>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，且02a h =，故当02ax <<时，()0h x <，即()()F x G x <，故x 的范围2a ⎛ ⎝.【点睛】关键点点睛：解不等式比较常用的方法是构造新函数，研究函数的单调性，明确函数的零点，即可明确不等式何时成立.⑪解析：（1）1)(-+='a e x f x，（1）当−1≥0，即时，得'x >0恒成立，此时函数)(x f 在R 上单调递增，故函数)(x f 在R 上无最大最小值………………………2分○2当−1<0，即<1时，由'x =0，解得=l?(1−p ，当>l?(1−p 时，'x >0，f (x )单调递增当<l?(1−p 时，'x <0，f (x )单调递减所以=l?(1−p 时，f (x )取最小值即)1ln()1(1))1(ln()(min a a a a f x f --+-=-=………………………4分（2）x x e x g x f x h x-+-=-=4sin(2)()()(π，则14cos(2)(-+-='πx e x h x ○1当)43,4(ππ-∈x 时，由)4cos(π+=x y 在区间)43,4(ππ-上单调递减，知：)(x h '在)43,4(ππ-上单调递增，且01)0(<-='h ，01243(43>-+='ππe h ，知：函数)(x h '在)43,4(ππ-上有唯一的零点)43,0(0π∈x 。

导数高中试题及解析答案

导数高中试题及解析答案1. 计算函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $ 在 $ x = 1 $ 处的导数。

解析：首先，我们需要找到函数 $ f(x) $ 的导数。

根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 $ x = 1 $ 代入 $ f'(x) $ 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的导数为 $ -1 $。

2. 已知函数 $ g(x) = \sin(x) $，求 $ g'(x) $。

解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 $ \sin(x) $ 的导数是$ \cos(x) $。

因此，我们可以直接写出 $ g(x) $ 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 $ g(x) $ 的导数是 $ \cos(x) $。

3. 计算复合函数 $ h(x) = (x^2 - 1)^4 $ 的导数。

解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。

首先，设$ u = x^2 - 1 $，那么 $ h(x) = u^4 $。

对 $ u $ 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 $ h(x) $ 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 $ h(x) $ 的导数是 $ 8x(x^2 - 1)^3 $。

高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。

9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。

解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。

2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。

解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。

十年高考真题分类汇编数学专题导数与定积分

8.(2016·四川·理 T9)设直线 l 1,l 2 分别是函数 f(x)={lnx ,x > 1十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题 04 导数与定积分1.(2019·全国 2·T 文 T10)曲线 y=2sin x+cos x 在点(π,-1)处的切线方程为()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=02.(2019·全国 3·T 理 T6 文 T7)已知曲线 y=ae x +xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 ()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e -1,b=1D.a=e -1,b=-13.(2018·全国 1·理 T5 文 T6)设函数 f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x4.(2017·全国 2·理 T11)若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)e x-1 的极值点,则 f(x)的极小值为()A.-1B.-2e -3C.5e -3D.15.(2017·浙江·T7)函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是 ()6.(2016·山东·理 T10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x 37.(2016·全国 1·文 T12)若函数 f(x)=x-1sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是( )3A.[-1,1]C.[- 1 , 1]3 3B.[-1, 1]3D.[-1,- 1]3-lnx ,0 < x < 1, 图象上点 P 1,P 2 处的切线,l 1 与 l 2 垂直相交于点 P,且 l 1,l 2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)m 29.(2015·全国 2·理 T12)设函数 f'(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)10.(2015·全国 1·理 T12)设函数 f(x)=e x (2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x 0 使得 f(x 0)<0,则 a的取值范围是( )A.[- 3 ,1)2eC.[ 3 , 3)2e 4B.[- 3 , 3)2e 4D.[ 3 ,1)2e11.(2014·全国 1·理 T11 文 T12)已知函数 f(x)=ax 3-3x 2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x 0,且 x 0>0,则 a 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)12.(2014·江西,理 8)若 f(x)=x 2+2∫1 f(x)dx,则∫1 f(x)dx=()A.-1B.-13C.13D.113.(2014·全国 2·理 T8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=()A.0B.1C.2D.314.(2014·全国 2·文 T11)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)15.(2014·全国 2·理 T12)设函数 f(x)=√3sin πx .若存在 f(x)的极值点 x 0 满足x 0+[f(x 0)]2<m 2,则 m 的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)16.(2014·湖北·理 T6)若函数 f(x),g(x)满足∫1f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组-1正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin 1x,g(x)=cos 1x;22②f(x)=x+1,g(x)=x -1;3B.2C.83D.16√25 B.4③f(x)=x,g(x)=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.317.(2014·山东,理 6)直线 y=4x 与曲线 y=x 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2√2B.4√2C.2D.418.(2013·北京,理 7)直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C所围成的图形的面积等于() A.4319.(2013·全国 2·理 T10 文 T11)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是()A.∃x 0∈R,f(x 0)=0B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形C.若 x 0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若 x 0 是 f(x)的极值点,则 f'(x 0)=020.(2013·湖北,理 7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ 25 (t 的单1+t位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5C.4+25ln 5B.8+25ln 113D.4+50ln 221.(2012·湖北·理 T3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为()A.2π3C.32D.π222.(2011·全国,理 9)由曲线 y=√x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为()A.10B.4C.16D.63323.(2010·全国,理 3)曲线 y= x 在点(-1,-1)处的切线方程为()x+2A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-224.(2010·全国·文 T4)曲线 y=x 3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+225.(2019·全国1·T13)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.26.(2019·天津·文T11)曲线y=cos x-x在点(0,1)处的切线方程为.227.(2019·江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.28.(2018·天津·文T10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.29.(2018·全国2·理T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.30.(2018·全国2·文T13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.31.(2018·全国3,理14)直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.32.(2018·江苏·T11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.33.(2017·全国1,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.34.(2017·天津,文10)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.35.(2017·山东·理T15)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+236.(2017·江苏·T11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-1,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数ae x的取值范围是.37.(2016·全国2·理T16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.38.(2015·全国1·文T14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.39.(2015·全国2·文T16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.40.(2015·陕西·理T15)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐x标为.41.(2015·天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为______________.42.(2015·陕西·理T16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大, 42时,证明f(x)+g(x)2-x≥0;(3)设xn 为函数u(x)=f(x)-1在区间2nπ+π,2nπ+π内的零点,其中n∈N,证明2nπ+π-xn<sinx0-cosx0流量的比值为.43.(2012·上海·理T13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B(1,5),C(1,0).函数2y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________________.44.(2012·全国·文T13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.45.(2012·山东·理T15)设a>0.若曲线y=√x与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.46.(2019·全国3·文T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.47.(2019·浙江·T22)已知实数a≠0,设函数f(x)=aln x+√1+x,x>0.(1)当a=-3时,求函数f(x)的单调区间;4(2)对任意x∈1,+∞均有f(x)≤√x,求a的取值范围.e22a注:e=2.71828…为自然对数的底数.48.(2019·全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.49.(2019·江苏,19,16分,难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤4.2750.(2019·全国3·理T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.51.(2019·天津·理T20)设函数f(x)=e x cos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x∈πππ42252.(2019·全国1·理T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:e-2nπ.(3)证明当 a≥e e 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线.(1)f'(x)在区间(-1,π)存在唯一极大值点;2(2)f(x)有且仅有 2 个零点.53.(2019·全国 1·文 T20)已知函数 f(x)=2sin x-xcos x-x,f'(x)为 f(x)的导数.(1)证明:f'(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若 x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求 a 的取值范围.54.(2019·全国 2·理 T20)已知函数 f(x)=ln x-x+1.x -1(1)讨论 f(x)的单调性,并证明 f(x)有且仅有两个零点;(2)设 x 0 是 f(x)的一个零点,证明曲线 y=ln x 在点 A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线 y=e x 的切线.55.(2019·天津·文 T20)设函数 f(x)=ln x-a(x-1)e x ,其中 a∈R.(1)若 a≤0,讨论 f(x)的单调性;(2)若 0<a<1,e①证明 f(x)恰有两个零点;②设 x 0 为 f(x)的极值点,x 1 为 f(x)的零点,且 x 1>x 0,证明 3x 0-x 1>2.56.(2018·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -ax 2.(1)若 a=1,证明:当 x≥0 时,f(x)≥1;(2)若 f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求 a.57.(2018·全国 2·文 T21 度)已知函数 f(x)=1x 3-a(x 2+x+1).3(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.58.(2018·天津·理 T20)已知函数 f(x)=a x ,g(x)=log a x,其中 a>1.(1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间;(2)若曲线 y=f(x)在点(x 1,f(x 1))处的切线与曲线 y=g(x)在点(x 2,g(x 2))处的切线平行,证明 x 1+g(x 2)=-2lnlna ;159.(2018·天津·文 T20)设函数 f(x)=(x-t 1)(x-t 2)(x-t 3),其中 t 1,t 2,t 3∈R,且 t 1,t 2,t 3 是公差为 d 的等差数列.(1)若 t 2=0,d=1,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若 d=3,求 f(x)的极值;(3)已知函数 f(x)=-x 2be +a,g(x)= .对任意 a>0,判断是否存在 b>0,使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+∞)内存在(2)若 f(x)存在两个极值点 x 1,x 2,证明:f (x 1)-f (x 2)<a-2. 65.(2018·全国 3,文 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=ax +x -1.(3)若曲线 y=f(x)与直线 y=-(x-t 2)-6 √3有三个互异的公共点,求 d 的取值范围.60.(2018·北京·理 T18 文 T19)设函数 f(x)=[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x .(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,求 a;(2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围.61.(2018·江苏·T19)记 f'(x),g'(x)分别为函数 f(x),g(x)的导函数.若存在 x 0∈R,满足 f(x 0)=g(x 0),且f'(x 0)=g'(x 0),则称 x 0 为函数 f(x)与 g(x)的一个“S 点”. (1)证明:函数 f(x)=x 与 g(x)=x 2+2x-2 不存在“S 点”;(2)若函数 f(x)=ax 2-1 与 g(x)=ln x 存在“S 点”,求实数 a 的值;xx“S 点”,并说明理由.62.(2018·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=1-x+aln x.x(1)讨论 f(x)的单调性;x 1-x 263.(2018·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=ae x -ln x-1.(1)设 x=2 是 f(x)的极值点,求 a,并求 f(x)的单调区间;(2)证明:当 a≥ 时,f(x)≥0.64.(2018·全国 3·理 T21)已知函数 f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x.(1)若 a=0,证明:当-1<x<0 时,f(x)<0;当 x>0 时,f(x)>0;(2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a.2 e x(1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当 a≥1 时,f(x)+e≥0.66.(2018·浙江·T22)已知函数 f(x)=√x -ln x.(1)若 f(x)在 x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f(x 1)+f(x 2)>8-8ln 2;(2)若 a≤3-4ln 2,证明:对于任意 k>0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点.67.(2018·江苏·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C,D 均在圆弧上.设OC 与 MN 所成的角为 θ .2 2n11q q1(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积,并确定 sin θ 的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.68.(2017·全国 3·理 T21)已知函数 f(x)=x-1-aln x.(1)若 f(x)≥0,求 a 的值;(2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1 + 1) (1 + 2 ) … (1 + 2 )<m,求 m 的最小值.69.(2017·全国 2·文 T21)设函数 f(x)=(1-x 2)e x .(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 x≥0 时,f(x)≤ax+1,求 a 的取值范围.70.(2017·天津·文 T19)设 a,b∈R,|a|≤1.已知函数 f(x)=x 3-6x 2-3a(a-4)x+b,g(x)=e x f(x).(1)求 f(x)的单调区间;(2)已知函数 y=g(x)和 y=e x 的图象在公共点(x 0,y 0)处有相同的切线,①求证:f(x)在 x=x 0 处的导数等于 0;②若关于 x 的不等式 g(x)≤e x 在区间[x 0-1,x 0+1]上恒成立,求 b 的取值范围. 71.(2017·全国 3·文 T21)已知函数 f(x)=ln x+ax 2+(2a+1)x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 a<0 时,证明 f(x)≤- 3 -2.4a72.(2017·天津·理 T20)设 a∈Z,已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0,g(x)为 f(x)的导函数.(1)求 g(x)的单调区间;(2)设 m∈[1,x 0)∪(x 0,2],函数 h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m),求证:h(m)h(x 0)<0;(3)求证:存在大于 0 的常数 A,使得对于任意的正整数 p,q,且p ∈[1,x 0)∪(x 0,2],满足|p -x 0| ≥ Aq 4.73.(2017·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=ae 2x +(a-2)e x -x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.(2)证明:当 a∈[0,1)时,函数 g(x)=e -ax -a (x>0)有最小值.设 g(x)的最小值为 h(a),求函数 h(a)的值域.(3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于 .1．．． 74.(2017·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=e x (e x -a)-a 2x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)≥0,求 a 的取值范围.75.(2017·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=ax 2-ax-xln x,且 f(x)≥0.(1)求 a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x 0,且 e -2<f(x 0)<2-2.76.(2017·山东·理 T20)已知函数 f(x)=x 2+2cos x,g(x)=e x (cos x-sin x+2x-2),其中 e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线 y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令 h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.77.(2017·江苏·T20)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数 f'(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b 2>3a;(3)若 f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-7,求 a 的取值范围.278.(2017·北京·理 T19)已知函数 f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数 f(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值.279.(2017·浙江·T20)已知函数 f(x)=(x-√2x -1)e -x (x ≥ 1).2(1)求 f(x)的导函数;(2)求 f(x)在区间[1 , + ∞)上的取值范围.280.(2016·全国 2·理 T21)(1)讨论函数 f(x)= x -2 e x 的单调性,并证明当 x>0 时,(x-2)e x +x+2>0;x+2xx 281.(2016·天津,理 20,12 分,难度)设函数 f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中 a,b∈R.(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)存在极值点 x 0,且 f(x 1)=f(x 0),其中 x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3;482.(2016·全国 2·文 T20)已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求 a 的取值范围.83.(2016·四川·文 T21)设函数 f(x)=ax 2-a-ln x,g(x)=1 − e 其中 a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.xe x(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明:当 x>1 时,g(x)>0;(3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.84.(2016·全国 3·理 T21)设函数 f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中 α>0,记|f(x)|的最大值为 A.(1)求 f'(x);(2)求 A;(3)证明|f'(x)|≤2A.85.(2016·全国 3·文 T21)设函数 f(x)=ln x-x+1.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明当 x∈(1,+∞)时,1<x -1<x;lnx(3)设 c>1,证明当 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x .86.(2016·全国 1,理 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2 有两个零点.(1)求 a 的取值范围;(2)设 x 1,x 2 是 f(x)的两个零点,证明:x 1+x 2<2.87.(2016·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.88.(2016·北京·理 T18)设函数 f(x)=xe a-x +bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4.(1)求 a,b 的值;(2)求 f(x)的单调区间.89.(2016·山东·文 T20)设 f(x)=xln x-ax 2+(2a-1)x,a∈R.(1)令 g(x)=f'(x),求 g(x)的单调区间;(2)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.90.(2015·山东·理 T21)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x 2-x),其中 a∈R.(1)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由;97.(2015·北京·文 T19)设函数x f(x)= -kln x,k a (1)当 b= +1 时,求函数 f(x)在[-1,1]上的最小值 g(a)的表达式; a (2)若∀x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围.91.(2015·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.92.(2015·全国 2·理 T21)设函数 f(x)=e mx +x 2-mx.(1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意 x 1,x 2∈[-1,1],都有|f(x 1)-f(x 2)|≤e -1,求 m 的取值范围.93.(2015·全国 1·文 T21)设函数 f(x)=e 2x -aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f'(x)零点的个数;(2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln 2.a94.(2015·天津·理 T20)已知函数 f(x)=nx-x n ,x∈R,其中 n∈N *,且 n≥2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x),求证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x);(3)若关于 x 的方程 f(x)=a(a 为实数)有两个正实数根 x 1,x 2,求证:|x 2-x 1|<1-n +2.95.(2015·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=x 3+ax+1,g(x)=-lnx. 4(1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线;(2)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x)零点的个数.96.(2015·江苏·理 T19)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+b(a,b∈R).(1)试讨论 f(x)的单调性;(2)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1, 3) ∪ (3 , + ∞),求 c 的值. 2 22 2 (1)求 f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,√e ]上仅有一个零点.98.(2015·浙江·文 T20)设函数 f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R).2 4(2)已知函数 f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b -2a≤1.求 b 的取值范围.x 102.(2014·全国 1 ·理 T21) 设函数 f(x)=ae ln x+be x , 曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 a 99.(2014·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=x 3-3x 2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.(1)求 a;(2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.100.(2014·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -e -x -2x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值;(3)已知 1.414 2<√2<1.414 3,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001).101.(2014·全国 1·文 T21)设函数 f(x)=aln x+1-a x 2-bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 20.(1)求 b;(2)若存在 x 0≥1,使得 f(x 0)<a -1,求 a 的取值范围.x -1y=e(x-1)+2.(1)求 a,b;(2)证明:f(x)>1.103.(2013·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -ln(x+m).(1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性;(2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.104.(2013·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=x 2e -x .(1)求 f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.105.(2013·重庆·文 T20)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000π 元(π 为圆周率).(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.106.(2013·全国 1·理 T21)设函数 f(x)=x 2+ax+b,g(x)=e x (cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.107.(2013·全国1·文T20)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.108.(2012·全国·理T21)已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)e x-1-f(0)x+1x2.2(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥1x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.2109.(2012·全国·文T21)设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.110.(2012·全国·文T21)设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.111.(2011·山东·理T21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表3面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.112.(2011·全国·理T21)已知函数f(x)=alnx+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.x+1x(1)求a,b的值;(2)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx+k,求k的取值范围.x-1x113.(2011·全国·文T21)已知函数f(x)=(1)若a=>,求f(x)的单调区间;x+1+,曲线b alnxx(1)求a,b的值;(2)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx.x-1114.(2010·全国·理T21)设函数f(x)=e x-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.115.(2010·全国·文T21)设函数f(x)=x(e x-1)-ax2.12(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.。

2023年高考真题分类汇编---导数

2023年高考真题分类汇编---导数1．(2023年新课标全国Ⅱ卷第6题)已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为()A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -解：依题可知，()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a≥，设()()e ,1,2xg x x x =∈，所以()()1e 0xg x x =+>'，所以()g x 在()1,2上单调递增，()()1e g x g >=，故1e a ≥，即11e ea -≥=，即a 的最小值为1e -．故选：C ．2．(2023年新课标全国Ⅱ卷第11题)若函数()()2ln 0b cf x a x a x x=++≠既有极大值也有极小值，则()A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <解：函数2()ln b c f x a x x x =++的定义域为(0,)+∞，求导得223322()a b c ax bx cf x x x x x--'=--=，因为函数()f x 既有极大值也有极小值，则函数()f x '在(0,)+∞上有两个变号零点，而0a ≠，因此方程220ax bx c --=有两个不等的正根12,x x ，于是21212Δ80020b ac b x x a c x x a ⎧⎪=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩，即有280b ac +>，0ab >，0ac <，显然20a bc <，即0bc <，A 错误，故选：BCD(。

历年(2019-2023)全国高考数学真题分项(导数及其应用)汇编(附答案)

历年（2019-2023）全国高考数学真题分项（导数及其应用）汇编考点一导数的运算1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x ='．若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则( ) A ．(0)0f =B ．1()02g -=C ．(1)f f -=（4）D ．(1)g g -=（2）考点二利用导数研究曲线上某点切线方程2．（2021•新高考Ⅰ）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A ．b e a ，函数()f x 的图象在点1(A x ，1())f x 和点2(B x ，2())f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 的取值范围是．考点三利用导数研究函数的单调性6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数()x f x ae lnx =-在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为( ) A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数()()x f x a e a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()22f x lna >+． 8．（2022•浙江）设函数()(0)2ef x lnx x x=+>．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-（a ）1(1)2ae<-；（ⅱ）若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-．（注: 2.71828e =⋯是自然对数的底数） 9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n +>+．10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 恰有一个零点．①2122e a <…，2b a >； ②102a <<，2b a …． 11．（2021•浙江）设a ，b 为实数，且1a >，函数2()()x f x a bx e x R =-+∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，满足22122blnb e x x e b>+．（注: 2.71828e = 是自然对数的底数） 12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数()(1)f x x lnx =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且blna alnb a b -=-，证明：112e a b<+<． 13．（2020•海南）已知函数1()x f x ae lnx lna -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x …，求a 的取值范围．14．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =+0x >．（Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e∈，)+∞均有()2f x a …，求a 的取值范围．注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．考点四利用导数研究函数的极值15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数2()(0)b cf x alnx a x x =++≠既有极大值也有极小值，则( ) A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数3()1f x x x =-+，则( ) A ．()f x 有两个极值点 B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos (1)f x ax ln x =--，若0x =为()f x 的极大值点，求a 的取值范围．考点五利用导数研究函数的最值18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数()x f x e ax =-和()g x ax lnx =-有相同的最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．参考答案考点一导数的运算1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x ='．若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则( ) A ．(0)0f =B ．1()02g -=C ．(1)f f -=（4）D ．(1)g g -=（2）【过程解析】3(2)2f x - 为偶函数，∴可得33(2)(2)22f x f x -=+，()f x ∴关于32x =对称，令54x =，可得3535(2(2)2424f f -⨯=+⨯，即(1)f f -=（4），故C 正确； (2)g x + 为偶函数，(2)(2)g x g x ∴+=-，()g x 关于2x =对称，故D 不正确； ()f x 关于32x =对称，32x ∴=是函数()f x 的一个极值点， ∴函数()f x 在3(2，)t 处的导数为0，即33()()022g f ='=，又()g x ∴的图象关于2x =对称，53((022g g ∴==，∴函数()f x 在5(2，)t 的导数为0，52x ∴=是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，5(2∴，)t 关于32x =的对称点为1(2，)t ，由52x =是函数()f x 的极值点可得12x =是函数()f x 的一个极值点，11(()022g f ∴='=，进而可得17()()022g g ==，故72x =是函数()f x 的极值点，又()f x 的图象关于32x =对称，7(2∴，)t 关于32x =的对称点为1(2-，)t ，11()()022g f ∴-='-=，故B 正确； ()f x 图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故A 错误．解法二：构造函数法，令()1sin f x x π=-，则3(2)1cos 22f x x π-=+，则()()cosg x f x x ππ='=-，(2)cos(2)cos g x x x πππππ+=-+=-，满足题设条件，可得只有选项BC 正确，故选：BC ．考点二利用导数研究曲线上某点切线方程2．（2021•新高考Ⅰ）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A ．b e a 恒成立，函数的图象如图，0y >，即切点坐标在x 轴上方，如果(,)a b 在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(,)a b 在x 轴或下方时，只有一条切线．如果(,)a b 在曲线上，只有一条切线； (,)a b 在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)a b 在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0a b e <<．故选：D ．法二：设过点(,)a b 的切线横坐标为t ，则切线方程为()t t y e x t e =-+，可得(1)t b e a t =+-，设()(1)f t a t =+-，可得()()t f t e a t '=-，(,)t a ∈-∞，()0f t '>，()f t 是增函数， (,)t a ∈+∞，()0f t '<，()f t 是减函数，因此当且仅当0a b e <<时，上述关于t 的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：D ．3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．【过程解析】()x x y e x a e '=++，设切点坐标为0(x ，00())x x a e +， ∴切线的斜率000()x x k e x a e =++，∴切线方程为000000()(())()x x x y x a e e x a e x x -+=++-，又切线过原点，000000()(())()x x x x a e e x a e x ∴-+=++-，整理得：2000x ax a +-=，切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴△240a a =+>，解得4a <-或0a >，即a 的取值范围是(-∞，4)(0-⋃，)+∞，故答案为：(-∞，4)(0-⋃，)+∞．4．（2022•新高考Ⅱ）曲线||y ln x =过坐标原点的两条切线的方程为，．【过程解析】当0x >时，y lnx =，设切点坐标为0(x ，0)lnx ， 1y x '=，∴切线的斜率01k x =， ∴切线方程为0001()y lnx x x x -=-，又切线过原点，01lnx ∴-=-， 0x e ∴=，∴切线方程为11()y x e e-=-，即0x ey -=，当0x <时，()y ln x =-，与y lnx =的图像关于y 轴对称， ∴切线方程也关于y 轴对称， ∴切线方程为0x ey +=，综上所述，曲线||y ln x =经过坐标原点的两条切线方程分别为0x ey -=，0x ey +=，故答案为：0x ey -=，0x ey +=．5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()|1|x f x e =-，10x <，20x >，函数()f x 的图象在点1(A x ，1())f x 和点2(B x ，2())f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 的取值范围是．【过程解析】当0x <时，()1x f x e =-，导数为()x f x e '=-，可得在点1(A x ，_11)x e -处的斜率为_11x k e =-，切线AM 的方程为_1_11(1)()x x y e e x x --=--，令0x =，可得_1_111x x y e x e =-+，即_1_11(0,1)x x M e x e -+，当0x >时，()1x f x e =-，导数为()x f x e '=，可得在点2(B x ，_21)x e -处的斜率为_22x k e =，令0x =，可得_2_221x x y e x e =--，即_2_22(0,1)x x N e x e --，由()f x 的图象在A ，B 处的切线相互垂直，可得_1_2121x x k k e e =-⋅=-，即为120x x +=，10x <，20x >，所以2||1(0,1)||x AM BN e ===∈．故答案为：(0,1)．考点三利用导数研究函数的单调性6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数()x f x ae lnx =-在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为( ) A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -【过程解析】对函数()f x 求导可得，1()x f x ae x'=-，依题意，10x ae x -…在(1,2)上恒成立，即1x a xe…在(1,2)上恒成立，设1(),(1,2)x g x x xe =∈，则22()(1)()()()x x x x x e xe e x g x xe xe -++'==-，易知当(1,2)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 在(1,2)上单调递减，则11()(1)max a g x g e e-===…．故选：C ． 7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数()()x f x a e a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()22f x lna >+．【过程解析】（1）()()x f x a e a x =+-，则()1x f x ae '=-，①当0a …时，()0f x '<恒成立，()f x 在R 上单调递减，②当0a >时，令()0f x '=得，1x lna=，当1(,)x ln a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1(x ln a ∈，)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，当0a …时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在1(,)ln a -∞上单调递减，在1(ln a，)+∞上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当0a >时，2111()(()1min f x f ln a a ln a lna a a a==+-=++，要证3()22f x lna >+，只需证23122a lna lna ++>+，只需证2102a lna -->，设g （a ）212a lna =--，0a >，则g '（a ）21212a a a a -=-=，令g '（a ）0=得，2a =，当(0,)2a ∈时，g '（a ）0<，g （a）单调递减，当(2a ∈，)+∞时，g '（a ）0>，g （a ）单调递增，所以g （a）11(022222g ln ln =--=->…，即g （a ）0>，所以2102a lna -->得证，即3()22f x lna >+得证． 8．（2022•浙江）设函数()(0)2ef x lnx x x=+>．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-（a ）1(1)2ae<-；（ⅱ）若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-．（注: 2.71828e =⋯是自然对数的底数）【过程解析】（Ⅰ）函数()(0)2ef x lnx x x=+>， ∴2212()22e x ef x x x x -'=-+=，(0)x >，由22()02x e f x x -'=>，得2ex >，()f x ∴在(2e ，)+∞上单调递增；由22()02x ef x x -'=<，得02e x <<，()f x ∴在(0,)2e 上单调递减．（Ⅱ）()i 证明：过(,)a b 有三条不同的切线，设切点分别为1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x ，()()()i i i f x b f x x a ∴-='-，(1i =，2，3)，∴方程()()()f x b f x x a -='-有3个不同的根，该方程整理为21()()022e ex a lnx b x x x ----+=，设21()()()22e eg x x a lnx b x x x=----+，则223231111()()()()22e e e g x x a x e x a x x x x x x x'=-+-+--+=---，当0x e <<或x a >时，()0g x '<；当e x a <<时，()0g x '>， ()g x ∴在(0,)e ，(,)a +∞上为减函数，在(,)e a 上为增函数， ()g x 有3个不同的零点，g ∴（e ）0<且g （a ）0>，21()()022e e e a lne b e e e ∴----+<，且21()()022e ea a lnab a a a----+>，整理得到12a b e <+且()2eb lna f a a>+=，此时，12a b e <+，且()2e b lna f a a >+=，此时，1()(1)1()02222a a e e b f a lna lna b e e a a ---<+-+--+>，整理得12a b e <+，且()2e b lna f a a>+=，此时，b f -（a ）113(1)1()2222222a a e a elna lna e e a e a--<+-+-+=--，设μ（a ）为(,)e +∞上的减函数，μ∴（a ）3022elne e<--=， ∴10()(1)2ab f a e<-<-． ()ii 当0a e <<时，同()i 讨论，得：()g x 在(0,)a ，(,)e +∞上为减函数，在(,)a e 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230x a x e x <<<<<，()g x 有3个不同的零点，g ∴（a ）0<，且g （e ）0>，21()()022e e e a lne b e e e ∴----+>，且21()022e e a a lna b a a a----+<，整理得122a ab lna e e+<<+， 123x x x << ，1230x a x e x ∴<<<<<，2()12a e eag x lnx b x x+=-+-+ ，设,(0,1)e a t m x e ==∈，则方程2102a e ealnx b x x+-+-+=即为：202a e a t t lnt b e e +-+++=，即为2(1)02mm t t lnt b -++++=，记123123,,e e et t t x x x ===，则1t ，2t ，3t 为2(1)02m m t t lnt b -++++=有三个不同的根，设31311x t e k t x a ==>>，1am e =<，要证：2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-，即证132266e a e e at t e a e--+<+<-，即证：213132(13)(12)236()m m m t t m m t t --++--<+，而2111(1)02m m t t lnt b -++++=，且2333(1)02m m t t lnt b -++++=， ∴22131313()(1)()02m lnt lnt t t m t t -+--+-=， ∴131313222lnt lnt t t m m t t -+--=-⨯-， ∴即证21313132(13)(12)36()lnt lnt m m m m t t m t t ---+-⨯<-+，即证1132313()(13)(12)072t t t lnt m m m t t +--++>-，即证2(1)(13)(12)0172k lnk m m m k +--++>-，记(1)(),11k lnkk k k ϕ+=>-，则211()(2)0(1)k k lnk k kϕ=-->-， ()k ϕ∴在(1,)+∞为增函数，()()k m ϕϕ∴>，∴22(1)(13)(12)(1)(13)(12)172172k lnk m m m m lnm m m m k m +--++--++>+--，设2(1)(13)(12)()72(1)m m m m m lnm m ω---+=++，01m <<，则2322322(1)(3204972)(1)(33)()072(1)72(1)m m m m m m x m m m m ω---+-+'=>>++，()m ω∴在(0,1)上是增函数，()m ωω∴<（1）0=， 2(1)(13)(12)072(1)m m m m lnm m ---+∴+<+，即2(1)(13)(12)0172m lnm m m m m +--++>-， ∴若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e ae e x x a e --+<+<-． 9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n +>+．【过程解析】（1）当1a =时，()(1)x x x f x xe e e x =-=-，()(1)x x x f x e x e xe '=-+=，0x e > ，∴当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）令()()11(0)ax x g x f x xe e x =+=-+>， ()1f x <- ，()10f x +<， ()(0)0g x g ∴<=在0x >上恒成立，又()ax ax x g x e axe e '=+-，令()()h x g x ='，则()()(2)ax ax ax x ax ax x h x ae a e axe e a e axe e '=++-=+-， (0)21h a ∴'=-，①当210a ->，即12a >，存在0δ>，使得当(0,)x δ∈时，()0h x '>，即()g x '在(0,)δ上单调递增．因为()(0)0g x g '>'=，所以()g x 在(0,)δ内递增，所以()1f x >-，这与()1f x <-矛盾，故舍去；②当210a -…，即12a …， ()(1)ax ax x ax x g x e axe e ax e e '=+-=+-，若10ax +…，则()0g x '<，所以()g x 在[0，)+∞上单调递减，()(0)0g x g =…，符合题意．若10ax +>，则1111(1)(1)2222()0x ln x x x axaxxax ln ax xxx g x e axe e ee eeee +++++'=+-=---=剟，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g =…，符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是12a …．另解：()f x 的导数为()(1)(0)ax x f x ax e e x '=+->，①当1a …时，()(1)0ax x ax x x f x ax e e e ex e e '=+->--=…，所以()f x 在(0,)+∞递增，所以()1f x >-，与题意矛盾；②当0a …时，()10ax x x f x e e e '--<剟，所以()f x 在(0,)+∞递减，所以()1f x <-，满足题意；．③当102a <…时，11122211()(1)[(1)]22x x x x f x x e e e x e '+-=+-…．设121()(1)(0)2x G x x e x =+->，1211()022x G x e '=-<，则()G x 在(0,)+∞递减，所以()0G x <，12()()0x f x e G x '=<，所以()f x 在(0,)+∞递减，所以()1f x <-，满足题意；④当112a <<时，(1)()[(1)]ax a x f x e ax e -'=+-，令(1)()(1)a x H x ax e -=+-，则()()ax f x e H x '=，(1)()(1)a x H x a a e -'=+-，可得()H x '递减，(0)21H a '=-，所以存在00x >，使得0()0H x '=．当0(0,)x x ∈时，()0H x '>， ()H x 在0(0,)x 递增，此时()0H x >，所以当0(0,)x x ∈时，()()0ax f x e H x '=>，()f x 在0(0,)x 递增，所以()1f x >-，与题意矛盾．综上可得，a 的取值范围是(-∞，1]2．（3）由（2）可知，当12a =时，12()1(0)x x f x xe e x =-<->，令*1(1)()x ln n N n=+∈得，111(1)(1)21(1)1ln n n ln e e n +++⋅-<-，整理得，11(10ln n n+<，∴11(1ln n >+，∴1()n ln n +>，∴11231((...(1)12n nk k k n ln ln ln n k n ==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n +>+．另解：运用数学归纳法证明．当1n =时，左边22ln ==>成立．假设当(1,*)n k k k N =∈…...(1)ln k ++>+．当1n k =+...(2)ln k +>+，只要证(1)(2)ln k ln k ++>+，21(2)(1)(1)11k ln k ln k lnln k k +>+-+==+++．可令11t k =+，则(0t ∈，1]2(1)ln t >+，再令2x x =∈，则需证明12(2x lnx x x ->∈．构造函数1()2()((1g x lnx x x x =--∈，22211()1(1)0g x x x x'=--=--<，可得()g x 在(1上递减，则()g x g <（1）0=，所以原不等式成立，即1n k =+...(2)ln k ++>+成立．...(1)ln n +>+成立．10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 恰有一个零点．①2122e a <…，2b a >； ②102a <<，2b a …．【过程解析】（Ⅰ）2()(1)x f x x e ax b =--+ ，()(2)x f x x e a '=-，①当0a …时，当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，②当0a >时，令()0f x '=，可得0x =或(2)x ln a =，()i 当102a <<时，当0x >或(2)x ln a <时，()0f x '>，当(2)0ln a x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(-∞，(2))ln a ，(0,)+∞上单调递增，在((2)ln a ，0)上单调递减， 1()2ii a =时， ()(1)0x f x x e '=-… 且等号不恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，()iii 当12a >时，当0x <或(2)x ln a >时，()0f x '>，当0(2)x ln a <<时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞，((2)ln a ，)+∞上单调递增，在(0，(2))ln a 上单调递减．综上所述：当0a … 时，()f x 在(,0)-∞上单调递减；在(0,)+∞上单调递增；当102a << 时，()f x 在(-∞，(2))ln a 和(0,)+∞上单调递增；在((2)ln a ，0)上单调递减；当12a = 时，()f x 在R 上单调递增；当12a >时，()f x 在(,0)-∞和((2)ln a ，)+∞ 上单调递增；在(0，(2))ln a 上单调递减．（Ⅱ）证明：若选①，由（Ⅰ）知，()f x 在(,0)-∞上单调递增，(0，(2))ln a 单调递减，((2)ln a ，)+∞ 上()f x 单调递增．注意到((1)0,(0)1210f ef b a =-<=->->．()f x ∴ 在( 上有一个零点； 22((2))((2)1)222(2)222(2)(2(2))f ln a ln a a a ln a b aln a a aln a a aln a ln a =-⋅-⋅+>--+=-，由2122e a <… 得0(2)2ln a <…，(2)(2(2))0aln a ln a ∴-…， ((2))0f ln a ∴>，当0x … 时，()((2))0f x f ln a >…，此时()f x 无零点．综上：()f x 在R 上仅有一个零点．另解：当1(2a ∈，22e 时，有(2)(0ln a ∈，2]，而(0)1210f b a =->-=，于是2((2))((2)1)2(2)f ln a ln a a aln a b =-⋅-+(2)(2(2))(2)0ln a a ln a b a =-+->，所以()f x 在(0,)+∞没有零点，当0x <时，(0,1)x e ∈，于是2()()0b f x ax b f a <-+⇒-<，所以()f x 在(，0)上存在一个零点，命题得证．若选②，则由（Ⅰ）知：()f x 在(-∞，(2))ln a 上单调递增，在((2)ln a ，0)上单调递减，在(0,)+∞ 上单调递增．22((2))((2)1)222(2)222(2)(2(2))f ln a ln a a aln a b aln a a aln a a aln a ln a =--+--+=-…，102a <<，(2)0ln a ∴<，(2)(2(2))0aln a ln a ∴-<，((2))0f ln a ∴<， ∴当0x … 时，()((2))0f x f ln a <…，此时()f x 无零点．当0x > 时，()f x 单调递增，注意到(0)1210f b a =--<…，取c =21b a << ，∴1c >>，又易证1c e c >+，∴22221()(1)(1)(1)(1)11111102c f c c e ac b c c ac b a c b c b b b =--+>-+-+=-+->+-=-++-=>，()f x ∴在(0,)c 上有唯一零点，即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点．综上：()f x 在R 上有唯一零点． 11．（2021•浙江）设a ，b 为实数，且1a >，函数2()()x f x a bx e x R =-+∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，满足22122blnb e x x e b>+．（注: 2.71828e = 是自然对数的底数）【过程解析】（Ⅰ）()x f x a lna b '=-，①当0b …时，由于1a >，则0x a lna >，故()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增；②当0b >时，令()0f x '>，解得b lnlna x lna >，令()0f x '<，解得blnlna x lna <，∴此时()f x 在(,b lnlna lna -∞单调递减，在(,)b lnlna lna+∞单调递增；综上，当0b …时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0b >时，()f x 的单调递减区间为(,)blnlna lna-∞，单调递增区间为(,)blnlna lna+∞；（Ⅱ）注意到x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞，由（Ⅰ）知，要使函数()f x 有两个不同的零点，只需()(0min blnlna f x f lna=<即可，∴20b blnlnlna lna a b e lna lna-⋅+<对任意22b e >均成立，令b ln lna t lna =，则20t a bt e -+<，即20tlna e bt e -+<，即20bln lna b ln lna e b e lna-⋅+<，即20bln blna b e lna lna -⋅+<，∴20bb b lne lna lna-⋅+<对任意22b e >均成立，记22(),2bg b b b lne lna b e lna =-⋅+>，则1()1()()b lna g b ln b ln lna lnb lna b lna'=-+⋅⋅=-，令g '（b ）0=，得b lna =，①当22lnae >，即22e a e >时，易知g （b ）在2(2e ，)lna 单调递增，在(,)lna +∞单调递减，此时g （b ）22()1(1)0g lna lna lna ln e lna lna e =-⋅+=⋅+>…，不合题意；②当22lna e …，即221e a e <…时，易知g （b ）在2(2e ，)+∞单调递减，此时2222222222()(2)2222[(2)()]e g b g e e e ln e lna e e ln e ln lna e lna lna <=-⋅+=--+，故只需22[22()]0ln ln lna lna -+-+…，即2()222lna ln lna ln ++…，则2lna …，即2a e …；综上，实数a 的取值范围为(1，2]e ；（Ⅲ）证明：当a e =时，2()x f x e bx e =-+，()x f x e b '=-，令()0f x '=，解得4x lnb =>，易知22222422()()433(13)0lnb min f x f lnb e b lnb e b blnb e b b e e b e e e e ==-⋅+=-+<-+=-<-=-<，()f x ∴有两个零点，不妨设为1x ，2x ，且12x lnb x <<，由2222()0x f x e bx e =-+=，可得222x e e x b b=+，∴要证22122blnb e x x e b >+，只需证2122x e blnb x b e >，只需证22122x b lnb e x e >，而222222222222()20e eb b e e f e e e e e e e b=-+=-<-<，则212e x b <， ∴要证22122x b lnbe x e>，只需证2x e blnb >，只需证2()x ln blnb >，而()222221(())()()(4)404ln blnb f ln blnb e bln blnb e blnb bln blnb e blnb bln b e b ln e e bln =-+=-+<-+=⋅+=-<，2()x ln blnb ∴>，即得证．12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数()(1)f x x lnx =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且blna alnb a b -=-，证明：112e a b<+<．【过程解析】（1）解：由函数的过程解析式可得()11f x lnx lnx '=--=-，(0,1)x ∴∈，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．（2）证明：由blna alnb a b -=-，得111111ln ln a a b b b a -+=-，即1111(1)(1)ln ln a a b b-=-，由（1）()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以()max f x f =（1）1=，且f （e ）0=，令11x a =，21x b=，则1x ，2x 为()f x k = 的两根，其中(0,1)k ∈．不妨令1(0,1)x ∈，2(1,)x e ∈，则121x ->，先证122x x <+，即证212x x >-，即证211()()(2)f x f x f x =<-，令()()(2)h x f x f x =--，则()()(2)(2)[(2)]h x f x f x lnx ln x ln x x '='+'-=---=--在(0,1)单调递减，所以()h x h '>'（1）0=，故函数()h x 在(0,1)单调递增，1()h x h ∴<（1）0=．11()(2)f x f x ∴<-，122x x ∴<+，得证．同理，要证12x x e +<，（法一）即证211x e x <<-，根据（1）中()f x 单调性，即证211()()()f x f x f e x =>-，令()()()x f x f e x ϕ=--，(0,1)x ∈，则()[()]x ln x e x ϕ'=--，令0()0x ϕ'=， 0(0,)x x ∈，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，0(x x ∈，1)，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，又0x e <<时，()0f x >，且f （e ）0=，故0lim ()0x x ϕ+→=， ϕ（1）f =（1）(1)0f e -->，()0x ϕ∴>恒成立， 12x x e +<得证，（法二）12()()f x f x =，1122(1)(1)x lnx x lnx -=-，又1(0,1)x ∈，故111lnx ->，111(1)x lnx x ->，故12112222(1)(1)x x x lnx x x lnx x +<-+=-+，2(1,)x e ∈，令()(1)g x x lnx x =-+，()1g x lnx '=-，(1,)x e ∈，在(1,)e 上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x g <（e ）e =，即222(1)x lnx x e -+<，所以12x x e +<，得证，则112e a b<+<． 13．（2020•海南）已知函数1()x f x ae lnx lna -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x …，求a 的取值范围．【过程解析】（1）当a e =时，()1x f x e lnx =-+， 1()x f x e x∴'=-， f ∴'（1）1e =-， f （1）1e =+，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为(1)(1)(1)y e e x -+=--，当0x =时，2y =，当0y =时，21x e -=-， ∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积1222211S e e =⨯⨯=--．（2）方法一：由()1f x …，可得11x ae lnx lna --+…，即11x lna e lnx lna -+-+…，即11x lna lnx e lna x lnx x e lnx -+++-+=+…，令()t g t e t =+，则()10t g t e '=+>，()g t ∴在R 上单调递增， (1)()g lna x g lnx +- …1lna x lnx ∴+-…，即1lna lnx x -+…，令()1h x lnx x =-+， 11()1xh x x x-∴'=-=，当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，()h x h ∴…（1）0=，0lna ∴…， 1a ∴…，故a 的范围为[1，)+∞．方法二：由()1f x …可得11x ae lnx lna --+…，0x >，0a >，即11x ae lnx lna ---…，设()1x g x e x =--，()10x g x e ∴'=->恒成立，()g x ∴在(0,)+∞单调递增， ()(0)1010g x g ∴>=--=， 10x e x ∴-->，即1x e x >+，再设()1h x x lnx =--， 11()1x h x x x-∴'=-=，当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，()h x h ∴…（1）0=，10x lnx ∴--…，即1x lnx -…1x e x -∴…，则1x ae ax -…，此时只需要证ax x lna -…，即证(1)x a lna --…，当1a …时， (1)0x a lna ∴->>-恒成立，当01a <<时，(1)0x a lna -<<-，此时(1)x a lna --…不成立，综上所述a 的取值范围为[1，)+∞．方法三：由题意可得(0,)x ∈+∞，(0,)a ∈+∞， 11()x f x ae x-∴'=-，易知()f x '在(0,)+∞上为增函数，①当01a <<时，f '（1）10a =-<，11111((1)0aa f ae a a e a--'=-=->，∴存在01(1,x a∈使得0()0f x '=，当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，()f x f ∴<（1）1a lna a =+<<，不满足题意，②当1a …时，10x e ->，0lna >，1()x f x e lnx -∴-…，令1()x g x e lnx -=-，11()x g x e x-∴'=-，易知()g x '在(0,)+∞上为增函数， g ' （1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()g x g ∴…（1）1=，即()1f x …，综上所述a 的取值范围为[1，)+∞．方法四：1()x f x ae lnx lna -=-+ ，0x >，0a >， 11()x f x ae x-∴'=-，易知()f x '在(0,)+∞上为增函数， 1x y ae -= 在(0,)+∞上为增函数，1y x=在0，)+∞上为减函数， 1x y ae -∴=与1y x=在0，)+∞上有交点， ∴存在0(0,)x ∈+∞，使得01001()0x f x ae x -'=-=，则0101x ae x -=，则001lna x lnx +-=-，即001lna x lnx =--，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，0100()()x f x f x ae lnx lna -∴=-+ (000000011)1211lnx x lnx lnx x x x =-+--=-+-… ∴000120lnx x x --… 设1()2g x lnx x x=--，易知函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，且g （1）1010=--=，∴当(0x ∈，1]时，()0g x …，0(0x ∴∈，1]时，000120lnx x x --…，设()1h x x lnx =--，(0x ∈，1]，1()10h x x ∴'=--<恒成立， ()h x ∴在(0，1]上单调递减，()h x h ∴…（1）1110ln =--=，当0x →时，()h x →+∞，01lna ln ∴=…，1a ∴…．方法五：()1f x …等价于11x ae lnx lna --+…，该不等式恒成立．当1x =时，有1a lna +…，其中0a >．设g （a ）1a lna =+-，则g '（a ）110a=+>，则g （a ）单调递增，且g （1）0=．所以若1a lna +…成立，则必有1a …． ∴下面证明当1a …时，()1f x …成立．设()1x h x e x =--，()1x h x e ∴'=-，()h x ∴在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，()(0)1010h x h ∴=--=…，10x e x ∴--…，即1x e x +…，把x 换成1x -得到1x e x -…，1x lnx - …，1x lnx ∴-…．11()1x x f x ae lnx lna e lnx x lnx --∴=-+--厖?，当1x =时等号成立．综上，1a …． 14．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =+0x >．（Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e∈，)+∞均有()f x …a 的取值范围．注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．【过程解析】（1）当34a =-时，3()4f x lnx =-+，0x >，3()4f x x '=-+= ∴函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）由f （1）12a …，得04a <…，当0a <…时，()f x …20lnx --…，令1t a=，则t …，设()22g t t lnx =，t …，则2()2g t t lnx=，()i 当1[7x ∈，)+∞，则()2g x g lnx =--…，记()p x lnx =--，17x …，则1()p x x '--==，列表讨论：()2()2()0g t g p x p x ∴==厖．()ii 当211[,7x e ∈时，()g t g =…，令()(1)q x x =++，21[x e ∈，17，则()10q x'=+>，故()q x 在21[e ，1]7上单调递增，1()(7q x q ∴…，由()i 得11()()7777q p p =-<-（1）0=，()0q x ∴<，()0g t g ∴=>…，由()()i ii 知对任意21[x e ∈，)+∞，t ∈，)+∞，()0g t …，即对任意21[x e∈，)+∞，均有()f x …综上所述，所求的a 的取值范围是(0．考点四利用导数研究函数的极值15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数2()(0)b c f x alnx a x x =++≠既有极大值也有极小值，则( ) A ．0bc > B ．0ab > C ．280b ac +> D ．0ac <【过程解析】函数定义域为(0,)+∞，且223322()a b c ax bx c f x x x x x --'=--=，由题意，方程()0f x '=即220ax bx c --=有两个正根，设为1x ，2x ，则有120b x x a+=>，1220c x x a -=>，△280b ac =+>， 0ab ∴>，0ac <，20ab ac a bc ∴⋅=<，即0bc <．故选：BCD ．16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数3()1f x x x =-+，则( ) A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【过程解析】2()31f x x '=-，令()0f x '>，解得3x <或3x >，令()0f x '<，解得33x <<，()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递增，在(上单调递减，且99(0,(03939f f +--=>=>， ()f x ∴有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A 正确，选项B 错误；又33()()112f x f x x x x x +-=-+-++=，则()f x 关于点(0,1)对称，故选项C 正确；假设2y x =是曲线()y f x =的切线，设切点为(,)a b ，则23122a a b⎧-=⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=-⎩，显然(1,2)和(1,2)--均不在曲线()y f x =上，故选项D 错误．故选：AC ．17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos (1)f x ax ln x =--，若0x =为()f x 的极大值点，求a 的取值范围．【过程解析】（1）证明：设2()sin g x x x x =--，(0,1)x ∈，则()12cos g x x x '=--，()2sin 0g x x ∴''=-+<，()g x ∴'在(0,1)上单调递减，()(0)0g x g ∴'<'=，()g x ∴在(0,1)上单调递减，()(0)0g x g ∴<=，即2sin 0x x x --<，(0,1)x ∈，2sin x x x ∴-<，(0,1)x ∈，设()sin h x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0h x x '=->，()h x ∴在(0,1)上单调递增，()(0)0h x h ∴>=，(0,1)x ∈，即sin 0x x ->，(0,1)x ∈，sin x x ∴<，(0,1)x ∈，综合可得：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）解：22()sin 1x f x a ax x '=-+- ，222222()cos (1)x f x a ax x +∴''=-+-，且(0)0f '=，2(0)2f a ''=-+，①若2()20f x a ''=->，即a <<时，易知存在10t >，使得1(0,)x t ∈时，()0f x ''>，()f x ∴'在1(0,)t 上单调递增，()(0)0f x f ∴'>'=，()f x ∴在1(0,)t 上单调递增，这显然与0x =为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若2()20f x a ''=-<，即a <a >存在20t >，使得2(x t ∈-，2)t 时，()0f x ''<，()f x ∴'在2(t -，2)t 上单调递减，又(0)0f '=，∴当20t x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当20x t <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，满足0x =为()f x 的极大值点，符合题意；③若2()20f x a ''=-=，即a =()f x 为偶函数，∴只考虑a =的情况，此时22())1x f x x '=+-，(0,1)x ∈时， 2221()22(1)011x f x x x x x '>-+=->--， ()f x ∴在(0,1)上单调递增，与显然与0x =为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：a 的取值范围为(-∞，⋃，)+∞．考点五利用导数研究函数的最值18．（2022•新高考Ⅰ）已知函数()x f x e ax =-和()g x ax lnx =-有相同的最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【过程解析】（1）()f x 定义域为R ，()x f x e ax =- ，()x f x e a '∴=-，若0a …，则()0f x '>，()f x 无最小值，故0a >，当()0f x '=时，x lna =，当x lna <时，()0f x '<，函数()f x 在(,)lna -∞上单调递减，当x lna >时，()0f x '>，函数()f x 在(,)lna +∞上单调递增，故()()min f x f lna a alna ==-，()g x 的定义域为(0,)+∞，()g x ax lnx =- ，1()g x a x'∴=-，令()0g x '=，解得1x a =，当10x a <<时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)a 上单调递减，当1x a >时，()0g x '>，函数()g x 在1(a，)+∞上单调递增，故()1min g x lna =+，函数()x f x e ax =-和()g x ax lnx =-有相同的最小值1a alna lna ∴-=+，0a > ，1a alna lna ∴-=+化为101a lna a --=+，令1()1x h x lnx x -=-+，0x >，则222211(1)121()(1)(1)(1)x x x h x x x x x x x +--+'=-=-=+++， 0x > ，221()0(1)x h x x x +'∴=>+恒成立， ()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，又h （1）0=，h ∴（a ）h =（1），仅有此一解， 1a ∴=．（2）证明：由（1）知1a =，函数()x f x e x =-在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，函数()g x x lnx =-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，设()()()2(0)x u x f x g x e x lnx x =-=-+>，则1()22x x u x e e x'=-+>-，当1x …时，()20u x e '->…，所以函数()u x 在(1,)+∞上单调递增，因为u （1）20e =->，所以当1x …时，()u x u …（1）0>恒成立，即()()0f x g x ->在1x …时恒成立，所以1x …时，()()f x g x >，。

高考数学导数小题分类总结整理

（1） u v
；
（3）
u
；
v
（2） u v （4） cu
；
（ c 为常数）．
复合函数的导数
设函数 u x在点 x 处有导数 u x，函数 y f u在点 x 的对应点 u 处有导数 y f u，则复合函数 y f x在点 x 处也有导数，且 yx yu ux 或写作 f x x f ux ．
趋势，
例 1、导函数正负与原函数图像的影响（1）函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图象如图，且|x1|＜|x2|，则
有( ) A．a＞0，b＞0，c＞0，d＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0，d＜0
变式.已知 R 上可导函数 f x 的图像如图所示，
g(x)
=
f
(x)
−x−b
有三个零点，则实数
b
的取值
范围为（）
（3）设函数 f (x) = ex (2x 1) ax a ,其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使得 f (x0 ) 0，则 a 的
取值范围是（）A.[- ，1） B. [- ，） C. [ ，） D. [ ，1）
变式：（1）已知
D． x2e x1 x1e x2
（2）.已知定义在（0，+∞）上的函数 f（x）的导函数为 f'（x），满足 x2f'（x）+xf（x）
=lnx，f（e）= ，则 f（x）（）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
变式：（1）已知函数 f x 是定义在 0, 内的单调函数，且对

2012年-2021年(10年)全国高考数学真题分类汇编导数客观题(精解精析版)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编导数客观题（精解精析版）一、选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则()A .a b C ．2ab a <D ．2ab a >【答案】D解析：若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹．()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的．当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >．当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >．综上所述，2ab a >成立．故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为()A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【答案】B【解析】()432f x x x =- ，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+．故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l 与曲线y x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为()A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D解析：设直线l 在曲线y x =上的切点为(00x x ，则00x >，函数y x =的导数为12y x'=，则直线l 的斜率02k x =，设直线l 的方程为)0002y x x x x =-，即000x x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +=相切，则=，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+．故选：D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则()A ．,1a e b ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a eb -==-【答案】D【解析】由/ln 1x y ae x =++，根据导数的几何意义易得/1|12x y ae ==+=，解得1a e -=，从而得到切点坐标为(1,1)，将其代入切线方程2y x b =+，得21b +=，解得1b =-，故选D ．【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：导数(附答案解析)

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：导数一．选择题（共5小题） 1．曲线()lnxf x x=在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．14B ．12C ．1D ．22．函数2()lnxf x x=的单调减区间是( ) A ．2[e ，)+∞B ．[,)e +∞C ．(0，2]eD ．(0,]e3．函数()2f x xlnx =-在1x =处的切线方程为( ) A ．20x y +=B ．240x y --=C ．30x y --=D ．10x y ++=4．偶函数()f x '为()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能为()A ．B ．C ．D ．5．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对x R ∀∈，都有2()()x f x e f x -=，当0x >时，()()0f x f x '+<，若211(21)(1)a a e f a e f a -+-+，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．(-∞，1][2-，)+∞C ．(-∞，0][2，)+∞D ．[1-，2]二．多选题（共2小题）6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2()f x xf x f x x <'<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．f π（1）()f π C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 7．对于函数3211()32f x x x cx d =+++，c ，d R ∈，下列说法正确的是( )A ．存在c ，d 使得函数()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 是单调函数的充要条件是14cC ．若1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，则441218x x +>D ．若2c d ==-，则过点(3,0)P 作曲线()y f x =的切线有且仅有2条三．填空题（共6小题）8．已知2()(4)(0f x lnx ax b x a =++->，0)b >在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为．9．函数()f x xlnx x =-在1[,2]2上的最大值为．10．函数()cos 1x f x e x =⋅+在0x =的切线方程为． 11．已知函数()f x f +'（1）22x e ex x =+，则()f x '= ． 12．直线3y kx =-与曲线4y x x =+相切，则k = ．13．若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是．四．解答题（共10小题）14．已知函数()(1)f x x lnx ax =--，a R ∈．（1）设函数()()(()g x f x f x =''为()f x 的导函数），求()g x 的零点个数；（2）若()f x 的最大值是0，求实数a 的值．15．已知函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[0，2]上的值域． 16．已知函数2()x f x xe x ax =--．（1）当12a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x 时，()0f x ，求实数a 的取值范围． 17．已知函数32()3f x x ax a =-+，0a >．（1）求证：()y f x =在(1，f （1）)处和(1-，(1))f -处的切线不平行；（2）讨论()f x 的零点个数．18．已知函数2()((0,1))f x x xlna a =+∈，(0,1)x ∈．（1）当a e =时，求()()x g x e f x =在(0，(0))g 处的切线方程．（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若()x f x ae lnx >对(0,1)x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围． 19．已知函数212()log (1)f x ax x =-+．（1）若2a =-，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 范围；（3）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 范围；（4）若函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数，求实数a 的取值范围． 20．已知函数2()()f x xlnx ax x a R =-+∈．（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，且122x x >，证明：1228x x e>． 21．已知函数21()2()2f x x ax lnx a R =-+∈．（1）当53a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数21()()22g x f x x =-+，若()g x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：122x x e +>．22．已知函数2()(1)(1)f x x lnx x m x =--+-，m R ∈．（1）讨论()f x 极值点的个数．（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12()()24f x f x m +>-． 23．设函数()()x f x x ae a R =-∈．（Ⅰ）求函数()f x 的极值：（Ⅱ）若()+∞时恒成立，求a的取值范围．f x ax在[0x∈，)2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：导数参考答案与试题解析一．选择题（共5小题） 1．曲线()lnxf x x=在点(1，f （1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先利用导数求出切线方程，然后求出切线的横、纵截距，利用面积公式即可求出面积．【解答】解：由题意知f （1）0=，21()lnxf x x -'=，故f '（1）1=，所以切线为1y x =-，令0x =得1y =-；令0y =得1x =，故切线与两坐标轴围成的三角形的面积11|1|122S =⨯-⨯=．故选：B ．【点评】本题考查导数的几何意义和三角形面积的计算，属于基础题． 2．函数2()lnxf x x =的单调减区间是( ) A ．2[e ，)+∞B．)+∞C ．(0，2]eD．【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求导得312()(0)lnxf x x x -'=>，当x ∈，)+∞时，()0f x '，()f x 单调递减，从而可得答案．【解答】解：2()(0)lnxf x x x=>， 2431212()(0)x xlnxlnx x f x x x x ⋅--∴'==>，当x ∈，)+∞时，()0f x '，()f x 单调递减，∴函数2()lnxf x x=的单调减区间是)+∞，故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导函数的符号与函数单调性的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．3．函数()2f x xlnx =-在1x =处的切线方程为( ) A ．20x y +=B ．240x y --=C ．30x y --=D ．10x y ++=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到函数在1x =处的导数值，再求出f （1）的值，利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由()2f x xlnx =-，得()1f x lnx '=-， f ∴'（1）11lnx =-=-，又f （1）2=-，∴函数()2f x xlnx =-在1x =处的切线方程为21(1)y x +=-⨯-，即10x y ++=．故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．4．偶函数()f x '为()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能为()A ．B ．C ．D ．【考点】导数及其几何意义【分析】利用导函数的正负确定原函数的单调性，即可判断选项A ，D ，由原函数为三次函数，即可判断选选项B ，C ．【解答】解：由题意可知，()f x '为偶函数，设()f x '的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x -，1x ，由图象可得，当1x x <-时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当11x x x -<<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当1x x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，故选项A 错误，选项D 错误；由()f x '的图象可知，()f x '在0x =左右的函数值是变化的，不同的，而选项C 中，()f x 的图象在0x =左右是一条直线，其切线的斜率为定值，即导数()f x '为定值，故选项C 错误，选项B 正确．故选：B ．【点评】本题考查了导函数的图象的理解与应用，导函数与原函数之间关系的应用，解题的关键是掌握导数的正负确定原函数的单调性，考查了逻辑推理能力与识图能力，属于中档题． 5．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对x R ∀∈，都有2()()x f x e f x -=，当0x >时，()()0f x f x '+<，若211(21)(1)a a e f a e f a -+-+，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．(-∞，1][2-，)+∞C ．(-∞，0][2，)+∞D ．[1-，2]【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】令()()x g x e f x =，判断()g x 的单调性和奇偶性，根据211(21)(1)a a e f a e f a -+-+，得到(21)(1)g a g a -+，再求出a 的取值范围．【解答】解：令()()x g x e f x =，则当0x >时，()[()()]0x g x e f x f x ''=+<，所以()()x g x e f x =在区间(0,)+∞单调递减，又2()()(())()()x x x x g x e f x e e f x e f x g x ---=-===，所以()g x 为偶函数，且在区间(,0)-∞单调递增，又211(21)(1)a a e f a e f a -+-+，即(21)(1)g a g a -+，所以|21||1|a a -+，即22(21)(1)a a -+，解得0a 或2a ，所以a 的取值范围为(-∞，0][2，)+∞．故选：C ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和函数的奇偶性，考查了转化思想，属中档题．二．多选题（共2小题）6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2()f x xf x f x x <'<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是( ) A ．f π（1）()f π C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【考点】利用导数研究函数的最值【分析】设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，(0,)x ∈+∞，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，(0,)x ∈+∞，则243[()1]2[()]()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=，因为()()2()f x xf x f x x '<<-对(0,)x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增，则g （1）g >（2），h （1）()h π<，即22(1)1(2)212f f -->，(1)()1f f ππ<，即(2)142f f +<（1），f π（1）()f π<，故选：AD ．【点评】本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力．7．对于函数3211()32f x x x cx d =+++，c ，d R ∈，下列说法正确的是( )A ．存在c ，d 使得函数()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 是单调函数的充要条件是14cC ．若1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，则441218x x +>D ．若2c d ==-，则过点(3,0)P 作曲线()y f x =的切线有且仅有2条【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值【分析】利用奇函数的定义即可判断选项A ，求出()f x '，利用导数的正负与函数单调性的关系，求解即可判断选项B ，利用极值的定义以及指数的性质、韦达定理求解，即可判断选项C ，求出函数的极值点，作出函数的大致图，即可判断选项D ．【解答】解：若存在c ，d 使得函数()f x 的图象关于原点对称，则函数()f x 为奇函数，因为函数3211()32f x x x cx d =+++，c ，d R ∈，则3211()32f x x x cx d -=-+-+，因为2()()2f x f x x d +-=+对于任意的x ，不满足()()0f x f x -+=，所以函数()f x 不是奇函数，故选项A 错误；因为函数3211()32f x x x cx d =+++，c ，d R ∈，则2()f x x x c '=++，要使得()f x 是单调函数，必满足△140c =-，解得14c ，故选项B 正确；若函数有两个极值点，必满足△0>，即14c <，此时12121x x x x c +=-⎧⎨=⎩，所以222121212()212x x x x x x c +=+-=-，则4422222222121212()2(12)22412(1)1x x x x x x c c c c c +=+-=--=-+=--，因为14c <，所以22112(1)12(1)148c -->--=，所以441218x x +>，故选项C 正确；若2c d ==-，则3211()2232f x x x x =+--，所以2()2f x x x '=+-，令()0f x '=，解得2x =-或1x =，当2x <-时，()0f x '>，则()f x 单调递增，当21x -<<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以当2x =-时，()f x 取得极大值，当1x =时，()f x 取得极小值，作出函数的大致图象如图所示，其中两条虚线代表两条相切的切线，故选项D 正确．故选：BCD ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值的理解与应用，利用导数研究曲线的切线问题，函数图象的理解与应用，奇函数定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．三．填空题（共6小题）8．已知2()(4)(0f x lnx ax b x a =++->，0)b >在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为 3 ．【考点】利用导数研究函数的极值【分析】根据在1x =处取得极值，求出23a b +=，由基本不等式“1“的应用代入求最小值．【解答】解：1()24f x ax b x'=++-，因为()f x 在1x =处取得极值，所以f '（1）0=，即1240a b ++-=，所以23a b +=．所以211211221()(2)(41)(523333b a a b a b a b a b +=++=++++=，当且仅当1a b ==时取等号．把1a =，1b =代入()f x 检验得，1x =是()f x 的极值点，故21a b+的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查利用导数研究极值的方法，基本不等式求最值的方法等知识，属于中等题．9．函数()f x xlnx x =-在1[,2]2上的最大值为 222ln - ．【考点】利用导数研究函数的最值【分析】求导分析，可求得(){max f x max f =（2），1()}2f ，作差f （2）1()2f -，可得答案．【解答】解：()f x xlnx x =-，()11f x lnx lnx ∴'=+-=，当1[2x ∈，1)时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1x ∈，2]时，()g x 单调递增，∴当1x =时，()f x 取得最小值，(){max f x max f =（2），1()}2f ，又f （2）111153()222()20222222f ln ln ln ln ln -=---=-=>=>，所以()222max f x ln =-，故答案为：222ln -．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．10．函数()cos 1x f x e x =⋅+在0x =的切线方程为 20x y -+= ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到函数在0x =处的导数值，再求出(0)f ，利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由()cos 1x f x e x =⋅+，得()cos sin x x f x e x e x '=⋅-⋅，则(0)1f '=，又(0)2f =，∴函数()cos 1x f x e x =⋅+在0x =的切线方程为21(0)y x -=⨯-，即20x y -+=．故答案为：20x y -+=．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．11．已知函数()f x f +'（1）22x e ex x =+，则()f x '= 222x ex e -+ ．【考点】导数的运算【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：()f x f +'（1）22x e ex x =+，()f x f ∴'+'（1）22x e ex =+， f ∴'（1）f +'（1）22e e =+， f ∴'（1）2=，()222x f x ex e ∴'=-+，故答案为：222x ex e -+．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．12．直线3y kx =-与曲线4y x x =+相切，则k = 3-或5 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由题意可得切点横坐标与k 的方程组，求解得答案．【解答】解：由4y x x =+，得314y x '=+，设切点为4000(,)x x x +，则30400143k x kx x x ⎧=+⎪⎨-=+⎪⎩，解得013x k =-⎧⎨=-⎩或015x k =⎧⎨=⎩． 3k ∴=-或5．故答案为：3-或5．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题． 13．若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是 (2-，1]2- ．【考点】利用导数研究函数的最值【分析】对()f x 求导得2()33f x x '=-，求得其最大值点，再根据()f x 在区间(2,23)a a -+上有最大值，求出a 的取值范围．【解答】解：因为函数3()31f x x x =--，所以2()33f x x '=-，当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当1x =-时，()f x 取得最大值，又(1)f f -=（2）2=，且()f x 在区间(2,23)a a -+上有最大值，所以21232a a -<-<+，解得122a -<-，所以实数a 的取值范围是(2-，1]2-．故答案为：(2-，1]2-．【点评】本题考查导数的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．四．解答题（共10小题）14．已知函数()(1)f x x lnx ax =--，a R ∈．（1）设函数()()(()g x f x f x =''为()f x 的导函数），求()g x 的零点个数；（2）若()f x 的最大值是0，求实数a 的值．【考点】利用导数研究函数的最值【分析】（1）由题意得()2g x lnx ax =-，令()0g x =，得2lnx a x =，设(),0lnxh x x x=>，求导可知函数()h x 的单调递增区间是(0,)e ，单调递减区间是(,)e +∞，作出函数()h x 的大致图象，数形结合即可求出()g x 的零点个数．（2）由（1）可知当12a e 和0a 时，函数()f x 无最大值，当102a e<<时，存在1(1,)x e ∈，2(,)x e ∈+∞，使得12()()2h x h x a==，由单调性可知222222222()()(1)(1)02max lnx f x f x x lnx ax x lnx x x ==--=-⋅-=，从而求出a 的值．【解答】解：（1）由题意得()()2g x f x lnx ax ='=-，令()0g x =，得2lnxa x=，设(),0lnx h x x x =>，则21()lnxh x x-'=，当x e >时，()0h x '<；当0x e <<时，()0h x '>，∴函数()h x 的单调递增区间是(0,)e ，单调递减区间是(,)e +∞， ∴1()()max h x h e e==，作出函数()h x 的大致图象如图所示，数形结合可知，当20a 或12a e =，即0a 或12a e=时，函数()g x 有1个零点；当12a e >，即12a e>时，函数()g x 没有零点；当102a e <<，即102a e<<时，函数()g x 有2个零点．（2）由1可知()(()2)f x x h x a '=-， ①当12ae时，()0f x '恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减，无最大值， ②当0a 时，存在唯一的0(0x ∈，1]，使得0()2h x a =，当0x x >时，()0f x '>，当00x x <<时，()0f x '<，()f x ∴在0(0,)x 上单调递减，0(x ，)+∞上单调递增，无最大值，③当102a e<<时，存在1(1,)x e ∈，2(,)x e ∈+∞，使得12()()2h x h x a ==，易得()f x 在1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递减，在1(x ，2)x 上单调递增，又当(0,1)x ∈时，()(1)0f x x lnx ax =--<，∴222222222()()(1)(1)02max lnx f x f x x lnx ax x lnx x x ==--=-⋅-=，解得：22x e =，∴22212lnx a x e ==．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了方程的根与函数零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题． 15．已知函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 在[0，2]上的值域．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（1）依题意，得f （1）1=-，f '（1）0=，联立方程组，即可解得a 、b 的值；（2）可求得()(1)(31)f x x x '=-+，[0x ∈，2]，分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得函数()f x 的单调增区间与单调递减区间，从而可求得()f x 在[0，2]上的值域．【解答】解：（1）函数32()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-，2()362f x x ax b ∴'=-+，f '（1）3620a b =-+=，① 且f （1）1321a b =-+=-，② 联立①②得：13a =，12b =-；（2）由（1）得32()f x x x x =--，2()321(1)(31)f x x x x x ∴'=--=-+，[0x ∈，2]，由2()3210f x x x '=-->得12x <；由2()3210f x x x '=--<得01x <，∴函数()f x 在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增；又(0)0f =，f （1）1=-，f （2）8422=--=， ()f x ∴在[0，2]上的值域为[1-，2]．【点评】本题考查利用导数求函数的极值与最值，考查导数的几何意义，考查方程思想与转化化归思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 16．已知函数2()x f x xe x ax =--．（1）当12a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x 时，()0f x ，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）对()f x 求导，利用导数与单调性的关系即可求解()f x 的单调区间；（2）()(1)x f x x e ax =--，令()1x g x e ax =--，求出()x g x e a '=-，对a 分类讨论，即可求解满足题意的a 的取值范围．【解答】解：（1）当12a =时，21()(1)2x f x x e x =--，则()1(1)(1)x x x f x e xe x e x '=-+-=-+．令()0f x '=，则1x =-或0，当(x ∈-∞，1)(0-⋃，)+∞时，()0f x '>；当(1,0)x ∈-时，()0f x '<； ()f x ∴的单调递增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-．（2）由题设，()(1)x f x x e ax =--，令()1x g x e ax =--，则()x g x e a '=-．若1a ，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数，而(0)0g =，∴当0x 时，()0g x ，即()0f x ．若1a >，当(0,)x lna ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，而(0)0g =，∴当(0,)x lna ∈时，()0g x <，即()0f x <，不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(-∞，1]．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．17．已知函数32()3f x x ax a =-+，0a >．（1）求证：()y f x =在(1，f （1）)处和(1-，(1))f -处的切线不平行；（2）讨论()f x 的零点个数．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）依题意，若f '（1）(1)f ='-，则0a =，与0a >矛盾，从而证得结论成立；（2）由①知，()f x 在(,0)-∞，(2,)a +∞上单调递增，在(0,2)a 上单调递减，分102a <<，12a =时，12a >三类讨论，可得答案．【解答】解：（1）证明：2()363(2)f x x ax x x a '=-=-，0a >，① 若()y f x =在(1，f （1）)处和(1-，(1))f -处的切线平行，则f '（1）(1)f ='-，即3636a a -=+，解得0a =，与0a >矛盾，所以()y f x =在(1，f （1）)处和(1-，(1))f -处的切线不平行；（2）(0)0f a =>，(1)120f a -=--<，0(1,0)x ∴∃∈-，使得0()0f x =；由①知，()f x 在(,0)-∞，(2,)a +∞上单调递增，在(0,2)a 上单调递减， ()f x ∴在(,0)-∞上有唯一零点0x ；又311(2)44()()22f a a a a a a =-+=-+-，1∴︒当102a <<时，(2)0f a >，由单调性知()f x 有且仅有一个零点0x ； 2︒当12a =时，(2)0f a =，由单调性知()f x 有且仅有两个零点0x 和1； 3︒当12a >时，(2)0f a <，(3)0f a a =>， 1(0,2)x a ∴∃∈，使得1()0f x =；2(2,3)x a a ∈，2()0f x =，此时共有3个零点0x 、1x ，2x ；综上，当102a <<时，()f x 有且仅有一个零点；当12a =时，()f x 有且仅有两个零点；当12a >时，()f x 有且仅有3个零点．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想、转化与化归思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题． 18．已知函数2()((0,1))f x x xlna a =+∈，(0,1)x ∈．（1）当a e =时，求()()x g x e f x =在(0，(0))g 处的切线方程．（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若()x f x ae lnx >对(0,1)x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值【分析】（1）根据题意可得，当a e =时，2()()x g x e x x =+，求导得()g x '，由导数的几何意义可得()01k g ='=切，又(0)0g =，即可得出答案．（2）求导得()2f x lna x '=+，(0,1)x ∈，分两种情况：20a e -<，21e a -<<，讨论()f x '的正负，进而可得()f x 的单调区间．（3）由于2xae lnx x xlna <+，则()x x ln ae lnx ae x>对任意(0,1)x ∈恒成立，设()(0)lnxH x x e x=<<，求导分析()H x 的单调性，进而可得x x a e >对任意(0,1)x ∈恒成立，设()xxG x e =，(0,1)x ∈，只需()max a G x >，即可得出答案．【解答】解：（1）当a e =时，22()()[]()x x x g x e f x e x xlne e x x ==+=+，22()()(21)(31)x x x g x e x x e x e x x '=+++=++，所以()01k g ='=切，又(0)0g =，所以()g x 在(0，(0))g 处的切线方程为01(0)y x -=-，即y x =．（2）因为2()f x x xlna =+，(0,1)x ∈，所以()2f x lna x '=+，(0,1)x ∈，若20a e -<，即2lna -，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，若21e a -<<，即20lna -<<，012lna<-<，当02lnax <<-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当12lnax -<<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，综上所述，当20a e -<时，函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递减，当21e a -<<时，函数()f x 在(0,)2lna x ∈-上单调递减，在(2lna-，1)上单调递增．（3）因为2x ae lnx x xlnx <+，所以()x x x lnx x lna ln ae x ae ae +<=，即()x x ln ae lnx ae x>对任意(0,1)x ∈恒成立，设()(0)lnxH x x e x=<<，则21()lnxH x x -'=，当(0,)x e ∈时，()0H x '>，()H x 在(0,)e 上单调递增，又(0,1)x ∈，(0,1)a ∈，所以(0,)x ae e ∈，由()()x H ae H x >得x ae x >对任意(0,1)x ∈恒成立，即x xa e>对任意(0,1)x ∈恒成立，设()xxG x e =，(0,1)x ∈，则1()0xxG x e -'=>，所以()G x 在(0,1)上单调递增，所以()G x G <（1）1e =，所以a 的取值范围为1[e，1)．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题． 19．已知函数212()log (1)f x ax x =-+．（1）若2a =-，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 范围；（3）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 范围；（4）若函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数，求实数a 的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）2a =时，212()log (21)f x x x =--+，利用符合函数的单调性可求函数的单调区间；（2）因为()f x 的定义域为R ，所以210ax x -+>对x R ∀∈恒成立，转化为含参数的一元二次不等式恒成立问题求解；（3）由函数()f x 的值域为R ，则21t ax x =-+可取所有大于0的实数，分析可知0a =和0a >时均有符合条件的a ，解不等式可得a 的取值范围；（4）由符合函数的单调性可转化为21t ax x =-+在(1,1)-上为减函数，且0t >，分三种情况求解即可．【解答】解：（1）2a =时，212()log (21)f x x x =--+，由2210x x --+>，解得1(1,)2x ∈-，故函数定义域为1(1,)2x ∈-，令221t x x =--+，则12log y t =，因为()t x 在1(1,)4--单调递增，在1(4-，1)2单调递减，而12log y t =在0t >时单调递减，由复合函数的单调性可知，()f x 在1(1,)4--单调递减，在11(,)42-单调递增，故()f x 的单调递增区间为11(,)42-，单调递减区间为1(1,)4--；（2）因为()f x 的定义域为R ，所以210ax x -+>对x R ∀∈恒成立，当0a =时，10x -+>，所以1x <-，不合题意；当0a <时，21y ax x =-+开口向下，必有0y <的部分，不合题意；当0a >时，由△0<得，140a -<，解得14a >，综上，a 的取值范围是1(4，)+∞；（3）若函数()f x 的值域为R ， 21t ax x =-+可取所有大于0的实数，当0a =时，1t x =-+，符合题意；当00a >⎧⎨⎩时，即0140a a >⎧⎨-⎩，104a <时符合题意，综上，a 的取值范围是[0，1]4；（4）令221t x x =--+，则12log y t =，因为12log y t =在0t >时单调递减，由复合函数的单调性可知，要满足若函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数，则21t ax x =-+在(1,1)-上为减函数，且0t >， ①当0a >时，需112(1)110a t a -⎧-⎪⎨⎪=-+⎩，解得102a <；②当0a =时，1t x =-+，只需t （1）110=-+即可，即00，成立，故0a =符合题意； ③当0a <时，需112(1)110a t a -⎧--⎪⎨⎪=-+⎩即1120a a ⎧-⎪⎨⎪⎩，结合0a <可知此情况无解；综上，实数a 的取值范围是[0，1]2．【点评】本题考查了符合函数的单调性，以及利用符合函数单调性求解参数范围的问题，属于中档题．20．已知函数2()()f x xlnx ax x a R =-+∈．（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，且122x x >，证明：1228x x e >．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）当0a =时，求得()2f x lnx '=+，即可求得()f x 的单调区间；（2）依题意，得12112211lnx lnx a x x x x =+=+，结合式子的特点构造函数，求导，利用函数的导数与函数单调性的关系即可证明结论成立．【解答】解：（1）当0a =时，()(0)f x xlnx x x =+>， ()2f x lnx '∴=+，令()0f x '>，得21x e >，令()0f x '<，得210x e<<， ()f x ∴的单调增区间是21(,)e +∞，单调减区间是21(0,)e ；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则22111122220,0x lnx ax x x lnx ax x -+=-+=， ∴12112211lnx lnx a x x x x =+=+．由122x x >，令211()2x tx t =<，则111111()11lnx ln tx x x tx tx +=+， ∴111lnt lnx t =--，∴211()11tlntlnx ln tx lnt lnx t ==+=--， ∴1212(1)()112111lnt tlnt t lntln x x lnx lnx t t t +=+=-+-=----．令(1)()2(2)1t lnth t t t +=->-，则212()(1)lnt t t h t t -+-'=-，令1()2(2)t lnt t t tϕ=-+->，则22221(1)()10t t t t t ϕ-'=-++=>，()t ϕ∴在(2,)+∞上单调递增，∴3()(2)2202t ln ϕϕ>=->， ∴2()()0(1)t h t t ϕ'=>-，则()h t 在(2,)+∞上单调递增，∴28()(2)322h t h ln ln e >=-=，即1228()ln x x ln e>， ∴1228x x e >．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查分离参数法与构造函数法的综合运用，考查转化与化归思想及逻辑推理能力、综合运算能力、抽象思维能力，属于难题．21．已知函数21()2()2f x x ax lnx a R =-+∈．（1）当53a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数21()()22g x f x x =-+，若()g x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：122x x e +>．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由题意，代入53a =，对函数求导，再求单调区间即可，（2）由题意，()g x 有两个零点，可利用分离参数法，将两个根转化为关于t 的函数，再证明结论即可．【解答】解：（1）当53a =时，2110(),023f x x x lnx x =-+>，21103103(31)(3)()333x x x x f x x x x x-+--'∴=+-==⋅由()0f x '>，得()f x 的单调增区间为1(0,),(3,)3+∞；由()0f x '<，得()f x 的单调减区间为1(,3)3．证明：（2）由题意．得()220g x lnx ax =-+=有两个根122,2lnx x x a x+⇔=有两个根1x ，2x ．令221()(0),()lnx lnx m x x m x x x+--'=>=．由11()0,()0m x x m x x e e''>⇒<<⇒>．()m x ∴在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．()g x 有两个不同的零点1x ，2.x 不妨设12x x <．∴1210x x e<<< 要证明：122x x e+>，需证：2e>．需证：1221x x e>．（※）又1221121221122242lnx lnx lnx lnx lnx lnx a x x x x x x ++-++====-+． ∴22221111122211()(1)()41x x x x x lnln x x x ln x x x x x x +++==--．今211x t x =>，且(1)()1t lnth t t +--，得212()(1)t lnt t h t t --'=-．令1()2r t t lnt t=--，得2221221()10t t r t t t t -+'=+-=>．()r t ∴在(1,)+∞上单调递增，()r t r >（1）0=，即()0h t '>．()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()h t h >（1）2，∴12121221()42()2ln x x ln x x x x e +>⇒>-⇒>， ∴（※）式成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查学生的综合能力，属于难题． 22．已知函数2()(1)(1)f x x lnx x m x =--+-，m R ∈．（1）讨论()f x 极值点的个数．（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12()()24f x f x m +>-．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可判断函数的极值点；（2）构造函数()()(2)h x f x f x =+-，利用导数和函数单调性和最值的关系，可得要证12()()24f x f x m +>-，即可证明122x x +，再根据导数和极值的关系去证明2121122lnx lnx x x x x ->-+，再利用换元法，再构造导数，利用导数和函数的最值的关系即可证明．【解答】解：（1）2()(1)(1)f x x lnx x m x =--+-，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 1()2f x lnx x m x∴'=--+，令1()2g x lnx x m x=--+， 222222112121(21)(1)()2x x x x x x g x x x x x x -++--+-∴'=+-==-=-，当()0g x '=时，解得1x =，当01x <<时，()0g x '>，函数()g x 得到递增，当1x >时，()0g x '<，函数()g x 得到递减， ()max g x g ∴=（1）3m =-，①当3m 时，()()0f x g x '=恒成立，∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 无极值点，②当3m >时，1103m <<，g （1）0>，112()0g ln m m m =-<，1()0g m lnm m lnm m m =--<-<，∴存在11(x m∈，1)，2(1,)x ∈+∞，则12()()0g x g x ==，即12()()0f x f x '='=，故()f x 有2个极值点，综上所述当3m 时，无极值点，当3m >时，有2个极值点．（2）证明：22()()(2)(1)(1)(1)(2)(2)(1)(2)h x f x f x x lnx x m x x ln x x m x =+-=--+-+----+--，01x <<，则11()(2)442h x lnx ln x x x x'=----++-，则11()(2)442x lnx ln x x x xϕ=----++-， 2211111111()4(2)(1)(2)(1)2(2)22x x x x x x x x xϕ∴'=+-++=+--+-----，01x <<，∴11102x x>>>-， ∴112202x x +>+>-，221122222(1)1x x x x x +==>--+--+， ∴111102x x->->-， ()0x ϕ∴'>，()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，则()x ϕϕ<（1）0=，即()0h x '<， ()h x ∴在(0,1)上单调递减，则()h x h >（1）24m =-， 101x <<，111()()(2)24h x f x f x m ∴=+->-，要证12()()24f x f x m +>-，只需证21()(2)f x f x -， 121x ->，21x >，112x x ->，()f x ∴在1(x ，2)x 上是增函数，∴只需要证112x x -，即证122x x +，由111120lnx x m x --+=，222120lnx x m x --+=，两式相减可得212121122()0x x lnx lnx x x x x ----+=，即212112120lnx lnx x x x x -+-=-，12x x +>，∴2121214()x x x x >+，下面证明2121122lnx lnx x x x x ->-+，即证2212112(1)1x x x ln x x x ->+，令211x t x =>，即证2201t lnt t -->+，令22()01t p t lnt t -=->+，0t >，则22214(1)()0(1)(1)t p t t t t t -'=-=>++，()p t ∴在(1,)+∞上单调递增， ()p t p ∴>（1）0=，∴2121122lnx lnx x x x x ->-+，又21221121212124022()lnx lnx x x x x x x x x -=+->+--++，212121212()()2(2)(1)0x x x x x x x x ∴+-+-=+-++>， 122x x ∴+>，问题得以证明．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．23．设函数()()x f x x ae a R =-∈．（Ⅰ）求函数()f x 的极值：（Ⅱ）若()f x ax 在[0x ∈，)+∞时恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值【分析】（Ⅰ）求出()f x '，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()0f x '>求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()0f x '<求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；根据单调性即可求得()f x 的极值⋅（Ⅱ）参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题⋅ 【解答】解：（Ⅰ）由题可知()1x f x ae '=-，①当0a ，()0f x '，()f x 在R 上单调递增，()f x ∴没有极值； ②当0a >，()0f x '=时，1x ln a=．当1(,)x ln a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x ln a ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；()f x ∴在1x ln a =时取得极大值11ln a-，没有极小值⋅综上所述，当0a 时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值11ln a-，无极小值；（Ⅱ）()f x ax x ax a ⇒+()x x e x a x e ⇒+ [0x ∈，)+∞，∴xxax e +，令(),0xxg x x x e =+，则原问题()max a g x ⇔，[0x ∈，)+∞，22(1)(1)()()()x x x x x x e x e e x g x x e x e +-+-'==++，101x x ->⇒<， [0x ∴∈，1)，()0g x '>，()g x 单调递增；(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减；∴1()(1)1max g x g e ==+，∴11a e⋅+ a ∴的取值范围为1[1e+，)+∞．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．。