教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc
“含参数不等式的恒成立”问题及其解法
“含参数不等式的恒成立”问题及其解法“含参数不等式的恒成立”问题，是近几年高中数学以及高考的常见问题，它一般以函数、数列、三角函数、解析几何为载体，具有一定的综合性。
解决这类问题的主要方法是最值法：若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 已知函数()()1112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x f .①求()x f 的反函数()x f 1-;②若不等式()()()x a a x f x ->--11对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立,求实数a 的取值范围.分析：本题的第二问将不等式()()()x a a x f x ->--11转化成为关于t 的一次函数()()211a t a t g -++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？ 【解析】 ①略解()()10111<<-+=-x xx x f②由题设有()()x a a xx x->-+-111,∴x a a x ->+21,即()0112>-++a x a 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立. 显然,a ≠-1令x t =,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t则()()0112>-++=a t a t g 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立.由于()()211a t a t g -++=是关于t 的一次函数.（在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 的条件下()()211a t a t g -++=表示一条线段，只要线段的两个端点在x 轴上方就可以保证()()0112>-++=a t a t g 恒成立）∴()()451011210114102104122<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-++>-++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a g g例二 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。
含参不等式恒成立问题
专题课含参不等式恒成立问题－－参数取值范围求解策略知识梳理:“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
(一)、判别式法：●若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
【类型1】:一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 (1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; (2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.0⎩⎨⎧<∆<⇔a【类型2】：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）当0a >时，()0[,]f x x αβ>∈在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf ab a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或例1．已知函数2lg[(1)(1)1]y a x a x =-+-+的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
例2．一元二次不等式220x bx ++<在[]1,2上恒成立，求实数b 的取值范围。
含参不等式恒成立问题
恒成立、能成立、恰成立问题解法汇编一、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切，αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
(完整版)《不等式恒成立问题》教案
《不等式恒成立问题》一、教学目标：（1）知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划求最值。
（2）能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，提升解决问题的能力。
（3）情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地参加高考。
二、教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。
三、教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。
四、教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。
五、教具准备：多媒体课件六、教学过程：高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。
如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。
12例1.若不等式x +ax +1≥0对于一切x x ∈(0,]成立，2则a 的最小值为（）A.0B.-25 D.-3C.-211由x ∈(0,]，∴a ≥-(x +).，法一:不等式可化为ax ≥-x 2-1Q (x +111∴(-x -)max )在(0,]上是减函数,x x 22法二：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-a .2255=-∴a ≥-22x①a oy1x 2⎧a ⎪-≤0⎨2⇒a ≥0⎪⎩f (0)≥0②③ooyx =-yya 212x1⎧a -≥⎪⎪22⇒-1<a <0⎨⎪f (1)≥0⎪⎩2a 1⎧0<-<⎪⎪225⎨⇒-≤a ≤-1a 2⎪f (-)≥0⎪⎩2a2a2法三：验证法：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-.212当a =0时，f (x )=x +1≥0在（0,]恒成立。
212当a =-2时，f (x )=x 2-2x +1=（x -1）在（0,]恒成立。
25551当a =-时，f (x )=x 2-x +1，对称轴x =，（0,]是f (x )的减区间，224211f ()=0，故f (x )≥0在（0,]恒成立。
含参不等式恒成立学生教案
戴氏教育名校冲刺教育中心不等式中恒成立问题戴氏教育温馨提醒：亲爱的朋友，请相信老师对你是授之以渔，是学习的方法！跟随老师的脚步，定能“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”！1 分离参数法例 1：设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。
例 2： 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。
例 3： 设0<a 45≤,若满足不等式b a x <-的 一切实数x ，亦满足不等式212<-a x 求正实数b 的取值范围。
2 主参换位法例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-=的值恒大于0，求x 的取值范围。
例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范围。
3 构建函数法（1） 构造一次函数 例6： 若对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++2222log 21log log 恒成立，求实数x 的取值范围。
（2） 造二次函数例7： 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求实数m 的范围。
4 数形结合法 例8、已知对于一切x ，y ∈R ，不等式021*******≥--+-+a y x xy xx 恒成立，求实数a 的取值范围。
例9：若不等式0log 32<-x x a 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,0x 内恒成立，求实数a 的取值范围。
5. 观察.试探.猜想.证明法例10： 已知对一切实数θ，不等式()03cos sin 424>+-+-a a θθ恒成立，试求实数a 的取值范围。
含参不等式恒成立问题的解法标准版资料
例2、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立(chénglì)，求实数m的取值 范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立(chénglì)，求实数x的取值
范解围(2). : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m[-2,2]）
件为：
△=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的条
件为：
(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得:
1<m<
3 2
综上可知: 适合条件的m的范围是:
-11<m
<
3 2
。
第七页，共10页。
练习 3.若不等式x2-kx+2>0,对x∈[-3,3]恒成
∴x 解得:
（ 1<m_<，_C_<_）0________Δ_=_b__2-_4_a_c__<_0。
问题(wèntí)获解。
题，分类讨论。
△=(m-1)2-12(I-m)<0 ，
３、ａ≥f(x)恒成立的等价(děngjià)条件ａ是≥[：f (x)] max
_____________;
ａ≤[f (x)] min
题，分类讨论。 3、通过分离参数，将问题(wèntí)转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒
当t∈[0,1]时，不等式xt>x-1恒成立，求x的取值范围. 一、基础(jīchǔ)知识点：
不等式专题含参数不等式恒成立与存在性问题教案含答案
专题-含参数不等式恒成立与存在性问题由任意性和存在性条件求参数的取值范围问题，一直是高考数学考试的重点和难点。
通过对近几年高考数学试题的研究，我们发现这类试题往往以压轴题的形式出现，所涉及的知识点内容覆盖面广，其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。
下面就对这类问题进行详细的归类、归法，构建知识体系，希望对同学们有所帮助。
一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式. 类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=，则有：（1）如果()0()0()0f m f x f n >⎧>⇔⎨>⎩恒成立；（2）如果()0()0()0f m f x f n <⎧<⇔⎨<⎩恒成立.例1、若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围. 解：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主元，原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x . 说明：在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。
如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈ （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .例2、已知关于x 的不等式2210mx mx ++>对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.解：当0m =时，原不等式化为10>显然成立；当0m ≠时，则需要满足条件：201440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩； 综上，实数m 的取值范围是[0,1).类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，如果],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或； 当0>a 时，如果],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f .（2）当0<a 时，如果],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ；当0<a 时，如果],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或. 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
含参不等式恒成立问题
含参不等式恒成立问题的求解策略【教学目标】知识与技能：理解有关恒成立问题成立的充要条件，并掌握解决此类问题的基本技能． 过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．情感、态度与价值观：通过对问题的探究，理解事物间普遍联系与辩证统一观点，体验成功的喜悦．【教学重点与难点】重点：理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能．难点：利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题．【教学方法】 诱导探究法【教学手段】 多媒体辅助教学【教学过程】例题1 已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围． 分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f ；思路2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<； 思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=图像的上方．简解：思路1、按对称轴a x =与区间]2,1[的关系分类讨论：当10<<a 时，022)1()(m i n >-==a f x f ，10<<∴a ；当21<<a 时，01)()(2min >-==a a f x f ，此时a 不存在；当2>a 时，045)2()(min >-==a f x f ，此时亦a 不存在．综上所述，a 的取值范围是10<<a ．思路2、)1(212101222x x x x a ax x +=+<⇒>+-，]2,1[∈x ，得10<<a ．例题2、 已知函数12)(2+-=ax x x f ，xa x g =)(，其中0>a ，0≠x ． （1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 分析：（1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．（2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可． 对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ， 所以a 的取值范围是320<<a ． （2）略. 例题3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x a b +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a 简解：方法1:对b x x a b x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='， 得a x =（极小值点），a x -=（极大值点），故),(a --∞增，)0,(a -减，),0(a减，),(+∞a 增．由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者． ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 设计意图：通过变式，逐步增加思考难度，例2是两个函数间的恒成立问题，例3是有关双参数的恒成立问题，再次让学生懂得解决此类问题的实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用函数思想求解的重要性．思考 （2010年绍兴市一模数学试卷理第17题改编）在区间]1t ,t [+上满足不等式1|13|3≤+-x x 恒成立，求实数t 的取值范围．分析：3图解：成立问题，让学生重视解决这类问题，体现其考查的价值与意义．。
不等式恒成立问题教案
不等式恒成立问题教案教学目标：1．掌握解决不等式恒成立问题的基本方法：最值分析法、变量分离法、图像法等；能根据题目的构成特征，合理选择解题最优策略；2．在解决不等式恒成立问题的过程中，体验数形结合，函数与方程，分类讨论的数学思想方法；3．养成眼睛的思维习惯，提高分析解决问题的能力.教学重点: 处理不等式恒成立问题的基本方法．教学难点：不等式恒成立问题解法的合理选择．教学内容：一、复习二次不等式的恒成立问题二、例题分析例题1. 对于一切实数x，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．变式1：对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．变式2：对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．例题2. 若关于的不等式对任意在恒成立，则实常数的取值范围是.答案：巩固练习1：1. 在上定义运算：，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 _________________2．若函数在上有意义，则实数a的取值范围是______3. 已知关于的方程恒有解，求实数的取值范围。
例题3.：如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是_______巩固练习2：2. 当x(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x恒成立，求a的取值范围．3. 设函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．答案：三、知识回顾，方法总结；1．最值分析法2．分离变量法3．图像法四、结束语：数学常见恒成立,最值分析来考虑;变量分离和图像,往往也来共参与.五、教学反思1. 第三轮复习的内容可以参照二模的一些新题型，提高学生的学习兴趣2. 复习的内容偏重于基础，可以在思维上再加深一些难度。
3. 课上学生的含参问题的计算能力不强，需要在以后的教学过程中加以改进教学说明：不等式的恒成立问题是高考中常见的一类问题，解题方法比较多，需要让学生在复习过程中加以提炼。
所以我在第三轮复习时选择了这个课题让学生研究。
在教学过程中主要抓住了解不等式恒成立问题的一些基本类型加以复习巩固和课堂练习。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
三在x [句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f 心理 三 三
f 心 理 三
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
（2）当
a
三 时，
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
f
心x理
三在x
[句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象
位置关系通过特指求解 a的取值范围。
解：设 T:f (x) =(x 1)2 ,T:g(x) log x ,则 T的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2f)(x,) <g(x)
1
2
a
1
恒成立即 T的图象一定要在 T的图象所的下方，显然 a>1并,且必须也只需 g(2) f (2)
解：要使 (a 2)x 2 2(a 2)x 4 0 对于 x Ｒ恒成立，则只须满足：
a 2 0 （1） 4(a 2)2 16(a 2) 0 或
a 2 0 （2） 2(a 2) 0
4 0
a 2 解（1）得 2 a 2
，解（2） a ＝２
∴参数 a 的取值范围是－２＜ a ２．
的最值问题：
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
；
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
.
例
1．已知函数
f
人教版高中数学必修5学案含参不等式恒成立问题
姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1﹑理解有关恒成立问题成立的充要条件，并掌握解决此类问题的基本技能2﹑培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、转化与化归思想．【重点难点】▲重点：理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能．▲难点：利用转化思想，通过函数的性质化归至最值问题来处理恒成立问题．【知识链接】1、三个“二次”之间的关系2、一元二次不等式的解法【学习过程】题型一 形如02>++c bx ax （或<0）对R x ∈恒成立例1﹑若关于x 的不等式0222>++ax x 在R 上恒成立，求a 的取值范围.变式：若关于x 的不等式0422<-+ax ax 在R 上恒成立，求a 的取值范围.例2、已知xa x x x f ++=2)(2对任意[)0)(,,1≥+∞∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.变式： 对任意0>x 都有a x x x ≤++132恒成立，求a 的取值范围 .小结：形如“a x f >)(对∈x 区间I 恒成立”问题⇔________________________________ 形如“a x f <)(对∈x 区间I 恒成立”问题⇔________________________________【基础达标】B1、当a 为何值时，不等式01)1(2)1(22<--+-x a x a 的解集为全体实数?C2、关于x 的不等式:0122>+-ax x 对[]2,1∈x 恒成立，其中0>a ，求实数a 的取值范围.C3、关于x 的不等式:0122>+-ax x 对(]0,∞-∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.【小结】【当堂检测】B1﹑若关于x 的不等式0222>++x ax 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围.【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。
含参不等式恒成立问题教程文件
含参不等式恒成立问题仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
含参不等式恒成立
含参不等式恒成立问题（专题课）一.复习与质疑（一）复习内容：1：恒成立问题2：基本不等式3：含参不等式的解法（二）学习重、难点：1.解决含参不等式恒成立问题的常用方法。
2.化归、转化思想在解决含参不等式问题中的应用。
（三）学习方法：自主学习，合作探究，讲授 （四）复习检测1.若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤；≤③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b+≥2.若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 。
3.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 .4. 不等式11<-x ax的解集为{}2x 1><或x x ，则a=_________5.解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈二.合作探究不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例2、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.2、主参换位法（变“辅元”为“主元”）.例3、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例4、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围.．3、分离参数法（参变分离）（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。
教案-不等式恒成立求参问题-高二下
课题：不等式恒成立的求参问题授课教师：不等式恒成立的求参问题一、内容与内容解析“不等式恒成立的求参问题”是函数最值与不等关系的交汇问题，是函数最值问题的表现形式之一，也是运用导数分析函数最值的重要载体.该内容蕴含多种数学思想方法，是衡量学生数学能力的有效工具，一直作为高考复习的重要专题.本节课以探索和运用求参数问题为主线，通过变换函数21()ln(1)2f x ax b x=++中参数的个数，由浅入深、层层递进地设置问题，突显对解题方法的探究及应用.该内容着眼于运用较为便捷的方法求函数最值，将不等式、函数以及数形结合、分类讨论、化归与转化的数学思想融为一体，如何消参、如何利用函数图象、如何分离参数、如何分类讨论在解题中起到重要作用.教学重点：1.在具体情境中，合理选择分离参数或不分离参数的方法求恒成立问题中的参数范围.2.在解题过程中，感受数学思想方法作用.二、目标与目标解析（一）教学目标1.探索并会运用分离参数的方法求恒成立问题中参数范围；2.能解决含有一个参数的函数的恒成立问题，能在具体的问题情境中合理选择分离参数或不分离参数的方法.3.初步学会利用逐步消参的方法解决含有两个参量的函数恒成立问题.4.解题中体会数形结合、分类讨论以及逐个消参、变换主元方法的作用，体会化归与转化思想的作用，养成善于总结数学活动经验的习惯.5.通过解题的思考过程的分析与反思，体验“怎样解题表”对数学解题的帮助，初步建立起数学问题思考过程的整体框架，树立学好数学的信心，在体会“怎样解题表”的过程中，感受数学文化.（二）教学目标解析1.课标要求能利用导数研究函数最大值，并能解决问题.本节内容与求函数最值密切相关，是求函数最值的一种表现形式.2.不等式恒成立的求参问题主要有分离参数和不分离参数两种方法，方法的选择要结合函数特点，关注参数分离是否方便，关注分离参数后另一侧函数是否能求最值。
解题时建议学生尝试运用“试误”的方法进行选择.3.从知识维度看，对于含参的函数问题，随着参数个数的增多而复杂。
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高中数学不等式的恒成立问题一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
基本结论总结例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。
例2：已知不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a a 解（1）得⎩⎨⎧<<-<222a a ，解（2）a ＝２∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习 1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。
3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。
4.x 取一切实数时，使3472+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．例3．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
解：m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
例4 。
已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。
解法1：数形结合结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立⇔25a 0a 25)2(f 0a 2)1(f >⎩⎨⎧<-=<-=得。
所以a 的取值范围是),25(+∞。
解法2：转化为最值研究4a 1)2a x ()x (f 22-+-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25≤<所以。
2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 232a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。
综上：a 的取值范围是),25(+∞。
注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。
2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数<⇔； )m (m )x (f I x ,m )x (f min 为常数恒成立>⇔∈> 解法3：分离参数]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+>⇐∈<+-。
设x1x )x (g +=，注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。
2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。
仿解法1：⇔∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0)2(f 0)1(f ≥⎩⎨⎧≤≤得即),25[:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处25a =也合题。
Oxy x-1例5. 已知：1ax x )x (f 2+-=求使]1,1[x 0)x (f -∈>对任意恒成立的a 的取值范围。
解法1：数形结合结合)x (f 的草图可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<≥-=∆<-=∆0)1(f 12a 04a 04a 22或或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≥-=∆0)1(f 12a 04a 2得：)2,2(:a 2a 2-<<-的取值范围是即。
解法2：转化为最值研究4a 1)2a x ()x (f 22-+-= 1. 2a 204a 1)x (f ,2a 212a 12min <<->-=≤≤-≤≤-得时即，所以2a 2<<-。
2. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12amin -<->>+=-=-<-<与得时即矛盾。
3. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12amin ><>-==>>与得则时即矛盾。
综上：a 的取值范围是)2,2(-。
解法3：分离参数1. 0x =时，不等式显然成立，即此时a 可为任意实数；2. )0,1[x -∈时，x 1x a 01ax x 2+>⇔>+-。
因为)0,1[x 1x )x (g -+=在上单调递减，所以2)1(g )x (g a max -=-=>；3. ]1,0(x ∈时，x 1x a 01ax x 2+<⇔>+-。
因为x1x )x (g +=在（0，1）上单调递减，所以 2)1(g )x (g a min ==<。
综上：a 的范围是：)2,2(-。
注：本题中由于x 的取值可正可负，不便对参数a 直接分离，故采取了先对x 分类，再分离参数a ，最后对各类中求得a 的范围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a 的范围求并集是不同的，应引起注意！例6. 已知：1ax x )x (f 2+-=，求使0)x (f >对任意]3,3[a -∈恒成立的x 的取值范围。
解：01ax x 0)x (f 2>+->即习惯上视x 为主元而a 为辅元，但本题中是a 在]3,3[-上任意变化时不等式恒成立，故可将a 视为主元。
变更主元法：设1x a x )a (g 2++⋅-=，则)a (g 的图像为一直线，则]3,3[a ,0)a (g -∈>时恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+-=>++=-01x 3x )3(g 01x 3x )3(g 22即x 的范围是：),253()253,(+∞+⋃---∞ 总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元相当于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。
若易于将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。
二、 利用函数的最值（或值域） （1）对任意x 都成立（2）对任意x 都成立。
简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。
由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例1．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x x ax x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=xax x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22m in a f x f a或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(.本题也可以用零点分布策略求解.设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212ax x a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。
解：()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立210x ax a ⇔++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，令2()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ⇔>，又min(0),0()(),2022,2g a a g x g a a >⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪ <-⎪⎩即2min 1,0()1,2042,2a a ag x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩ 易求得1a <。
三、变更主元法在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。
一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 用一次函数的性质 对于一次函数有：例题1：已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，原不等式可化为令是关于m 的一次函数。
由题意知解得∴x 的取值范围是关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。
评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。