量子信息学引论第2讲

设：A是一从V到W的线性算子，vi 和 wi 分别是V 和W的标准正交基，则可用完备性关系得到A的外 积表示：
A I w AIv w j w j A vi vi
ij
w j A vi w j vi
ij
相对于输入基 vi 和输出基 w j ，A的第i列第j行元 素是：
w j A vi
和
输出基
,
的矩阵表示，这里
P-60（E64）：2.3 and 2.4
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泡利矩阵 The Pauli matrices
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• Pauli矩阵为2x2阵, 有多种记号. • 对于量子信息学很重要, 通过运用记住. • 现在知道为什么叫X门与Z门了吧？
内积 Inner products
内积是一个函数, 它在一个矢量空间中取两个矢量 v 和 w 产生一个复数作为输出. 记法: v 和 w 的内积可方便地记为, v , w 但此非标准的量子力学记法. v w 量子力学的标准记法为: 其中, v 用作矢量 v 的对偶矢量( dual)。对偶运算是从内 积空间V到复数C上的线性算符, 定义为:
8
矢量空间
定义了加法操作(addition), 将一对矢量变成另一个矢 量。 Cn中, 矢量加法由下式定义:
定义了乘以标量的操作(multiplication by a scalar). z是 一个复数
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源自文库
矢量空间
• 矢量空间中矢量的标准量子力学符号是：

• 一个矢量空间也包含一个特殊的零矢量,
记作0。（不用 0 因为已有另外含义） • 矢量空间V的一个矢量子空间(vector subspace)也 是一个矢量空间, 即在标乘与加法下为封闭的.
量子信息学引论
第三讲
清华大学 2012.9.26
1
前面所介绍的内容
• • • • • • 量子信息学总览 量子位（量子比特） 单量子位门 多量子位门 在非计算基上的测量 量子线路 – 例子: Bell态 – 例子: 量子传态
2
目录
第二章 量子力学引论 2.1 线性代数 2.2 量子力学假定 2.3 应用: 超密编码 2.4 密度算子 2.5 Schmidt分解与纯化 2.6 EPR与Bell不等式
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Gram-Schmidt方法
• 设 w , w , w 是内积空间V的一组基。可以用 Gram-Schmidt方法产生一个V的标准正交基，
1 2 d
其中： 对
v1 , v2 , vd v1 w1 / w1
wk 1 i 1 vi wk 1 vi
k k
1 k d 1
vk 1
v , w V

v , A w A
阵:

v,w

这个算子就叫做A的伴随或厄米共轭. 在算子的矩阵表示中, 厄米共轭即A的共轭转置矩
A A *
T
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Example
1 i 2 i A 1 i i
的厄米共轭为
1 i 2 i 1 i i A i 1 i 2 i 1 i
1 0 0
0 1 1
0 1 1 0 A0 1 1 0 0 1
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算子的矩阵表示
作业
设V是以 0 和 1 为基矢的矢量空间，A是从V到V的 线性算子，使
A 0 1 , A1 0
给出A相对于输入基
0,1
1 0 ; 0
0 1 1
C2的另一个基为
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线性算子与矩阵
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向量空间V上的线性算子
线性算子 A 定义在向量空间V上时是指：
A: V V
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算子的复合
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线性算子与矩阵的例子
线性算子与矩阵是等价的（即矩阵可以看成先行算子），如 m X n阶以aij为元素的矩阵A在同Cn向量进行矩阵成法时，它是把 Cn向量转移到Cm向量的一个线性算子 矩阵 三维向量
v w v w v , w .
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内积的定义
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内积例子
例: Cn具有如下定义的内积
y1 ,..., yn , z1 ,...,zn yi *zi
i
y1 *
z1 yn * zn
对偶向量的矩 阵表示是一个 行向量
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矢量矩阵表示和量子力学符号
生成集（张成集）( Spanning set)
矢量空间的生成集(spanning set)：一组矢量
v1 ,..., vn 的集合,矢量空间中的任一矢量 v 都可写
成生成集的线性组合:
v i ai vi
例: 矢量空间C2的一个生成集为:
a1 v a1 v1 a2 v2 a2
给出A相对于输入
和输出基
0,1
的矩阵表示。
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算子的矩阵表示的例子
A v j Aij wi
i
0 ,1
0 1 A 1 0
A 0 A11 0 A21 1 1 A 1 A12 0 A22 1 0
A11=0, A21=1, A12=1, A22=0,
wk 1 i 1 vi wk 1 vi
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证明Gram-Schmidt法 生成标准正交基
不难证明 v 和 v 正交，根据归纳法，假设 1 k d 1 情况下， v1 , v2 , vk 彼此正交，则只需证明 vm 与 正交即可: v 1 m k
1
2
k 1
vm vk 1
1 v1 ; 0
0 v2 1
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生成集
矢量空间可以有不同的生成集，如C2的另一 生成集为
a1 a1 a2 a1 a2 v v1 v2 2 2 a2
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线性相关
1、三个矢量（1，-1），（1，2）和（2，1） 是否线性相关？为什么？ 2、写出 C3的一个生成集。
正规算子的谱分解定理
正规算子的充要条件是能对角化
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量子力学引论
• 量子力学是已知的对世界的最精确、完整 的描述 • 量子力学是我们理解量子信息学的基础. • 理解量子力学的要求: 熟悉线性代数.
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线性代数 Linear algebra
• 线性代数研究矢（向）量空间及其上面的 线性操作. • 对量子力学的很好理解要基于对基本线性 代数的牢固掌握. • 本节复习线性代数的基本概念, 并描述量子 力学中用到的这些概念的标准记法.
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本征向量与本征值
Eigenvectors and eigenvalues •矢量空间上的一个线性算子A的本征向量为一
非零矢量, v
•使得
Av vv
其中v是复数, 称为A对应于 v 的本征值. •对应于本征值v的本征空间(eigenspace)是具有本征
值v 的矢量的集合, 它是A作用的矢量空间的子空间.
算子的矩阵表示
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矩阵表示与算子等价
矩阵表示与抽象算子是完全等价的.
注意: 为把矩阵与线性算子联系起来, 必须对输入 和输出矢量空间指定一个输入与输出基 . 不同基 下矩阵表示不一样。
练习：设V是以 0 和 1 为基矢的矢量空间，A是从V
到V的线性算子，使 A 0
基
0,1
1 , A1 0
•一个算子若有对角表示, 即称之为可对角化的. •一个本征空间大于一维时, 称之为简并的.
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对角表示
• 矢量空间V上算子A的一个对角表示如下, 其 中矢量 i 形成A 的一个正交本征矢量集.
A i i i i
对于Pauli矩阵Z,因为Z的本征值是1和-1，相应的本 征矢量是
1 0 ; 0 0 1 1
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基与维数
• 矢量空间V的基: 任意两组线性无关集, 若都张成矢 量空间V, 则这两个集所含的元素数相等, 称这样一 个集合为V的基(basis). • 这样一个基矢集合总存在, 其中的元素数目叫做V 的维数(dimension). • 量子信息学中, 一般只对有限维矢量空间感兴趣.
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基
矢量空间可以有不同的基，C2的一个基为
n m
完备性关系证明
设 i 为矢量空间中一标准正交基，则任意 矢量 v 可写成：
v vi i ,
i
vi 是一组复数
注意到：
i v vi 所以：
i i v i i v vi i v i i i
上式对任意 v成立，故有
i
i
i I
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任意算子的外积表示
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检查一下 都认识吗?
左边-Dirac记号 右边-解释记号的含义
Dirac 记号 • 直观 • 简洁
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矢量空间 Vector space
线性代数研究的基本对象是矢量空间。 我们最感兴趣的矢量空间为Cn， 即复数的n元数组, (z1, …, zn)。 一个矢量空间的元素叫做矢量, 有时用列矩阵 来记之:
1 0 Z 0 0 1 1 0 1
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伴随与厄米算子
Adjoints and Hermitian operators
伴随 (adjoints)算子(或:厄米共轭): 设A为Hilbert空
间上的任一线性算子 , 则 V 上有唯一的线性算子
A+,使得对所有的矢量 ,
†
T
伴随算子的一个性质
AB
证明：
†
B A
†
†
†
v v
因此
, AB w
AB
†
v ,w


, AB w A† v , B w B † A† v , w
AB
B A
†
†
几类重要的算子:
A A
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厄米算符的性质
1 2 3 4 厄米算符的平均值为实数 厄米算符的本征波函数具有正交性 厄米算符的本征函数是完备的 两个厄米算符有共同本征波函数完备集的 充分必要条件是：二者对易。
对偶矢量 v 的解释：是一个行矢量，它的元素是相应 v 列矢量的复共轭。
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内积的用途: 外积, 完备性关系
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外积的矩阵表示
w1 v * w v 1 wn
w1v1* * vm wn v1*
w1vm* * wn vm
相互正交，所以，任意维数为d的有限维内积
空间都有标准正交基， v1 , vd
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内积的矩阵表示
• 如果两个矢量的矩阵表示是对于相同的标准正交 基，则它们的内积等于它们矩阵表示的内积：
w1 v w v1 * vn * wn
w i wi i ; v i vi i
vm wk 1 i 1 vi wk 1 vm vi
k
wk 1 i 1 vi wk 1 vi
k
vm wk 1 vm wk 1 wk 1 i 1 vi wk 1 vi
k
0
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证明Gram-Schmidt法 生成标准正交基
根据定义： v1 到 vd 都等于1，前面证明它们
a11 a12 A a21 a22
两者相乘
a13 a23
b1 v b2 b3
a11 a12 A v a21 a22
b1 a13 a11b1 a12b2 a13b3 b2 a23 a b a b a b 21 1 22 2 23 3 b 3
5
线性代数 Linear algebra
内容
• • • • • • • • • • • • • 矢量和矢量空间 生成集 线性相关 基与维数 线性算子与矩阵 算子的复合 矩阵表示 内积 标准正交矢量组 内积的矩阵表示 外积 本征向量与本征值 伴随与厄米算子 •几类重要的算子 •厄米算子 •正规算子 •张量积 •对易子与反对易子 •同时对角化定理
在量子信息学中常出现的有限维复矢量空间中，一个 Hilbert空间与内积空间是一样的，这两词可互换。
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标准正交矢量组
正交: 两矢量的内积为0. 矢量的模(或范数norm): 非零矢量 v 的归一化形式：
v
vv
v 的模为1，称其为单位向量或称为归一化向量
v / v
正交归一矢量组(标准正交矢量组）： 一组以索引i标号的一组矢量 i ，每个矢量都是单 位矢量，不同矢量正交，即， i j ij