线性代数(同济六版)知识点总结

1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12

a 21

a 22

|= a 11a 22 −a 12a 21

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！

逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!

2

对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.

其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列，

t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数

5.

下三角行列式: 副三角跟副对角相识

对角行列式： 副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：r i ↔ r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如：

⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如

第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j

33

323123222113

1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113

12113j 2j 1j )

j j t (j 33

a a a a a a a a a a a a 1)

(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111

...a a a a ...a a 0a a a =O M M n

...λλλλλλ21n 21=O n

21λλλN

n

2121)n(n λλλ1)(ΛΛ--=n n n j n j

n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a ΛΛM M

M

M ΛΛΛΛ+++n n

n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a ΛΛ

M M M M ΛΛ

ΛΛΛΛM M M M ΛΛ

ΛΛ+=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a Λ

ΛΛ

M M M

M ΛΛ

ΛΛΛΛ+++n n

n j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a Λ

Λ

ΛM M M M ΛΛΛ

Λ

ΛΛ=

7. 重要性质：利用行列式的性质 r i +kr j 或 c i +kc j ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。（P11页例7） 8. 行列式按行（列）展开法则（***重要***） ①重要概念： 余子式：在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做a ij 的余子式，记为M ij 代数余子式：记 A ij = ( −1 ) i+j M ij 为元素 a ij 的代数余子式 。 ②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。

2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即：

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或

使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素a ij ，并将该行其他元素 通过性质化为0，则D = a ij A ij 9. 利用Cramer 法则求解n 个n 元线性方程组： ①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于0，则无解

其中 D j (j=1,2…n) 是把系数行列式中的第j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n 阶行列式

即：

②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D ≠ 0，则该方程组只有零解，若D = 0，则存在非零解。

第二章

1. 矩阵相关的概念：

矩阵：由 m ×n 个数 a ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)排成的 m 行 n 列的数表(是一组数)。 行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。 同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵

A=B ： 矩阵A 和矩阵B 为同型矩阵，且对应的元素相等。

零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O ，不同型的零矩阵是不相等的。 对角矩阵：对角线元素为

12,,,n

λλλL ，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，

()1

2

12diag ,,,n

n λλλλλλ⎛⎫

⎪

⎪== ⎪

⎪ ⎪⎝⎭L O

Λ 111⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E O

2. 矩阵的运算

1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律

in in i2i2i1i1A a A a A a D +++=ΛΛnj

nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++=ΛΛj i 0A a A a A a j n i n j 2i 2j 1i 1≠=+++ΛΛj i 0A a A a A a n j n i 2j 2i 1j 1i ≠=+++ΛΛ或 0

a a a a a a a a a D nn n2n12n

22211n

1211≠=K M M M K K D D x ,,D D x ,D D x n n 2211===ΛΛn.

,1,2,j a a b a a a a b a a a a b a a D nn 1j n,n 1j n,n12n

1j 2,21j 2,211n

1j 1,11j 1,11j ΛΛΛM M M M M ΛΛΛΛ==+-+-+-