算术平方根2
4.平方根(二)
科目：数学 年级：八年级 主备人： 课题 ２．平方根（二）一、导学目标:1.了解平方根、 开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别和联系.3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.二、导学重点、难点1. 重点：平方根与算术平方根的区别和联系.2. 难点：负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算.三、导学提纲1.仔细研读全文，总结什么是“平方根”、“开平方”并举例说明。
(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？(2)平方等于254的数有几个？平方等于0.64的数呢？从以上的两个问题并举例说明算数平方根和平方根的区别于联系。
2.总结什么是“开平方”并举例说明。
我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？3.试一试:(1)144的平方根是什么?(2)0的平方根是什么?(3) 的平方根是什么?(4)-4的平方根是什么?为什么?从上面的回答中,你发现了什么?4.说说正数、负数和0的平方根的情况。
5.用数学符号表示一个正数a 的平方根和算术平方根？4自学例题3，观察所得结果，总结本道题你的收获。
5完成随堂练习1，2题6完成课文想一想，你能总结出什么规律？12164四、课堂展示环节设计（一）探究新知(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？(2)平方等于254的数有几个？平方等于0.64的数呢？从以上的两个问题并举例说明算数平方根和平方根的区别于联系。
（二）形成概念一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。
求一个数a 的平方根的运算，叫开平方，其中a 叫被开方数表达式为:若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根. 记作： a ±例如:(±4)2=16,则+4和-4都是16的平方根;即16的平方根是±4; 4是16的算术平方根.（三）探索平方根的性质思考：学生举例说明(1)一个正数有几个平方根.(2)0有几个平方根?(3)负呢？（四）探索平方与开平方的关系:给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系.（五）概念辨析平方根与算术平方根的联系与区别：联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.3. 表示法不同：平方根表示为 a ±，而算术平方根表示为a 五、疑难点解析(1)(64)2等于多少？(12149)2等于多少？ (2)(2.7)2等于多少？(3)对于正数a ，(a )2等于多少？个案调整：六、拓展练习：（预习检测）1、求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 112、填空（1）9的算术平方根是____ ， 9的平方根是____ .（2）5的算术平方根是____ .(3)25的平方根是_________；(4)2)5(-=_________；(5)(5)2=_________3、你能求出下列各式中的未知数x吗？（1）x ＝49（2）（x－1）＝25七、课堂小结（占5分钟）本节课学了如下内容.1.平方根的概念.2.平方根的性质.3.平方根与算术平方根的区别与联系.4.求某些非负数的算术平方根和平方根.附板书设计：§2.2.2 平方根(二) 一、平方根的定义；平方根的性质；平方根与算术；平方根的区别与联系.二、例题讲解三、练习四、小结五、作业（预习检测）1、求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 112、填空（1）9的算术平方根是____ ， 9的平方根是____ .（2）5的算术平方根是____ .(3)25的平方根是_________；(4)2)5(=_________；(5)(5)2=_________3、你能求出下列各式中的未知数x吗？（1）x ＝49（2）（x－1）＝25。
算术平方根知识点总结
算术平方根知识点总结算术平方根是数学中重要的概念之一，在数学的学习过程中常常涉及到。
本文将对算术平方根的定义、性质及求解方法进行总结。
通过阅读本文，读者将能够准确理解算术平方根的概念，熟练运用相关方法，提高数学解题的能力。
一、算术平方根的定义算术平方根是指一个数的平方等于它的平方根的数。
以数a为例，如果一个正数x满足x^2=a，那么x就是a的算术平方根。
二、算术平方根的性质1. 非负数的算术平方根都是非负数。
即，如果a≥0且x^2=a，那么x≥0。
2. 正数的算术平方根只有一个。
即，如果a>0且x^2=a，那么x只有一个解。
3. 零的算术平方根是零。
即，0^2=0，所以0是0的算术平方根。
4. 负数没有实数算术平方根。
即，如果a<0，那么方程x^2=a没有实数解。
三、求解算术平方根的方法1. 常见正数的算术平方根可以通过手算方法求得。
例如，我们可以通过试探法或近似法，逐步逼近一个数的平方根。
2. 对于较大的数，可以利用计算器或电脑软件来求解算术平方根。
3. 在解题过程中，可以通过运用一些特定的运算性质来求解算术平方根。
例如，利用开方运算的性质，可以将复杂的问题简化为简单的计算。
四、算术平方根的应用算术平方根在生活中和其他学科中有广泛的应用。
下面列举一些常见的应用场景：1. 几何学中的勾股定理：勾股定理中涉及到了平方根的概念，通过找出两个边的平方和等于第三边的平方，可以判断三角形是否为直角三角形。
2. 物理学中的速度计算：在物理学的速度计算中，常常需要运用平方根来计算速度的大小。
3. 统计学中的标准差：在统计学中，标准差是一种衡量数据离散程度的指标，其计算过程需要使用平方根。
4. 金融学中的收益率计算：在金融学中，计算投资收益率时，常常需要运用平方根进行计算。
五、总结通过阅读本文，我们了解了算术平方根的定义、性质及求解方法。
算术平方根在数学中具有重要的地位，也广泛应用于其他学科和实际生活中。
算术平方根(2)[上学期]--华师大版
![算术平方根(2)[上学期]--华师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/16082a3eaaea998fcc220ef5.png)
的正方形桌面,它的边长为多 少? 2 (2)某展览馆要布置一个50平 方米的正方形展厅,问展厅的 边长为多少?
50
(3)小刚同学的房间地板 面积为16平方米,恰好由 64块正方形的地板砖铺 成,求每块地板砖的边长 是多少? 1
2
应 用
探索 & 交流
-a 有意义，那么a的范围是--------若 a 有意义，那么a的范围是--------若 ）2=-------------）2=-------------）2=--------------
(6)
2 3
11 (7) 1 25
试一试
求下列各式的值：
⑵
9 25
⑴
1
⑶
2
2
⑷
1 3
2
巩固练习： 1、3是_____的算术平方根，
2、4的算术平方根是_____，
3、算术平方根是自己本身的是_____， 4、
625 表示_____，它的值为_____ ，
4
16 81
5、 81 的算术平方根是_____。 等的算术平方根 要小心！！！
4.求x的值
（1） x2＝49 （ 2） 2x2-18=0
x 7
x 3
x 15 x 6, x 4
3 1 x 2
(3) （x－1）2＝25
(4)
(2x-1)2=3
判断下列说法是否正确. 1. 2.
16 的平方根是±16.
a 一定是正数.
(×) ( ×) （× ） ( ( （ （ ×) ) × √） √ ）
（ 0.01 5 a
0.01 =-------------5
2
2
（ （
=--------------
手算平方根的正确方法
⼿算平⽅根的正确⽅法⼿算平⽅根的「正确」⽅法，是什么⽅法？如果你认为是⽜顿迭代法的话，你可以亲⾃试⼀下，看看效果如何：（原帖 , 鉴于百度贴吧的帖⼦是公开的，我就不打码了）其实⽜顿迭代法⾮常好，在电脑上快得飞起。
但是⼿算就不⾏了。
那么「正确」的⽅法是什么呢？是这个：（原帖同上）说得神神叨叨的，还能开⽆限⼩数，到底是什么⽅法？帖⼦⾥没说。
不过，幸运的是，我有⼀天翻的时候，碰巧翻到了这个⽅法。
本⽂将详细介绍这个⽅法。
2 的算术平⽅根是多少？是√2. 不是 1.41, 也不是 1.414213. 所以，本⽂讨论的计算，是以（⼗进制⼩数）近似值为主的。
准确地说，是不⾜近似值。
近似值，⽆论是精确到⼩数点后 1 位还是 1000 位，都是近似值。
所以，计算近似值，先得确定精度（即：你算到哪⼀位 / 数量级就满意了）。
先讨论对⼀位数开平⽅，精确到⼩数点后 1 位的情况（以计算√2 为例）。
这⼀上来就有⼀个问题：⼤家都知道√2 精确到⼀位⼩数是 1.4, 但为是么是 1.4, 不是 1.3 或 1.5?显然，1.52>2, 不是我们要的不⾜近似值。
⽽ 1.32<1.42<2 所以在不过剩的情况下，最接近的（在给定精度范围内的）数是 1.4.既然是这样的话，我们就可以把这个过程「概括」成这样⼀个问题的求解：求最⼤的⼀位数x, 使得不等式¯1.x2⩽成⽴。
求出x=4后，如果要继续提⾼精度，那么再求解这个问题：求最⼤的⼀位数y, 使得不等式\overline{1.4y}^2 \leqslant 2 成⽴。
（精度还可以继续提⾼）……这其实就是⼤家计算平⽅根最常⽤的⽅法，即「试乘」。
但是计算\overline{1.x} 的平⽅，是多位数乘多位数，不好算。
⽽且随着精度增加，越来越难算（\overline{1.414213x}^2什么的，想想就要爆炸）。
既然硬算不好算，那么就需要技巧。
什么技巧呢？我们可以把式⼦变形⼀下，来降低运算的规模：(1+\frac{x}{10})^2 \leqslant 2 (1)把完全平⽅展开，得：1+\frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100} \leqslant 2\Leftrightarrow \frac{2x}{10}+\frac{x^2}{100} \leqslant 1\Leftrightarrow 20x+x^2 \leqslant 100\Leftrightarrow x(20+x) \leqslant 100\Leftrightarrow x\cdot \overline{2x} \leqslant 100 (2)这样，运算规模就从多位数乘多位数降低到了⼀位数乘多位数，⽴马好算了许多。
算术平方根的计算公式
算术平方根的计算公式
一、算术平方根的定义。
若一个非负数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的算术平方根。
记作x = √(a)(a≥slant0)。
1. 完全平方数的算术平方根。
- 如果a = n^2（n为整数），那么√(a)=n。
- 例如：√(25)，因为25 = 5^2，所以√(25)=5；√(144)，因为144 = 12^2，所以√(144) = 12。
2. 利用数的因数分解求算术平方根（对于非完全平方数）
- 先将被开方数分解因数，把能开得尽方的因数开出来。
- 例如：求√(72)。
- 先对72进行因数分解，72=2×36 = 2×6×6= 2×6^2。
- 所以√(72)=√(2×6^2) = 6√(2)。
- 再如求√(48)。
- 对48进行因数分解，48 = 16×3=4^2×3。
- 则√(48)=√(4^2)×3=4√(3)。
3. 利用计算器求算术平方根（对于较为复杂的数）
- 在人教版初中数学教材中，会介绍科学计算器的使用方法来求算术平方根。
- 例如，求√(12.25)，可以使用计算器，先输入12.25，然后按下求算术平方根的键（通常标记为√(x)），得到结果3.5。
人教七年级数学下课件(课件)6.1平方根(2)
1.96 2 2.25
因为，1.4，12 1.9881 1.422 2.0614
而，1.9所88以1 ．2 2.0164
1.41 2 1.42
因为，1.4，142 1.999396 1.4152 2.002225
而，1.9所99以39．6 2 2.002225
你能将这个问题转化为数学问题吗？
解：设剪出的长方形的两边长分别为3xcm和2xcm，
则有3x∙2x=300，
6x2=300，
x2=50，
，
x 50
故长方形纸片的长为，3 宽50为cm． 2 50 cm
长方形的长和宽与正方形的边长之间的 大小关系是什么？小丽能用这块纸片裁 出符合要求的纸片吗？
解：设剪出的长方形的两边长分别为3xcm和2xcm，
8. 38介于整数 和6之间，它7 的小数 数部分是。38 6
9. x 7 6的最小值是 __6_____,此时x＝__－__7__ .
10.12 m 8有 __最__大_ 值（填最大或最小） 是 ____12__，此时m ___8 .
所以m+n=25
所以m+n的算术平方根是5
1.这节课你有什么收获？ 举例说明如何估算算术平方根的大小．
2.你还有什么问题或想法需要和大家交流?
• 1、一个数的算术平方根等于它本身，这个 数是。
• 2、若x²=16，则5-x的算术平方根是。 • 3、若4a+1的算术平方根是5，则a²的算术平
方根是。
探究一、提出问题
能否用两个面积为1的小正方形 拼成一个面积为2的大正方形？
能否用两个面积为1dm2的小正方形 拼成一个面积为2dm2的大正方形？
算术平方根及平方根2
算术平⽅根及平⽅根2算术平⽅根与平⽅根知识点1：平⽅根的概念及其性质1、概念：⼀般地，如果⼀个数的平⽅等于a ，那么这个数叫做a 的平⽅根或⼆次⽅根．这就是说，如果2x ＝a ，那么x 叫做a 的平⽅根．2、表⽰：正数 a 的平⽅根可表⽰为⼠2a ，读作“正负根号a ”，其中“ 2 '’是根指数，当根指数是 2时可省略不写，“”读作“根号” , “a ”是被开⽅数．3、性质：（1）⼀个正数a 有两个平⽅根，其中⼀个是“a ”，另⼀个为“⼀a ”，它们互为相反数；（2）0 的平⽅根是0；（3）负数没有平⽅根．注意：1.被开⽅数 a 是⾮负数（⾮负数即指正数和零），2. 平⽅与开⽅是互逆运算关系例1.填空：1、的平⽅是64，所以64的平⽅根是；2、平⽅数是它本⾝的数是；平⽅数是它的相反数的数是；3、若x 的平⽅根是±2，则x= ；4、在下列各数中0，254， 2(5)--，222x x ++，|1|a -，||1a -数是个． 5、求下列各数的平⽅根：（1）0；（2）1；（3）1.21；（4）8；（4）（-3）2；（5）49151；（6）47 6、计算：（1）22810-；（2）9141+；（3）144251；（4）-1691。
变式练习：1、若a x =2，则（） A 、x>0 B 、x≥0 C、a>0 D 、a≥02、⼀个数若有两个不同的平⽅根，则这两个平⽅根的和为（）A 、⼤于0B 、等于0C 、⼩于0D 、不能确定3、下列说法正确的是（）A ．1的平⽅根是1±；B ．24±=C 、81的平⽅根是3±；D 、0没有平⽅根；4的平⽅根是，35±是的平⽅根．知识点2：算术平⽅根的概念及表⽰⽅法。
1、概念：⼀般地，如果⼀个正数 x 的平⽅等于 a ，即2x ＝ a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平⽅根．a 的算术平⽅根记为a ，读作“根号 a ”, a叫做被开⽅数．2、表⽰⽅法：⾮负数a 的算术平⽅根表⽰为a ，读作“根号a ”．例如： 24＝16 , 16 的算术平⽅根是 4 ，表⽰为了丽16＝4 .3、性质：(1)正数 a 的算术平⽅根为a ；(2) 0 的算术平⽅根是 o ，即0＝0；(3)负数没有算术平⽅根。
2.算术平方根课件
• 需满足x－2≥0，2－x≥0.只有它们都等
• 于0，这两个式子才都有意义．
知3－讲
(2)已知x，y为有理数，且 x 1＋3(y－2)2＝0，求x－y 的值．
导引：算术平方根和平方都具有非负性，即 a ≥0, a2≥0.
由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为 0，由此可求出x和y的值，进而求得答案． 解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0. 所以x＝1，y＝2. 所以x－y＝1－2＝－1.
2.2 平方根
第二章 实数
第1课时 算术平方根
1 课堂讲授 算术平方根的定义
求算术平方根
算术平方根的非负性（ a ≥0， a≥0） 2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
(1)根据图填空： x2=___2____, y2=___x_2+_1__, z2=___y_2+_1__, w2=__z_2_+_1 __,
0.36 0.6.
•
即 52 =5.
•
(4) 因为 52=52，所以52的算术平方根是5，
知2－讲
解：(5) 因为52＝（-5）2 ，所以 （-5）2的算术平 方根是5，即（- 5）2 =5.
(6) 0算术平方根是 0 . (7) 因为 81 9 ，9的算术平方根是3，所以
81 的算术平方根是3. (8) 7的算术平方根是 7 . (9) -16没有算术平方根.
总结
知2－讲
(1) 求带分数的算术平方根，先将带分数化成假 分数，再求算术平方根.
(2) 求一个数的算术平方根必须明确两点： ①这个数是非负数； ②求出的算术平方根（结果）必须是非负数.
知2－练
1
1 的算术平方根的相反数和倒数分别
2022年八年级数学上册第十四章实数14.1平方根2教案新版冀教版
14.1平方根（2）教学目标【知识与能力】1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.理解算术平方根与平方根的联系与区别.【过程与方法】1.通过教学过程中学生的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系.【情感态度价值观】1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识.2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识.教学重难点【教学重点】算术平方根的概念和性质.【教学难点】对算术平方根意义的理解.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?师:怎样算出画布的边长为5dm的呢?(思考1分钟)【课件2】填表:,本质上就是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢?下面我们来共同探讨这个问题.[设计意图]从正方形的面积,引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识算术平方根,为下面的学习做好铺垫.导入二:同学们,2003年10月15日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想(多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面).那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足v12=gR,v2=2gR,怎样求v1,v2呢?这就要用到算术平方根的概念,也就是本节要学习的内容.[设计意图]“神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步,是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力,使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识,同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实际上是已知幂和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没有见过,由此引出了本章所要研究的主要内容,以及研究这些内容的大体思路. 导入三:【课件3】1.(1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少? (2)-7和7是哪个数的平方根? (3)正数m 的平方根怎样表示? (4)求下列各数的平方根.①64; ②0; ③(-0.4)2; ④(-123)2; ⑤16; ⑥(-4)3. 2.已知正方形的面积等于a ,那么它的边长等于多少?解:设正方形的边长为x ,则x 2=a ,根据平方根的定义,得x =±√a .因为正方形的边长是正数,所以正方形的边长是√a .[设计意图] 复习巩固平方根的知识,进一步掌握平方根的计算方法,为学习算术平方根做准备.二、新知构建：活动一:感知——算术平方根的定义思路一方根.一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为√a ,读作“根号a ”,a 叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.也就是,在等式x 2=a (x ≥0)中,规定x =√a .思考:这里的数a 应该是怎样的数呢?试一试:你能根据等式112=121说出121的算术平方根吗?并用等式表示出来. 解:121的算术平方根是11,用等式表示为√121=11. [知识拓展] 平方根与算术平方根的区别和联系.区别:(1)概念不同:如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根;非负数a 的非负平方根叫做a 的算术平方根.(2)表示方法不同:正数a 的平方根表示为±√a ;正数a 的算术平方根表示为√a .(3)个数及取值不同:一个正数的算术平方根只有一个,是正数;一个正数的平方根有两个,一正一负且互为相反数.联系:(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,一个数的算术平方根是一个数的平方根中的一个.(2)存在条件相同:平方根和算术平方根都只有非负数才有. (3)0的平方根、算术平方根都是0.(4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算. 思路二说明:正数a 有两个平方根(表示为±√a ),我们把其中正的平方根,叫做a 的算术平方根,表示为√a .0的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0,即√0=0.几何图形可以直观地表示算术平方根的意义,面积为a (a >0)、边长为√a 的正方形,边长√a就表示a的算术平方根.“√”是算术平方根的符号,√a就表示a的算术平方根.思考:√a的被开方数是什么样的数?它的结果又是怎样的数?√a的意义有两点:(1)被开方数a表示非负数,即a≥0;(2)√a也表示非负数,即√a≥0.也就是说,非负数的算术平方根是非负数,负数不存在算术平方根,即a<0时,√a无意义.如:√9=3,8是64的算术平方根,√-6无意义.强调:这里需要说明的是,算术平方根的符号“√”不仅是一个运算符号,如a≥0时,√a 表示非负数a进行开平方运算,也是一个性质符号,即表示非负数a的非负平方根.例如,√9表示对9进行开平方运算,也表示9的正的平方根.[设计意图]让学生在小组间进行必要的合作与交流,以加深学生对平方根及算术平方根意义的理解.活动二:强化——算术平方根的计算【课件4】(教材第63页做一做)求下列各数的算术平方根(1)144;(2)0.01;(3)449;(4)132;(5)(-16)2.1.引导学生正确应用算术平方根的表示方法计算.2.学生口述过程.解:(1)12. (2)0.1. (3)27. (4)13. (5)16.观察“做一做”中(4)和(5)的结果,你有什么发现?小组讨论得出:√a2=|a|={a(a>0), 0(a=0), -a(a<0).语言表述:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.说明:首先让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式,应该用怎样的符号来表示,在此基础上再求出结果.在开始阶段,宜让学生适当模仿,熟练后直接写出结果.【课件5】计算下列各式.(1)√1.69;(2)-√225;(3)±√949;(4)-√(-17)2.说明:要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和算术平方根的概念进行求解,注意解题格式.解:(1)√1.69=√1.32=1.3.(2)-√225=-√152=-15.(3)±√949=±√(37)2=±37.(4)-√(-17)2=-√172=-17.【课件6】某小区有一块长方形草坪,为了加强保护,小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍,草坪的面积是900m2,求所需篱笆的总长度.〔解析〕(1)如果设所需篱笆的宽为x m,它的长是多少?怎样列方程?(2)怎样求出x的值?解:设这块长方形草坪的宽为x m,则长为4x m.因为长方形草坪的面积是900m2,所以4x·x=900,即x2=225.所以x=±√225=±√152=±15.x=-15不合题意,舍去.所以x=15,2×(15+4×15)=150(m).答:所需篱笆的总长度是150m.[设计意图]体会平方根和算术平方根的实际意义,理解实际情境中值的取舍;规范步骤,让学生养成良好的书写习惯.三、课堂小结：。
算术平方根(2)
拼成的这个面积为 2 的大正方形的 边长应该是多少呢？
?
边长= 2
小正方形的对角 线的长是多少呢?
2 有多大呢？
1．解决问题
2 有多大呢？
2 大于1而小于2
你是怎样判断出 2 大于1而小于2的？
2 2 1 1 2 因为 ， 4 ， 而1 < 2 <4 ， 所以1 2 2 ．
4．探究规律
(1)利用计算器计算,并将计算结果填 在表中
… …
0.0625 0.625
6.25 62.5
7.91
625
6250
62500
…
…
0.25 0.791 2.5
25
79.1
250
如果被开方数的小数点向右 你发现了什么规律? (或者向左)移动两位 ，它的算术平方根的小数点相应也向右（或者向 被开方数扩大(缩小)100倍,它的算术 左）移动 1 位。 平方根扩大(缩小)10倍
总结：
1、如果被开方数的小数点向右或者向左移 动两位，它的算术平方根的小数点相应也 向右或者向左移动一位。 2、看小数点移动规律，恰好是“两 位”“一节”，即被开方数移动两位， 它的算术平方根相应只移动一位。
1.用计算器计算 （结果保留 3 4个有效数字）
3 1.732
2.利用刚才的规律和 3的近似值，说出下列数 的 近似值（不用计算器） 0.03 0.1732
2 ) 的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿
（ 4）
（ 5） (－ 4 （ 6） 10的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿
4
10
6 36=＿ ＿ 1.44=1.2 ＿ ＿
2
3 1 2 =＿ ＿ 25=＿ ＿ 5 2 4
《平方根(2)》名师教案
6.1平方根第二课时(杨远游)一、教学目标1.核心素养通过学习算术平方根，初步形成基本的数学抽象和运算能力.2.学习目标（1）经历用2的夹逼法估值过程，初步了解无限不循环小数的特点.（2）会用计算器求算术平方根.（3）会估算一些数的算术平方根并加以应用解决实际问题.3.学习重点认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根.4.学习难点会估算一些数的算术平方根并加以应用解决实际问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务阅读教材4441P P -任务1用两个面积为12dm 的小正方形拼成一个面积为22dm 的大正方形，并表示出这个大正方形的边长.任务2如何认识2的大小，你能找到几种方法？2．预习自测（1）用计算器求下列各式的值： （知识点:算术平方根的定义） 1369，2，3（精确到0.01）【解析】：73.1341.12371369===，，（2）比较下列各组数的大小： （知识点:算术平方根的定义） 8与10； 65与8.【解析】：6586410816.31083.28 =∴==；，，（二）课堂设计1．知识回顾（1）算术平方根的定义一般地，如果一个正数x 的平方为a ，即2x a =，那么正数x 叫做a 的算术平方根.a a ”或“二次根号a ”，其中a 叫做被开方数.0的算术平方根是0.（2）算术平方根的双重非负性：只有非负数才有算术平方根，如果x 意义，那么错误！未找到引用源。
.这就是算术平方根的双重非负性.（3）49的算术平方根是7 , 16的算术平方根是2，0.09的算术平方根是0.3, ()24-的算术平方根4.2．问题探究探究点一：认识无限不循环小数●活动一 动手操作，发现新知参照课本41页，把两个面积为12dm 小正方形沿对角线剪开，所得到的4个正方形拼在一起，就得到一个面积为22dm 的大正方形.小正方形对角线的长与大正方形的边长有什么关系？表示出它们的长度？解：很明显小正方形对角线的长即为大正方形的边长.设大正方形的边长为x dm ，则22=x . 由算术平方根的意义可知 2=x ， 所以大正方形的边长是2dm .●活动一算术平方根万能求法----计算器例题：用计算器求下列各式的值.（1）3136; （2）2(精确到0001).方法总结：不同品牌的计算器，按键顺序有所不同。
算术平方根(2)
例1 用计算器求下列各式的值: (1) 3136 (2) 2 (精确到0.001）
显示:1.414213562 ∴ 2 ≈1.414
例练2
计算下列各数的算术平方根: ⑴2 ⑵ 529 ⑶ 1225 ⑷ 44.81
解: ⑴√2 ≈1.414 ⑶√1225 =35
⑵√529 =23 ⑷√44.81 ≈6.694
解:
由 3 ≈1.732得 0.03≈0.1732,
30000 ≈173.2
300≈17.32
1.解:
1369 37
101.2036 10.06
5 ≈2.24
2.解:
140 <12
5 1
2
>12
解:设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm 由题意,得 3x· 2x=300 已知正方形纸片的边长 6x2=300 只有20cm,这样长方形 2=50 x 纸片的长将大于正方形 x= 50 因此长方形纸片的长为 3 50cm 纸片的边长. 答:不能同意小明的说法. ∵50>49, ∴ 50 >7 小丽不能用这块正方形 ∴3 50 >21 纸片裁出符合要求的 即长方形纸片的长应该大于21cm. 长方形纸片
a的 术 方 记 算 平 根 为
x2 = a (x为正数)
a 读作“根号a”
x a
0 0
规定0的算术平方根是0，记作
被开方数a≥0 算术平方根 a ≥0
（ 9的 术 方 是 ＿ 1） 算 平 根 ＿ （ 2） 9的 术 方 是 ＿ 算 平 根 ＿ （ 0.01的 术 方 是 ＿ 3） 算 平 根 ＿
2 ③ ② 16 的算术平方根是_____
(36) 2 36 ______ 36 _____
八年级数学上册 平方根(2) 人教版
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
平方有没有逆运算？ 平方与算术平方根之间是什么关系？
3的平方等于9，那么9的算术平方根就是3.
2 5
4
4
的平方等于 25
，那么 25
2
根就是 .
5
的算术平方
展厅的地面为正方形，其面积为49平方 米，则其边长为7米.
正方形ABCD的面积为1，则边长为 1 . 将它扩
展，若其面积变为原来的2倍，则边长为 ；若2
当你已经承受不住外界所带来的种种压力时，母亲为你顶起一片天空，抵挡所有风雨；当你心无慰籍时，她开导你、教育你，教导你“退一步海阔天空”的哲理；当你遇到困难与挫折或因情绪不好而对她大发脾气时，她默默承受但仍坚强地开导；当你因学习而疲劳、心烦时，她会送上一杯热茶，不需任何语言，一切感情均化为泪水落于掌心，一切尽在不言中…… 当你遇到危险时，她不顾一切地救助你，即使失去生命也毫无怨言；当你感到伤痛绝望时，她比你更加痛心悲伤，却必须要坚强地劝慰你，让你安心；当你欢心愉悦时，她会陪你一起分享心中的喜悦，但是却绝对不会多霸占一点，让你的心变得空虚无物……
如何才能想得开？哲学大师冯友兰曾提出“人生四重境界”说，其中最高那层境界正是道家境界，所以正是路径所在。 一是自然境界。有些人做事，可能只是顺着他的本能或者社会的风俗习惯，而对所做的事并不明白或者不太明白。这种“自然”并非道家那个自然，而是指混沌、盲目、原始，那些人云亦云、随波逐流的人就是这种人。
数学算术平方根
一个数的算术平4的非负平方根。
算术平方根的性质
01
02
03
04
非负性
算术平方根总是非负的，即对 于任何实数a，√a≥0。
唯一性
对于非负实数a，其算术平方 根是唯一的。也就是说，如果
b是a的算术平方根，那么 b^2=a。
递增性
对于任意实数a和b，如果 a<b，那么√a<√b。
详细描述
公式法适用于任何正实数，可以通过使用算术平方根的公式 来求解。算术平方根的公式为sqrt(x) = x^(1/2)，其中x为正 实数。使用公式法可以快速准确地求得任何正实数的算术平 方根。
03
CATALOGUE
算术平方根的应用
在几何学中的应用
勾股定理
勾股定理是几何学中一个重要的定理，它涉及到直角三角形的边长关系，其中一个直角边 的平方等于另一直角边和斜边的平方和。算术平方根在勾股定理中起到关键作用。
02 03
函数值域
在确定函数值域时，算术平方根可以用于确定函数的下界和上界。例如 ，对于非负函数，其最小值可以通过求最小正数解的算术平方根来得到 。
参数取值范围
在解决与参数取值范围相关的问题时，算术平方根可以用于确定参数的 最小值和最大值。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑行业中，测量是必不可少的环 节。算术平方根可以帮助计算建筑物 的面积、体积以及材料用量等。
配方法
总结词
配方法是一种通过配方将原式转化为完全平方形式，从而求得算术平方根的方 法。
详细描述
配方法适用于一些复杂的平方数，可以通过配方将原式转化为完全平方形式， 然后开平方求得算术平方根。例如，求9的算术平方根，可以先将9配方为(3)^2 ，然后开平方得到3。
2.2 平方根(2)课件
小测：
求下列各数的算术平方根
361 14 1 11 0.000324 2250000 108
81
289
25
若一个数的算术平方根为m ,则比这个数大2的数的算术
平方根是
。
回顾 & 思考 ☞
1.什么叫算术平方根？
若一个正数的平方等于 a 则这个数叫做 a 的算术
平方根,表示为a (a 0) . 0的平方根是0，即 0 0 .
（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？
议一议 （1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ 1、一个正数有两个平方根，0只有一个平 方根，它是0本身；负数没有平方根.
一个正数有两个平方根，它们又有何关系？
2、一个正数有两个平方根，它们互为相 反数！
乘方有没有逆运算？
9的平方等于多少？
9的平方根等于多少？
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. （ a叫做被开方数）
探索平方与开平方的关系
平方
+1 -1
1
开平方
1
+1 -1
+2 -2
4
+3 -3
9
4
+2 -2
9
+3 -3
平方与开平方互逆运算.
辨析概念
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根， 算术平方根是平方根的一种.
定义
求一个数a的平方根的运算， 叫做开平方(extraction of square root)其中a叫做被开方数.
巩固新知
1.求下列各数的平方根和算术平方根:
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思考：7 7的整数部分与小数部分。
5．例题讲解
小丽想用一块面积为400 cm2为的长方形纸片， 沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形 纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得 出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定 能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符 合要求的纸片吗？
5．例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm， 则有3x∙2x=300 ，
6x2=300 ， x2=50， x 50 ，
故长方形纸片的长为3 50 cm ，宽为 2 50 cm ．
因为 50＞49，得 50＞7 ，所以 3 50 ＞3×7＝ 21，比原正方形的边长更长，这是不可能 的．所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求 的纸片．
2．用计算器求算术平方根
例1 用计算器求下列各式的值：
(1) 3136 ； (2) 2 （精确到 0.001 ）．
解：(1) 依次按键 3136 ， 显示：56． ∴ 3136 56 ．
(2) 依次按键 2 ， 显示：1.414213562． ∴ 2 1.414 ．
3．解决章引言中提出的问题
5．例题讲解
例2 比较大小： 5 1与0.5 .
2
解：∵ 5＞4， ∴ 52 ， ∴ 5 1 2 1 1， ∴ 5 1 0.5．
2
例5：估计大小
（1） 10与
（2）140与12
（3） 15 3与 1 22
例：求 31的整数部分和小数部分。
解：31的整数部分是5
31的小数部分是 31 5
2 有多大呢？
1．解决问题
2 有多大呢？
2大于1而小于2
你是怎样判断出 2 大于1而小于2的？
因为 12 1 ，22 4 ，
而1<2 <4，
所以1 2 2．
你能不能得到 2 的更精确的范围？
1．解决问题
2 有多大呢？ 因为 1.42 1.96 ，1.52 2.25，而 1.96 2 2.25 ， 所以1.4 2 1.5 ．
学习重点： 能用有理数估计一个带算术平方根 符号的无理数的大致范围．
02 =0 12 =1 22 =4 32 =9 42 =16 52 =25 62 =36 72 =49 82 =64 92 =81 102 =100
112 =121 122 =144 132 =169 142 =196 152 =225 162 =256 172 =289 182 =324 192 =361 202 =400
4．探究规律
(1)利用计算器计算,并将计算结果填 在表中
… 0.0625 0.625 6.25 62.5
… 0.25 0.791 2.5 7.91
625 6250
25 79.1
62500 …
… 250
如果你被发开现方了数什的么小数规点律向? 右(或者向左)移动两位 ，它被的开算方术数平扩方大根(的缩小小数)1点00相倍应,它也向的右算（术或者向 左）平移方动根1扩位。大(缩小)10倍
1 4 9 16 25
结论：被开方数大的数算术平方根也大
若a b 0则 a b 0
牛刀小试
★求下列各数的算术平方根
① 289
②0.0081
③ 49 64
④14
⑤ (－5)2
★判断下列各题说法是否正确.
①1的算术平方根是1 ． （ ）
②(－1)2的平方根是－1 ． （ ）
0.03 0.1732
300 17.32 30000 173.2 3000000 1732 3.你能根据 3的值说出 30是多少吗？ 不能
练一练：
1.若 12.5 3.535，1.25 1.118 那么 125 11 .8； 0.125 0.3 53 5 。
2.若已知 7.45 2.729，y 272.9； 那么y 7 45 00。
课件说明
通过用有理数估计 2的大小，得到 2的 越来越精确的近似值，进而给出 2是无限不 循环小数的结论．这个估算过程既体现了估 算平方根大小的一般方法，又为后面学习无 理数作铺垫．本节课对初步培养学生的估算 意识，发展估算能力，起到重要的作用.
课件说明
学习目标： （1）用有理数估计无理数的大致范围，并初 步体验“无限不循环小数”的含义． （2）用计算器求一个非负数的算术平方根．
6．归纳小结 举例说明如何估算算术平方根的大小．
7．布置作业
教科书第44页练习 第1，2(1)、(2)、(4)题； 习题6.1第6题
复习
被开方数的大小与对应的算术平 方根的大小之间有什么关系呢？
-4有算术平方根吗？什么数才有 算术平方根？
练习：求下列各数的算术平方根，并用“ < ” 分别把被开方数和算术平方根连接起来 1，4，9，16，25
解：1 1 4 2 9 3 16 4 25 5
1 比较结果： < 4 < 9 < 16 < 25
你会表示 v , v 吗？ 12
3．解决章引言中提出的问题
v1 gR , v2 2gR
你会计算吗？
v1 9.8 6.4106 7.9103
v2 29.8 6.4106 1.1104
因此，第v一1 宇宙9.速8度6.4v1大1约06是 7.9103 m/s ， 第v二2 宇宙2v92.速8度6.4大1约06是 1.1104 m/s ．
因为 1.412 1.9881，1.422 2.0614， 而 1.9881 2 2.0164 ，所以 1.41 2 1.42 ．
因为 1.4142 1.999396 ，1.4152 2.002225， 而 1.999396 2 2.002225 ，所以1.414 2 1.415．
你能将这个问题转化为数学问题吗？
5．例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm， 则有3x∙2x=300 ，
6x2=300 ， x2=50， x 50 ， 故长方形纸片的长为3 50 cm ，宽为 2 50 cm ．
长方形的长和宽与正方形的边长之间的 大小关系是什么？小丽能用这块纸片裁 出符合要求的纸片吗？
36=＿6＿ 1.44=1＿.＿2
2
1 4
3 =＿2＿
25=＿5＿
( 3 )2 ___3____
(2)2 ___2____
提出问题
能否用两个面积为1的小正方形 拼成一个面积为2的大正方形？
提出问题
能否用两个面积为1 dm2的小正方形 拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
提出问题
能否用两个面积为1 dm2的小正方形 拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
6．提出问题
拼成的这个面积为 2 dm2 的大正方形的
边长应该是多少呢？
解: 设大正方形的边长为x dm，
则 x2 2 由算术平方根的定义，
得 x 2．
?
所以大正方形的边长为 2 dm．
2 有多大呢？
拼成的这个面积为 2 的大正方形的 边长应该是多少呢？
?
边长= 2
小正方形的对角 线的长是多少呢?
总结：
1、如果被开方数的小数点向右或者向左移 动两位，它的算术平方根的小数点相应也 向右或者向左移动一位。
2、看小数点移动规律，恰好是“两 位”“一节”，即被开方数移动两位， 它的算术平方根相应只移动一位。
1.用计算器计算 （3 结果保留4个有效数字）
3 1.732
2.利用刚才的规律和 3的近似值，说出下列数的 近似值（不用计算器）
……
1．解决问题
2
你以前见过这种数吗？ 2有多大呢？
你对正数a的算术平方根 a 的结果有
怎样的认识呢？
a 的结果 有两种情况：当a是完全 平方数时，是一个有限数；当a不 是完全平方数时， 是一个无限不循 环小数。
例2、判断下列各数，在哪两个 整数之间.
3 , 7 , 15 111 , 140 , 180
你知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的 速度在什么范围吗？这时它的速度要大于第一
宇宙速度 v（1 单位：m/s ）而小于第二宇宙速度 v（2 单位：m/s ）．v1 ，v2的大小满足v12 gR， v22 2gR ，其中 g 9.8 m/s2 ，R是地球半 径，R 6.4 106 m ．怎样求 v1，v2呢？
③0没有算术平方根 ．
（）
④负数的算术平方根是一个负数．（ ）
⑤ 3是3的算术平方根．（ ）
⑥－ 3的平方是3 ． （
）
⑦ 25＝-5 ．
（）
（1）9的算术平方根是＿＿3
（2） 9的算术平方根是＿＿3
（3）0.01的算术平方根是＿0.＿1
（4）10－6的算术平方根是＿10＿-3 （5）(－4)2的算术平方根是＿4＿ （6）10的算术平方根是＿＿10