北师大版九年级数学下册二次函数的图象与性质第3课时
北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）
顶点(-3，− ）
二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版 数学 九年级下册
第二章 二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知
北师大版数学九年级下册y=a(x-h)2+k的函数图像和性质(3)课时对应练习(Word版含答案)
第05课时二次函数y＝a（x-h）2 +k的函数图像和性质（3）1．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2+2C．y＝﹣2（x﹣1）2+2D．y＝﹣2（x﹣1）2+12．对于抛物线y=−12（x+1）2+3,下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1,3）；④x＞1时,y随x的增大而减小；⑤抛物线与y轴的交点坐标为（0,3）．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．43．如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,表达式中的h,k,m,n都是常数,则下列关系不正确的是（）A．h＜0,k＞0B．m＜0,n＞0C．h＝m D．k＝n4．对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k,对称轴是_______,顶点坐标是_______．（1）当a＞0时,图象开口_______,在对称轴左侧,y随x的增大而_______；在对称轴右侧,y 随x的增大而_______,当x＝_______时,y有最_______值,是_______；（2）当a＜0时,图象开口_______,在对称轴左侧,y随x的增大而_______；在对称轴右侧,y 随x的增大而_______,当x＝时,y有最_______值,是_______．5．如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A（﹣6,0）和原点O（0,0）,它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为_______．6．对于函数y＝﹣2（x﹣1）2,当x≤a时,y随x的增大而增大,则a的范围为_______．7．抛物线y=−13(x−2)2+1的顶点为C,已知y＝﹣kx+3的图象经过点C,则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为_______．8．已知二次函数y＝（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数）,当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”,如图分别是当a＝﹣1,a＝0,a＝l,a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是_______．9．已知在平面直角坐标系中,抛物线l1的解析式为y＝﹣x2,将抛物线l1平移后得到抛物线l2,若抛物线l2经过点（3,﹣1）,且对称轴为x＝1．（1）求抛物线l2的解析式；（2）求抛物线l2的顶点坐标；（3）若将抛物线l2沿其对称轴继续上下平移,得到抛物线l3,设抛物线l3的顶点坐标为B,直线OB于抛物线l3的另一个交点为C,当OB＝OC时,求C点坐标．10．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象与x轴交于A,B两点（A在B左侧）,与y轴交于点C,顶点为D．（1）求点A,B,C,D的坐标．并画出该二次函数的大致图象；（2）说出抛物线y＝（x﹣1）2﹣4可由抛物线y＝x2如何平移得到；（3）求四边形BOCD的面积．11．设A（﹣2,y1）,B（1,y2）,C（2,y3）是抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y112．已知y=12x2的图象是抛物线,若抛物线不动,把x轴,y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．y=12（x﹣2）2+2B．y=12（x+2）2﹣2C．y=12（x﹣2）2﹣2D．y=12（x+2）2+213．已知抛物线C：y=12（x﹣1）2﹣1,顶点为D,将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位,得到抛物线C1,顶点为D1,C与C1相交于点Q,若∠DQD1＝60°,则m等于（）A．±4√3B．±2√3C．﹣2或2√3D．﹣4或4√3 14．当0≤x≤3时,直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点,则a的取值范围是_______．15．已知函数y={(x−1)2−1，(x＜4)(x−7)2−1，(x≥4),点P（a,ka）在该函数上,若这样的点P恰好有三个,则k的值为_______．16．已知函数y={(x−2)2−2，x≤4(x−6)2−2，x＞4使y＝a成立的x的值恰好只有3个时,a的值为______．17．如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为（16,0）,（0,3√10）,连结AB,P是线段AO上一动点（不与点A、O重合）．过A、P两点的抛物线和过P、O两点的抛物线的开口均向下,它们的顶点E、F均在线段AB上．设这两个二次函数的最大值的差为S,则S ＝_______．18．如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点,其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h ＝2.6时,求y 与x 的函数关系式．（2）当h ＝2.6时,球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． （3）若球一定能越过球网,又不出边界．则h 的取值范围是多少？19．如图,二次函数y 1＝（x ﹣2）2+m 的图象与y 轴交于点C ,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y 2＝kx +b 的图象经过该二次函数图象上点A （1,0）及点B ． （1）求m 的值；（2）求二次函数与一次函数的解析式；（3）根据图象,写出满足y 2≥y 1的x 的取值范围．【参考答案】 1．C ． 2．C ． 3．D ．4．x ＝h ,（h ,k ）,向上,减小,增大,h ,大,k ,向下,增大,减小,h ,小,k ． 5．272．6．a ≤1． 7．12×3×3=92．8．y =12x −1．9．（1）根据题意,设抛物线l 2的解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+k , 将点（3,﹣1）代入函数解析式, ∴﹣1＝﹣4+k , 解得：k ＝3,∴抛物线l2的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3；（2）∴抛物线l2的顶点坐标为（1,3）；（3）设l3的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3+m,∴B点坐标为（1,3+m）,∵B,O,C三点共线且OB＝OC,∴C点坐标为（﹣1,﹣3﹣m）,∵C在l3上,∴﹣（﹣1﹣1）2+3+m＝﹣3﹣m,∴m＝﹣1,∴C点坐标为（﹣1,﹣2）．10．（1）令y＝0,（x﹣1）2﹣4＝0,解得x＝3或﹣1,得A（﹣1,0）,B（3,0）,令x＝0,y＝﹣3,得C（0,﹣3）,顶点D（1,﹣4）．图象如图所示,（2）把抛物线y＝x2抛向右平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y＝（x﹣1）2﹣4．（3）连接OD,S四边形CDBO＝S△OCD+S△OBD=12•3•1+12•3•4=152．11．A．12．B．13．A．提示：抛物线CC：y=12（x﹣1）2﹣1沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到y=12（x﹣m﹣1）2﹣1,∴D （1,﹣1）,D 1（m +1,﹣1）, ∴Q 点的横坐标为：m+22,代入y =12（x ﹣1）2﹣1求得Q （m+22,m 28−1）,若∠DQD 1＝60°,则△DQD 1是等边三角形, ∴QD ＝DD 1＝|m |, 由勾股定理得,（m+22−1）2+（m 28−1+1）2＝m 2,解得m ＝±4√3。
北师大版九年级数学下册2.2.2《二次函数的图象与性质》课件
y=x2 二次函数y=x2、y=x2、
y= 12x2的图象都是抛物线、 开口方向、对称轴、顶点 坐标、增减性、最值都相同； 不同点是开口的大小不同.
1
x -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
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探究学习，获取新知
(4)请同学们想一想,在 同一坐标系中作二次函 数y=2x2和y=-2x2的图象 会是什么样？ 二次函 数y=-x2和y=-2x2的图象 会是怎么样的，它们有 什么共同特点？
y=2x120 y
8 6 4
2
y=x2
-4 -2 O 2 4 x
y=-x2 y=-2x2
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探究学习，获取新知
（5）你能说出抛物线y=ax2对称轴、顶点 坐标是什么吗？抛物线y＝ax2的开口方向 和开口大小与什么有关？你能说出其中的 规律吗？ 抛物线y=ax2的对称轴是y轴；
顶点坐标（0,0）； a的符号决定开口方向， 当a＞0时,开口向上； 当a＜0时,开口向下； a 决定开口大小，a 越大,开口越小．
峨山镇中学
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二次函数 形状
y=x2
y=2x2 抛物线
开口方向
开口方向相同，都向上
对称轴
对称轴都是y轴（直线x=0）
顶点坐标 顶点都是原点，坐标为（0，0）．
相同点
增减性
在y轴左侧，都是y的值随x值的增大而减小； 在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大．
最值
都有最低点，即原点，即函数都有最小值， 当x=0时，y的值最小等于0．
(1)在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
x
－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
下册第2章第3课时 二次函数的图象与性质-北师大版九年级数学全一册课件
2
第3课时 二次函数的图象与性质(2) 第3课时 二次函数的图象与性质(2)
1
1
22
第3课时 二次函数的图象与性质(2)
x ＜x ＜0，则 y 第3课时 二次函数的图象与性质(2)
1 2 1 第3课时 二次函数的图象与性质(2)
第3课时 二次函数的图象与性质(2)
第二章 二次函数
第3课时 二次函数的图象与性 质(2)
学习目标
1.经历探索二次函数 y＝ax2(a≠0)和 y＝ax2＋c(a≠0)的图象 的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象 三者联系起来的经验． 2.能作出二次函数 y＝ax2(a≠0)和 y＝ax2＋c(a≠0)的图象， 会比较它们与二次函数 y＝x2 的图象的异同，理解 a 与 c 对 二次函数图象的影响． 3.能说出二次函数 y＝ax2(a≠0)和 y＝ax2＋c(a≠0)的图象的 开口方向、对称轴和顶点坐标． 4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型.
第3课时 二次函数的图象与性质(2)
第3课时 二次函数的图象与性质(2)
13.若点(x1，y1)和(x2，y2)在函数 y＝12x2 的图象上，且 x1<x2<0， 则 y1 与 y2 的大小关系为 y1＞y2 .
8.【例 4】在同一直角坐标系中，画出函数 y＝x2，y＝x2＋1，
y＝x2－1 的图象． 列表、描点、连线： (填表画图略)
归纳：(1)抛物线 y＝－x2 向上平移 2 个单位长度，得到的抛物 线表达式为 y＝－x2＋2；
(2)抛物线 y＝－x2 向下平移 2 个单位长度，得到的抛物线表达 式为 y＝－x2－.2
9【. 例 5】抛物线 y＝－x2＋5 的开口向 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5) ．当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
北师大版数学九年级下册习题课件2.2二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y=a(x-h)2,y=
7．(3分)(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)都在抛物线y＝－(x＋1)2＋2 上，则下列结论正确的是( A ) A．2>y1>y2 B．2>y2>y1 C．y1>y2>2 D．y2>y1>2 8．(3分)(易错题)对于二次函数y＝4(x－m)2－3，当x≤2时，y随x的增大而
减小，则m的取值范围是___m__≥_2_______．
解：(1)y＝－(x－3)2＋4，画图略 (2)当 x<3 时，y 随 x 的增大而增大
9．(3分)如图所示的是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，则该图象在y轴右侧与x轴的交点的坐标是(1，0)．
14．如图，点A，B的二坐标次分别函为数(0，4y)和＝(3a，x4)2，的抛物图线象y＝a与(x－二m)2次＋n函的顶数点在y线＝段aAB(x上－运动h(抛)2物，线y随顶点一起平移)，与x轴交于
解：(1)将点 A(－2，0)，C(0，94
16a＋c＝0， )代入 y＝a(x－2)2＋c，得4a＋c＝94，
解得a＝－136， c＝3，
∴抛物线的表达式为 y＝－136
(x－2)2＋3，即 y＝－136
x2＋34 x＋94 ，∴顶点 D 的坐标为(2，3)
(2)当 y＝－136 (x－2)2＋3＝0 时，解得 x1＝－2，x2＝6，∴A(－
一、选择题(每小题6分，共12分)
CA．．y开C＝口3．x向2－下y3＝DB3．．x对y2＝－称3(轴x3＋是3直)2线Dx．＝my＝3(x＋3)2
AA．．2－1>3y21>．By2．(64B分．C2．>)7y若2>Dy将1．8抛物线y＝5x2先向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的表
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》二次函数PPT课件(第3课时)
> y2.(填“<”“>”或“=”)
第七页，共十二页。
13.已知抛物线y=a(x+2)2过点(1,-3). (1)求抛物线对应的函数表达式; (2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标; (3)当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
解:(1)∵抛物线经过点(1,-3),∴-3=9a,a=-13. ∴抛物线的函数表达式为 y=-13(xƳ.如图,已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称
轴为直线x=1.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)已知M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标. 解:(1)抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)2+4. (2)①当MA=MB时,点M(0,0); ②当AB=AM时,点M(0,-3);
y1和y2的大小关系是 ( B )
1
A.y1>y2 B.y1<y2
3
C.y1=y2 D.无法比较
第二页，共十二页。
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 3.已知二次函数y=3(x-1)2+2,则下列说法正确的是 ( B ) A.图象的开口向下 B.图象的顶点坐标是(1,2) C.当x>1时,y随x的增大而减小 D.图象与y轴的交点坐标为(0,2) 4.如果二次函数y=a(x-h)2+k的图象的对称轴为直线x=3,那么h= 3 ;如果它的顶点坐标为(3,5),那么k的值为 -5 .
7.如图,二次函数y=(x+a)2与一次函数y=ax-a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( D )
第五页，共十二页。
8.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,3)的是 ( C )
北师大版九年级数学下册第二章二次函数的图象与性质课件
y=a(x-h)2+k（a>0） 向上
y=a(x-h)2+k（a<0） 向下
直线x=h
直线x=h
（h，k）
（h，k）
当x=h时,y有最小值为k. 当x=h时, y有最大值为k.
当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而减小.
A. 5,0
B. 1,0
C. 5,-4 D. 1,-4
课本P41 随堂练习 习题2.5 问题解决第4题 ※课本P41 数学理解 第2题 问题解决第5题
谢 谢 大家
(2) y=-2x2-12x+8
求二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴和顶点坐标．
二次函数y=ax2+bx+c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线
顶点式
y=a(x+ b )2 + 4ac-b2
2a
4a
y=a(x－h)2 +k
对称轴是直线x=- b 顶点坐标是(- b ，4ac-b2 )
2a
2a 4a
2a
③代入法
顶点坐标 : (- b ，4ac-b2 ) 2a 4a
通过本节课的学习， 你掌握了哪些知识… 应用了哪些数学思想方法…
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=2x2-12x+3 (配方法) (2) y=3x2-6x+2(公式法)
开口向上 直线x=3 (3,-15) 开口向上 直线x=1 (1,-1) (3)y=-5x2+80x-319(代入法)
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ 1m
北师大版九年级下册数学教案：2.2二次函数的图像和性质
3.培养学生通过探索二次函数图像的规律，培养数据分析观念和推理能力，增强问题解决策略。
4.培养学生在研究二次函数过程中，形成合作交流、勇于探究的学习态度，提高数学学习兴趣和信心。
5.通过对二次函数图像和性质的深入学习，培养学生数学建模素养，为解决实际生活中的问题奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数图像的绘制：重点讲解如何根据二次函数的一般形式准确绘制出函数图像，包括确定顶点、开口方向等。
-二次函数的性质：强调二次函数图像的对称性、开口方向、最值、增减性等核心性质。
-图像与性质的相互关系：通过实例分析图像特征与函数性质之间的关系，如顶点坐标与最值的关系，a的符号与开口方向的关系。
-理解a对图像的影响：学生需要理解a的值不仅影响图像的开口方向，还决定了图像的“胖瘦”，即函数的增长速率。
举例：
-难点1：对于图像y = ax^2 + bx + c，学生可能难以理解为何顶点坐标可以通过方程的系数直接计算得出。教学中需要通过图示和具体例子来解释这一关系。
-难点2：在理解二次函数的对称性时，学生可能难以将对称轴的概念与实际图像联系起来。可以通过绘制具体的图像，并引导学生观察对称轴与图像的关系来突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像的绘制和性质分析。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二次函数的图像和性质 第三课时-九年级数学下册课件(冀教版)
解：(1)在 y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y ＝4. ∴点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)∵点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4.
∴S△AOB＝
1 2
OA·OB＝ 1 ×2×4＝4.
2
(3)抛物线的对称轴为x＝－2.
y
2
1(x 2
1)2 与 y
1 ( x 1)2 2
的图像的形状和位置有什么关系?
2
形状相同，位置不同.
1 抛物线 y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( B )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( A )
A．y＝(x＋2)2
易错点：函数y＝ax 2＋c 与y＝a (x－h)2的图象与性质
区别不清
二次函数 y＝3x 2＋1的图象开口向上，对称轴是 y 轴，顶 点坐标是(0，1)，当x >0时，y 随x 的增大而增大；二次 函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶 点坐标是(1，0)，当x >1时，y 随x 的增大而增大；二次 函数 y＝3x 2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因
x_>__5时，y 随x 的增大而减小.
导引：
y =－1 (x－5)2的图象与抛物线y =－1 x 2的形状相
4
同，但位置不同，y
=－1
4
(x－5)2的图象由抛物线
y
=－1
x
4 2向右平移5个单位得到.
4
1 把抛物线 y ＝x 2平移得到抛物线 y ＝(x＋2)2，则这
北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图像与性质课件
y ax2 当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0图象开口 对性顶点 增减性O O
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x2
-10 y=－2x2
函数y=－ 1 x2,y=－2x2的图像与y=-x2的
2
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y 1
性质：当a＜0时，图象
开口向下，顶点是抛物
4.5 2 0.5
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
0 0.5
1 1.5
2 4.5
2…
8…
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=
1 2
x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 y= 2x2 y=x2
y
y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
从图象可以看出,二次函数 y=x2和y=－x2的图象都是轴对 称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
实际上，每条抛物线都有对称轴， 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点；顶点是抛物线的最低点或 最高点
第三课时 27.2 二次函数的图象与性质(2)(第3课时)
第三课时 27．2 二次函数的图象与性质（2）(第3课时)一、衔接知识回顾：1.一次函数x y 2=的图象 移动 单位，可得12+=x y 的图象。
2.你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系． 二、新知自习探究：（学生先独立完成下列题目）例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．反思 1. 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？2.反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 1.观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？2.你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？ 例2、在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象． 解：先列表x … －3 －2 －1 0 1 23 … y ＝x 2＋1 … … y ＝x 2－1 ……描点并画图x... -3 -2 -1 0 1 2 3 (2)2x y =... 18 8 2 0 2 8 18 (2)22+=x y…20104241020…观察图象得：1．开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋12．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．三、理一理知识点1．y＝ax2y＝ax2＋k开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．增减性2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________．四、课堂巩固训练1．填表函数草图开口方向 顶点对称轴 最值对称轴右侧的增减性y ＝3x 2y ＝－3x 2＋1y ＝－4x 2－52．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________． 五．方法归纳：k axy +=2（a 、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：k axy +=2开口方向对称轴顶点坐标>a<a六、作业：A1．填表函数开口方向顶点 对称轴最值 对称轴左侧的增减性y ＝－5x 2＋3 y ＝7x 2－12．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________． 5．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．6．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．7.已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值. B 、1．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )2．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．3．二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值等于 。
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图象与性质(3)》公开课课件 (2).ppt
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象． 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x2
27 12 3 0 3 12 27
y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴 (x=-1)的左侧,当x<-1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左 平移了1个单位.
y3x12
y3x12
1.抛物线y=-3(x-1)2
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称 轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴 (x=1)右侧,当x>1时, y随着x 的增大而减小.当x=1时,函数
y 3x2
X=-1 X=1
的顶点是(1,0);对称 轴是直线:x=1;抛物 线y=-3(x+1)2的顶 点是(-1,0);对称轴是 直线:x=-1.
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似.
顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时,
最小值是0..
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1) 的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象, 它的增减性会是什么样?
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是( B )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y3>
【变式拓展】对于二次函数y=-
1 3
x2+2,当x为x1和x2时,对应的函数值分别为y1和y2.若
x1>x2>0,则y1和y2的大小关系是 ( B )
A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法比较
第二章 二次函数
二次函数的图象与性质
第3课时
第二章
第3课时 二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
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知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.对于函数y=-2(x-3)2,下列说法不正确的 ( D )
A.开口向下 B.对称轴是x=3
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第二章
第3课时 二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象与性质
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-3-
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
3.已知二次函数y=3(x-1)2+2,则下列说法正确的是 ( B )
A.图象的开口向下 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ 手抄报：/shouchaobao/ 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
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B.图象的顶点坐标是(1,2)
C.当x>1时,y随x的增大而减小
D.图象与y轴的交点坐标为(0,2)
4.如果二次函数y=a(x-h)2+k的图象的对称轴为直线x=3,那么h= 3 ;如果它的顶点坐
标为(3,-5),那么k的值为 -5 .
第二章
第3课时 二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象与性质
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-4-
知识点3 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象的关系 5.若将抛物线y=x2沿着x轴向左平移1个单位,再沿y轴向下平移1个单位,则得到的抛物 线的表达式为 ( D )
A.y=(x-1)2-1
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D.与y轴不相交
2.已知二次函数y=3(x+1)2的图象上有三点A(1,y1),B(2,y2),C(-2,y3),则y1,y2,y3的大小关系