等差数列中的最值问题
等差数列的前n项和的最值及应用
法二 同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 又由因aann为＝＋1n＝－∈－2Nn2*＋（，2n7＋≥10），＋27≤0得nn≤ ≥11321212， . 所以当n＝13时，Sn有最大值，为S13＝169.
索引
法三 因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值. 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，又a1＝25， 解得d＝－2， 所以 S13＝13×25＋13×2 12×(－2)＝169， 所以 Sn 的最大值为 169.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( D )
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列. 又 a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋n（n2－1）×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2252＋6425. ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 最大.
索引
3.做一做 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天 起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天 16
计)共织390尺布，则每天比前一天多织___2_9____尺布(不作近似计算). 解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中 a1＝5，S30＝390， 设其公差为 d，则 S30＝30×5＋30×2 29d＝390，解得 d＝1269.故该女子织布每天增 加1269尺.
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
高考数学复习等差数列的前n项和Sn的最值问题
10×9 15×14 解法 2 设公差为 d.因为 S10＝S15，所以 10a1＋ 2 d＝15a1＋ 2 d， nn－1 5 5 2 125 代入 a1＝20，得 d＝－3.所以 Sn＝na1＋ 2 d＝－6n ＋ 6 n＝ 12×11 5 2 －6(n －25n)， 所以当 n＝12 或 13 时， Sn 取得最大值为 12a1＋ 2 5 ×－3＝130.
S7<S8， 所以 S9<S8， 49＋21d<56＋28d， 7 即 解得－1<d<－8. 63＋36d<56＋28d，
即d
7 的取值范围为－1，－8 .
a11 5．在等差数列{an}中，a <－1，若它的前 n 项和 Sn 有最大值，则使 Sn 10 取得最小正数的 n＝
1 3 － － q∈ . 2 2，2 7
8．在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15，求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最大值．
答案：当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值为 130.
解法 1 因为 S10＝S15，所以 S15－S10＝0，即 a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， 也即 5a13＝0，所以 a13＝0，即 a1>a2>…>a12>a13＝0>a14>a15>…， 13a1＋a13 13×20＋0 故当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值为 ＝ ＝ 2 2 130.
微专题47
等差数列的前n项和Sn的最 值问题
2 4 1．已知等差数列{an}：5,47，37，…，当 n＝
7 或8
时，数列
{an}的前 n 项和 Sn 最大？
由一道题谈求解数列最值问题的方法
学考方略数列最值问题的综合性较强，常与不等式、函数、方程、数列等相结合.此类问题的难度较大，侧重于考查同学们的推理和综合分析能力.本文以一道题为例，谈一谈解答数列最值问题的方法.题目：在等差数列{}a n 中，a 1<0，S 9=S 12，则数列{}a n 的前几项和最小？该题看似简单，其实较为复杂.要求得数列和的最小值，我们需根据等差数列的性质、公式和已知关系式，推理出数列各项之间的规律，明确公差d 的取值范围，以便确定数列中的哪些项为负值、0、正值，那么所有负数项的和必然最小，再根据等差数列的前n 项和公式就能求得数列的和的最小值.有如下三种求解的方法.一、利用数列的单调性求解我们知道数列具有单调性，一般地，若a n >a n +1，则{}a n 是递减数列；若a n <a n +1，则{}a n 是递增数列.对于等差数列而言，若公差大于零则数列是递增数列，公差小于零则数列是等差数列.在解答等差数列问题时，我们可以根据数列的通项公式或者公差来判断数列的单调性，然后根据数列的单调性来求数列和的最值.对于本题，我们可以根据已知关系式和等差数列前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d 来确定公差d 的取值范围，从而判断出数列的单调性，再根据数列的单调性来求数列和的最小值.解：因为S 9=S 12，所以9a 1+9×82d =12a 1+12×112d ,即d =-110a1.由a 1<0知d >0，则数列{}a n 是递增数列，则ìíîïï1-110()n -1≥0，1-110n ≤0，解得10≤n ≤11，所以当n =10或n =11时，S n 的值最小，即数列{}a n 的前10或11项和最小.二、巧用等差中项的性质求解若a 、b 、c 成等差数列，则b 为a 、c 的等差中项.a 、b 、c 成等差数列的充分必要条件是b =a +c 2.在求解等差数列最值问题时，我们可以借助等差中项的性质来建立关系式，从而明确数列中的哪些项为负数，哪些项为正数，求得数列和的最值.解：因为S 9=S 12，根据数列的前n 项求和公式S n =(a 1+a n )2可得9(a 1+a 9)2=12(a 1+a 12)2，化简得a 10+a 11+a 12=3a 11=0，解得a 11=0，所以数列{}a n 前10或11项和最小.此解法主要运用了等差中项的性质，从而求得a 11=0，求得数列和的最小值.该解题思路巧妙，解题过程简捷.运用该方法解题，同学们需灵活运用等差中项的性质.三、借助函数思想求解数列是一种特殊的函数，不过其自变量为自然数.在解答数列最值问题时，我们可巧妙利用函数思想来解题，将等差数列的前n 项和看作关于n 的二次函数式，将等比数列的前n 项和看作关于n 的指数函数式，借助二次函数、指数函数的图象和性质来解题.对于本题，我们可以将等差数列的前n 项和看作关于n 的二次函数式，借助二次函数的单调性来求数列的最值.解：因为S 9=S 12，所以9a 1+9×82d =12a 1+12×112d ，即d =-110a1，因为S n =na 1+n ()n -12d =d 2n 2+æèöøa 1-d 2n ，所以S n =æèöø-120a 1∙n 2+æèöø2110a 1∙n =-a 120æèöøn -2122+44180a1，由二次函数的性质知，函数图象的开口向下，对称轴为n =212=10.5，所以当n =10或n =11时，S n 的值最小，即数列{}a n 的前10或11项和最小.借助函数思想，可将数列问题转化为函数问题，使问题快速得解.虽然数列最值问题较为复杂，但是同学们只要熟练运用数列的通项公式、前n 项和公式，并掌握一些求解数列最值问题的方法，如利用数列的单调性、数列中项的性质以及函数思想，就能顺利破解难题.（作者单位：山东省青岛市即墨区第二中学）50Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
高一数学求最值的知识点
高一数学求最值的知识点在高一数学中，求解最值问题是一个重要的内容，它涵盖了函数的极值、二次函数的最值、等差数列的最值等多个知识点。
本文将就这些知识点进行详细阐述，帮助同学们更好地理解和应用。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
要求函数的极值，一般需要找出函数的驻点和端点，并进行比较。
1）驻点：对于函数f(x)，如果f'(x)=0，那么点(x, f(x))就是函数的一个驻点。
通过求导数来得到驻点，并根据二阶导数的符号来判断驻点的类型。
当f''(x)>0时，该驻点为极小值点；当f''(x)<0时，该驻点为极大值点。
2）端点：对于函数f(x)，若定义域存在边界a和b，那么点(a,f(a))和点(b, f(b))就是函数的端点。
通过将端点代入函数，求出函数值，并与驻点的值进行比较，得出函数的最值。
综合考虑驻点和端点的情况，就可以求得函数的最值。
二次函数是高中数学中较为常见的函数类型，其最值的求解方法也有一定规律。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），要求最值，可以通过以下步骤进行：1）求导数f'(x) = 2ax + b。
2）令f'(x) = 0，解得x = -b / (2a)。
将x代入原函数f(x)，求得对应的y值。
通过求解一次函数f'(x) = 0的根，可以得到二次函数的对称轴x = -b / (2a)。
将对称轴的x值代入原函数，就可以求得对称轴上的最值点。
3）比较端点。
若二次函数存在定义域的两个端点，则将这两个端点代入原函数，求得对应的函数值。
将对称轴上的最值点与端点的函数值进行比较，即可确定二次函数的最值。
等差数列是数学中经常遇到的数列类型，求解等差数列的最大值和最小值的方法较为简单。
对于等差数列：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。
高考数学专题14 数列中的最值问题
一、选择题1．已知等差数列 的前 项和是 ,若,,则 最大值是A.B.C.D.【答案】C【解析】由等差数列的前 n 项和的公式可得：故则,故在数列 中,当时,,当,所以 时, 达到最大值.2．若等差数列 的前 项和,则的最小值为A．B.8C.6D.7【答案】D3.已知正项等比数列 的前 项和为 ,且,则为 A. 10 B. 15 【答案】CC. 20D. 25【解析】由题意可得：,由可得由等比数列的性质可得： 可得：成等比数列,则的最小值, ,综上,当且仅当时等号成立.综上可得,则的最小值为 20.4.已知数列 的通项公式为最大值为 A．4 【答案】CB．5C．6【解析】,记数列 的前 项和为,则使 D．8成立的 的 ,,,…,所以使成立的 的最大值为 ,故选 C.5．设数列 为等差数列, 为其前 项和,若,,,则 的最大值为A. 3 B. 4 C.D.【答案】B【解析】∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,a3≤3,a1+4d≤5,a1+2d≤3,两式相加得：2（a1+3d）≤8,∴a4≤4,故选 B.6. 等比数列 的前 项和（ 为常数）,若恒成立,则实数的最大值是 A. 3 B. 4 【答案】CC. 5D. 67. 正项等比数列｛an｝中,存在两项 am,a（n m,n的最小值为 A. 5 B. 6 【答案】BC. 7D. 8）使得 aman=16a12,且 a7=a6+2a5,则 +【解析】∵,∴∴,又,∴,,∴,即,,当且仅当,即时等号成立,∴的最小值为 6,故选 B．8. 等差数列 的公差为 ,关于 的不等式的解集为 ,则使数列的前 项和 最大的正整数 的值是 A． B． C． D． 【答案】B9. 已知等差数列 的公差,且 , , 成等比数列,若, 为数列 的前 项和,则的最小值为A． 4B．3【答案】A【解析】由已知有公式C． ,所以有D．2,数列 通项,所以,当且仅当,即时等号成立.故选A.10. 已知三个数 ,,成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项,则能使不等式成立的自然数 的最大值为A．9 【答案】CB．8【解析】因为三个数C．7D．5等比数列,所以,倒数重新排列后恰好为递增的等比数列 的前三项,为,公比为 ,数列是以 为首项, 为公比的等比数列,则不等式等价为,整理,得,故选 C．11. 设等差数列 满足:,公差, 若当且仅当是A．B．【答案】A时, 的前 项和 取得最大值,则首项 的取值范围C．D.12. 设 数 列首项 ,当 取最大值时,,为的前 项和,若A． 4 【答案】DB．2C． 6D． 3【解析】由题意得,所以当且仅当时取等号,故选 D. 二、填空题 13.将 10 个数 1,2,3,…,9,10 按任意顺序排列在一个圆圈上,设其中连续相邻的 3 数之和为 , 则 的最大值不小于__________． 【答案】1814.已知 是等比数列,且,【答案】【解析,则 的最大值为__________． 】,即 的最大值为 .15．设等差数列 满足 __________． 【答案】-12 【解析】因为数列,,且是等差数列,且有最小值,则这个最小值为,所以,是一元二次方程,或,的二根,由 ,当,当得 时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时 ,,当 ,当时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时, 故答案为 .16．设等差数列 的前 项和为 ,且又,数列 的前 项和为 ,若最大值是__________. 【答案】2（ 是常数,）,,对恒成立,则正整数 的17.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2（n∈N*）,设 Sn 为{bn}的前 n 项和．若,则当 Sn 取得最大值时 n 的值等于_____．【答案】【解析】设 的公差为 ,由得,,即,所以,从而可知时,,,,,因为,所以中 最大,故答案为 16.,时,,,,所以,从而 ,故,所以 ,故18.已知等比数列 的首项为 ,公比为 ,前 项和为 ,则的最大值与最小值之和为__________． 【答案】【解析】由等比数列前 n 项和公式可得,令,当 为奇数时,单调递减,,当 为偶数时,单调递增,,则,即,令,函数单调递减,则：,最大值与最小值之和为. 19.等差数列 满足,则的取值范围是________.【答案】.三、解答题20．已知数列 的各项为正数,其前 项和为 满足,设. （1）求证：数列 是等差数列,并求 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ,求 的最大值.（3）设数列 的通项公式为,问: 是否存在正整数 t,使得成等差数列？若存在,求出 t 和 m 的值；若不存在,请说明理由.21．已知数列 是首项等于 且公比不为 1 的等比数列, 是它的前 项和,满足．（1）求数列 的通项公式；（2）设且,求数列 的前 项和 的最值．【解析】（1）,,.整理得,解得或（舍去）..（2）.1）当 时,有增的等差数列.由,得 .所以数列是以为公差的等差数列,此数列是首项为负的递 . 的没有最大值.2）当时,有递减的等差数列.,得 ,,数列 是以为公差的等差数列,此数列是首项为正的. 的没有最小值.。
等差数列的前n项和的最值问题
精品资料
解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15× 2 14d， ∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635. ∴a13＝0. 即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13＝12×20＋12× 2 11×－53＝130.
S2 009＝0.
(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；
(2)求 n 的取值集合，使 an≥Sn.
解 方法一 (1)设公差为 d，则由 S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n09n－n2)
∵a1<0，n∈N*，
∴当
n＝1
004
或
1
005精品时资料，Sn
取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 100050－ 4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值 问题
精品资料
前n项和Sn最大（最小）
1）在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最大， 可由不等式组 aann100来确定n 2)在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最小， 可由不等式组 aann100来确定n
等差数列的前n项和Sn的最值问题专题
等差数列的前n项和S n的最值问题1.已知等差数列{a n}：5，427，347，…，当n＝______时，数列{a n}的前n项和S n最大？2．(2018·无锡期末试卷)已知等比数列{a n}满足a2a5＝2a3，且a4，54，2a7成等差数列，则a1a2……a n的最大值为________．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝12，S12>0，S13<0，当n＝________时，S n 取得最大值．4．在等差数列{a n}中，已知a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时，S n取得最大值，则d的取值范围为________．5．在等差数列{a n}中，a11a10<－1，若它的前n项和S n有最大值，则使S n取得最小正数的n＝________．6．等差数列{a n}的前n项和S n，S n的最大值为S6，且|a6|<|a7|，则使S n<0的n的最小值是________．7.已知数列{a n}是等比数列，首项a1＝8，令b n＝log2a n，若数列{b n}的前7项的和S7最大，且S7≠S8，求数列{a n}的公比q的取值范围．8．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．1．答案：7或8. 解析：有条件得a n ＝40－5n7，所以数列{a n }单调递减，而a 7>0，a 8＝0，a 9<0，所以，当n ＝7或8时，数列{a n }的前n 项和S n 最大．2．答案：1 024. 解析：由条件解得：a 1＝16，q ＝12.故a n ＝25－n，所以a 1a 2……a n ＝24＋3＋…＋(5－n )，故令a n ＝25－n≥1，解得n ≤5，即有a 1>a 2>a 3>a 4>a 5＝1>a 6>…，所以a 1a 2……a n 的最大值为a 1a 2a 3a 4＝a 1a 2a 3a 4a 5＝24·23·22·21·2＝210＝1 024.(本题主要考查等比数列的通项公式及等差数列的性质．)3．答案：6.解法1由题意得a 6>0，a 7<0，由单调性可知S 6最大；解法2由S n 为n 的二次函数，S 12>0，S 13<0，可得，对称轴为x ＝k (6<k <6.5)，所以S 6最大．4．答案：(－1，－78)．解法1由题意知，{a n }递减即d <0，且a 8>0>a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝7＋7d >0，a 9＝7＋8d <0，解得－1<d <－78.解法2因为S n ＝7n ＋n （n －1）2d 当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 7<S 8，S 9<S 8，即⎩⎪⎨⎪⎧49＋21d <56＋28d ，63＋36d <56＋28d ，解得 －1<d <－78.5．答案：19或1. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设d <0，由a 11a 10<－1，可知a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，故S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19a 10>0，S 20＝20（a 1＋a 20）2＝20（a 10＋a 11）2<0，1与19到对称轴的距离相等，∴S 1＝S 19.所以n ＝19或1.6．答案：12.解析：数列{a n }是递减数列且a 6>0，a 7<0，则a 6<－a 7，a 6＋a 7<0，S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)<0，而S 11＝11a 6>0，所以使S n <0的n 的最小值是12.7．答案：[2－12，2－37)．解析：b 1＝3，公差d ＝log 2q <0，S n ＝d2n 2＋(3－d2)n ，因为{b n }的前7项的和S 7最大，且S 7≠S 8，所以132≤－3－d2d <172，所以 －12≤d <－37，即q ∈[2－12，2－37)． 8．答案：当n ＝12或13时，S n 取得最大值为130.解法1因为S 10＝S 15，所以S 15－S 10＝0，即a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，也即5a 13＝0，所以a 13＝0，即a 1>a 2>…>a 12>a 13＝0>a 14>a 15>…，故当n ＝12或13时，S n 取得最大值为13（a 1＋a 13）2＝13（20＋0）2＝130.解法2设公差为d .因为S 10＝S 15，所以10a 1＋10×92d ＝15a 1＋15×142d ，代入a 1＝20，得d ＝－53.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－56n 2＋1256n ＝－56(n 2－25n )，所以当n ＝12或13时，S n取得最大值为12a 1＋12×112×(－53)＝130.。
与等差数列前n项和Sn有关的最值问题教学讲义
与等差数列前n 项和S n 有关的最值问题教学讲义 例5 (文)(2018·福州模拟)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝10或11，S n 的最大值为55.[分析] 求出数列的公差，再根据通项公式或前n 项和公式求解．[解析] 解法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12，所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ， 所以d ＝－1.所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n >0，当n ≥12时，a n <0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.解法二：同解法一求得d ＝－1.所以S n ＝10n ＋n (n －1)2·(－1)＝－12n 2＋212n ＝－12(n －212)2＋4418. 因为n ∈N *，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 解法三：同解法一求得d ＝－1.又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0.所以3a 11＝0，即a 11＝0.∴a 1>a 2>…>a 10>a 11＝0，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值．且最大值为S 10＝S 11＝55.例5 (理)(1)(2018·吉林市调研)设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9(2)(2018·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( B )A ．11B ．19C ．20D ．21[分析] (1)由S 5＝S 9可求得a 1与d 的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用S n >0⇔a 1＋a n >0求解．[解析] (1)解法一：由S 5＝S 9得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0即a 7＋a 8＝0，∴2a 1＋13d ＝0，又a 1>0，∴d <0.∴a 7>0，a 8<0，∴a 1>a 2>…>a 7>0>a 8>a 9>…，∴S n 最大时，n ＝7，故选B ．解法二：S n 是关于n 的二次函数，S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，且d <0，(n ，S n )所在抛物线开口向下 ，又S 5＝S 9，∴抛物线对称轴为n ＝7.即n ＝7时，S n 最大，故选B ．解法三：由解法1知d ＝－213a 1， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－12d )n ＝－a 113n 2＋1413a 1n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， ∵a 1>0，∴－a 113<0，∴当n ＝7时，S n 最大． 解法四：由解法一可知，d ＝－213a 1. ∵a 1>0，∴d <0.令⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)(－213a 1)≥0，a 1＋n (－213a 1)≤0，解得132≤n ≤152. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝7时，S n 最大．(2)∵S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B ．[引申]①本例(1)中若将“S 5＝S 9”改为“S 5＝S 10”，则当S n 取最大值时n ＝7或8； ②本例(1)中，使S n <0的n 的最小值为15；③本例(2)中，使S n 取最大值时n ＝10.[解析] ①若S 5＝S 10，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 的对称轴为n ＝7.5，但n ∈N *，故使S n 最大的n 的值为7或8.②由a 7＋a 8＝a 1＋a 14＝0知S 14＝0，又a 8<0，∴2a 8＝a 1＋a 15<0，即S 15<0，∴使S n <0的n 的最小值为15.名师点拨 ☞求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法：〔变式训练3〕(2018·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( C )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C ．。
等差数列中的最值问题
因为扇形的半径为１,所以|O Pң|＝１．又O PʅO B,故O Pң O Bң＝０．因为øA O B＝２π３,所以øA O P＝π６,于是P Mң P Nң＝(P Oң＋O Mң) (P Oң＋O Nң)＝P Oң２＋P Oң O Nң＋O Mң P Oң＋O Mң O Nң＝１＋０＋|O M|c o s５π６＋|O M| |O N|c o s２π３ɤ１＋０ˑ(－３２)＋０ˑ(－１２)＝１．综上,P Mң P Nң的最大值为１．如果两个向量的夹角是钝角,那么它们的数量积是负值,所以本例中要使P Mң P Nң值最大,只需M,N两点与O重合．２ ３㊀数量积定值问题例５㊀已知线段A B是半径为r(r＞０)的圆O的一条弦,且A B＝２,试问A Oң A Bң是定值(与r的大小无关)吗?请探究．先将问题特殊化:容易求得,当弦A B为直径时,有A Oң A Bң＝２;当әA O B为正三角形时,也有A Oң A Bң＝２,于是可以大胆猜想A Oң A Bң为定值２,那么这个论断正确吗?下面加以严格证明．如图５所示,过点O作O HʅA B于点H,则A Oң A Bң＝|A Oң||A Bң|c o søO A B＝(|O Aң| c o søO A B) |A Bң|＝|AHң||A Bң|＝１２|A Bң|２＝２．图５对于动中有定问题,通常可以从特殊值或运动的特殊位置入手,先找到 疑似定值 ,然后讨论一般情形并证明．解答本题还需注意向量的投影在圆中的运用,即A Oң A Bң的大小仅取决于弦A B的长短．从以上五个例题可以看出,无论是静态还是动态问题,平面向量数量积问题都离不开数量积定义式的应用,同时要注意图形特征,善于将欲求向量转化为已知向量．这类问题虽然背景比较新颖,但除去背景的 外包装 ,其实就是极为普通的平面向量数量积运算问题．(作者单位:甘肃省张掖市实验中学)Җ㊀山东㊀袁海艳㊀㊀在等差数列中,经常会碰到有关最值的问题,主要是等差数列前n项和的最值问题．通过题目中给出的相关信息,结合数列的相关性质,确定前n项和中的最值问题,是函数性质的一种特殊表现．１㊀邻项变号法(不等式法)等差数列中求前n项和S n的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第１项起到该项的各项的和为最大(小)．例１㊀若等差数列{a n}满足a７＋a８＋a９＞０,a７＋a１０＜０,则当n＝时,{a n}的前n项和最大．根据等差数列的性质有a７＋a８＋a９＝３a８＞０,可得a８＞０．又a７＋a１０＝a８＋a９＜０,则a９＜０,所以当n＝８时,等差数列{a n}的前n项和最大．本题根据等差数列的相关性质,利用邻项变号法,结合题意的相关知识和对应的要求加以分析求解等差数列的前n项和的最值．２㊀配方法把等差数列前n项和S n表示成关于n的二次函数,利用配方法,运用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值问题,要注意项数n的取值为正整数．例２㊀数列{a n}的前n项和S n＝３３n－n２,问n为何值时,S n有最大值?由于S n＝３３n－n２＝－(n－３３２)２＋１０８９４,所以当n＝１６或n＝１７时,S n有最大值２７２．本题直接进行配方,利用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值,要注意项数n的取值为正整数．３㊀图象法根据等差数列的性质,往往把等差数列前n项和６１S n 表示成关于n 的二次函数,利用二次函数所对应的图象与性质确定相应的最值．例３㊀设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a １＞０,S １２＞０,S １３＜０,指出S １,S ２, ,S １２中哪一个值最大,并说明理由．如图１所示,因为{a n }是等差数列,所以S n ＝d ２n ２＋(a １－d２)n ,因为S １２＞０,S １３＜０,所以a １３＝S １３－S １２＜０,因为a １＞０,a １３＜０,所以d ＜０,所以点(n ,S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d ２x２＋(a １－d２)x 的图象上．设二次函数y ＝d ２x ２＋(a １－d２)x 的对称轴为x ＝n ０,则２n ０是二次函数的一个零点,因为S １２＞０,S １３＜０,所以１２＜２n ０＜１３,所以６＜n ０＜６ ５．易知n ＝６对应的点A (６,S ６)到对称轴的距离比n ＝７对应的点B (７,S ７)到对称轴的距离更小,所以点A 为最高点,S ６最大．图１本题通过把求和公式转化为相应的二次函数的解析式,利用二次函数的图象与性质来确定S n 的最值．４㊀数列性质法等差数列的单调性㊁首末两项等距的相加性等性质在解决等差数列的最值问题中经常采用,体现了函数思维㊁整体代换思维的应用．数列性质法能简化运算,优化解题过程．例４㊀在等差数列{a n }中,已知a １＝２０,前n 项和为S n ,且S １０＝S １５,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值．由于a １＝２０,S １０＝S １５,则１０ˑ２０＋１０ˑ９２d ＝１５ˑ２０＋１５ˑ１４２d ,解得d ＝－５３,由S １０＝S １５,可得a １１＋a １２＋a １３＋a １４＋a １５＝０,结合等差数列的性质可得５a １３＝０,即a １３＝０．综上,当n ＝１２或１３时,S n 有最大值,且最大值为S １２＝S １３＝１２ˑ２０＋１２ˑ１１２ˑ(－５３)＝１３０．求解此类问题方法众多,可以采用邻项变号法㊁配方法等,而结合题目条件,利用等差数列的性质法来处理显得更为简单巧妙．利用数列性质法来求解最值问题时,要注意题目中的条件与数列性质的转化．５㊀转化法在解决一些特别数列的最值问题时,往往通过转化,把问题转化为有关等差数列的单调性㊁相关项的正负或大小关系问题,进而根据求和问题加以判断与应用．例５㊀若数列{a n }是等差数列,数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),{b n }的前n 项和为S n ,若{a n }中满足３a ５＝８a １２＞０,试问n 为何值时,S n 取得最大值?证明你的结论．由于３a ５＝８a １２＞０,则３a ５＝８(a ５＋７d )＞０,解得a ５＝－５６５d ＞０,即d ＜０,而a ５＝－５６５d ＝a １＋４d ＞０,所以a １＝－７６５d ＞０,即数列{a n }是首项为正数的递减数列．由a n ȡ０,a n ＋１ɤ０,{得－７６５d ＋(n －１)d ȡ０,－７６５d ＋n d ɤ０,ìîíïïïï解得１５１５ɤn ɤ１６１５,故n ＝１６,即a １６＞０,a １７＜０,此时a １＞a ２＞ ＞a １６＞０＞a １７＞a １８＞ ,根据b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),可得b １＞b ２＞ ＞b １４＞０＞b １７＞b １８＞ ,而b １５＝a １５ a １６ a １７＜０,b １６＝a １６ a １７a １８＞０,所以S １４＞S １３＞ ＞S １,S １４＞S １５＜S １６,又a １５＝a １＋１４d ＝－６５d ＞０,a １８＝a １＋１７d ＝９５d ＜０,所以a １５＜|a １８|,即|b １５|＜b １６,也即b １５＋b １６＞０,所以S １６＞S １４,即n ＝１６时,S n 取得最大值．转化与化归思想在解决数列的最值问题中经常碰到,往往是通过数列的项㊁求和公式㊁数列性质等的转化,把比较繁杂的问题转化为比较常见且方便求解分析的问题．在研究等差数列的最值问题中,以上五种方法可以灵活应用,当然有时对于同一个题目,五种方法都适用,关键是根据题目条件选择最适当的方法加以分析．通过不同方法的比较与渗透,能提高学生的知识应用能力与问题解决能力．(作者单位:山东省青岛市城阳第一高级中学)７１。
高中数学不等式系列 基本不等式与等差数列相结合 求最值问题
高中数学不等式系列基本不等式与等差数列相结合求最值问题
高中数学不等式系列是一种求解最值问题的有效方法，它将基本不等式与等差数列相结合，可以有效地求解出最值问题。
首先，我们来看一个典型的高中数学不等式系列问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，求a1+a2+…+an的最大值。
解决这个问题的关键在于利用基本不等式，即
a1+a2+…+an≤(a1+an)n/2，其中a1和an分别为等差数列的第一项和最后一项。
根据等差数列的性质，我们可以得出a1+an=2Sn/n，将它代入基本不等式中，可以得出a1+a2+…+an≤Sn，即a1+a2+…+an的最大值为Sn。
除了上面的例子外，高中数学不等式系列还可以用来求解其他最值问题，比如求等差数列{an}的最小值、求等差数列{an}的最大值等。
比如，求等差数列{an}的最小值，可以利用基本不等式
a1+a2+…+an≥(a1+an)n/2，将a1+an=2Sn/n代入，可以得出
a1+a2+…+an≥Sn/n，即a1+a2+…+an的最小值为Sn/n。
以上就是高中数学不等式系列的基本原理，它可以有效地求解出最值问题，是一种非常有效的方法。
等差数列求最值
为“数学王子”。
”数学王子“的聪明才智 为我们学习等差数列也做出了 不少贡献。他为我们计算等差 数列的前n项和指引了一条道
路——倒序相加。
基础知识
已知等差数列 {an} ，首项为 a1 ，公差为 d ，前 n 项和为 S n ，
通过倒序相加总结出等差数列前 n 项和 S n 的公式：
公式一：
将等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d 代入上述公式中， 可以整理出 S n 的另一种表达式：
公式二：
新知探索
问：已知等差数列 5， 4 ， 3 ，……的前 n 项和为 S n ，求使得 S n 最大的序号 n 的 值以及相对应的 S n 的值.
Sn
n
课堂小结
这次课我们主要讲的内容是通过配方法和数形结合的方法 解决等差数列的前 n 项和的最值问题。
思考： 首项为负，公差为正的等差数列的前 n 项和有没有最值？如果有最值， 那是最小值还是最大值呢？
公式一： S n
2 7
4 7
n(a1 a n) ， 2
公式二： S n n a1
n(n 1) d 2
图像展示
通过 S n 的函数图象来验证我们的结论：
22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 /2 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
等差数列前n项和的最值问题
当 ， 时，n为使 成立的最大的自然数时， 最大，这是因为：当 时， ，即 递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最大
当 时， ，即 递减。类似地，当 ， 时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列 的通项为 ，则使得 最大的 的值是？
又 ，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解： 抛物线对称轴方程为 ，则可设 ，
由
等差数列的前n项和Sn的最值问题
等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。
巧构等差数列，妙解最值问题
高中巧构等差数列，妙解最值问题江苏省张家港市塘桥高级中学 衡德娟 在破解数学最值问题中，当涉及“犪＋犮＝２犫”的模型时，往往会与等差数列加以有机联系，从而找到破解问题的一条捷径，进而相当于在实际最值（最大值或最小值、取值范围等）问题和等差数列之间架起了一座“桥梁”，为等差数列的相关应用开辟了新天地，使最值问题得以合理巧妙解决．一、综合二次函数加以应用根据模型“犪＋犮＝２犫”加以合理构造等差数列，引入参数———公差犱，把对应代数式转化为二次函数模型，利用二次函数的图像与性质来确定给定区域条件下的最值问题．例１ （２０１９·上海卷·７）已知狓，狔∈犚＋，且满足１狓＋２狔＝３，则狔狓的最大值为．分析：根据题目条件中的关系式１狓＋２狔＝３，合理构造等差数列１狓，３２，２狔，引入公差犱，再利用消元法处理，结合恒等变形，以及二次函数的图像与性质的应用来确定相应的最值问题．解：由已知狓，狔∈犚＋，且满足１狓＋２狔＝３，则１狓，３２，２狔成等差数列．令１狓＝３２－犱，２狔＝３２＋犱，易知犱∈－３２，３２（），那么狔狓＝１２３２－犱（）３２＋犱（）＝１２９４－犱２（）．由于犱∈－３２，３２（），则当犱＝０时，狔狓的最大值为９８，当且仅当狓＝２３，狔＝３４时等号成立．故填答案：９８．点评：合理构造等差数列，通过引入公差犱这一变元进行换元处理，结合所求代数式的恒等变形，转化为含有公差犱的二次函数，利用二次函数的图像与性质，以及公差犱的取值范围来确定相应的最值问题．二、综合不等式性质加以应用根据模型“犪＋犮＝２犫”加以合理构造等差数列，引入参数———公差犱，把对应代数式转化为分式、根式等函数模型，结合参数的取值范围并利用不等式的性质来确定最值问题．例２ （２０１９·天津卷（文）·１３）设狓＞０，狔＞０，狓＋２狔＝４，则（狓＋１）（２狔＋１）狓狔的最小值为．分析：根据题目条件中的关系式狓＋２狔＝４，合理构造等差数列狓，２，２狔，引入公差犱，再利用消元法处理，结合恒等变形与不等式的性质的应用来确定相应的最值问题．解：由于狓＞０，狔＞０，狓＋２狔＝４，则狓，２，２狔成等差数列．令狓＝２－犱，２狔＝２＋犱，易知犱∈（－２，２），那么（狓＋１）（２狔＋１）狓狔＝（３－犱）（３＋犱）１２（２－犱）（２＋犱）＝２（９－犱２）４－犱２＝２（４－犱２）＋１０４－犱２＝２＋１０４－犱２．而犱∈（－２，２），则知犱＝０时，（狓＋１）（２狔＋１）狓狔的最小值为２＋１０４＝９２，当且仅当狓＝２，狔＝２时等号成立．故填答案：９２．点评：合理构造等差数列，通过引入公差犱这一变元进行换元处理，结合所求代数式的恒等变形，转化为含有公差犱的分式问题，利用公差犱的取值范围及不等式的基本性质来确定相应的最值问题．三、综合基本不等式加以应用根据模型“犪＋犮＝２犫”加以合理构造等差数列，引入参数———公差犱，把对应代数式加以合理转化，结合基本不等式的条件加以合理变形，借助关系式的特征利用基本不等式来确定最值问题．例３ （２０１９·天津卷（理）·１３）设狓＞０，狔＞０，３５２０２０年３月 解法探究教学参谋Copyright ©博看网. All Rights Reserved.高中狓＋２狔＝５，则（狓＋１）（２狔＋１）狓槡狔的最小值为．分析：根据题目条件中的关系式狓＋２狔＝５，合理构造等差数列狓，５２，２狔，引入公差犱，再利用消元法处理，结合恒等变形与基本不等式的应用来确定相应的最值问题．解：由已知狓＞０，狔＞０，狓＋２狔＝５，则狓，５２，２狔成等差数列．令狓＝５２－犱，２狔＝５２＋犱，易知犱∈－５２，５２（），那么（狓＋１）（２狔＋１）狓槡狔＝７２－犱（）７２＋犱（）１２槡×５２－犱（）５２＋犱（）槡＝槡２·４９４－犱２２５４－犱槡２＝槡２·２５４－犱２＋６２５４－犱槡２＝槡２·２５４－犱槡２＋６２５４－犱槡２烄烆烌烎≥槡２·２２５４－犱槡２×６２５４－犱槡２槡＝槡４３，当且仅当２５４－犱槡２＝６２５４－犱槡２，即犱＝±１２，亦即狓＝３，狔＝１或狓＝２，狔＝３２时等号成立．故填答案：槡４３．点评：合理构造等差数列，通过引入公差犱这一变元进行换元处理，结合所求代数式的恒等变形，转化为含有公差犱的关系式，通过代数式的巧妙转化，利用基本不等式的性质来确定相应的最值问题．四、综合其他知识加以应用根据模型“犪＋犮＝２犫”加以合理构造等差数列，引入参数———公差犱，综合三角函数、函数、平面向量、解三角形等其他知识加以综合，利用相关知识来确定最值问题．例４ （江苏省苏州市四市五区２０２０届高三期初调研·１４）在△犃犅犆中，若ｔａｎ犃ｔａｎ犅＋ｔａｎ犃ｔａｎ犆＝３，则ｓｉｎ犃的最大值为．分析：根据题目条件中的关系式ｔａｎ犃ｔａｎ犅＋ｔａｎ犃ｔａｎ犆＝３的变形，可得３ｔａｎ犃＝１ｔａｎ犅＋１ｔａｎ犆，合理构造等差数列１ｔａｎ犅，３２ｔａｎ犃，１ｔａｎ犆，引入公差犱，再利用三角关系式之间的等价变形，把ｔａｎ犅与ｔａｎ犆均表示成ｔａｎ犃与犱的关系式，利用三角恒等变换公式的应用来确定ｔａｎ２犃的最值，进而来确定ｃｏｓ２犃及ｓｉｎ犃的最值问题．解：由已知ｔａｎ犃ｔａｎ犅＋ｔａｎ犃ｔａｎ犆＝３，可得３ｔａｎ犃＝１ｔａｎ犅＋１ｔａｎ犆，则１ｔａｎ犅，３２ｔａｎ犃，１ｔａｎ犆成等差数列．令１ｔａｎ犅＝３２ｔａｎ犃＋犱，１ｔａｎ犆＝３２ｔａｎ犃－犱，则有ｔａｎ犅＝２ｔａｎ犃３＋２犱ｔａｎ犃，ｔａｎ犆＝２ｔａｎ犃３－２犱ｔａｎ犃．而ｔａｎ犃＝－ｔａｎ（犅＋犆）＝－ｔａｎ犅＋ｔａｎ犆１－ｔａｎ犅ｔａｎ犆＝－２ｔａｎ犃３＋２犱ｔａｎ犃＋２ｔａｎ犃３－２犱ｔａｎ犃１－２ｔａｎ犃３＋２犱ｔａｎ犃·２ｔａｎ犃３－２犱ｔａｎ犃＝１２ｔａｎ犃４（犱２＋１）ｔａｎ２犃－９，可知ｔａｎ２犃＝２１４（犱２＋１）≤２１４，当且仅当犱＝０时等号成立．又ｃｏｓ２犃＝ｃｏｓ２犃ｓｉｎ２犃＋ｃｏｓ２犃＝１ｔａｎ２犃＋１≥４２５，可得ｓｉｎ犃＝１－ｃｏｓ２槡犃≤１－４２５槡＝槡２１５．所以ｓｉｎ犃的最大值为槡２１５．故填答案：槡２１５．点评：合理构造等差数列，通过引入公差犱这一变元进行换元处理，结合三角函数关系式的恒等变换与代数式的恒等变形，并借助三角函数的相关知识来处理相应的最值问题．事实证明，事物的外在形式往往能有效反映出其内在的本质．通过观察相关最值问题的形式结构，有效联系等差数列的性质，合理构造等差数列，进而利用等差数列的相关知识来转化与应用，是破解最值问题的一种十分有效的方法．合理构造等差数列处理问题，能有效拓展数学思维，交汇数学知识，提升数学能力，培养数学核心素养．犠４５教学参谋解法探究２０２０年３月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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1.等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d
当d≠0，an=dn+a1-d是n的一次函数 ， 是 的一次函数 2.等差数列的前n项和公式 2.等差数列的前n项和公式： 等差数列的前 项和公式：
n(a1 + an ) Sn= 2
或 Sn=
n( n − 1) na1 + d 2
d 2 d n + (a1 − )n n的二次 当d≠0， Sn= ， 是 的二次 2 2
函数。 函数。
在等差数列{a 中 在等差数列 n}中
a1 > 0, d < 0, Sn有最
an ≥ 0 ) 值(填大或小 an+1 ≤ 0
an ≤ 0 a1 < 0, d > 0, Sn有最 值（填大或小） an+1 ≥ 0
在等差数列｛ 【 问题 2】 在等差数列｛ a n ｝ 中 ， a1 = 26 ， S9 =S18 , 求使 S n ＞０时 n 的最大值
变式训练 是等差数列， 若{an}是等差数列，a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0 是等差数列 求使前n项和 最大的自然数n。 项和S ①求使前 项和 n最大的自然数 。 求使前n项和 项和S 成立的最大自然数n。 ②求使前 项和 n>0成立的最大自然数 。 成立的最大自然数
作业
1.等差数列｛an｝的前 项和 n，且Sm=Sn，Sm+n=—— 等差数列｛ 的前n项和 项和S 等差数列 2．设等差数列 n}的前 项和为 n，已知 3=12，S12>0,S13<0. 的前n项和为 ．设等差数列{a 的前 项和为S 已知a ， (1)求公差 的取值范围 求公差d的取值范围 求公差 的取值范围; (2)指出 1，S2，…Sn中哪个值最大，并说明理由。 指出S 中哪个值最大，并说明理由。 指出
课堂小结 1. 善于利用函数的图像和性质来分析数列问题，但应注 善于利用函数的图像和性质来分析数列问题， 意定义域n∈ 意定义域 ∈N* 2.利用函数思想解决等差数列的前 项和的最值问题主要 利用函数思想解决等差数列的前n项和的最值问题主要 利用函数思想解决等差数列的前 有两种思路：（ ：（1）从等差数列的通项公式入手；（ ；（2） 有两种思路：（ ）从等差数列的通项公式入手；（ ） 从等差数列的前n项和公式本身入手 项和公式本身入手。 从等差数列的前 项和公式本身入手。
【 问题 1】 等差数列 {a n } 中， a1 = 26 ，S n 是前 n 项和且 为何值时， S 9 = S18 ， 求当 n 为何值时 ， S n 最大
变式训练 1.等差数列｛an｝中，公差为 ，d＜0，且|a3|=|a7|， 等差数列｛ 公差为d， ＜ ， 等差数列 ， 为何值时S 问： n为何值时 n最大？ 为何值时 最大？ 2.等差数列｛an｝中， a1>0,且S9＞0，S10＜0,这个数列 等差数列｛ 等差数列 且 ， 这个数列 的前多少项和为最大？ 的前多少项和为最大？