积分方程法55弗雷德霍姆解法其中
Fredholm积分方程的数值解
第18卷第2期核聚变与等离子体物理V ol.18,N o.2 1998年6月N uclear Fusion and Pla sma Physics J une1998Fredholm积分方程的数值解①徐文斌董家齐(核工业西南物理研究院,成都610041积分方程是泛函分析的一个重要分支,它是研究数学及其它学科,如偏微分方程边值问题和各种物理问题的重要数学方法。
为此,我们研制了求解Fredho lm积分方程的代码IT GM O,并给出了该代码实际应用的例子。
关键词Fredho lm积分方程Z i模数值解1引言在等离子体物理的计算中,经常需求解Fredholm积分方程,如求解Z i模的不稳定性[1,4]和求解微撕裂模的不稳定性[2]时就会碰到这样的问题。
为此我们编制了求解Fredholm积分方程的代码,以便研究和分析各种有关的物理问题。
积分方程的一般形式为:T(sx(s=y(s+λ∫b a k(s,tx(td t(1式中T(s、y(s和k(s,t是已知函数,λ、a、b是变数。
s和t可取[a,b]区间上的一切值。
λ称为积分方程的参数,x(s称为积分方程的解函数,k(s,t称为积分方程的核,y(s项称为自由项。
如果方程(1的未知函数是一次的,则称方程(1为线性积分方程。
如果y(s≡0,就称方程(1为齐次的积分方程,否则称为非齐次积分方程。
当y(s≡0时,又可称λ为积分方程(1的本征值,x(s为本征函数。
一般将Fredholm方程分为三类:第一类方程为:∫b a k(s,tx(td t=y(s(2第二类方程为:x(s=y(s+λ∫b a k(s,tx(td t(3第三类方程为:T(sx(s=y(s+λ∫b a k(s,tx(td t(4当第三类方程的T(s在[a,b]上是正函数时,此类方程便可以化成:①国家自然科学基金(19575014资助26核聚变与等离子体物理第18卷T(sx(s=y(sT(s+λ∫b a k(s,tT(sT(tT(tx(td t(5因此它变成含有x~(s=T(sx(s的第二类Fredholm方程。
积分方程
第十五章 积分方程积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。
本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。
§1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程一. 积分方程一般概念1. 积分方程的定义与分类[线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y (x )的方程()()()()(),d ba x y x F x K x y αλξξξ=+⎰ (1)称为积分方程。
式中α(x ),F (x )和K (x,ξ)是已知函数，λ,a,b 是常数，变量x 和ξ可取区间(a,b )内的一切值；K (x,ξ)称为积分方程的核，F (x )称为自由项，λ称为方程的参数。
如果K (x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F (x )≡0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类Fr 方程()()(),d b aK x y F x ξξξ=⎰第二类Fr 方程()()()(),d bay x F x K x y λξξξ=+⎰第三类Fr 方程()()()()(),d bax y x F x K x y αλξξξ=+⎰[n 维弗雷德霍姆积分方程]111()()()()(),d DP y P F P K P P y P P α=+⎰称为n 维弗雷德霍姆积分方程，式中D 是n 维空间中的区域，P ,P 1∈D ，它们的坐标分别是(x 1,x 2, ,x n )和),,,(21n x x x ''' ,α(P )=α(x 1,x 2, ,x n ),F (P )=F (x 1,x 2, x n )和K (P ,P 1)=K (x 1,x 2, ,x n , ),,,21n x x x ''' 是已知函数，f (P )是未知函数。
各类积分解法
各类积分解法积分方程数值解法(numerical methods for in-tegral equations)研究求积分方程近似解的数值方法。
积分方程数值解的主要求解对象为第一、二类弗雷德霍姆型和伏尔泰拉型积分方程以及相应的特征值问题.主要求解方法有伽辽金法。
简介布局法和算草法.下面以第二类弗雷德霍姆型分数方程(其中右端项g (t)，积分核kct,s)为已知函数)为例，介绍上述三种数值方法:1.伽辽金法.将区间1=[0,t」剖分为若干个大区间。
=to\uct, \uc... \uctn=t，在此剖分基础上创建分片多项式空间2.配置法.如前所述建立r一 [o,t」的剖分及分片多项式空间vk，在每个小区间[t; , t;+l〕上，取k+1个配置点{z、，、}k+z=.\ue ;;二〔t,,t;+n (}=0,1,...}，一1).方程(1)的配置法为:求yhev*使3.算草法.同上将1=co\uet」分为n个大区间，将方程(1)中的分数项在每个大区间上为数值积分，获得其中、，，为区间巨，，乙十i」上的积分点，a、为相应的数值积分系·令(4)式中t=s;,; (i一。
}1,...}n-1}}=1,2,"..,m)，则得到一组以y. ; _-__ y (s.， ;)为未知量的线性代数方程组.求解此方程组即可得到求积法之近似解在点s; ,;的值y%，。
若布局法中的布局点{z、，，}挑数值积分的分数点，且(3)式中的分数项用适当的数值积分替代，则此法与算草法等价。
除上述三种常见的积分方程数值解法外，还有一些其他有效算法，如迭代的伽辽金法及配置法，伏尔泰拉线性多步法或龙格一库塔法，求解奇异积分方 [1] 程的特殊方法等。
压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用
压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用林芳数学科学学院 数学与应用数学专业 2010级汉（1）班指导教师 官厅摘 要 本文介绍了不动点原理即压缩映射原理及其在代数方程、微分方程、积分方程解的存在性和惟一性方面的重要应用. 关键词 不动点;压缩映射原理;方程.不动点理论是20世纪数学中的一支奇葩.半个多世纪以来,其影响可以说遍及整个数学.函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数()f x 的取值过程中,如果有0x 使00(),f x x =就称0x 为()f x 的一个不动点.对此定义,有两方面的理解:1）代数意义:若方程()f x x =有实数根0x ,则()y f x =有不动点0x . 2）几何意义:若函数()y f x =与y x =有交点00(,)x y ,则0x 为()y f x =的不动点.压缩映射原理是最简单的不动点定理,它不但证明了不动点的存在性与唯一性,同时还提供了求不动点的方法-迭代法.就是说,在完备度量空间中,T 是一个压缩映射,从任意选取的一个"初始值"0x 出发,逐次作点列1(1,2,),n n x Tx n -==这个点列必然收敛到方程Tx x =的解.因此这种方法叫做逐次逼近法.压缩映射原理在线性代数方程组,微分方程,积分方程等方面都有广泛的应用.1相关定义及定理 1.1不动点的定义[1]设X 为一非空集,:T X X →是一个映射,如果有*,x X ∈使得**,Tx x =则称*x 为映射T 的一个不动点.1.2压缩映射的定义[2]设X 是度量空间,:T X X →是一个映射,如果存在一个数α,01,α<<使得对所有的,,(,)(,),x y X d Tx Ty d x y α∈≤则称T 是压缩映射,α称为压缩常数.注 压缩映射在几何上的意思是说点x 和y 经T 映射后,它们像的距离缩短了,不超过(,)d x y 的α倍(1).α<1.3压缩映射原理[2]设X 是完备度量空间,T 是X 上的压缩映射,那么T 有且只有一个不动点(就是说,方程Tx x =有且只有一个解).证明 设0x 是X 中任意一点.21021010,,,,.n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -=====我们证明点列{}n x 是X 中柯西点列.事实上,21111212(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m d x x d Tx Tx d x x d Tx Tx d x x ααα+------=≤=≤ 10(,).m d x x α≤≤由三点不等式,当n m >时,1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101011()(,)(,).1n mm m n md x x d x x αααααα-+--≤+++=⋅-因01,α<<所以11,n mα--<于是得到01(,)(,)().1mm n d x x d x x n m αα≤>-所以当,m n →∞→∞时,(,)0,m n d x x →即点列{}n x 是X 中柯西点列,由X 完备,存在,x X ∈使(),m x x m →→∞又由三点不等式和条件(,)(,),d Tx Ty d x y α≤我们有1(,)(,)(,)(,)(,).m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+这个不等式右端当m →∞时趋于0,所以(,)0,d x Tx =即.x Tx =下面证唯一性.如果又有~,x X ∈使得~~,T x x =则由条件得~~~(,)(,)(,).d x x d Tx T x d x x α=≤因01,α<<所以必有~(,)0,d x x =即~.x x =2压缩映射原理在代数方程方面的应用 2.1压缩映射原理在线性代数方程组方面的应用例1[1] 在n 维实向量空间n R 中,n R 是一个完备度量空间,我们定义距离1(,)max ,i i i nd x y ξη≤≤=-其中1212(,,,),(,,,).n n x y ξξξηηη==我们在n R 中讨论下列线性代数方程组1ni ij j i j a b ξξ=-=∑ 1,2,,.i n = (1)在系数满足什么条件时,存在唯一的解.解 首先将(1)式写成下列向量形式:.X AX B =+其中12(,,,);T n X ξξξ=();ij n n A a ⨯=12(,,,).T n B b b b =令,TX AX B =+则(1)式可以写成.TX X =于是求方程组(1)的唯一解的问题就化为T 是否有唯一的不动点的问题.显然T 是n n R R →的一个映射.下面来讨论当()ij a 满足什么条件时,T 是一个压缩映射.任取12112212,,(,,,),(,,,).n T T n n X X R X X ξξξηηη∈==于是121212(,)(,)(,)d TX TX d AX B AX B d AX AX =++=1111max()max nnij jj ij j j i ni nj j a a ξηξη≤≤≤≤===-≤-∑∑1211111max max (max )(,).n nij j j ij i nj ni nj j a a d X X ξη≤≤≤≤≤≤==≤-=∑∑由此可见,当11,nij j a α=≤<∑对一切i 成立时,T 是n R 上的一个压缩映射.于是T 满足压缩映射原理的条件,从而T 有唯一的不动点****12(,,,),n X ξξξ=而*X 就是方程组(1)的唯一解.2.2压缩映射原理在非线性代数方程方面的应用例2 证明Kepler 方程sin x x a ε=+存在唯一解,其中,a ε为已知常数,0 1.ε<<证明 1R 空间是完备度量空间,在其上定义距离(,).d x y x y =- 作映射sin ,Tx x a ε=+则有.Tx x =显然T 是11R R →的映射,且1,,x y R ∀∈有(,)sin sin sin sin cos ,d Tx Ty Tx Ty x y x y x y x y εεεεξε=-=-=-≤-≤-ξ在,x y 之间,令.αε=则0 1.α<<有(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知T 存在唯一不动点,即Kepler 方程存在唯一的解.3压缩映射原理在积分方程方面的应用例3[1] 设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,且存在常数,M 使得(,).baK s t dt M ≤<+∞⎰则当1Mλ<时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2)存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明 在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记.M αλ=则 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()a s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰max ()()a s bM s s λϕψ≤≤≤-(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈例3'[3]设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,令(,)[,][,]max(,),s t a b a b M k s t ∈⨯=<+∞则在1()M b a λ<-时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2) 存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明 在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记().M b a αλ=- 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()baa s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰()max ()()a s bM b a s s λϕψ≤≤≤--(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈4压缩映射原理在微分方程方面的应用4.1压缩映射原理证明一阶线性微分方程的解的存在唯一性例4[2]设(,)f t x 是矩形00{(,)|,}D t x t t a x x b =-≤-≤上的二元函数,设(,),(,),f t x M t x D ≤∈又(,)f t x 在D 上关于x 满足利普希茨()Lipschitz 条件,即存在常数L ,使得对任意的(,),(,),t x t y D ∈有(,)(,)f t x f t y L x y -≤- (3)那么方程(,)dxf t x dt=在区间00[,]J t t ββ=-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =得连续函数解,其中1min{,,}.b a M L β<证明 设00[,]C t t ββ-+表示区间00[,]J t t ββ=-+上的连续函数全体按距离(,)max ()()t Jd x y x t y t ∈=-所成的完备度量空间.又令C 表示00[,]C t t ββ-+中满足条件0()()x t x M t J β-≤∈得连续函数全体所成的子空间,且C 是闭子空间.则C 也是完备度量空间.令00()()(,())tt Tx t x f t x t dt =+⎰ (4)则T 是C 到C 中的映射.因为,M b β<所以若,x C ∈那么当00[,]t t t ββ∈-+时,(,()).t x t D ∈又因为(,)f t x 是D 上的二元连续函数,所以(4)式右端积分有意义.又对一切000,()()(,()),tt t J Tx t x f t x t dt M t t M β∈-=≤-≤⎰所以有当,x C ∈.Tx C ∈下面证T 是压缩映射.由条件(3),对C 中任意两点x 和y ,有 0(,)max ()()()()max[(,)(,)]tt t Jt Jd Tx Ty Tx t Ty t f t x f t y dt ∈∈=--⎰0max ()()(,).a t bt t L x t y t L d x y β≤≤≤-⋅-≤令,L αβ=则01,α<<且(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是C 上的压缩映射.由压缩映射原理可知,存在唯一的,x C ∈使得.Tx x =即00()(,()).tt x t x f t x t dt =+⎰且00().x t x =两边对t 求导,即得()(,()).dx t f t x t dt =这说明()x t 是方程(,)dxf t x dt=满足初值条件 00()x t x =的解.4.2压缩映射原理证明n 阶线性微分方程的解的存在唯一性一般的n 阶线性微分方程可以写成如下形式:111()()()n n n n n d y d y a x a x y F x dx dx--+++= (5)方程的初值条件记为:(1)000101(),(),,()n n y x c y x c y x c --'=== (6)有如下结论:例5[4] （n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性）设()(1,2,,)i a x i n =和()F x 均于区间I 上连续,则对任一0x I ∈和任意n 个常数011,,,,n c c c -方程(5)恒有且只有一个定义在整个区间I 上且满足初值条件(6)的解.注 有时,映射T 不满足压缩映射原理的条件,但T 的某次幂却满足这些条件,于是,可把压缩映射原理推广到下面的情形:推论 设(,)X d 是完备度量空间,:,T X X →如果存在自然数,,n 使得对所有,,(,)(,).n n x y X d T x T y d x y α∈≤其中01,α≤<则T 有唯一的不动点.下面对定理进行证明:证明 对n 阶线性微分方程(5)(6)作如下变化:设(),n n d yx dxϕ=则0111()n x n n x d y t dt c dxϕ---=+⎰0002121022[()]()()n x u x x n n n n n x x x t d yt dt c du c dt t du c x x c dx ϕϕ------=++=+-+⎰⎰⎰⎰102()()()xn n x x t t dt c x x c ϕ--=-+-+⎰00310233[()()()]n x u n n n n x x d yx t t dt c x x c du c dx ϕ-----=-+-++⎰⎰ 0221020311()()()()2!2!x n n n x x t t dt c x x c x x c ϕ---=-+-+-+⎰01121020100111()()()()()(1)!(1)!(2)!x n n n n n x y x t t dt c x x c x x c x x c n n n ϕ-----=-+-+-++-+---⎰代入原方程得:121212()()n n n n n d y d yx F x a a a y dx dxϕ----=----整理后得到积分方程:()(,)()()xx x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ (7)其中2112311(,)[()()()]2!(1)!n n k x t a a x t a x t a x t n -=-+-+-++--21121023102031()()[()][()()]2!n n n n n n f x F x a c a c x x c a c x x c x x c ------=---+--+-+ 1101001[()()](1)!n n n a c x x c x x c n -----++-+-此方程为第二类Volterra 积分方程,显然(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续.并且方程(7)与方程(5)(6)等价. 下面考虑积分方程 ()(,)()()xax k x t t dt f x ϕϕ=+⎰[,]t a b ∈(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续,()[,].f x C a b ∈设,sup (,),a x t bk x t M ≤≤=<+∞考虑映射:[,][,]T C a b C a b →()(,)()()xaT x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ [,]C a b ϕ∀∈则 1221()()(,)(()())xaT x T x k x t x x dt ϕϕϕϕ-=-⎰21sup ()()()a x bM x x x a ϕϕ≤≤≤-- 12()((),())M x a d x x ϕϕ≤- 归纳的,若11111212()()()(,)(1)!n n n n x a T x T x M d n ϕϕϕϕ------≤-则 1212()()(,)(()())xn n n n aT x T x k x t T t T t dt ϕϕϕϕ-=-⎰1121()(,)!x nn a M t a dt d n ϕϕ-≤-⎰ 12()(,)!nnx a Md n ϕϕ-≤ 由此得到对于任何自然数n 有:121212()(,)sup (,)!nnnnnna x bb a d T T T T M d n ϕϕϕϕϕϕ≤≤-=-≤由于()0(),!n nb a Mn n -→→∞于是对于充分大的,n 总可使()0 1.!nn b a M n -≤< 因此对于充分大的,n nT 满足推论中压缩映射原理的条件,所以方程(7)有唯一解.由方程的等价性可知,n 阶线性微分方程(5)(6)有唯一解.5压缩映射原理证明隐函数存在定理例6[2]设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<+∞中处处连续,且处处有关于y 的偏导数'(,).y f x y 如果还存在常数m 和M 满足'0(,),,y m f x y M m M <≤≤< 则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ= 作为解:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈证明 在完备度量空间[,]C a b 中作映射T ,使对任意的函数[,],C a b ϕ∈有1()()()(,()).T x x f x x Mϕϕϕ=-按照题中条件,(,)f x y 是连续的,故()()T x ϕ也连 续,即[,].T C a b ϕ∈所以T 是[,]C a b 到自身的映射.下面证T 是压缩映射. 任取12,[,],C a b ϕϕ∈根据微分中值定理,存在01,θ<<满足21212111()()()()()()((,())(,()))T x T x x x f x x f x x M Mϕϕϕϕϕϕ-=---'21121211()()[,()(()())](()())y x x f x x x x x x Mϕϕϕθϕϕϕϕ=--+-⋅-21()()(1).m x x Mϕϕ≤--由于01,m M <<所以令1,mMα=-则有01,α<<且 2121()()()()(()().T x T x x x ϕϕαϕϕ-≤-按[,]C a b 中距离的定义可知2121(,)(,).d T T d ϕϕαϕϕ≤因此T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知,存在唯一的[,]C a b ϕ∈满足,T ϕϕ=即1()()(,()),x x f x x Mϕϕϕ≡-这就是说:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈ 根据压缩映射原理,若取00(x)=y ϕ作为初始函数,通过迭代111()()(,()),1,2,n n n x x f x x n Mϕϕϕ--=-=得到的函数列{()}n x ϕ将一致收敛于隐函数()y x ϕ=.参考文献:]1[大华.应用泛函简明教程.华中科技大学.2003.]2[程其襄,奠宙,国强,善文,王漱石.实变函数与泛函分析基础.高等教育,2010. [3]秀芹.非线性分析中的几类不动点定理及其应用.东北大学.2008. [4]汪斌.n 阶线性微分方程解的存在与唯一性.华中师大学.2007.。
关于fokker——planck方程的几种解法
关于fokker——planck方程的几种解法FokkerPlanck方程是由德国物理学家以克弗克莫尔和德国数学家马克斯普朗克于1906年共同提出的。
它是对分布函数随时间动态变化的研究，它可以精准地描述物理系统中的随机运动，因此它在物理学上有着非常重要的意义。
在统计物理学的研究中，FokkerPlanck 方程扮演着重要的角色。
FokkerPlanck方程有许多解法，这些解法都是基于具体问题进行求解的。
这里就涉及到了概率论等数学方面的知识，因此很多人都会遇到很大的挑战。
FokkerPlanck方程的解法可以根据以下几种情况进行分类：一、常微分方程法利用概率论计算机技术，可以利用常微分方程法求解FokkerPlanck方程。
该方法是利用概率论的背景将FokkerPlanck方程改写成一组有限个常微分方程，然后求解这些常微分方程，得到FokkerPlanck方程的解。
二、Wiener-Ito-Kolmogorov法这种方法是将Fokker-Planck方程转化为Wiener-Ito-Kolmogorov(WIK)方程。
通过解WIK方程，可以获得Fokker-Planck方程的解。
WIK方程描述的是一个傅里叶变换及其反变换的形式，它可以用来描述概率密度的协方差函数的变化。
三、基本解法这种方法是证明Fokker-Planck方程的基本解。
通过利用概率论的方法和多元变量微分学的原理，证明Fokker-Planck方程的基本解，用这种解式解法可以求出Fokker-Planck方程的解。
四、变分法变分法是一种常用的求解Fokker-Planck方程的方法，它是将变分优化技术应用到Fokker-Planck方程中，从而求解出Fokker-Planck方程的解。
这种方法简单易操作，可以有效提高求解Fokker-Planck方程的效率。
五、积分变换法积分变换法是一种求解Fokker-Planck方程的方法，它是将概率论的概念加以处理，将Fokker-Planck方程转换为一个积分问题，然后进行求解。
fredholm积分方程
y2
k ( x, y ) f ( y )dy k ( x, y ) f ( y )dy
yi1
h h [k ( x, y0 ) f ( y0 ) k ( x, y1 ) f ( y1 )] [k ( x, yi 1 ) f ( yi 1 ) 2 2 h k ( x, yi ) f ( yi )] [k ( x, yn1 ) f ( yn1 ) k ( x, yn ) f ( yn )] 2 h2 (b a) k ( x, ) f ( ) 12 1 h[ k ( x, y0 ) f ( y0 ) k ( x, y1 ) f ( y1 ) k ( x, yi ) f ( yi ) 2 1 h2 (b a) k ( x, yn ) f ( yn )] k ( x, ) f ( ) 2 12 g ( x) [ a, b]
y ( s) 是未知函数。此类积分方程虽然形式简单，但
其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细 介绍。
2 第二类 Fredholm 积分方程，具有如下的形 式：
y( x) k ( x, s) y(s)ds f ( x), a x b
a b
(2)
其中 k ( x, s) 称为积分方程的核，f ( x) 称为自由 项， 为参数， , k ( x, s), f ( x) 均为已知，而 y( x) 为 未知函数。 求积分方程(2)的解 y( x) 的数值方法就是在 区间[a,b]的某些点 x (i 1, 2, , n) 上求 y( xi ) 的近似 值 yi ，使得误差 y( xi ) yi 满足精度要求。
y( x) g ( x) K ( x, s)[ y(s)]mds
弗雷德霍姆积分方程2
弗雷德霍姆积分方程编辑词条分享形如(1)和(2)的积分方程，依次称为第一种弗雷德霍姆积分方程和第二种弗雷德霍姆积分方程，其中λ是参数，φ(x)是未知函数，核K(x，y)和自由项ƒ(x)是预先给定的函数。
通常假设K(x，y)属于平方绝对可积函数类，记,B是非负数。
当ƒ(x)恒为零时,称为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
逐次逼近法及解核第二种弗雷德霍姆积分方程的最简便的一种解法是逐次逼近法，即按递推公式给出方程(2)的n+1次近似解，这里K m(x,y)表示K(x,y)的m次叠核，即易知，，这里l可取为小于m的任何自然数。
当｜λ｜<B-1时,近似解序列{φn(x)}在【α,b】上是一致收敛的,其极限φ(x)就是方程(2)的解。
若级数一致收敛，记之为Γ(x,y;λ)，则Γ(x,y；λ)同时满足下面两个方程：,(3),(4)对于某值λ，若有平方绝对可积函数Γ(x，y；λ)同时适合方程(3)、(4),则称Γ(x,y；λ)为解核。
这时方程(2)对任意的自由项ƒ(x)有惟一解，它可表为,(5)反之亦然。
对于解核不存在的值λ，称为特征值。
否则，称为正则值。
当且仅当λ是特征值时，对应的齐次方程(6)才有非零解。
非零解φ(x)称为对应于λ的特征函数。
弗雷德霍姆方法 E.I.弗雷德霍姆给出了一般情形的解核构造法。
设K(x,y)是有界核,即│K(x,y)│<M（M是实常数），记,(7), (8)式中。
应用阿达马引理可估计,从而推知级数(7)、(8)对于一切复值λ是绝对一致收敛的，因此，D(λ)、D(x，y；λ)都是关于λ的整函数，并分别称为弗雷德霍姆行列式和弗雷德霍姆一阶子式。
可以证明，解核可表为Г(x,y；λ)=D(x，y；λ)/D(λ)。
这表明解核是λ的半纯函数。
同时，解核的极点都是D(λ)的零点，也都是齐次方程(6)的特征值。
反之亦然。
弗雷德霍姆定理弗雷德霍姆对于第二种积分方程的研究，可归结为如下的四个定理，总称为弗雷德霍姆定理。
运用积分法求Fisher方程的解
＝ ａＹ ＋ｂＸ ＋ｄＸ
１ 第一积分 法的介绍 考虑非线性偏微分方程 （ＰＤＥ）：
其中 ：一旦，６：兰 ： 一 ，
（ｚｆ， ， ，， ， ，．．．）＝０
（１）
由ｔｈｅ ｆ ｉｒｓｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ，设 （ ），ｙ（ ）为方程组 （９）
设ｕ（ｘ，ｆ】为方程 （１）的解。做如下变换：
计算 （１１）式两边得：
由常微分方程 定性理论，如果相同的条件下我们 能找到 （６）的积分，那么方程组 （６）的一般解也就可以直接得到。 ２ Ｆｉｓｈｅｒ方程的求解
考虑Ｆｉｓｈｅｒ￣－程 ：
（ｇ（ ）＋ （ ）】，）∑ｑ（ ）ｙ ＝ｇ（ ）口０（ ）＋ （ ） （ ）＋厅（ ） （ ）］ｙ＋‘ ２ ［ｇ（ ） （ ）＋ （ ） （ ）］ｙ ＋．１ｚ（ ）Ⅱ２（ ）】，３
第 ５期 ２０１８年３月
无线 互联科 技
Ｉｎｔｅｒｎｅｔ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
运用积分 法求 Ｆｉｓｈｅｒ方程的解
Ｎｏ．５ Ｍａｒｃｈ，２０１８
卢 冲
（云南工程职 业学院，云南 安宁 ６５０３０４）
摘 要：文章针对Ｆｉｓｈｅｒ方程的特点，通过第一积分法来构造一个辅助 方程 ，借助辅助方程 的解，获得 了这些重要 偏微分方 程 的新 精 确 解。 关键词 ：第一积分法；Ｆｉｓｈｅｒ方程 ；精确解
ｕ（ｘ，ｔ）＝厂（ ）， ＝ —ｃｔ
的非平凡解，ｇｑ（Ｘ，Ｙ）＝∑ （ｘ）ｒ ＝０在ｃ 】，】中是
ｉ＝０
（２） 不 可约 的 ，则 ：
兵 中 ｃ为 常 数 。基 于 此 就 得 到 ：
言（．）＝ 杀（．）， ｏ（．）＝ （．）， （，）＝暑（．），…（３）
第一类弗雷德霍姆积分方程
第一类弗雷德霍姆积分方程弗雷德霍姆积分方程是一类常微分方程的特殊形式，它具有以下形式：y(x) = f(x) + λ∫[a, x] K(x, t) y(t) dt.其中，y(x)是未知函数，f(x)是已知函数，K(x, t)是已知的核函数，λ是常数，∫[a, x]表示从a到x的积分。
这类积分方程的求解通常需要使用弗雷德霍姆积分变换或其他适当的数值方法。
对于第一类弗雷德霍姆积分方程，我们可以从多个角度来回答你的问题：1. 求解方法，对于第一类弗雷德霍姆积分方程，常用的求解方法包括数值方法和解析方法。
数值方法可以通过离散化积分方程，将其转化为代数方程组进行求解，如欧拉方法、龙格-库塔方法等。
解析方法则通过变换、代换等手段，将积分方程转化为常微分方程或其他形式的方程进行求解。
2. 特殊形式，第一类弗雷德霍姆积分方程在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
它常常出现在动力学、电路理论、弹性力学等问题的建模过程中。
特殊形式的第一类弗雷德霍姆积分方程可以根据具体问题的特点进行分类和求解。
3. 解的存在性和唯一性，对于第一类弗雷德霍姆积分方程，解的存在性和唯一性是一个重要的问题。
根据弗雷德霍姆积分方程的性质和条件，可以通过适当的数学分析方法来研究解的存在性和唯一性。
4. 应用领域，第一类弗雷德霍姆积分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述弹性体的变形、电路中的电流分布等问题；在经济学中，它可以用于描述市场供求关系、经济增长模型等问题；在生物学中，它可以用于描述种群动力学、生态系统的演化等问题。
总结起来，第一类弗雷德霍姆积分方程是一类重要的积分方程，在数学和应用领域都具有广泛的研究和应用价值。
通过合适的求解方法，我们可以求得其解，并应用于各种实际问题的建模和分析中。
积分方程中的幂级数展开
积分方程中的幂级数展开积分方程是一种重要的数学方程，它广泛应用于物理学、工程学和数学等领域。
积分方程的求解方法有很多种，其中一种常用的方法是幂级数展开法。
幂级数展开法是一种将积分方程中的未知函数表示为幂级数的形式，然后利用幂级数的性质来求解积分方程的方法。
这种方法在积分方程的求解中非常有效，特别是在积分方程的核函数是连续函数的情况下。
积分方程的幂级数展开方法设积分方程为：u(x) = f(x) + \int_a^b K(x,t)u(t) dt其中，u(x)是未知函数，f(x)是已知函数，K(x,t)是核函数，a和b是常数。
为了求解这个积分方程，我们可以将未知函数u(x)表示为幂级数的形式：u(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n其中，a0,a1,a2,⋯是待定的系数。
将这个幂级数代入积分方程中，得到：\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = f(x) + \int_a^b K(x,t) \left( \sum_{n=0}^\i nfty a_n t^n \right) dt交换求和和积分的顺序，得到：\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = f(x) + \sum_{n=0}^\infty a_n \int_a^b K(x,t) t^n dt令：K_n(x) = \int_a^b K(x,t) t^n dt则上式可以写成：\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = f(x) + \sum_{n=0}^\infty a_n K_n(x)比较等式两边的系数，可以得到：a_0 = f(a)a_1 = f'(a) - K_0(a) a_0a_2 = f''(a) - K_1(a) a_0 - K_0(a) a_1\vdots一般地，对于任意的n≥0，有：a_n = f^{(n)}(a) - \sum_{k=0}^{n-1} K_k(a) a_{n-k}利用这些递推关系，我们可以依次求出a0,a1,a2,⋯，从而得到未知函数u(x)的幂级数展开式。
弗雷德霍姆积分方程2
弗雷德霍姆积分方程编辑词条分享形如(1)和(2)的积分方程，依次称为第一种弗雷德霍姆积分方程和第二种弗雷德霍姆积分方程，其中λ是参数，φ(x)是未知函数，核K(x，y)和自由项ƒ(x)是预先给定的函数。
通常假设K(x，y)属于平方绝对可积函数类，记,B是非负数。
当ƒ(x)恒为零时,称为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
逐次逼近法及解核第二种弗雷德霍姆积分方程的最简便的一种解法是逐次逼近法，即按递推公式给出方程(2)的n+1次近似解，这里K m(x,y)表示K(x,y)的m次叠核，即易知，，这里l可取为小于m的任何自然数。
当｜λ｜<B-1时,近似解序列{φn(x)}在【α,b】上是一致收敛的,其极限φ(x)就是方程(2)的解。
若级数一致收敛，记之为Γ(x,y;λ)，则Γ(x,y；λ)同时满足下面两个方程：,(3),(4)对于某值λ，若有平方绝对可积函数Γ(x，y；λ)同时适合方程(3)、(4),则称Γ(x,y；λ)为解核。
这时方程(2)对任意的自由项ƒ(x)有惟一解，它可表为,(5)反之亦然。
对于解核不存在的值λ，称为特征值。
否则，称为正则值。
当且仅当λ是特征值时，对应的齐次方程(6)才有非零解。
非零解φ(x)称为对应于λ的特征函数。
弗雷德霍姆方法 E.I.弗雷德霍姆给出了一般情形的解核构造法。
设K(x,y)是有界核,即│K(x,y)│<M（M是实常数），记,(7), (8)式中。
应用阿达马引理可估计,从而推知级数(7)、(8)对于一切复值λ是绝对一致收敛的，因此，D(λ)、D(x，y；λ)都是关于λ的整函数，并分别称为弗雷德霍姆行列式和弗雷德霍姆一阶子式。
可以证明，解核可表为Г(x,y；λ)=D(x，y；λ)/D(λ)。
这表明解核是λ的半纯函数。
同时，解核的极点都是D(λ)的零点，也都是齐次方程(6)的特征值。
反之亦然。
弗雷德霍姆定理弗雷德霍姆对于第二种积分方程的研究，可归结为如下的四个定理，总称为弗雷德霍姆定理。
函数的积分变换与积分方程
函数的积分变换与积分方程1. 引言在数学和应用数学中，函数的积分变换和积分方程是两个密切相关的概念。
积分变换是一种将函数从一个函数空间映射到另一个函数空间的算子，而积分方程则是一种求解未知函数的方程，其中未知函数出现在积分符号内或积分符号外。
2. 积分变换积分变换是一种将函数从一个函数空间映射到另一个函数空间的算子。
积分变换通常用于将一个复杂的函数变换成一个更简单的函数，以便于分析和求解。
常见的积分变换包括：•拉普拉斯变换•傅里叶变换•希尔伯特变换•梅林变换2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将实变量函数变换成复变量函数的积分变换。
拉普拉斯变换广泛应用于电路分析、控制系统、信号处理等领域。
拉普拉斯变换的定义如下：∞F(s)=∫e−stf(t)dt其中，s是复变量，t是实变量，f(t)是实函数。
2.2 傅里叶变换傅里叶变换是一种将实变量函数变换成复变量函数的积分变换。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、量子力学等领域。
傅里叶变换的定义如下：∞F(ω)=∫e−iωtf(t)dt−∞其中，ω是复变量，t是实变量，f(t)是实函数。
3. 积分方程积分方程是一种求解未知函数的方程，其中未知函数出现在积分符号内或积分符号外。
积分方程通常用于求解微分方程、偏微分方程等。
常见的积分方程包括：•弗雷德霍姆积分方程•沃尔特拉积分方程•辛格积分方程3.1 弗雷德霍姆积分方程弗雷德霍姆积分方程是一种二阶线性积分方程，其形式如下：b(x,t)f(t)dtf(x)=g(x)+λ∫Ka其中，f(x)是未知函数，g(x)是已知函数，λ是常数，K(x,t)是核函数。
3.2 沃尔特拉积分方程沃尔特拉积分方程是一种一阶线性积分方程，其形式如下：x(x,t)f(t)dtf(x)=g(x)+λ∫Ka其中，f(x)是未知函数，g(x)是已知函数，λ是常数，K(x,t)是核函数。
4. 积分变换与积分方程的关系积分变换与积分方程之间存在着密切的关系。
fredholm,离散积分方程
1 第一类Fredholm 积分方程，具有形式如下：⎰=bax f ds s y s x k )()(),(,b x a ≤≤ (1)其中核函数),(s x K 和自由项)(x f 为已知函数，)(s y 是未知函数。
此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍。
2 第二类Fredholm 积分方程，具有如下的形式：⎰+=ba x f ds s y s x k x y )()(),()(λ,b x a ≤≤ (2)离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。
一、复化梯形公式离散过程如下：)]()(2)([2)(1b f x f a f hdx x f nk k b a++≈∑⎰=下面具体给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。
],[)()(),(12)()](),(21)(),()(),()(),(21[)(),(12)()](),()(),([2)](),()(),([2)](),()(),([2)(),()(),()(),()(),()(),(211002*********12110b a x g f x k a b h s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h f x k a b h s y s x k s y s x k h s y s x k s y s x k hs y s x k s y s x k h dss y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k n n i i n n n n i i i i s s s s s s s s bann i i ∈=-+++++=--+++++++=+++++=----⎰⎰⎰⎰⎰--ηηηηη－最后对变量x 进行离散，将区间],[b a 等分为n 份，步长为nab h -=，同时忽略积分公式误差项：)](),(21)(),()(),()(),(21[)()(1100n n i i i i i i i i s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h x y x g +++++-=其中n i ,2,1,0= 得到线性方程组n n g Af =其中)](),(),(),([210n n s y s y s y s y f =，)](,),(),(),([210n n x g x g x g x g g =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=),(211),(),(21),(21),(1),(21),(21),(),(211101110101000n n n n n n y x hk y x hk y x k h y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk A再对上述方程进行数值求解，即可。
弗雷德霍姆积分方程
弗雷德霍姆积分方程弗雷德霍姆积分方程（Fredholm Integral Equation）是积分方程中的一种特殊形式，它是由瑞典数学家弗雷德霍姆（Ivar Fredholm）在19世纪末提出的。
以下将介绍弗雷德霍姆积分方程的定义、解析方法以及应用领域。
\[ \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x, t) \varphi(t)dt \]其中，\(\varphi(x)\)是未知函数，\(f(x)\)是已知函数，\(\lambda\)是参数，\(K(x,t)\)是已知的核函数。
方程的解是通过求解未知函数\(\varphi(x)\)使得方程成立。
要解决在定义区间\([a,b]\)上的弗雷德霍姆积分方程，通常可以使用迭代法或特殊函数的展开方法。
一种常见的解法是迭代法。
大致思路如下：首先，将方程中的未知函数\(\varphi(x)\)进行分段展开，即将\([a, b]\)划分为若干个子区间，并在每个子区间上引入一组基函数，将\(\varphi(x)\)展开为这些基函数的线性组合。
这样，原方程可以转化为线性方程组的形式。
其次，将方程转化为矩阵方程，通过变换可以得到一个对角元素值为1的三角矩阵。
再次迭代求解方程，直到满足一定的收敛条件。
最后，将迭代得到的解向量进行合并，得到整个定义区间上的解。
另一种解法是利用特殊函数的展开方法。
例如，可以使用傅里叶级数展开、勒让德多项式展开等方法，将未知函数\(\varphi(x)\)在\[a, b\]上展开为一组特殊函数的级数。
通过比较系数，将级数展开的形式代入方程中，可以得到迭代求解方程的递推公式。
弗雷德霍姆积分方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
例如，在控制论中，它可用于描述关于时间的状态转移方程、误差方程等。
在物理学中，弗雷德霍姆积分方程可用于描述电磁场的传播、光学中的散射问题等。
在工程应用中，它可用于信号处理、图像处理、声波传播等领域。
第二类Fredholm积分方程的几种解法
考虑第二类 Ｆｅｈ ｌ ｒ ｏｍ积分方程 ｄ
ｆｘ－ 广 （ ｆｙ ｙ （ ２ ｘ ）（ ｄ ： （ Ｋ ， ） Ｉ ． ）＝ ） ｙ ｇ
电
（） １
其中：ｆ（） ｘ 是未知函数； 是非零参数；口 是常数或无穷大，（，） ， 口 称为积分区间； （ ） 五ｙ 是
已知的连续函 ， 数 称为积分核；ｇ 是已知函数， （） 称为自由 项．
此时方程为 ：
厂 － Ｋ ｘ ｙｆｙｄ ＝ｇ ） （ ２ （— ）（） ） Ｉ ｙ （
一
（ ２）
般 采用 Ｆ ｕ ｅ 变换 解法 。做 Ｆ ｕｉｒ 换 ，得 ： ｏｒ ｒ ｉ ｏｒ 变 ｅ
厂（ 一 （ 厂（ ） （ ） ｃ ＝ ｃ ｏ ｏ
或 （ ＝ 。
（） １ ０
［ ） ｃ ） Ｊ ｐ） （＋ ｃ ） ＝（， ｇ ＋ （ （ Ｊ Ｉ 卜 Ｉ ） ， ） （ ｇ） ｌ ｚ ｒ （［， （ ）） ｇ ， ） 】
化为 ∑ ｐ）（ｙ 喜 ）ｙ］ ｏ 简 ｎ 一 ），一 ｃ ）（ｙ （ 。 ［ （ ） ． （ ｄ ＝ ｃ ，） ｇｄ １ ， ）ｈ ） ｆ ， ｐ ｌ
。
中 表示函数 ， Ｌ ｐａｅ 的 ａＩ 变换 ，其余类似。 ｃ
故（解，＝ｌ ｌ 方４ 为 Ｌ 程的 ：） ）
例 ２ 设 ＞０，求 解 下面 的方 程 ：
）
， ） （ ｙ （ｄ＝ （ ＜ 。。 （ ＋ ｆ ） ｙｙ １ ｏ ＋） 一ｆ） 一 。
解 用 Ｌｐ ｃ 变换。 ａｌ ｅ ａ 查表， 得 （ ） ＝Ｐ ｐ ＝Ｐ ，ｉ ～。用公式 （ ） 得解： ５，
［
２ 变量分 离核 方程及 其解 法
如果积 分 核为 ：
［
ｎｎ１￣。 ／－２ ｒｃ ＝ｏ ｓ
积分方程的解法
积分方程的解法概述积分方程是数学中的一个重要分支，它涉及到解决形如 $f(x) = g(x) + \int_a^b K(x,t) f(t) dt$ 的方程，其中 $f(x)$ 是未知函数，$g(x)$ 是已知函数，$K(x,t)$ 是积分核函数。
在本文档中，我们将介绍一种常用的方法来求解积分方程。
方法常数变异法常数变异法是积分方程常用的解法之一。
首先，我们对积分方程两侧两边进行求导，得到 $f'(x) = g'(x) + \int_a^b K(x,t) f'(t) dt$。
然后我们令 $u(x) = f'(x)$，将方程转化为 $u(x) = g'(x) + \int_a^bK(x,t) u(t) dt$ 的形式。
接下来，我们对上述方程两边进行求解，得到 $u(x) = g'(x) + \int_a^b K(x,t) f(t) dt$。
最后，我们可以通过反函数方法来求解 $f(x)$。
特解法特解法是另一种常用的积分方程解法。
它适用于一些特殊的积分方程形式，例如 $f(x) = g(x) + \int_a^b K(x,t) f(t) dt + h(x)$。
首先，我们找到方程的一个特解 $f_0(x)$，使得 $f_0(x)$ 满足方程的右侧$g(x) + \int_a^b K(x,t) f_0(t) dt + h(x)$。
然后，我们将方程转化为$f(x) - f_0(x) = \int_a^b K(x,t) (f(t) - f_0(t)) dt$ 的形式，再对上述方程进行求解。
迭代法迭代法是一种有效的数值解法，适用于一些无法直接求解的积分方程。
它的基本思路是通过迭代计算，逐步逼近方程的解。
首先，我们假设一个初始的函数值 $f_0(x)$，然后将 $f_0(x)$ 代入积分方程得到 $f(x) = g(x) + \int_a^b K(x,t) f_0(t) dt$。
一类函数积分方程的fredholm和非fredholm定理
一类函数积分方程的fredholm和非
fredholm定理
Fredholm和非Fredholm定理是定义在一类函数积分方程上的重要定理。
它们是由20世纪初著名的瑞典数学家阿尔维斯·弗雷德霍姆所发明的。
Fredholm定理指出，一类函数积分方程可以表示为linear integral equation。
在这种情况下， Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel K是要求的积分方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才能解决来。
常见的核函数类型包括简单对称structured，fualt-trigger symmettrical，特征向量对称和非对称。
而非Fredholm定理则指出，一类函数积分方程可以表示为非线性积分方程。
在这种情况下，非Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel F是函数方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才会有解。
例如，多项式形式积分方程的 method of variation of parameters (MVP)，椭圆形式函数积分方程的Chebychev分析和拉格朗日形式的函数积分方程的 Legendre 分析。
在拉格朗日形式函数积分方程中，还有一种特殊情况：由拉格朗日定理推出的非Fredholm定理，也称为Fourier-Stieltjes定理。
整体来看，Fredholm定理和非Fredholm定理是理解函数积分方程类型的重要工具，它们提供了一种有用的方法，可从积分方程中获得解。
因此，在计算函数积分方程时，Fredholm和非Fredholm定理都很有用。
积分方程法55弗雷德霍姆解法其中
K 2 KK , K 3 KK 2
2020/1/3
20
§5. 4 迭代解法
§ 5 积分方程法
对于K的这个限制并不是无关紧要的，因为一些看上去合理的算
子，当它作用在V上时，所产生的客体不在V中。例如：考虑在
[0,1]上定义的单变量的平方可积函数空间L2[0,1]，将算子d / d x作
§ 5 积分方程法
由第二类的弗雷德霍姆方程
b
f (x) g(x) a K (x, y) f ( y)dy
通过迭代解法将 g (x) 作为f (x) 的零级近似，代入得方程的一级 近似，继续下去，得到
f0(x) g(x)
b
f1(x) g(x) k(x, y) f0 ( y)dy
2
(r) V (r)(r) E(r)
2m
其中 (r) 表示粒子的波函数，第一项表示粒子的动能，
V (r)表示作用势，E表示系统的总能量，它可表为
E 2k2 2m
解：方程又可写为 (r) k 2(r) 2m V (r)(r)
2
此方程具有边界条件 (r) eikr f ( ,) eikr
8
§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
事实上，定理2是这样一个事实的模拟，即矩阵和它的转置
具有同样的本征值。如果我们以 (x) 乘以
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy g(x)
并对x 积分，便可得定理3的正交关系。
需要指出的是弗雷德霍姆定理仅严格地适用于非奇异 的积分方程。奇异积分方程的理论是一个不同的问题。
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy 0
弗雷德霍姆积分方程
弗雷德霍姆积分方程弗雷德霍姆积分方程(FHIE)一类重要的方程，被广泛应用于科学研究和工程技术。
它主要用于描述系统的动态行为和研究过程，以及系统的行为变化。
这些方程通常可以建模出各种现象，如气流、流体力学、热传导、电磁场、结构动力学、声学等。
弗雷德霍姆积分方程由弗雷德霍姆(Fredholm)在1903年首先提出，并在1907年更进一步地普及与发展起来。
弗雷德霍姆积分方程的形式大体如下：右侧F(x)是已知的输入函数，它与其他参数无关；L(x)是已知的积分算子，它也与其他参数无关；g(x)是求解中需要计算的未知函数。
空间上，弗雷德霍姆积分方程可以描述为：在实际应用中，弗雷德霍姆积分方程用来求解各种实际问题，其中最重要的是静态和动态传递现象，包括物理量如温度、压力、速度、强度等。
这类积分方程可以用来描述大多数物理系统的时变行为，以此更好的模拟出物理系统的行为。
此外，弗雷德霍姆积分方程也可以用于几何学中的曲线拟合问题以及统计学中的密度估计等问题。
尤其在数学建模中，弗雷德霍姆积分方程常用于求解复杂的动态系统。
计算机技术的进步，为解决弗雷德霍姆积分方程带来了便利。
在数值分析领域，解决弗雷德霍姆积分方程有许多数值求解方法，比如时间步平均法、共轭梯度法等。
这些方法可以大大地缩短求解时间，提高系统的效率和准确性。
另外，也可以通过自适应网格技术和自适应步长技术来解决弗雷德霍姆积分方程，使得求解过程更加精确，并减少求解时间。
因此，计算机技术的发展，为解决弗雷德霍姆积分方程提供了更多有用的分析和计算方法。
综上所述，弗雷德霍姆积分方程是一种重要的方程，它能够有效地描述物理现象，在科学研究和工程技术中被广泛应用。
此外，计算机技术的进步为求解弗雷德霍姆积分方程提供了许多有用的分析和计算方法，为科技发展做出了重要贡献。
积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程
§1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程一. 积分方程一般概念1. 积分方程的定义与分类[线形积分方程] 在积分号下包含未知函数y (x )的方程()()()()(),d ba x y x F x K x y αλξξξ=+⎰ (1)称为积分方程。
式中α(x ),F (x )和K (x,ξ)是已知函数，λ,a,b 是常数，变量x 和ξ可取区间(a,b )内的一切值；K (x,ξ)称为积分方程的核，F (x )称为自由项，λ称为方程的参数。
如果K (x,ξ)关于x,ξ是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果F (x )≡0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
[一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）] 第一类Fr 方程()()(),d b aK x y F x ξξξ=⎰第二类Fr 方程()()()(),d bay x F x K x y λξξξ=+⎰第三类Fr 方程()()()()(),d bax y x F x K x y αλξξξ=+⎰[n 维弗雷德霍姆积分方程]111()()()()(),d DP y P F P K P P y P P α=+⎰称为n 维弗雷德霍姆积分方程，式中D 是n 维空间中的区域，P ,P 1∈D ，它们的坐标分别是(x 1,x 2, ,x n )和),,,(21n x x x ''' ,α(P )=α(x 1,x 2, ,x n ),F (P )=F (x 1,x 2, x n )和K (P ,P 1)=K (x 1,x 2, ,x n , ),,,21n x x x ''' 是已知函数，f (P )是未知函数。
关于Fr 方程的解法，一维和n (>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr 方程。
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
事实上，定理2是这样一个事实的模拟，即矩阵和它的转置
具有同样的本征值。如果我们以 (x) 乘以
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy g(x)
并对x 积分，便可得定理3的正交关系。
需要指出的是弗雷德霍姆定理仅严格地适用于非奇异 的积分方程。奇异积分方程的理论是一个不同的问题。
如果积分方程的核具有如下的形式
n
k(x, y) i (x) i ( y) i 1
则被称为是退化的，具有退化的核的积分方程，可用初等 的方法来求解。 以下通过具体的例子来说明如何求解退化核方程。
例. 求解积分方程
f (x) 1(xy2 x2 y) f ( y)dy x 0
所以
g '(x) xu(x) x[x xg(x)]
解此微分方程可得
g(x) 1 cex3 3
于是得 u(x) cxex3 3 把它再代入原方程可求得 c 1 ，因此
u(x) xex3 3
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§5. 3 具有位移核的方程的求解
§ 5 积分方程法
如果核仅仅是 (x y) 的一个函数，即所谓的位移核且积分范
的，202线0/1/3性独立的本征函数只有一个。
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
定理2. 如果 不是一个本征值，那么 也不是转置方程
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy g(x)
的一个本征值；如果 是一个本征值，则 也是转置方程的一
个本征值，即
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§ 5.1 基本概念
§ 5 积分方程法
一、积分方程的定义 在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为 积分方程。
一般的线性积分方程，可写为如下的形式
b
(x) f (x) a k(x, y) f ( y)dy g(x)
其中，(x) 和 g(x) 已知。 f (x) 是未知函数，k(x, y) 被称为
第五章 积分方程
积分方程是研究数学其它学科和各种物理问题 的一个重要数学工具。它在弹性介质理论和流 体力学中应用很广，也常见于电磁场理论物理 中。本节将介绍求解积分方程的理论和一般方 法。
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第五章 积分方程
1、 基本概念； 2、 迭代法； 3、 算子的范数； 4、 巴拿赫空间中的迭代法； 5、 非线性方程的迭代法； 6、 可分核； 7、 普遍的有限秩； 8、 全连续算子； 9、 全连续厄米算子； 10、全连续算子的弗雷德霍姆择一定理； 11 、积分方程的数值计算；
A
1 5
B
A
1 3
1 3
A
1 4
B
这个方程组的解是
A
240
60 120
2
B
240
80
120
2
代入式(3) 就可以得到积分方程的解为
(240 60)x 80 x2 f (x) 240 120 2
注意有两个 的值可使上式的解变为无穷大。当 取某些特
积分方程也可采用算符的形式来表
Kf k(x, y) f ( y)dy
a
若算子方程 (I K) f g 的逆存在，则问题在形式上就解决
了。此时
f (I K )1 g
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
积分方程的核，也是已知函数。 是常数因子（经常起一
本征值的作用）
二、积分方程的分类
(x) 0 第一 类
1）积分限为常数的，称为弗雷德霍姆方程。 (x) 1 第二 类
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(x)取一般 第三3 类
§ 5.1 基本概念
§ 5 积分方程法
2）当y >x 时，k (x ,y )=0,积分上限变为x，则称为伏特拉方程。 3）当 g(x) 0 时齐次方程，否则为非齐次方程。 三、积分方程的算子形式
(1)
解：令
A 1 y2 f ( y)dy
1
B yf ( y)dy
0
0
(2)
则式(1)可以变为 f (x) x Ax Bx2
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(3)
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
显然，采用迭代的方法，将式(3)代入(2)，得
A
1 4
1 4
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy 0
至少有一个平凡解。
定理3. 如果 是一个本征值，那么非齐次方程有解的充要条件
是：g(x) 与转置齐次方程的一切解正交，即
b
a (x)g(x)dx 0
其中2020/1/(3x) 满足式
b
f (x) k(x, y) f ( y)dy 0 a
定理1. 如果 不是本征值，则对于任何的非齐次项 g(x) ,非
齐次方程
b
f (x) k(x, y) f ( y)dy g(x)
a
若 是本征值，则齐次方程
有唯一解；
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy 0
至少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于
对于具有退化核的伏特拉方程，常常能通过求微分变为 微分方程。我们仍以一个具体的例子来说明。
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
x
例2. 求解积分方程 u(x) xyu( y)dy x 0
解：令
x
g(x) 0 yu( y)dy
代入原式，有
u(x) x xg(x)
殊值时，齐次积分方程有非零解，这样的 值称为积分方程
的本202征0/1/值3 ，而相应的非零解称作本征函数。
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
从上例可以看到，如果核是退化的，则解一个积分方程的问 题就简化为解一个大家非常熟悉的代数方程组的问题。如果 退化核有N项，显然将有N个本征值，当然它们不一定都不同。 既然退化核方程的解是与相应的线性代数方程组密切相关的， 所以退化核方程的许多性质可由相应的代数方程组的有关性 质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论，这些理论被人 们称为弗雷德霍姆定理，在此我们不作证明。