积分方程法55弗雷德霍姆解法其中

定理1. 如果 不是本征值，则对于任何的非齐次项 g(x) ,非
齐次方程
b
f (x) k(x, y) f ( y)dy g(x)
a
若 是本征值，则齐次方程
有唯一解；
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy 0
至少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于
殊值时，齐次积分方程有非零解，这样的 值称为积分方程
的本202征0/1/值3 ，而相应的非零解称作本征函数。
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
从上例可以看到，如果核是退化的，则解一个积分方程的问 题就简化为解一个大家非常熟悉的代数方程组的问题。如果 退化核有N项，显然将有N个本征值，当然它们不一定都不同。 既然退化核方程的解是与相应的线性代数方程组密切相关的， 所以退化核方程的许多性质可由相应的代数方程组的有关性 质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论，这些理论被人 们称为弗雷德霍姆定理，在此我们不作证明。
积分方程的核，也是已知函数。 是常数因子（经常起一
本征值的作用）
二、积分方程的分类
(x) 0 第一 类
1）积分限为常数的，称为弗雷德霍姆方程。 (x) 1 第二 类
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(x)取一般 第三3 类
§ 5.1 基本概念
§ 5 积分方程法
2）当y >x 时，k (x ,y )=0,积分上限变为x，则称为伏特拉方程。 3）当 g(x) 0 时齐次方程，否则为非齐次方程。 三、积分方程的算子形式
积分方程也可采用算符的形式来表示。即
f g Kf
其中K为积分算子 b
Kf k(x, y) f ( y)dy
a
若算子方程 (I K) f g 的逆存在，则问题在形式上就解决
了。此时
f (I K )1 g
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
(1)
解：令
A 1 y2 f ( y)dy
1
B yf ( y)dy
0
0
(2)
则式(1)可以变为 f (x) x Ax Bx2
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(3)
5
§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
显然，采用迭代的方法，将式(3)代入(2)，得

A

1 4

1 4
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§ 5.1 基本概念
§ 5 积分方程法
一、积分方程的定义 在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为 积分方程。
一般的线性积分方程，可写为如下的形式
b
(x) f (x) a k(x, y) f ( y)dy g(x)
其中，(x) 和 g(x) 已知。 f (x) 是未知函数，k(x, y) 被称为

A

1 5

B


A

1ห้องสมุดไป่ตู้3

1 3

A

1 4

B
这个方程组的解是
A

240
60 120

2
B

240
80
120


2
代入式(3) 就可以得到积分方程的解为
(240 60)x 80 x2 f (x) 240 120 2
注意有两个 的值可使上式的解变为无穷大。当 取某些特
第五章 积分方程
积分方程是研究数学其它学科和各种物理问题 的一个重要数学工具。它在弹性介质理论和流 体力学中应用很广，也常见于电磁场理论物理 中。本节将介绍求解积分方程的理论和一般方 法。
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第五章 积分方程
1、 基本概念； 2、 迭代法； 3、 算子的范数； 4、 巴拿赫空间中的迭代法； 5、 非线性方程的迭代法； 6、 可分核； 7、 普遍的有限秩； 8、 全连续算子； 9、 全连续厄米算子； 10、全连续算子的弗雷德霍姆择一定理； 11 、积分方程的数值计算；
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
事实上，定理2是这样一个事实的模拟，即矩阵和它的转置
具有同样的本征值。如果我们以 (x) 乘以
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy g(x)
并对x 积分，便可得定理3的正交关系。
需要指出的是弗雷德霍姆定理仅严格地适用于非奇异 的积分方程。奇异积分方程的理论是一个不同的问题。
对于具有退化核的伏特拉方程，常常能通过求微分变为 微分方程。我们仍以一个具体的例子来说明。
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
x
例2. 求解积分方程 u(x) xyu( y)dy x 0
解：令
x
g(x) 0 yu( y)dy
代入原式，有
u(x) x xg(x)
的，202线0/1/3性独立的本征函数只有一个。
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§5. 2 退化核的方程的解法
§ 5 积分方程法
定理2. 如果 不是一个本征值，那么 也不是转置方程
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy g(x)
的一个本征值；如果 是一个本征值，则 也是转置方程的一
个本征值，即
b
f (x) a k(x, y) f ( y)dy 0
至少有一个平凡解。
定理3. 如果 是一个本征值，那么非齐次方程有解的充要条件
是：g(x) 与转置齐次方程的一切解正交，即
b
a (x)g(x)dx 0
其中2020/1/(3x) 满足式
b
f (x) k(x, y) f ( y)dy 0 a
所以
g '(x) xu(x) x[x xg(x)]
解此微分方程可得
g(x) 1 cex3 3
于是得 u(x) cxex3 3 把它再代入原方程可求得 c 1 ，因此
u(x) xex3 3
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§5. 3 具有位移核的方程的求解
§ 5 积分方程法
如果核仅仅是 (x y) 的一个函数，即所谓的位移核且积分范
如果积分方程的核具有如下的形式
n
k(x, y) i (x) i ( y) i 1
则被称为是退化的，具有退化的核的积分方程，可用初等 的方法来求解。 以下通过具体的例子来说明如何求解退化核方程。
例. 求解积分方程
f (x) 1(xy2 x2 y) f ( y)dy x 0