克拉默法则

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2 2 −1 3 7 −1 3 − 2 D1 = = −39, 6 3 −1 1 − 4 −1 1 4
−1 3 2 7 3 −2 D2 = = −117, 0 6 −1 1 1 −4 1 4 1 2
1 2 −1 2 2 −1 3 7 D4 = = 39, 0 3 −1 6 1 −1 − 4 4 1 −1 1 − 4 D1 − 39 D2 − 117 x1 = = = 1, x2 = = = 3, 于是得 D − 39 D − 39 D3 − 78 D4 39 x3 = = = 2, x4 = = = −1, D − 39 D − 39 1 2 2 −1 D3 = 0 3 2 7 6 3 −2 = −78, 1
§7
克拉默法则
★克拉默法则 ★利用克拉默法则解方程组 ★齐次线性方程组有非零解的 充分必要条件
本节主要介绍n元一次线性方程组的克拉 本节主要介绍 元一次线性方程组的克拉 默法则解法， 默法则解法，齐次或非齐次线性方程组中系 数行列式与解之间的关系
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我们知道， 我们知道，二、三元线性方程组的解可以用 行列式表示， 行列式表示，那么含有 n 个未知数 x1 , x2 , … , xn 的 n 个线性方程 的方程组
其中 Dj ( j = 1,2,…,n ) 是把系数行列式中第 j 列的 元素用方程右端的自由项代替 用方程右端的自由项代替后所得到的 元素用方程右端的自由项代替后所得到的 n 阶行 列式， 列式，即
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a11 L a1, j −1 b a1, j +1 L a1n 1 Dj = L L L L L L L. an1 L an, j −1 bn an, j +1 L ann
解 系数行列式
−5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 2 1 1 4 −7 6
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−5 1 1 − 3 0 − 6 r1 − 2r2 D= 0 2 − 1 2 r4 − r2 1 4 −7 6 2 1
− 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 0 7 − 7 12
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克拉默法则
如果线性方程组(8)的系数行列式不等于零， 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 的系数行列式不等于零 a11 L a1n
D = L L L ≠ 0, an1 L ann
那么方程(4) 有唯一解 那么方程
D1 D2 Dn x1 = , x2 = ,L, xn = , D D D (9)
根据代数余子式的重要性质可知， 根据代数余子式的重要性质可知，上式中 xj 的系数 等于D， 的系数均为零; 等于 ，而其余 xi ( i ≠ j ) 的系数均为零 又等式右端即是 Dj ， D xj = Dj , ( j = 1 , 2 , … , n ). 于是 (10)
方程组(10)有唯一的一个解 ( 9 ) 。 当D ≠ 0 时，方程组 有唯一的一个解 由于方程组(10) 是由方程组 经乘数与相加两 是由方程组(8) 由于方程组 种运算而得， 的解一定是(10) 的解， 的解， 种运算而得，故(8) 的解一定是 如果有解的话， 今(10) 仅有一个解 (9) ，故(8) 如果有解的话，就 只可能是解(9) 只可能是解 。
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Ex.8
取何值时， 问λ, µ 取何值时，齐次线性方程组 λx1 + x2 + x3 = 0, x1 + µx2 + x3 = 0, x + 2µx + x = 0, 2 3 1
有非零解？ 有非零解？ 解 由系数行列式
λ
D= 1
1
µ 1 2µ 1
1 1 = λµ + 2µ + 1 − µ − 1 − 2λµ
2 8 −5 1 1 9 0 −6 D2 = = −108, 0 − 5 −1 2 1 0 −7 6
2 1 8 1 2 1 −5 8 1 −3 9 −6 1 −3 0 9 D3 = = −27, D4 = = 27, 0 2 −5 2 0 2 −1 − 5 1 4 0 6 1 4 −7 0
于是得
D1 81 D2 − 108 x1 = = −4, = = 3, x2 = = D 27 D 27 D3 − 27 D4 27 x3 = = = −1, x4 = = = 1. D 27 D 27
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对于齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = 0, a x + a x + L+ a x = 0, 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLL, an1 x1 + an2 x2 + L+ ann xn = 0,
(11)
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解。称为齐次方程组 一定是它的解。 (11) 的零解。 零解。 如果一组不全为零的数是(11)的解，则叫做齐次 的解， 如果一组不全为零的数是 的解 方程组的非零解。 方程组的非零解。 方程组(11) 一定有零解，但不一定有非零解。 一定有零解，但不一定有非零解。 方程组
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Ex.7
解方程组
x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 2, 2x1 − x2 + 3x3 − 2x4 = 7, 3x2 − x3 + x4 = 6, x1 − x2 + x3 + 4x4 = −4,
解 系数行列式 1 2 D= 0 1
2 −1 3 −1 3 − 2 = −39 ≠ 0, 3 −1 1 4 −1 1
5−λ 2 2 D= 2 6−λ 0 2 0 4−λ
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5−λ 2 2 D= 2 6−λ 0 2 0 4−λ = (5 − λ )(6 − λ )(4 − λ ) − (4 − λ ) − 4(6 − λ )
= (5 − λ )(2 − λ )(8 − λ ),
由D = 0 ，得 λ= 2、λ= 5 或λ= 8 。 、 不难验证， 方程组(12)确有 不难验证，当 λ= 2、5 或 8 时，方程组 、 确有 非零解。 非零解。
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn = b1 , a x + a x + L+ a x = b , 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLL, an1 x1 + an2 x2 + L+ ann xn = bn ,
(8)
的解能否用行列式表示？ 回答是肯定的， 的解能否用行列式表示？ 回答是肯定的，即有
= (−1)
j +2
(−1)
j −1
Dj = −Dj ,
所以有
即
0 = bi D − ai1 D1 −L− ainDn ,
Dn D1 D2 ai1 + ai 2 + L+ ain = bi , (i = 1,2,L, n). D D D
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例12
解线性方程组
2x1 + x2 − 5x3 + x4 = 8, x − 3x − 6x = 9, 1 2 4 2x2 − x3 + 2x4 = −5, x1 + 4x2 − 7 x3 + 6x4 = 0.
列元素代数余子式 代数余子式A 证 用 D 中第 j 列元素代数余子式 1j , A2j , … , Anj 依次乘方程组(8) 个方程，再把它们相加， 依次乘方程组 的 n 个方程，再把它们相加，得
n n n ∑ak1 Akj x1 + L+ ∑akj Akj x j + L+ ∑akn Akn xn k=1 k=1 k=1 n = ∑bk Akj , k =1
得µ = 0或λ = 2.
= µ(2 − λ ) = 0
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第一章小结
本章从解二元一次线性方程组入手， 本章从解二元一次线性方程组入手，引入 了二、三阶行列式的概念， 了二、三阶行列式的概念，并给出了对角线法 则的行列式求解方法，以此进一步扩展到n阶 则的行列式求解方法，以此进一步扩展到 阶 行列式的定义。为了求解一般的n阶行列式， 行列式的定义。为了求解一般的 阶行列式， 阶行列式 我们研究了行列式的性质以及行列式按行（ 我们研究了行列式的性质以及行列式按行（列） 展开。通过这些性质，可以将一个n阶行列式 展开。通过这些性质，可以将一个 阶行列式 转化成等价的对角行列式或上下三角形行列式， 转化成等价的对角行列式或上下三角形行列式， 或者通过展开， 或者通过展开，将高阶的行列式转化成低阶的 行列式，从而更易求解。最后， 行列式，从而更易求解。最后，我们给出了求 元一次线性方程组的克拉默法则， 解n元一次线性方程组的克拉默法则，并且讨 元一次线性方程组的克拉默法则 论了非齐次线性方程组的系数行列式与解的唯 一性之间的关系以及齐次线性方程组非零解与 系数行列式之间的关系。 系数行列式之间的关系。
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n n n ∑ak1 Akj x1 + L+ ∑akj Akj x j + L+ ∑akn Akn xn k=1 k=1 k=1 n = ∑bk Akj , k =1
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例13
取何值时， 问 λ取何值时，齐次方程 取何值时
(5 − λ ) x + 2 y + 2z = 0, 2x + (6 − λ ) y = 0, 2x + (4 − λ )z = 0
(12)
有非零解？ 有非零解？ 由定理5ˊ可知， 解 由定理 ˊ可知，若齐次线性方程组 (12) 有 非零解， 的系数行列式D 非零解，则(12) 的系数行列式 = 0。 。 而它的系数行列式是： 而它的系数行列式是：
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下面验证解(9) 是方程组(8) 的解。 下面验证解 是方程组 的解。 也就是要证明
Dn D1 D2 ai1 + ai 2 + L+ ain = bi , (i = 1,2,L, n). D D D
为此考虑两行相同的 为此考虑两行相同的 n + 1 阶行列式 两行相同
bi b1
ai1 L ain a11 L a1n
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定理4 如果线性方程组 的系数行列式 ≠ 0 ， 如果线性方程组(8) 的系数行列式D 定理 一定有解，且解是唯一的。 则(8) 一定有解，且解是唯一的。 定理4ˊ如果线性方程组 无解， 定理 ˊ如果线性方程组(8) 无解，或有两个以上 的解， 的解，则它的系数行列式必为 0 。 线性方程组(8) 右端的自由项 b1 , b2 , … , bn 不全 线性方程组 线性方程组称为非齐次方程组 非齐次方程组， 为 0 时，线性方程组称为非齐次方程组， 线性方程组称为齐 当 b1, b2 , … , bn 全为 0 时，线性方程组称为齐 次方程组。 次方程组。
L L L L bn an1 L ann
它的值等于 0 ，
(i = 1,2,L, n),
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把它按第一行展开， 把它按第一行展开，由于第 1 行中 aij 的代数余子式 为
b1 a11 L a1, j −1 1+ j +1 L L L L (−1)
a1, j +1 L a1n L L L
源自文库
bn an1 L an, j −1 an, j +1 L ann
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定理5 定理
如果齐次线性方程组(11) 的系数行列 如果齐次线性方程组
只有零解。 式D ≠ 0，则齐次线性方程组 ，则齐次线性方程组(11)只有零解。 只有零解 定理5ˊ 如果齐次线性方程组(11)有非零解， 有非零解， 定理 ˊ 如果齐次线性方程组 有非零解 则它的系数行列式必为零。 则它的系数行列式必为零。 系数行列式D = 0 是齐次线性方程组有非零解 系数行列式 的充分必要条件。 的充分必要条件。
7 − 5 13 = − 2 −1 2 7 − 7 12
−3 −5 3 c1 + 2c2 − 0 −1 0 c3 + 2c2 −7 −7 −2
−3 3 = = 27 ≠ 0, 7 −2
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8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81, − 5 2 −1 2 0 4 −7 6