换元法解方程
利用换元法解方程组
4
【解析】
试题分析:
这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现
xபைடு நூலகம்
与互为倒数，可设.1y,则原方程变形为y,无理方程化为有理方程
x
试题解析:
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等.
82，使方程变得易解，这是均值换元法
（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧•拓宽学生知识面，培养学生学习和
研究数学的兴趣•
二、应用举例
类型一局部换元
（高次方程）
【例题1】解方程：X43x220
【答案】捲1，x21，x3、、2，x42
【解析】
【难度】较易
（分式方程）
【例题2】解方程：
【答案】x13
4
【解析】
试题分析：
括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解
试题解析：
解：设亠
x1
y，于
F是原方程变形为
2
y
5y60
解得y1
3,
y22
当y1
3时，
X3,
解得
X1
3
x1
4
当y2
2时，
X
2,
解得
X2
2
x1
3
经检验x1
3
,X2
4
2
2均为原方程的根•
第
、方法技巧
（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.
（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次
一元一次方程换元法
一元一次方程换元法一、引言一元一次方程是初中数学中最基础的内容之一，也是代数学的基础。
方程的解可以帮助我们解决实际生活中的问题，而换元法是解决一元一次方程的一种常用方法。
本文将介绍一元一次方程的换元法及其应用。
二、什么是一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
三、什么是换元法换元法是解决一元一次方程的一种常用方法。
它通过引入一个新的变量来替代原来的未知数，从而将原方程转化为一个更简单的方程，进而求得方程的解。
四、换元法的步骤1. 选定合适的新变量。
根据原方程的特点，选取一个新的变量来替代原来的未知数。
2. 用新变量表示原方程。
将原方程中的未知数用新变量表示出来。
3. 得到新方程。
将原方程中的未知数用新变量表示后，得到一个新的方程。
4. 解新方程。
解新方程得到新变量的值。
5. 求原方程的解。
将新变量的值代入原来的未知数，求得原方程的解。
五、换元法的应用实例例：小明去超市买了一些水果，苹果的价格是3元/个，橙子的价格是2元/个，小明一共花了12元，请问他买了几个苹果和几个橙子？解：设小明买了x个苹果，y个橙子。
根据题意，我们可以列出一个方程：3x + 2y = 12为了使用换元法，我们可以设一个新变量z表示橙子的个数，于是橙子的价格可以表示为2z。
方程可以转化为：3x + 2z = 12解这个新方程，我们可以得到x和z的值。
假设x=2，z=3，则小明买了2个苹果和3个橙子。
将x和z的值代入原方程，可以得到y的值：3*2 + 2y = 126 + 2y = 122y = 6y = 3所以小明买了2个苹果和3个橙子。
六、换元法的优点和注意事项换元法的优点是可以将原方程转化为一个更简单的方程，从而更容易求得解。
但是在使用换元法时需要注意以下几点：1. 选取合适的新变量，使得转化后的方程更简单。
2. 在解新方程时，要注意变量的范围和限制条件，避免出现无解或多解的情况。
换元法求解函数技巧
换元法求解函数技巧换元法是微积分中常用的一种求解函数的方法。
它通过引入一个新的变量，将原函数在新变量下的微分表达式化简为更容易解析的形式，从而求解原函数。
换元法可以分为两种情况——代换法和三角代换法。
一、代换法代换法主要是根据微分的链式法则，将原函数中的一个复杂部分替换为一个新的变量，从而简化函数的形式。
常见的代换方法有以下几种：1. 一次代换：适用于原函数中含有形如u=g(x)的因式，并且u的微分式du可以从方程u=g(x)中求得。
2. 反函数代换：适用于原函数中含有形如u=g(x)的因式，并且g(x)有一个反函数x=h(u)。
3. 幂指代换：适用于原函数中含有幂函数，例如a^x、x^n。
4. 指数代换：适用于原函数中含有指数函数，例如e^x、lnx。
代换法的关键在于选择合适的代换变量，使得原函数在新变量下的微分尽可能简单。
通过代换后，我们可以将原函数转化为更易求解的形式，然后可以采用基本积分公式或者其他求解方法求解出原函数。
二、三角代换法三角代换法是一种特殊的代换方法，适用于原函数中含有三角函数的情况。
主要是通过引入一个新的角度变量，将三角函数的表达式转化为有理函数的形式，从而方便求解。
三角代换法主要有以下几种常见的情况：1. 代换sinx：当原函数中含有形如sqrt(a^2-x^2)的因式时，可以令x=a*sinθ，从而将原函数转化为含有θ的有理函数。
2. 代换cosx：当原函数中含有形如sqrt(a^2+x^2)的因式时，可以令x=a*cosθ，从而将原函数转化为含有θ的有理函数。
3. 代换tanx：当原函数中含有形如sqrt(x^2-a^2)的因式时，可以令x=a*tanθ，从而将原函数转化为含有θ的有理函数。
三角代换法的核心在于选择适合的三角函数代换，然后利用三角函数的基本关系将原函数转化为有理函数的形式。
接下来，我们可以采用部分分式拆分、有理函数积分等方法求解出原函数。
总结起来，换元法是一种非常实用的函数求解技巧。
换元法解题技巧和方法初一
换元法解题技巧和方法初一
1. 嘿，初一的小伙伴们！换元法啊，那可真是解题的一把利器！就像你走路有了一双超级酷的鞋子！比如解方程(x+3)²+3(x+3)-4=0，这时候我们就可以把 x+3 设为一个新的元，比如设它为 y，那方程不就变成了y²+3y-4=0，一下子简单多了吧！
2. 哎呀呀，初一的同学们要好好看看哦！换元法能让那些复杂的题目变得亲切起来呢！好比混乱的线团找到了线头。
比如计算∫(2x+3)/(x²+3x+1)dx，我们令u=x²+3x+1，那积分就好算了很多呢，是不是很神奇呀！
3. 哇塞，初一的朋友们知道吗？换元法的技巧就像魔法一样！可以把难题变得不再可怕，就像给小怪兽施了魔法变可爱啦！像是解不等式(x²-1)/(x-
3)>0，我们把x²-1 换元，问题不就容易解决了嘛！
4. 嘿哟，初一的娃娃们呀！换元法真的超有用处的哟！简直是打开难题大门的钥匙呀！像化简(3x-1)/(2x+1)，就可以设 2x+1=t，这样式子就会变得很简单呢，是不是很想不到啊！
5. 哈哈，初一的小可爱们要记住哦！换元法可是解题的妙招呢！像找到了藏在题目里的宝藏通道！比如计算∫(3x+2)/(x²+2x+5)dx，通过设
u=x²+2x+5，哇，积分一下子清晰明了啦！
6. 哎哟喂，初一的同学们可别小看换元法呀！这可是解题的得力助手呢！简直像拥有了超级力量！像求方程 3(x-2)²-4(x-2)-5=0 的解，设 x-2=t 就好啦，然后就能轻松做出来啦，多厉害呀！
我的观点结论就是：换元法对于初一的解题来说真的非常重要且好用呀，大家一定要好好掌握！。
换元法解分式方程
三角函数
在处理三角函数相关的数学问题 时，换元法可以帮助我们将三角 函数转化为更易于处理的代数问
题。
换元法的历史与发展
历史
换元法的思想可以追溯到古代中国的数学家们。在《九章算术》等古代数学著作中，就已经出现了换 元法的思想。随着数学的发展，换元法逐渐成为一种重要的数学方法，被广泛应用于各种数学问题中 。
02
确定新变量与原方程中未知数的 关系。
替换原方程中的未知数
将原方程中的未知数用新变量表示出 来。
将所有含有未知数的项都替换为新变 量。
化简方程
对替换后的方程进行化简，以便更容易地解出新变量的值。 可以使用代数方法，如合并同类项、提取公因式等。
解出新变量的值
解出新变量的值，通常需要对方程进行因式分解或使用求根 公式。
实例三：二元一次方程组的换元法解法
总结词
通过换元法将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
详细描述
对于形如 $begin{cases} x + y = a x - y = b end{cases}$ 的二元一次方程组，可以通 过换元法将其转化为 $begin{cases} t_1 + t_2 = a t_1 - t_2 = b end{cases}$ 的形式， 其中 $t_1 = x, t_2 = y$。这样可以将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
考虑特殊情况
对于某些分式方程，需要考虑特殊情况或边 界条件，以确保解的完整性和准确性。例如， 当分母接近零或变量取极大/极小值时，可 能需要额外验证解的合理性。
பைடு நூலகம்5
换元法与其他解法的比 较
与因式分解法的比较
因式分解法适用于解整式方程，通过 将方程的左边和右边都化为0，然后 对左边或右边的多项式进行因式分解， 从而求解方程。而换元法主要用于解 分式方程，通过引入新的变量来简化 原方程，适用于无法直接因式分解或 化简的复杂分式方程。
换元法解方程四例
换元法是一种常见的解方程的方法。
下面为你举出四个例子，希望能帮助你理解换元法的思想。
解一元二次方程：设有一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/2a，则原方程可化为y^2 + c - b^2/4a^2 = 0。
解得y1 = √(b^2/4a^2 - c)，y2 = -√(b^2/4a^2 - c)。
则x1 = y1 - b/2a，x2 = y2 - b/2a。
解一元三次方程：设有一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/3a，则原方程可化为y^3 + 3py + 2q = 0，其中p = c - b^2/3a^2，q = 2b^3/27a^3 - bc/3a^2 + d。
如果p^3 + q^2 = 0，则y1 = y2 = y3 = √(-q)。
如果p^3 + q^2 ≠ 0，则y1 = √(-q + √(q^2 + p^3))，y2 = √(-q - √(q^2 + p^3))，y3 = 0。
则x1 = y1 - b/3a，x2 = y2 - b/3a，x3 = y3 - b/3a。
解二元一次方程组：设有二元一次方程组ax + by = c，dx + ey = f。
设y = xe/b，则原方程组可化为a - (d - ae/b)y = c，ey = f。
解得x = (bf - ce)/(e^2 - ab)，y = (c - ax)/b。
解二元二次方程组：设有二元二次方程组ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0。
设y = mx + n，则原方程组可化为(am^2 + bmn + cm)x^2 + (2amn + dm + en)x + (bn^2 + en + f) = 0，(gm^2 + hmn + im)x^2 + (2hmn + jm + kn)x + (hn^2 + kn + l) = 0。
分数换元法解一元三次方程
分数换元法解一元三次方程一元三次方程是指其中的最高次项为3次幂的方程，一元三次方程一般具有以下形式：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
分数换元法是一种解一元三次方程的方法，通过引入新的变量，将三次方程转化为二次方程，从而求得方程的根。
下面将详细介绍分数换元法解一元三次方程的步骤。
首先，假设原方程为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们引入新的变量：x = y - b/3a。
将新的变量代入原方程中，得到：a(y - b/3a)^3 + b(y - b/3a)^2 + c(y - b/3a) + d = 0。
进一步展开，化简上式，并将三次项系数归一化，得到一个新的方程：y^3 + py + q = 0。
接下来，我们需要求解新的方程y^3 + py + q = 0。
通过求解这个二次方程，我们可以得到解的近似值。
方法如下：1. 计算delta（Δ）的值，其中Δ = (q^2/4) + (p^3/27)。
2. 当Δ > 0时，即方程有一个实根和两个共轭虚根。
记实根为r，通过求解y - r = 0的二次方程可以得到实根的近似值。
3. 当Δ = 0时，即方程有一个实根和一个重根。
记实根为r，通过求解y - r = 0的二次方程可以得到实根的近似值。
4. 当Δ < 0时，即方程有三个实根。
记ζ = (-q/2) + sqrt(-Δ)/2和η = (-q/2) - sqrt(-Δ)/2，则方程的三个根可以表示为：r1 = 2 * sqrt(-p/3) *cos((1/3)arccos(ζ)) - b/3a，r2 = -2 * sqrt(-p/3) * cos((1/3)arccos(η) + (2/3) * π) - b/3a，r3 = -2 * sqrt(-p/3) * cos((1/3)arccos(η) - (2/3) * π) - b/3a。
至此，我们已经得到了方程y^3 + py + q = 0的根，即新的变量y的根。
换元法解分式方程的四种常见类型
换元法解分式方程的四种常见类型换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解分式方程时有着极为广泛的应用，本文根据各个方程自身的结构特点，举例说明换元法解分式方程的四种常见类型，供大家参考.一、直接换元例1 解方程015)1(2)1(2=----x x x x . 解：设y x x =-1，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .当3-=y 时，31-=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45=x . 经检验，45,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元例2 解方程 1)1(3)1(222=+-+x x xx . 解：原方程配方，得 05)1(3)1(22=-+-+xx x x . 设,1y xx =+则05322=--y y . 解得 25,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012=++x x . 因为0311412<-=⨯⨯-=∆，所以方程012=++x x 无实数根. 当25=y 时，,251=+x x 即02522=+-x x . 解得 21,221==x x . 经检验，21,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元例3 解方程031)1(21122=-+++++x x x x . 解：设y x x =++112，则原方程可化为032=-+y y .去分母，整理，得0232=+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时，1112=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .当2=y 时，2112=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根.四、变形换元例4 解方程12222422=+-+-x x x x . 解：原方程可变形为05222)22(222=-+-++-x x x x . 设y x x =+-222，则原方程可化为0522=-+y y . 去分母，整理，得02522=+-y y .解得 21,221==y y . 当2=y 时，2222=+-x x ，即022=-x x .解得 21,021==x x . 当21=y 时，21222=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2<-=⨯⨯--=∆，所以方程03242=+-x x 无实数根. 经检验，21,021==x x 是原方程的根.。
换元法解方程组练习题
换元法解方程组练习题随着数学领域的不断发展，解方程组的方法也在不断地丰富和完善。
本文将介绍一种常见的解方程组方法——换元法，并通过一些练习题来巩固学习。
换元法是解决方程组的一种常见方法，它的基本思想是通过引入新的变量，将原方程组转化为一个更加简单的形式，从而得到方程的解。
下面我们通过一些具体的例子来详细介绍换元法的应用。
例1：解方程组{x + y = 5,x - y = 1}解：我们可以通过换元法将这个方程组转化为一个较为简单的形式。
首先，我们设新的变量u = x + y,v = x - y.则原方程组可以表示为：{u = 5,v = 1}从中可以看出，这两个新变量的值已经确定了，即u = 5，v = 1.接着，我们可以进一步通过反演找到原变量x和y的值。
由u = x + y和v = x - y可得：2x = (u + v)2y = (u - v)解得：x = (u + v) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3y = (u - v) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2因此，原方程组的解为{x = 3, y = 2}.通过这个例子，我们可以看到换元法的具体应用过程。
下面，我们继续通过练习题来巩固这个方法。
练习题1：{2x - 3y = 4,3x + 5y = 1}解：我们可以设新的变量：u = 2x - 3y,v = 3x + 5y.则原方程组可以表示为：{u = 4,v = 1}进一步解得：x = (u + 3v) / 17 = (4 + 3) / 17 = 7/17y = (-2u + v) / 17 = (-2*4 + 1) / 17 = -7/17因此，原方程组的解为{x = 7/17, y = -7/17}.练习题2：{x + y = 7,x^2 + y^2 = 25}解：我们可以设新的变量：u = x + y,v = xy.则原方程组可以表示为：{u = 7,u^2 - 2v = 25}通过代入和化简，可解得：v = (u^2 - 25) / 2 = (49 - 25) / 2 = 12由v = xy，可以得到一个关于x和y的方程：xy = 12接下来，我们通过求解xy = 12和x + y = 7的一元二次方程，可以得到x和y的值。
第四章一元一次方程(换元法新定义方程压轴)(原卷版)
(2)已知关于x的一元一次方程 是“和解方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 都是“和解方程”，求代数式 的值．
7．定义新运算 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如 ；
若 ，则称a与b互为“望一”数；
若 ，则称a与b互为“望外”数；
(1)计算： ．
(2)下列互为“望一”数的是．互为“望外”数的是．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
(3)若 ，则x可以取哪些整数？
(4)若 ，则x的值为多少？
8．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程 和 为“美好方程”．
(1)若关于x的方程 与方程 是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程，”求关于y的一元一次方程 的解．
(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，求关于y的一元一次方程 的解．
6．我们规定：若关于x的一元一次方程 的解为 ，则称该方程为“和解方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有．
第四章一元一次方程（换元法、新定义方程压轴）
一、换元法解方程
1．若关于x的一元一次方程 的解为 ，则关于y的一元一次方程 的解为（）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元一次方程 的解是 ，关于y的一元一次方程 的解是 （其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（）
A． B．
换元法解一元二次方程
换元法解一元二次方程换元法解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变复杂为简单的目的.换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.用换元法解某些高次方程例1. 解方程:03224=--x x .分析:这是一元四次方程,可设y x =2（注意:y ≥0）,这样通过换元就把原方程转化为关于 y 的一元二次方程.解:设y x =2,则有:y ≥0∴0322=--y y()()031=-+y y∴01=+y 或03=-y∴3,121=-=y y∵y ≥0∴3=y （1-=y 舍去）∴32=x ∴3,321-==x x .用换元法解具有一定结构特点的方程例2. 解方程:()()022322=+---x x . 分析:注意到该方程中整体()2-x 出现了两次,可整体设元,从结构上简化方程.解:设t x =-2,则有:0232=+-t t()()021=--t t∴01=-t 或02=-t∴2,121==t t∴12=-x 或22=-x∴4,321==x x .例3. 解方程:()()0128222=+---x x x x . 分析:本题中的方程若展开整理,则得到的是一个高次方程,但方程本身具有非常明显的结构特点,可整体换元,不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程.解:设y x x =-2,则有:01282=+-y y()()062=--y y∴02=-y 或06=-y∴6,221==y y∴22=-x x 或62=-x x解方程22=-x x 得:2,121=-=x x ;解方程62=-x x 得:3,221=-=x x综上,原方程的解为3,2,2,14321=-==-=x x x x .例4. 解方程:112122=+-+x x x x . 分析:方程中21x x +与12+x x 互为倒数,若设t xx =+21,则t x x 112=+,经过这样的换元,最后可把原方程转化为关于t 的整式方程,且为一元二次方程.解:设t x x =+21,则有:12=-tt 整理得:022=--t t()()021=-+t t∴2,121=-=t t ∴112-=+x x 或212=+xx 由112-=+xx 得:012=++x x ,此时方程无解; 由212=+xx 得:0122=--x x ,解之得:1,2121=-=x x . 综上,原方程的解为1,2121=-=x x .例5. 解方程:01122=+++x x x x .分析:设y x x =+1,则22112222-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x x x .解:01122=+++x x x x02112=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设y x x =+1,则有:022=-+y y()()021=+-y y∴01=-y 或02=+y∴2,121-==y y ∴11=+x x 或21-=+x x 由11=+x x 得:012=+-x x ,此时方程无解; 由21-=+x x 得:0122=++x x ,解之得:121-==x x .综上,原方程的解为121-==x x .本题变式: 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是【 】 （A ）1或2- （B ）1-或2 （C ）1 （D ）2-例6. 已知()()1212222=+++y x y x ,求22y x +的值.分析:整体设元:设m y x =+22,则m ≥0,据此注意根的取舍.解:设m y x =+22,则有:m ≥0∴()121=+m m整理得:0122=-+m m解之得:4,321-==m m∵m ≥0 ∴3=m∴22y x +的值为3.习题1. 解下列方程:（1）()()6222=+++x x x x ; （2）()()061512=+---x x .习题2. 解方程:1222=---xx x x .习题3. 阅读下面的材料,回答问题:解方程04524=+-x x ,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是: 设y x =2,则原方程变形为:0452=+-y y ①解之得:4,121==y y当1=y 时,12=x ,解之得:1±=x ;当4=y 时,42=x ,解之得:2±=x .综上,原方程的解为:2,2,1,14321-==-==x x x x .（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用_________法达到_________的目的,体现了数学的转化思想;（2）解方程:()()0124222=-+-+x x x x .。
换元法在解方程中的应用
换元法在解方程中的应用
换元法是求解方程的一种方法，其源于中国古代的“换位法”。
换元法可以让简单的多项式
方程变得更容易求解，它可以帮助学生们节省时间，效率更高，而且大大减轻了解决数学问题
的难度。
换元法是一种将原有方程中多个变量替换成其它变量的方法，从而简化这些方程的计算过程。
使用换元法解多项式方程的过程如下：首先，需要解决的多项式方程用一个新的变量替换原来
的变量，这个新变量通常与原来变量有着方程形式的对应关系，然后，解这个新方程中变量的
值即可求解出原多项式方程中变量的值。
举个例子，已知方程 x2 = 4，使用换元法简化它，则可以将原变量 x 替换成新变量 y，即新
方程为 y2 = 4。
此时，已知 y 的取值，即可解出原变量 x 的取值，例如 y = 2 时，x = 2，反之，y = -2 时，x = -2。
此外，换元法可以用于解决更复杂的方程，比如 3x2 + 5x - 12 = 0。
首先，可以将 3x2 +
5x 替换成 y，从而得到 y - 12 = 0，显然，y = 12 。
根据替换的规则，可知 3x2 + 5x = 12，因此 3x2 + 5x - 12 = 0，即原多项式方程得到简化，然后解出 x = 2 或 -2。
总之，换元法是求解方程的一个很有用的方法，它可以让学生们更方便快捷地求解多项式方程，而不用花费大量的精力。
因此，数学老师要多给学生们介绍使用换元法来解决多项式方程，以
便让学生们充分利用这种有效的方法，简化数学问题的解决过程。
利用换元法解方程(组)
第6讲 利用换元法解方程一、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．例如：① 256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x +=③222212219116x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x+换元，是倒数换元法.⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已t ，则方程就变成()()2232110x t x t x ⋅+++-=，数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.例如：()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解.（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一 局部换元（高次方程）【例题1】解方程：42320x x -+=【答案】11x =，21x =-，3x =4x =【解析】试题分析：通过观察发现()242x x =，故设2x y =，原方程变形为2320y y -+=，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.试题解析：解：设2x y =，则原方程变形为2320y y -+=， 解得，11y =，22y =，由11y =得21x =，解得11x =，21x =-，由22y =得22x =，解得3x =，4x =∴方程的解是11x =，21x =-，3x =4x =【难度】较易（分式方程）【例题2】解方程：256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】134x =-，223x =- 【解析】试题分析：括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析： 解：设1x y x =+，于是原方程变形为2560y y ++= 解得13y =-，22y =-当13y =-时，31x x =-+，解得134x =-， 当22y =-时，21x x =-+，解得223x =- 经检验134x =-，223x =-均为原方程的根. ∴方程的解是134x =-，223x =- 【难度】较易【例题3】已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x+的值是（ ） 【答案】2-【解析】试题分析： 由于222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，故设1x t x +=，可解. 试题解析： 解：设1x t x+=， 原方程化简得21120x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭， ∴220t t -+=，解得11t =，22t =- 由11x x+=化简得210x x -+=，△＜0 ，无解，舍去 ∴12x x +=- 点评 ：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.【难度】一般（无理方程）【例题4103= 【答案】114x =，294x =- 【解析】试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221x x x++=，与2x x +互为倒数，y =，则原方程变形为1103y y +=，无理方程化为有理方程. 试题解析：()0y y = ＞，则原方程变形为1103y y +=整理得231030y y -+=解得13y =，213y =当13y =3=，解得114x =当213y =13=，解得294x =- 经检验114x =，294x =-都是原方程的根. 原方程的解是114x =，294x =- 【难度】一般【例题510=【答案】11x =21x = 【解析】试题分析：1=，可设两个未知数，利用韦达定理求解.试题解析：m = n = ，原方程变为1m n +=又∵()2222m n m n mn +=++∴142mn =+，即32mn =- 根据韦达定理，m n 、是方程2302z z --=的根解得1z =2z =0， ∴2z 舍去即m =n =12= 12=解得112x =+， 212x =-经检验11x =+212x =-是原方程的解∴ 方程的解是11x =+21x =- 【难度】一般类型二 均值换元【例题6】解方程：()()443182x x +++= 【答案】10x =，24x =-【解析】试题分析：观察方程可知()()312x x +-+=，适合使用均值法换元，故设()()3122x x y x +++==+可达到降次目的.试题解析：解：设()()3122x x y x +++==+， 原方程变为()()441182y y ++-=整理得()()()()222221121182y y y y ⎡⎤++--+-=⎣⎦ ()()2222412182y y +--=426400y y +-= 解得210y =-（舍），24y =即12y =，12y =-由22x +=，得10x =由22x +=-，得24x =-∴原方程的解为10x =，24x =-点评：一般形如()()44x a x b c +++=的方程可用均值法，设22x a x b a b y x ++++==+进行代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三 倒数换元【例题7】解方程：4326538560x x x x +-++= 【答案】112x =，22x =, 33x =-，413x =- 【解析】试题分析：本题的特点是：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +换元. 试题解析：解：显然0x =不是方程的解，故用2x 除方程两边， 整理得221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则22212x y x+=-， 上式变为()2625380y y -+-=，整理得265500y y +-= 解得152y =，2103y =-， 由152x x +=，解得112x =，22x = 由1103x x +=-，解得33x =-，413x =- 点评：形如4320ax bx cx bx a ++++=的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用2x 除各项，构造1x x±，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四 常数换元【例题8】解方程32310x x ++=【答案】11x =，212x -=，312x --= 【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设x 设为设t ，则方程就变成关于t 的一元二次方程.试题解析：t=则原方程变形为322210x x t xt t +++-=即()()2232110x t x t x ⋅+++-= ()()2110x t x x t x ⎡⎤⋅++++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2110x x x x ⎡⎤⎤++-=⎣⎦⎦整理得)21110x x x ⎡⎤⎡⎤+++=⎣⎦⎣⎦)2110x x ++=或10x +=解得11x =，2x =，3x = 【难度】困难三、实战演练类型一 局部换元（高次方程）1.已知()()2222138x y x y ++++=，则22x y +的值为（ ）【答案】1【解析】试题分析：解题时把22x y +当成一个整体考虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设22x y t +=，()0t ≥，则 原方程变形为()()138t t ++=，整理得()()510t t +-=，解得15t =-，21t =，∵0t ≥∴1t =∴22x y +的值是1【难度】较易2.解方程：()2222360x x x x +--=【答案】10x =，22x =-，33x =-，41x =【解析】试题分析：观察可知，方程整理后()()2222320x xx x +-+=，可用换元法降次.试题解析：解：方程整理后()()2222320x xx x +-+=设22x x y +=，则 原方程变为230y y -= 解得10y =，23y =由10y =，得220x x +=，解得10x =，22x =-由23y =，得223x x +=，解得33x =-，41x =∴原方程的解是10x =，22x =-，33x =-，41x =【难度】较易3.方程()()22235320x x ---+=，如果设23x y -=，那么原方程可变形为（ ） A ．2520y y -+= B. 2520y y +-= C. 2520y y --= D. 2520y y ++=【答案】D【解析】试题分析:注意到23x -与23x -互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形.试题解析：解：设23x y -=，则23x y -=-用y 表示23x -后代入方程得2520y y ++=故选D.【难度】较易4.解方程：()22213x x +=+【答案】11x =，21x =- 【解析】 试题分析：1.以21x +为一个整体换元，因此要对方程进行变形使其含有21x +.2.把方程展开成标准的双次方程，再对2x 进行换元.试题解析：解法一：原方程可化为()()2221120x x +-+-=，设21x y +=，得220y y --=， 解得12y =，21y =-由212x +=，解得11x =，21x =-由211x +=-，22x =-无实根∴方程的解是11x =，21x =-解法二：由方程得4220x x +-=，设2x y =得220y y +-=，解得11y =，22y =-（舍去）由21x =，解得11x =，21x =-∴方程的解是11x =，21x =-点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象.在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方法都可以应用. 【难度】较易（分式方程）5.解方程2261x x x x=+++ 【答案】12x =-，21x =【解析】试题分析：方程左边分式分母为2x x +，可将右边2x x +看成一个整体，然后用换元法解.试题解析：解：设2x x y +=，则原方程变形为61y y=+ 解得13y =-，22y =当13y =-时，23x x +=-，△＜0，此方程无实根当22y =时， 22x x +=， 解得12x =-，21x =经检验，12x =-，21x =都是原方程的根.【难度】较易【解析】试题分析：整理后发现()222x x x x +=+，故()()2211x x x ++=+，就可换元解题了 试题解析：设()21x y +=，则整理得220y y --=解得12y =，21y =-（舍去）【难度】较易7.解方程222212219116x x x x x x x +++++=+++【答案】121x x ==，332x -+=，432x --= 【解析】试题分析： 观察到()2222222112211111x x x x x x x x x x x x +++++++==+++++++，设2211x x y x ++=+，原方程可化为11916y y ++=，由繁变简，可解. 试题解析： 解：原方程变形得222211191116x x x x x x +++++=+++， 即22221113116x x x x x x ++++=+++ 设2211x x y x ++=+，则原方程变为1136y y += 整理得261360y y -+= 解得132y =，223y = 由132y =得221312x x x ++=+，解得121x x ==由223y =得221213x x x ++=+，解得3x =，4x =经检验121x x ==，3x =4x =.∴原方程的解是121x x ==，332x -+=，432x --= 【难度】一般8.解方程：22272720x x x x+-++=【答案】11x =，21x =， 312x =-，42x = 【解析】试题分析： 观察可发现22222711272272x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而222112x x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，故可设1x x -为辅助元，可得解. 试题解析： 解：将原方程转化为21122720x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设1x y x-=，则 原方程转化为22760y y -+=解得12y =，232y =当12y =时，12x x-=，解得11x =，21x = 当232y =时，132x x -=，解得312x =-，42x =经检验11x =21x = 312x =-，42x =都是原方程的解所以，原方程的解是11x =，21x =， 312x =-，42x = 【难度】一般9.解方程:222322322x x x x-+=-【答案】1x =2x = 【解析】试题分析： 这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设2232x y x =- 试题解析：解：设2232x y x =-，则原方程可化为12y y +=， 即2210y y -+=∴()210y -=，解得1y = 由22132x x =-，得23220x x --=解得：1x =，213x =经检验1x =，2x =都是原方程的根 点评：解有倒数关系的分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示，即形如()()0b a f x c f x ++=的方程，可设()y f x = 【难度】较易10.解方程：222122272221x x x x x x +=+-+-+-【答案】11x =-21x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x 的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设22y x x =+ 试题解析：解：设22y x x =+，原方程可化为122721y y y +=---，即()()12721y y y -=---， 即2120y y --=，解得：14y =，23y =-由224x x +=，解得11x =-21x =- 由223x x +=-，△＜0，方程无解经检验11x =-21x =-.∴方程的解是11x =-21x =-【难度】较难11.解方程：222111011102101310x x x x x x ++=++++-+ 【答案】15x =，22x =，35x =-，42x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x 的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设2210y x x =++试题解析：解：设2210y x x =++， 则原方程可化为1110915y x y y x ++=+-整理得：224450y xy x --=解得：19y x =，25y x =-由22109x x x ++=，解得15x =，22x =由22105x x x ++=-，解得35x =-，42x =-经检验知，它们都是原方程的解.点评：以上三个例子可以看出，换元时必须对原方程仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，花繁为简，达到解方程的目的.【难度】较难（双元换元） 12.解方程： 213134211x x x x x x --⎛⎫+= ⎪++⎝⎭【答案】11x =，26x =，33x =，43x =【解析】试题分析： 本题整理后2213134211x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，发现221313131313111x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+++== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，设2131x x a x -=+，2131x b x +=+，可得13a b +=，42ab =，利用韦达定理可求解. 试题解析： 解：设2131x x a x -=+，2131x b x +=+ 可得13a b +=，42ab =由韦达定理，知a ，b 是方程213420z z -+=的两根解得16z =，27z =即67a b =⎧⎨=⎩或76a b =⎧⎨=⎩即2213611371x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩或2213711361x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 经检验11x =，26x =，33x =，43x =.所以方程的解是11x =，26x =，33x =，43x =【难度】较难13()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+ 【答案】131x x ==，22x =，413x =-【解析】试题分析： 观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解试题解析：解：∵()()22232321451x x x x x x -++--=-+设232x x u -+=，2321x x v --= 原方程变为()222u uv v u v ++=+∵()2222u uv v u v ++=+∴0uv =，即0u =或0v =即2320x x -+=或23210x x --=解得11x =，22x =，31x =，413x =-∴方程的解是131x x ==，22x =，413x =- 点评：对于本题这样繁冗的方程，直接展开求解不可取，可通过观察，找到代数式间的联系，不妨设两个辅助元，将方程变形，目的是使方程有繁变简，可解.【难度】较难（无理方程）14.1=【答案】1x =-【解析】试题分析：解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程，通常是设根式为元，本题的两根式存在()()1+12x x +=+的关系，故设一个辅助元即可.试题解析：解：设y =21x y +=，即221x y +=+1y =1y =-两边平方，并整理得0y =0=，解得1x =-经检验1x =-是原方程的解点评：解无理方程时，常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元，达到化去根号转化为可解的方程的目的.【难度】一般15.解方程组：183x y +=⎧⎪-=【答案】191x y =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：此题是整式方程与无理方程合并的方程组，解题时应从无理方程出发，将其化为有理方程求解.试题解析：u =v =，则原方程组可化为：22173u v u v ⎧+=⎨-=⎩()()12 由（2）得，3u v =+，（3）将（3）代入（1），得()22317v v ++=，解得，11v =，24v =-∴4u =得41==，解得191x y =⎧⎨=-⎩经检验，知191x y =⎧⎨=-⎩是原方程组的解 ∴原方程组的解为191x y =⎧⎨=-⎩点评：妙用换元法，将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.【难度】一般16.解方程：22650x x --=【答案】15x =，22x =-【解析】试题分析：由于根号里面23x x -与根号外面226x x -，对应系数成比例，故可以将其变形()223130x x ---=， 不难找到辅助元.试题解析：y =，则原方程可以化为22530y y --=解得112y =-（舍去），23y =3=，解得15x =，22x =-经检验15x =，22x =-是原方程的解.点评：以前学过的取平方去根号法解无理方程，是种普遍方法.现在的换元法必须构造出根号内外两个相同的式子才行.【难度】较难类型二 均值换元17.解方程：()()()()214719x x x x -+++=【答案】1x =2x =3x =，4x = 【解析】试题分析：方程的左边是四个二项式乘积，故展开求解不可取，应通过观察找突破口，左边重组后，()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2251454x x x x =+-++，可设元求解.试题解析：解：原方程变形后()()()()271419x x x x -+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理后得()()225145419x x x x +-++=设()()22251454552x x x x y x x +-+++==+-方程可变为()()9919y y -+=，即2100y =解得110y =，210y =-由110y =得25510x x +-=，解得1x =2x =由210y =-得25510x x +-=-，解得3x =4x =∴方程的解是152x -=，252x --=，352x -+=，452x --= 点评：本题也可设25x x +为辅助元，但没有均值法计算快捷，恰当的重组变形得到()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦是解本题的关键.【难度】一般18.解方程：()()()2673416x x x +++= 【答案】123x =-，253x =- 【解析】试题分析：方程左边四个二次项的乘积，显然展开求解不可取，可尝试变形后()()()267686672x x x +++=，取均值，将其由繁变简.试题解析：解：方程变形为()()()267686672x x x +++= 设()()()()67676866674x x x x y x +++++++==+原方程变成()()21172yy y +-= 整理得42720y y --=解得29y =或28y =-（舍去）∴13y =，23y =-即673x +=或673x +=- 解得123x =-，253x =- 【难度】较难类型三 倒数换元19.解方程：4322316320x x x x +-++=【答案】12x =-，22x =-32x =，412x = 【解析】试题分析：此题符合倒数方程的特点：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，两边同时除以2x ，可构造1x x+为元得解. 试题解析：解：∵这是个倒数方程，且知0x ≠，两边除以2x ，并整理得221123160x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设1x y x +=，则22212x y x+=- 原方程化为223200y y +-=解得14y =-，252y =由14y =-得14x x+=-，解得12x =-，22x =- 由252y =得152x x +=，解得32x =，412x =∴方程的解是12x =-，22x =-32x =，412x = 【难度】较难20.解方程((5598y y ++-= 【答案】2y =±【解析】试题分析：此题无法用通常的方法解决，但注意到5+5-互为倒数且指数均为y ，因此，利用换元法换元后再利用根与系数的关系就可以顺利解决此题了.试题解析：解：设(5y a =+，(5y b =-， 则981a b ab +=⎧⎨=⎩a 、b 可看作29810t t -+=的根解得149t =+，249t =-则4949a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩4949a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴(((2254955y a ±=+=±=±=+∴2y =±点评：本题是指数方程，不是中考考点，但解法巧妙，可用来拓展思路，不妨试试！【难度】较难。
换元法解方程
换元法解方程
换元法是一种求解微积分方程的方法，它可以将原方程化为一个更简单的形式，从而使求解更容易。
具体的步骤如下：
1. 将原方程中的自变量用新的变量表示，通常用一个函数来表示。
2. 计算原方程中的导数，并用新的变量和导数表示。
3. 将原方程中的函数替换为新的变量及其导数，得到一个只含
新的变量和导数的微分方程。
4. 对新的微分方程进行求解，得到新的解析式。
5. 将新的解析式中的新变量替换为原方程中的自变量，从而得
到原方程的解析式。
举个例子：
假设要求解微分方程 dy/dx = x^2
1. 令 u = x^3，即将自变量用 u 表示。
2. 将原方程的导数用新变量表示，有 dy/dx = (du/dx)/(du/dx) * (dy/dx) = (1/u)*(3x^2) = 3x^2/u
3. 将原方程中的函数替换为新变量及其导数，得到 3x^2/u = 1
4. 对新的微分方程进行求解，有 ln|u| = x^3 + C，其中 C 为常数。
5. 将新的解析式中的新变量替换为原方程中的自变量，有
ln|x^3| = x^3 + C，即 y = ln|x^3| - x^3 + C。
最终得到微分方程的解析式为 y = ln|x^3| - x^3 + C。
用换元法解方程
用换元法解方程例1、（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 解：令3x+27=y ，则6x+7=2y ，3x+4=y+21，x+1=31（y-21） 原方程变形为：（2y ）2（y+21）（y-21）=18， 即4y 4-y 2-18=0 解之得y 2=49 y 2=-21 所以y 1=23 y 2=-23 y 3=2i y 4=-2i 所以原方程的解：x 1=-32 x 2=-35 x 3=-67+32i x 4=-67-32i 例2、解方程x 1 +x211-=1235 解：由于定义域是0＜|x|＜1，可引入三角代换x=sin θ（-2π＜θ＜2π），于是原方程可变形为sin 1+cos 1=1235，即θθθ2sin cos sin +=2435 两边平方，得： θθ22sin 1sin2+=5671225 于是得到一个一元二次方程：1225sin 22θ-567sin2θ-567=0， 解之得 sin2θ=2524或sin2θ=-4924 所以 cos2θ=±257或cos2θ=±14735 因此，x=sin θ=±53，±54，±14735+，±14735- 经检验，x=-53，-54，14735+，±14735-都是增根，所以原方程的根是x 1=53，x 2=54，x 3=-14735+ 例3、解方程6622+-x x =21+2x-x 2解：将原方程变形为：x 2-2x+6+6622+-x x -27=0 令y=622+-x x ，则有y 2+6y-27=0。
解的y=3；y=-9（舍去）。
由622+-x x =3，解得x 1=-1，x 2=3，均为原方程的解例4、解方程-x236+x 72-11=（x-6）2解：将方程右边展开经变形可得：（x 2+12+x 236）-12（x+x6）+35=0 令u= x+x6，代入上式，得 u 2-12u+35=0，解得u 1=5，u 2=7. 由x+x 6=5，解得x 1=2，x 2=3；由x+x6=7，x 3=1，x 4=6，他们都是原方程的解 例4、 数列{n a }中，a1=1，1+n a =161(1+4n a +n a 241+)求n a . (构建{}n b ，使n b =n a 241+>0，则b1=5,2nb =1+24n a ,则2412-=n n b a ，故)24141(161241221n n n b b b +-⨯+=-+，所以()221)3(2+=+n n b b ，所以()32131-=-+n n b b ，{bn-3}是以2为首项，1/2为公比的等比数列，=-=2412n n b a 112231232--⨯+⨯+n n ）。
换元法解方程组的练习题
换元法解方程组的练习题为了锻炼自己在换元法解方程组方面的能力，我们将会提供一些练习题。
通过这些练习题，我们可以更好地理解换元法的原理，并且掌握如何运用它来解决实际问题。
1. 练习题一：解方程组：2x + 3y = 105x + 4y = 20解答：首先，我们可以选择一个方程，如第一个方程，将其中的一个变量用另一个变量表示出来，然后代入第二个方程。
这样，我们就可以得到一个只含有一个变量的方程，从而解得这个变量的值。
再将此值代入另一个方程，求得另一个变量的值。
根据第一个方程，我们可以将 x 表示为：x = (10 - 3y) / 2将 x 的值代入第二个方程，得到：5(10 - 3y) / 2 + 4y = 20整理方程，可以得到：25 - 15y + 8y = 40-7y = 15y = -15/7将 y 的值代入第一个方程，得到：2x + 3(-15/7) = 102x - 45/7 = 102x = 10 + 45/72x = 115/7x = 115/14所以，方程组的解为 x = 115/14，y = -15/7。
2. 练习题二：解方程组：3x + 4y = 75x + 2y = 8解答：我们选择第一个方程将 x 表示出来：x = (7 - 4y) / 3将 x 的值代入第二个方程，得到：5((7 - 4y) / 3) + 2y = 8整理方程，可以得到：(35 - 20y) / 3 + 2y = 835 - 20y + 6y = 24-14y = -11y = 11/14将 y 的值代入第一个方程，得到：3x + 4(11/14) = 73x + 22/7 = 73x = 35/7 - 22/73x = 13/7x = 13/21因此，方程组的解为 x = 13/21，y = 11/14。
通过上面两个练习题，我们可以掌握换元法解方程组的基本步骤。
换元法基本步骤
换元法基本步骤
【用换元法解分式方程的一般步骤】
1、将分式方程中出现的某一部分代数式设成辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；
2、解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
3、把辅助未知数的值代回到原式中，求出原未知数的值
4、检验做答
拓展：【换元法的定义】
把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
注意：
换元法是解一些特殊的分式方程的特殊方法，它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程，同时验根也是必不可少的重要步骤。
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换元法
在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法.
1.10)3)(4(22+++-+x x x x
2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x
3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x
4.90)384)(23(22-++++x x x x
5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++
6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x
7.4482--a a
8.yz z y x 2222+--
9. 644+x
10. 2214176y xy x --
11. 581337622-++--y x y xy x
12.1433181892022-+--+y x y xy x
13. 2820152-+--y x xy x
14.12)2)(1(22-++++x x x x
15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x
17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1.
五.待定系数法
1. 192256112--x x
2.744272234+---x x x x
3.156234+-+-x x x x
六.因式定理
余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于
除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即
定理：是末项系的约数，是首项系数是它的根，则互质若是整系数多项式设q a p q p p
q x x f n ),(.)(=
.0的约数数a
推论：., 1 000,0111a x x a x a x a x n n n 则是它的根若整数＋的整系数多项式对于首项系数为+++--
1. 611623+++x x x
2. 355223-+-x x x
3.46423-+-x x x
4.8292234+--+x x x x
5.15132234----x x x x
七.对称式 交代式 轮换式
Ⅰ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式相等,那么这个多项式叫做关于这些字母的对称多项式.
如: ,z y x ++abc
c b a q p xz yz xy q z y x p 3 ,),( )()(333222-+++++++是系数等.
Ⅱ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式只相差一个符号,那么这个多项式叫做关于这些字母的交代式. 如: ),)()((x z z y y x ---4
433, b a b a --等.
Ⅲ.在一个关于w z y x ,,,, 的多项式中,把它所含的字母按某种顺序进行轮换(把x 换成y,y 换成z,…,w 换成x)所得的多项式不变,那么这个多项式叫做关于这些字母的轮换式.
如: ,z y x ++ ,222x z z y y x ++22 b a +, abc c b a 3 333-++等. 对称式、交代式和轮换式的因式分解方法:对于一个对称(或交代,轮换)多项式有一个次
数较低的因式,那么与这个因式同类型的式子也是多项式的因式,再借助因式定理或待定系数法进行分解.
1.abc c b a 3333-++
2.3333)(z y x z y x ---++
3.444))(())(())((b a b a a c a c c b c b +-++-++-
4. )()()(333y x z x z y z y x -+-+-
5. )1)(1)(()1)(1)(()1)(1)((222222zy zx y x yx yz x z xz xy z y ++-+++-+++-
6.3333)()()()(z y x y x z x z y z y x -+--+--+-++
7. xyz z y x y x z x z y z y x 2)()()()(333222-++-+++++
八．因式分解的应用
1.关于x,y 的二次式 x 2+7xy+my 2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.
2.已知a=
21m+1,b=21m+2,c=21m+3,求a 2+2ab+b 2-2ac-abc+c 2的值.
3. 若a 为正整数，则a 4-3a 2+9是质数还是合数？ 给出你的证明。
4.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278
+++n n 是57的倍数.
5.一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称正整数a 为完全平方数.如2864=，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932.求证a 是一个完全平方数.
6.①已知a 、b 、c 分别为三角形的三条边，求证：02222<---bc c b a .
②.2.010616ABC ,,222b c a bc ab c b a c b a =+=++--∆求证：的三边，且是已知
7.已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数并且bd+cd 是奇数，证明：这多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
8.32234+-++x x x x 9.47323-+x x
10.93523-++x x x 11.5555)(c b a c b a ---++
12.)()()(222y x z x z y z y x -+-+-
13..ABC .3ABC ,,333为等边三角形求证：△的三边，且是已知abc c b a c b a =++∆
14.已知2342345200910,1.x x x x x x x x x x
++++=+++++++L 求的值。