换元法解方程

换元法

在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法.

1.10)3)(4(22+++-+x x x x

2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x

3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x

4.90)384)(23(22-++++x x x x

5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++

6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x

7.4482--a a

8.yz z y x 2222+--

9. 644+x

10. 2214176y xy x --

11. 581337622-++--y x y xy x

12.1433181892022-+--+y x y xy x

13. 2820152-+--y x xy x

14.12)2)(1(22-++++x x x x

15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x

17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1.

五.待定系数法

1. 192256112--x x

2.744272234+---x x x x

3.156234+-+-x x x x

六.因式定理

余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于

除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即

定理：是末项系的约数，是首项系数是它的根，则互质若是整系数多项式设q a p q p p

q x x f n ),(.)(=

.0的约数数a

推论：., 1 000,0111a x x a x a x a x n n n 则是它的根若整数＋的整系数多项式对于首项系数为+++--

1. 611623+++x x x

2. 355223-+-x x x

3.46423-+-x x x

4.8292234+--+x x x x

5.15132234----x x x x

七.对称式 交代式 轮换式

Ⅰ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式相等,那么这个多项式叫做关于这些字母的对称多项式.

如: ,z y x ++abc

c b a q p xz yz xy q z y x p 3 ,),( )()(333222-+++++++是系数等.

Ⅱ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式只相差一个符号,那么这个多项式叫做关于这些字母的交代式. 如: ),)()((x z z y y x ---4

433, b a b a --等.

Ⅲ.在一个关于w z y x ,,,, 的多项式中,把它所含的字母按某种顺序进行轮换(把x 换成y,y 换成z,…,w 换成x)所得的多项式不变,那么这个多项式叫做关于这些字母的轮换式.

如: ,z y x ++ ,222x z z y y x ++22 b a +, abc c b a 3 333-++等. 对称式、交代式和轮换式的因式分解方法:对于一个对称(或交代,轮换)多项式有一个次

数较低的因式,那么与这个因式同类型的式子也是多项式的因式,再借助因式定理或待定系数法进行分解.

1.abc c b a 3333-++

2.3333)(z y x z y x ---++

3.444))(())(())((b a b a a c a c c b c b +-++-++-

4. )()()(333y x z x z y z y x -+-+-

5. )1)(1)(()1)(1)(()1)(1)((222222zy zx y x yx yz x z xz xy z y ++-+++-+++-

6.3333)()()()(z y x y x z x z y z y x -+--+--+-++

7. xyz z y x y x z x z y z y x 2)()()()(333222-++-+++++

八．因式分解的应用

1.关于x,y 的二次式 x 2+7xy+my 2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.

2.已知a=

21m+1,b=21m+2,c=21m+3,求a 2+2ab+b 2-2ac-abc+c 2的值.

3. 若a 为正整数，则a 4-3a 2+9是质数还是合数？ 给出你的证明。

4.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278

+++n n 是57的倍数.

5.一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称正整数a 为完全平方数.如2864=，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932.求证a 是一个完全平方数.

6.①已知a 、b 、c 分别为三角形的三条边，求证：02222<---bc c b a .