初中数学专题训练--圆--三角形的内切圆

例 如图，△ABC 的内心为I ，外心为O ，且∠BIC=115°，求∠BOC 的度数． 解：∵I 为△ABC 的内心， ∴∠IBC=

21∠ABC ，∠ICB=2

1

∠ACB ． ∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°．

∴∠ABC+∠ACB=130°． ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=50°．

又O 是△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A=100°

说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+

2

1

∠A ；∠BOC=4∠BIC-360°． 例 已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长． 分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解． 解：由勾股定理得：322=-=

AC AB BC

连结OA 、OB 、OC ，设⊙O 的半径为r ，则：

r CA BC AB S ABC )(21++=

△，又BC AC S ABC ⋅=21

△． ∴BC AC r CA BC AB ⋅=++2

1

)(21， ∴14353

4=++⨯=++⋅=

CA BC AB BC AC r ． 答：直角三角形内切圆的半径为1． 说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．

例 （陕西省，2001）如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于D ，交△ABC 的外接圆于点E ．

（1）求证：IE=BE ；

（2）若IE=4，AE=8，求DE 的长． 证明：（1）连结BI ，

∵∠BIE=∠BAI+∠ABI=

21

（∠BAC+∠ABC ）， ∠IBE=∠IBC+∠EBC=21∠ABC+∠EAC=2

1

（∠ABC+∠BAC ），

∴∠BIE=∠IBE

∴IE=BE 解：（2）∵I 是△ABC 的内心，∴∠BAE=∠CAE ， 又∵∠DBE=∠CAE ，

∴∠BAE=∠DBE ，又∵∠E 为公共角， ∴△ABE ∽△BDE ，∴

DE

BE BE AE =，∴DE AE BE 2

⋅= ∴DE AE IE 2

⋅=，∴28

4AE IE DE 2

2===

． 说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B 组第3题的变形与结合；（3

）本题为

A

B

C

D E

I

中档题．

典型例题四

已知：如图，设ABC ∆为∆Rt ，︒=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 与D ，设E 是BC 的中点，连结OD 、OE ，求证：OD DE ⊥

.

证明

连结CD .

AC 为⊙O 的直径，D 在⊙O 上， AB CD ⊥∴，︒=∠90ADC ，

又E 是BC 的中点，︒=∠90BDC ， BE DE CE ==∴， ECD EDC ∠=∠∴.

AC BC ⊥ ，C 是半径的外端点， BC ∴是⊙O 的切线，

A ECD ∠=∠∴ A EDC ∠=∠.

又OC OD = ， ︒=∠+∠90OCD A ， ︒=∠+∠∴90ODC EDC ，

︒=∠+∠=∠∴90ODC EDC ODE . OD DE ⊥∴.

说明：本题证到A EDC ∠=∠时，也可说明DE 是⊙O 的切线，尽而说明OD DE ⊥.

典型例题五

例 已知：如图，在ABC ∆的外接圆中，D 是

的中点，AD 交BC 于点E ，ABC ∠ 的

平分线交AD 于点F .（1）若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并且逐一写出；（2）求证：.2

ED AD FD ⋅=

OCD ODC ∠=∠∴

解 （1）有三组相似三角形：AEC ∆与BED ∆；BDE ∆与ADB ∆；AEC ∆与

ABD ∆.

（2）∵D 是

中点，∴DBC CAD BAD ∠=∠=∠

.,BAD ABF CBF DBC CBF ABF ∠+∠=∠+∠∴∠=∠ 即.DFB DBF ∠=∠

∴.DF DB =

DBE D D DAB DBE ∆∴∠=∠∠=∠,, ∽.::.DB DA DE DB DAB =∴∆

.

,.

2

2ED AD DF DF DB ED AD DB ⋅=∴=⋅=∴

说明：本题考查三角形内心的性质，解题关键是熟练运用三角形内心的性质.易错点是找不到证明DF DB =的解题思路.

典型例题六

例 如图，等腰梯形ABCD 中，cm 10,cm 9,cm 21,//===DA CD AB DC AB .⊙1O 与⊙2O 分别为ABD ∆和BCD ∆的内切圆，它们的半径分别为21,r r ，则

2

1

r r 的值是（ ）

.

A ．

47 B ．38 C ．37 D ．4

9 解 过D 作AB DE ⊥于E ，AB CF ⊥于F .

∵梯形ABCD 为等腰梯形，cm 9,cm 21,//==CD AB DC AB .

).

cm (2

7172118

2121

2 21

2.

17815.15621.8610.62

9

2112222=++⨯⨯⨯=++⨯⨯⨯=

∴=+=∴=-=∴=-=∴=-=

∴BD AD AD DE AB r BD BE DE AE