《函数的基本性质》知识总结大全

数， I 称为 y = f (x ) 的单调_____区间. 如果对于区间 I 内的______两个值 x ， x ，当

⇔ ( x - x ) ⋅ [ f ( x ) - f ( x )] > 0 ⇔ f ( x ) - f ( x ) x - x ∆x

x - x ∆x

x - x < 0 ⇔ f ( x ) 在区间 [a, b ] 上是减函 x - x

，

《函数的基本性质》知识总结大全

沛县第二中学数学组 张驰

1.单调性

函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研 究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义

一般地，设函数 y = f ( x ) 的定义域为 A ，区间 I ⊆ A ．如果对于区间 I 内的______两 个值 x ， x ，当 x < x 时，都有 f ( x ) _____ f ( x ) ，那么 y = f ( x ) 在区间 I 上是单调增函 1 2

1

2

1

2

1 2

x < x 时，都有 f ( x ) _____ f ( x ) ，那么 y = f ( x ) 在区间 I 上是单调减函数， I 称为 1 2 1 2

y = f ( x ) 的单调_____区间.如果函数 y = f ( x ) 在区间 I 上是单调增函数或单调减函数，那 么函数 y = f ( x ) 在区间 I 上具有________.

点评 单调性的等价定义：

① f ( x ) 在区间 M 上是增函数 ⇔ ∀x , x ∈ M , 当 x < x 时，有 f ( x ) - f ( x ) < 0

1 2 1 2 1 2

∆y

1 2 > 0 ⇔ > 0 ；

1 2 1 2 1

2

② f ( x ) 在区间 M 上是减函数 ⇔ ∀x , x ∈ M , 当 x < x 时，有 f ( x ) - f ( x ) > 0

1 2 1 2 1 2

f ( x ) - f ( x ) ∆y

⇔ ( x - x ) ⋅ [ f ( x ) - f ( x )] < 0 ⇔ 1 2 < 0 ⇔ < 0 ；

1 2 1 2 1

2

⑵函数单调性的判定方法

①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题） ⑥结论法等. 注意：

①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设 x ，x ∈ [a ，b ] 且 x ≠ x ，那

1 2 1 2

么 ( x - x ) ⋅ [ f ( x ) - f ( x )] > 0 ⇔ f ( x 1 ) - f ( x 2 )

> 0 ⇔ f ( x ) 在区间[a, b ] 上是增函

1 2 1 2 1

2

f ( x ) - f ( x )

数； ( x - x ) ⋅ [ f ( x ) - f ( x )] < 0 ⇔

1 2 1 2 1 2 1

2

数。

②导数法（选修）：在 f ( x ) 区间 (a ，b ) 内处处可导，若总有 f ' ( x ) > 0 （ f ' ( x ) < 0 ），则

f ( x ) 在区间 (a ，b ) 内为增（减）函数；反之， f ( x ) 在区间 (a ，b ) 内为增（减）函数，且 处处可导，则 f ' ( x ) ≥ 0 （ f ' ( x ) ≤ 0 ）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。

点评 判定函数的单调性一般要将式子 f ( x ) - f ( x ) 进行因式分解、配方、通分、分子 1

2

（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。

提醒 求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“ ”连接； 单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。

⑶与函数单调性有关的一些结论 ①若 f ( x ) 与 g ( x ) 同增（减），则 f ( x ) ＋ g ( x ) 为增（减）函数， f ( g ( x )) 为增函数； ②若 f ( x ) 增，g ( x ) 为减，则 f ( x ) － g ( x ) 为增函数，g ( x ) － f ( x ) 为减函数， f ( g ( x )) 为减函数；

③若函数 y = f ( x ) 在某一范围内恒为正值或恒为负值，则 y = f ( x ) 与 y =

的单调区间上的单调性相反；

1 f ( x )

在相同

．．．． ，

④函数 y = f ( x ) 与函数 y = f ( x ) + k (k ≠ 0) 具有相同的单调性和单调区间；

⑤函数 y = f ( x ) 与函数 y = kf ( x )(k > 0) 具有相同的单调性和单调区间，函数 y = f ( x ) 与函数 y = kf ( x )(k < 0) 具有相同单调区间上的单调性相反。

2.奇偶性

函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于 y 轴成轴 对称，是研究函数图象的结构特点；

⑴函数奇偶性的定义

一般地，设函数 y = f ( x ) 的定义域为 A ．如果对于_____的 x ∈ A ，都有 f (- x ) = _____， 那么函数 y = f ( x ) 是偶函数. 一般地，设函数 y = f ( x ) 的定义域为 A ．如果对于_____的

x ∈ A ，都有 f (- x ) = _____，那么函数 y = f ( x ) 是奇函数. 如果函数 y = f ( x ) 是奇函数 或偶函数，那么函数 y = f ( x ) 具有________.

注意 具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先 判定函数定义域是否关于原点对称。

⑵图象特征

函数 y = f ( x ) 为奇（偶）函数 ⇔ 函数 y = f ( x ) 的图象关于原点（ y 轴）成中心（轴） 对称图形。

注意 定义域含 0 的偶函数图象不一定过原点；定义域含 0 的奇函数图象一定过原点；利 用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。 点评

①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

② f ( x ) 是奇函数 ⇔ f (- x ) = - f ( x ) ⇔ f (- x ) + f ( x ) = 0 ⇔ f (- x ) f ( x )

= -1 .

③ f ( x ) 是偶函数 ⇔ f (- x ) = f ( x ) ⇔ f (- x ) - f ( x ) = 0 ⇔ f (- x ) f ( x )

= 1 .

④奇函数 f ( x ) 在原点有定义，则 f (0) = 0 .

⑤在关于原点对称的单调区间内：

（ⅰ）奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （ⅱ）奇函数有相反的最值（极值），偶函数有相同的最值（极值）。 ⑥ f ( x ) 是偶函数 ⇔ f (| x |) = f ( x ) . ⑶奇偶性的判定方法

若所给函数的解析式较为复杂，应先考虑其定义域并等价变形化简后，再判断其奇偶性. 1 - x 2 如判断函数 f ( x ) =

的奇偶性。判定函数奇偶性方法如下：①定义（等价定义）

| x - 2 | +2

法；②图像法；③结论法等.

点评 定义法判定函数的奇偶性先求定义域，看其是否关于原点对称，若对称，再求 f (- x ) ，接着考察 f (- x ) 与 f ( x ) 的关系，最后得结论.判断函数不具有奇偶性时，可用反 例。

⑷与函数的奇偶性有关的一些结论

①若 f ( x ) 与 g ( x ) 同奇（偶） 则 f ( x ) ± g ( x ) 为奇（偶）函数，f ( x ) g ( x ) 和

偶函数， f ( g ( x )) 为奇（偶）函数；

f ( x )

g ( x )

为

②若 f ( x ) 与 g ( x ) 一奇一偶，则 f ( x ) g ( x ) 和 f ( x ) g ( x )

为奇函数， f ( g ( x )) 为偶函数；

③定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。 ⑸函数按奇偶性分类

①奇函数非偶函数，②偶函数非奇函数，③既是奇函数又是偶函数，④非奇非偶函数。