高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习

第十二讲随机变量及其分布列

课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中

等□优秀

1.离散型随机变量的定义；

2.期望及方差；

3.二项分布及超几何分布.

1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)

2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)

3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)

第一节离散型随机变量及其分布列

【知识及方法】

一．离散型随机变量的定义

1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

①随机变量是一种对应关系； ②实验结果必须及数字对应；

③数字会随着实验结果的变化而变化.

2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．

3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .

4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量

5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来

表达如投掷一枚硬币，0=ξ，

表示正面向上，1=ξ，表示反面向上

（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量

二．离散型随机变量的分布列

1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：

离散型随机变量及连续型随机变量的区别及联系: 离散型随机变量及连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

为离散型随机变量

用等式可表示为P (X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列．

2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11=∑=n

i i p ．

三．两个特殊分布

1.两点分布),1(~P B X

若随机变量X 并称p =P (X =1)

为成功概率．

2.超几何分布),,(~n M N H X

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

P (X =k )=n

N

k n M

N k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.

【例题及变式】 题型一 随机变量 【例1】判断正误：

(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )

(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变

量．( )

(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．( )

(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．( )

【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；

(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；

(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；

(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．

【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；

(2)标准大气压下，水沸腾的温度；

(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；

(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．

【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

(1)某座大桥一天经过的车辆数X；

(2)某超市5月份每天的销售额；

(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径及规定的外径尺寸之差ξ；

(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.

【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有________．(填序号)

(1)在2 017张已编号的卡片(从1号到2 017号)中任取1张，被取出的编号数为X；

(2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；

(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从广州至武

汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；

(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.

题型二 随机变量的可能取值及试验结果

【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，则X 的所有可能取值有哪些？

【例2】（2017春•清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ=|b -c |，求随机变量ξ的取值情况．

【变式】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X 的所有可能.

题型三 分布列及其性质的应用

【例1】设随机变量X 的分布列为P (X =i )=i a

(i =1,2,3,4)，求：

(1)P (X =1或X =2)； (2))2

72

1(<

【例2】（2017春•文昌月考）设随机变量X 的分布列为,5,4,3,2,1,25

)(==

=i k

i X P 则)2

5

21(<