概率考研试题

A1={掷第一次出现正面}， A2={掷第二次出现正面}，
A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现二次}，则
(A) A1, A2 , A3相互独立
(B) A2 , A3，A4相互独立
(C) A1, A2 , A3两两独立
(D) A2 , A3，A4两两独立
9.设随机变量X的概率密度为f
(x)
试求 (1) X和Y的联合概率分布; (2) D(X+Y)
15. 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数 分布，平均无故障工作的时间(EX)为5小时. 设备定时 开机, 出现故障时自动关机, 而在无故障的情况下工 作2小时便关机. 试求该设备每次开机无故障工作的 时间Y的分布函数F (y).
16. 设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2, 方差分别 为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式 P{| X+Y |6}______.
(3) P{ Yi +Yn 0 }.
26. 设随机变量X与Y相互独立, 且均服从区间[0, 3]
上的均匀分布, 则P{max(X, Y ) 1}=______.
27. 设总体X的概率密度 f (x) 1 e x ( x ),
2
X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本,
13.设随机变量X与Y都服从标准正态分布， 则
(A) X+Y 服从正态分布
(B) X2+Y2服从2分布
(C) X2和Y2都服从2分布
(D)
X2 Y2
服从F分布
14. 设随机变量U在区间[2，2]上服从均匀分布，随 机变量
1 X 1
U 1 U 1
Y

1 1
U 1 U 1
)
,
0 x, x 1,
0,
其它.
其中参数 (0< <1)未知,

X1, X2, , X n 是来自总体X的简单随机样本,
X 是样本均值
(I) 求参数 的矩估计量 ˆ
(II) 判断4X 2 是否为 2 的无偏估计量, 并说明理由.
35.在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值 小于 1 的概率为____________．
2
36. 设随机变量X与Y独立分布, 且X的概率分布为
X 1 2
P
2
1
3
3
记 U maxX ,Y, V minX ,Y
(I) 求(U, V)的概率分布; (II) 求(U, V)的协方差Cov(U, V).
0
0 x 1 1 x 2 其它
其中是未知参数(0<<1). X1，X2，X3，…，Xn为来自
总体的简单随机样本, 记N为样本值X1，X2，X3，…，Xn
中小于1的个数. 求
(1) 的矩估计
(2) 的最大似然估计
31. 设A , B为两个随机事件, 且P(B)>0, P(A|B)=1,则有____.
(A)

lim
P

n
n i 1
Xi
n n


x



x


(B) lim

P

n i 1
Xi

n


x


x
n
n



(C)
lim
P


n i 1
Xi

n

x

x
n
n



(D)
lim

P

n i 1
Xi



x

x
n n



24. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
f
(x,
y)

1 0
0 x 1, 0 y 2x 其它
求 (1) (X, Y)的边缘概率密度fX (x), fY (y). (2) Z=2XY的概率密度fZ (z).
6. 设随机变量X和Y的相关系数为0.9, 若Z=X0.4, 则Y与Z的相关系数为_____.
7. 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，X3，…， Xn为来自总体X的简单随机样本， 则当n时，
Yn

1 n
n i 1
X
2 i
依概率收敛于______.
8. 将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件:
XY 0
1
0 0.4 a
1
b 0.1
若随机事件{ X =0}与{ X+Y =1}相互独立，则
(A) a=0.2, b=0.3 (C) a=0.3, b=0.2
(B) a=0.1, b=0.4 (D) a=0.4, b=0.1
23.设X1，X2，…，Xn，…，为独立同分布的随机变量序列，
且均服从参数为(>1)的指数分布，记 (x)是标准正态分布函数，则
f
(
x)


1 4
1 x 0 0 x2

0
其他
令Y=X2, F(x, y)为二维随机变量(X, Y) 的分布函数.
求: (1) Y的概率密度fY(y). (2) Cov (X, Y)
(3)
F


1 2
,
4


30. 设总体X的概率密度为 f (x； ) 1
(3)
P Y

1 2
X

1
2

25.设X1，X2，…，Xn(n>2)为独立同分布的随机变量， 且均服从N（0, 1）, 记
X

1 n
n i 1
Xi
Yi X i X i=1, 2, …n.
求: (1) Yi 的方差 DYi , i=1, 2,…n. (2) Yi 与Yn 的协方差Cov(Yi , Yn ).
(A) 1
(B) 0
1 (C) 2
(D) 1
19. 生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的. 设每箱平均重50千克, 标准差为5千克, 若用最大载重 量为5吨的汽车运输, 试利用中心极限定理说明每辆车 最多可以装多少箱, 才能保障不超载的概率大于0.977.
((2)= 0.977，其中 (x)是标准正态分布函数).
17.设总体X服从正态分布N(0，22), X1，X2，…，X15为 来自总体X的简单随机样本，则随机变量
Y X12 X120
2 X121

X
2 15
服从______分布, 参数为______.
18. 将一枚硬币重复掷n次, 以X和Y分别表示正面 向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于
“概率统计”历年考研试题
1.设随机变量X服从参数为的指数分布，
则P{X > DX }=______.
2.设总体X服从N(1，2),总体Y服从N(2，2)，
X1，X2，X3，…， X n1 和Y1， Y2，Y3，…，Yn2
分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则
n1
其样本方差为S2, 则E(S2)=_______.
28.设随机变量X服从N(1，12), Y 服从N(2，22)， 且P{|X 1|<1} > P{|Y 2|<1}, 则
(A) 1< 2
(B) 1>2
(C) 1< 2
(D) 1>2
1

2
29.设随机变量X的概率密度为
(A) P(AB)> P(A)
(B) P(AB)> P(B)
(C) P(AB)= P(A)
(D) P(AB)= P(B)
32. 设随机变量(X, Y)的概率分布为
X Y 1
0
1
1 a
0 0.2
0 0.1 b 0.2
1
0 0.1 c
其中a, b, c 为常数, 且X的数学期望E(X)= 0.2, P{Y 0|X 0 }=0.5 , 记Z=X+Y. 求
37.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
f
(x,
y)

2

x 0,
y,
0 x 1,0 y 1, 其它.
(I) 求 PX 2Y
(II) 求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度 fZ (z)
38. 设总体X的概率密度为

1, 2
f
(
x；
)


1 2(1


1

3
3
x2
,
0
x 1, 8
其它
F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F (X) 的分布函数.
10. 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
1
X～

0.3
2
0.7

, 而Y的概率密度为f (y)，
求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
11.设随机变量X与Y的联合概率分布为
(1) a, b, c 的值.
(2) Z的概率分布.
(3) P{X=Z}
33.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的 概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标 的概率为
(A) 3 p(1 p)2 (B) 6 p(1 p)2
(C) 3 p2 (1 p)2 (D) 6 p2 (1 p)2
20. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G={(x, y) |1 x 3, 1 y 3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|XY|概率密度p(u).
21. 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…， X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=_____.
22. 二维随机变量（X, Y）的概率分布是
(C) u1
2
(D) u1
4. 设A和B是两个随机事件,且P(A)= 1 ,
1
P(B|A)=
P(A|B)=
1 2
,
令
4
3
X

1 0
A发生 A不发生
Y

1 0
B发生 B不发生
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求 (1) 二维随机变量（X, Y）的概率分布．
(2) X 与Y 的相关系数XY (3) Z=X2+Y2的概率分布．
34.设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不 相关， fX (x), fY (y) 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在
Ｙ＝y的条件下，Ｘ的条件密度 fX|Y (x | y) 为
(A) fX (x)
(B) fY ( y)
(C ) fX (x) fY ( y) (D)
fX (x) fY ( y)
5.设随机变量X的分布函数为
F
(x;
,

)

1



x


,
x
0
其它
其中参数>0, >1. 设X1, X2, X3, … , Xn为来自总体的简
单随机样本
(1) 当=1时， 求未知参数的矩估计量 (2) 当=1时，求未知参数的极大似然估计量 (3) 当=2时，求未知参数的极大似然估计量
2
n2
2
Xi X Yj Y
E i1
j 1
n1 n2 2

_______

3.设随机变量X服从正态分布N(0，1), 对给定的(0, 1)，
数u满足P{X> u}=，若P{| X |<x}=，则x等于
(A) u
2
(B) u1 2
X Y 1
0
1
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
则X2和Y2的协方差cov(X2, Y2)=______.
12.设总体X的概率密度为
f

x;


e x
0
x x
X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，
则未知参数 的矩估计量为______.