2.4 随机变量的数学期望及性质

例11、20个互不相识的人在某建筑物底层进入同一部电梯， 楼上共有6层。假若每个乘客在6层楼中任何一层走出电梯的可能 性相同，且电梯中乘客只出不进，求直到电梯中乘客走空时电梯 需停次数的平均值。 解 令η为直到电梯中乘客走空时电梯需停次数。
0, 第i层楼无人走出电梯 i ，i 1, 2, 1, 第i层楼有人走出电梯 ,6， 则 1 2
10
解： E Eg g k p k k 0
k k 0 g k C10 p k q10 k 10
k 2 0.9 C 0.1 0.9 10 k 2 C10 0.1k 0.910k 10 1 10 1 9 10
4.1112086
E (1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环),
E ( 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
故甲射手的技术比较好.
一、数学期望的定义
， ，， , 定义 2.6 设有离散型随机变量 ,分布列为 p xk , k 01
若 绝对收敛 , 即 x p x n0 xn p xn , n n 0 n
则称其为 的数学期望（Mathematical Expectation），记为 E ，即
E n 0 xn p xn 。

注１随机变量的数学期望可能存在，也可能不存在。
第二章 离散型随机变量
§2.4 数学期望及性质 引例 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环数分别为 1 , 2 .
E a b aE b, a, b R。
例6、若 例7、若
b 50,0.02 ，求E 1 。

。 p 5 ，求 E 2 1
2, 2 , 求 E 。 10, 2
例8、已知 U 10,0.1 , g
定理 2.2 设有离散型随机矢量 , ,联合分布列为 p xn , ym , n, m 0,
若函数 z x, y 连续，且

n 0
m0
xn , ym p xn , ym ,
则 , 的数学期望存在，且有
例9、若
， B 10,0.1
p 1，求 E 2 。
例10、若在某电路中，电流I和电阻R是相互独立的随机变
量，分别服从参数为0.5和2的Poisson分布，求电压V=IR的
数学期望。
解
E I 0.5, E R 2,
且I和R是相互独立，则
E V E IR E I E R 0.5 2 1。
35/120
7/15
0
7/15
0
1/15
7 7 1 9 1 2 , 15 15 15 15 1 21 63 35 1 2 3 2.1 120 120 120 120
E =0
二、数学期望的性质
， ，， , 定理 2.1 设有离散型随机变量 ,分布列为 p xk , k 01
E n 0 m0 xn , ym p xn , ym

推论2 若 E 和E 皆存在，则 E a b aE bE , a, b R。
推论3 若 和 相互独立，且数学期望皆存在，则 E E E 。
20
6
5 且E i p i 1 1 p i 0 1 , i 1,2, ,6 6 E E 1 2 6 E 1 E 2 E 6
5 20 6 1 6
例5、10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件三级品，从中任取 出3件。和 分别表示取出的一级品和二级品件数，求 E 和E 。
解
η
ξ
0
0
1
0Biblioteka Baidu
2
1/120
p.m
1/120
0 1
2 3
pn.
E =0
0
21/120
14/120
42/120
7/120
0
21/120
63/120 35/120
注 2 随机变量的数学期望若存在，必唯一。 注 3 随机变量的数学期望若存在，是一个刻划随机变量取值平均的实数。
例1、若 例2、若
例3、若
b 1, p ，求E 。 b n, p ，求E 。
p ，求 E 。
例4、若 服从几何分布，求 E 。
若函数 y x 连续，且

n 0
xn p xn ,
则 的数学期望存在，且有
E E n 0 xn p xn 。

推论1 若随机变量 的数学期望存在，则