三角形内、外角角平分线相交成的角
初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD 的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A ．可以直接得：∠=×96°=3°．点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC 的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目． 例４ (2003年山东省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB －∠ACB=90°－×90°=45°点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
说题三角形角平分线与内外角之间的关系
说题教学设计姓名：杨松题目：立足教材，拓展探究新人教版数学八年级上册P29页拓广探索第11题，一、审题分析：1.题目背景：（1）教材背景：本题源于新人教版《数学》八年级下册教材P29页复习题第11题，是在学习了角平分线的定义和《三角形》的全章内容的基础上出现的。
（2）知识背景：涉及的知识点包括， 角平分线的定义，三角形的内角和定理。
如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE,CF 相交于点G.求证：(1)∠BGC=180∘−21(∠ABC+∠ACB)； (2)∠BGC=90∘+ 21∠A 。
（3）方法背景： 根据条件，选择证明线段相等的方法，学会找出全等三角形。
根据条件，选择证明角度相等的方法，学会根据角平分线的定义和三角形的内角和定理转换角度，化散为整，懂得逆推的思维，会运用三角形的内角和去解决问题。
(4)思想背景： “由特殊到一般”、“由复杂到简单”的数学思想，以及“逆推”、“转化”、“化归”的数学思维。
2.学情分析八年级的学生对图形已经有了一定的认知和感受，也有了一定的推理、证明和表达的能力。
此前学生已经学习了《角平分线》、《与三角形有关的角》，掌握了证明角度相等的一般方法，等量代换的转换思想，角平分线的定义，三角形内角和定理等。
但是对于在复杂图形中能灵活运用角平分线的性质和三角形角度关系的证明上还有待加强。
3.题目重难点重点：引导学生发现题目中与三角形内角和相关的隐含条件，联系角平分线的定义证明角的等量关系，再转换成角度之间的等量关系。
难点：把联系不明显的角转化成同一个三角形中的角去解决问题。
4.教材背景教材在此前练习中已经出现过相类似的题目，如人教版第17页习题第8、9题，都是关于三角形的内角、外角，角平分线所成的夹角的题型，为此题的证明做了经验准备。
二、解题过程：1. 题目剖析：在学生认真审题的基础上，通过问题串帮助学生理解已知条件，并挖掘隐含条件，突破难点，形成解题思路：（1）已知条件有哪些？（2）角平分线的性质是什么？（3）三角形内角和定理是什么？2. 答题过程：要证明∠BGC 与∠ABC+∠ACB 的关系，我们可以使用逆推的思想方法，首先使用三角形内角和定理推导出∠BGC=180∘−21(∠GBC+∠GCB)，然后继续往前逆推，思考与∠GBC 和∠GCB 有关的条件是什么，从而根据角平分线的性质得到∠GBC=21∠ABC,∠GCB=21∠ACB ，最后使用等量代换把它们代入∠BGC=180∘−21(∠GBC+∠GCB)，通过整理得到∠BGC=180∘−21(∠ABC+∠ACB)。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
三角形角平分线的结论及应用
浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。
本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。
关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。
（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。
（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。
在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。
下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。
结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。
试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。
∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。
1∠Ａ。
则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。
角平分线夹角
本讲我们主要分享“三类角平分线模型”的相关知识，主要包括：①三角形的两个内角的角平分线相交；②三角形的两个外角的角平分线相交；③三角形一个内角及一个外角的角平分线相交；而这些三角形的角平分线的经典考察题型，必须让学生掌握这些证明过程，同时至于其他未涉及内容我们将会在后续更新出来，也请大家持续关注~针对于文章中有什么问题也希望大家可以留言、评论指教交流~类型一推理方法：类型二推理方法：类型三推理方法：那么针对于以上的三类关于三角形的角平分线的相关模型结论我们又如何快速记忆呢？这个时候我们可以观察一下：①类型一：三角形内角的角平分线；②类型二：三角形外角的角平分线；③类型三：三角形一内一外的角平分线；紧接着我们联系三种模型的相关结论可以看出，不管是内外角的角平分线相交所形成的角（∠P），它的角度结论有一个一半的∠A，所以我们可以采用（内加外减，不内不外，不加不减）口诀的进行快速记忆.口诀含义：内加：如果是三角形的两个内角的角平分线相交所形成的的角度就是“90°+”一半的∠A；外减：如果是三角形的两个外角的角平分线相交所形成的的角度就是“90° -”一半的∠A；不内不外，不加不减：如果既不全是内角，也不全是外角，而是一个内角一个外角的角平分线相交，则既不“+”也不“-”90°，直接等于一半的∠A.1.内角平分线模型如图，△ABC中，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？【公式应用】1.如图，在△ABC中，点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，若∠BAC=80°，则∠BOC=_________.若∠BOC=110°，则∠A=_________.2.如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠D1BC 与∠D1CB的角平分线交于点D2，……以此类推∠D2BC与∠D2CB的角平分线交于点D3，则∠BD3C的度数是_________.2.外角平分线模型如图，△ABC中，若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？【公式应用】1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC=120°，则∠D=_________度．3.内角外角平分线模型如图，△ABC中，若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？【公式应用】1.如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD 的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为_________度．2.△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．CM⊥OC，交BO延长线于点M．若∠A=70°，则∠M=_________度．3.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO 的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（4）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB 的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）．（5）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_________度．这是角平分线的三个公式，记之前可以自己试着推导一遍，这样更容易记牢。
三角形内角角平分线和外角角平分线的定义
三角形内角角平分线和外角角平分线的定义一、三角形内角角平分线的定义1. 什么是三角形内角角平分线？三角形内角角平分线是指从一个三角形的一个内角的顶点出发，经过该内角的对边的中点并且与对边相交于对边的中点的线段。
2. 三角形内角角平分线的性质a. 三角形内角角平分线把对应内角分成两个等角，而且它还把对应的对边分成两个相等的线段。
b. 三角形内角角平分线的交点称为内心，内角角平分线也称之为内心角平分线。
c. 三角形的三条内角角平分线相交于同一个点，即三角形的内心。
3. 三角形内角角平分线的作用三角形内角角平分线是解决三角形内部各类角度相关问题的基础，通过利用三角形内角角平分线的性质，可以有效地求解相关的角度大小，并且可以推导出其他的重要性质和定理。
二、三角形外角角平分线的定义1. 什么是三角形外角角平分线？三角形外角角平分线是指三角形的一个外角的顶点出发，经过它的对边的中点并且与其它两条边相交于对应边的中点的线段。
2. 三角形外角角平分线的性质a. 三角形外角角平分线把对应外角分成两个等角，而且它还把对应的对边分成两个相等的线段。
b. 三角形外角角平分线的交点称为外心，外角角平分线也称之为外心角平分线。
c. 三角形的三条外角角平分线相交于同一个点，即三角形的外心。
3. 三角形外角角平分线的作用三角形外角角平分线同样也是解决三角形外部各类角度相关问题的基础，通过利用三角形外角角平分线的性质，可以有效地求解相关的角度大小，并且可以推导出其他的重要性质和定理。
总结通过上面的讨论，我们可以得出结论：三角形内角角平分线和外角角平分线是解决三角形问题的重要工具。
在解决三角形问题的时候，我们可以利用它们的性质，通过角度的分割和等分的方法，来求解出我们需要的角度大小。
三角形内角角平分线的交点叫内心，而三角形外角角平分线的交点叫外心，它们分别具有特定的性质和功能。
在学习和研究三角形的性质和相关问题的时候，我们需要深入理解和掌握三角形内角角平分线和外角角平分线的定义、性质和应用。
两角平分线相交的角与角的关系
两角平分线相交的角与角的关系一、引言在几何学中，角平分线是一个具有独特性质的元素。
当我们考虑两个角的平分线相交时，会产生新的角度关系，这些关系在解决几何问题、深入理解几何图形的性质以及拓展几何思维等方面都有着重要的意义。
通过对两角平分线相交的角与原有角之间关系的研究，我们可以揭示出一系列隐藏在几何图形背后的规律。
二、基础知识回顾（一）角平分线的定义角平分线是将一个角分成两个相等部分的射线。
（二）三角形内角和定理三角形的内角和为180°。
（三）外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三、两角平分线相交在三角形中的情况（一）三角形两内角平分线相交在三角形ABC 中，设∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点I。
根据三角形内角和定理，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
因为BI 和CI 分别平分∠ABC 和∠ACB，所以∠IBC = 1/2∠ABC，∠ICB = 1/2∠ACB。
在三角形IBC 中，∠BIC = 180°- (∠IBC + ∠ICB) = 180°- 1/2 (∠ABC + ∠ACB)。
将∠ABC + ∠ACB = 180°-∠A 代入上式，可得∠BIC = 90°+ 1/2∠A。
实例分析给出一些具体的三角形，如一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，分别计算出两内角平分线相交形成的角的度数，通过实际计算验证上述关系。
（二）三角形一个内角与一个外角平分线相交设三角形ABC 中，∠ABC 的外角平分线与∠ACB 的内角平分线交于点D。
设∠ABC 的外角为∠ABE，那么∠ABE = 180°-∠ABC。
因为BD 平分∠ABE，所以∠DBC = 1/2∠ABE = 90°- 1/2∠ABC。
又因为CD 平分∠ACB，所以∠DCB = 1/2∠ACB。
在三角形BCD 中，∠BDC = 180°- (∠DBC + ∠DCB) = 180°-(90°- 1/2∠ABC + 1/2∠ACB) = 1/2∠A。
三角形三个角平分线的交点的定理
题目：三角形三个角平分线的交点的定理在数学中，三角形是一个基础且重要的图形，而三角形内部的一些点和线也有着很多有趣的性质和定理。
其中，三角形的三个角平分线的交点的定理就是其中之一。
在本文中，我们将会深入探讨这个定理，并从不同的角度进行全面的评估和分析。
1. 定理概述我们来看看三角形三个角平分线的交点的定理是什么。
这个定理指出，三角形的三个内角平分线的交点构成一个等腰三角形，并且该等腰三角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。
这个定理在三角形的平面几何中有着重要的地位，也是许多相关问题的重要基础。
2. 定理证明接下来，我们将着重从证明的角度来探讨这个定理。
我们可以利用角平分线的定义和性质，结合几何作图的方法，来逐步证明三个角平分线的交点构成一个等腰三角形。
我们可以借助三角形内接角和外接角的关系，来证明该等腰三角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。
通过这样的证明过程，我们不仅能够理解定理的几何意义，同时也能够加深对相关几何知识的理解和掌握。
3. 定理应用定理的应用是评价其重要性的重要标准之一。
在实际的数学问题和解题过程中，三角形三个角平分线的交点的定理也经常被运用到各种证明和推论中。
在证明三角形内部一些角度的关系时，可以利用该定理来简化证明过程，减少求解步骤。
又在圆心几何中，该定理也是解决相关问题的常用工具之一。
我们可以说，定理的应用不仅体现了其在数学理论中的地位，同时也反映了其在实际问题中的实用性。
4. 个人观点我想共享一下我对这个定理的个人观点和理解。
在我看来，这个定理不仅是一个理论性的结果，更是一种几何思维的体现。
通过对这个定理的研究和应用，我们可以培养自己的几何直觉和推理能力，从而更好地理解和解决复杂的几何问题。
定理的证明过程也展现了数学推理和逻辑推演的魅力，使我们更加深入地理解数学的美丽和深刻。
总结回顾在本文中，我们全面探讨了三角形三个角平分线的交点的定理，从定理的概述、证明、应用，到个人观点和理解，多角度地展现了这个定理的重要性和价值。
初中数学三角形双角平分线模型
BB E CBA 双角平分线模型【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；∠BDC=90°+21∠A ∠BDC=90°-21∠A ∠BDC=21∠A 【分析】三个结论的证明 例1、 如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。
（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ） ＝180°－21（180°－∠A ） ＝180°－21×180°＋21∠A ＝90°＋21∠A （方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
∵∠BDE 是△ABD 的外角∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC 同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB 又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB ＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ） ＝∠BAC+21（180°－∠BAC ） ＝90°＋21∠BAC 例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A 。
解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE ∠BCD ＝21∠BCF 又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180°在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF ） ＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ） ＝180°－21（∠A ＋180°） ＝90°－21∠A 【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。
三角形中角平分线形成的角的三个小结论
三角形中角平分线形成的角的三个小结论湖北省黄石市下陆中学802班成昌力（14岁）指导教师：陈勇学习三角形角平分线的知识时,我发现了三个有趣的结论，让大家一起来看看吧！例1 如图1，已知△ABC的∠B和∠C的平分线BD、CE相交于点O，求证：∠BOC= 90°+∠A。
解：∵BD平分∠ABC∴∠ABC=2∠ABD=2∠DBC同理：∠ACB=2∠ACE=2∠ECB.在△BOC中，∠BOC+∠DBC+∠ECB= 180°，∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)∵在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠ACB= 180°,∴∠ABC+∠ACB =180°-∠A∴2∠DBC+2∠ECB =180°-∠A∴∠DBC+∠ECB =90°-∠A∴∠BOC=180°-(90°-∠A)即∠BOC= 90°+∠A。
结论1：在一个三角形中，任意两个内角的角平分线相交形成的钝角等于90°加上第三个角的一半。
例2 如图2，已知BO平分∠EBC，CO平分∠FCB，BO、CO相交于点O，探究∠BOC与∠A的关系。
解：∵BO平分∠EBC∴∠EBC=2∠CBO=2∠EBO同理：∠FCB=2∠BCO=2∠FCO又∵∠ABC+∠EBC=180°∴∠ABC=180°-∠EBC=180°-2∠CBO同理：∠ACB=180°-∠FCB=180°-2∠BCO∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A+180°-2∠CBO+180°-2∠BCO =180°∴∠CBO+∠BCO= 90°+∠A又∠BOC+∠CBO+∠BCO =180°∴∠BOC =180°-(∠CBO+∠BCO)=180°-(90°+∠A)=90°-∠A结论2：三角形两个外角的角平分线相交形成的角等于90°减去第三个外角对应的内角的一半。
高一-三角形内角和外角平分线定理
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
F
CD PAB，AD PBC
A
B
DE EF（平行于三角形一边的直线截其他两边，
AE EB 所得的对应线段成比例）
同理可得 : EF DF
EB DC
DE DF AE DC
例2：如图,
在VABC中，E为中线AD上的一点，DE AE
1 2
, 连结BE,
延长BE交AC于点F.求证 : AF=CF
DH DH AF CF
AF CF
例3 如图，已知：AB PCD,AC,BD交于O,OE PAB交BC于E.求证：
11 1 AB DC OE
证明：Q OE P AB
OE CE K K (1) AB BC
Q OE PDC
OE BE K K (2) DC BC
（1）（2）得：OE OE CE BE BC 1 AB DC BC BC BC
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
D在AB边上,且
三角形内角和外角平分线定理
直角三角形中的比例（射影定理） 直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
D
B
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则： CD 2 = AD DB; AC 2 = AD AB; BC 2 = BD AB
1.在 ABC中,AD是∠ABC的平分线，AB=5cm，
35 AC=4cm，BC=7cm，则BD=_______ 9
证明： 证明：Q OE AB
OE CE ∴ = KK (1) AB BC
Q OE DC
OE BE ∴ = KK (2) DC BC
OE OE CE BE BC （）（2）得： + 1 + = + = =1 AB DC BC BC BC 1 1 1 ∴ + = AB CD OE
三角形内角平分线定理： 三角形内角平分线定理： A C
S
S ∴ S
DAC
1 1 = CD h = DA AC sin ∠DAC 2 2
BD h AB AD sin ∠BAD = = DC h AC AD sin ∠DAC
ABD DAC
A
Q AD为∠BAC的平分线 ∴∠BAC = ∠DAC
AB BD ∴ = AC DC
B D
C
证明： 证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE ∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
审稿： 审稿：江苏省镇江教研室
黄厚忠 庄志红
本节内容是关于几何中的一些比例关系， 本节内容是关于几何中的一些比例关系 ， 这几 节内容现在在初中课本中已“ 淡化” 节内容现在在初中课本中已 “ 淡化 ” ， 但是这几个 结论在高中的“ 立体几何” 平面解析几何” 结论在高中的 “ 立体几何 ” 和 “ 平面解析几何 ” 中 有时会用到.因此 在本节中首先把这几个定理内容介 有时会用到 因此,在本节中首先把这几个定理内容介 因此 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目 其 绍给同学们 然后利用这三个定理来解决一些题目.其 然后利用这三个定理来解决一些题目 中对于“ 平行线分线段成比例” 中对于 “ 平行线分线段成比例 ” 介绍几条稍有难度 的题目， 三角形内外角平分线性质定理” 的题目 ， 而 “ 三角形内外角平分线性质定理 ” 和 直角三角形中的比例” 的题目直接围绕定理展开， “ 直角三角形中的比例 ” 的题目直接围绕定理展开 ， 难度不大. 难度不大
中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(二)非全等类
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）4231AFCB4321DAA．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠ABC；(1)求证：∠AOC＝90°＋12(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．∠MK=ML，角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；∠A(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。
三角形内外角平分线定理
三角形内外角平分线定理【三角形内外角平分线定理】是指在一个三角形中，如果一条直线既是一内角的角平分线，又是另外一个外角的角平分线，那么它将平分这个三角形的第三个内角。
这个定理在解决一些与三角形相关的几何问题时非常有用。
通过运用该定理，我们能够更深入地理解三角形的内外角关系，拓展我们对三角形性质的认识。
让我们来详细解释一下三角形内外角平分线定理的几何意义。
假设我们有一个三角形ABC，其中角A是一个内角，角D是一个外角，线段DE是角A的内角平分线，同时也是角D的外角平分线。
根据这个定理，我们可以得出结论：线段DE将平分角B的度数。
这意味着角BED和角CEA的度数相等。
那么，如何证明三角形内外角平分线定理呢？我们可以运用一些基本的几何知识和性质来推导。
我们知道在三角形ABC中，三个内角的和为180度。
假设角A的度数为x，角BED和角CEA的度数都设为y。
根据内角的性质，我们可以得到以下等式：x + y + (180 - x) = 180x + y = x + 180 - xy = 180从上述推导中可以看出，我们无法得出具体的角度度数。
在具体问题中，我们可以将该定理与其他定理、关系和性质结合使用，以解决更复杂的问题。
三角形内外角平分线定理不仅具有几何意义，还深刻影响着我们对数学抽象概念的理解。
这个定理揭示了三角形内外角的平分线之间的关系，通过思考和探索，我们可以发现更多有趣且深入的现象。
通过应用这个定理，我们能够更好地解决与三角形相关的问题。
总结来说，三角形内外角平分线定理是一个重要的几何性质。
它揭示了三角形内外角平分线之间的关系，并为我们解决与三角形相关的问题提供了有力的工具。
在解决问题时，我们可以从简单的情况出发，逐步深入，灵活运用不同的原理和方法。
通过不断学习和思考，我们能够提高对三角形性质的理解和运用能力。
对于我个人而言，三角形内外角平分线定理是几何学中一条重要的定理。
它不仅仅是数学知识的一部分，更是一种思维方式和解决问题的工具。
初中图形模型16 三角形内外角平分线的交角
专题16 三角形内外角平分线的交角一、填空题1．如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分△ABC ，△ACB ，交于O ，CE 为外角△ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论△122∠=∠，△32BOC ∠=∠，△901BOC ∠=︒+∠，△902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】△△【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到△1＝2△2，△BOC ＝90°＋12△1，△BOC ＝90°＋△2，再分析判断．【详解】△CE 为外角△ACD 的平分线，BE 平分△ABC ，△△DCE ＝12△ACD ，△DBE ＝12△ABC ， 又△△DCE 是△BCE 的外角，△△2＝△DCE−△DBE ＝12（△ACD−△ABC ）＝12△1， 故△正确；△BO ，CO 分别平分△ABC ，△ACB ，△△OBC ＝12ABC ，△OCB ＝12△ACB ， △△BOC ＝180°−（△OBC ＋△OCB ）＝180°−12（△ABC ＋△ACB ） ＝180°−12（180°−△1） ＝90°＋12△1， 故△、△错误；△OC 平分△ACB ，CE 平分△ACD ，△△ACO ＝12△ACB ，△ACE ＝12△ACD ， △△OCE ＝12（△ACB ＋△ACD ）＝12×180°＝90°， △△BOC 是△COE 的外角，△△BOC ＝△OCE ＋△2＝90°＋△2，故△正确；故答案为：△△．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．2．如图，在△ABC 中，A 70∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么BDC ∠＝_________ 度．【答案】125【分析】先利用三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，进而可求DBC DCB ∠+∠的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．【详解】70A ∠=︒ ，180110ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒ ．△BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠ ，1()552DBC DCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 180()125BDC DBC DCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：125．【点睛】 本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．3．（2018育才单元考） 如图，在△ABC 中，ABC ∠和ACD ∠的角平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和A CD 1∠的角平分线交于点A 2，得A 2∠，……，1n A BC -∠和n A CD 1-∠的角平分线交于点n A ，得n A ∠ （1）若80A ∠=︒，则1A ∠=_______，2∠=A ________，3∠=A ________ （2）若A m ∠=︒，则2015∠=A ________．【答案】40° 20° 10° 20152m ⎛⎫︒⎪⎝⎭【分析】 （1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证△A 1=12△A ，进而可求△A 1，同理易证△A 2=12△A 1，△A 3=12△A 2，进而可求△A 2和△A 3； （2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证△A 1=12△A ，进而可求△A 1，同理易证△A 2=12△A 1，△A 3=12△A 2，…，以此类推可知△A 2015即可求得． 【详解】解：（1）△△A=△ACD －△ABC ，△A 1=△A 1CD －△A 1BC△ABC ∠和ACD ∠的角平分线交于点1A ，80A ∠=︒△△A 1CD=12△ACD ，△A 1BC=12△ABC △△A 1=△A 1CD －△A 1BC =12△ACD －12△ABC =12（△ACD －△ABC ） =12△A =40°。