清华大学贾仲孝老师高等数值分析考试资料
清华大学高等数值分析(李津)所有作业答案合集
20130917题目求证：在矩阵的LU 分解中，111n n Tn ij i j j i j L I e e α-==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑证明：在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。
对矩阵A 进行LU 分解，()()()()()1111111L M n M M M n ---=-=∙∙-………… ，其中()1n Tn ij i j i j M j I e e α=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。
()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到，通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n Tn ij i j i j I e e α=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑。
故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∑上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次向下乘法叠加的初等变换。
由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故11nn Tn ij i j j i j L I e e α==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑。
数学证明：1nTi j i ji j ee α=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑具有,000n j jA -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和1,1000n j n j B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭ 的形式，且有+1,-11,10000=000n j j n j n j AB --+-+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 而11n n T ij i j j k i j e e α-==+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑具有1,1000n k n k B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭的形式，因此：1311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T Tk n ik i kk k i k e I e e α--===+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑#20130924题目一问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上三角矩阵，为什么？解：不能用逐次householder 相似变换变A 为上三角矩阵，原因如下：A 记作：()12=,,n A a a a ……， ，存在householder 阵1H s.t. 1111H a e α= ，则()()()111111111111111111111,,,0T Th H AH H a A H e H A H e H A H h H A H ααα⎛⎫'''=== ⎪⎪'⎝⎭⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭11H A H ''第一列的元素不能保证为1e 的倍数，故无法通过householder 变换实现上三角化。
清华大学贾仲孝老师(贾哥)高等数值分析证明题汇总
又因为A可对角化， A= -1 则p(A)=p( ) -1 则 rk
n
pPk ,p (0)1
min
p( ) -1r0
取r0 i xi Xy, 其中y =(1, 2 , 3 k-1, k ,0,0 0,0)T
i 1
则 rk
pPk ,p (0)1
i 2
n
i 2 i 2 k 1 (vk , Avk ) i 1 1 1 n 1 2 2k (vk , vk ) i i
i 1
n
1212 k 1 2 2 2 2 k 1 i 2 i 2 k 1
2 2k 1 1
又因为A可对角化， A= -1 则p(A)=p( ) -1 则 rk
pPk , p (0)1
min
p( ) -1r0 ( ) r0
pPk ,p (0) 1 1 i n
pPk , p (0)1
min
p( )
即 rk ( ) r0 可取pk (t )
n
2 2 i 2 i 2 k
2 2k i 3
i 3 n
1
2 2 k ) 2 …… 1 1 12 2 2 ( 2 ) 2 k …… 1 2 2 ( 2 ) 2 k 2 2 2 ( 2 ) 2 k 1 1 1 =o ( 2 ) 2 k 2 1 1 121 2 2 (
证毕 15． 叙述幂法 解，见讲义 P80。
5 / 6
结语： 最后三道题为四个月后补录，准确性已经无法保证，仅供参考，祝君顺利。
6 / 6
12 1 C2T X 2T A X 2C 2 1 (12 1)1 C2T ( X 2T A X 2 )C 2 C2 1 X 2 C2 =o(e 2 k ) （ o C2 ）
数值分析复习提纲(修改完)
第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。
近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。
【考点2】相对误差限的概念。
近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。
【考点3】有效数字定义。
设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。
例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。
因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。
若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。
例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。
41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。
例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。
410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。
【考点5】有效数字与相对误差的关系。
设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。
数值分析试题_A卷与答案
三．求一个次数不高于3的多项式 ，满足下列插值条件：
1
2
3
2
4
12
3
并估计误差。（10分）
四．试用 的牛顿-科特斯求积公式计算定积分 。（10分）
五．用Newton法求 的近似解。（10分）
六．试用Doolittle分解法求解方程组：
2） 的值域是定义域的子集；（2分）
3） 在其定义域内满足李普希兹条件。（2分）
3.解：参照幂法求解主特征值的流程（8分）
步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限，最大迭代次数N;
步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;
步3：计算vk=Auk-1;
步4：计算
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
（1分）
应用科特斯公式得：
（2分）
（2分）
五．解：由零点定理， 在 内有根。（2分）
由牛顿迭代格式 （4分）
取 得，
（3分）
故取 （1分）
六．解：对系数矩阵做三角分解：
分）
七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
（2分）
其特征多项式为 ，且特征值为
青岛科技大学试题
__2014__年~__2015___年第一学期
课程名称：数值分析专业年级：2014级（研究生）
考生学号：考生姓名：
试卷类型：A卷√B卷□考试方式:开卷√闭卷□
………………………………………………………………………………………………………
一.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
则 （1分）
2.证：牛顿迭代格式为 （3分）
计算方法第7章／《数值分析》／清华大学／上海交通大学／西安交通大学
Euler-Maclaurin 公式
å ò Tn - I =
k
c2 j [ f (2 j-1) (b) - f (2 j-1) (a)]h2 j +
b a
P2k ( x) f (2k ) (x)dx
j =1
8
å c2 j
=
(-1)
j +1
1
(2p )2
j
¥ k =1
1 k2j
，|
P2k (x) |£ c2k h2k
同上
ò RS =
b f (4) (x ) (x - a)(x - c)2 (x - b)dx a 4!
=- b - a (b - a )4 f (4) (h) 180 2
5
复化公式及误差分析
由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式：
将积分区间
n
等分，节点是
xi
=
a
+ ih, h
=
值公式
pn (xk ) = f (xk ) = yk
利用 Lagrange 插
1
å Õ pn (x) =
nn
(
k=0 j=0 j¹k
x xk
- xj - xj
)yk
¬ 做代换 x = a + th,t
=
x-a
å Õ n n t - j
=
(
k =0
j=0
k
-
j )yk
h
j¹k
以 pn (x) 代 f (x) 得
k -1
<e
停止
输出 Tk(k )
»
I
。否则 h
Ü
h 2
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。
解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑（2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
清华大学高等数值分析_第三次作业答案
得如下算法： (1) 选初始 x0 ∈ Rn , 计算初始残差 r0 = b − Ax0 , ε > 0 为停机准则； (2) 对 k = 1, 2, . . .直到 rk < ε
T 求解 (D1 D1 + E T E )y1 = (AT rk−1 )(1 : m) ; T 求解 (D2 D2 + F T F )y2 = (AT rk−1 )(m + 1 : n) ;
1 0 0 0 √ √ 3 2 − 2 / 6 0 H= √ √ 0 2/ 6 1/2 − 3/6 √ 0 0 3/6 −1/2
1 1 7. 取 上 题 中 的 矩 阵 A 以 及 b = , m = 2, x0 = 0, 完 成 求 解 Ax = 1 1 G b 的 Arnoldi 和 GMRES 算法, 得出 xA 2 和 x2 . 8. 分别取 A1 = (aij ) = ( 2 1 ), i+j−1 1
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高等数值分析第三章作业参考答案
1. 考虑线性方程组 Ax = b, 其中 A 是对称正定矩阵. 用 Galerkin 原理求解方 程 K = L = Span(v ), 这里 v 是一个固定的向量. e0 = x∗ − x0 , e1 = x∗ − x1 证明 (e1 , Ae1 ) = (e0 , Ae0 ) − (r, v )2 /(Av, v ), 其中 r = b − Ax0 . v 应当取哪个向量在某种意义上是最佳的? (∗)
证明. 令 x1 = x0 + αv , 那么 r1 = r − αAv, e1 = e0 − αv . 由 Galerkin 原
清华大学高等数值分析实验设计及答案
高等数值分析实验一工物研13 成彬彬2004310559一．用CG，Lanczos和MINRES方法求解大型稀疏对称正定矩阵Ax=b作实验中，A是利用A= sprandsym(S,[],rc,3)随机生成的一个对称正定阵，S是1043阶的一个稀疏阵A= sprandsym(S,[],0.01,3);检验所生成的矩阵A的特征如下：rank(A-A')=0 %即A=A’，A是对称的；rank(A)=1043 %A满秩cond(A)= 28.5908 %A是一个“好”阵1．CG方法利用CG方法解上面的线性方程组[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,1e-6,1043);结果如下：Iter=35，表示在35步时已经收敛到接近真实xrelres= norm(b-A*x)/norm(b)= 5.8907e-007为最终相对残差绘出A的特征值分布图和收敛曲线：S=svd(A); %绘制特征值分布subplot(211)plot(S);title('Distribution of A''s singular values');;xlabel('n')ylabel('singular values')subplot(212); %绘制收敛曲线semilogy(0:iter,resvec/norm(b),'-o');title('Convergence curve');xlabel('iteration number');ylabel('relative residual');得到如下图象：为了观察CG方法的收敛速度和A的特征值分布的关系，需要改变A的特征值：(1).研究A的最大最小特征值的变化对收敛速度的影响在A的构造过程中，通过改变A= sprandsym(S,[],rc,3)中的参数rc(1/rc为A的条件数)，可以达到改变A的特征值分布的目的：通过改变rc=0.1，0.0001得到如下两幅图以上三种情况下，由收敛定理2.2.2计算得到的至多叠代次数分别为：48，14和486，由于上实验结果可以看出实际叠代次数都比上限值要小较多。
数值分析复习提要(6-1)
一、提纲１、高斯消去法、全选主元消去法、列选主元消去法、LU 分解、对称矩阵的T LDL 分解，对称正定矩阵的T LL 分解，三对角阵的追赶法。
２、向量空间距离的概念（向量范数、矩阵范数）、谱半径３、解线性方程组的迭代方法：Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代方法，及其收敛性 ４、求最大（小）特征值的幂法与反幂法 二、要点１、对于线性方程组b X A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n b b b b a a a a a a a a a A21212222111211,如果A 的所有顺序主子式0≠i D ，则高斯消去法可以完成。
其过程如下 将方程组的第一行乘111a a k -加到第k ，消去A 中除了第一行之外的第一列元素，得到 ()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1121111212122112111,00n nn n n n b b b b a a a a a a a A其中()()n i a ab b b a a a a a i i i i j ij ij,,3,2,,1111111111 =⨯-=⨯-= 得到一个等价的方程组()()11b X A=将方程组的第二行乘()()11112a a k -加到第k ，消去()1A 中除了第一、二行之外的第二列元素，得到()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1231212223232331212312211312112,00000n nn n n n n b b b b b a a a a a a a a a a a A其中()()()()()()()n i a a b b b a a a a a i i ii j ij ij,,4,3,,122121211221222 =⨯-=⨯-=依此类推，可以得到一般的表达式()()()()()()()()n k i a a b b b a a a a a k k k k ik k k i ik k k k ik k kjij k ij,,1,,111111,111 +=⨯-=⨯-=++++++++如果只满足0≠A ，那么就得在消去之前调整元素的大小，将绝对值最大的元素做为消去除法中的分母。
数值分析试题与答案
试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
高等数值分析第二次实验作业(贾忠孝)
3. 对 1 中的例子固定特征值的实部, 变化虚部, 比较收敛性. A 矩阵每个小块有如下形式：
A i i
其特征值为
i i
i ii ，对其次对角元素 i 做如下处理：
i ' k i
其特征值变为 果：
i ik i 。在本题中分别设定 k 的取值为 0.5，1，2，4。可以得到下面的结
结果分析： （1） 当 k 越大，既即特征根虚部越大时，基本 Arnoldi 方法和 GMRES 方法的收敛速度会 越来越慢，Arnoldi 方法的振荡程度会随着 k 值的增大而增大，振荡范围也增大。 当 k 大到 10 或者 10 以上时，两法都只在最后一步（第 1000 步）收敛，而且都是 急剧收敛。 （2） GMRES 法的残量一直比 Arnoldi 法的残量小，且相对残差的曲线平滑。.
GMRES算 法 计 算 m个 特 征 向 量 组 成 的 b的 收 敛 曲 线 4 2 0 -2 GMRES, GMRES, GMRES, GMRES, m m m m = = = = 10 50 100 1000
log(||rk||)
-4 -6 -8 -10 -12 -14
0
50 Iteration Times
100
150
结果分析： （1） 当 m 较小时，收敛速度很快，但其随着 m 值的增大而慢慢变小。但是一直到最后 一步之前，收敛的幅度都不大，往往是在最后一步急剧收敛； （2） 当 m 较大时，收敛的速度随 m 的增大而微弱减小，而且其在步数比较小的时候， 收敛速度较快，越往后走反而慢。 （3） Arnoldi 法比 GMRES 法收敛曲线的趋势是基本一样的，而且 Arnoldi 法收敛比 GMRES 法要快，相对残量： 1.构造例子特征值全部在右半平面时,观察基本的 Arnoldi 方法和 GMRES 方法的数值性态,和 相应重新启动算法的收敛性. 解：构造 1000 阶符合条件的矩阵 A。根据实 Schur 分解，构造如下形式的矩阵：
全国大学生数学建模竞赛历年试题总临览
矩阵论、图论、层次分、整数 规划 图论、组合数学 非线性规划、动态规划、层次 分析法、PETRI方法、图论方 法、排队论方法 非线性规划 动态规划、图论模型（最短 路）、组合优化 图论、组合优化、线性规划 0-1规划、非线性规划、图论 方法 离散优化、运输问题、最短路 、二次规划 多目标规划、非线性规划 单目标决策、多目标决策、概 率与优化 非线性规划 整数规划、多目标规划
整数优化模型 灰色预测理论 微分方程 模糊
电力市场的输电阻塞管理问题 线性规划 (浙江大学:刘康生) DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等) GM
双目标优化 多目标规划
0-1规划
微分方程 非线性方程模型来自艾滋病疗法的评价及疗效的预 测（天大：边馥萍） 乘公交，看奥运（吉大：方沛 辰，国防科大：吴孟达） 高等教育学费标准探讨 （开放性题目） 眼科病床的合理安排 D题 钻井布局问题（郑州大学：林 0-1规划、非线性规划、图伦 诒勋） 空洞探测问题（东北电力学 院：关信） 公交车调度问题（清华大学： 多目标规划、非线性规划 谭泽光） 赛程安排问题（清华大学：姜 初等模型 启源） 抢渡长江问题（华中农业大 学：殷建肃） 招聘公务员问题（解放军信息 工程大学：韩中庚） DVD在线租赁问题(清华大学: 谢金星等) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 （信息工程大学：韩中庚） 体能测试时间安排(首都师大: 刘雨林) NBA赛程的分析与评价 会议筹备 初等模型 微分方程 模糊评判 层次分析法、0-1 规划、图论 GM 0-1规划 多目标规划
历年全国大学生数学建模竞赛试题
A题 时间 1992 1993 1994 题目及命题人 建模方法 施肥效果分析问题（北京理工 回归模型,统计分析 大学：叶其孝） 非线性交调的频率设计问题 拟合、规划 （北京大学：谢衷洁） B题 建模方法 题目及命题人 实验数据分解问题（复旦大 学：谭永基） 足球排名次问题（清华大学： 蔡大用） 锁具装箱问题（复旦大学:谭 逢山开路问题（西安电子科技 图论、插值、动态规划 永基，华东理工大学:俞文 大学：何大可） 此） 飞行管理问题（复旦大学:谭 天车与冶炼炉的作业调度问题 永基，华东理工大学:俞文 非线性规划、线性规划 （浙江大学：刘祥官,李吉 此） 鸾） 最优捕鱼策略问题（北京师范 微分方程、积分、优化（非线性 节水洗衣机问题（重庆大学： 大学：刘来福） 规划） 付鹂） 截断切割问题（复旦大学:谭 零件参数设计问题（清华大 微积分、非线性规划、随机模拟 永基，华东理工大学:俞文 学：姜启源） 此） 投资的收益和风险问题（浙江 多目标优化、模糊线性规划、非 灾情巡视路线问题（上海海运 大学：陈淑平） 线性规划 学院：丁颂康） 自动化车床管理问题（北京大 钻井布局问题（郑州大学：林 随机优化、计算机模拟 学：孙山泽） 诒勋） 欧氏距离、马氏距离分类法、 DNA序列分类问题（北京工业 钢管订购和运输问题（武汉大 Fischer判别模型、神经网络方 大学：孟大志） 学：费甫生） 法，最小二乘拟合、统计分类 血管的三维重建问题（浙江大 公交车调度问题（清华大学： 曲面重建、曲线拟合、数据挖掘 学：汪国昭） 谭泽光） 车灯线光源的优化设计问题 彩票中的数学问题（解放军信 （复旦大学:谭永基，华东理 非线性规划、最优化 息工程大学：韩中庚） 工大学:俞文此） 露天矿生产的车辆安排问题 SARS的传播问题（组委会） 微分方程 （吉林大学：方沛辰）
2011年春季学期《信息与计算科学专业》数值分析课程考试试卷(A卷)答案及评分标准
2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++=)(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2=221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差. 解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=1101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由.解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛. 收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度. 解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=32)2143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==])43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21()41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
数值分析整理
Seraphim In BJUT 2011年6月1日宣州谢眺楼饯别校书云李白弃我去者,昨日之日不可留，乱我心者今日之日多烦扰，长风万里送秋雁，对此可以酣高楼。
蓬莱文章建安骨，中间小谢又清发。
俱怀逸兴壮思飞，欲上青天揽明月。
抽刀断水水更流，举杯消愁愁更愁。
人生在世不称意，明朝散发寻扁舟。
SeraphimBJUT2011年6月1日星期三目录序言........................................................................... 错误！未定义书签。
第1章考试重点 .. (1)第2章试题库 (8)2.1 填空题（66题） (8)2.2 计算证明题（24题） (17)第3章绪论 (22)3.1 课后习题 (22)3.2 补充习题 (24)第4章解非线性方程的数值方法 (26)4.1 课后习题 (26)4.2 补充习题 (34)第5章线性方程组的数值解法 (40)5.1 课后习题 (40)5.2 补充习题 (45)第6章解线性代数方程组的迭代法 (49)6.1 课后习题 (49)6.2 补充习题 (54)第7章插值方法 (57)7.1 课后习题 (57)7.2 补充习题 (63)第8章其余章节 (67)8.1 函数逼近 (67)8.2 数值积分 (69)8.3 常微分方程的数值解 (71)后记 (72)第1章考试重点1.1绪论本章的内容只要作简单介绍，考试内容不会涉及到本章的知识点，记住1.2节的三点——避免两个相近的数相减、防止大数“吃掉”小数和避免误差的传播与积累。
1.2解非线性方程的数值方法2.1二分法本节的重点是二分法的基本思想、误差估计，以及算法的优缺点。
重点分法是局部收敛还是大范围收敛的。
2.2 迭代法本节的重点是迭代法的基本思想和几何解释。
由误差估计导出算法的终止条件。
考试题可能会涉及到如何选择迭代格式使迭代收敛，给出某种迭代格式，如何判断它的收敛阶。
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∗
������
=
6 ������
5
+
2 3
7. (2011.1)用 Givens 变换 QR 分解一个 3*2 矩阵，并求解最小二乘。
2 0 2
1
1
1
1 1 1
A=
B=
(2010.4)采用 Givens 算法对 A 进行 QR 分解，并利用得到的分解，进行最小二乘运算 min||Ax-b||
v(2) Au(1) (0.5, 2, 2.5)T , 2.5,
v(8) Au(7) (2.7650948, 2.9981848, 2.9990924)
2.9990924
u(8) (0.9219772, 0.9996973,1) v(9) Au(8) (2.8436517, 2.9993946, 2.9996973)
此例中比值为
2 2 .
1
3
(2008.6)
������������
=
������ √������
(������,
������,
������)������，P0=v0HAv0
|Av0-p0v0|较大
v1=Av0=√������������ (−������, ������, −������)������
A=
2
2 0
1 1 1 1 B= 1 1 1
(2006) 用 Givens 变换 QR 分解一个 3*2 矩阵，并求解最小二乘。
2 0 1
A=
1
1 B= 1
1
1
1
(2006)
1) A a1 a2
2
1
Givens 见第 7 题。 2. (2012.2) (1).证 Rayleigh 商收敛于主特征值，参考讲义。 (2).幂法算主特征值对应的主特征向量，按步骤做，一般的初值都是一步收敛。 (2011.5)A=uv’，u、v 均为向量，A 的秩为 1. (1) 证明 u’v 为 A 的特征值 (2)A 还有哪些其他的特征值。答案：0 (3)用幂法求 A 的主特征值，几步可以收敛？为什么？答案：1 步 (2009.5)(1)叙述求特征值的幂法。证明：当特征值向量方向的误差 sin(准确特征向量和近似特征向量)=ek 的时候， 相应特征值的误差为 0(ek2)
可以验证 QQT=I，且 R 是上三角阵 ∴QR 分解完成 1)用 HouseHolder 求解的另解
A=[a1 a2]
2
2
a1
1
1
x1
0
0
1
a1 y 1 a1 y
(2 2,1,1)T 2 2 2
2
2
H1
0 1 2 (2008.6) 最大的特征值和相应的特征向量。
取v(0) (0, 0,1)T , 103.
解： u(0) v(0) (0, 0,1)T ,
v(1) Au(0) (0, 1, 2)T , 2,
u (1) v(1) (0, 0.5,1)T ,
111 111 111
λ*I-A = [λ- 1, -1, -1] [ -1, λ- 1, -1] [ -1, -1, λ- 1]
det(ans) =λ3 - 3*λ2 特征多项式λ3 - 3*λ2=0 特征值λ1=0λ2=0λ3=3 特征向量
2 1 0 例：用幂法求矩阵A 0 2 1的按模
2)解：因为 A 的秩为 1，所以������ = ������′������和 n-1 个 0
3)解：因为幂法收敛速度������������ = ������ = ������ 所以一步收敛
������������ ������������
完全一样的另一种写法： 1) (2009.5)(1)
(2) A =
φ1)=∫−11
3
������2������������
=
2
������
5 2
1
|
5 −1
=
4 5
4
4
∴
������0∗
=
((φ������0,φ,φ00))=
3
2
=23，������1∗
=
((φ������1,φ,φ11))=
5 2 3
=65
∴一阶最佳平方估计的插值函数为������0∗
+
������1∗
0
1
2 1
2 1
G2G1A 0 1 A (G2G1)1 0 1
0 0
0 0
∵G2、G1 是正交矩阵
1
Q
G
T 1
G
T 2
1
2 1
1
1
1
2
2 1
2
1
2 1
2
2 2
(2)描述经典/精化的 Arnoldi 方法过程 (2008.4)描述计算计算部分特征值和特征向量的 Arnoldi 方法和精化 Arnoldi 方法。 讲义 P93 95
6.(2012.6)(2008.1)(1)使用插值点 x0=2，x1=2.5，x2=4，求 f(x)=1/x 的二次 Lagrange 插值多项式。f(3)近似值是 多少？实际误差是多少？Ans: 1/60 (2).f(x)= √������，权函数 1，问一阶最佳平方估计的插值函数是多少。Ans: 4/5x+2/15？这题其实用 chebyshev 和 拉格朗日都一样，一阶情况下一样的。 (2009.1)(1)f(x)=√������,x0=0,x1=0.6,x2=0.9，求二项差值。 即用插值计算 f(0.44)并求误差
(2011.5)(1)������=v’u (2) ������������=v’u ������������ = ������������ = ������ (3)一步收敛
1)证明：Au=uv’u=u(v’u)=(v’u)u （即 A uvT
）故 (v’u,u)为特征对
Au uvT u u(vT u)
������������
=
������������ ‖������������‖
=
������ √������
(−������
������
−������)������ ������������ = ������������������������������������ = −������
������
2 1
H 2H 1A
0
1
0 0
1 1
2
2
Q
H 1H 2
1 2
1 2
1 2
1 2
0
2 1
1
2 1
R
0
0
1 0
2
8. (2011.2)证明：对于 Minres 和 Gmres (1)A 有 k 个特征值时，至多 k 步收敛 (2)A 有 n 个不同的特征值，r0 由 k 个属于不同特征值的特征向量构成时，k 步收敛
−������ ������ ������ (2008.6)令 A=( ������ −������ ������ )
������ ������ −������
取初始向量������������
=
������ √������
(������,
������,
������)������，用幂法准确计算
A
的主特征值������和主特征向量。
a1
1
G1
C1
S
1
C1
1 2
S1
1 2
1
S1 C 1
G1A G1a1
2
G1a2
2
0
0
2
C2 S2
2
a (1) 1
2
G2
S 2
C2
C2
2 2
S2
2 2
0
111 (2)用幂法求矩阵[1 1 1]的主特征值和主特征向量。这道题是 05 年秩为 1 的问题的变形，其秩也为 1，看出他
111
1 只有 0 和 u’v=3 两个特征值。3 是主特征值，对应的特征向量是√13*[11]。所以可以一开始就把其初始向量选为和[1
1 1]相同方向的向量，一步就发现收敛。
������ ������ ������ (2008.3)令 A=(������ ������ ������)
������ ������ ������ 分别用 Givens 变换和 Householder 变换计算 A 的 QR 分解。
0 3 1 A 0 4 2,
2 1 1 Householder
������
|������������������
−
������������������������|
=
|[−������������] ������
������ √������
−
������ √������
[−������������]| ������������