11.2 矩阵与线性变换

对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 这张表的研究
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（３）四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位 四种食品(Food)在三家商店(Shop)中 (Food)在三家商店(Shop) 量的售价(以某种货币单位计)可用以下数表给出 量的售价(以某种货币单位计)
F1 F2 F3 F4
行列式与矩阵的区别: 行列式与矩阵的区别:
1. 一个是算式 ，一个是数表 一个行、 一个行、列数可不同. 2. 一个行、列数相同 , 一个行、列数可不同. 3. 对 n 阶方阵可求它的行列式.记为: A 阶方阵可求它的行列式.记为:
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二、线性变换及其矩阵
个变量 个变量 定义 n个变量 x1 , x2 ,⋯, xn 与m个变量 y1 , y2 ,⋯, ym 之间的关系 y1 = a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn , y = a x + a x + ⋯+ a x , 2 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ym = am 1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn .
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对角矩阵： 除主对角线上有非零元素外， 对角矩阵： 除主对角线上有非零元素外，其余的非 主对角线上的元素都是０的方阵． 主对角线上的元素都是０的方阵． a1 a2 A = diag (a1 , a2 ,⋯an ) = ⋱ an 数量矩阵：主对角线上元素都相等的对角矩阵． 数量矩阵：主对角线上元素都相等的对角矩阵．
列的数表， 排成的 m 行n列的数表，称为m 行n列矩阵 .
简称m × n矩阵.
简记为 A = Am×n = (aij )m×n = (aij ). 元素． 元素．
a11 a21 记作 A = ⋯ a m1
a12 a22 am 2
⋯ a1 n ⋯ a2 n ⋯ ⋯ amn
k k n×n
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k ⋱
单位矩阵： 主对角线上元素全为１的对角矩阵． 单位矩阵： 主对角线上元素全为１的对角矩阵． 记作Ｅ 记作Ｅ或Ｉ．
En 1 = 1 ⋱ 1 n× n
对称矩阵： 的方阵． 对称矩阵： aij = a ji 的方阵．
P ( x , y , z ) → P ' ( x' , y' , z' ) → P"( x" , y" , z" ) 间的关系． 我们要求的是 ( x , y , z ), ( x" , y" , z" ) 间的关系．
13 6 2i 是一个 3 × 3 复矩阵 复矩阵, 2 2 2 2 2 2
同型矩阵： 行数相同，列数相同的几个矩阵． 同型矩阵： 行数相同，列数相同的几个矩阵． 1 2 14 3 同型矩阵. 5 6 与 8 4 为同型矩阵 3 7 3 9
如果变换的行列式 A ≠ 0, 称相应的线性变换是非奇异 或非退化的,或是一一变换 的,或非退化的 或是一一变换 或非退化的 或是一一变换. 否则就是奇异的或退化的. 否则就是奇异的或退化的 如果线性变换的矩阵是单位矩阵,则称为恒等变换 则称为恒等变换. 如果线性变换的矩阵是单位矩阵 则称为恒等变换 你能写出n个变量的恒等变换的表达式吗 你能写出 个变量的恒等变换的表达式吗? 个变量的恒等变换的表达式吗 下面谈谈连续施行两个变换的问题． 下面谈谈连续施行两个变换的问题． 先绕z轴旋转角度 假如对空间的任意点 P ( x , y , z )先绕 轴旋转角度 α , 变为点 P ' ( x' , y' , z' ), 再作对 再作对xoy面的镜面反射 反映 ， 面的镜面反射(反映 面的镜面反射 反映)， 变为点 P"( x" , y" , z" ), 则
88 76 92 67 54 89 是一个３ 矩阵； 矩阵 是一个３×3矩阵； 78 74 83
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一些特殊矩阵: 一些特殊矩阵
实矩阵: 元素都是实数. 实矩阵 元素都是实数 复矩阵: 有些元素是复数. 复矩阵 有些元素是复数
1 0 3 5 例如： 例如： − 9 6 4 3 实矩阵, 是一个 2 × 4 实矩阵
17 7 11 21 S1 15 9 13 19 S 2 18 8 15 19 S3
在科学技术领域和生活实践中，许多对象都可 在科学技术领域和生活实践中， 以采用上边的数表形式表示，进而进行研究． 以采用上边的数表形式表示，进而进行研究．
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２．矩阵的定义
由m × n个数 aij ( i = 1,2,⋯, m; j = 1,2,⋯, n)
α
P( x, y)
O
x
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x1 = x 表示关于x轴的反射 反映）． 轴的反射（ 表示关于 轴的反射（反映）． y1 = − y x2 = − x 表示关于原点的中心反射（反映）． 表示关于原点的中心反射（反映）． 14 y2 = − y
12 6 1 例如 A = 6 8 0 为对称阵 . 1 0 6 0 2 8 a 反对称矩阵： 的方阵． 反对称矩阵： ij = −a ji 的方阵． − 2 0 − 5 −8 5 0 注意：反对称矩阵的对角 注意： 线上的元素一定是０ 线上的元素一定是０．
§１１.２ 矩阵的初步概念 １１ ２ 与线性变换
１．矩阵概念的引入 ２．线性变换与矩阵的关系 ３．矩阵的乘法
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一、矩阵概念的引入
１．几个引例 （１）考察三位同学上学期无机、高数两门课程 考察三位同学上学期无机、 的成绩： 的成绩：
甲 乙 无机 88 高数 67 丙
76 92 78 85
解的情况完全取决于 系数
aij (i, j = 1,2,⋯, n),
常数项 bi (i = 1,2,⋯,n) 线性方程组的系数和常数项按原相对位置可排为
a11 a21 ⋯ a n1
b1 a22 ⋯ a2n b2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann bn a12 ⋯ a1n
O
z
α
P ( x, y, z )
P ' ( x' , y' , z' )
y
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关于线性变换的进一步的话题: 关于线性变换的进一步的话题 新变量与旧变量的个数相同时的线性变换是我们用的 最多的,比如刚才的几个例子 一般n个变量的线性变换 比如刚才的几个例子.一般 最多的 比如刚才的几个例子 一般 个变量的线性变换 的形式为 y1 = a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn , y = a x + a x +⋯+ a x , 2 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ yn = an1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn . a11 a12 ⋯ a1n 其矩阵为n阶方阵 其矩阵为 阶方阵 a21 a22 ⋯ a2 n A= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a an 2 ⋯ ann n1 以这些元素为元素的行列式称为变换的行列式. 以这些元素为元素的行列式称为变换的行列式 16
表示一个从变量 x1 , x2 ,⋯ , xn 到变量 y1 , y2 ,⋯ , ym的
线性变换. 线性变换
其中 a ij为常数 .
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一般来说, 一般来说 n ≠ m
对线性变换来说，与矩阵有密切的关系． 对线性变换来说，与矩阵有密切的关系． y1 = a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn , y = a x + a x + ⋯+ a x , 2 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ym = am 1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn . ⋯⋯
上面的数表完全刻画了三位同学的考试情况． 上面的数表完全刻画了三位同学的考试情况．
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a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x + ⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 （２）线性方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn = bn
a 11 a 21 A= ⋯ a m1
a 12 a 22 ⋯ am1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a1n a2n ⋯ a mn
系数矩阵 称之为线性 变换的矩阵
线性变换与矩阵之间是相互唯一确定的． 线性变换与矩阵之间是相互唯一确定的．
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这样对线性变换的讨论就可转化为对相应矩阵的讨论． 这样对线性变换的讨论就可转化为对相应矩阵的讨论． 下面我们看几个简单的却是重要的线性变换． 下面我们看几个简单的却是重要的线性变换． y x' = x cosα − y sin α P'( x', y') （１） y' = x sin α + y cosα 表示平面上绕坐标原 点的一个旋转变换． 点的一个旋转变换． cos α − sin α 是变换 sin α cos α 的矩阵
横排称行，纵排称列； 横排称行，纵排称列； a ij 称为第 i 行第 j 列的
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17 7 11 21 例如： 例如： 15 9 13 19 是一个３ 矩阵； 是一个３×４矩阵； 18 8 15 19
Leabharlann Baidu
a11 a21 ⋯ a n1
b1 a22 ⋯ a2n b2 是一个n× １ 矩阵 矩阵； 是一个 ×(n+１)矩阵； ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann bn a12 ⋯ a1n
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相等矩阵：两个同型矩阵的对应行对应列的元素相等． 相等矩阵：两个同型矩阵的对应行对应列的元素相等． 同型矩阵的对应行对应列的元素相等 例１ 设
1 2 3 A= , 3 1 2
1 B= y
x 3 , 1 z
已知 A = B , 求 x , y , z .
解
∵ A = B , ∴ x = 2, y = 3, z = 2.
x' = x cos α − y sin α （２） y' = x sin α + y cos α z' = z
表示空间一点绕z轴的 表示空间一点绕 轴的 一个旋转变换． 一个旋转变换． x' = x 是关于xoy面的 y' = y 是关于xoy面的 x 镜面)反射变换 镜面 反射变换． z' = − z (镜面 反射变换． x' = x 是关于ox轴的反映 轴的反映. y' = − y 是关于 轴的反映 z' = − z 自己写出这些变换的矩阵. 自己写出这些变换的矩阵
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矩阵， n阶（级）矩阵： n×n矩阵，记作 An 阶 矩阵： × 矩阵 88 76 92 67 54 89 是一个三阶方（ 是一个三阶方（矩）阵； 78 74 83 行矩阵（向量）：１ 矩阵． 行矩阵（向量）：１×n矩阵．A = (a1 , a2 ,⋯, an ), a1 ）： 矩阵 a2 B = , 列矩阵（向量）： × 矩阵． 列矩阵（向量）： n×１矩阵． ⋮ a 零矩阵： 元素全为０的矩阵， 零矩阵： 元素全为０的矩阵，记作 Om×n 或 O n 注意： 不同阶数的零矩阵是不相等的. 注意： 不同阶数的零矩阵是不相等的. 0 0 0 0 例如： 例如： 0 0 0 0 ( ≠ 0 0 0 0 ). 0 0 0 0 0 0 0 0