立体几何大题题库

立体几何解答题题库

1.

如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，P A =AB =AC =3，平面//α平面P AB ，且α与棱PC ，AC ，BC 分别交于P 1，A 1，B 1三点．

（1）过A 作直线l ，使得l BC ⊥，11l P A ⊥，请写出作法并加以证明；

（2）若α将三棱锥P -ABC 分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体P 1A 1B 1C 的体积更小），D 为线段B 1C 的中点，求四棱锥A 1-PP 1DB 1的体积．

2.

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．

(1)求四棱锥P -ABCD 的体积；

(2)证明：BD ∥平面PEC ；

(3)线段BC 上是否存在点M ，使得AE ⊥PM ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

3.如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，AB =2EF =2,沿着AB 将图形折成图2，其中AED ∠90,,AE ED H =︒=为AD 的中点.

（Ⅰ）求证：EH ⊥BD ；

（Ⅱ）求四棱锥D -ABFE 的体积.

4.

如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形，且平面⊥PAD 底面ABCD ，121===AD BC AB ，090=∠=∠ABC BAD .

（1）证明：：AB PD ⊥；

（2）点M 在棱PC 上，且CP CM λ=，若三棱锥ACM D -的体积为

31，求实数λ的值. 5.

已知ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD =DC =a ，2AD a =

，M 、N 分别是AD 、PB 的中点。

（Ⅰ）求证：平面MNC ⊥平面PBC ；

（Ⅱ）求点A 到平面MNC 的距离。

6.

在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC ，E 是BC 的中点.

（1）求证：平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1；

（2）求证：A 1C ∥平面AB 1E ．

如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 共面，且ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且

BAE AFB ∠=∠=90°

．

（Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面AEBF ，证明平面BCF ⊥平面ADF ；

（Ⅱ）问在线段EC 上是否存在一点G ，使得BG ∥平面CDF ，若存在，求出此时三棱锥G -ABE 与三棱锥G -ADF 的体积之比．

8.

如图，四边形ABCD 为菱形，ACEF 为平行四边形，且平面ACEF ⊥平面ABCD ，设BD 与AC 相交于点G ，H 为FG 的中点.

（Ⅰ）证明：BD ⊥CH ；

（Ⅱ）若AB =BD =2，AE =3，CH =32

，求三棱锥F -BDC 的体积.

9.

如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB =2,

BC = EF =1,6AE =,DE =3,60BAD ∠=，G 为BC 的中点.

（1）求证：FG ∥平面BED ；

（2）求证：BD ⊥平面AED ；

（3）求点F 到平面BED 的距离.

如图，在底面为梯形的四棱锥S -ABCD 中，已知//AD BC ，60ASC ∠=，2AD DC ==，2SA SC SD ===.

（1）求证：AC SD ⊥；

（2）求三棱锥B -SAD 的体积.

11.

如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ==

=， ∠BAD ＝∠CDA ＝90°，2PC PD ==．

（1）求证：平面P AD ⊥平面PBC ；

（2）求直线PB 与平面P AD 所成的角；

（3）在棱PC 上是否存在一点E 使得直线BE ∥平面P AD ，若存在求PE 的长，并证明你的结论． 12.

如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB =AC 1，1AB B C ⊥.

（1）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ；

（2）若12BB =，且1160B BC B AC ∠=∠=︒，求三棱锥C 1-ABC 的体积.

13.

如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，60BAD ∠=︒．

（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；

（2）若PA AB =，M 为线段PC 的中点，求三棱锥C -MBD 的体积。

14.

如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥AB ，BC ⊥FD ，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．

（1）证明：PQ ∥平面ABCD ；

（2）若CD ⊥BE ，EF ＝EC ＝1，223CD FF BC ==，求五面体ABCDFE 的体积． 15.

如图所示，四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，3AB =，BC =1，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.

（1）求证：BC ∥平面SAE ；

（2）求三棱锥S -BCE 与四棱锥S -BEDA 的体积比.

16.

如图示，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，

底面ABCD 是矩形，PD AD =，E 、F 分别CD 、PB 的中点.

（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；

（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PAB ； （Ⅲ）设33==BC AB , 求三棱锥P -AEF 的体积.

17.

如图所示的几何体QP ABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ⊥平面ABCD ，PA QD ∥，1PA =，2AD AB QD ===.

（1）求证：平面P AB ⊥平面QBC ；

（2）求该组合体QP ABCD 的体积.

18.

如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，△P AD 为等腰三角形，∠APD ＝90°，平面P AD ⊥平面ABCD ，且AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别为PC ，BD 的中点．

(1)证明：EF ∥平面P AD ；

(2)证明：平面PDC ⊥平面P AD ；

(3)求四棱锥P —ABCD 的体积．

19.

如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点.

(Ⅰ)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；

(Ⅱ)若1,2,,6011====∠=∠BC AC BB AB ACB AB A

，

求三棱锥A 1-ABD 的体积.