人教新课标版数学高一人教数学必修2课时作业24直线与圆的方程的应用
高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
人教版数学高一-必修2学案 4.2.1直线与圆的位置关系
4．2.1直线与圆的位置关系基础梳理直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断如下表所示：练习1：直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交．练习2：(1)直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，－1)或(－1，1)，故直线与圆的位置关系为相交．(2)直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，1)．故直线与圆的位置关系为相切．►思考应用如何求直线被圆所截得的弦长？解析：①应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系：r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22. ②利用弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].自测自评1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是(B )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：圆心(0，0)到直线的距离为|1|12＋12＝12<1，且(0，0)不在直线y ＝x ＋1上，故选B .2．下列说法中正确的是(D )A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点解析：A 为相交，B 、C 中的直线有无数条．3．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为(C )A ．2 2B .2－1C ．22－1D ．14．已知直线x ＝a(a>0)和圆(x －1)2＋y 2＝4相切，那么a 的值是(C )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：∵|a －1|＝2，又a>0，∴a ＝3.5．经过点M(2，1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为(C )A .2x ＋y －5＝0B .2x ＋y ＋5＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：设过点M 的圆的切线上任一点的坐标为(x ，y)，∵点M(2，1)在圆x 2＋y 2＝5上，∴y －1x －2·1－02－0＝－1，即2x ＋y －5＝0.题型一 判断直线与圆的位置关系题型二 圆的切线方程题型三 直线与圆相交的问题题型四 直线与圆有关最值问题基础达标1．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1，2)，则直线PQ 的方程是(B )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：结合圆的几何性质知直线PQ 过点A (1，2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0. 2．已知点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是(D )A ．6B ．8C ．3－ 2D ．3＋ 2解析：直线AB 的方程是x －2 ＋y 2＝1，∣AB ∣＝22，则当△ABC 面积最大时，边AB 上的高即点C 到直线AB 的距离d 取最大值．又圆心M (1，0)，半径r ＝1，点M 到直线的距离为322，由圆的几何性质得d 的最大值是322＋1，所以△ABC 面积的最大值是12×22·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝3＋ 2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程是(D)A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0 解析：圆心为C (2，0)，则直线CP 的斜率为3－01－2＝－3，又切线与直线CP 垂直，故切线斜率为33，由点斜式得切线方程：y －3＝33(x －1)即x －3y ＋2＝0.4．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为(A )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝05．已知圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(1)求过点P (1，2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1，2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程．解析：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)， 则由|2－k |k 2＋1＝2得k 1＝0，k 2＝－43， 故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，∴d ＝1，∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，∴k ＝34， 此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. 巩固提升6. 圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(A )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝17．若实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值为(D) A.12 B.33 C.32D. 3 解析：方程(x －2)2＋y 2＝3的曲线是以A (2，0)为圆心，以3为半径的圆，实数x ，y 是圆上的点P (x ，y )的坐标，而y x是直线OP 的斜率，由下图可知当点P 在第一象限且OP 为圆的切线时，k 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝3，y x ＝k ，得(1＋k 2)x 2＋1－4x ＝0， Δ＝12－4k 2＝0，有k ＝±3.∴k 最大即y x最大为 3.故选D. 8．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知1≤b < 2.答案：1≤b < 29．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R)．(1)求证：直线l 恒过定点；(2)判断直线l 与圆C 的位置关系；(3)当m ＝0时，求直线l 被圆C 截得的弦长．解析：(1)直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0.∵m ∈R ，∴⎩⎨⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (3，1)．(2)圆心C (1，2)，|AC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5<5，∴点A 在圆C 内．从而直线l 与圆C 相交(无论m 为何实数)．(3)当m ＝0时，直线l 的方程为x ＋y －4＝0，圆心C (1，2)到它的距离为d ＝|1＋2－4|12＋12＝12. ∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝225－12＝7 2.1．判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法．(1)判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组的解．有两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离；(2)判断圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系：当d <r 时，相交；当d ＝r 时，相切；当d >r 时，相离．2．设切线方程时，若设点斜式一定要注意斜率不存在的情况．3．直线与特殊圆相切，切线的求法．(1)当点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上时，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上，则切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；(3)斜率为k且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为：y＝kx±r1＋k2；斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的求法，可以设切线为y ＝kx＋m，然后变成一般式kx－y＋m＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m.。
人教新课标版数学高一-人教数学必修二练习4.2.3直线与圆的方程的应用
课后训练1．圆220x y +-=关于( )A ．直线y =轴对称B ．点(0)中心对称C ．点(－2)中心对称D ．直线y ＝x 轴对称2．一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短距离为( )A B 1 C ．5 D ．43y +-截圆x 2＋y 2＝4得到的劣弧所对的圆心角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0．设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．B ．C ．D ．5．若曲线C 1： x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．⎛⎝⎭B ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∪⎛ ⎝⎭C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,3⎛-∞- ⎝⎭∪,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为__________．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是__________．8．若圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为________．9．如图，Rt△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，BC 的延长线交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．10．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？参考答案1答案：A2答案：D3答案：C4答案：B5答案：B6答案：(x＋1)2＋y2＝27答案：(－13,13)8答案：(2，＋∞)9答案：略10答案：解：以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝16(y＞0).将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y＞0)得，y=，即在离中心线2.7m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道.将x＝a代入x2＋y2＝16(y＞0)得y=。
高中数学教案之高一数学人教版必修二4.2.3直线与圆的方程的应用
高一数学必修二教案
科目：数学
课题
课型
直线与圆的方程的应用
（ 1）会用“数形结合”的数学思想解决问题 .
教学
目标
（ 2）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用
.
新课
（ 3）让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问
题与解决问题的能力教学教ຫໍສະໝຸດ 内容备过程注
一、 自主 学习
二、 质疑 提问
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三、 问题 探究
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四、 课堂 检测
五、 小结 评价
人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练
人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
人教A版数学必修二4.2.3 《直线与圆的方程》的应用
4·2·3 直线与圆的方程的应用一、知识导学：1、理解直线与圆、圆与圆的位置关系的几何性质；2、利用平面直角坐标系解决直线与圆、圆与圆的位置关系的有关问题；3、会用“数形结合”的数学思想解决问题，理解用坐标法解决几何问题的步骤。
二、基础知识回顾：1、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。
已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ， （1）1l 与2l 相交______________________⇔⇔； （2）1l 与2l 平行______________________⇔⇔； （3）1l 与2l 重合______________________⇔⇔。
2_3_________________________________ 它表示以___________为圆心，以___________为半径的圆。
4、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=。
配方得__________________________________________。
（1）当2240D E F +->时，表示以________为圆心，以________为半径的圆； （2）当2240D E F+-=时，表示一个点______________； （3）当2240D E F +-<时，它不表示任何图形。
5、设直线l ：0Ax By C ++=，圆H ：220x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心H )2,2(ED --到直线l 的距离为d ，其中：r 6、设两圆半径分别为，，连心线长为，则：P 4321BA 当两圆外离时，它们的外公切线长为_____________________________； 内公切线长为_____________________________。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长_____________， _________________________________平分两条切线的夹角。
人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.2.3直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用问题导学一、直线与圆的方程的实际应用活动与探究1有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？迁移与应用一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：(1)认真审题，明确题意；(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解释．二、坐标法在平面几何中的应用活动与探究2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，且EF与CD相交于H．求证：EF平分CD．迁移与应用AB为圆的定直径，CD为直径，过点D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x 轴和y 轴； ②充分利用图形的对称性；③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称； ④关键点的坐标易于求得． 三、与圆有关的最值问题活动与探究3已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0．求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．迁移与应用1．已知直线l ：3x ＋4y －1＝0，圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0上的点到直线l 的最小距离是__________，最大距离是__________．2．实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求yx －4的最大值和最小值．求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法．当堂检测1．过圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点M (3,0)的最长弦所在直线的方程是( ) A ．2x －y －6＝0 B ． 2x ＋y －6＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y －3＝02．实数x ，y 满足x 2＋y 2－4y ＋3＝0，则yx 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，3)C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时4．直线l：x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是坐标原点)的面积为________．5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为________．答案：课前预习导学【预习导引】(1)适当坐标和方程代数(2)代数问题(3)代数运算结果课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：建系，把实际问题转化为数学问题求解．解：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/千米，则从B地运货到P 地的运费为a 元/千米．若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2a(x ＋5)2＋y 2＜a(x －5)2＋y 2，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋2532＋y 2＜⎝⎛⎭⎫2032．即点P 在圆C ：⎝⎛⎭⎫x ＋2532＋y 2＝⎝⎛⎭⎫2032的内部． 也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物． 同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物． 圆C 上的居民可随意选择A ，B 两地之一购物．迁移与应用 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2+y 2=9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为1,74x y+=即4x +7y －28=0，圆心(0,0)到直线4x +7y －28=0的距离d=半径r =3．∵d ＞r ，∴直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．活动与探究2 思路分析：建立适当坐标系，设出圆O 和圆C 的方程，利用两圆相交求公共弦的方程，证明CD 与EF 的交点是线段CD 的中点．证明：以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系． 如图，设|AB |=2r ，D (a ,0)，则|CD ∴C (a ．∴圆O ：x 2＋y 2＝r 2，圆C ：(x －a )2＋(y －r 2－a 2)2＝r 2－a 2．两方程作差得直线EF 的方程为2ax ＋2r 2－a 2y ＝r 2＋a 2．令x ＝a ，得y ＝12r 2－a 2，∴H ⎝⎛⎭⎫a ，12r 2－a 2，即H 为CD 的中点．∴EF 平分CD ．迁移与应用 证明：以线段AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x 2+y 2=r 2，直径AB 位于x 轴上，动直径为CD ．令C (x 0，y 0)，则D (－x 0，－y 0)， ∴P (－x 0，－y 0－2r )． ∴直线CP 的方程为y －y 0＝－y 0－2r －y 0－x 0－x 0(x －x 0)，即(y 0＋r )x －(y ＋r )x 0＝0．∴直线CP 过直线x ＝0与直线y ＋r ＝0的交点(0，－r )，即直线CP 过定点(0，－r )． 活动与探究3 思路分析：本题可将yx 和y －x 转化成与直线斜率、截距有关的问题，x 2＋y 2可看成是点(x ，y )与点(0,0)距离的平方，然后结合图形求解．解：(1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，易知圆心(2,0)到y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3． ∴k ＝3或k ＝－3．∴yx的最大值为3，最小值为－3． (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6．∴y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－43．迁移与应用 1．1 3 解析：圆心到直线的距离加、减圆的半径，就是所求的最大值与最小值．∵圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝1，∴|3×(－3)＋4×0－1|32＋42±1＝2±1．∴最小距离为1，最大距离为3．2．解：原方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，表示以P (－1,2)为圆心，2为半径的圆． 设k ＝yx －4，几何意义是：圆上点M (x ，y )与点Q (4,0)连线的斜率．由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值． 设切线为y －0＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0．圆心P 到切线的距离|－k －2－4k |k 2＋1＝2，化简为21k 2＋20k ＝0，解得k ＝0或k ＝－2021．∴y x －4的最大值为0，最小值为－2021．【当堂检测】 1．D 2．D 3．B 4．65 5 5．13米。
人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.3 直线与圆的方程的应用
由点斜式方程知，直线CP过定点(0，－r)．
题后反思
利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用直线方程、圆的方程， 直线与圆、圆与圆的位置关系等有关性质．建立适当的平面直角坐标 系，正确使用坐标法，使几何问题转化为代数问题，用代数运算求得 结果以后，再解释代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到 几何问题中，对几何问题作出合理解释．
探究点2
用坐标法解决平面解析几何问题的注意事项
问题3：用坐标方法解决平面几何问题应注意什么？ 【提示】用坐标法解决几何问题时应注意以下几点 1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适 当的直角坐标系； 2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时 要注意范围； 3．最后要把代数结果转化成几何结论．
实际问题也可采用这种方法转化.
谢谢大家！
典例精讲：题型二：定点定值问题 证明：以线段 AB所在直线为 x轴，以 AB 中点为原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆的方程为 x2 ＋ y2 ＝ r2(r 为常数， r>0) ，直径AB位
于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，
则D(－x0，－y0)，∴P(－x0，－y0－2r)，
∴直线CP的方程为y－y0＝(x－x0)，
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 例3:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题 解:
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
典例精讲：题型三：数形结合求解与圆有关最值问题
规律方法 利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数
表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，把问题转化为求此几
课时作业15：4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用一、选择题1.y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方所围成的图形的面积是( )A.π4B.3π4C.3π2D.π 2.圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A.36B.18C.6 2D.523.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，则实数a 的值是( )A.－1B.－2C.－3D.－44.设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A.6B.4C.3D.25.若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( )A.2B.1C. 3D.26.若方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解，则实数k 的取值范围是( )A.k ＝±3B.k ∈(－2,2)C.k <－2或k >2D.k <－2或k >2或k ＝±37.如果圆(x －a )2＋(y －1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是( )A.(－22，0)∪(0,22)B.(－22，22)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－1,1)8.已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是( )A.[－32，32]B.[－3,3]C.(－3,32]D.[－32，3)二、填空题9.已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.10.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________.11.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.三、解答题12.已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动.(1)求y－1x－2的最大值与最小值；(2)求2x＋y的最大值与最小值.13.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.参考答案一、选择题1.【答案】D【解析】数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.2.【答案】C【解析】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，圆心为(2,2)，半径为3 2.圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r ＝6 2.3.【答案】B【解析】圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－2a ，故弦心距d ＝|－1＋1＋2|2＝2， 再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a ＝2＋4，∴a ＝－2.4.【答案】B【解析】如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.5.【答案】B【解析】x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.6.【答案】D【解析】方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解等价于y ＝1－x 2与y ＝kx ＋2有唯一公共点.由图象(图略)知选D.7.【答案】A【解析】∵圆(x －a )2＋(y －1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1相交.|OC |＝a 2＋1，由2－1<|OC |<2＋1，得1<a 2＋1<3，∴0<|a |<22，∴－22<a <0或0<a <2 2.8.【答案】C【解析】数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y >0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得，当－3<b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)有公共点.二、填空题9.【答案】254【解析】∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254. 10.【答案】x ＋y －2＝0【解析】由题意知，点P (1,1)在圆x 2＋y 2＝4内，则过点P 截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O 和P (1,1)的连线垂直，∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.11.【答案】1【解析】如图，以A 地为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B 处于危险区，即B 处于危险区时，台风中心在线段MN 上，可求得|MN |＝20，所以时间为1 h.三、解答题12. 解 (1)设y －1x －2＝k ，即kx －y －2k ＋1＝0， 则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值.由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33， ∴y －1x －2的最大值为33，最小值为－33. (2)设2x ＋y ＝m ，则m 表示直线2x ＋y ＝m 在y 轴上的截距.当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值.由|1－m |5＝1，解得m ＝1±5， ∴2x ＋y 的最大值为1＋5，最小值为1－ 5.13. 解 以O 为坐标原点，OB ，OC 所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE 为最短距离.此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 答 DE 的最短距离为(42－1)km.。
数学必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用 作业
课时作业(三十)1．已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 中的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C2．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2 答案 C3．已知曲线C ：y ＝－x 2－2x 与直线l ：x ＋y －m ＝0有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．(－2－1，2)B ．(－2，2－1)C ．[0，2－1)D ．(0，2－1) 答案 C解析 曲线C 是圆x 2＋y 2＋2x ＝0位于x 轴上方的半圆，m 是直线l ：x ＋y －m ＝0在y 轴上的截距，利用数形结合可得m 的取值范围是[0，2－1)．故选C.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.0米C ．3.6米D ．4.5米 答案 C解析 如图所示，通过勾股定理解得|OD|＝OC 2－CD 2＝3.6(米)，故选C.5．若圆B ：x 2＋y 2＋b ＝0与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 b<－1006．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB|＝3，则OA →·OB→＝________．答案 －12解析 由于圆的半径为1，|AB|＝3，所以O 到直线的距离为12，∠AOB ＝120°，|OA|＝|OB|＝1. 所以向量OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos120°＝－12. 7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解析 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y 4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到直线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3， ∴d>r ，直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．8.如图所示，过圆外一点P(a ，b)作圆x 2＋y 2＝k 2的两条切线，切点为A 、B ，求直线AB 的方程．思路分析 结合两切线PA 、PB 过公共点P(a ，b)，列方程组用观察法求解．解析 设切点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则切线AP 、BP 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝k 2，x 2x ＋y 2y ＝k 2.∵这两条切线都过点P(a ，b)，∴ax 1＋by 1＝k 2，ax 2＋by 2＝k 2.由以上二式可以看出：A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)的坐标都适合方程ax ＋by ＝k 2.它是一条直线方程，而过A 、B 的直线只有一条．∴直线AB 的方程为ax ＋by ＝k 2.9．已知圆x 2＋y 2＝8，定点P(4，0)，问过P 点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，该直线与已知圆：(1)相切；(2)相交；(3)相离；并写出过点P 的切线方程．解析 设直线的斜率为k ，倾斜角为α，则过点P 的直线方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k＝0.又圆心到直线的距离d ＝|－4k| k 2＋1＝|4k|1＋k 2， (1)相切：则d ＝4⇔4|k|1＋k 2＝22，∴k 2＝1，k ＝±1，∴α＝π4或α＝3π4. 即当α＝π4或α＝3π4时直线与圆相切， 切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0.(2)相交：则d<r ⇔4|k|1＋k 2<22， ∴k 2<1，∴－1<k<1，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π. 此时，直线与圆相交．(3)相离：d>r ⇔4|k|1＋k 2>22，∴k 2>1，∴k>1或k<－1.∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. 又当α＝π2时，直线x ＝4与圆相离， ∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 时，直线与圆相离． 10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解析 将x ＝3－2y 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1，y 2满足条件y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m 5. ∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2，∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2.∴9－6×4＋5×12＋m 5＝0，解得m ＝3. 此时Δ>0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3，半径r ＝52. 11．若实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解析 方法一：(1)圆方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2，0)为圆心，半径为3的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时有|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3，故y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x)max ＝－2＋6，(y －x)min ＝－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为3，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.方法二：设x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ，θ∈[0，2π)，(1)设y x ＝u ，则u ＝3sin θ2＋3cos θ. ∴2u ＋3ucos θ＝3sin θ，∴3sin θ－3ucos θ＝2u.sin (θ－φ)＝2u3·u 2＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin φ＝u u 2＋1，cos φ＝1u 2＋1 ∵|sin (θ－φ)|≤1，∴2|u|3·u 2＋1≤1.解之得－3≤u ≤ 3. (2)y －x ＝3sin θ－2－3cos θ＝－2＋6sin (θ－π4)． ∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4≤1， 故(y －x)max ＝－2＋6，(y －x)min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋4 3.(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.1．自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线方程．解析 设光线l 所在的直线的斜率为k ，由光学原理可知，反射光线所在的直线的斜率为－k ，且反射光线所在的直线经过点A 关于x 轴的对称点A(－3，－3)，故反射光线所在直线的方程为y ＋3＝－k(x ＋3)，即kx ＋y ＋3k ＋3＝0，依题意，它与圆(x －2)2＋(y －2)2＝1相切，所以|2k ＋2＋3k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或－34，故光线l 所在的直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.2．已知A(－2，0)，B(2，0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)，求点D 的轨迹方程．解析 设C 坐标为(x 1，y 1)，D 坐标为(x ，y)，由|AC →|＝2，得(x 1＋2)2＋y 12＝4.①又由向量AD →＝12(AB →＋AC →)，可得(x ＋2，y)＝（4，0）＋（x 1＋2，y 1）2， 即(2x ＋4，2y)＝(6＋x 1，y 1)，则有2x －2＝x 1，2y ＝y 1.②把②式代入①式得，(2x)2＋(2y)2＝4化简得x 2＋y 2＝1，即为点D 的轨迹方程．3．平面上两点A(－1，0)，B(1，0)，在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4上取一点P ，求使|AP|2＋|BP|2取得最小值时点P 的坐标．解析 因为P 在圆上，所以可设P(3＋2cos θ，4＋2sin θ)．又因为A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(3＋2cos θ＋1)2＋(4＋2sin θ)2＋(3＋2cos θ－1)2＋(4＋2sin θ)2＝60＋32sin θ＋24cos θ＝60＋40sin (θ＋φ)(tan φ＝34)． 当sin (θ＋φ)＝－1，(|AP|2＋|BP|2)min ＝20.此时60＋24cos θ＋32sin θ＝20，即3cos θ＋4sin θ＝－5.又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得cos θ＝－35，sin θ＝－45，则P ⎝⎛⎭⎫95，165. 4．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t ＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求圆心的轨迹方程；(3)求其中面积最大的圆的方程；(4)若点P(3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解析 原方程可整理为[x －(t ＋3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝－7t 2＋6t ＋1.(1)r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，解得－17<t<1. (2)设圆心坐标为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝4t 2－1， 消t 可得y ＝4x 2－24x ＋35，此即为圆心轨迹方程．(3)求圆面积最大即求圆半径最大，半径的平方最大．r 2＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， 所以当t ＝37时，r 2最大为167，此时圆方程为 ⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋36492＝167. (4)要使点P(3，4t 2)恒在所给圆内，那么把P 点坐标代入圆方程应满足[3－(t ＋3)]2＋[4t 2＋(1－4t 2)]2＋7t 2－6t －1<0，即8t 2－6t<0，解得0<t<34. 5.如图，已知定点A(2，0)，点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程．解析 由三角形角平分线性质，得|QM||MA|＝|OQ||OA|＝12，∴|QM||MA|＝12. 设M ，Q 的坐标分别为(x ，y)，(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12×21＋12，y ＝y 0＋12×01＋12⇒⎩⎨⎧x 0＝32x －1，y 0＝32y. 因为Q 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 02＋y 02＝1.所以⎝⎛⎭⎫32x －12＋⎝⎛⎭⎫32y 2＝1，所以动点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝49. 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆C 外一点P(x ，y)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标．解析 (1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心(－1，2)，r ＝ 2.设圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，①当a ＝b ＝0时，切线方程可设为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由点到直线的距离公式，得2＝|－k －2|k 2＋1⇒k ＝2±6. 所以切线方程为y ＝(2±6)x.②当a ＝b ≠0时，切线方程为x a ＋y b＝1，即x ＋y －a ＝0. 由点到直线的距离公式，得2＝|－1＋2－a|12＋12⇒a ＝－1，a ＝3. 所以切线方程为x ＋y ＋1＝0，x ＋y －3＝0.综上，所求切线方程为y ＝(2±6)x ，x ＋y ＋1＝0，x ＋y －3＝0.(2)连接MC ，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2，∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－|MC|2＝|PO|2.即(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2.整理得x ＝2y －32. ∴|PM|＝|PO|＝x 2＋y 2 ＝⎝⎛⎭⎫2y －322＋y 2＝5y 2－6y ＋94. 当y ＝－－610＝35时，|PM|最小，此时x ＝－310， ∴P ⎝⎛⎭⎫－310，35.。
人教版数学高一-必修2学案 4.2.3直线与圆的方程的应用
4．2.3直线与圆的方程的应用基础梳理用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：练习1：(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示圆心在(a，b)，半径为r的圆．练习2：y＝1－x2表示圆心在(0，0)，半径为1的半圆．练习3：y＝b－r2－（x－a）2表示圆心在(a，b)，半径为r的下半圆．►思考应用用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？解析：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系．自测自评1．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示的圆(D )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x －y ＝0对称D ．关于直线x ＋y ＝0对称解析：该圆的圆心(－a ，a)，在直线x ＋y ＝0上，故关于直线x ＋y ＝0对称．2．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为(B ) A ．0或2 B ．2 C .2 D ．无解解析：圆心(0，0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m|2＝m ，m ＝2. 3．以(23，0)为圆心，截直线y ＝3x 所得的弦长为8的圆的方程为解析：由圆心为(23，0)，设圆的方程为(x －23)2＋y 2＝r 2，利用r 2＝42＋d 2，其中d ＝∣23·3∣32＋12＝3，得r ＝5，故圆的方程(x －23)2＋y 2＝25.4．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有(B )A ．1条B ．3条C ．4条D ．以上均不正确解析：圆C 1的方程即：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，圆心C 1(－2，2)，半径为1.圆C 2的方程即(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心C 2(2，5)，半径为4，两圆的圆心距为（2＋2）2＋（5－2）2＝5，正好等于两圆半径之和，故两圆相切，故两圆公切有三条．基础达标1．若直线3x ＋4y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则k 的值等于(A )A ．1或－19B ．10或－10C ．－1或－19D ．－1或19解析：圆方程为(x －3)2＋y 2＝22，∵圆与直线相切，∴圆心到切线距离等于半径．∴|9＋k|5＝2，∴k ＝1或－19. 2．如果实数x ，y 满足等式(x －1)2＋y 2＝34，那么y x的最大值是(B ) A .12 B .33 C .32D . 3 解析：y x的几何意义是圆上的点P(x ，y)与原点连线的斜率，结合图形得，斜率的最大值为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝ 3. 3．方程x(x 2＋y 2－1)＝0和x 2－(x 2＋y 2－1)2＝0表示的图形是(C )A ．都是两个点B ．一条直线和一个圆C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆D ．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆4．设A 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆C 的切线，且|PA|＝1，则点P 的轨迹方程是________．答案：(x ＋1)2＋y 2＝55．下图所示是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB ＝20 m ，拱高OP ＝4 m ，建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到0.01 m )．解析：建立如下图所示直角坐标系，使圆心在y 轴上，只需求出P 2的纵坐标，就可得出支柱A 2P 2的高度．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2＋(y －b)2＝r 2.下面确定b 和r 的值．因为P ，B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x 2＋(y －b)2＝r 2.于是得到方程组⎩⎨⎧02＋（4－b ）2＝r 2，102＋（0－b ）2＝r 2，解得b ＝－10.5，r 2＝14.52，所以，圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52.把点P 2的横坐标x ＝－2代入圆的方程，得(－2)2＋(y ＋10.5)2＝14.52，即y ＋10.5＝14.52－（－2）2(P 2的纵坐标y ＞0，平方根取正值)．所以y ≈3.86(m )，支柱A 2P 2的高度约为3.86 m . 巩固提升 6．已知x ＋y ＋1＝0，那么（x ＋2）2＋（y ＋3）2的最小值是________．解析：（x ＋2）2＋（y ＋3）2表示点(x ，y)与点(－2，－3)之间的距离，又点(x ，y)在直线x ＋y ＋1＝0上，故最小值为点(－2，－3)到直线x ＋y ＋1＝0的距离，即d ＝|－2－3＋1|2＝2 2. 答案：2 27．当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k(x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是(C )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512B .⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C .⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞解析：曲线y＝1＋4－x 2表示半圆x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，若直线与曲线相切则k ＝512.结合图形得直线与半圆有两个不同交点时，512<k ≤34. 8．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，则2x ＋y 的最大值和最小值分别为________和________．x 2＋y 2的最大值和最小值分别是________和________．答案：25 －25 5＋2 5－29．设有半径为3公里的圆形村落，A ，B 两人同时从村落中心出发，A 向东而B 向北前进，A 离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B 相遇．设A ，B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问A ，B 两人在何处相遇？解析：如图所示以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系，又设A向东走到D 转向到C 恰好与B 相遇，设CD 方程为x a ＋y b＝1(a>3，b>3)，设B 的速度为v ，则A 的速度为3v ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|ab|a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v ＝b v.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝154.所以B 向北走3.75公里时相遇．1．用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何问题．2．直线和圆在现实生活中的应用，主要包括两大块：一块是直线和圆的直接应用，它涉及质量、重心、气象预报、购物选址等问题；二是直线和圆的方程形式，可以使我们更好地了解近代数学的发展．。
【课时通】高一数学人教版必修2课件4.2.3 直线与圆的方程的应用2
【题型示范】 类型一 直线与圆的方程的实际应用
【典例1】 (1)(2014·济宁高一检测)一辆卡车宽2.7米,要经过一个半径为 4.5米的半圆形隧道(双车道,不得违章),则这辆卡车的平顶车 篷篷顶距离地面的高度不得超过 ( )
A.1.4米
B.3.0米
C.3.6米
D.4.5米
的距离是20 2 km,
则有MN= 2 302 (20 2)2 =20(km),因此B城市处于危险区内的时
间为 20 =1(h).
20
2.建立以AB所在直线为x轴，AB中点为原点的直 角坐标系，则A(－50,0),B(50,0)，设P(x,y)， 由2|PA|=|PB|，得x2+y2+ 500 x+2 500=0，所以在圆x2+y2
所在直线方程为 x y 1， 即4x+7y-28=0,圆心(0,0)到航线4x+
7 4
7y-28=0的距离为d=
|28| 42 7 2
பைடு நூலகம்
28 3 =r,所以直线与圆相离, 65
即轮船不会受到台风的影响.
【方法技巧】求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤 (1)认真审题,明确题意. (2)建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从 而在实际问题中建立直线与曲线的方程. (3)利用直线与圆的有关知识求解问题 . (4)把代数结果还原为实际问题的解释 .
得r=1,故内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,化简得x2+y2-2x-2y+1
=0.设P(x,y),则|PB|2+|PA|2+|PO|2=x2+(y-3)2+(x-4)2+y2+x2+y2 =3x2+3y2-8x-6y+25=-2x+22.又x∈[0,2],故|PB|2+|PA|2+|PO|2 的最大值为22,最小值为18,所以以|PA|,|PB|,|PO|为直径的 三个圆的面积之和为 (|PB|2+|PA|2+|PO|2)，其最大值与最 小值分别为 11 , 9 .
人教版高中数学必修2-4.2《直线与圆的方程应用》教学设计
4.2 直线、圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程应用(朱海军)一、教学目标（一）核心素养通过直线与圆方程的综合应用，熟练掌握使用代数法来解决问题的方法. （二）学习目标1.坐标法解决直线和圆的应用问题（分析，建系，抽象出数学问题）.2.与圆有关的最值问题.3.与圆有关的中点弦问题.（三）学习重点综合使用直线与圆的方程来解决问题.（四）学习难点1.将实际问题转化为数学问题.2.在运用坐标系证明几何问题时，合理建立直角坐标系的方法.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材中的例题4，了解将实际问题转化为数学问题的具体例子；（2）记一记：用坐标法解决几何问题的步骤第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.（3）做一做：完成课后习题2，体会使用直线与圆方程解决问题的过程.2.预习自测（1）赵州桥的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，求这座圆拱桥的拱圆方程. 【知识点】将实际问题转化为数学问题的方法.【数学思想】代数法【解题过程】放在一元二次方程中，我们可以画出拱圆图形是一个抛物线，则设拱圆的方程为c bx ax y ++=2，顶点在y 轴上若跨度两边的点在x 轴上，则方程过点（-18.75,0)、(18.75,0)、(0,7.2)，将这三个点代入方程，解出a,b,c 即可若拱圆的顶点在x 轴上,则方程过点(-18.75,-7.2)、(18.75,-7.2)、(0,0)，将这三个点代入方程，解出a,b,c 即可.但是由于此题要求的是拱圆方程，则我们必须求出的是一个圆的方程，因此我们可以设圆心坐标为原点，半径为r ，则圆拱桥的方程为222r y x =+，则有，半径与跨度一般、半径减圆拱高的线段构成一个直角三角形.有：()2222.775.18-+=r r ，解出r =28.0再代入圆的方程即可. 【思路点拨】建立直角坐标系【答案】2220.28=+y x（2）如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么xy 的最大值是________. 【知识点】直线与圆的最值问题【数学思想】化归与转化【解题过程】分析可知，x y 的最值是过原点的直线与圆相切时的直线的斜率，设:0,l kx y l d k -====则圆心到的距离则所以x y 【思路点拨】xy 看成(,)x y 与(0,0)连线的斜率【答 （3）过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆的两条切线，切点为12,T T ， 则直线12TT 的方程为________.【知识点】切线、切点弦【数学思想】方程思想【解题过程】设切点12,T T 为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 的方程为11(2)(2)4x x y y +--=，同理2AT 的方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则。
人教新课标版数学高一-必修2 4.2.3 直线与圆的方程的应用
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课堂10分钟达标练
1.直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.因为圆心到直线的距离为d==,圆的半径为2. 所以劣弧所对的圆心角为60°.
2.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为________.
【解析】因为圆心到直线的距离为,所以从村庄外围到小路的最短距离为-2.
答案:-2
3.已知x+y+1=0,那么的最小值是________. 【解析】表示点(x,y)与点(-2,- 3)之间的距离,又点(x,y)在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d==2.
答案:2
4.已知实数x,y满足x2+y2+4x+3=0,求的最大值与最小值.
【解析】如图所示,设M(x,y),则点M在圆O1:(x+2)2+y2=1上.
令Q(1,2),则设k=k MQ=,即kx-y-k+2=0.
过Q作圆O1的两条切线QA,QB,则直线QM夹在两切线QA,QB之间,所以k QA≤k QM≤k QB.又若O1到直线kx-y-k+2=0的距离为1,得=1,即k=,所以的最大值为,最小值为.
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人教新课标版数学高一-数学人教版必修二直线和圆的综合问题(2)
学科：数学专题：直线和圆的综合问题题1已知直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点，则实数m 的取值范围是____________．题2已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ．若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；题3过原点的直线与圆044222=+--+y x y x 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．题4在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．题5已知点P 是半径为5的⊙O 内的一个定点，且OP =3，则过点P 的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）．A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条题6圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)题7 从原点向圆x 2+y 2-12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．题8已知圆C ：（x -3）2+（y -4）2=4和直线l ：kx -y -4k +3=0．（1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；（2）求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．题9若直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），则（ ）．A ．422≤+b aB ． 422≥+b aC ．41122≤+b aD ．41122≥+b a题10若直线b x y -=与曲线212+-=y x ，有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为 ．题11如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称（p ，q ）为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．课后练习详解 题1答案：222<≤m ．详解：当直线y =x +m 与圆相切时，由题意可得2||2m =， ∴22=m 或22-=m (舍去），当直线y =x +m 过A （-2，0）时，m =2，此时y =x +2过（0，2）点结合图形可得，直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点时，222<≤m ．题2答案：(x －2)2＋y 2＝8．详解：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．题3答案：2x －y ＝0．详解：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－(22)2＝0， 即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0．题4答案：（-15，-5）∪（5，15）．详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）故圆心（0，0）到直线4x -3y +c =0的距离为5||c d =， 如图中的直线m 恰好与圆有3个公共点，此时d =OA =2-1，直线n 与圆恰好有1个公共点，此时d =OB =2+1=3，当直线介于m 、n 之间满足题意．故要使圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，只需d 大于1小于3，即35||1<<c ， 解得：-15＜c ＜-5，或5＜c ＜15故c 的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）．题5答案：C ．详解：如图，过P 作弦AB ⊥OP ，交⊙O 于A 、B ，连接OA ；Rt △OAP 中，OP =3，OA =5；根据勾股定理，得AP =4；∴AB =2AP =8；故过点P 的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；当弦长为8、10时，过P 点的弦分别为弦AB 和过P 点的直径，分别有一条；当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有4条．故选C ．题6答案：A ．详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2．由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4，所以选A ．题7答案：60°．详解：设原点为O ，圆心为P （0，6），半径是PA =3，切点为A 、B ，则OP =6， 在Rt △AOP 中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°．题8答案：（1）省略；（2）k =1，22．详解：（1）证明：由直线l 的方程可得y -3=k （x -4），则直线l 恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C 的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l 与圆C 总相交．（2）设圆心到直线l 的距离为d ，则d ==又设弦长为L ，则2222Lr d =+）（， 即222221)224-4(1)322111L k k k k k k +==-+=-≥+++(（）， ∴当k =1时，22L min 2=）（，∴22L min =， 所以圆被直线截得最短的弦长为22．题9答案：B ．详解：直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），∴a cos α+b sin α=2，∴a 2+b 2=(a 2+b 2)(cos 2α+sin 2α)≥(a cos α+b sin α)2=4，（当且仅当cos sin a b αα=时等号成立）故选B ．题10 答案：)223[+，． 详解：因为曲线212+-=y x ，所以（x -2）2+y 2=1（x ≥2），表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0），到直线x -y -b =0的距离为12|2|=-=b d 解得22+=b 或2-2=b （舍去），当直线y =x -b 过点B （2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b =3． 所以要使直线y =x -b 与曲线212+-=y x 有两个不同的公共点， 所以223+<≤b ，即实数b 的取值范围为)223[+，． 故答案为：)223[+，．题11 答案：4．详解：到l 1的距离是1的点，在与l 1平行且与l 1的距离是1的两条直线上； 到l 2的距离是1的点，在与l 2平行且与l 2的距离是1的两条直线上； 以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个． 故答案为：4．。
高考数学 第四章 圆与方程 4.2.3 直线与圆的方程的应用课时作业 新人教A版必修2-新人教A版高
4.2.3 直线与圆的方程的应用【课时目标】 1．正确理解直线与圆的概念并能解决简单的实际问题．2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．3．体会用代数方法处理几何问题的思想．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：一、选择题1．实数x ，y 满足方程x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．122．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )的位置是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．都有可能3．如果实数满足(x ＋2)2＋y 2＝3，则y x的最大值为( )A ． 3B ．－3C ．33D ．－334．一辆卡车宽2．7米，要经过一个半径为4．5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A ．1．4米B ．3．0米C ．3．6米D ．4．5米5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－2B ．3＋ 2C ．3－22D ．3－226．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值X 围是( )A ．[－32，32]B ．[－3,3]C ．(－3,32]D ．[－32，3)二、填空题7．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值X 围是________．9．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值X围是________．三、解答题10．如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4．过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝2|PN|．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．11．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．能力提升12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使得l被C截得的弦AB为直径的圆经过原点．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．13．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的X 围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化归结为已有知识X 围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．4．2．3 直线与圆的方程的应用 答案知识梳理 作业设计1．C [令t ＝x 2＋y 2，则t 表示直线上的点到原点距离的平方，当过原点的直线与l ：x ＋y －4＝0垂直时，可得最小距离为22，则t min ＝8．]2．B [由题意1a 2＋b2<1⇒a 2＋b 2>1，故P 在圆外．] 3．A [令t ＝y x，则t 表示圆(x ＋2)2＋y 2＝3上的点与原点连线的斜率，如图所示，此时k ＝CD OD＝31＝3，相切时斜率最大．] 4．C [可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得：OD ＝OC 2－CD 2＝3．6(米)．] 5．A [l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离 d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1．∴S min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－2．]6．C [M ∩N ≠∅，说明直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)相交，画图探索可知－3<b ≤32，解决本题的关键是注意到y ＝9－x 2⇔x 2＋y 2＝9(y >0)的图形是半圆．] 7．7解析 设P (x 0，y 0)为直线y ＝x ＋1上一点，圆心C (3,0)到P 点的距离为d ，切线长为l ，则l ＝d 2－1，当d 最小时l 最小，当PC 垂直直线y ＝x ＋1时，d 最小，此时d ＝22， ∴l min ＝(22)2－1＝7． 8．(－13,13)解析 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1．∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)． 9．⎝⎛⎦⎥⎤0，2－π2解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S 取得最大值， 此时ABO 2O 1为矩形，且S max ＝2×1－12·π2·12×2＝2－π2．10．解 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，∴|PM |2＝2|PN |2．又∵两圆的半径均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33．∴所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33． 11．解如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)， 则|5k ＋5|12＋k2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0． ∴k 1＝－43，k 2＝－34．则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0． 12．解 假设存在，设直线方程为y ＝x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0⇒2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0． ∴－3－32<b <－3＋32．而x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，由y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2＋2b －42，∵AB 为直径，y 2x 2·y 1x 1＝－1，即y 1y 2＋x 1x 2＝0， ∴b 2＋4b －42＋b 2＋2b －42＝0即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4．∴直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4． 13．解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为 x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0． 圆心(0,0)到直线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∵d >r ，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．。
人教版数学高一人教B版必修2作业2.3.5直线与圆的方程的应用
第27课时 直线与圆的方程的应用课时目标1.了解直线与圆的方程在求最值及实际生活中的应用． 2．体会数形结合的思想．识记强化几何法已知直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2.0≤d ＜r ⇔直线与圆相交； d ＝r ⇔直线与圆相切； d ＞r ⇔直线与圆相离．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )答案：A解析：由方程y ＝－4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝4在x 轴之下的部分．2．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．9 B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5 答案：D解析：圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.3．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( ) A.π4 B.3π4C.3π2D ．π 答案：D解析：数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.4．如果实数x ，y 满足等于(x －2)2＋y 2＝1，那么yx的最大值是( )A.12B.33C.32D. 3 答案：B解析：yx 的几何意义是圆上的点P (x ，y )与原点连线的斜率，结合图形得，斜率的最大值为33，∴⎝⎛⎭⎫y x max ＝33. 5．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A解析：方法一：将两方程联立消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k ＝0.方法二：直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上，因此k ＝0.6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷篷顶距地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.5米C ．3.6米D ．2.0米 答案：B解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝3.62，将(0.8，y )代入方程得|y |≈3.5. 二、填空题(每个5分，共15分)7．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且取得最小面积的圆的方程是________．答案：x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0解析：利用圆系方程来求．8．若直线y ＝x ＋t 被圆x 2＋y 2＝8截得的弦长不大于423，则实数t 的取值范围为________．答案：(－4，－823]∪⎝⎛⎭⎫823，4解析：设圆的半径为r ，直线被圆截得的弦长为l .圆心(0,0)到直线y ＝x ＋t 的距离d ＝|t |2.由题意，得d ＜r ＝22，所以－4＜t ＜4.又⎝⎛⎭⎫l 22＋d 2＝r 2＝8，则l 2＝32－2t 2≤⎝⎛⎭⎫4232，所以t ≤－823或t ≥823，结合－4＜t ＜4，可知－4＜t ≤－823或823≤t ＜4.9．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案：22解析：由已知，得当直线l 与过圆心(2,0)和点(1，2)的直线垂直时，直线l 截圆所得的劣弧最短，此时劣弧所对的圆心角最小，可求得k ＝22.三、解答题10．(12分)若A ＝{(x ，y )|x －y ＋2＝0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －t )2＝2}且A ∩B ≠∅，求t 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，(x －1)2＋(y －t )2＝2，得2x 2＋(2－2t )x ＋(2－t )2－1＝0， ∴Δ＝(2－2t )2－8(2－t )2－1]≥0. ∴1≤t ≤5.11．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设直线l 存在，设l 的方程为y ＝x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0(*)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －42.∵以AB 为直径的圆为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，若它经过原点， 则x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1·y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2， ∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴m 2＋3m －4＝0.m ＝－4或m ＝1. 当m ＝－4或m ＝1时，(*)式的Δ＞0.∴所求直线l 的方程是x －y －4＝0或x －y ＋1＝0.能力提升12．(5分)为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 向正东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ，从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．。
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一、选择题
1．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为
() A．内切B．相交
C．外切D．相离
【解析】两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.
∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．
【答案】 B
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为()
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
【解析】圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．【答案】 A
3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
【解析】设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4
－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.
【答案】 D
4．(2013·济南高一检测)过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )
A ．y ＝3x
B ．y ＝－3x
C ．y ＝33x
D ．y ＝－3
3x
【解析】 因为圆心为(－2,0)，半径为1，由图可知直线的斜率为r 4－r
2
＝
33，所以直线方程为y ＝33x .
【答案】 C
5．(2013·黄冈高二检测)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )
A ．[1－22，1＋22]
B ．[1－2，3]
C ．[－1,1＋22]
D ． [1－22，3]
【解析】 数形结合，利用图形进行分析．由y ＝3－
4x －x 2得(x －2)2＋(y
－3)2＝4(0≤x ≤4,1≤y ≤3)，它表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，|2－3＋b |12＋1
2＝2，得b ＝1－22，故选D.
【答案】 D 二、填空题
6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0相外切，则a ＝________.
【解析】 圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0的圆心为(a,0)，半径为1，由题意可知|a |＝3，∴a ＝±3.
【答案】 ±3
7．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为________．
【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝－1.
【答案】 (－1,0)和(0，－1)
8．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．
【解析】 若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为|C 1C 2|－r 1－r 2.
(x －4)2＋(y －2)2＝9的圆心为C 1(4,2)，半径r 1＝3. (x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C 2(－2，－1)，半径r 2＝2. 又|C 1C 2|＝35，显然两圆相离， 所以|PQ |的最小值为35－5. 【答案】 35－5 三、解答题
9．已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试用几何法证明两圆相交； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
【解】 (1)证明：将两圆方程配方，化为标准方程： C 1(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10. 则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径长r 1＝52； 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径长r 2＝10.
又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， r 1－r 2＝52－10，
∴r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2.故两圆相交．
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)两圆方程联立，得方程组
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，
①②
两式相减得x ＝2y －4，③ 把③代入②得y 2－2y ＝0， 解得y ＝0或y ＝2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2. 故两圆交点坐标为(－4,0)和(0,2)． 因此，两圆的公共弦长为
(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.
10．已知P (－1,2)为圆x 2＋y 2＝8内一定点． (1)求过点P 且被圆所截得的弦最短的直线方程； (2)求过点P 且被圆所截得的弦最长的直线方程． 【解】 已知圆心C (0,0)，半径r ＝2 2.
(1)当弦与PC 垂直时，过点P 且被圆所截得的弦最短． 因为k PC ＝2－1＝－2，所以k ＝12，
因此所求的直线方程为y －2＝1
2(x ＋1)， 即x －2y ＋5＝0.
(2)当弦过圆心C 时，过点P 且被圆所截得的弦最长． 因为k PC ＝－2，
所以所求的直线方程为y －2＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＝0.
11．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
【解】 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y
4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝
|28|42＋72
＝
28
65
，而半径长r ＝3，
∵d >r ，
∴直线与圆相离．
故这艘轮船不改变航线，不会受到台风的影响.。