人教新课标版数学高一人教数学必修2课时作业24直线与圆的方程的应用

一、选择题

1．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为

() A．内切B．相交

C．外切D．相离

【解析】两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.

∵3－2

【答案】 B

2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为()

A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0

C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0

【解析】圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．【答案】 A

3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()

A．(x－5)2＋(y－7)2＝25

B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15

C．(x－5)2＋(y－7)2＝9

D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9

【解析】设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4

－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.

【答案】 D

4．(2013·济南高一检测)过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )

A ．y ＝3x

B ．y ＝－3x

C ．y ＝33x

D ．y ＝－3

3x

【解析】 因为圆心为(－2,0)，半径为1，由图可知直线的斜率为r 4－r

2

＝

33，所以直线方程为y ＝33x .

【答案】 C

5．(2013·黄冈高二检测)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )

A ．[1－22，1＋22]

B ．[1－2，3]

C ．[－1,1＋22]

D ． [1－22，3]

【解析】 数形结合，利用图形进行分析．由y ＝3－

4x －x 2得(x －2)2＋(y

－3)2＝4(0≤x ≤4,1≤y ≤3)，它表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，|2－3＋b |12＋1

2＝2，得b ＝1－22，故选D.

【答案】 D 二、填空题

6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0相外切，则a ＝________.

【解析】 圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0的圆心为(a,0)，半径为1，由题意可知|a |＝3，∴a ＝±3.

【答案】 ±3

7．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为________．

【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0，

y ＝－1.

【答案】 (－1,0)和(0，－1)

8．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．

【解析】 若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为|C 1C 2|－r 1－r 2.

(x －4)2＋(y －2)2＝9的圆心为C 1(4,2)，半径r 1＝3. (x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C 2(－2，－1)，半径r 2＝2. 又|C 1C 2|＝35，显然两圆相离， 所以|PQ |的最小值为35－5. 【答案】 35－5 三、解答题

9．已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试用几何法证明两圆相交； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．

【解】 (1)证明：将两圆方程配方，化为标准方程： C 1(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10. 则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径长r 1＝52； 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径长r 2＝10.

又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， r 1－r 2＝52－10，

∴r 1－r 2<|C 1C 2|

(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)两圆方程联立，得方程组

⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，

①②

两式相减得x ＝2y －4，③ 把③代入②得y 2－2y ＝0， 解得y ＝0或y ＝2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0，y ＝2. 故两圆交点坐标为(－4,0)和(0,2)． 因此，两圆的公共弦长为

(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.

10．已知P (－1,2)为圆x 2＋y 2＝8内一定点． (1)求过点P 且被圆所截得的弦最短的直线方程； (2)求过点P 且被圆所截得的弦最长的直线方程． 【解】 已知圆心C (0,0)，半径r ＝2 2.

(1)当弦与PC 垂直时，过点P 且被圆所截得的弦最短． 因为k PC ＝2－1＝－2，所以k ＝12，

因此所求的直线方程为y －2＝1

2(x ＋1)， 即x －2y ＋5＝0.