梁板壳的几何大变形_从近似的非线性理论到有限变形理论
生物软组织力学特性及超弹性模型
生物软组织力学特性及超弹性模型生物软齟织力学待性属于生物粘弹性固体力学的研究范峙，己广泛应用于生狗怵的基础研允.如机肉讥皮肤国' 心肌阿及布横阿等.为ia袒工程握供了大盘的生物力学数据.宙于生命体结构与功能的复杂性和特殊性.便软组织在变形时表现岀各向杲性、非线性*粘弹性，墜性等特点(珂・其力学模型主要有粘弹性模型利趙弹性摸型.粘弹件锁魁吧研朮生物轮组织的…个早期榄型*理论成筋，c广泛应用到肌罔、闸帯、柏顺、戌|庆、粘贬朋血倚竽轶殂织的生韌力学研咒」山同吋•诫翦地粘押件理论研兗为超禅性模型的发展幵拓了思齬・尽管软组织的力学行为表现出与时间相黄的特性•但崔好应变卒范鬧内(即准静态条件卜［・展魅可将其觇为超弹性体-自上个世紀80年代以来.各圜学者対生物软组织的翘艸峙和为进苗了广泛地研究・程理论利临氐研冗方而血取得了氏足地逬燧・本章首先介细主物软组织力学性能的研宛冇法和歆组织变形时的力学特征.在介绍趙弹性应变能函数王曲，肯龙从连续介质力学出狀.介貂有限变形理论「在这一部分渓及有限变形时的桶种应山/陶变表达方式；隹介绍粗弹性模型吋.就简单的荐向局性应变能碉毀开始・邃歩引入横向同性超弹性模塑・最后提出前卿録腺准静歩轴向力学件能研託方江口因为木文卞要研究家殒前制艘腺在低疵变率下的撞忡力学忤施・故未研JE材料的粘弹杵櫃型.2 1生物软组织力学特性研究方法生樹软组织不冏于常见的金属或高聚物尊材料.其组织结构貝朵.力学ttttfiffi 处环境和实验方註的雖响较大，研覽具力学性醴的硏究方法構像篇考虫鞠理学与工凰学冇面的知HI.生物力学研眾方法主要包含以下儿个主要步悄问：(1)研眾宦砌須纵的i松在学和细观组织结构.以便于理W0FS对镇的几何构翹及对力学性能的滋响.(2)测定问趣屮涉及的M料或组织的力学性葩°在该却需屮・III/试样欣材不便、fj效试禅尺• f不足威试佯的离体狀态,塔加了确宦本构方程的难度,但可以枚为春晶的建立示构方用的粽学厢式，而把某此嚳筛鬲待牛.网实验卿俯定"(3)粮抿物理学基本定律和材科本构方程，推导岀微分方程或积分方程：⑷井清组织嶠肓府工作坏境.得到肖盘义的边界荼件；同时.粥解析圧或坡值法求解边界値何邂*⑸进存生理丈验.验证上述边界値问遞的解.在该步購中，釦必便实验与靂论相一魏・简華地说就绘幣戒拒同的假说；(6)将实验结果与相应的理论解进行对比.验证假设是否合理.求得本构方程:(7)探讨理论与丈验的实际应用。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
梁杆结构几何非线性有限元的数值实现方法
NUMERICAL IMPLEMENTATION OF GEOMETRICALLY NONLINEAR FINITE ELEMENT METHOD FOR BEAM STRUCTURES
CHEN Zheng-qing
(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
= tσ ij + ∆∗T ij = ∆∗ Eij
(1) (2)
而它在 t+Δt 时刻柯西应变就等于其增量：
t + ∆t t Eij
式中， ∆ Eij 为：
∗
∆∗ Eij = ∆∗ε ij + ∆∗ηij 1 ∆∗ε ij = (∆ui ,j + ∆u j ,i ) 2 1 ∆∗ηij = ∆uk ,i ∆uk ,j 2
———————————————
收稿日期：2013-05-01；修改日期：2014-03-06 基金项目：国家自然科学基金项目(91215302) 作者简介： 陈政清(1947―)， 男， 湖南湘潭人， 教授， 博士， 湖南大学风工程研究中心主任， 主要从事结构振动与控制研究(E-mail: zqchen@).
(3) (4) (5)
44
工
程
力
学
E G [ t kαβ ]{∆qα } = {t+ ∆t Pβ − tψ β } + t kαβ
仍然假定变形体的应变增量是小应变，应 力应变增量关系可以记为：
(14) (15) (16)
′ ∆∗ε kl ∆∗T ij = Cijki
功增量方程如下： ′ = A3 ′ − A4 ′ A1′ + A2 式中：
欧拉伯努利梁理论
§9.2
若在梁的总变形(挠度)中■眄变形与弯曲变形相比较■前者可以略 去•则町对浹木辛柯梁理论作一些修正•可以设(9.1-5b)式中
这样・FsHO・这个假设的意义是：在谁未交形状态垂直F梁轴线的横截 面•在梁变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线•这样•由(9.1-
5a)及(9.1-8a)式可得
若给定梁端的3(或FJ以及器(或M),則可得到方程(9.2-3)的惟一 解方程(9.2-2)、(9.2-3)是欧拉-伯努利梁模型，这疑以对这个问题 进行研究的数学家、力学家欧拉(1707—1783)和伯努利(1700—1782)的 名字命名的欧拉-伯努利梁理论以其形式简单.便于应用而在工程上被 广泛地采用，因此•这一理论在材料力学课程中冇详细的讨论.需要指出 的是.在历史上，先有欧拉・伯努利梁理论•它对于细长梁(£■*0,见图9-3)是正确的•在这种情况下，略去的变形，即假设梁只有 弯曲变形，而梁对于剪变形是完全刚件的.这样处理，不会产牛明显的谋 羞•对于粗短染(£井非很小)，剪变形在渠的总变形(挠度)中右较大的 贡献.剪变形与弯曲变形相比洞者不能略去一因此.对片粗班梁必须采用 饮木辛柯梁模型进行计算.铁木辛柯梁理论是欧拉-伯努利梁理论的发 展.
例弹性基础梁
现应用欧拉-伯努利梁等敲面.两瑞简支•受均布栽荷/»。，弹性基础的刚性
有限元方法的发展及应用
有限元⽅法的发展及应⽤有限元⽅法的发展及应⽤摘要：有限元法是⼀种⾼效能、常⽤的计算⽅法。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它⼴泛地应⽤于以拉普拉斯⽅程和泊松⽅程所描述的各类物理场中。
⾃从1969年以来，某些学者在流体⼒学中应⽤加权余数法中的迦辽⾦法或最⼩⼆乘法等同样获得了有限元⽅程，因⽽有限元法可应⽤于以任何微分⽅程所描述的各类物理场中，⽽不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
基本思想：由解给定的泊松⽅程化为求解泛函的极值问题。
1有限元法介绍1.1有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是⽤较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应⽤数学、现代⼒学及计算机科学相互渗透、综合利⽤的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的⼩的互连⼦域组成，对每⼀单元假定⼀个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满⾜条件(如结构的平衡条件），从⽽得到问题的解。
这个解不是准确解，⽽是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于⼤多数实际问题难以得到准确解，⽽有限元不仅计算精度⾼，⽽且能适应各种复杂形状，因⽽成为⾏之有效的⼯程分析⼿段。
有限元法最初应⽤在⼯程科学技术中,⽤于模拟并且解决⼯程⼒学、热学、电磁学等物理问题。
1.2有限元法优缺点有限元⽅法是⽬前解决科学和⼯程问题最有效的数值⽅法，与其它数值⽅法相⽐，它具有适⽤于任意⼏何形状和边界条件、材料和⼏何⾮线性问题、容易编程、成熟的⼤型商⽤软件较多等优点。
（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层⾯上建⽴起对有限元法的理解，既可以通过⾮常直观的物理解释来理解，也可以建⽴基于严格的数学理论分析。
（2）有很强的适⽤性，应⽤范围极其⼴泛。
它不仅能成功地处理线性弹性⼒学问题、费均质材料、各向异性材料、⾮线性应⽴-应变关系、⼤变形问题、动⼒学问题已及复杂⾮线性边界条件等问题，⽽且随着其基本理论和⽅法的逐步完善和改进，能成功地⽤来求解如热传导、流体⼒学、电磁场等领域的各类线性、⾮线性问题。
大挠度空间梁的静、动力学建模、分析与计算
综合以上文献的研究埘以看出，建模是基于Ｈａｍｉｌｔｏｎ原理或者牛顿第二运动定 律，在考虑到电子大变形掰雩｛超稿位移一应变韵鞯线镶菸盛保留撵瞧粱在弯曲变形 黠熬夸熬辫率瓣嚣绞篷磺翡肇疆上接导爨寒豹粱懿丈挠度运动凌力学徽分方程。～ 系列实验和实践表明，保留到二阶或者量阶非线性项的影响所建立的梁的大挠度送 嬲微分方程是瀵怒工程或麓装求豹。
１．２．１静力学方程的求解方法概述
对于大挠度梁结构来说，位移和应变之间的已经不再表示为线性关系。而且由 于梁结构的大挠度变形，位移和应变之间呈非线性关系，刚度矩阵也不再是常数矩 阵，而是单元位移的矩阵函数。几何非线性有限元是在传统方法的基础上，引入了
大挠度空间梁的静、动力学建模、分析与计算
应变与位移之间的几何非线性关系，然后再将系统动力学方程中的非线性项作’近 似变换，非线性项就可以表示为与节点位移有关的几何刚度矩阵㈣㈣，即
ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｉｓ ｏｂｖｉｏｕｓ，ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｄｒａｗｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ
ｓａｍｅ ｔｈｅ
ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｖｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ。
非线性弹性力学
1948年R.S.里夫林在任意形式的贮能函数下，得到不可压缩弹性体的几个简单而重要问题的精确解。将它们 应用于橡胶制品，即使橡胶的伸长为原长的两三倍，精度仍能达到百分之几。在这一成就的鼓舞下，学者们重新 开始探讨有限变形弹性理论，并导致了整个的蓬勃发展。此后，非线性弹性理论就成为理性力学的重要组成部分。 1952年起C.特鲁斯德尔、W.诺尔、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.爱林根以及美籍华人王钊诚在 非线性弹性力学方面作出较大贡献，中国的郭仲衡于1962～1963年连续发表了多篇论文。1972年奥登等人在用有 限元法进行数值解方面做了大量有成效的工作，从而使得非线性弹性力学在工程实际中得到较广泛的应用。但是 非线性弹性力学无论在理论方面、精确解方面还是数值近似解方面都比线性弹性力学难度大，所以至今远不如线 性弹性力学成熟，有许多问题尚需进一步探讨。非线性弹性力学的基本概念和方程比较复杂，在分析中大多采用 张量这一数学工具。
变形描述
变形描述在讨论非线性弹性力学问题时，取初始时刻物体在三维空间中所占的区域为参考构形（见）现时构形，在其上取笛卡儿坐标。
由方程 对于有单值逆变换的情形，存在 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 其中u是该物质点的位移矢量,它在和中的坐标分别记为和。 必须区分使用和坐标，这是非线性弹性力学区别于线性弹性力学的基本特征之一。 描述物体变形的量有变形梯度，在中，其定义为： 其中为克罗内克符号；为位移分量的偏导数，即变形梯度既包含纯变形又包含刚性转动，为把纯变形从其中 分解出来，须采用极分解定理，相应于左分解和右分解分别得到左柯西-格林应变(又称芬格应变)和右柯西-格林 应变(又称格林变)。而在中有逆应变(称为皮奥拉应变)和(称为柯西应变)。
结构非线性问题
第12章结构非线性问题结构的非线性问题可分为两大类，第一类为材料非线性问题，第二类为几何非线性问题。
一些工程结构甚至需要考虑材料和几何双重非线性。
但除了结构存在明显的非线性特征，需要研究非线性分析方法[43]外，在工程精度范围内，许多问题可以用线性分析方法来近似。
§12.1 材料非线性与极限荷载在单纯的材料非线性问题中，假定结构位移微小，位移与应变的几何关系（几何方程）是线性的，而应力与应变关系是非线性的。
这时表征材料特性的弹性模量E和泊松比μ不再是常数，而是应力σ和应变ε的函数。
在有限元分析中，表现在原弹性矩阵[D]是应变的函数，也是位移的函数。
当确定位移模式后，导出的单元刚度矩阵[k]就是结点位移列阵{δ}的函数。
材料非线性问题有非线性弹性问题和非线性弹塑性问题之分。
后者是材料超过屈服极限后呈现出的非线性，常见于各种结构的弹塑性分析。
在简单加载过程中的非线性阶段两者并无本质区别，但卸载过程，前者是可逆过程，即卸载后结构会恢复到加载前的位置；后者是不可逆的，将出现残余变形。
除了加载之外，其它因素如蠕变、温变、裂纹扩展时也存在材料非线性问题。
大多数工程材料（如钢材、钢筋混凝土）在加载变形过程中都存在线弹性阶段、屈服阶段和强化阶段。
随着荷载的增加，结构上应力大的点首先达到屈服强度，发生屈服而使结构进入弹塑性状态。
这时虽然部分材料已进入塑性状态，但相当大部分仍处于弹性范围，因而结构仍可继续承载，直至塑性部分进一步扩展而发生崩溃。
工程设计中，允许材料进入塑性的结构分析称为材料非线性分析，分析基于：理想弹塑性（如图12.1.1所示）、比例加载和平截面等基本假定。
极限状态设计所关心的不是荷载作用下结构弹塑性的演变历程，而是结构出现塑性变形直到崩溃时所能承受的最大荷载，然后考虑结构应有足够的安全储备，以此结构处于极限状态时应同时满足三个条件：平衡条件、屈服条件（也称内力局限条件，即|M|≤M u）和单向机构条件。
大变形问题有限元分析
解线性方程组
通过求解由刚度矩阵构成的线性方程 组，得到离散解。
后处理
对离散解进行后处理，如误差估计、 收敛性分析等。
04
大变形问题的有限
元分析
有限元模型的建立
确定问题类型
选择单元类型
根据实际问题，确定是弹性问题、塑性问 题还是流体动力学问题等。
根据问题类型和求解精度要求，选择合适 的单元类型，如四边形单元、六面体单元 等。
在大变形问题中，由于物体的位移和变形较大，传统的有限 元分析方法可能无法准确描述物体的变形行为，因此需要采 用更高级的有限元分析方法。
研究意义
大变形问题在工程实践中具有广泛的应用，如桥梁、建筑 、航空航天等领域的结构分析。因此，研究大变形问题的 有限元分析方法具有重要的实际意义。
通过研究大变形问题的有限元分析方法，可以更好地了解 物体的变形行为，提高工程结构的可靠性和安全性。此外 ，该研究还可以为其他复杂工程问题的有限元分析提供理 论支持和方法指导。
求解方程组
利用选定的求解方法，求解建立的方程组， 得到各节点的数值解。
有限元分析的步骤和流程
对计算结果进行可视化、分析和 解释等。
建立方程组、选择求解方法和求 解方程组等。
建立几何模型、划分网格和离散 化处理等。
前处理
求解过程
后处理
05
有限元分析的实例
实例一：简单大变形问题分析
模型描述
考虑一个简单的弹性体，在受到外力作用时 发生的变形。
建立几何模型
划分网格
根据实际问题，建立相应的几何模型，包 括形状、尺寸和边界条件等。
将几何模型划分为有限个小的单元，每个 单元由节点和边组成。
有限元模型的求解
离散化处理
大变形问题有限元分析
uK
,J
1 2
uK
,I
uK ,J
eIJ IJ
二者之间满足张
线性部分 非线性部分
量变换关系！
现时（Updated）Green应变增量：
* ij
1
ui
2 x j
u
j
xi
1 2
uk xi
uk x j
*eij *ij
IJ
xm X I
xn X J
* mn
非线性部分
2020/4/5
线性部分
4
kl
1 2
uk,l ul,k um,kum,l
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。
大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
2020/4/5
3
第3页/共26页
大变形问题的应变描述(3/4)
应变增量：
Green应变增量：
IJ
1 2
KJ
uK,J
uK ,I KI uK ,I
2020/4/5
9
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大变形分析中的本构关系(3/5)
超弹性材料
假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构
关系，这类材料称为超弹性材料。
Case-1 W W KL
例如
W
1 20
IJ AIJKL KL
(不限于这种形式）
增量形式 …
SIJ
0
W KL IJ
初始构型时材料 的密度－常数
弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
（大变形分析中）
ij Aijkl kl
Aijkl 为常数
大变形理论
国内外研究现状
国内外研究现状
理论 方面
SR—RS理论（Finger-Truesdell）： 该理论的核心是以乘积分解定理为基 础的。 S—R理论（Stokes）：1845年时 Stokes提出局部转动和压力场无关的 原理并提出将其推广到固体的位移场。 钱伟长采用双参数摄动研究了悬臂梁 大挠度问题；陈至达改进Stokes的对 称--反对称分解原则为对称--正交分解
拖带坐标 系 在一个可变形体中嵌入了坐标线，其随着变形体变 形而拖带伸展、缩短并引起坐标线曲率的改变，这种嵌 在可变形体中的坐标线组成的参考系便称为拖带坐标系。
课题意义及简介
拖带坐标系的优势 1）利用拖带坐标值在变形过程中不变的特点，可对离散了 的单元在任意位形中进行插值，通过适当的数学变换，可以 推导出等参元理论中的局部坐标。也可以认为，在拖带坐标 法有限元中，使用了固定坐标、拖带坐标和单元局部坐标三 种坐标系，其变换关系为：X= Qk x= Qk QQξ中，Qk表示运 动变换；QQ表示几何变换；X为定系坐标；x为拖带坐标； ξ 为单元局部坐标。
国内外研究现状
实验 方面
华南理工大学的万海的分析。 北工大周宏宇等采用两点对称加载的 简支梁做了梁正截面极限承载力试验， 记录了相应挠度变化等。 国外一些机构对梁构件的变形性能进 行了相关研究，但不适用于我国情况， 因为材料性能不同且构造措施不同。
课题意义及简介
拖带坐标系的优势 2）在变形过程中，外载随位形的变化得到修正，克服了TL 法和UL法“死载荷”之不足。 3）可将节点位移在实时拖带坐标系中的分量作为基本插值 量，对于大变形、大转动问题，这样做可使计算求解过程简 化，并可增大增量步。
课题意义及简介
具体 目标
在现有和分解有限变形理论基础上推 导大变形情况下梁的位形变换计算公 式，并依据实验数据进行修正。
板壳力学ch5-大挠度理论
Mar.2012
板壳结构
68-23
TONGJI University
平 板 理 论
E E Ez 2 w 2w ( ( yz ) yz ) x( z ) x 2 2 2 y 2 2 1 1 1 y x Ez 2 w 2w y 2 2 2 1 y x Ez y K Kx 2 y 1
§5.1 基本假定
1) 板单元的荷载与内力 平 板 理 论
Mar.2012
板壳结构
68-2
2) 基本假定 平 板 理 论 尺寸相比较，仍为小量；
TONGJI University
(1) 板的挠度 w 与板厚 t 为同一数量级，但与板的平面
(2) 与挠度 w 相比较，中面位移 u、v 是很小的量；
(3) 变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，且垂
2
由此长度变化产生的应变为
ds3 dx 1 w x dx 2 x
2
Mar.2012
板壳结构
68-12
TONGJI University ② 微元AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4 平 板 理 论
1 w 2 w 2 ds4 A2C2 dy dy 1 dy y 2 y
板壳结构
68-11
TONGJI University ① 微元AB线因w产生的长度变化，变形后长度为ds3 平 板 理 论
1 w 2 w 2 ds3 A2 B2 dx dx 1 dx x 2 x
2
dx 2 w dx x
第四章 土木工程中的几何非线性问题
研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问 题，大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线 性理论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必 须考虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。
研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派 间的争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题 ，如解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究 。
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型 。
2020/4/23
非线性有限元
大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式 。
应变增量：
Green应变增量：
线性 非线性 现时部（分Updated）G部re分en应变增量
：
二者之间满足 张量变换关系！
线性 2020/4/23 部分
形的描述称为物质描述或拉格朗日描述，Xi称为物质坐标, Xi 和t称为拉格朗日变量。
2020/4/23
非线性有限元
欧拉描述
现时构形中，经过空间位置xi 的质点的速度为vi
研究不同时刻经过同一空间点xi 的质点的运动状态
以现时位形作参考位形的描述称为空间描述或欧拉描述，xi
称为空间坐标, xi和t称为欧拉变量。
第四章 土木工程中的几 何非线性问题
2020年4月23日星期四
基本概念
几何线性问题： 位移与应变成线 性（微分）关系；
几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上
物理）现关象系：。将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大
变形问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位
移（转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。
注意：两种描述下对某个质点加速度的描述是不一样的
结构稳定理论复习思考题
结构稳定理论复习思考题1、平衡稳定性的三个基本准则是什么？根据这三个准则，求结构稳定临界荷载方法有哪些？求解临界荷载是在结构原来的位图上求解还是在变形后位图上求解？答：三个基本准则：静力准则、能量准则、动力准则。
求临界荷载方法：静力平衡法、能量方法、动力方法。
必须采用结构产生变形后的计算图形来建立平衡方程和其总势能表达式。
P112、结构稳定问题有哪些类型？答：稳定问题根据荷载-位移和荷载-变形曲线不同分为两类：1）第一类稳定问题，具有平衡分枝点的稳定问题。
属于这类稳定问题的有：轴压杆的弯曲屈曲、轴压杆和压弯杆件的弯扭屈曲、在腹板平面内受荷的梁的侧扭屈曲以及在板平面内受轴压荷载和剪切荷载的薄板的弯曲屈曲等。
在临界荷载Per以前，属稳定平衡；在临界荷载Per以后，进入不平衡状态。
2）第二类稳定问题，无平衡分枝的稳定问题。
属于这类稳定问题的有：压弯杆件在弯矩作用平面内的稳定。
上升段是稳定的，下降段是不稳定的，转折点即不稳定平衡的临界状态，用极限荷载Pn表示。
3）跌越失稳3、结构稳定问题与结构强度问题的有何区别？答：1）强度问题，是指结构或单个构件在稳定平衡状态下由荷载所引起的最大应力（或内力）是否超过建筑材料的极限强度，因此是一个应力问题。
2）稳定问题，主要是要找出外荷载与结构内部抵抗力间的不稳定平衡状态，即变形开始急剧增长的状态，从而设法避免进入该状态，因此，它是一个变形问题。
3）强度问题可以采用一阶或二阶分析结构内力，而稳定问题必然是二阶分析，其外荷载与变形间呈非线性关系，叠加原理不能应用。
4、理想轴压杆小挠度理论和大挠度理论有哪些不同？根据你的理解，理想轴压杆大挠度理论最适合用于分析夏志斌教授《结构稳定理论》书中P29图1-5中哪个阶段的轴压杆的力学行为？答：从P/P E-3/I关系曲线分析不同点：1）大挠度理论，在P/P E>1,时，与小挠度理论的差别是能得到相应于屈曲后强度的曲线；2）小挠度理论的分枝荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，而大挠度理论的分枝荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳定平衡状态的分枝点。
梁板结构设计方法(塑性理论)
利用传感器和智能监测技术，对梁板结构进行实时监测和 健康评估，及时发现潜在的损伤和隐患，提高结构的安全 性和可靠性。
新材料、新工艺的应用前景
高性能材料
采用高性能材料，如高强度钢材、 铝合金、复合材料等，提高梁板 结构的承载能力和刚度。
新型连接方式
研究新型的连接方式和连接技术， 提高梁板结构的整体性和稳定性， 降低连接部位的应力集中和损伤风 险。
抗震设计
在地震多发地区，利用塑性理论进行梁板结构的抗震设计尤 为重要。通过塑性理论，可以预测结构在地震作用下的损伤 和破坏情况，从而采取有效的抗震措施，提高桥梁的抗震性 能。
建筑工程中的应用
高层建筑
高层建筑的梁板结构需要承受较大的竖向荷载和水平荷载，利用塑性理论可以 更准确地分析结构的受力性能，优化结构设计，提高建筑的稳定性和安全性。
塑性极限分析采用简化模型和假设，忽略结构中的弹性变形和屈服不均匀性，只考 虑塑性变形和应力状态。
塑性极限分析的优点在于能够快速评估结构的承载能力，但缺点是忽略了结构中的 细节和局部效应，可能导致计算结果不够精确。
弹塑性分析
弹塑性分析是一种更精确的结构设计 方法，考虑了结构中的弹性变形和屈 服不均匀性，能够更准确地描述结构 的应力分布和变形行为。
梁板结构设计方法(塑性理论)
• 梁板结构塑性理论概述 • 梁板结构的塑性分析方法 • 梁板结构的塑性设计方法 • 梁板结构塑性理论的工程应用 • 梁板结构塑性理论的发展趋势与展
望
01
梁板结构塑性理论概述
塑性理论的基本概念
塑性变形
当外力达到一定程度时，材料会发生不可逆的变 形，这种变形称为塑性变形。
弹塑性分析的优点在于能够考虑结构 中的细节和局部效应，但缺点是需要 更多的计算资源和时间。
混凝土的本构关系
7.1.4 混凝土的本构关系
7.1.4 混凝土的本构关系
一．混凝土各类本构模型简介___弹塑性本构模型 经典塑性理论是针对理想弹塑性材料建立的，材料本构关系包含 四方面的内容：屈服条件；判别加载和卸载状态的准则；强化条 件或后续屈服面；塑性应力与应变关系的规律。
7.1.4 混凝土的本构关系
混凝土非线弹性本构模型
这类本构模型的数量很多，具体表 达式差别很大。但在CEB-FIP标准 规范（1990年版）中，明确建议 Ottosen和Darwin-Pecknold两个 本构模型用于有限元分析。下面将 这两个本构模型作一简单介绍。
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Ottosen本构模型
定义一非线性指标 ，表示当前应力状态
（包络面）的距离，也即塑性变形发展的程度。假定
力 增大至
时混 凝3 土破坏，则3 f
(1,至2,混3凝) 土破坏
保持不变，1,压2应
3 3f
混凝土的多轴应力应变关系采用Sargin的单轴受压方程，即
A
c
(D
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Ottosen本构模型
等效一维应力-应变关系
Ottosen建议采用Sargin提出的单轴受压方程式，来等效描述三轴应力状
态下的应力应变特征，并将三轴应力状态下混凝土破坏时的割线模量 代
替单轴破坏时的割线模量 。割线模量 Ottosen建议取：
§7.1.4 混凝土的本构关系
2、混凝土非线弹性本构模型____Darwin-Pecknold 本构模型
双轴峰值应变 的ip 取值
桥梁结构的材料几何非线性分析
（b）常刚度迭代法 如果材料的本构关系可以写为 { } f ({ }) 将其用具有初应力的线弹性物理方程来代替
线性弹性矩阵，即 { } 0 时的切线弹性矩阵
{ } [ D]{ } { 0 }
初应力列阵
若调整 { 0 }，使上列两式等价，则
{ 0 } { } [ D]{ } f ({ }) [ D]{ }
[ K ({ })] [ B]T [ D({ })][ B]dV
平衡方程迭代公式
[ K ]n1 { }n { F }
迭代步骤如下 ①首先取 { }0 0，则 [ K ({ }0 )] [ K ]0 ②由式
{ }1 [K ]01{F }
③取 { }1，算得 [K ]1 ④ { }2 [ K ]1 1 { F } ⑤多次迭代直止 { }n { }n1 给定小数，则 { }n就是方程的解
（3） 增量求解方法 （a）弹塑性本构关系的特点 单轴应力下的材料典型弹塑性本构关系如图所示，其特点可归纳 为：
①应力在达到比例极限前， 材料为线弹性； ②应力在比例极限和弹性 极限之间，材料为非线性弹 性。 ③应力超过屈服点（ s ） ，材料应变中出现不可恢复 的塑性应变，应力和应变间
卸载前材料曾 经受到过的最 大应力值，称 后屈服应力
f ({ }, { }) 0
注意到平衡方程式是以应力 { } 表示的，由于小变形的关系仍然是 线性的，但是以结点位移{ } 表示的平衡方程则不再是线性的，因为 应力和应变 { } 之间是非线性的，而应力和位移之间也是由非线性关 系所联系，于是改写为
[ K ({ })]{ } { F }
R d{ } A 0
用
R [ D]e乘上式