三角函数的值在各象限的符号
三角函数象限
三角函数象限
三角函数象限是sin为负cos为负tan为正cot为正。
奇变偶不变，符号看象限是三角函数里关于诱导公式的一句口诀，第一象限sin为正cos为正tan为正cot为正，第二象限sin为正cos为负tan为负cot为负，第四象限sin为负cos 为正tan为负cot为负。
三角函数象限的特点
函数图像的四个象限分别在坐标系中x轴上方纵坐标右侧是第一象限，纵坐标左侧是第二象限，x轴下方纵坐标左侧是第三象限，纵坐标的右侧是第四象限，即一三象限关于原点对称，二四象限关于原点对称，一四，二三象限关于x轴对称，一二象限三四象限关于y轴对称。
一全正二正弦三正切四余弦，一全正就是说在第一象限三个三角函数都是正号，二正弦第二象限sin函数为正其余为负，三正切第三象限tan函数为正其余为负，四余弦第四象限cos函数为正其余为负。
最新人教版高一数学三角函数的值在各象限的符号教学设计
第七教时教材：三角函数的值在各象限的符号目的：通过启发让生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。
过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值 二、提出课题 然后师生共同操作： 1．第一象限：0,0.>>y x ∴sin α>0,cs α>0,tan α>0,ct α>0,sec α>0,csc α>0 第二象限：,0.><y x ∴sin α>0,cs α<0,tan α<0,ct α<0,sec α<0,csc α>0 第三象限：,0.<<y x ∴sin α<0,c s α<0,tan α>0,ct α>0,sec α<0,csc α<0 第四象限：,0.<>y x ∴sin α<0,cs α>0,tan α<0,ct α<0,sec α>0,csc α<0[] 记忆法则：ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正2．由定义：sin(α+2π)=sin α cs(α+2π)=cs α tan(α+2π)=tan α[&&] ct(α+2π)=c α sec(α+2π)=secαcsc(α+2π)=csc α三、例一 （P18例三 略）[,,]例二 （P18例四）求证角θ为第三象限角的充分条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin ϑθ )2()1(证：必要性：若θ是第三象限角，则必有sin θ<0,tan θ>0充分性：若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin θ<0 则θ角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴 若tan θ>0，则角θ的终边可能位于第一或第三象限 ∵⑴ ⑵ 都成立 ∴θ角的终边只能位于第三象限∴角θ为第三象限角例三 （P19 例五 略）四、练习：1．若三角形的两内角α，β满足sin αcs β<0，则此三角形必为…………（B ）A ：锐角三角形B ：钝角三角形 ：直角三角形 D ：以上三种情况都可能2．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………………………（B ）A ：sin α+cs α<0B ：tan α-sin α<0：cs α-ct α<0 D ：ct αcsc α<03．已知θ是第三象限角且02cos<ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ++<<+k k )(Z k ∈∴4322ππθππ+<<+k k )(Z k ∈ 则2ϑ是第二或第四象限角又∵02cos <ϑ则2ϑ是第二或第三象限角 ∴2ϑ必为第二象限角 4．已知1212sin <⎪⎭⎫⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？解： 由1212sin <⎪⎭⎫⎝⎛ϑ∴sin2θ>0[]∴2π<2θ<2π+π )(Z k ∈ ∴π<θ<π+2π[++] ∴θ为第一或第三象限角 五、小结：符号法则，诱导公式六、作业： 课本 P19 练习4,5,6P20-21习题43 6-10。
三角函数在各象限的符号
不存在
公式一的作用：
把求任意角的三角函数值转化为求 00到3600角的三角函数值。
例3、求下列三角函数的值： 9 0 1 sin1480 2 cos 4 11 3 tan 6
特殊角的三角函数值表
0
例2 根据条件,判断 是第几象限角
(1)sin 0且 tan 0
(2) cos tan 0
终边相同的角的同一三角函数值相等：
sin k 3600 sin 0 公式一cos k 360 cos , k Z 0 tan k 360 tan
y 3 、正切函数值 tan x
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
cos
tan 、 cot
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
sincostancotyrxryxxy一三角函数在各象限的符号0xxyprxyry第二四象限k0x
三角函数在各象限 的符号
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
三角函数口诀
三角函数口诀1三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
2三角函数诱导公式口诀:公式1—5：函数名不变，符号看象限。
公式1—6及推广：奇变偶不变，符号看象限。
3两角和与差的三角函数公式两角和与差的余弦公式： 同名积 符号反两角和与差的正弦公式： 异名积 符号同两角和与差的正切公式：符号上同 下不同奇变偶不变符号看象限在学习了任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式与诱导公式后，很多老师为了让学生便于记忆和灵活使用诱导公式，都会给出十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”．这个十字口诀既是对所有诱导公式的一个高度概括，又是灵活运用诱导公式求值和化简的技巧．诱导公式：公式一： απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 公式二： ααπ-sin sin(=+）；ααπ-cos cos(=+）；ααπtan tan(=+）． 公式三： sin()-sin αα-=；cos()cos αα-= ；tan()tan αα-=-．公式四： ααπsin sin(=-）；ααπ-cos cos(=-）；ααπtan tan(-=-）公式五： sin(2sin παα-=-）；cos(2cos παα-=）；tan(2tan παα-=-）公式六： sin(2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式七： sin(2π+α) = cos α；cos(2π+α) =- sin α． 公式八： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式九： sin(32π+α) = -cos α；cos(32π+α) = sin α． 以上九组公式可以推广归结为：要求角2k πα⋅±的三角函数值，只需要直接求角α的三角函数值的问题．这个转化的过程及结果就是十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”．例1 求cos 2130°、sin (－2130°)、127cos6π、127sin()6π-. （１）化角为2k πα⋅±或090k α⋅±的形式并判断k 的奇偶及角所在的象限：在角度制下处理方法是：∵ 2390213018033027060∴ 2130°＝23×90°+60°，可以看出90°的系数为正奇数，逆时针方向旋转23个90°到y 负半轴，再旋转60°到第四象限，因此2130°是第四象限角；－2130°＝－23×90°－60°，可以看出90°的系数为负奇数，顺时针方向旋转23个90°到y 正半轴，再旋转60°到第一象限，因此－2130°是第一象限角；在弧度制下处理方法是：12712712712(42)42662323226ππππππ=⨯⨯=⨯=+⨯=⨯+，可以看出2π的系数为正偶数，逆时针旋转42个2π到x 负半轴，再旋转6π到第三象限，因此1276π是第三象限角；12742626πππ-=-⨯-，可以看出2π的系数为负偶数，顺时针旋转42个2π到x 负半轴，再旋转6π到第二象限，因此1276π-是第二象限角． (2)根据上面的判断，运用十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”求值：cos 2130°＝sin 60sin (－2130°)＝cos 60°＝12； 127cos 6π＝cos 6π-= 127sin()6π-＝1sin 62π=. 由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简比直接采用诱导公式化简要简捷得多，但在使用“奇变偶不变，符号看象限”时要对其真正的含义有透彻的理解，即诱导公式的左边为k ·900＋α（k ∈Z ）的正弦（切）或余弦（切）函数，当k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角（可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角），然后分析k ·900＋α（k ∈Z ）为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．。
各象限角的三角函数值的符号
( B) ( D)
sin 0 且cos 0 sin 0 且cos 0
3、在△ABC中，下列函数中可以是负值的是（ D ）
( A) sin A
( B) A BC (C ) cos tan 2 2
( D) tan A
二、填空题
25 1、计算： tan 3
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
y 1 、正弦函数值 sin r
y
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r y 第四象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
一、复习回顾
1、任意角三角函数的定义
y r 正弦： sin 余割： csc r y x r 余弦： cos 正割： sec r x y x 正切： tan 余切： cot x y
(1) sin 280 (4)
25 sin 4
0
(2) cos473
0
742.3 ) (3) tan(
0
Hale Waihona Puke 38 ) (5) cos( 5
e
62 tan( ) 5
解 (1)因为280°就是第四象限角，所以
sin 280 < 0
0
(2)
(5)
cos473 0 (3)
0
tan(742.3 ) 0
o
x
x 第一象限：x 0, r 0, 故 为正值； r x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
三角函数的值在各象限的符号教案2
教学内容与教学目标本节课的教学目标是使学生掌握三种常见三角函数的符号，并能处理相关的简单问题．重点是各函数的符号及与终边位置的关系及特殊角三角函数值，难点是轴线角 的三角函数是否存在及符号问题．建议由学生根据三角函数定义实行讨论得出符号法则．课题引入锐角三角函数定义是由直角三角形的两直角边与斜边之间的比给出的，它们总是正的，而任意角的三角函数的定义是由角α终边上一点),P(y x 的坐标x 、y 与r =OP 之间的比给出的，而坐标x 、y 在各象限内有正负之分，所以三角函数在各象限内也有正负之分，为了进一步学习的需要，我们有必要研究各象限内三角函数的符号规律，本节课将要研究正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号规律．知识讲解正弦、余弦、正切函数值的符号规律是本章教材的重点内容，要求学生在理解的基础上牢记，因为后面的内容经常用到它，讲解时注意以下几点：1．正弦、余弦、正切函数的符号规律是由它们的定义导出的，因为从原点到角的终边上注意一点的距离r 总是正的，由r y =αsin ，r x =αcos ，xy =αtan 可知，角α的正弦的符号取决于y 的符号，角α的余弦的符号取决于x 的符号，角α的正切的符号取决于x 、y 两者的符号，同号为正，异号为负．由此，总结出正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号规律还可以结合正弦线、余弦线、正切线进行印证． 为了便以记忆，我们也可以把上面的图归纳为一个图，如图4-20，其中各象限内所注明函数的函数值为正，未注明的为负（仅指正弦、余弦、正切）．αtan αcos αsin(4-19)(4-20)2．如果α不是象限角，而是轴线角，可以再复习一下0º、90º、180º、270º的正弦、余弦、正切值，与它们在各象限的符号联系起来，如αsin 在90º<α<180º时为正，在180º<α<270º时为负，中间︒=180α时，0180sin =︒，这样的联系不但便于记忆，还为后面讲三角函数的图像作了准备．3．加强练习，强化记忆，在安排例题与练习时，不但要配备正用符号规律的题目（如确定︒216cos 的符号），还要配备逆用符号规律的题目．（如根据条件：0sin <θ且0tan >θ，确定θ是第几象限角）例题分析例1．确定下列各三角函数数值的符号（1）︒265cos （2）35sin π （3）︒130tan （4）)6cos(π-分析：先确定是第几象限角，后确定三角函数值的符号，即“符号看象限”，这是基础题．解：（1）因为︒265是第三象限角，所以0265cos <︒，（2）因为35π是第四象限角，所以035sin <π， （3）因为130º是第二象限角，所以0130tan <︒，（4）因为6π-是第四象限角，所以0)6cos(>-π. 例2．根据条件0cos <θ且0tan >θ，确定θ是第几象限角？若条件改为0tan cos <⋅θθ呢？分析：逆用三角函数的符号规律，注意“且”的含义，而0tan cos <•θθ包含0cos <θ且0tan >θ和0cos >θ且0tan <θ两种情况，这是活用符号规律的题．解：对于0cos <θ且0tan >θ，0cos <θ θ在二、三象限或θ终边在x 轴非正半轴上由0tan >θ θ在一、三象限∴θ在第在第三象限对于0tan cos <⋅θθ，化为0cos <θ 0cos >θ（1） 或（2）0tan >θ 0tan >θ∴θ在第在第三象限或第四象限．例3．求证：角θ为第三象限角的充分必要条件是0sin <θ ①0tan >θ ②分析：证明充分必要条件的题目， 必须从充分性和必要性两个方面进行证明，培养学生分析问题更加严密的习惯．解：先证充分性：因为①式0sin <θ成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上．又因为②式0tan >θ成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限再证必要性：由于θ是第三象限角，必有0sin <θ和0tan >θ同时成立．例4．当α是第二象限角时，ααααααtan tan cos cos sin sin -+的值是 （ ） （A ）3 （B ）1 （C ）－3 （D ）－1分析：可以由αsin 、αcos 、αtan 在第二象限的符号规律求值解：因α为第二象限角，故0sin >α、0cos <α、0tan <α．1)1(11tan tan cos cos sin sin =---=-+∴αααααα从而选（B ）例5．求x x y cos sin -+=的定义域．分析：化为0sin ≥x 且0cos ≥-x ，再根据正弦、余弦的符号规律求出角x 所在象限与轴线角，从而写出x 的范围．解：化为：0sin ≥x x 在第一、二象限或x 终边在x 轴和y 轴非负半轴上0cos ≤x x 在第二、三象限或x 终边在x 轴和y 轴非正半轴上∴x 在第二象限或x 终边在y 轴的非负半轴和x 轴的非正半轴上所以函数定义域是}k ,2k k 22{Z ∈+≤≤+ππππx x ．练习与讲评1．设α是三角形的一个内角，在αsin 、αcos 、αtan 、2tanα中哪些有可能取负值？ 2．确定下列三角函数值的符号：（1）︒156sin （2）56cosπ （3）89tan π （4）)7sin(π- 3．根据下列条件，确定θ是第几象限角（1）0sin <θ且0cos >θ（2）θsin 与θtan 同号4．求证：角θ为第四象限角的充分必要条件是0sin <θ且0cos >θ答 案1． αcos 、αtan2．（1）>0 （2）<0 （3）>0 （4）<03．（1）第四象限 （2）第一或第四象限4．（略）通过练习，检查学生对正弦、余弦、正切的符号规律是否掌握．小结与总结根据定义我们总结了各象限的正弦、余弦、正切的符号规律：第一象限全为正；第二象限正弦为正，余弦、正切为负；第三象限正切为正，正弦、余弦为负；第四象限余弦为正，正弦、正切为负，即“符号看象限”．掌握了符号规律，为后面学习诱导公式，三角函数的图象与性质作好了准备．习 题A 组1．确定下列各三角函数值的符号（1）︒186sin （2）︒105tan （3）59cos π （4））（4sin π-2．确定下列各值的符号（1）︒⋅︒125tan 273sin（2）︒︒305cos 108tan （3）611tan 54cos 45sin πππ （4）1223cos )8sin(ππ-3．根据下列各条件确定θ是第几象限角（1）0sin <θ且0tan >θ（2）0sin <θ且0cos <θ（3）0cos sin >⋅θθ（4）0tan cos <θθ B 组1．在AB C ∆中，根据下列条件确定此三角形是什么样的三角形：（1）0B tan A cos <⋅（2）0B tan A cos =⋅ 2．求函数x x x x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域． 3．求证：（1）角θ为第三象限角的充分必要条件是0cos <α且0tan >α．（2）角θ为第一或第三象限角的充分必要条件是0cos sin >θθ．4．求下列函数的定义域：（1）x x y cos sin ⋅=（2）)cos lg(tan x x y -+=答 案A 组1．（1）<0 （2）<0 （3）>0 （4）<02．（1）>0 （2）<0 （3）<0 （4）<03．（1）三 （2）三 （4）一、三 （4）三、四B 组1．（1）钝角三角形 （2）直角三角形2． {－1，3 }3．（提示：按充分性、必要性分别证明）4．（1）{πππk 22k 2+≤≤x x 或ππππk 223k 2+≤≤+x , Z k ∈} （提示 ⎩⎨⎧≥≥0cos 0sin x x 或 ⎩⎨⎧≤≤0cos 0sin x x ）2（提示：⎩⎨⎧<≥0cos 0tan x x ）思 考 题根据正弦函数的符号规律及单位圆中正弦线的变化规律你能确定正弦函数的增减区间吗？测 试 题（时间10分钟，满分10分）一、选择题（每小题1分）1．下列关系式中，不正确的是（ ）（A ）0215sin <︒（B ）0155tan <︒ （C ）0)84cos(>︒- （D ）0)5sin(>︒-2．若0tan sin <x x ，则角x 是（ ）（A ）第二象限角（B ）第三象限角 （C ）第二或第三象限角（D ）第二或第四象限角 二、填空题（每小题2分）1．判断下列三角函数值的符号：︒195sin _________、)8cos(π-________、56tan π__________． 2．函数)lg(cos x y =的定义域是___________三、解答题（每小题2分）1．若︒=35sin sin α，且︒<<3600α，求角α2．求证 角θ为第三象限角的充分必要条件是0cos <θ且0tan <θ．答 案一、1．D 2．C二、1．<0， >0， >022三、1．35º，145º（提示：结合单位圆中正弦线的长度相等，符号相同的角的关系考虑）2．（提示：分充分性、必要性来证）。
各象限角的三角函数值的正负号
高一学前（1）班
y r 正弦： sin 余割： csc y r y P（x , y) x r 余弦： cos 正割： sec r y r x y x 正切： tan 余切： cot x y x
解 （1） 因为 4327º角为第
（2）因为
象限角， 0，
27 角为第 5 故 sin 4327 27 5
象限角，
数
故 sin
cos 0， cos 4327 tan 4327 0．
27 0 ， 5
0，
27 tan 5
0．
巩固知识 典型例题
三 角 函 数
例3
根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
y
+
o
sinα
+ x
y
+
o
+
tanα
-
x
应用知识 强化练习
三 角 函 数
练习5.3.2
1.判断下列角的各三角函数符号 （1）525º ； （2）-235 º ； （3）
19 3 ； （4） ． 4 6
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 , 确定 是第几象限的角．
归纳小结 自我反思
r
y
o
x
x 2 、余弦函数值 cos r
第一象限：x 0, r 0, 故
第二象限：x 0, r 0, 故
x 为正值； r
y
o
x 为负值； r x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x
x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
高一数学-第七教时三角函数的值在各象限的符号 精品
第七教时三角函数的值在各象限的符号目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。
过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题 然后师生共同操作： 第一象限：0,0.>>y x ∴sin α>0,cos α>0,tan α>0,cot α>0,sec α>0,csc α>0 第二象限：0,0.><y x ∴sin α>0,cos α<0,tan α<0,cot α<0,sec α<0,csc α>0 第三象限：0,0.<<y x ∴sin α<0,cos α<0,tan α>0,cot α>0,sec α<0,csc α<0 第四象限：0,0.<>y x ∴sin α<0,cos α>0,tan α<0,cot α<0,sec α>0,csc α<0记忆法则：ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正1．由定义：sin(α+2k π)=sin α cos(α+2k π)=cos α tan(α+2k π)=tan α cot(α+2k π)=co α sec (α+2k π)=sec α csc (α+2k π)=csc α三、例一 （P18例三 略）例二 （P18例四）求证角θ为第三象限角的充分条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin ϑθ )2()1( 证：必要性：若θ是第三象限角，则必有sin θ<0,tan θ>0充分性：若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin θ<0 则θ角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴若tan θ>0，则角θ的终边可能位于第一或第三象限∵⑴ ⑵ 都成立 ∴θ角的终边只能位于第三象限∴角θ为第三象限角例三 （P19 例五 略）四、练习：1．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（B ） A ：锐角三角形 B ：钝角三角形 C ：直角三角形 D ：以上三种情况都可能2．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………（B ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<03．已知θ是第三象限角且02cos <ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ++<<+k k )(Z k ∈ ∴4322ππθππ+<<+k k )(Z k ∈ 则2ϑ是第二或第四象限角 又∵02cos <ϑ 则2ϑ是第二或第三象限角 ∴2ϑ必为第二象限角 4．已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？解： 由1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ ∴sin2θ>0∴2k π<2θ<2k π+π )(Z k ∈ ∴k π<θ<k π+2π ∴θ为第一或第三象限角五、小结：符号法则，诱导公式六、作业： 课本 P19 练习4,5,6P20-21习题4.3 6-10。
5.4三角函数在各象限的符号
解 （2）因为 27 角为第 象限角，
解 （1） 因为 54327º角为第
象限角，
故故sinsin2754327o 0， co0s，275
0，
co2s74327o tatnan54327o
0．
0， 0．
三
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
角 y
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
三 角 函 数
归纳小结 自我反思
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
再见
y
函
++
-+
数
-o - x
sinα
+o - x
tanα
三 角 函 数
应用知识 强化练习 练习5.3.2
1.判断下列角的各三角函数符号
（1）525º；（2）-235
º；（3）
19 6
；（4）
3 4
．
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 ,
确定 是第几象限的角．
几个特殊角的三角函数
sinα>0 y
cosα<0 tanα<0
sinα>0 cosα>0 tanα>0
sinα<0 o
cosα<0 tanα>0
sinα<0 x
cosα>0 tanα<0
动脑思考 探索新知
三
任意角三角函数的符号：
y
角++
y
-+
2、三角函数值在各象限的符号
y
x 第二象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第三象限：x 0, r 0, 故 为负值； r
x 第四象限：x 0, r 0, 故 为正值； r
o
x
y 3 、正切函数值 tan x
y 第一象限：x 0, y 0, 故 为正值； x
三角函数值在各象 限的符号
复习旧知
任意角三角函数的定义：
在角α的终边上任取一点P(x,y),点P到原点的距离记作r，
有：r | OP |
x2 y 2 r 0
x r , tan α y x
那么我们定义
sin α
y r
, cos α
新课讲授
三角函数值在各象限内的符号：
y 第二象限：x 0, y 0, 故 为负值； x
y
y 第三象限：xБайду номын сангаас 0, y 0, 故 为正值； x
第四象限：x 0, y 0, 故 y 为负值； x
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
sin
口诀：
cos
tan 、 cot
“一全正、二正弦、三正切、四余弦”
例题赏析
例1 、确定下列三角函数值的符号： 1 cos 250 2 sin 4 11 0 3 tan 672 4 tan 3
y 1 、正弦函数值 sin r
y 第一象限：y 0, r 0, 故 为正值； r y 第二象限：y 0, r 0, 故 为正值； r
y 第三象限：y 0, r 0, 故 为负值； r
奇变偶不变,符号看象限
奇变偶不变,符号看象限
奇变偶不变，符号看象限，这句口诀意思是：在诱导公式中，如果你差的角度是90度也就是二分之派的整数倍，可以用此公式。
解释：奇变偶不变，符号看象限
对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan →cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；
第二象限内只有正弦、余割是“+”，其余全部是“－”；
第三象限内只有正切、余切函数是“+”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦、正割是“+”，其余全部是“－”。
各象限角的三角函数值的正负号
2、余弦函数值cos x
r
第一象限：x 0, r 0,故 x 为正值； r
y
第二象限：x 0, r 00,故 x 为负值； o
x
r
第四象限：x 0, r 0,故 x 为正值； r
3、正切函数值 tan y
x
y
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
1、正弦函数值sin y
y
r
第一象限：y 0, r 0,故 y 为正值；
r
第二象限：y 0, r 0,故 y 为正值； o
x
r
第三象限：y 0, r 0,故 y 为负值； r
第四象限：y 0, r 0,故 y 为负值； r
角
00
三角函数
sin
0
cos
1
tan
0
300 450
1
2
2
2
3
2
2
2
3
1
3
600 900
3
1
2
1
0
2
3 不存在
特殊角的三角函数值表
角
1800
三角函数
2700
3600
sin
0
1
0
cos
1
0
1
tan
0 不存在 0
x
第一象限：x 0, y 0,故 y 为正值； x
y
第二象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
x
第三象限：x 0, y 0,故 y 为正值； o
x
x
第四象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
4)、余切函数值
三角函数各象限正负
在平面直角坐标系中，三角函数的正负可以根据各象限的坐标值来确定。
下面是三角函数在不同象限的正负情况：正弦函数（sin）：- 第一象限（0° < θ < 90°）：在第一象限，正弦函数的值始终为正。
- 第二象限（90° < θ < 180°）：在第二象限，正弦函数的值始终为正。
- 第三象限（180° < θ < 270°）：在第三象限，正弦函数的值始终为负。
- 第四象限（270° < θ < 360°）：在第四象限，正弦函数的值始终为负。
余弦函数（cos）：- 第一象限（0° < θ < 90°）：在第一象限，余弦函数的值始终为正。
- 第二象限（90° < θ < 180°）：在第二象限，余弦函数的值始终为负。
- 第三象限（180° < θ < 270°）：在第三象限，余弦函数的值始终为负。
- 第四象限（270° < θ < 360°）：在第四象限，余弦函数的值始终为正。
正切函数（tan）：- 第一象限（0° < θ < 90°）：在第一象限，正切函数的值始终为正。
- 第二象限（90° < θ < 180°）：在第二象限，正切函数的值始终为负。
- 第三象限（180° < θ < 270°）：在第三象限，正切函数的值始终为正。
- 第四象限（270° < θ < 360°）：在第四象限，正切函数的值始终为负。
割函数（sec）、余割函数（csc）、余切函数（cot）的正负情况与余弦、正弦、正切函数的正负情况类似，可以根据各象限的坐标值来确定。
三角函数在各个象限的符号
角度 30° 150° 210° 330°
弧度 5 7 1 1
6
66
6
正弦值 1
1
-1
-1
2
2
2
2
余弦值 3
正切值
2
3
-3 2
-3
-3 2
3
3 2
-3
3
3
3
3
角度 60° 120° 240° 300°
弧度 3
正弦值 3
2
余弦值 1
2
正切值 3
2 4 5
思考：1、已知sin tan 0 确定是第几象限的角 2、已知cos与tan异号 确定是第几象限的角
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
余弦 y
0
x
y -+
0x +-
正切
一全正 二正弦
三正切 四余弦
小结：三角函数值在
各象限的符号 一全正
y
sin 全为正
tan0
x
cos
(3) 如果tan ＞0，则是__或是___象限的角；
y ++
0x --
正弦
y -+
0x -+
余弦
y -+
0x +-
正切
填空：(4) 如果sin<0，则是_______或是 _________象限的角，或是__y_负_半__轴__上__的_角___； (5) 如果cos<0，则是___或是___象限的角， 或是_X__负_半__轴__上__的_角__；
7.2.4三角函数值在各象限的符号(单位圆)
sin y
x
+
0
y + x
0
y + x +
0 +
y + x -
正弦
余弦
正切
结论：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如限
cos
sin
+ +
+
+ －
－
－
－ +
－
+ －
cos
tan
你可以采用自己喜欢的方法记住它们
例题分析
x 叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα= x r r y y x 叫做角α的正切，记作tanα，即tanα= x
O
任意角三角函数的定义 sinα
cosα
tanα
2、设 α 的终边与单位圆交点为P(x,y)，那么
y sin = ____
1
y
P(x,y)
x cos = ____
y ( x 0) tan = ____ x
O
1
x
故：P(x,y)=P(cosα,sinα) 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位 圆交点的横坐标和纵坐标。
复习：
1、直角坐标系中四个象限内的点（x，y）的横坐标x、 纵坐标y的符号有何特点？
y
第二象限
X<0 ,y>0 0
第一象限
x>0 ,y>0
x
第四象限
第三象限
X<0 ,y<0
• 例7 确定下列三角函数值的符号
π 11 π （ 1 ） sin( )；（2） cos 250 ；（3） tan( 600 )；（4） cos 4 3
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全正 x cos a sec a 为正
• • •
3. 由三角函数的定义，可以知道， 终边相同的角的同一三角函数的值相等. 公式一： sin(a k 360 ) sina
cos (a k 360 ) cosa tan (a k 360 ) tana cot (a k 360 ) cota se c(a k 360 ) se ca csc (a k 360 ) csca 其 中k Z
三角函数的值 在各象限的符号
• •
1. 复习 （1）三角函数的定义（P(x，y)为 a 终边上任一 点，P 点到原点的距离为 r ). y x a 的正弦 sina = ， a 的余弦 cosa = r r y x a 的正切 tana = ， a 的余切 cota = x y r r a 的正割 seca = ， a 的余割 csca = x y
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值， 转化为求0o到360o角的三角函数值.
用弧度表示，公式一为：
si n(a 2k ) si na cos (a 2k ) cosa tan(a 2k ) tana cot(a 2k ) cota se c(a 2k ) se ca csc(a 2k ) csca 其 中k Z
（2） 复习正弦线、余 弦线、正切线并观察三角 函数在各象限的符号. （单击右边的按钮） 连接到 几何画板
•
2. 三角函数的值在各象限的符号
y x
O O
y x
y x
O
sin a
csc a
ct a
三角函数的值在各象限的符号（记法二）
y sin a csc a 为正 tan a cot a 为正
注意：在一个三角函数式中，各项的单位应该一致.
例 1 确 定 下 列 三 角 函 数 值符 的号 ： (1) cos 250 ; ( 3) tan 672 ; ( 2) si n ; 4 11 ( 3) tan . 3
例2 条件是
求 证 ： 角 为 第 三 象 限 角 的 充 分 要 必 si n 0 , tan 0 .
例3
求下列三角函数值： 9 ( 2) cos ; 4
(1) si n1 48010 ; 11 ( 3) tan . 6
例4 已知 是第三象限角，且 cos 0 , 2 问
2
是第几象限角？