曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案

)
[ (
) (
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其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此
ℏ2 T= d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ ∫ 2m
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
（3）
w=
且能量平均值
ℏ2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ + ψ *Vψ , 2m
第一章 1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
量子力学的诞生
⎧∞, x < 0, x > a V ( x) = ⎨ ⎩0, 0 < x < a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有
λ 2 ∴ λ = 2a / n a = n⋅
又据 de Broglie 关系
�
E = ∫ d 3r ⋅ w ，
（能量密度）
w=
ℏ2 ∇ψ *ψ + ψ *Vψ 2m ∂w � +∇⋅s = 0 ∂t
（b）证明能量守恒公式
2
⎞ ℏ 2 ⎛ ∂ψ * ∂ψ � ⎜ s =− ∇ψ + ∇ψ * ⎟ ⎜ ⎟ 2m ⎝ ∂ t ∂t ⎠
证： （a）粒子的能量平均值为（设ψ 已归一化）
= mh,
m = 1, 2 , 3 , ⋯
pϕ = mh ，
2 E m = pϕ / 2I = m 2 ℏ 2 / 2I ，
m = 1, 2 , 3 ,⋯
ödinger 方程 第二章 波函数与 Schr Schrö 2.1 设质量为 m 的粒子在势场 V ( r ) 中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为
(
)
d d 3 rψ 1* r ,.t ψ 2 r , t = 0 。 ∫ dt
( ) ( )
2.4）设一维自由粒子的初态ψ ( x,0 ) = e
⎛ p2 ⎞ i ⎜ p0 x − 0 t ⎟ / ℏ ⎜ 2 m ⎟ ⎝ ⎠
ip0 x / ℏ
， 求ψ ( x, t ) 。
解：
ψ ( x, t ) = e
令 ξ2 =
t ⎛ mx ⎞ ⎜p− ⎟ ，则 2mℏ ⎝ t ⎠
1 imx 2 2ℏt 2mℏ −iξ 2 ψ ( x, t ) = e ⋅ e dξ 2π ℏ t −∫ ∞ = = 1 2mℏ imx 2 2 ℏt ⋅ e ⋅ π e − iπ / 4 2π ℏ t ⎡ ⎛ mx 2 π ⎞⎤ m exp ⎢i⎜ − ⎟ ⎜ ⎟⎥ 2π ℏt ⎣ ⎝ 2ℏt 4 ⎠⎦
+∞
2
ψ ( x, t ) =
2
m 。 2π ℏt
2.6 设一维自由粒子的初态为ψ ( x,0 ) ，证明在足够长时间后，
2 m ⎡ imx ⎤ ⎛ mx ⎞ ψ ( x, t ) = exp[− iπ 4] ⋅ exp ⎢ ⋅ ϕ⎜ ⎟ ℏt ⎣ 2ℏt ⎥ ⎦ ⎝ ℏt ⎠
式中 ϕ (k ) =
∫
0
2 pϕ dϕ = nh, n = 1, 2 , ⋯ , pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为 ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量） ， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
∫
∴
因而平面转子的能量
2π 0
p ϕ dx = 2π pϕ
（4）
E = ∫ d 3r ⋅ w 。
（b）由（4）式，得
. . ⎤ . ∂w ℏ 2 ⎡ . * * * = ∇ ψ ⋅ ∇ ψ + ∇ ψ ⋅ ∇ ψ + ψ Vψ + ψ *V ψ ⎢ ⎥ ∂t 2m ⎣ ⎦
=
. . . . ⎛ .* 2 ℏ2 ⎡ ⎛ .* *⎞ 2 * ⎞⎤ * * ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∇ ⋅ ψ ∇ ψ + ψ ∇ ψ − ψ ∇ ψ + ψ ∇ ψ + ψ V ψ + ψ V ψ ⎢ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 2m ⎣ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
− iℏ
∂ * ℏ2 2 * ψ =− ∇ ψ + (V1 − iV2 ) ψ* ∂t 2m
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得 iℏ
∂ * ℏ2 * 2 ψ ψ =− ψ ∇ ψ − ψ∇ 2ψ * + 2iψ *V2ψ ∂t 2m ℏ2 =− ∇ ⋅ ψ *∇ψ − ψ∇ψ * + 2iV2ψ *ψ 2m
（能流密度）
⎛ ℏ2 2 ⎞ 3 ⎟ E = ∫ψ * ⎜ − ∇ + V ⎜ 2m ⎟ψ d r = T + V ⎝ ⎠
（1）
V = ∫ d 3 rψ *Vψ
3 *
（势能平均值）
（2）
⎛ ℏ2 2 ⎞ T = ∫ d rψ ⎜ ( ⎜ − 2m ∇ ⎟ ⎟ψ ⎝ ⎠ ℏ2 =− d 3 r ∇ ⋅ ψ *∇ψ − ∇ψ * ⋅ (∇ψ ) 2m ∫
1 ϕ ( p )eipx ℏ dp ， ∫ 2πℏ − ∞ 1 2π ℏ
+∞
ϕ ( p) =
1 2π ℏ
+∞ −ipx ℏ ∫ ϕ (x,0)e dx =
−∞
−∞
∫ δ ( x )e
−ipx ℏ
dx =
1 2π ℏ
，
5
∴
ψ ( x, t ) =
1 2πℏ
+∞
−∞
∫ ϕ ( p )e
i ( px − Et ) / ℏ
[
]
)
=−
ℏ2 d 3 r ∇ ⋅ ψ 2 ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 − (∇ψ 2 ) ⋅ ∇ψ 1* + ∇ψ 1* ⋅ (∇ψ 2 ) ∫ 2m
[ ( [ (
)
(
) (
]
=−
ℏ2 d 3 r ∇ ⋅ ψ 2 ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ∫ 2m
)]
=−
即
� ℏ2 （无穷远边界面上，ψ 1 ,ψ 2 → 0 ） ψ 2 ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ⋅ dS = 0 ， ∫ 2m
(
)
(
)
(
)
∴
2V ∂ * ℏ ψ ψ =− ∇ ⋅ ψ *∇ψ − ψ∇ψ * + 2 ψ *ψ ∂t 2im ℏ
(
)
(
)
(
)
（3）
即
� 2V ∂ρ +∇⋅ j = 2 ρ ≠ 0 ， ∂t ℏ
此即几率不守恒的微分表达式。 （b）式（3）对空间体积 τ 积分，得
∂ ℏ 2 d 3 r ψ *ψ = − ∇ ⋅ ψ *∇ψ − ψ∇ψ * d 3 r + ∫∫∫ d 3 rV2 ψ *ψ ∫∫∫ ∫∫∫ ∂t τ 2im τ ℏ τ � 2 ℏ * * =− ψ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ⋅ d S + ∫∫∫ d 3 rV2ψ *ψ 2im ∫∫ ℏ τ S
∫p
即
x
⋅ dx = n x h ,
(n x
= 1, 2 , 3 , ⋯)来自p x ⋅ 2a = n x h
∴ p x = n x h / 2a ,
（ 2a ：一来一回为一个周期）
同理可得，
p y = n y h / 2b ,
p z = n z h / 2c ,
n x , n y , n z = 1, 2 , 3 , ⋯
dp
（ E = p 2 2m ）
=
1 e 2π ℏ −∫ ∞
⎞ i ⎛ p2 +∞ − ⎜ t − px ⎟ ⎟ ℏ ⎜ 2m ⎝ ⎠
dp
（指数配方）
=
2 +∞ ⎡ it ⎛ 1 imx 2 2 ℏt mx ⎞ ⎤ e exp − p − ⎜ ⎟ ⎥ dp ⎢ ∫ 2π ℏ 2 m ℏ t ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ −∞ ⎣ ⎦
1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2
∫ p ⋅ d x = nh,
n = 1, 2 , ⋯ ,
p = 2m[ E − V ( x)]
V ( x)
1
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
x ≤a
其中 a 由下式决定： E = V ( x) x = a = 由此得
+a
= 2mω a 2 ⋅
得 a2 = （3）
π = mωπ a 2 = n h 2
代入（2） ，解出
E n = nℏω ,
积分公式：
n = 1, 2 , 3 , ⋯ a 2 − u 2 du = u a2 u a2 − u2 + arcsin + c 2 2 a
（4）
∫
2π
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。 提示：利用
1 2π
+∞
−∞
∫ψ (x,0)e
α →∞
−ikx
dx 是ψ ( x,0 ) 的 Fourier 变换。
所以
∂w � +∇⋅s = 0 。 ∂t
2.2 考虑单粒子的 Schr ödinger 方程 Schrö
3
iℏ V1 与 V2 为实函数。
∂ � ℏ2 2 � � � � ψ (r , t ) = − ∇ ψ (r , t ) + [V1 (r ) + iV2 (r )] ψ (r , t ) ∂t 2m
（3）
ψ 2 × （3） − ψ 1* × （2）,得
∂ * ℏ2 − iℏ ψ 1 ψ 2 = − ψ 2 ∇ 2ψ 1* − ψ 1*∇ 2ψ 2 ∂t 2m
(
)
(
)
对全空间积分：