概率论1.1习题资料
概率论第1章的基本概念习题及答案
第一章随机变量习题一_______ 系 ____ 班姓名 ________ 学号________1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和11 =〈3,4, ,18(2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数= 「10 ,11 , 1(3)对某工厂出厂的产品进行检验,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
用“0” 表示次品,用“ 1”表示正品。
门={ 00,100 , 0100 , 0101 , 0110,1100,1010,1011, 0111 ,1101 ,1110,1111 }⑷在单位圆内任意取一点,记录它的坐标门={(x,y)|x2 y 2 :: 1}(5)将一尺长的木棍折成三段,观察各段的长度1 1 ={(x ,y , z ) | x 0, y 0,z 0, x y z = 1}其中x,y,z分别表示第一、二、三段的长度(6 ) .10 只产品中有3只次品,每次从其中取一只(取后不放回),直到将3只次品都取出,写出抽取次数的基本空间U =“在(6 ) 中,改写有放回抽取”写出抽取次数的基本空间U =解:(1 ) U = { e3 ,e4 ,, e10 。
}其中ei 表示“抽取i 次”的事件。
i = 3 、4、10(2 ) U = { e3 ,e4 ,, }其中e i 表示“抽取i 次”的事件。
i = 3 、4、2、互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系⑴〔x-aZ:与|x-a|八互不相容(2) x 20与x空20对立事件(3) x 20与x叮8 互不相容(4) x 20与x乞22相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品对立事件解:互不相容:AB「;对立事件:(1)AB「且A - B =门3、设A,B,C 为三事件,用A,B,C 的运算关系表示下列各事件7、设一个工人生产了四个零件,A i 表示事件“他生产的第i 个零件是正 品” (i =123,4),用人,2,宀,4的运算关系表达下列事件•(1)没有一个产品是次品; ⑴ B 1 =几人2人3人4⑵ 至少有一个产品是次品;(2) B 2二A - A 2 - A s - A 4二人人2人傀 (3)只有一个产品是次品;(3) B 3 =几人人代2人人人代1 AAAA t^ AAAA⑴A 发生,B 与C 不发生- ABC (2)A 与B 都发生,而C 不发生-ABC(3)A,B,C 中至少有一个发生 A_. B_. C (4)A,B,C 都发生-ABC(5)A,B,C 都不发生-ABC (6)A,B,C 中不多于一个发生-ABAC 一 BC(7)A,B,C 中不多于两个发生-(8)A,B,C 4、盒内装有 到的球的号码为偶数” 中至少有两个发生- AB _ AC BC10个球,分别编有1- 10的号码,现从中任取一球,设事件 A 表示“取 ,事件B 表示“取到的球的号码为奇数”,事件C 表示“取到 的球的号码小于5”,试说明下列运算分别表示什么事件.A B(1) 必然事件AB不可能事件C取到的球的号码不小于51或2或3或4或6或8或10AC 2 或 4ACB C 6或8或105、指出下列命题中哪些成立, (8)哪些不成立BC2 或4或5或6或7或8或9或10(1) A B = AB B 成立 ⑵AB =A B 不成立(3) A B C = A B C 不成立(4)(AB)(AB)二 成立⑸若A B ,则A 二AB 成立 ⑹若AB 「•,且C A ,则BC = '成立 ⑺若A B ,则B A 成立(8)若B A ,则A B = A 成立(4) 至少有三个产品不是次品B^A 1A 2A 3A^ AA 2A 3A 4 一 AA 2A 3A 4 A 1A>A 3A^ AA 2A 3A 4 8•设E 、F 、G 是三个随机事件,试利用事件的运算性质化简下列各式(1)E M''J EF (2) E F /〔E F 丁 [E F ( 3) E F F G解:(1)原式=E E E F E F F F = E (2)原式=E F fl :i.E F i 〕:i E F = F E F = F E(3) 原式=E F E G F F F G = F E G 9、设代B 是两事件且P(A) =0.6, P (B) =0.7,问(1)在什么条件下P( AB )取到最大值,最大值是多少? (2)在什么条件下P(AB )取到最小值,最小值是多少? 解:(1) A - B, P(AB) = 0.6(2) A _ B = S, P(AB) = 0.310. 设事件A ,B ,C 分别表示开关a ,b ,c 闭合,D 表示灯亮, 则可用事件 A, B, C 表示:(1) D = AB C ; (2) D = A B C 。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是:S ________________ ;(2) —枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数.样本空间是:S= ________________________ ;2. (1) 丢一颗骰子.A :出现奇数点,贝U A= ___________ ;B:数点大于2,则B=(2) 一枚硬币连丢2次,A :第一次出现正面,则A= _____________ ;B:两次出现同一面,则= __________ ; C :至少有一次出现正面,则C=§ 1 .2随机事件的运算1. 设A、B、C为三事件,用A B、C的运算关系表示下列各事件:(1) A、B C都不发生表示为:.(2)A 与B都发生,而C不发生表示为:(3) A与B都不发生,而C发生表示为:.(4)A 、B C中最多二个发生表示为:(5)A、B C中至少二个发生表示为:.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为:2. 设S {x:0 x 5}, A {x: 1 x 3}, B {x: 2 4}:贝U(1) A B,(2) AB,(3) A B(4) A B =(5) AB =o§ 1.3概率的定义和性质1.已知P(A B)0.8, P(A)0.5, P(B) 0.6,贝U(1)P(AB),(2)(P(A B))= ,⑶P(A B)2.已知P(A) 0.7, P(AB) 0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2) 最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是____________ 。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章课后习题1.1-1.3参考答案
(3)由定义条件 2,知 A1 ,A2 , L , An ∈ F ,根据(2)小题结论,可得 U Ai ∈ F ,
i =1
n
再由定义条件 2,知 U Ai ∈ F ,即 I Ai ∈ F ;
i =1 i =1
n
n
(4)由定义条件 2,知 A1 , A2 , L , An , L ∈ F ,根据定义条件 3,可得 U Ai ∈ F ,
n n −1 n (3)由二项式展开定理 ( x + y ) n = ⎜ ⎜0⎟ ⎟x + ⎜ ⎜1⎟ ⎟x y + L + ⎜ ⎜n⎟ ⎟ y ,令 x = y = 1,得 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ n ⎜ ⎜0⎟ ⎟+⎜ ⎜1⎟ ⎟ +L+ ⎜ ⎜n⎟ ⎟=2 ; ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛n⎞ (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! n! ⎟ ⎟ ⎟ [ r + (n − r )] = +⎜ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟; r!(n − r )! ⎜ ⎝ r − 1⎠ ⎝ r ⎠ (r − 1)!(n − r )! r!(n − 1 − r )! r!( n − r )! ⎝r⎠ ⎛n⎞ ⎛ n⎞ ⎛n⎞
2
Ω A
B C (A − B )∪C
Ω
证: (1) AB U AB = A( B U B ) = AΩ = A ; (2) A U A B = ( A U A )( A U B ) = Ω( A U B ) = A U B . 11.设 F 为一事件域,若 An ∈F ,n = 1, 2, …,试证: (1)∅ ∈F ; (2)有限并 U Ai ∈ F ,n ≥ 1;
大学概率论与数理统计习题及参考答案
Ω 0 ,1,2. Ω 10,11,12.
(4)
3
五、电话号码由7个数字组成,每个数字可以是0、1、2、…、9中的任一个 (但第一个数字不能为0),求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 解:
9 P96 P ( A) 0.0605. 6 9 10
六、把十本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率。 解:
P( AB) 0.4; P( A B) 0.7.
5. 设 P( AB) P( AB), 且 P ( A) p, 则 P( B) 1 p.
8
二、
设P (A) > 0, P (B) > 0 ,将下列四个数: P (A) 、P (AB) 、P (A∪B) 、P (A) + P (B) 用“≤”连接它们,并指出在什么情况下等号成立.
解
P A B P( A) P( B) P( AB)
P A B P( A) P( B)
AB A ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B) P ( A) P ( B)
十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个 邮筒内只有一封信的概率. 解: 设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信”,设事件 B 表示“及第一个邮筒 内只有一封信”,则
22 P ( A) 2 0.25; 4 1 1 C2 C3 P( B) 0.375. 2 4
P( AB) P( BC ) 0, 则:
(1)A、B、C中至少有一个发生的概率为 0.625 (2)A、B、C中都发生的概率为 0 ; 。 (3)A、B、C都不发生的概率为 0.375 ;
概率论第一章习题详解
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题下列各题中的A 、B 、C 均表示事件,∅表示不可能事件 1、()A B B A -= ( 否 )解:()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ⊂⇒-=时2、ABC ABC = ( 否 )解:ABC A B C =3、()AB AB =∅ ( 是 ) 解:()()()AB AB AA BB A ==∅=∅ 4、若,AC B C A B ==则 ( 否 )显然,A C C B C A B ==≠但5、若,A B A AB ⊂=则 ( 是 )6、若,,AB C A BC =∅⊂=∅则 ( 是 )7、袋中有1个白球,3个红球,今随机取出3个,则(1)事件“含有红球”为必然事件; ( 是 ) (2)事件“不含白球”为不可能事件; ( 否 ) (3)事件“含有白球”为随机事件。
( 是 ) 8、互斥事件必为互逆事件 ( 否 ) 解: 互斥事件:A B =∅ 互逆事件:AB A B =∅=Ω且二、填空题1、一次掷两颗骰子,(1)若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况,这个随机试验的样本空间为(){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ;(2)若观察两颗骰子的点数之和,则这个随机试验的样本空间为{}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .2、化简事件()()()A B A B A B =AB .解:()()()()()()()()()()()()()()()()() AB AB A B A B AB AA B B A B AABA AB BB A B BA AB AB BA AB A B BAA B A B B ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=∅∅=⎣⎦==()()()() A A B A B BA AB⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∅= 3、设A ,B ,C 为三事件,用A ,B ,C 表示下列事件:(1) A 不发生,B 与C 都发生可表示为 ABC ; (2) A 与B 都不发生,而C 发生可表示为 ABC ;(3) A 发生,但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ; (4) A ,B ,C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ;(5) A ,B ,C 中至少有一个发生可表示为 AB C ;(6) A ,B ,C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ;(7) A ,B ,C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABCABC ;(8) A ,B ,C 中至少有两个发生可表示为 ABAC BC ;(9) A ,B ,C 中至多有两个发生可表示为 ABC ; (10) A ,B ,C 中恰有两个发生可表示为 ABCABC ABC .三、选择题1、对飞机进行两次射击,每次射一弹,设A 表示“恰有一弹击中飞机”,B 表示“至少有一弹击中飞机”,C 表示“两弹都击中飞机”,D 表示“两弹都没击中飞机”,则下列说法中错误的是( B )A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有( A )A 、ABC A =B 、AB C A = C 、BC A ⊂ D 、A B C ⊂解:ABC A A BC =⇒⊂⇒ A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间1、记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分);2、一个口袋中有5个外形相同的球,编号为1,2,3,4,5,从中同时取出3个球;3、某人射击一个目标,若击中目标,射击就停止,记录射击的次数;4、在单位圆内任意取一点,记录它的坐标。
概率论1至7章课后答案
一、习题详解:1.1 写出下列随机试验的样本空间:(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解:连续5 次都命中,至少要投5次以上,故}{ ,7,6,51=Ω;(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解:}{12,11,4,3,22 =Ω;(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以}{,2,1,03=Ω; (4) 从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故:()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解:用0 表示合格, 1 表示不合格,则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω;(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解:用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故: ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ;(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解:}{207 x x =Ω;(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解:()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ;1.2 设A ,B ,C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件:(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ;(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃;(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃;(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃;(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃;(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃; (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ;(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ;注意:此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。
(高等教育出版)概率论与数理统计教程课后习题答案
4
P ( A) = 1 - P ( A) = 1 −
94 ⎛9⎞ = 1− ⎜ ⎟ 10000 ⎝ 10 ⎠
4
1.11 任取一个正数,求下列事件的概率: (1)该数的平方的末位数字是 1; (2)该数的四次方的末位数字是 1; (3)该数的立方的最后两位数字都是 1; 1 解 (1) 答案为 。 5 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时,其四次方的末位数是 1,所以答案 4 2 为 = 10 5 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本 空间包含 10 2 个样本点。用事件 A 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ,则该 数的最后一位数字必须是 1,设最后第二位数字为 a ,则该数的立方的最后两位数 字为 1 和 3 a 的个位数,要使 3 a 的个位数是 1,必须 a = 7 ,因此 A 所包含的样本 点只有 71 这一点,于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接, 6 个尾也两两相接。 求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。 并把上述结果推广到 2n 根草的情形。 解 (1)6 根草的情形。取定一个头,它可以与其它的 5 个头之一相接,再取另 一头,它又可以与其它未接过的 3 个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故对 头而言有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法,同样对尾也有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法,所以样本点总数为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1) 2 。 用 A 表示“6 根草恰好连成一个环” ,这种连接,对头而言仍有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种连接法,而 对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一 尾,它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接,最后再将其余的尾连接成环, 故 尾 的 连 接 法 为 4 ⋅ 2 。 所 以 A 包 含 的 样 本 点 数 为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1)(4 ⋅ (3) 指 定 的 m 个 盒 中 正 好 有 j 个 球 的 概 率 为 ⎜ ⎝ m − 1 ⎠⎝
概率论习题第一章(答案)
第一章一、填空题1、设事件A,B 满足AB AB =,则()P A B = 1 ,()P AB = 0 。
2、已知P(A)0.5,P(B )0.6,P(B A)0.8,===则()P A B = 。
3、已知()()()1P A P B P C 4===,()P AB 0=,()()1P AC P BC 6==,则事件A,B,C 都不发生的概率为712。
4、把10本书随意放在书架上,其中指定的3本书放在一起的概率为115。
5、一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为16。
二、选择题1、下列命题成立的是( B )A :()()ABC A B C --=- B :若AB ≠∅且A C ⊂,则BC ≠∅ C :A B B A -=D :()A B B A -= 2、设A,B 为两个事件,则( C )A :()()()P AB P A P B ≥+ B : ()()()P AB P A P B ≥C :()()()P A B P A P B -≥-D :()()()()P A P A B P B0P B ≥>3、设A,B 为任意两个事件,且A B ⊂,P(B )0>,则下列选项必然成立的是( D )A :P(A)P(AB )< B :P(A)P(A B )>C :P(A)P(A B )≥D :P(A)P(A B )≤4、袋中装有2个五分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,则总币值超过壹角的概率( B )A :14B :12C :23D :34三、解答题1、某班有50名同学,其中正、副班长各1名,现从中任意选派5名同学参加假期社会实践活动,试求正、副班长至少有一个被选派上的概率。
()248248142347P A 502455⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭或者()()48547P A 1P A 1502455⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫ ⎪⎝⎭2、一批产品共200个,有6个废品。
概率论与数理统计课后习题答案
随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点.习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”,试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式:习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么?解答:①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答:①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个,观察号码是“小于5”,“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答:分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”,“等于5”,“大于5”,则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下:X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答:由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}.解答:(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答:依题意知,12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解答:随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为X 0123P 351203612021120112 0习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答:由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答:因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答:以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理,所求概率为:P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解答:\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.解答:离散.由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答:首先,因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次,F(x)单调不减且右连续,即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且 F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x),并画出图形.解答:由题意知X的分布律为:X 135Pk 0.30.50.2所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求:(1)X的概率分布; (2)P{X<2∣X≠1}.解答:(1)X -113pk 0.40.40.2(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答:P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求:(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答:(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx, -∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.解答:F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答:应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答:P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时,F(x)=0;当0<x<1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求:(1)A,B的值;(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答:(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答:由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时,F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时,F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答:设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答:设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布,其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答:因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答:先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数,则Y∼b(100,0.05).因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求:工人每月需完成多少件产品才能获奖?解答:用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即 1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此 x-400060≈1.28, 即x=4077件,就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压,以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答:已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答:X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车,有两条路可以走. 第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(50,42), 求:(1)若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线?(2)若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线?解答:设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.Y -101P 21513815习题3设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,令Y=cX+d(c≠0),试求随机变量Y的密度函数.解答: fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,当c>0时,fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时,fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答:f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数,y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1),求Y=2X2+1的概率密度.解答:因y=2x2+1是非单调函数,故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度:(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答:(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时,FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);;②当y<0时,FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时,FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时,FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时,FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时,FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答:已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数,所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布,证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答:因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数,其反函数FX-1(y)存在,又Y 在[0,1]上服从均匀分布,故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是,Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数,故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能,故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此,Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数,若取到整数k的概率与k成正比,求取到偶数的概率.解答:设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1,所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答:若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立,所以是一个10重伯努利概型,X服从二项分布,其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险,在1年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金,求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答:1)以“年”为单位来考虑,在1年的1月1日,保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元),要使保险公司亏本,则必须 200000X>300000即X>15(人).因此,P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机,总机拥有13条外线,假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时,能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答:设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验,一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300,0.03), 即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大,p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线,要到外线的台数不超过13,故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265, (查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求:(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率;(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答:(1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2,P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一离散型随机变量,其分布律为X -101pi 1/21-2qq2试求:(1)q的值; (2)X的分布函数.解答:(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴ {1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示:则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答:应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性,有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续,故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管,在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数,求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x),并求电子管在T小时内损坏的概率.解答:因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时,F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时,由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程,分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答:当x≤0时,F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时,F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位:百万升)是随机变量,其密度函数为:f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求:(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率;(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答:先求X的分布函数F(x). 显然,当x<0时,F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答:由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意,a-1<a, 而当x<a时,f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答:根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx =(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数,(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数,为什么?(2)若a1,a2是正常数,且a1+a2=1. 证明:a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答:(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减,右连续,且 F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减,右连续,且 a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数,试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足:(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答:(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布,求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答:因为K∼U(0,5), 所以 fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即 K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人,按考试成绩录用,共有526人报名,假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人,60分以下83人,若从高分到低分依次录取,某人成绩为78分,问此人是否能被录取?解答:要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多,可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理:P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①,②解得σ=10,μ=70, 所以,X∼N(70,100).某人是否能被录取,关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取,解法有两种:方法1:P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2:看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分,所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布,X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位:年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数;(2)求今后3年内再次发生地震的概率;(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答:(1)当t≥0时,P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时,F(t)=0,∴ F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中,90个一等品,10个二等品,随机取2个安装在一台设备上,若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品,则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率;(2)已知设备寿命超过1,求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答:(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”,Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2),则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式:P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式:P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.求Y=eX的概率密度.解答:因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为 fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答:X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时,FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为 FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\123Y1 1/61/91/182 1/3a1/9求a.解答:由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得 a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答:P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(2)P{0<Y≤b};解答:P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(3)P{X>a,Y≤b}.解答:P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (1)P{12<X<32,0<Y<4;解答:P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求:(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答:P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (3)F(2,3).解答:F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量,且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答:P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值: (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表,并写出关于Y的边缘分布.解答:(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值,故事件:{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件,其概率必为零. 因而得到下表:Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答:由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正态分布图形的对称性,知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答:如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732. (4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求:(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答:(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时,显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时,显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后,设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答:fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布,求联合分布密度和边缘分布密度.解答:区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为故(1)在Y=1条件下,X的条件分布律为。
概率论课后习题答案第一章
2008年4月第一章1.1 解⑴记9件合格品分别为正1正2�6�7正9记不合格品为次则Ω正1正2正1正3正1正4�6�7正1正9正1次正2正3正2正4�6�7正2正9正2次正3正4�6�7正3正9正3次�6�7 正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次�6�7正9次⑵记2个白球分别为w1w23个黑球分别为b1b2b34个红球分别为r1r2r3r4。
则Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4 ⅰA w1w2。
ⅱB r1r2r3r4。
1.2 解⑴事件ABC表示该生是三年级男生但不是运动员。
⑵ABCC等价于CAB表示全系运动员都是三年级的男生。
⑶当全系运动员都是三年级学生时。
⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。
1.3 解⑴1niiA⑵22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD ⑶11nnijijjiAA⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”可表为1nijijijAA。
1.4 解1—4显然5和6的证法分别类似于课文第10—12页1.5式和1.6式的证法。
1.5 解样本点总数为28A8×7。
所得分数为既约分数必须分子分母或为71113中的两个或246812中的一个和71113中的一个组合所以事件A“所得分数为既约分数”包含28A218A×15A3×22×3×52×3×6个样本点。
于是PA23698714。
1.6 解样本点总数为5310。
所取三条线段能构成一个三角形这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。
所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点于是PA310。
17解显然样本点总数为13事件A“恰好组成MATHEMATICIAN”包含3222个样本点。
所以3222481313PA 18解任意固定红“车”的位置黑“车”可处在9×10-189个不同位置当它处于和红“车”同行或同列的9817个位置之一时正好互相“吃掉”。
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题一、选择题1、下列关系正确的是( )。
A、0∈∅B、{0}∅=∅⊂D、{0}∅∈C、{0}答案:C2、设{}{}2222=+==+=,则( )。
P x y x y Q x y x y(,)1,(,)4A、P Q⊂B、P Q<C、P Q⊂与P Q⊃都不对D、4P Q=答案:C二、填空1、6个学生和一个老师并排照相,让老师在正中间共有________种排法。
答案:6!720=2、5个教师分配教5门课,每人教一门,但教师甲只能教其中三门课,则不同的分配方法有____________种。
答案:723、编号为1,2,3,4,5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中,概率论的基础知识第 1 页(共 19 页)每一个盒至多可放一球,则不同的放法有_________种。
答案:()65432720⨯⨯⨯⨯=4、设由十个数字0,1,2,3, ,9的任意七个数字都可以组成电话号码,则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。
答案:710个5、九名战士排成一队,正班长必须排在前头,副班长必须排在后头,共有_______________种不同的排法。
答案:77!5040P==6、平面上有10个点,其中任何三点都不在一直线上,这些点可以确定_____个三角形。
答案:1207、5个篮球队员,分工打右前锋,左前锋,中锋,左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法?答案:5!120=8、6个毕业生,两个留校,另4人分配到4个概率论的基础知识第 2 页(共 19 页)不同单位,每单位1人。
则分配方法有______种。
答案:(6543)360⨯⨯⨯=9、平面上有12个点,其中任意三点都不在一条直线上,这些点可以确定_____________条不同的直线。
答案:6610、编号为1,2,3,4,5的5个小球,任意地放到编号为A,B,C,D,E,F,的六个小箱子中,每个箱子中可放0至5个球,则不同的放法有___________种。
概率论各章精选习题(PDF)
概率统计各章节习题§1.1 随机事件1、写出下列各试验的样本空间及指定事件所含的样本点; (i )将一枚硬币抛掷三次,{}A =第一次掷出正面、{}B =三次掷出同一面、{}C =有正面掷出; (ii )将一颗骰子掷两次,{}A =点数相同、{}B =其中一次点数是另一次的两倍、{}6C =点数之和是;2、从某图书馆里任取一本书,事件A 表示“取到数学类图书”,事件B 表示“取到中文版图书”,事件C 表示“取到精装图书”; ①试述ABC 的含义;②何种情况下,C B ⊂?;③何种情况下,A B =3、设1234,,,A A A A 为某一试验中的四个事件,试用事件的运算表达如下事件:①“四个事件中至少有一个发生”;②“恰好发生两个”;③“至少发生三个”;④“至多发生一个”;4、试述下列事件的对立事件:①A = “射击三次皆命中目标”;②B =“甲产品畅销乙产品滞销”;③C =“加工四个零件至少有一个是合格品”;5、在区间[]0,1中任取一点x ,记:203A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭、1344B x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭、 213C x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭,试用相同的作法表示如下诸事件:①AB ;②AB ; ③()A B A C ; 6、试证明以下事件的运算公式:(i )A AB AB =;(ii )A B A AB =;§1.2 频率与概率1、任取两整数,求“两数之和为偶数”的概率;2、①袋中有7个白球3个黑球,现从中任取2个,试求“所取两球颜色相同”的概率;②甲袋中有球5白3黑,乙袋中有球4白6黑,现从两袋中各取一球,试求“所取两球颜色相同”的概率;3、①n 个人任意地坐成一排,求“甲、乙两人坐在一起”的概率;②n 个人随机地围一圆桌而坐,求“甲、乙相邻”的概率;③n 个男生、m 个女生(1m n ≤+)坐成一排,求“任意两个女生都不相邻”的概率;4、从()0,1中随机地取两个数,试求:①“两数之和小于65”的概率;②“两数之积小于14”的概率;5、①已知事件,A B 满足:AB AB =,若()P A a =,试求()P B ;②已知事件,A B 满足:()()P AB P AB =,若()P A a =,试求()P B ;6、设,A B 为两事件,且()0.4P A =,()0.7P B =,问:①在什么条件下,()P AB 取得最大值,最大值是多少?②在什么条件下,()P AB 取得最小值,最小值是多少?若()0.5P B =,结果又如何?7、某班n 名战士各有一支归自己保管使用的枪,这些枪外形完全一样;在一次夜间紧急集合中,每人随机地取一支枪,求“至少有一人拿到自己的枪”的概率;8、证明:①()()()1P AB P A P B ≥+-;②()()()()()12121n n P A A A P A P A P A n ≥+++--;9、试证明:若,A B 为两事件,则()()()14P AB P A P B -≤; §1.3 条件概率、全概率公式与贝叶斯(Bayes )公式1、已知()0.3P A =,()0.4P B =,()0.5P A B =;试求:()P AB 、 ()P A B 、()P B A 、()P B A B 、()P A B A B; 2、已知()12P A =,()13P B =,()16P A B =,试求()P A B ; 3、已知()0.8P A =,()0.7P B =,()0.2P A B -=,试求()P B A ; 4、已知()14P A =,()13P B A =,()12P A B =,试求()P AB ; 5、设一批产品中一、二、三等品各占60%、35%、5%,从中任取一件,结果不是三等品,求“取到的是一等品”的概率;6、设10件产品中有4件是不合格品,从中任取两件,已知其中一件是不合格品,求“另一件也是不合格品”的概率;7、袋中有4白1红5只球,现有5人依次从袋中各取一球,取后不放回,试求“第i (1,2,,5i =)人取到红球”的概率;8、两台车床加工同样的零件,“第一台出现不合格品”的概率是0.03,“第二台出现不合格品”的概率是0.06,加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,①试求“任取一个零件是合格品”的概率;②如果取出的零件是不合格品,求“它是由第二台车床加工”的概率;9、某商店正在销售10台彩电,其中7台是一级品,3台是二级品;某人到商店时,彩电已售出2台,试求“此人能买到一级品”的概率;10、甲袋中有2只白球1只黑球,乙袋中有1只白球2只黑球,今从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,求“此球是白球”的概率;11、有两箱零件,第一箱装50件,其中20件是一等品;第二箱装30件,其中18件是一等品;现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后任取两个零件,试求:①“第一次取出的零件是一等品”的概率;②“第二次取出的零件是一等品”的概率;③在第一次取出的是一等品的条件下,“第二次取出的零件仍然是一等品”的概率;④在第二次取出的是一等品的条件下,“第一次取出的零件仍然是一等品”的概率;12、玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱有0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1;一个顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时售货员随机取一箱,顾客开箱随机地查看4只,若无次品,就买下这箱玻璃杯,否则退回;试求:①“顾客买下这箱玻璃杯”的概率;②“在顾客买下的一箱中,确实没有次品”的概率;13、证明:()()()()()P A B P A BC P C B P A BC P C B=+;14、设有N个袋子,每个袋子中都装有a个白球b个黑球,现从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,然后从第二个袋中任取一球放入第三个袋中,如此下去,求“从最后一个袋中取出一白球”的概率;§1.4 事件的独立性1、假设()0.4P A=,()0.9P A B=,在以下情形下求()P B:①,A B互斥;②,A B独立;③A B⊂;2、甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.8和0.7,现已知目标被击中,求“它是甲命中”的概率;3、若事件,A B独立,且两事件“仅A发生”与“仅B发生”的概率都是14,试求()P A与()P B;4、三人独立地破译一个密码,他们单独译出的概率分别为13、14、15,求“此密码被译出”的概率;5、一射手对同一目标独立地射击四次,若“至少命中一次”的概率为8081,试求该射手进行一次射击的命中率;6、三门高射炮独立地向一飞机射击,已知“飞机中一弹被击落”的概率为0.4,“飞机中两弹被击落”的概率为0.8,中三弹则必然被击落;假设每门高射炮的命中率为0.6,现三门高射炮各对飞机射击一次,求“飞机被击落”的概率;7、甲、乙二人轮流射击,首先命中目标者获胜;已知甲的命中率为a ,乙的命中率为b ,甲先射击,试求“甲(乙)获胜”的概率;8、甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛,已知每局中“甲获胜”的概率为0.6,“乙获胜”的概率为0.4;比赛可采用三局两胜制或五局三胜制,问:何种赛制对甲更有利?§2.1 随机变量及其分布函数1、箱中装有次品12,a a 与正品123,,b b b ,现从中一次取出两件产品,①写出此试验的样本空间;②令ξ表示所取两件产品中的次品个数,标出ξ在每个样本点上的值;③写出{}{}0,1,ξξ=≤ {}2ξ≥所包含的样本点;2、设随机变量(..r v )X 的分布函数(..d f )为()0,0;1,03;41,36;31,6;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩,试求()3P X <、()3P X ≤、()1P X >、()1P X ≥; 3、设..r v X 的..d f 为()0,1;ln ,1;1,;x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,试求:()2P X <、()03P X ≤≤、 ()2 2.5P X <<;4、已知..r v X 的分布函数为()0,0;2,01;23,12;1112,23;1,3;x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩,试求:()3P X <、()13P X ≤<、12P X ⎛⎫> ⎪⎝⎭、()3P X =; 5、设随机变量ξ的分布函数为()F x ,试用()F x 表示下列事件的概率:{}{}{}{}{}231,23,215,4,8ξξξξξ<-<+>≤<;6、若()()121,1P X x P X x αβ≥=-≤=-,其中12x x <,试求()12P x X x ≤≤;7、①设..r v ξ的分布函数为:()0,1;arcsin ,11;1,1;x F x a b x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥⎩,试确定常数,a b ;②设..r v ξ的分布函数为()arctan ,F x A B x x R =+∈,试确定常数,A B ;8、①在半径为R 的圆内任取一点,求此点到圆心距离X 的分布函数及概率23P X R ⎛⎫> ⎪⎝⎭;②在ABC ∆内任取一点P ,记X 为点P 到底边BC 的距离,试求X 的分布函数;9、设()()12,F x F x 分别是两个随机变量的分布函数,,0a b >且 1a b +=,试证明:()()()12F x aF x bF x =+也是一个分布函数; §2.2 离散型随机变量及其分布律1、试判断下列分布列中所含的未知参数c :① (),1,2,,c P k k N N ξ===; ② (),0,1,2,3!k c P k k k ξ===⋅; 2、现有三只盒子,第一只盒中装有1只白球4只黑球,第二只盒中装有2只白球3只黑球,第三只盒中装有3只白球2只黑球;现任取一只盒子,从中任取3只球,以X 表示所取到的白球数,试求:①X 的分布列;②“取到白球数不少于2”的概率;3、袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5;现从中任取3只,以X 表示3只球中的最大号码;①试求X 的分布列;②写出X 的分布函数并作图;4、已知..r v X 的..d f 为()0,0;0.5,01;0.7,13;1,3;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩,试求X 的分布列; 5、已知...d r v X 的分布列为:1010.25a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭,其分布函数为: (),1;,10;0.75,01;,1;c xd x F x xe x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩,试求,,,,a b c d e ; 6、从1,2,3,4,5五个数中任取三个,按大小顺序排列记为: 123x x x <<,令2X x =,试求: X 的分布函数及()()2,4P X P X <>;7、连续“独立”地掷n 次骰子,记,X Y 分别为n 个点数的最小、最大值,试求,X Y 的分布列;8、设()X P λ~,试求X 的最大可能值,即:k 取何值时,概率()P X k =取最大值?§2.3 连续型随机变量及其概率密度1、设..r v X 的分布函数为:()20,0;,01;1,1;x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,试求:① A;②()()0.3,0.7P X ∈;③X 的概率密度函数(...p d f );2、设..r v X 的...p d f 为(),01;2,12;0,;x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,试求:①X 的分布函数;②32P X ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭; 3、已知..r v X 的...p d f 为(),x f x ce x -=-∞<<+∞,试确定常数c 并求X 的..d f ;4、设..r v X 有()11;...29,36;0,;x p d f f x x ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其他,若()23P X k ≥=,试确定k 的取值范围;5、设..,r v X Y 同分布(又记为:d X Y =),且X 有...p d f 为()23,02;80,;x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他;已知事件{}A X a =>与{}B Y a =>独立,且 ()34P A B =,试求常数a ; 6、设A 为曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域,在A 中任取一点,求该点到y 轴的距离ξ的分布函数及密度函数;7、设[]..0,5r v U ξ~,试求“方程24420x x ξξ+++=有实根”的概率;8、设..r v ξ的...p d f 为()221,x x f x x -+-=-∞<<+∞,试求()02P ξ≤≤;9、设()2..3,2r v X N ~,试求:①()()25,2P X P X<≤>;②确定c ,使得()()P X c P X c >=<;③设d 满足()0.9P X d >≥,d 至多为多少?10、由学校到火车站有两条路线,所需时间随交通堵塞状况有所变化,若以分钟计算,第一条路线所需时间()2150,10N ξ~,第二条路线所需时间()2260,4N ξ~,如果要求:①在70分钟内赶到火车站;②在65分钟内赶到火车站;试问:各应选择哪条路线? 11、假设一机器的检修时间(单位:小时)服从12λ=的指数分布,试求:①“检修时间超过2小时”的概率;②若已经检修4小时,求“总共至少5小时检修好”的概率;12、①设()2,5X U ~,试求“对X 进行三次独立地观测中,至少有两次观测值大于3”的概率;②设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟记)服从参数为15的指数分布,某顾客在窗口等待服务若超过10分钟他就离开;他一个月要到银行五次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求()1P Y ≥;13、对某地考生抽样调查的结果表明:考生的外语成绩(百分制)近似服从()272,N σ(0σ>未知);已知96分以上的考生占考生总数的2.3%,试求“考生成绩介于60分与84分之间”的概率;14、设()2..0,1r v N ξ~,ηξ=或ηξ=-视1ξ≤或1ξ>而定,试求η的分布;§2.4 随机变量的函数的分布1、①设...d r v X 有分布列:210131111115651530--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,试求2Y X =与Z X =的分布列;②设()...1,2c r v X U -~,记1,0;1,0;X Y X ≥⎧=⎨-<⎩,试求Y 的分布列; 2、设随机变量X 的概率分布为:()1,1,2,2k P X k k ===;试求sin 2Y X π⎛⎫= ⎪⎝⎭的分布律; 3、假设一设备开机后无故障工作的时间15X E ⎛⎫ ⎪⎝⎭~,设备定时开机,出现故障时自动关机;且在无故障的情况下工作2小时便关机,试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()Y F y ,并指明Y 是否为连续型随机变量?4、设..r v X 的...p d f 为()[]1,8;0,;x f x ∈=⎩其他,()F x 为X的..d f ,试求随机变量()Y F X =的分布函数;5、①设()..0,1r v X U ~,试求1X -的分布;②设()..2r v X E ~,试证:21X Y e -=与221X Y e -=-均服从()0,1上的均匀分布;6、若()2..ln ,r v X N μσ~,则称X 服从对数正态分布;①试求X 的概率密度函数()X f x ;②若()2ln 1,4X N ~,求31P X e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭; 7、设()..0,1r v X U ~,试求以下Y 的密度函数; ① 2ln Y X =- ;② 31Y X =+ ;③ X Y e = ;④ ln Y X = ;8、设()21,03;..90,;x x r v X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩~其他,且2,1;,12;1,2;X Y X X X ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩,试求:①Y 的分布函数;②()P X Y ≤;§3.1 二维随机变量及其分布1、袋中有1红2黑3白共6个球,现有放回地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取到的红、黑、白球的个数,①求()10P X Z ==;②求(),X Y 的概率分布;2、袋中有10个大小相等的球,其中6个红球4个白球;现随机抽取2次,每次抽取1个,定义随机变量,X Y 如下:1,0X ⎧=⎨⎩第一次抽到红球;,第一次抽到白球;、1,0Y ⎧=⎨⎩第二次抽到红球;,第二次抽到白球;,试就以下两种情况,分别求出(),X Y 的联合分布:①第一次抽取后放回;②第一次抽取后不放回;3、将一枚硬币抛掷三次,以X 表示三次中掷出正面的次数,以Y 表示掷出正面与反面次数之差的绝对值,试求(),X Y 的联合分布;4、①假设,X Y 同分布,且101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭~,()01P XY ==,试求(),X Y 的联合分布及()P X Y =;②设,X Y 为离散型随机变量,且101111442X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭~,1101513124Y -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭~,已知()0P X Y <=,()14P X Y >=,试求(),X Y 的联合分布; 5、①设(),X Y 的联合概率密度为()22,1;,0,;cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其他,(i )确定常数c ;(ii )求()(),P X Y D ∈,2:21D x y ≤≤; ②设(),X Y 具有联合密度()()6,02,24;,0,;k x y x y f x y ⎧--≤≤≤≤=⎨⎩其他,(i )确定常数k ;(ii )求()1,3P X Y ≤<、()1.5P X ≤、()4P X Y +≤;6、从()0,1中随机地取两个数,求“其积不小于316且其和不大于1”的概率; 7、设()0.5,10;..0.25,02;0,;x r v X f x x -<<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩~其中,令2Y X =,(),F x y 为二维随机向量(),X Y 的联合分布函数,①求Y 的()...Y p d f f y ;②求1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭; §3.3 条件分布1、①将2只球放入3只盒中,以,X Y 分别表示1号盒与2号盒中的球数,试求在0Y =的条件下X 的条件分布; ②从1,2,3,4,5中任取一个数,记为X ;再从1,,X 中任取一个数记为Y ,试求(),X Y 的联合分布及Y 的分布;2、设..,r v X Y 独立,且()1X P λ~,()1Y P λ~,试求给定X Y n +=时,X 的条件分布;3、①设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩~其他,试求给定X x =(01x <<)时,Y 的条件密度函数()Y X f y x ;②设()()1,,0;,,0,;xy y e e x y X Y f x y y --⎧⋅>⎪=⎨⎪⎩~其他,0y ∀>,试求给定Y y =时,X 的条件密度函数()X Y f x y 及()1P X Y y >=;③设()()2221,1;,,40,;x y x y X Y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩~其他,试由此求条件概率 ()0.750.5P Y X ≥=;4、①设()0,1X U ~,已知X x =(01x <<),10,Y U x ⎛⎫ ⎪⎝⎭~,试求Y 的 ()...Y p d f f y ;②设ξ在区间[]0,1上随机地取值,当观察到x ξ=时,η在区间[],1x 上随机地取值,试求η的密度函数;③设()2,0;0,0;x xe x f x x λξλξ-⎧>=⎨≤⎩~,η在()0,ξ上均匀分布,试求η的密度函数;④设()45,01;0,;Y y y Y f y ⎧<<=⎨⎩~其他,给定Y y =(01y <<)时,X 的条件密度为()233,0;0,;X Y x x y f x y y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,试求()0.5P X >;5、设[]2,4Y U ~,且给定Y y =(24y ≤≤)时,()X E y ~,试求:①(),X Y 的....J p d f (联合密度函数);②试证:()1XY E ~; 6、①设,X Y 为两个随机变量,010.70.3Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭~,且给定Y k =时, ()2,1X N k ~,0,1k =;试求X 的分布; ②设121122X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭~,且给定X k =时,()0,Y U k ~,1,2k =;试求Y 的分布,并求EY ;7、设[]0,1X U ~,试求给定12X >时,X 的条件分布; §3.4 随机变量的独立性1、 设(),X Y 有如下联合分布:/01104114X Y b a ,且事件{}0X =与 {}1X Y +=相互独立,①确定常数,a b ;②问:,X Y 是否独立?2、设101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭~,011122Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭~,如果()221P X Y ==,①试求(),X Y 的联合分布;②,X Y 是否独立?3、设随机变量,X Y 独立同分布,且011X p p ⎛⎫ ⎪-⎝⎭~,令 1,0X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩若为偶数;,若为奇数;,问:p 取何值时,,X Z 相互独立? 4、设随机向量(),X Y 具有如下的联合密度: ①(),4,0,1f x y xy x y =<<;②(),8,01f x y xy x y =<<<;试讨论以上两种情形下,,X Y 是否独立?5、①设()(),X Y U D ~,其中22:1D x y +≤,试讨论,X Y 的独立性;②设()(),X Y U G ~,其中[][]0,10,2G =⨯,试讨论,X Y 的独立性;6、设()()()2,,0;,,0,;x y ce x y X Y f x y -+⎧>⎪=⎨⎪⎩~其他,①确定常数c ;②试求X 的边缘密度及条件密度,讨论,X Y 是否独立?③求(),X Y 的联合分布函数;7、①设..,r v X Y 独立,且[]0,1X U ~,12Y E ⎛⎫⎪⎝⎭~,(i )试写出(),X Y 的联合密度函数;(ii )试求“方程220t Xt Y ++=有实根”的概率;②从长度为a 的线段的中点两边随机各选取一点,求“两点间距离小于3a ”的概率;8、试用概率方法证明:0a ∀>22x aa e dx --≤⎰9、设随机向量(),X Y 的联合密度为()1,1,1;,40,;xyx y f x y +⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他,试证:,X Y 不独立,但22,X Y 是独立地;§3.5 二维随机变量的函数的分布1、设,X Y 满足()30,07P X Y ≥≥=,且()()4007P X P Y ≥=≥=,试求{}()max ,0P X Y ≥;2、设..,r v X Y 具有分布:101111424X -⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭~,011122Y ⎛⎫⎪⎪⎝⎭~;已知 ()01P XY ==,试求()max ,Z X Y X Y =∨=的分布;3、 设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布,且 ()01i P X ==-()10.6,1,2,3,4i P X i ===,试求行列式1234X X X X X =的概率分布;4、 设,A B 为两个事件,且()14P A =,()13P B A =,()12P A B =,令1,0,;A X ⎧=⎨⎩若发生;否则,1,0,;B Y ⎧=⎨⎩若发生;否则,试求:①(),X Y 的概率分布;②22Z X Y =+的概率分布;5、设某一设备装有三个同类的电器元件,各元件工作相互独立,且工作时间服从参数为λ的指数分布;当三个元件都正常工作时,设备才正常工作;试求设备正常工作时间T 的概率分布;6、①设()(),X Y U D ~,(){},02,01D x y x y =≤≤≤≤,试求边长为,X Y 的矩形面积S 的概率分布;②设,X Y 独立同()20,1N分布,则Z =Rayleigh )分布,试求Z 的密度函数;7、设,X Y 独立,且()1X E λ~,()2Y E λ~,若{}()1min ,1P X Y e ->=,()13P X Y ≤=,试求12,λλ; 8、①设..,r v X Y 独立,且()13P Xi ==,1,0,1i =-;[)0,1Y U ~,记: Z X Y =+,试求: 102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭、Z 的()...Z p d f f z ;②设..,r v X Y 独立,且120.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭~,()Y Y f y ~,试求Z X Y =+的概率分布;9、①设,X Y 独立同()0,1U 分布,试求Z X Y =+的密度; ②设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩~其他,试求Z X Y =-的密度;③设()()2,0,1;,,0,;x y x y X Y f x y --<<⎧=⎨⎩~其他,试求Z X Y =+的密度;④设,X Y 独立同()1E 分布,试求Z X Y =-的密度;10、(最大值与最小值分布)设12,,,n X X X 相互独立,若()12max ,,,n Y X X X =,()12min ,,,n Z X X X =,试在以下情况下求,Y Z 的分布;① i X 具有()..i d f F x ,1,2,,i n =;②诸i X 同分布,且有 ()..d f F x ,1,2,,i n =;③诸i X 为...c r v 且同分布,()i X f x ~,1,2,,i n =;④()i X E λ~,1,2,,i n =;11、设,X Y 独立同[]0,1U 分布,若(),01;1,12;X Y X Y Z X Y X Y +≤+≤⎧=⎨+-<+≤⎩,试问:Z 服从什么分布? §4.1 数学期望2、某新产品在未来市场的占有率X 是仅在()0,1上取值的随机变量,其密度函数为()()341,01;0,;x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他,试求其平均占有率;3、设..r v X 的...p d f 为()2,01;0,;a bx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他,若23EX =,试求,a b ;4、①设()X P λ~,试求2321Y X X =+-的数学期望;②设()1X E ~,试求()2X E X e -+; ③设()20,1X N ~,试求()2X E Xe ;5、①假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获利润5万元;发生两次故障获得利润0元;发生三次或三次以上故障要亏损2万元;试求机器一周内所获得的平均利润;②游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光。
概率论复习概率论第一章练习
《概率论》第一章 练 习一、填空题:(1)设A 、B 为随机事件,P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,则P (A B )= 。
(2)设A 、B 为随机事件,P (A )=0.92,P (B )=0.93,P (B/A )=0.85,则P (A/B )=_ _,P (A B )=_ __。
见课本习题—20题(3)设事件A 、B 相互独立,已知P (A )=0.5,P (A B )=0.8,则P(A B )= , P (A B )= 。
(4)袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,今两人依次随机地从中各取一球,则第二个人取得黄球的概率是 。
(5)设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为1/9,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则P (A )= 。
(6)一射手对同一目标独立地进行4次射击,若至少命中一次的概率是80/81,则该射手的命中率为 。
(7) 袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地取出4球,其中“恰好2个黑球,2个白球”的概率为: 、(8) 事件A 、B 、C 中至少有两个不发生,可用运算符号表示为: ;而运算符号C B A -+)(则表示事件 。
(9) A 、B 为相互独立的事件,P (A )=0.4,P (AB )=0.12,则P (B )= ;P (A B )= 。
(10) 设A 、B 为互不相容事件,P (B )=0.4,P (A+B )=0.75,则P (A )=(11)设A 、B 为互不相容事件,P (A )=0.35,P (A+B )=0.80,则P (B )= ;P (A )-P (AB )= 。
(12)A 、B 为相互独立的事件,P (A )=0.4,P (AB )=0.12,则B)= 。
P(B)= ;P(A(13)某人射击时,中靶的概率为3/4,如果射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为(14)设每次试验成功的概率为:P(0<P<1),则3次重复试验中至少失败1次的概率为(15)甲、乙两个人独立地对同一目标各射击一次,其中命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是二、计算题:1、现有编号为1,2,3的3个盒子,1号盒中有3个红球,2个黄球;2号盒中有2个红球,3个黄球;3号盒中有1个红球,4个黄球。
概率论习题册答案中国地质大学
(1)有 2 个电话号码相同,另 2 个电话号码不同的概率 p ;
(2)取的至少有 3 个电话号码相同的概率 q 。
解
(1)
p
=
C110
C
2 4
A92
= 0.432 ;
10 4
(2)
q
=
C110C43
A19
+
C1 10
104
=
0.037
5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为 0.05,每 100 个产品为一批,检查产品质量时,
(C) P(C ) = P (AB );
D( ) P C( )= P A( + B ).
三、计算下列各题
1. 已知 P(A) = P(B) = P(C) = 1 , P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1 ,求事件 A, B, C 全不发
4
16
生的概率。
解 P(A BC) = P(A + B + C) =1 − P(A + B + C)
=1
−
[ P( A)
+
P(B)
+
P(C)
−
P( AB)
−
P(AC)
−
P( BC)
+
P( ABC)]
=
1
−
⎡ ⎢⎣
3 4
−
1⎤ 8 ⎥⎦
=
3 8
2 某地有甲、乙、丙三种报纸,该地成年人中有 20%读甲报,16%读乙报,14%读丙报,
其中 8%兼读甲和乙报,5%兼读甲和丙报,4%兼读乙和丙报,又有 2%兼读所有报纸,
5.如下图,令 Ai 表示“第 i 个开关闭合”, i = 1,2,3,4,5,6 ,试用 A1, A2, L, A6 表示下列
第一章概率论习题解答
教 案概率论与数理统计(Probability Theory and Mathematical Statistics )Exercise 1.1 向指定目标射三枪,观察射中目标的情况。
用1A 、2A 、3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”,试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件:(1)只击中第一枪;(2)只击中一枪;(3)三枪都没击中;(4)至少击中一枪。
Solution (1)事件“只击中第一枪”,意味着第二枪不中,第三枪也不中。
所以,可以表示成 1A 32A A 。
(2)事件“只击中一枪”,并不指定哪一枪击中。
三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中,任意一个发生,都意味着事件“只击中一枪”发生。
同时,因为上述三个事件互不相容,所以,可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A .(3)事件“三枪都没击中”,就是事件“第一、二、三枪都未击中”,所以,可以表示成 123A A A .(4)事件“至少击中一枪”,就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”,所以,可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A .Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值:(1)A 与B 互斥;(2);B A ⊂ (3)81)(=AB P .Solution 由性质(5),)(A B P =)()(AB P B P -.(1) 因为A 与B 互斥,所以φ=AB ,)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)=21 (2) 因为;B A ⊂所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -=613121=-(3) )(A B P =)()(AB P B P -=838121=- Exercise 1.3 一袋中有8个大小形状相同的球,其中5个黑色球,三个白色球。
概率习题集
福州大学至诚学院《概率论与数理统计》课外习题_______系 _______专业______班 姓名______学号_______第一章 随机事件及其概率 §1.1样本空间与随机事件一 选择题0001. 若A ,B ,C 为三事件,则A ,B ,C 中不多于一个发生可表为( )A .CB A ⋃⋃ B .B AC B C A ⋃⋃ C .C B A ⋃⋃D .BC AC AB ⋃⋃2. 设AB C ⊂,则( ).A .ABC ⊃ B .A C ⊂⊂且B C C .A B C ⊃D .A C ⊂⊂或B C3.设Ω={1,2,…,10},A={2,3,4},B={3,4,5},则B A ⋂=( )A .{2,3,4,5} B.{1,2,3} C. Ω D. φ4.从一大批产品中任抽5件产品,事件A 表示:“这5件中至少有1件废品”,事件B 表示 “这5件产品都是合格品”,则AB 表示( )A .所抽5件均为合格品 B.所抽5件均为废品C.不可能事件D.必然事件二. 填空题1. 设A ,B 为任意两个随机事件,则B B A )(⋃=2 设有事件算式()()()()AB AB AB AB ,则化简式为3.设}10,,2,1{ =S ,}4,3,2{=A ,}5,4,3{=B ,}7,6,5{=C ,具体写出下列各式.(1)B A = (2)B A ⋃= _(3)AB = __(4)ABC = _(5))(C B A ⋃=4.从标有1,2,3的卡片中无放回抽取两次,每次一张,用),(ηξ表示第一次取到的数字x ,第二次取到y 的事件,则样本空间Ω= ,)3(=+ηξP = 。
三. 试写出下列随机试验的样本空间:(1)记录一个班级一次数学考试的平均分数(以百分制记分);(2)一射手对某目标进行射击,直到击中目标为止,观察其射击次数;(3)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标;(4)观察甲、乙两人乒乓球9局5胜制的比赛,记录他们的比分.四. 设A,B,C为3个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件:(1)A发生;(2)A不发生,但B,C至少有1个发生;(3)3个事件恰好有1个发生;(4)3个事件至少有2个发生;(5)3个事件都不发生;(6)3个事件最多有1个发生;(7)3个事件不都发生.福州大学至诚学院《概率论与数理统计》课外习题_______系 _______专业______班 姓名______学号_______第一章 随机事件及其概率 §1.2概率的直观定义一 选择题1.袋中有8只红球,2只白球, 从中任取2只,颜色相同的概率为( )A .4516 B. 101 C. 4529 D. 102 2.从一副除去两张王牌的52张牌中,任取5张,其中没有A 牌的概率为( )A .5248 B. 548552C C C. 5)1312( D. 554852C二.填空题1. 两封信随机地投入4个邮筒,则第一个邮筒只有一封信的概率为___________2.设箱中有50件一等品,20件二等品及10件三等品,现从中任取3件,试求:(1) 3件都是一等品的概率__________(2) 2件是一等品,1件是二等品的概率__________(3) 一等品,二等品,三等品各有1件的概率__________3. 掷两颗骰子,它们出现的点数之和等于7的概率是__________4. 设箱中装着标有1~36的36个号码球,今从箱中任取7个,求“恰有4个球的号码能被5整除”的概率__________三.计算题1. 设号码锁有6个拨盘,每个拨盘上有从0到9的10个数字,当6个拨盘上的数字组成某一个6位数号码(开锁号码)时,锁才能打开,如果不知道开锁号码,试开一次就能把锁打开的概率是多少?如果要求这6个数字全不相同,这个概率又是多少?2. 从数字1,2,3,4,5,中任取3个,组成没有重复的3位数,试求:(1)这个3位数是5的倍数的概率;(2)这个3位数是偶数的概率;(3)这个3位数大于400的概率.3. 在房间里有10个人,分别佩戴着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小的号码为5的概率.(2)求最大的号码为5的概率.4.(会面问题)两人相约于8时至9时之间在某地会面,先到者等候另一个人15分钟后即可离开,求两人能够会面的概率.福州大学至诚学院《概率论与数理统计》课外习题_______系 _______专业______班 姓名______学号_______第一章 随机事件及其概率 §1.3概率的公理化定义一. 选择题1. 设A ,B 为随机事件,φ=AB ,P (A )=0.4,)(B A P ⋃=0.7,则P (B )=( )A .0.3 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.12.已知2)(a A P =,2)(b B P =,ab AB P =)(,则)(B A B A P ⋃=( )A .22b a - B. 2)(b a - C. ab 2 D. ab a -23.下列正确的是:( )A .)(A P =1,则A 为必然事件B .)(B P =0,则φ=BC .)(A P ≤)(B P ,则B A ⊂D .B A ⊂则)(A P ≤)(B P二. 填空题1. 当A 与B 互不相容时,P (B A ⋃)= __________2. 若21)(=A P ,31)(=B P 且A B ⊂,则)(B A P ⋃= __________ 3.设C B A ,,是三事件,且41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P ,81)(=AC P ,求C B A ,,至少有一个发生的概率__________三 计算题1.已知P(A)=a,P(B)=b,P(AB)=c,求以下概率:(1)P (AB ); (2) P (A B ); (3)P (A B ); (4)P (A B).2.一学生宿舍有6名学生,问:(1)6个人生日都在星期天的概率是多少?(2)6个人生日都不在星期天的概率是多少?(3)6个人生日不都在星期天的概率是多少?3.设某厂产品的次品率为0.05,每100件产品为一批,在进行产品验收时,在每批中任取一半检验,若发现其中次品数不多于1个,则认为该批产品全部合格,求一批产品被认为合格的概率.4.将3个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各为多少福州大学至诚学院《概率论与数理统计》课外习题_______系 _______专业______班 姓名______学号_______第一章 随机事件及其概率 §1.4条件概率与乘法公式一.选择题1. 设随机事件A ,B 互不相容,且4.0)(=A P ,5.0)(=B P ,则)|(B A P =( )A .0 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.62.设A ,B 均为非零概率事件,且B A ⊂,则成立( )A .)()()(B P A P B A P +=⋃ B .)()()(B P A P AB P ⋅=C .)()()|(B P A P B A P = D .)()()(B P A P B A P -=- 3.已知0()1,P A <<1212且P[(B +B )|A]=P(B |A)+P(B |A),则下列选项成立的是( )1212121212121122A.P[(B +B )|A]=P(B |A)+P(B |A);B.P(B A+B A)=P(B A)+P(B A);C.P(B +B )=P(B |A)+P(B |A);D.P(A )=P(B )P(A|B )+P(B )P(A|B );4.设P(A)>0,则下列结论正确的是( )A.P (B|A)P(A) ≥P(A)-P(B) ; B .P (B|A)P(A) ≥P(A) +P(B );C .P (B|A)P(A) ≥P(A) -P(B )D ..P (B|A)P(A) ≥P(A)-P(B)二.填空题1.已知)(A P =a ,)(B P =b (1≠b ),)(B A P ⋃=c ,则)(B A P = __________________, )|(B A P = 。
概率论与数理统计教材第1章习题
47
1.20 把10本书任意地放在书架上, 求其中指定的 3本放在一起的概率。
解 基本事件的总数:
N P10 设A =“指定的3本放在一起”,
则A所包含的基本事件的数:
M P3 P8
∴ P( A) M P3 P8 8!3! 1 0.067 N P10 10! 15
48
1.21. 1~100个共100个数中任取一个数,求这个数能被2或3 或5整除的概率。
(1) (2) (3) (4)
A表示B
表示
表A示B
表示
AB
AA
; ; ; ;
解答
返回
1.3设A, B, C 表示三个事件, 试将下列事件用A, B, C 表示.
(1)A, B, C 都发生. (2)A, B, C 都不发生. (3)A, B, C 不都发生. (4)A, B, C 中至少有一个发生. (5)A, B, C 中至少有二个发生. (6)A, B, C 中恰好有一个发生. (7)A, B, C 中最多有一个发生. (8)A 发生而 B, C 都不发生. (9)A 不发生但 B, C 中至少有一个发生.
解: 设A= “被2整除”
B=“பைடு நூலகம்3整除”
C=“被5整除”
PA 50 PB 33 PC 20
100
100
100
PAB 16 PAC 10 PBC 6
100
100
100
PABC 3
100
所以所求事件的概率为
PA BC
PA PB PC PAB PBC PAC PABC
0.74
解答
返回
1.19 某工厂生产的100个产品中,有5个次品, 从这批产品中任取一半来检查,设A表示发现次品 不多于1个,求A的概率。
概率论与数理统计第一章习题参考解答
《概率论与数理统计》第一章参考解答(仅供参考,不妥之处及时指出)习题1.1(略)习题1.21.解 141414185()()()()()()()()000P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++−−−+=++−−−+=.2.解 ,()()()()0.40.50.70.2P AB P A P B P A B =+−=+−=∪()()()0.40.20.2P A B P A P AB −=−=−=,()()()0.50.20.3P B A P B P AB −=−=−=。
3.解 用、A B 、分别表示任选的一位该年龄段的市民喜欢读报、C A B 报、C 报,依题设 ()0.45,()0.34,()0.20,P A P B P C ===()0.10,()0.06,()0.04,()0.01P AB P AC P BC P ABC ====)。
(1) 任选的一位该年龄段的市民至少喜欢读一种报纸的概率()()()()()()()(0.450.340.200.100.060.040.010.80.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++−−−+=++−−−+= (2) 任选的一位该年龄段的市民三种报纸都不喜欢读的概率()()1()10.800.20.P ABC P A B C P A B C =++=−++=−=(3) 任选的一位该年龄段的市民只喜欢读报的概率 A ()()()()()[()()]0.450.100.060.010.30P ABC P AB P ABC P A P AB P AC P ABC =−=−−−=−−+=。
(4) 同理可以求得:任选的一位该年龄段的市民只喜欢读B 报的概率()()()()()[()()]0.340.100.040.010.21,P ABC P AB P ABC P B P AB P BC P ABC =−=−−−=−−+= 任选的一位该年龄段的市民只喜欢读报的概率 C ()()()()()[()()]0.200.060.040.010.11,P ABC P AC P ABC P C P AC P BC P ABC =−=−−−=−−+= 故任选的一位该年龄段的市民只喜欢读一种报报的概率()()()()0.300.210.110.62P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=。
概率论习题1.1-1.4解答
7. 设 x y,k 为任意一实数, ①若 A ={ x | x k },B { y | y k} , 试比较 P( A) 与 P( B) 的大小; ②若 A ={ x x k }, B { y | y k} ,试比较 P( A) 与 P( B) 的大小. 解:①∵ x y ,∴由 y k x k ;即 B { y | y k} 出现导致 A ={ x | x k }出现, ∴ A B , ∴ P( B) P( A) . ②∵ x y ∴由 x k y k ; 即 A ={ x | x k }出现导致 B { y | y k} 出现, ∴ A B , ∴ P( A) P( B) . 8. 若正方形由 x 轴 y 轴 直线 x 1 和 y 1 所围成正方形内部的点坐标为 ( x, y) 且
§1.2 随机事件的概率
习题解答
P16
1.上抛一枚硬币来决定乒乓球比赛的先发球权,方法是选手分别猜{正面朝上}或{反面朝 上},根据上抛硬币的结果猜中的选手先发球,试说明此方法的公平性. 解:∵ P {正面朝上}= P {反面朝上}=0.5 ∴此方法公平. 2.上抛两枚硬币若 A ={有两枚正面朝上}, B ={有一枚正面朝上}, C ={至少有一枚正面朝 上},则 P ( A) _________, P ( B) ________, P(C ) _________. 解:∵ n 4 ,而 r ( A) 1 , r (( B) 2 , r (C ) 3 , ∴ P ( A)
2 y=x+2
A ={ ( x, y) | y x 2或y x 1 },
y=x-1 2 1
1 1 23 23 22 22 S 2 所以 P ( A) A = 2 24 24 SD
概率论与数理统计科学出版社参考答案
出6点谁取胜, 若从甲开始, 问甲乙取胜的概率各为多少?
解 由于每轮掷出6点的概率为1/6, 掷不出概率为5/6.
所以, 第i轮掷出6点的概率为:
pi
( 5)i1 6
(2) P=3/12=1/4=0.25
6. 假设2个叫Davis的男孩, 3个叫Jones的男孩, 4个叫Smith
的男孩随意地坐在一排9座的座位上. 那么叫Davis的男孩
刚好坐在前两个座位上, 叫Jones的男孩坐在挨着的3个座
位上, 叫Smith的男孩坐在最后4个座位上的概率是多少?
解 n= A99 9!, nA 2 13 2 1 4 3 2 1 288
因此pab至少有一个有效pa有效pb有效pab都有效092093086360988pa有效b失灵pa有效pab都有效0058pa有效b失灵pa有效b失灵pb失灵0829一顾客每次购买牙膏都选择品牌a或b假定初次购以后每次购买时他仍选择上一次品牌的概率为13设该顾客第一次购买时选择a或b的概率相等求他第一次和第二次都购买a牌牙膏而第三次和第四次都购买b牌牙膏的概率
2. 设在统计课考试中, 学生A不及格的概率是0.5, 学 生B不及格的概率是0.2, 两人同时不及格的概率是0.1, 求:
(1) 两人中至少有一人不及格的概率; (2) 两人都及格的概率; (3) 两人中只有一个人不及格的概率; 解 记A=“学生A不及格”, B=“学生B不及格”, 则 (1) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.2-0.1=0.6 (2) P(AB)=P(A+B)=1-P(A+B)=1-0.6=0.4 (3) P{只有一人不及格}
A1(A2 A1)(A3 A1 A2)
n
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则 A B, A B, A B, A B 分别表示什么事件?
例2、从一批产品中每一次取一个产品检验(不放回)
A 表示第i次取到合格品,试用事件的运算符号表示下列事件 i 1.三次都取到合格品 2.三次中至少有一次取到合格品 3.三次中恰好有两次取到合格品 4.三次中最多一次取到合格品
例2、医学统计分析,人群中患有某种病菌引起的疾病人数 占总人数的0.5%,一种血液化验以95%的概率将患有此疾病 的人检查出阳性,但也有1%的概率误将不患此疾病的人检验 出呈阳性。现设某人检查出呈阳性反应, 问他确有患此疾病的概率是多少?
练习:假设在某时期内影响股票价格的因素为存款利率变化。 经分析,该时期利率不会上调,下调概率为0.6, 不变概率为0.4。根据经验,下调时某股上涨概率为0.8, 不变时上涨概率为0.4。求股票上涨的概率。 若已知股票上涨,问由利率下调引起的概率是多少?
且P B 0.3, P A B 0.6, 求P AB
练习:某校招生录取率为55%, 其录取标准有两条:总分超过500分,不及格门数不超过2门, 估计各有70%的考生打到第一、第二条标准, 求两条标准均未达到的考生比率。
条件概率 例1:10个产品,里面有4个次品, 第一次取出次品,问第二次取出次品的概率是多少?
先下手为强
例3、三个人独立破译密码,A破密码的概率为 1, 3
B破密码的概率为 1,C破密码的概率为 1,
4
5
问密码被破译的概率?
例4、甲乙两人射击水平相当,于是约定比赛规则: 双方对同一目标轮流射击,若一方失利, 另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止。 命中的一方为该轮的获胜者,你认为先射击者是否一定沾光? 为什么?
练习:一、设A,B,C为样本空间中的三个随机事件, 试用A,B,C的运算表示下列随机事件
1、A发生而B,C不发生;
2、A,B,C都不发生; 3、A,B,C中恰好一个发生;
4、A,B,C中至少两个发生;
5、A,B,C中至少有一个发生;
6、A,B,C中恰好两个发生。
二、设袋内有10个编号为的球,从1 10中任取一个,观察其号码,
例2、设在10件产品中有4件一等品和6件二等品, 现在随意从中取出两件已知其中至少有一件是一等品, 试求两件都是一等品的条件概率。
思考题科学美国人1952 weaver 有三张牌:一张两面都是点, 一张两面都是圈,一张一面点,一面圈。 规则:三张牌放在帽子里,拿一张出来,可以看到一面, 如果是点,打赌他说另一面也是点,算他赢,如果是圈,算你赢, 问这个赌博公平不公平?
1.作放回抽样,求第i(i 1, 2, , k)? 人取到白球的概率k a b。
2.作不放回抽样,求第i(i 1, 2, , k)人?取到白球的概率。
加法公式例题: 例1:一个袋内装有大小相同的7个球,4个白球, 3个黑球从中一次抽取3个, 计算至少有两个是白球的概率。
例2:设A, B为两事件,
全概率公式 引例:保险公司认为人可以分为两类, 第一类容易出事故,第二类比较谨慎, 统计数字表明: 第一类人在一年内某一时刻出一次事故的概率为0.4, 第二类人在某一时刻出一次事故的概率为0.2, 若第一类人占30%, 问:1.一个新客户在购买保险后一年内需要理赔的概率是多少? 2.如果该客户在购买保险后一年内出了一次事故, 他是第一类人的概率?
例2、两封信随机地标号为1,2,3, 4的四个邮筒投寄, 求第二个邮筒恰好被投入一封信的概率。
例3、将n个不同的球,投入N个不同的盒中,n N
设每一球落入各盒的概率相同,且各盒可放的球数不限,
记A 恰有n个盒子各有一球,求P A。
例4、抽签问题袋中有a个白球,b个红球, k个人依次在袋中任取一个球,
1、写出此试验的样本空间;
2、设A 取到球号码为奇数, B 取得球号码为偶数,C=取到球号码小于5
问:A B, AB, C, B C, A \ C各表示什么事件?
古典概型例题
例1、一个袋中有8个球到每个球的可能性相同,
从中随机摸一球,设A 摸到红球,求P A; 若不放回的摸两球,B=两球恰好一红一黄,求P B。
乘法公式 例1、一袋中有a个白球和b个红球, 现依次不放回地从袋中取两球, 试求两次均取到白球的概率。
例2、polya罐子模型 一个罐子中装有b个黑球和r个红球, 从罐中随机地摸取一球,观察颜色后放回罐中, 并且再加c个与所取出的球具有相同颜色的球, 这种过程进行四次, 试求第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球的概率。