【高考精品复习】第九篇 解析几何 第5讲 椭 圆

第5讲椭圆

【高考会这样考】

1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．

2．考查椭圆的方程及其几何性质．

3．考查直线与椭圆的位置关系．

【复习指导】

1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．

2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．

基础梳理

1．椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2＋

y2

b2＝1

(a>b>0)

y2

a2＋

x2

b2＝1

(a>b>0)

图形续表

范围－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

性 质

顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )

A 1(0，－a )，A 2(0，a )

B 1(－b,0)，B 2(b,0)

轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b

焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c

a ∈(0,1) a ，

b ，

c 的关系

c 2＝a 2－b 2

一条规律

椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：

给出椭圆方程x 2m ＋y 2

n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0＜m ＜n . 两种方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧

(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .

(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )．

A.x 29＋y 2

16＝1

B.x 225＋y 2

16＝1 C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 2

25＝1

D ．以上都不对

解析 ∵2a ＋2b ＝18，∴a ＋b ＝9，又∵2c ＝6，∴c ＝3，则c 2＝a 2－b 2＝9，故a －b ＝1，从而可得a ＝5，b ＝4，∴椭圆的方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 2

25＝1. 答案 C

2．(2012·合肥月考)设P 是椭圆x 225＋y 2

16＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10 解析 依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 答案 D

3．(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的

( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 要使方程

x 2

5－m ＋y

2

m ＋3

＝1表示椭圆，应满足⎩⎨⎧

5－m ＞0，

m ＋3＞0，

5－m ≠m ＋3，

解得－3

＜m ＜5且m ≠1，因此“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2

m ＋3＝1表示椭圆”的必

要不充分条件． 答案 B

4．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4

5，则k 的值为( )．

A ．－21

B ．21

C ．－19

25或21

D.19

25或21

解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝

5－k ，

由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－19

25； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝

k －5，

由c a ＝4

5，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.

答案 C

5．(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2

2.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．

解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝2

2，∴c a ＝2

2，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 2

8＝1. 答案 x 216＋y 2

8＝1

考向一 椭圆定义的应用

【例1】►(2011·青岛模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. [审题视点] 关键抓住点P 为椭圆C 上的一点，从而有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，再利用PF 1→⊥PF 2

→，进而得解． 解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，