如何判定二元函数的可微性

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关于二元函数可微性的判定

关于二元函数可微性的判定
二元函数的可微性是指在函数定义域内的某一点处，函数在该点附近是否存在一个线性近似，并且这个线性近似与函数实际值的误差相对于自变量的变化趋势不大。

通常情况下，我们使用偏导数来判断一个二元函数是否可微。

判断二元函数的可微性的方法有以下几种：
1. 完全可微：如果一个函数的所有偏导数都存在且连续，那么这个函数在定义域内是可微的。

这是二元函数可微的最一般的判定方法。

4. 一阶混合偏导数存在：如果一个函数的所有一阶混合偏导数都存在且连续，即满足偏导数存在的条件，那么这个函数在定义域内是可微的。

一阶混合偏导数存在意味着函数的二阶偏导数存在，因此这个条件比一阶偏导数存在的条件更严格。

需要注意的是，以上方法只是对函数在定义域内某一点处的可微性进行判断，对于函数的整体可微性还需要进行更细致的研究。

对于特定的函数，我们还可以利用泰勒展开式来判断函数的可微性。

判断二元函数的可微性的最常见方法是判断其偏导数的存在性和连续性，但对于特定情况可能需要使用更严格的条件。

用极限证明二元函数可微

用极限证明二元函数可微在微积分的学习中，大家或许经常听到“可微”这个词，但是对于“可微”的判定方法，却不是那么容易掌握。

本文将从极限的角度来深入解析二元函数可微的证明方法，详细阐述极限证明二元函数可微的方法，帮助读者更好地掌握这种判定方法。

首先，我们需要了解一下什么是二元函数可微。

在高等数学中，我们可以将二元函数看做是一个自变量有两个分量，因变量是一个实数的数学表达式。

那么一个二元函数在某个点处可微，表示它在该点处的微分存在。

如果一个函数在某点处可微，那么该函数在该点处一定连续。

接下来我们就要深入到证明二元函数可微的极限方法中来。

假设二元函数是 $f(x,y)$，点 $(x_0, y_0)$ 是定义域的一个点，那么函数在这个点处可微的条件是：$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (f(x_0 +\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)) = A \Delta x $$ $$ \lim_{\Delta y \rightarrow 0} (f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)) = B \Delta y $$其中 $A$ 和 $B$ 都是常数。

上面的定义可以表示为：$$ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0,y_0) + A\Delta x + B\Delta y + \alpha \Delta x +\beta \Delta y $$其中 $\alpha \rightarrow 0$，$\beta \rightarrow 0$。

这个式子里，前三项是用定义式推导而来的，它们表示 $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的值。

而后面的两项分别是 $\Delta x$ 和$\Delta y$ 乘以接近 0 的无穷小量，表示一阶偏导数对像 $(x_0, y_0)$ 那样的点斜率计算的误差。

二元函数可导和可微的关系

二元函数可导和可微的关系
二元函数是一种函数，它可以用于描述二维平面上的点之间的关系。

如果一个二元函数可以被求导，那么它就是可导的。

如果一个二元函数的导函数存在，那么它就是可微的。

因此，可微的函数必须是可导的，但可导的函数并不一定是可微的。

例如，函数 y=x^2 可以被求导，因此它是可导的。

但是，由于它的导函数为 y'=0，因此它不是可微的。

举个例子来解释这一点，考虑函数 y=|x|，它在 x=0 处是不可导的。

但是，当 x≠0 时，它是可导的，因为在这些点处它有一个定义的导函数。

所以，函数 y=|x| 是可导的，但不是可微的。

另一方面，函数 y=x^3 在所有的 x 处都是可导的，并且它的导函数 y'=3x^2 在所有的 x 处都存在。

因此，函数 y=x^3 是可微的。

总的来说，可微性是可导性的一个更强的条件，它涉及到函数的导函数的存在性。

因此，如果一个函数是可微的，那么它一定是可导的，但如果一个函数是可导的，并不意味着它就是可微的。

二元函数连续可微可导三者关系

二元函数连续可微可导三者关系二元函数的连续、可微和可导是数学分析中极为重要的概念，它们描述了函数在其中一点的连续性、平滑性和变化率。

在本文中，我们将详细讨论这三者之间的关系。

首先，我们来了解一下二元函数的连续性。

二元函数的连续性表示函数在定义域内的任意点上都具有无间断的性质。

具体来说，对于一个定义在平面上的二元函数f(x,y)，如果在定义域内的任意点(x0,y0)，当(x,y)趋近于(x0,y0)时，函数值f(x,y)也趋近于f(x0,y0)，那么我们说函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。

接下来，我们考察二元函数的可微性。

二元函数的可微性表示函数在其中一点附近用线性映射来近似可以很好地近似原函数。

具体地说，对于一个定义在平面上的二元函数f(x,y)，如果在点(x0,y0)处，存在一对常数A和B，使得当(x,y)趋近于(x0,y0)时，有以下关系成立：f(x,y)-f(x0,y0)=A(x-x0)+B(y-y0)+o(√((x-x0)²+(y-y0)²))其中o(√((x-x0)²+(y-y0)²))表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，o(√((x-x0)²+(y-y0)²))相对于√((x-x0)²+(y-y0)²)趋近于0。

这里，A 和B分别称为函数在点(x0,y0)的偏导数，可以用矩阵的形式表示为：Df(x0,y0)=[∂f/∂x,∂f/∂y]=[A,B]如果一个函数在定义域内的所有点上都可微，那么我们称其为可微函数。

最后，我们来看二元函数的可导性。

二元函数的可导性是可微性的一种特殊情况。

具体地说，对于一个定义在平面上的二元函数f(x,y)，如果在点(x0,y0)处存在极限：lim (f(x0 + dx, y0 + dy) - f(x0, y0))(dx,dy)->(0,0)那么我们称函数f(x,y)在点(x0,y0)处可导，并且这个极限值称为函数f(x,y)在点(x0,y0)处的导数，记作：∇f(x0,y0)=(∂f/∂x,∂f/∂y)=(∂f/∂x,∂f/∂y)(x0,y0)其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f(x,y)对x和y的偏导数。

二元函数可微的一个充分必要条件

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二元函数可微的充分必要条件公式

二元函数可微的充分必要条件公式好嘞，以下是为您生成的文章：在咱们数学的世界里啊，二元函数可微这事儿，还真有一套充分必要条件公式。

这公式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的大门。

咱先来说说啥是二元函数。

比如说，有个函数 z = f(x, y) ，这里的 x 和 y 就是两个自变量，它们一起决定了 z 的值。

那啥叫可微呢？简单来说，就是在某一点附近，这个函数的变化可以近似地用一个线性函数来表示。

那二元函数可微的充分必要条件公式到底是啥呢？咱慢慢道来。

就说我之前教过的一个学生小明吧。

有一次上课，我正讲着二元函数可微的知识点，这小明一脸懵，完全不在状态。

下课后，我把他叫到办公室，问他咋回事。

他挠挠头说：“老师，这二元函数可微太难理解了，那个公式更是像一团乱麻。

”我就耐心跟他解释：“小明啊，你别着急。

你看，咱就拿一个具体的例子来说。

比如说函数 z = x² + y²，咱来看看在点 (1, 1) 处它是不是可微的。

”然后我就一步步带着他算偏导数，给他讲清楚那个充分必要条件公式里的每一项。

这公式说，如果函数 z = f(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处可微，那么它的偏导数 f'x(x₀, y₀) 和 f'y(x₀, y₀) 都存在，并且Δz = f'x(x₀,y₀)Δx + f'y(x₀, y₀)Δy + o(ρ) ，其中ρ = √(Δx² + Δy²) 。

我跟小明说：“你看啊，先求出偏导数，然后再看后面这个式子是不是成立。

”小明听着听着，眼睛里渐渐有了光，好像有点明白了。

经过这么一折腾，小明后来对这个知识点掌握得还不错。

从那以后，我也更加明白了，教这些复杂的公式，就得结合具体例子，让学生真正搞懂每个步骤的含义。

回到这二元函数可微的充分必要条件公式，它可真是数学里的一个重要宝贝。

在解决好多实际问题的时候，都能派上大用场。

比如说在研究物理中的一些场的变化，或者在工程计算中，判断某个函数模型是不是足够精确。

关于二元函数可微性的判定

关于二元函数可微性的判定1. 引言1.1 简介在数学分析中，二元函数可微性是一个重要的概念，它研究的是在二维空间中的函数对于变量的微小变化的响应。

通过对二元函数的可微性进行分析，我们可以更深入地了解函数在某一点的变化规律，从而推导出一些重要的结论。

在实际问题中，二元函数可微性的判定也具有很高的应用价值，比如在优化问题、微积分学中的应用等方面。

本文将围绕二元函数可微性展开讨论，首先介绍二元函数可微性的定义，然后讨论一阶偏导数连续性对于二元函数可微性的判定，接着介绍二元函数可微的判定定理和具体的可微性判定方法。

最后我们通过实例分析来进一步理解二元函数的可微性。

通过本文的阐述，希望读者能够对二元函数的可微性有更清晰的认识，并能够灵活运用这一概念解决实际问题。

1.2 研究背景二元函数可微性是微积分中一个重要的概念，也是数学分析中的一个重要研究对象。

在研究二元函数的可微性时，我们需要了解一些基本的背景知识。

二元函数可微性是指在某个点处，函数在这个点附近可以用一个线性函数来近似表示，即函数在这个点处存在一个线性近似。

这种性质在许多领域中都有广泛的应用，例如在优化问题和数值分析中。

了解二元函数的可微性也有助于我们更深入地理解函数的性质，例如函数的平滑性和连续性。

二元函数可微性的研究也可以为我们提供一种更深入的方法来探究函数的局部性质和变化趋势。

二元函数可微性的研究也与微分方程的求解、最优化问题的建模等应用密切相关。

通过研究二元函数的可微性，我们可以更好地理解和解决实际问题中的数学建模和分析工作。

了解二元函数的可微性及其判定方法对于我们深入理解数学分析中的相关概念和方法，以及应用于实际问题中具有重要的意义。

在接下来的我们将具体介绍二元函数可微性的定义、判定方法和实例分析，以帮助读者更好地理解这一概念。

1.3 研究意义二元函数可微性是微积分学中一个重要的概念，研究它的意义在于深入理解函数的性质和变化规律。

通过研究二元函数可微性，我们可以更好地理解函数在某点的变化率和局部性质。

二元函数的连续、偏导及可微三者之间的关系

二元函数的连续、偏导及可微三者之间的关系
一、函数的连续性
函数的连续性是指函数的图象是一条曲线，在某个点处连续。

函数是否连续，可以通过导数的符号来判断。

如果导数符号为正，则函数在某个点处是连续的；如果导数符号为负，则函数在某个点处不是连续的。

二、函数的偏导
函数的偏导是指函数的导数，也就是说函数的偏导是对函数图象的一个切线。

偏导的符号与函数的连续性符号是相同的。

三、函数的可微性
函数的可微性是指函数的导数是可微的，也就是说函数的导数在某个点处取得极小值或极大值。

可微性是通过导数的符号来判断的。

如果导数符号为正，则函数在某个点处是可微的；如果导数符号为负，则函数在某个点处不是可微的。

二元函数可微的充分条件(最终版)

精品文档二元函数可微的充分条件(最终版)教材的充分条件是这样的，z f(x, y)的偏导数连续，则函数是可微的。

条件可弱化为，z f(x, y)偏导数存在，且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续(关于求导变元)，则函数是可微的。

多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。

证明：1)设—连续，-5关于y单元连续。

x y因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有z f (x,y) f (X o, y o) f(x,y) f(x°,y) f(x°, y) f(x°,y°)f x ( ,y) x f y(x o，) y ( 1)在y, y o之间，在x,x o之间。

f x(，y)在(x o, y o)连续，有f x( , y) f x(x°,y°) 1 (2)i在x X o,y y o时是无穷小量。

f y(x o,)在y y o关于y单元连续，有f y(x o, ) f y(x o, y o) 2 (3)2在y y o时是无穷小量。

将(2)( 3)代入(1)有z f x (x o, y o) x f y(x°,y°) y 1 X 2 y可以证明1 x 2 y=o(〔x2 y2)o 11 x22 y1 111+121.x y| 11+| 2I是无穷小量，又两边夹准则，1 1 : 2=^ 是无穷小量，所以1 X? 2丰是无穷V x2y2V x2y2小量，即1 x 2 y=oC x2y2)2)设-连续，—关于x单元连续。

y x因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有z f(x,y) f(X o ,y o ) f(x,y) f(x,y °) f y (x, ) y f x ( ,y o ) x在y, y o 之间，在x,x °之间。

f y (x,)在(x o , y o )连续，有 f y (x, )f y (x o , y o )i 在x X o ,y y o 时是无穷小量。

关于二元函数可微性的判定

关于二元函数可微性的判定【摘要】二元函数的可微性是微积分中的重要概念之一。

本文首先介绍了二元函数的定义与性质，然后阐述了可微性的概念以及二元函数可微性的判定方法。

接着讨论了偏导数的存在与连续性以及全微分存在的条件。

在强调了二元函数可微性的判断依据，探讨了可微性与导数的关系，并介绍了可微性的重要性和应用。

通过对二元函数可微性的深入研究，可以更好地理解函数的变化规律，推动微积分理论的发展和应用。

【关键词】二元函数、可微性、判定方法、偏导数、全微分、存在与连续性、条件、判断依据、导数、重要性、应用1. 引言1.1 介绍二元函数可微性是微积分中一个重要的概念，它在许多数学和工程领域中都有着重要的应用。

为了理解二元函数可微性的概念和判定方法，我们需要先了解二元函数的定义与性质以及可微性的基本概念。

二元函数是指依赖于两个自变量的函数，通常表示为z = f(x, y)。

在二元函数中，自变量x和y可以取任意实数值，而函数值z也对应着实数值。

二元函数具有一些特性，比如在定义域内具有唯一的函数值，同时还需要满足一些性质，如函数的连续性和可导性等。

可微性是指函数在某一点处存在一个线性逼近，也就是说，函数在该点附近的变化可以用一个线性函数来近似表示。

对于一元函数，可微性可以用导数的存在来判定，而对于二元函数，则需要用偏导数和全微分来进行判定。

在接下来的内容中，我们将介绍关于二元函数可微性的判定方法，包括偏导数的存在与连续性、全微分存在的条件等。

通过深入了解这些内容，我们可以更好地理解二元函数可微性的判定依据，以及与导数的关系，从而探讨其在数学和工程领域中的重要性和应用。

1.2 研究背景二元函数可微性是微积分学中一个重要的概念，它描述了二元函数在某点处的变化率和局部线性近似性质。

可微性是现代数学分析的基础之一，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

二元函数的可微性是微积分学中的一个重要内容，它深刻地影响着分析学、数值分析和高等代数等学科的发展。

二元函数证明可微

二元函数证明可微可微是数学中一个重要的概念，它描述了函数在某一点附近的光滑程度。

在本文中，我们将通过一个二元函数来证明可微的概念。

让我们定义一个二元函数f(x, y)，其中x和y是实数。

我们假设f(x, y)是一个在整个定义域上连续的函数。

我们的目标是证明f(x, y)在某一点(x0, y0)处可微。

为了证明可微性，我们需要证明在该点附近存在一个线性近似函数，即切线。

我们可以使用泰勒展开来构建这个切线。

泰勒展开是一种将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法。

对于一个二元函数f(x, y)，我们可以将其泰勒展开为以下形式：f(x, y) = f(x0, y0) + (x - x0) * ∂f/∂x(x0, y0) + (y - y0) * ∂f/∂y(x0, y0) + R(x, y)在上述公式中，f(x0, y0)表示函数在点(x0, y0)处的函数值；∂f/∂x(x0, y0)和∂f/∂y(x0, y0)分别表示函数在点(x0, y0)处对x和y的偏导数；R(x, y)是一个余项，表示高阶项的影响。

现在，我们来看一下切线的定义。

切线是函数在某一点处的线性近似。

对于一个二元函数f(x, y)，切线的表达式可以写为：L(x, y) = f(x0, y0) + (x - x0) * ∂f/∂x(x0, y0) + (y - y0) * ∂f/∂y(x0, y0)我们可以看到，切线的表达式与泰勒展开的前两项是完全一致的。

这意味着，切线是泰勒展开的线性部分。

现在，我们需要证明函数在点(x0, y0)处的切线与函数在该点附近的值非常接近。

为了做到这一点，我们需要证明余项R(x, y)在点(x0, y0)处趋近于0。

根据余项的定义，我们可以得到：R(x, y) = f(x, y) - f(x0, y0) - (x - x0) * ∂f/∂x(x0, y0) - (y - y0) * ∂f/∂y(x0, y0)为了证明余项趋近于0，我们需要证明以下两个条件：1. f(x, y)在点(x0, y0)处连续2. ∂f/∂x(x0, y0)和∂f/∂y(x0, y0)存在且连续根据题目要求，我们不得包含数学公式或计算公式，因此我们无法给出严格的证明过程，但可以通过直观的解释来说明这两个条件的合理性。

二元函数连续可微可导三者关系

二元函数连续可微可导三者关系1. 首先，我们需要了解二元函数的连续性、可微性和可导性的定义。

一个二元函数是指一个拥有两个自变量和一个因变量的函数，通常表示为f(x, y)。

连续性是指函数在其定义域内不断接近于某一点的性质。

可微性是指函数在某一点处存在切线，可以用导数来表示切线的斜率。

可导性是可微性的一种特殊情况，指函数在某一点处存在有限的导数。

2. 当一个二元函数在一个点处连续时，意味着在该点处的函数值与其周围的点的函数值非常接近。

换句话说，如果我们选择足够接近这个点的任意两个点(x1, y1) 和(x2, y2)，那么对应的函数值f(x1, y1) 和f(x2, y2) 的差异将非常小。

这表明函数在这个点处没有突变或跳跃。

3. 如果一个二元函数在某一点处连续可微，那么它在该点处的偏导数存在且连续。

偏导数是指函数在该点处关于每个自变量的导数。

换句话说，不仅函数的函数值连续，而且函数在该点处每个自变量的变化对函数值的影响也是连续的。

这意味着函数在该点处的切线可以通过偏导数来准确描述。

4. 但是，连续可微并不一定意味着函数在该点处可导。

可导性是一个更高的要求，它要求函数在该点处存在有限的导数。

导数是函数在某一点处切线的斜率，可以用来近似描述函数在该点处的变化率。

如果一个二元函数在某一点处可导，那么偏导数的存在意味着函数在该点处的切线是唯一的，即不存在不同的切线可以通过该点。

5. 总结来说，二元函数的连续性、可微性和可导性有以下关系：连续性是最基本的性质，它要求函数在某一点处的函数值连续；可微性要求函数在某一点处连续且偏导数连续；可导性是可微性的特殊情况，它要求函数在某一点处存在有限的导数。

这些性质相互关联，但并不是互相包含的关系。

函数可以连续但不可微，也可以连续可微但不可导。

6. 最后，需要注意的是，虽然我们在讨论二元函数的连续性、可微性和可导性，但这些概念同样适用于多元函数。

多元函数是指拥有多个自变量和一个因变量的函数，其连续性、可微性和可导性的定义和二元函数是类似的。

二元函数偏导数存在和可微的关系

二元函数偏导数存在和可微的关系
二元函数偏导数是指在二元函数中，求出某一变量对另一变量的偏导数。

它是求解多元函数极值问题的基础，也是求解多元函数的重要工具。

二元函数偏导数与可微性有着密切的关系。

可微性是指函数在某一点处是否可以导出，也就是说，函数是否可以在某一点处取得极值。

如果函数在某一点处可以取得极值，那么这个函数就是可微的，而如果函数在某一点处不可以取得极值，那么这个函数就是不可微的。

二元函数偏导数的存在，就是为了检验函数是否可微。

如果函数的偏导数在某一点处存在，那么这个函数就是可微的；如果函数的偏导数在某一点处不存在，那么这个函数就是不可微的。

因此，二元函数偏导数的存在，就是为了检验函数是否可微。

另外，二元函数偏导数的存在，还可以帮助我们求解多元函数的极值问题。

如果函数的偏导数在某一点处存在，那么这个点就是函数的极值点；如果函数的偏导数在某一点处不存在，那么这个点就不是函数的极值点。

因此，二元函数偏导数的存在，可以帮助我们求解多元函数的极值问题。

总之，二元函数偏导数与可微性有着密切的关系，它的存在可以帮助我们检验函数是否可微，也可以帮助我们求解多元函数的极值问题，是求解多元函数的重要工具。

二元函数的连续性与可微性

二元函数的连续性与可微性
在数学中，了解函数的连续性和可微性非常重要。本次演讲将详细介绍二元函数的连续性和可微性的定义及其关系。
函数的连续性和可微性的定义
连续性定义
连续性是指函数在其定义域内无断点，没有跳跃性变化。
可微性定义
可微性是指函数在某一点的导数存在，表示函数在该点有切线。
二元函数的连续性
绝对函数是连续但不可微的典型例子。
连续函数和可微函数在数学和实际应用中有着重要的意义和应用价值。
可微函数的性质
1 连续性
可微函数一定是连续的，因为若导数存在，函数在该点必然无断点。
2 导数
可微函数的导数与其偏导数相等，可帮助我们更好地理解函数在各个方向上的变化率。
连续性和可微性的关系
可微必连续的原理
连续不一定可微的例子连续与可微的关系总结和应用
可微函数一定是连续函数，但连续函数不一定可微。
1 基本概念
2 判定方法
二元函数的连续性是指函数在定义域内的任意一点，其函数值的变化不会产生剧烈跳跃。
连续函数和间断函数的特征和性质之间的区别可用来判断二元函数的连续性。
二元函数的可微性
偏导数及其定义
偏导数是指在多元函数中，对一个变量求导时，将其他变量视为常数。
可微性的定义
二元函数可微性是指函数在某一点的偏导数都存在且连续，表示函数在该点可导。

二元函数连续、偏导数与可微的关系

二元函数连续、偏导数与可微的关系
二元函数在某一点连续、存在偏导数并不一定可微，但是若二元函数在某一点可微，则必然在该点连续且存在偏导数。

具体来说，设$f(x,y)$为定义在$(x_0,y_0)$的某个邻域内的二元函数，若$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$可微，则必然存在以下两个条件：
1. $f(x,y)$在$(x_0,y_0)$连续；
2. $f(x,y)$在$(x_0,y_0)$存在偏导数，且偏导数连续。

但是反过来，若$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$连续且存在偏导数，并不一定能够说明$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$可微。

这时候还需要判定$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的偏导数是否满足可微的某些条件，例如克拉默条件等。

综上，二元函数的连续、偏导数与可微之间的关系需要根据具体情况来判断，不能一概而论。

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关于二元函数可微性的判定

摘要院二元函数可微性是数学分析学习中重要的也是难以理解的知识点之一袁为了帮助学生对该知识点进行更好的理解和掌握袁本文从可微性的定义入手袁辅以具体的例子袁对二元函数可微性的判定条件展开了讨论和分析袁进而给出一个判定二元函数可微性的流程图.
关键词院二元函数曰可微曰偏导数曰连续中图分类号院O 174.41 文献标识码院A 文章编号院1673-260X渊 2019冤 04-0007-04
下来的袁不难证明 A =fx(x0,y0)袁B =fy(x0,y0).也就是说袁如果一个二元函数 f(x,y)在某点的一个偏导数不存
在袁那么它在该点一定不可微.即两个偏导数存在
是二元函数可微的必要条件[14].
注 2 由式渊 1.1冤和注 1 知袁如果极限
lim f(x0+驻x,y0+驻y)-f(x0,y0)-fx(x0,y0)驻x-fy袁一个二元函数在某点连续袁那么它在该点可微吗钥为此袁我们给出一个例子进行说明.
例 1 考察函数 f(x,y)= 姨x2+y2 在(0,0)点连续性和可微性.
解显然袁 lim f(x,y)=f(0,0)=0袁所以该函数在 x寅0 y寅0
(0,0)点连续.而极限
lim
x寅0
f(x,0)x
f(0,0)=
lim
x寅0
|x| x
不存在袁即偏导数 fx(0,0)不存在袁由注 1 知道该函数在(0,0)点不可微.
由例 1 知函数的可微性要比连续性更强袁一个
二元函数在某点连续袁并不意味着其在该点可微.
但是袁若一个二元函数在某点不连续袁那么它在该
点一定不可微袁即连续性是可微性的一个必要条
件.例 1 是因为函数的偏导数不存在而导致其不可

证明二元函数可微

首先要明白什么是二元函数，二元函数指的是两个变量x和y，它由一个表达式来表示，表达式中有两个未知量。

一般用f(x,y)表示一个二元函数，而且可以把二元函数看成是由一系列“点”共同组成的图形，此时这种图形叫做曲面。

进一步来说，就是你在xy平面上作了一个点集，能把这点集抛物线等函数拟合的就称之为二元函数。

要证明二元函数可微，那么必须证明它的导数是存在的。

我们假设
f(x,y)=f(x0,y0)，其中x0和y0是固定的常数，两个未知数x和y两边各取一个足够小的增量Δx和Δy，这样f(x,y)就可以表示为：
f(x,y)=f(x0+Δx,y0+Δy)
在函数f(x,y)中做求导操作，经过简化之后得到：
∂f/∂x=limΔx->0[f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)]/Δx
∂f/∂y=limΔy->0[f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)]/Δy
由上面的表达式可以看出，当Δx和Δy都足够小的时候，它们的除数就可以看作是一个常量，这时右侧的两个式子的商就可以看成是f(x,y)关于x,y的偏导数，即：
∂f/∂x=∂f/∂x或∂f/∂y=∂f/∂y
根据上面的表达式，可以看出，对于二元函数，当x和y都足够小的时候，那么f(X+Δx,Y+Δy)就可以看作是f(x,y)的偏导数，这样一来，就可以证明二元函数不但是定义在某一点上可微，而且是定义在其周围点上都可以求导数。

因此，可以说二元函数是可微的。

通过上文的讨论，可以清楚地看出，二元函数可以通过求其导数来证明它是可微的。

当满足相应条件的时候，它的偏导数就存在，所以，这就证明了二元函数可微的事实。

可微的定义表达式

二元函数可微的定义是函数z=f(x，y)在点(x，y)的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。

令x=y=0，则全增量Δz=f(Δx，Δy)-f(0，0)，将符号Δx，Δy换成x，y来表示，则(x，y)→(0，0)时函数f(x，y)的Δz=f(x，y)-f(0，0)=-2x+y+o(ρ)，符合定义的要求，所以f(x，y)在点(0，0)处可微。

二元函数可微的条件
1、二元函数可微的必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

2、二元函数可微的充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续，则该函数在这点可微。

3、多元函数可微的充分必要条件是f(x，y)在点（x0，y0）的两个偏导数都存在。

4、设平面点集D包含于R^2，若按照某对应法则f，D中每一点P(x，y)都有唯一的实数z 与之对应，则称f为在D上的二元函数。