a第11讲第四章马尔可夫链4

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第四章马尔可夫链

股市预测
预测股票价格变化基于历史数据建立模型考虑股票之间的相关性用于投资决策和风险管理
05
马尔可夫链的算法
状态转移矩阵算法
定义：状态转移矩阵算法是马尔可夫链中用于描述状态转移概率的算法
计算方法：根据历史数据和当前状态计算未来的状态转移概率
应用场景：广泛应用于自然语言处理、语音识别、机器翻译等领域
类问题等。
可扩展性强：马尔可夫链可以通过增加状态和转移概率来扩展模型，以处理更复杂
的问题。
缺点
状态转移概率矩阵必须已知
无法处理连续时间或非齐次过程
无法处理多维或多状态过程
无法处理非马尔可夫过程
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汇报人：儿
特点：隐马尔可夫链的状态转移和观测概率是参数化的，需要通过训练数据来估计。
应用：隐马尔可夫链在语音识别、自然语言处理、机器翻译等领域有广泛应用。
算法：隐马尔可夫链的算法包括前向-后向算法、Viterbi算法和Baum-Welch算法等。
04
马尔可夫链的应用
自然语言处理
文本分类：利用马尔可夫链对文本进行分类，如垃圾邮件过滤、情感
01
添加章节标题
02
马尔可夫链的定义
状态转移
定义：马尔可夫链的状态转移概率是描述状态之间转移的规则
特性：状态转移具有无记忆性，即下一个状态只与当前状态有关，与过去状态无关
转移矩阵：描述状态转移概率的矩阵
稳态分布：在长期状态下，马尔可夫链将趋于一个稳态分布，该分布描述
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马尔可夫链
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马尔可夫链

2020年5月21日星期四
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}，转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例

随机过程第四章马尔可夫链

0,
p(n) ij
1, i,
jI
jI
即P(n)也为随机矩阵.
当n
1时,
p (1) ij
pij
,
P (1)
P
当n
0时,规定pi(j0)
0 , i 1 , i
j j
13
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定理4.1 设{Xn, nT}为马尔可夫链, 则对任意整数n0, 0l<n和i,jI, n步转移概率 p具i(jn) 有性
Ckx 0
pxqy ，
,
k ( j i)为偶数 k ( j i)为奇数
11
4.1 马尔可夫链与转移概率
例4.4 具有吸收壁和反射壁的随机游动状态空间 {1,2,3,4}, 1为吸收壁, 4为反射壁.
解：状态转移图
状态转移矩阵
1 3
1 0 0 0
1
1
3
1 1
3
1
1
1 1 1
1 3
1 3
2
P 3
5
4.1 马尔可夫链与转移概率
= =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。
6
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔可夫链{Xn, nT}在时刻n的一步转移概率,简称转移概率,其中i,jI.
P{X 0 i}P{X1 i1 | X 0 i} iI
P{X 2 i2 | X1 i1} P{X n in | X n1 in1}

马尔可夫链课件

PPXX00 ii00，X1PXi1，1L，i1 |XXk01 ii0k1L PXk 马ik |氏Xk性1 ik1 P X k ik |X 0 i0，X1 i1，L ，X k 1 ik 1
P即X马0尔 i可0，夫X链1 {i1，XLn，，Xn k10}i的k1有限维分布完全由初始
分布PPX{kX0 ik|Xi}k1 和 ik条1件概率 P{Xn j | Xn1 i} 确定.
PX 0 i0，X1 i1，L ，X k 2 ik 2
马氏性
P X k 1 ik 1 | X 0 i0，L ，X k 2 ik 2
P X k ik |X k 1 ik 1
• 第一节基本概念 • 第二节状态的分类及性质 • 第三节极限性态及平稳分布 • 第四节 Markov链的应用
第一节基本概念
一、Markov链的定义二、转移概率三、Markov链的例子四、n步转移概率，C-K方程
第一节基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性)
过程(或系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。
则称 {Xn，n 0}为齐次马尔可夫链，称 pij 为从状态 i 转移到状态 j 的一步转移概率.
若马尔科夫链 {Xn，n 0}的状态空间是有限集，则称 {Xn，n 0}为有限状态的马尔科夫链；
若马尔科夫链 {Xn，n 0}的状态空间是可列集，则称 {Xn，n 0}为可列状态的马尔科夫链.
是状态有限的马尔科夫链. 1.求其一步转移概率矩阵； 2.若 0.7， 0.4 ，且今天有雨，求第四天有雨的
概率.
四、n步转移概率、C-K方程

a第11讲第四章马尔可夫链4-3

江西理工大学理学院
由状态转移图易见各状态的周期 d = 3 ，固定状态 i = 1，
令
( G0 = { j : 对某 n ≥ 0有p1,3jn ) > 0} = {1,4,6} ( 3 n + 1) G1 = { j : 对某 n ≥ 0有p1, j > 0} = ( G2 = { j : 对某 n ≥ 0有p1,3jn + 2 ) > 0} =
由比值判别法
n =1
∑
∞( Biblioteka ) p00=m =1
∑ am
∞
收敛，
故状态0是非常返的。
江西理工大学理学院
定理 4.10 任一马氏链的状态空间 I ,可惟一地分解成有限个或可列个互不相交的子集 D, C1 , C 2 ,L之和，使得
(1) 每一C n 是常返态组成的不可约闭集 (2) C n 中状态同类，或全是正常返，或全是零常返。它们有相同的周期且 f ik = 1, j , k ∈ C n (3) D 由全体非常返态组成。自 C n 中的状态不能到达
{3,5} {2}
江西理工大学理学院
∴ C = G0 U G1 U G2 = {1,4,6} U { 3,5} U { 2}
定理 4 .12 设{X n , n ≥ 0}是周期为 d 的不可约马氏链，则在定理 4.11 的结论下有（1）如只在时刻 0, d ,2d ,L上考虑{X n }，即得一新马氏链，其转移阵 P
证
无限制随机游动的所有状态都是互通的。故只需判断状态0是零常返还是非常返态。
m ⎧C 2 m p m q m (n Q p00 ) = ⎨ 0 ⎩ 其中 q = 1 − p ，
∞ ∞
n = 2m n = 2m − 1, m = 1,2,L,

第四章马尔可夫链

第四章马尔可夫链随机过程在不同时刻下的状态之间一般具有某种关系，马尔可夫（Markov ）过程就是描述一类状态之间具有某种特殊统计联系的随机过程.Markov 过程在近代物理学、生物学、管理科学、信息处理与数字计算方法等领域都有重要的应用.按其状态和时间参数是连续的或离散的，它可分为三类：（1）时间、状态都是离散的Markov 过程，称为Markov 链；（2）时间连续、状态离散的Markov 过程，称为连续时间的Markov 链；（3）时间、状态都连续的Markov 过程.本章主要讨论Markov 链，有关连续时间的Markov 链的相关理论将在下章讨论.4.1 马尔可夫链的概念和例子独立随机试验模型最直接的推广就是Markov 链模型，早在1906年俄国数学家Markov 对它进行研究而得名，以后Kolmogorov 、Feller 、Doob 等数学家发展了这一理论.4.1 .1 Markov 链的定义假设Markov 过程{,}n X n T ∈的参数集T 是离散时间集合，即{0,1,2,}T =，相应n X 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态集012{,,,}I i i i =.定义 4.1 设有一随机过程{,}n X n T ∈，若对于任意整数n T ∈和任意011,,,n i i i I +∈，条件概率满足11001111{|,,,}{|}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======则称{,}n X n T ∈为离散时间的Markov 链，简称Markov 链（Markov chains ）或马氏链.从定义可以看出：Markov 链具有Markov 性（即无后效性），如果把时刻n 看作现在，那么，1n +是将来的时刻，而0,1,2,,1n -是过去的时刻.Markov 性表示在确切知道系统现在状态的条件下，系统将来的状况与过去的状况无关，而且Markov 链的统计特征完全由条件概率11{|}n n n n P X i X i ++==所决定. 因此，如何确定这个条件概率，是研究Markov 链理论和应用中十分重要的问题之一. 4.1.2 转移概率定义 4.2 称条件概率1(){|}ij n n p n P X j X i +=== （4.1）为Markov 链{,}n X n T ∈在时刻n 的一步转移概率，其中,i j I ∈，简称转移概率（transition probability ）.一般地，转移概率()ij p n 不仅仅与状态,i j 有关，而且与时刻n 有关，如果()ij p n 不依赖时刻n 时，则称Markov 链具有平稳转移概率.定义 4.3 若对任意,i j I ∈，Markov 链{,}n X n T ∈的转移概率()ij p n 与n 无关，则称Markov 链是齐次的（或称时齐的）（time homogeneous -），并记()ij p n 为ij p . 下面只讨论齐次Markov 链，并且通常将“齐次”两字省去.定义 4.4 设P 表示一步转移概率ij p 所组成的矩阵，且状态空间{1,2,}I =，则1112121222...........................n n p p p P p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为系统状态的一步转移概率矩阵（transition probability matrix ），它具有性质：（1）0,,ij p i j I ≥∈；（2）1,ijj Ipi I ∈=∈∑.（2）式说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为1，通常称满足性质（1）（2）的矩阵为随机矩阵.定义 4.5 称条件概率(){|},n ij m n m p P X j X i +=== ,,0,1i j I m n ∈≥≥ （4.2）为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移概率，并称()()()n n ij P p =为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移矩阵.其中()()0,1n n ij ij j Ip p ∈≥=∑，即()n P 也是一个随机矩阵.特别地，当1n =时，(1)ij ij p p =，此时，一步转移矩阵(1)P P =.我们还规定(0)0,1,iji jpi j ≠⎧=⎨=⎩Markov 链n 步转移概率满足重要的Chapman Kolmogorov -方程（简称C K -方程）。

第四章-马尔可夫链-随机过程

计算 n 步转移概率的方法。
切普曼一柯尔莫哥格夫方程：对一切n,m 0，一切 i，j，有(4.2.1)

P nm ij

Pikn Pkmj
k0

证明：
P nm ij

P{ X nm

j|
X0
i}
P{Xn k | X0 i}P{Xnm j | Xn k, X0 i}
顾客数构成一个泊松过程。所以，
Pi, j
e t (t )i1 j dG(t ), j 1,
0
(i 1 j)!
i 1
这是因为若一个来客发现有 i 个人在系统中，那么下一个来客将
发现人数为 i+1 减去已服务完毕的人数，易知有 i+1-j 个人被服
务完毕的概率(对相继来到之间的时间取条件)等于上式的右端。

0
0
0 P43

例 4．1(b) G/M/1 排队系统。假设顾客依照一个任意的更新过
程来到一个单服务台的服务中心，来到间隔分布为 G。进一步
假设服务分布是指数分布，参数为。若以 Xn 记第 n 个顾客来
到时见到系统中的顾客数，以 Yn 记第 n 个顾客与第(n+1)个顾客
不可被 d 整除的 n 有 Piin 0，且 d 是具有此性质的最大整数(d 是
{n : Piin 0}的最大公约数)。(若对一切 n>0， Piin 0，则定义 i 的周期是无穷大。)具有周期 1 的状态称为非周期的(aperiodic)。以 d(i)记 i 的周期。
例设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}，转移概率如下图
P nm ij

第4章马尔可夫链

（2）状态的常返性
首中概率——状态 i 经 n 步首次到达状态 j 的概率：
f ij( n ) P{ X m n j , X m v j , 1 v n 1 X m i}, n 1
f ij( 0 ) 0
系统从状态 i 出发，经有限步迟早会（首次）到达状态 j 的概率：

i I
p i p ii1 p i n 1i n
马尔可夫链的有限维分布完全由它的初始概率和一步转移概率所决定。
马尔可夫链的几个简单例子
[例1] 二进制对称信道模型——是常用于表征通信系统的错误产生机制的离散无记忆信道模型。假设某级信道输入0, 1数字信号后，其输出正确的概 1 率为p，产生错误的概率为q，则该级信道输入状态和输出状态构成一个两状态的齐次马尔可夫链。一步转移概率矩阵： p q P q p 0

目录
4.2 马尔可夫链的状态分类
设 { Xn , n >0 } 是齐次马尔可夫链，其状态空间 I = { 0, 1, 2, … }，转移概率是 pij ， i , j I ，初始分布为{ Pj , j I } 。
8 1 9 2 1 1 6 1 5 2/3 1/3 1 4 1
1 7
( 2 ) P{ X n 2 c X n b}
17 30 1 3 1 2 1 ( 2) 2 8 (1) P P 15 4 5 3 5 50 17 30 1 (2) ( 2 ) P{ X n 2 c X n b} Pbc 6 9 40 3 10 3 20 5 24 1 6 17 90

连续马尔可夫过程（或扩散过程）

4.1 马尔可夫链的概念及转移概率

第11讲随机过程及其应用(第三版) 刘次华第4章马尔科夫链(3)

其中 D = {1} 是非常返集
C1 = {2 ,3,4},C2 = {5,6,7}
2 3 4
1 5 7 6
是常返闭集，非周期
lim （1）求每一个不可约闭集的极限分布（2）求 n →∞ p12
( n)
解（1）：这是一个可约马氏链。根据状态空间的分解定理，状态空间分解为： I = {1} + {2,3, 4} + {5, 6, 7}
5
6
1
二、平稳分布
定义4.11
例1 ：设马尔科夫链的转移概率矩阵为
⎡ 0.7 0.1 0.2⎤ P = ⎢ 0.1 0.8 0.1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣0.05 0.05 0.9⎥
设齐次马氏链转移概率矩阵为P,
且
若π = (π 1 , π 2 , )满足方程：
π =πP
∑π
j
j
=1
则称 π = (π 1 , π 2 , ) 为该马氏链的平稳分布定理4.16 不可约非周期的马氏链，其极限分布存在（或状态是正常返）的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布。即 1 πj =
15
故从上式可解得：
16
2 lim p12 ( n ) = n →∞ 9
注: 对于一般可约马氏链， lim pij (
n →∞
n)
的情形如下:
例4 马氏链的概率转移图所示，分析转移概率极限:
I = D + C1 + C2 = {1, 5} + {2,3} + {4,, 6}
先进行状态空间分解： I = D + C1 + C2 +
,
(设j ∈ C
m
, Cm为不可约非周期常返闭集 )

马尔科夫链

4.隐含状态转移概率矩阵A。描述了HMM模型中各个状态之间的转移概率。其中Aij=P(Sj|Si),1≤i,,j≤N. 表示在t时刻、状态为Si的条件下，在t+1时刻状态是 Sj的概率。 5.观测状态转移概率矩阵B（ConfusionMatrix）令N代表隐含状态数目，M代表可观测状态数目，则： Bij=P(Oi|Sj),1≤i≤M,1≤j≤N.表示在t时刻、隐含状态是 Sj条件下，观察状态为Oi的概率。

隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model， HMM）是统计模型，它用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数。然后利用这些参数来作进一步的分析，例如模式识别。在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态的转换概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中,状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些信息。

隐马尔可夫模型状态变迁图 x — 隐含状态 y — 可观察的输出 a — 转换概率（transition probabilities） b — 输出概率（output probabilities）
1.隐含状态S 这些状态之间满足马尔可夫性质，是马尔可夫模型中实际所隐含的状态。这些状态通常无法通过直接观测而得到。（例如S1、S2、S3等等) 2.可观测状态O 在模型中与隐含状态相关联，可通过直接观测而得到。(例如O1、O2、O3等等，可观测状态的数目不一定要和隐含状态的数目一致。） 3.初始状态概率矩阵π 表示隐含状态在初始时刻t=1的概率矩阵，(例如t=1时， P(S1)=p1、P(S2)=P2、P(S3)=p3，则初始状态概率矩阵 π=[p1p2p3].

5第四章马尔可夫链

例题：例题：带一个吸收壁的随机游动质点在数轴上移动，规律同上例。质点在数轴上移动，规律同上例。当质点一旦达到 Xn = 0时， Xn+1就停留该状态，这种状态称为吸收就停留该0状态状态，时是一个齐次马尔可夫链，态。{Xn,n∈T}是一个齐次马尔可夫链，求一步转移 ∈ 是一个齐次马尔可夫链概率。概率。解:
Pij( n ) = P{ X m + n = j | X m = i} P{ X m + n = j , X m = i} = P{ X m = i} =∑
k ∈I
P{ X m + n = j , X m + l = k , X m = i} P{ X m = i} P{ X m + n = j , X m + l = k , X m = i} P{ X m + l = k , X m = i} P{ X m + l = k , X m = i} P{ X m = i}
0 0 q 0 0 . . .
0 p 0 q 0
0 0 p 0 q
0 0 0 p 0
. . . 0 p
. . .
. . .
. . . . . .
. . .
. . .
. . . p 0 q 0 0
. . . 0 p 0 q 0
. . . 0 0 p 0 0
. . q 0 . . 0 q . . 0 0 . . 0 0 . . 0 0
( p ij n ) =
∑
k∈ I
( ( p ikl ) p kjn − l )
ChapmanKolmogorov方程方程
( p ijn ) =
k1 ∈ I

马尔科夫链培训课件

确定模型的状态空间
确定状态转移概率矩阵
确定初始状态分布
建立马尔科夫链模型的步骤
确定状态转移矩阵
状态转移矩阵的每个元素表示从当前状态转移到下一个状态的概率。
可以通过历史数据或专家经验进行估计，对于某些无法直接观测的状态转移，可以使用隐马尔科夫模型等进行建模。
状态转移矩阵应满足马尔科夫链的性质：即下一个状态只依赖于当前状态。
预测未来状态
模型误差
由于马尔科夫链模型本身的限制和简化，可能存在误差。
数据误差
由于历史数据可能不完整或存在误差，会导致预测结果的不准确。
随机误差
由于未来是不确定的，即使使用最精确的模型和方法，也可能存在随机误差。
预测的误差分析
05
马尔科夫链模型的优化
通过比较实际序列和预测序列之间的误差，选择优化目标以最小化预测误差。
稳定性
可预测性
马尔科夫链的转移概率矩阵不会随着时间的推移而改变。
给定足够的信息，可以预测马尔科夫链未来的状态。
03
马尔科夫链的性质
02
01
02
马尔科夫链的应用
利用马尔科夫链模型，对股票价格的变化进行预测和分析，为投资者提供参考。
股票价格预测
通过构建马尔科夫链模型，评估不同状态之间的转移概率，为金融机构提供风险评估支持。
对优化后的模型进行性能评估，比较优化前后的性能提升，并分析优化结果的可靠性和稳定性。
06
马尔科夫链模型的评估
通过直接观察模型运行的过程和结果来进行评估。
评估的方法
直接观测法
通过对模型进行多次运行，并利用样本数据来评估模型的性能。
基于样本法
通过反向测试模型来进行评估，即利用已知结果测试模型。

马尔科夫链

不可约定义如闭集C的状态互通，则闭集C称为不可约的。如马氏链 X n 状态空间不可约，则马氏链 X n 称为不可约的。
状态空间的分解
一、闭集和不可约
闭集判断 C是闭集的充要条件为对任意i C及k C都有 p ik =0,n≥1.
(n )
证只需证必要性. 用归纳法，设C为闭集，由定义当n=1时结论 p (m ) 成立. 今设n=m 时， ik =0，i C, k C,则
T T
(n )
回顾：马尔科夫链的状态分类
一、周期态
马尔科夫链周期定义
如集合n : n 1, p iin 0 非空，则称该集合的最大公约数d=d (n （i）=G.C.D n : pii ) 0 为状态i的周期，如d>1就称i为周期的，如d=1就称i为非周期的。
( )
回顾：马尔科夫链的状态分类
定理4.5 可达关系与互通关系都具有传递性，即如果I j，j k，则i k; 如果I j，j k，则i k。定理4.6 如I j则（1）i与j同为常返或非常返，如为常返，则他们同为正常返或零常返。（2）i与j由相同的周期。
状态空间的分解
一、闭集和不可约
闭集定义如对任意I C及k C都有 p ik =0，状态空间I的子集C 称为（随机）闭集. 闭集的意思是自C的内部不能到达C的外部. 这意味着一旦质点进入闭集C中，它将永远留在C中运动. 另如 p ii =1，则称状态i为吸收的.显然状态i吸收等价于单点集为闭集. i
j I
回顾：马尔科夫链的基本概念
三、n步转移概率和矩阵
n步转移概率和矩阵定义称条件概率
pij
(n )
P X m n j | X m i i ,j I ,m 0,n 1 ,

马尔科夫链_马尔可夫过程

马尔科夫链_马尔可夫过程一、引言1、马尔科夫链的数学背景马尔可夫链，因安德烈?马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。

该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。

马尔可夫链是随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。

这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间n的状态。

如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数，则PX_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n = PX_{n+1}=x|X_n. 这里x为过程中的某个状态。

上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

2、马尔科夫链的典型应用①马尔科夫链在股指期货投资中的应用马尔科夫链转移矩阵的有效状态以近时点动量策略原时点反转策略为主,有效抓住了上涨和下跌的中期和初期.从而准确的抓住了日内股指波动. ②马尔科夫链在天气预报中的应用通过对马尔科夫链理论和切普曼-柯尔莫哥洛夫方程方程的探讨,,结合天气情况不确定等诸多特点,构想了天气情况预报的马尔科夫链预测模型,给出了马尔科夫链的初始概率和多重转移概率的计算方法,根据此算法可以预报短期天气情况,同时扩展到对未来天气情况趋势的预测。

③马尔科夫链在环境预测中的应用鉴于目前环境质量预测在理论方法和实践上的缺乏，把马尔科夫链引入环境质量的预测中，将各种污染物的浓度变化过程视作马尔科夫过程，通过预测各种污染物的污染负荷系数来推知其浓度值/④马尔科夫链在桥梁状态预测中的研究与应用马尔科夫链以矩阵的形式来表达桥梁状况,通过求解状态转移矩阵,进一步预测桥梁未来数年内的基本状况。

综合考虑了桥梁检修的影响,给出了桥梁检修后不同状态的状态转移矩阵,为进一步引入实际数据做了充分的准备。

3、相关文献《程序设计实践》作者 Brian W.Kernighan程序设计实践并不是只是写代码。

04 第四讲马尔可夫链

4 Markov预测预测
s0=[90/200 50/200 30/200 30/200]; p=[0.7 0.1 0.1 0.1;0.2 0.4 0.15 0.25;0.15 0.1 0.5 0.25;0.2 0.15 0.2 0.45]; s1=s0*p s2=s1*p %解最终值；sn*p=sn, 即p’*sn’=sn’ A=[-0.3000 0.2000 0.1500 0.1000 0.2000 0.1500
4 Markov预测预测
4 Markov预测预测
某地区有A、、三家电厂调查表明，三家电厂，某地区有、B、C三家电厂，调查表明，该地区上月对各类大用户售电量总和为20万度。该地区上月对各类大用户售电量总和为万度。万度其中，、、各销售各销售10、、万度万度。其中，A、B、C各销售、6、4万度。本月（以购电量计）：本月（以购电量计）： A厂顾客中：70%留 20%转B 10%转C 厂顾客中：厂顾客中留转转 B厂顾客中：60%留 25%转A 15%转C 厂顾客中：厂顾客中留转转 C厂顾客中：90%留 5%转A 厂顾客中：留转 5%转B 转厂顾客中已知市场总量不变，预测本月和下月的市场占已知市场总量不变，有率以及最终市场占有率。有率以及最终市场占有率。
4 Markov预测预测
• 初始转移矩阵：P=[0.7 0.2 0.1;0.25 0.6 初始转移矩阵： 0.15;0.05 0.05 0.9]; • 初始概率向量：S0=[10/20 6/20 4/20]=[0.5 初始概率向量： 0.3 0.2]; • 本月市场占有率：S1=S0*P=[0.435 0.29 本月市场占有率： 0.275] • 下月市场占有率：S2=S1*P=[0.391 0.275 下月市场占有率： 0.335]

第4章马尔可夫链

d0
两式相比
r j rc
uj 1 rc
故
ua
ra rc 1 rc
(
q )a p
(
q )c p
1
(
q p
)c
当 r 1
u0 uc 1 cd0
而
u j (c j)d0
c j
因此故
u j c c a b
ua
c
c
由以上计算结果可知
当 r 1 即 p q 时，甲先输光的概率为
当r
pi
p(n) ij
iI
(2) pj (n) pi (n 1) pij iI
(3)PT (n) PT (0)P(n)
(4)PT (n) PT (n 1)P
由（1）知，绝对概率由初始分布和n步转移概率完全确定
（1）
pn ( j)
pi
p(n) ij
iI
证 P{X n j} P{X n j, X 0 i} P{X n j, X 0 i} i
需讨论 r
当 r 1
c 1
1 u0 uc
(u j u j1)
c 1
j0
j0 c1
d j
c1 j 0
r jd0
1 rc 1 r
d0
而 u j u j uc (ui ui1)
i j
c 1
c 1
di
rid0
i j
i j
r j (1 r r c j1)d0
r j rc 1 r
称概率向量
PT (n) ( p1(n), p2(n),L ),(n 0)
为 n 时刻的绝对概率向量，而称
PT (0) ( p1 , p2 ,L )

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