概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初

第三章

1．解：考虑分5次取产品，每次取一个。设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数，引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果：

1 0 i i X i i ⎧=⎨⎩，第次取到次品 （=1,2,3,4,5)，第次取到合格品

则有

12345X X X X X X =++++

易知，X i 有相同的分布律：

14

1099

5

1001{1}10

i C P P P X ⨯===

， 19{0}110

10

i X P ==-

=

则911

()0110

10

10

i X E =⨯

+⨯=

，于是

5

123451

1()()()50.510

i i E X E X X X X X E X ==++++=

=

⨯=∑

。

注意：随机变量X 并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。为了理解这一点，可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值；或者改成100个产品中有2个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量X 的可能取值。

2．解：设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数，由于每个人生日在各个月份的机会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此(,)1

3 4X B ，那么3人中生日在第

一季度的平均人数为().130754

E X n p ==⨯=。

3．略。

4．解：由于()X P λ ，因此(),()E X D X λλ==，再由公式()()[()]22

D X

E X E X =-，可求得()()[()]2

2

2

E X D X E X λλ=+=+。

由数学期望的性质，有

[()()][]()()2

222

1232 32 32 22

E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+

则可得到关于λ的方程

2

221λλ-+=

亦即

2

210λλ-+=

容易求得1λ=。

5．解：（1）设随机变量X 表示发生故障的设备台数，则依题意可知(,.)20 001X B ，

由于20n =较大，.001p =较小，因此(.)02X P 近似

。

当发生故障的设备超过一台的时候，维修工就不能及时维修，其概率为

{}{}{}...11011081870163700176P X P X P X >=-=-==--=；

（2）设随机变量X 表示发生故障的设备台数，则依题意可知(,.)80 001X B ，由于

80n =较大，.001p =较小，因此(.)08X P 近似

。

当发生故障的设备超过三台的时候，维修工就不能及时维修，其概率为

{}{}{}{}{}.....310123 10449303595014380038300091

P X P X P X P X P X >=-=-=-=-==----=

6．解：方法一：由于函数

12

x

xe

-为奇函数，因此

()()102

x

E X xf x dx xe

dx +∞+∞--∞

-∞

=

=

=⎰

⎰

；

方法二：由期望的计算公式，可得

()()[][]00

11

1

2

2

2

1111 0

2

2

22

x

x

x

x

x

x

x

E X xf x dx xe

dx xe dx xe

dx

xe e xe

e

+∞+∞+∞---∞

-∞

-∞

--+∞

-∞==

=+=

-+

--=-+=⎰

⎰

⎰⎰

7．解

为奇函数，因此

()()10E X xf x dx +∞-∞

-=

=

=⎰

⎰

；

方法二：由期望的计算公式，可得

()()()112

1

11

10

2

x

E X xf x dx x +∞-∞

--=

=

=-

-=-

=⎰

⎰

⎰

8．解：依题意，可得

()()().1011011

0752a

a k f x dx kx dx a k E X xf x dx kx dx a +∞-∞+∞+-∞⎧===⎪⎪+⎨

⎪====⎪+⎩

⎰⎰⎰⎰； 因此，求解上述方程组，可求得,2 3a k ==。

9．解：（1）由概率密度函数的性质，可得

()sin cos sin cos 4

440

2212

4

4

k

k k f x dx k x xdx xdx x

π

π

π

+∞-∞

=

=

=-

=

=⎰

⎰

⎰；

因此，可求得4k =；

（2）由期望的计算公式，可得

()()sin cos sin cos cos cos sin 440

4

4440

42211 22222

2

E X xf x dx x x xdx x xdx

x d x x x

xdx x

ππ

π

π

π

π

+∞-∞

=

=

⋅=

⋅=-⋅=-+

=

=⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

。

10．解：依题意，可知(.)0002X E ，其中.0002λ=； （1）...{}().1001001000002000202

10000021x

x

P X f x dx e

dx e

e

----∞

>=

=

=-=-⎰

⎰

；

（2）热水器平均能正常使用的时间为().1

1

5000002

E X λ

=

=

=小时。

11．解：由课本48页定理2随机变量函数的期望计算公式，有

()(sin )sin ()sin 0

x

E Y E X xf x dx xe

dx +∞+∞--∞

==

=

⎰

⎰

；

而

sin sin sin sin cos cos cos cos sin 0

1x

x

x

x

x

x

x

x

x

xe

dx xde

xe e

d x xe

dx

xde

xe e

d x

xe

dx

+∞+∞--+∞+∞+∞---+∞+∞

+∞---+∞

-=-=-+

=

=-=-+

=-

⎰

⎰

⎰

⎰

⎰⎰

⎰

；

即sin 0

21x

xe

dx +∞-=⎰

，因此

()(sin )sin 0

12

x

E Y E X xe

dx +∞-==

=

⎰

。

12．解：由于(,) X B n p ，因此有

()()()12

18E X n p D X n p p ==⎧⎨

=-=⎩

； 因此，求解上述方程组，可求得,136 3

n p ==

。

13．比较两种测量方法所测得数据的方差，方差小的精确度较好。 14．解：方法一：由于函数x 是偶函数，因此

()()11

0E X xf x dx x x dx +∞-∞

-=

=

⋅=⎰

⎰

；