全国三卷9年高考理科数学试卷分析及2019高考预测

2019年高考，除北京、天津、上海、江苏、浙江等5省市自主命题外，其他26个省市区全部使用全国卷．研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近3年全国高考理科数学Ⅲ卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近3年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共22类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．一、集合与常用逻辑用语小题： 1．集合小题：3年3考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与不等式交汇，新定义运算也有较小的可1．已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为3年0考．这个考点一般与其他考点交汇命题，不单独出题． 二、复数小题：3年3考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概2．设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z =全国三卷9年高考理数学分析及2019高考预测三、平面向量小题：3年3考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，一般不侧重3年7考．题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．三角不考大题时，一般考三个小题，三角函数的图3年6考，每年2题，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．球体是基本的几何体，8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）3年0考，但是2014年全国1卷、2016年和2017年全国2卷考了，但也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号． 八、概率小题：3年1考,难度较小，全国卷概率小题一般考查古典概型和几何概型，但2018年全国3卷却九、统计小题：考．2018年没有考，2016年考了课本上没有的一种统计图，值得关注．(A) 各月的平均最低气温都在(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C3年3考，数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，数列考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，一般就考两个小题，等差数列和等比数列考各一个。

交错考法不一定分奇数年或十二、圆锥曲线小题：3年7考，每年2-3题！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题22:1(0,0)x y C a b -=>>5y x =十三、函数小题：3年7考，每年2-3道，可见其重要性！主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点等，分段函数是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？3年2考，在全国各卷中二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查．排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）十五、三角函数大题：在全国卷中三角函数大题和数列大题每年只考一个类型，交错考法不一定分奇偶数年．三角函十六、数列大题：在全国卷中三角函数大题和数列大题每年只考一个类型，交错考法不一定分奇偶数年．数列一十七、立体几何大题：为平行四边形，于是AT MN //. 平面PAB .得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明3年3考，每年1题．特点：全国1、2卷多数用椭圆、圆作为载体，较少考双曲线和抛物线．但3年3考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义或函数的单调性，第2问考查利用导数讨论函数性质．函数载体上：对数函数很受“器重”！指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且仅仅围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分参还是不分参，的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分参问题．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞① 若0a ≤，因为11()ln 2022f a =-+<，所以不满足题意；二十一、坐标系与参数方程大题：3年3考，而且是作为2个选做大题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程的简单应用，难度较小．二十二、不等式大题：3年3考，而且是作为2个选做大题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显六招破解高考导数压轴题纵观近十年高考数学课标全国卷，容易发现导数压轴题有如下特点：主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，研究方程和不等式. 试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程的思想，分类与整合的思想等都进行深入的考查.下面介绍破解高考导数压轴题的六种策略.1. 分类讨论分类讨论是高考数学解答题压轴题的常用方法，纵观2007-2017年高考数学课标全国卷解答题压轴题，几乎每一道都有用到分类讨论.高考要求考生理解什么样的问题需要分类讨论，为什么要分类，如何分类.例1（2015年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理21）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．2. 分离参数讨论含参数的方程或不等式解的问题时，进行分类讨论有时显得比较复杂.如果我们将含参数的方程经过变形，将参数分离出来，使方程的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为与参数方程无关的主变元函数，通过函数的值域或单调性讨论原方程的解的情况，则往往显得非常简捷、有效．例2（2013年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理21）已知函数b ax x x f ++=2)(，)()(d cx e x g x+=，若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y .（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若2-≥x 时，)()(x kg x f ≤，求k 的取值范围.3. 构造函数利用导数解决不等式问题是导数的一个非常重要的应用，其关键是根据不等式的结构特点，构造恰当的辅助函数，进而通过研究函数的单调性和最值，最终解决问题.运用构造函数法来解题是培养学生创新意识的手段之一.例3（2014年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理21）设函数1e ()e ln x xb f x a x x，曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为e(1)2y x .（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）证明：()1f x .4. 合理放缩高考数学压轴题往往涉及函数不等式问题，由于高考命题基本上涉及超越函数，研究其单调区间时一般涉及解超越不等式，难度非常高，往往陷入绝境.放缩法是解决函数不等式问题的一把利器，关键是如何合理放缩.常见的一种放缩法是切线放缩法，曲线的切线为一次函数，高中阶段大部分函数的图像均在切线的同侧，即除切点外，函数的图像在切线的上方或下方，利用这一特性，可以将参与函数放缩成一次函数.例4（2013年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）理21）已知函数)ln()(m x e x f x+-=．（Ⅰ）设0=x 是)(x f 的极值点，求m ，并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）当2≤m 时，证明0)(>x f ．5. 虚设零点导数在研究函数的单调性、极值和最值方面有着重要的应用，而这些问题都离不开一个基本点——导函数的零点，因为导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点或最值点.可以说，抓住了导函数的零点，就抓住了原函数的要点.在高考导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解相对比较复杂甚至无法求解的问题.此时，不必正面强求，只需要设出零点，充分利用其满足的关系式，谋求一种整体的代换和过渡，再结合其他知识解决问题，这种方法即是“虚设零点”.例5（2016年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）理21）（Ⅰ）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2e ()x ax ag x x --=(0)x >有最小值. 设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.6. 多次求导高中函数压轴题一般需要求导，利用导函数的正负来判断原函数的增减.有些试题，当你一次求导后发现得出的结果还存在未知的东西，导函数的正负没有清晰得表现出来时，就可以考虑二次求导甚至三次求导，这个时候要非常细心，观察全局，不然做到后边很容易出错.例6（2010年高考数学课标全国卷理21）设函数2()1xf x e x ax =---. （Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．。