土力学有效应力及其作用的讨论_赵成刚
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εi j 或 τf = F (σi j , e, ε ˙ i j , C, S , H, S p , t, T , E , · · · ) (2)
σi j 为总应力； uw 为孔 式中, σi j 为饱和土有效应力； 隙水压力； δi j 为克朗内克符号. Terzaghi 认为, 有效应 力是沿土骨架传递的土骨架应力，它控制了饱和土 的变形和强度. 饱和土有效应力原理实质上包括两方面： (1) 有 效应力的定义和表达式； (2) 有效应力的作用. 本文 仅就有效应力的作用问题进行讨论. 通常, 人们对有 效应力的作用有两种理解： (1) 多数人正确和清楚地 认识到 (包括 Terzaghi 本人)： 该原理给出有效应力的 概念及有效应力的确定方法；但并不认为它是影响
可见，非饱和土的总应力是固液气三相表征应 力之和. 式 (10) 给出了总应力和各相本征应力之间 的关系，与文献 [3] 中的式 (28) 相同.
2.2 非饱和土平均骨架应力的表达式
饱和土中的有效应力是由于土颗粒接触点的接 触和摩擦而传递的应力， 通常也称之为骨架应力. 下 面将推导给出非饱和土的骨架应力. 先推导土颗粒切割面上的本征应力 σ ¯ z, σ ¯ xz 与颗 m 粒接触点处接触力 Ps 的关系. 在图 1(a) 中截取 a − a 截面，假设 a − a 截面上有 N (N 为正整数) 个颗粒， 并在 a − a 截面上选取第 m 颗粒进行分析， 颗粒 m 的 详细截面图见图 3. 分析颗粒 m 在 a − a 截面上的固 相本征应力与颗粒 m 上表面同其他颗粒接触点处的 接触力以及孔隙水压力和孔隙气压力的关系. 颗粒 m 周围作用有：孔隙水压力 uw 、孔隙气压力 ua 、切割 m 面上的正应力 σm szz 、切割面上的剪应力 σs xz 以及颗 2 1 2 粒间的接触力 P1 s , Ps (其竖向分量分别为 Psz 和 Psz ， 2 水平向分量为 P1 s x , Ps x )；显然 m 颗粒与周围颗粒接 1 2 触点处接触力的竖向分量之和为 Pm sz = Psz + Psz ，水 1 2 m 平向分量之和为 Pm s x = Ps x + Ps x . 用 As 表示 a − a 截 m 面切割的第 m 颗粒的切割面积； Awz 和 Am az 分别表示 m 颗粒上表面孔隙水压力和孔隙气压力作用的面积 m m 在 a − a 截面的竖向投影面积，则 Am wz = Aw1 + Aw2 ， m m m Am az = Aa1 + Aa2 + Aa3 ；如图 3 所示. 则图 1(a) 中 a − a 截面切割的所有土颗粒的总面积为
表征应力可以表示为
σi j = σw = σa = σ ¯ i j As ¯ ij ≈ (1 − n) σ A uw Aw ≈ uw nS r A ua Aa ≈ ua n (1 − S r ) A (3) (4) (5)
首先讨论非饱和土应力的表述. 为此在非饱和 土体中选取一个表征体元 (REV). 假设非饱和土均 质各向同性，且土中的水和气均连通. 首先把各相 应力转化为 REV 尺度的宏观应力. 设 REV 体积为 V = d xdydz，各截面面积为 A = d xdy = dydz = dzd x， 若非饱和土的孔隙率为 n， 饱和度为 S r ， 土颗粒、 孔
(a) 非饱和土本征应力示意图 (a) Intrinsic stress of unsaturated soil
(b) REV 表征应力示意图 (b) Representative stress of unsaturated soil at REV level 图 1 本征应力与表征应力示意图 Fig. 1 Intrinsic stress of unsaturated soil and corresponding representative stress at REV level
1 饱和土有效应力的作用及其使用中应注意的问题 Terzaghi[1] 1923 年提出了饱和土的有效应力原
理，使土力学从一般力学中独立出来成为一门独立 的学科. 目前饱和土有效应力原理作为经典土力学 的基石已经在岩土工程实践中得到成功应用. 本文 首先讨论了对饱和土有效应力作用认识的不同和使 用有效应力时应该注意的问题，以及土力学预测中 出现的几种不确定性的情况. 然后重点针对非饱和 土中的有效应力问题进行了探讨. Terzaghi[1] 给出了有效应力的如下定义
σi j = σi j − u w δ i j (1)
变形和强度的唯一变量. (2) 在很多文献中给出有效 应力是控制强度和变形的唯一因素；或许研究者思 想上并不认为如此，但客观上文献确实是如此表述 的， 例如土力学中强度理论方面的研究. 第 2 种理解 的局限性在于它仅承认有效应力是控制因素而没有 明确指出其他因素对强度和变形的影响. 实际上土体变形和强度是很多因素的函数，赵 成刚等 [2] 2009 年给出了饱和土体的变形和强度与多 种影响因素的一种函数关系
第 2 期
赵成刚等：土力学有效应力及其作用的讨论
357
和连接强度. 也就是说， 土的变形和强度并不唯一取 决于土颗粒之间的骨架应力；其他对土颗粒连接强 度有影响的因素也会影响它的变形和强度，例如物 理 -- 化学作用、吸力和饱和度等. 所以研究者不但要 注意有效应力的影响 (当然这肯定是正确的)，还需 换一个视角，考虑其他因素作为独立变量的影响； 而不是仅在相应的参数和条件中考虑其他因素的影 响. 因为这些变量的变化会改变原有的变形和强度 关系，例如低温或低饱和度情况下的变形和强度关 系就与高温或高饱和度情况下的变形和强度关系有 很大不同. 本文的讨论仅是对有效应力原理的进一 步补充和说明. 目前土力学理论的预测结果具有很大的不确定 性. 从实验的角度，这主要是由以下几种情况导致 的. 第 1 种情况是强度方面， 在土的实际工程应用中 使用最多的是莫尔 -- 库仑强度理论. 该理论认为有效 应力是控制土的强度的唯一变量；但由于该理论忽 略了很多其他因素的影响，而这些影响要由 c， ϕ值 来协调和容纳. 所以实验结果中 c 和 ϕ 已经失去了 黏聚力和摩擦角的物理含义，它们把其他忽略的因 素都考虑和包括进来，并导致实验 c 和 ϕ 值具有很 大的离散性. 例如不同排水条件 c 和 ϕ 值就不同. 第 2 种情况是变形方面. 三轴仪通常可以较为准确的 控制土样的应力并可测到孔隙水压，但却难以控制 其他具有影响的因素, 例如土的内部结构的变化、 孔 隙内的物理 -- 化学作用等，由此导致误差和不确定 性. 过去都把这种误差归因于土样的扰动. 但实际上 除应力外还有一些其他影响因素难以在三轴仪中得 到有效控制， 由此产生误差. 基于三轴实验所得到的 变形参数，进行变形计算或预测则必然具有很大的 不确定性和误差. 第 3 种情况是实验使用的土样及 其边界条件与场地具体的实际情况的差别, 由此产 生的不确定性. 当然从理论的角度， 模型与实际情况 的差别也会产生不确定性.
式中，As , Aw 和 Aa 分别表示图 1(a) 右侧竖向切割面 上土颗粒、孔隙水和孔隙气的面积，As = As1 + As2 + As3 + As4 ，Aw = Aw1 + Aw2 + Aw3 ，Aa = Aa1 + Aa2 . 分别 对土骨架、 水和气相取隔离体， 并进行受力分析， 其 结果示于图 2. 图 2(a) 表示土骨架的受力情况， 土骨 sw 架所受到 i 方向孔隙水和气的作用分别用 fi 和 fisa 表示. 同样， 图 2(b) 和图 2(c) 分别表示液相和气相
2 非饱和土有效应力的表述 2.1 非饱和土总应力和各相应力的关系
隙水、 孔隙气的密度分别取为 ρs , ρw 和 ρa ， 则 REV 中 土骨架、 水和气的重力 (体积力) 分别为 V (1 − n) ρs g, VnS r ρw g 和 Vn (1 − S r ) ρa g. 用 σ ¯ i j , uw 和 ua 分别表示 切割面上土颗粒的本征应力 (即相内的真实应力)、 本 征孔隙水压力和本征孔隙气压力， 见图 1(a)； 将这 3 个应力在表征体元总截面面积 A 上进行平均等效， 分别用 σi j , σw 和 σa 表示， 称为各相的表征应力， 见 图 1(b).
第 47 卷 第 2 期 2015 年 3 月
力
学
学
报
Vol. 47，No. 2 Mar.，2015
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics
研究简报
土力学有效应力及其作用的讨论
赵成刚 ∗,†,2) 刘真真 ∗ 李 舰 ∗ 刘 艳 ∗ 蔡国庆 ∗
T i j, j + ρgi = 0
(9)
比较式 (8) 和式 (9) 可得
¯ i j + nS r uw δi j + n (1 − S r ) ua δi j T i j = (1 − n) σ (10)
(b) 非饱和土 REV 孔隙水受力分析 (b) Stress analysis of soil pore water
Biblioteka Baidu
358
力
学
学
报
2015 年 第 47 卷
达式
(1 − n) σ ¯ i j, j + nS r uw,i + n (1 − S r ) ua,i + ρgi = 0 (8)
用 T i j 表示非饱和土的总应力， 由非饱和土的总 体平衡可得到
(a) 非饱和土 REV 土骨架受力分析 (a) Stress analysis of soil skeleton
∗ (北京交通大学土木建筑工程学院岩土工程系,
1)
北京 100044) 541004)
† (桂林理工大学土木与建筑工程学院，广西桂林
摘要 讨论了饱和土有效应力的作用及其使用中应注意的问题， 以及土力学预测中存在的不确定性的几种情况. 从土的各相平衡方程出发推导得到了非饱和土的总应力和各相应力之间的关系, 以及非饱和土的平均骨架应力 的表达式，并定义该式为非饱和土的有效应力；该表达式与变形功推导得到的有效应力公式是一致的. 文中还 就非饱和土有效应力的一些问题进行了探讨. 关键词 有效应力原理的作用， 饱和土， 非饱和土， 局限性 中图分类号：TU 43 文献标识码：A doi：10.6052/0459-1879-14-189
1) 国家自然科学基金 (51278047， 51478135) 和中央高校基本科研业务费专项基金 (2013YJS066) 资助项目. 2) 赵成刚，教授，主要研究方向：理性土力学、非饱和土力学及多场耦合理论. E-mail： cgzhao@bjtu.edu.cn
引用格式： 赵成刚, 刘真真, 李舰, 刘艳, 蔡国庆. 土力学有效应力及其作用的讨论. 力学学报, 2015, 47(2): 356-361 Zhao Chenggang, Liu Zhenzhen, Li Jian, Liu Yan, Cai Guoqing. Effective stress in soil mechanics and the discussions about its functions. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2015, 47(2): 356-361
2014–05–27 收稿，2014–07–22 录用, 2014–12–12 网络版发表.
式中，εi j 为土的应变，τf 为土的强度，σi j 为有效应 力， e 为孔隙比， ε ˙ i j 为应变率， C 为土的矿物成分， S 为土的结构，H 为土的应力历史，S p 为土的应力路 径， t 为时间， T 为温度，E 为周围环境和土的生成 条件； 还有其他一些影响因素没能列出， 用省略号表 示. 通过长期的研究和实践， 人们认识到： 就饱和土 而言，式 (2) 诸多影响因素中，有效应力 σi j 影响最 大. 如果仅选择一个变量描述土体的变形和强度， 那 就只能选具有最重要影响的有效应力. 土作为摩擦性材料, 它的变形和强度主要取决 于土颗粒之间的骨架应力 (有效压应力)、摩擦系数
σi j 为总应力； uw 为孔 式中, σi j 为饱和土有效应力； 隙水压力； δi j 为克朗内克符号. Terzaghi 认为, 有效应 力是沿土骨架传递的土骨架应力，它控制了饱和土 的变形和强度. 饱和土有效应力原理实质上包括两方面： (1) 有 效应力的定义和表达式； (2) 有效应力的作用. 本文 仅就有效应力的作用问题进行讨论. 通常, 人们对有 效应力的作用有两种理解： (1) 多数人正确和清楚地 认识到 (包括 Terzaghi 本人)： 该原理给出有效应力的 概念及有效应力的确定方法；但并不认为它是影响
可见，非饱和土的总应力是固液气三相表征应 力之和. 式 (10) 给出了总应力和各相本征应力之间 的关系，与文献 [3] 中的式 (28) 相同.
2.2 非饱和土平均骨架应力的表达式
饱和土中的有效应力是由于土颗粒接触点的接 触和摩擦而传递的应力， 通常也称之为骨架应力. 下 面将推导给出非饱和土的骨架应力. 先推导土颗粒切割面上的本征应力 σ ¯ z, σ ¯ xz 与颗 m 粒接触点处接触力 Ps 的关系. 在图 1(a) 中截取 a − a 截面，假设 a − a 截面上有 N (N 为正整数) 个颗粒， 并在 a − a 截面上选取第 m 颗粒进行分析， 颗粒 m 的 详细截面图见图 3. 分析颗粒 m 在 a − a 截面上的固 相本征应力与颗粒 m 上表面同其他颗粒接触点处的 接触力以及孔隙水压力和孔隙气压力的关系. 颗粒 m 周围作用有：孔隙水压力 uw 、孔隙气压力 ua 、切割 m 面上的正应力 σm szz 、切割面上的剪应力 σs xz 以及颗 2 1 2 粒间的接触力 P1 s , Ps (其竖向分量分别为 Psz 和 Psz ， 2 水平向分量为 P1 s x , Ps x )；显然 m 颗粒与周围颗粒接 1 2 触点处接触力的竖向分量之和为 Pm sz = Psz + Psz ，水 1 2 m 平向分量之和为 Pm s x = Ps x + Ps x . 用 As 表示 a − a 截 m 面切割的第 m 颗粒的切割面积； Awz 和 Am az 分别表示 m 颗粒上表面孔隙水压力和孔隙气压力作用的面积 m m 在 a − a 截面的竖向投影面积，则 Am wz = Aw1 + Aw2 ， m m m Am az = Aa1 + Aa2 + Aa3 ；如图 3 所示. 则图 1(a) 中 a − a 截面切割的所有土颗粒的总面积为
表征应力可以表示为
σi j = σw = σa = σ ¯ i j As ¯ ij ≈ (1 − n) σ A uw Aw ≈ uw nS r A ua Aa ≈ ua n (1 − S r ) A (3) (4) (5)
首先讨论非饱和土应力的表述. 为此在非饱和 土体中选取一个表征体元 (REV). 假设非饱和土均 质各向同性，且土中的水和气均连通. 首先把各相 应力转化为 REV 尺度的宏观应力. 设 REV 体积为 V = d xdydz，各截面面积为 A = d xdy = dydz = dzd x， 若非饱和土的孔隙率为 n， 饱和度为 S r ， 土颗粒、 孔
(a) 非饱和土本征应力示意图 (a) Intrinsic stress of unsaturated soil
(b) REV 表征应力示意图 (b) Representative stress of unsaturated soil at REV level 图 1 本征应力与表征应力示意图 Fig. 1 Intrinsic stress of unsaturated soil and corresponding representative stress at REV level
1 饱和土有效应力的作用及其使用中应注意的问题 Terzaghi[1] 1923 年提出了饱和土的有效应力原
理，使土力学从一般力学中独立出来成为一门独立 的学科. 目前饱和土有效应力原理作为经典土力学 的基石已经在岩土工程实践中得到成功应用. 本文 首先讨论了对饱和土有效应力作用认识的不同和使 用有效应力时应该注意的问题，以及土力学预测中 出现的几种不确定性的情况. 然后重点针对非饱和 土中的有效应力问题进行了探讨. Terzaghi[1] 给出了有效应力的如下定义
σi j = σi j − u w δ i j (1)
变形和强度的唯一变量. (2) 在很多文献中给出有效 应力是控制强度和变形的唯一因素；或许研究者思 想上并不认为如此，但客观上文献确实是如此表述 的， 例如土力学中强度理论方面的研究. 第 2 种理解 的局限性在于它仅承认有效应力是控制因素而没有 明确指出其他因素对强度和变形的影响. 实际上土体变形和强度是很多因素的函数，赵 成刚等 [2] 2009 年给出了饱和土体的变形和强度与多 种影响因素的一种函数关系
第 2 期
赵成刚等：土力学有效应力及其作用的讨论
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和连接强度. 也就是说， 土的变形和强度并不唯一取 决于土颗粒之间的骨架应力；其他对土颗粒连接强 度有影响的因素也会影响它的变形和强度，例如物 理 -- 化学作用、吸力和饱和度等. 所以研究者不但要 注意有效应力的影响 (当然这肯定是正确的)，还需 换一个视角，考虑其他因素作为独立变量的影响； 而不是仅在相应的参数和条件中考虑其他因素的影 响. 因为这些变量的变化会改变原有的变形和强度 关系，例如低温或低饱和度情况下的变形和强度关 系就与高温或高饱和度情况下的变形和强度关系有 很大不同. 本文的讨论仅是对有效应力原理的进一 步补充和说明. 目前土力学理论的预测结果具有很大的不确定 性. 从实验的角度，这主要是由以下几种情况导致 的. 第 1 种情况是强度方面， 在土的实际工程应用中 使用最多的是莫尔 -- 库仑强度理论. 该理论认为有效 应力是控制土的强度的唯一变量；但由于该理论忽 略了很多其他因素的影响，而这些影响要由 c， ϕ值 来协调和容纳. 所以实验结果中 c 和 ϕ 已经失去了 黏聚力和摩擦角的物理含义，它们把其他忽略的因 素都考虑和包括进来，并导致实验 c 和 ϕ 值具有很 大的离散性. 例如不同排水条件 c 和 ϕ 值就不同. 第 2 种情况是变形方面. 三轴仪通常可以较为准确的 控制土样的应力并可测到孔隙水压，但却难以控制 其他具有影响的因素, 例如土的内部结构的变化、 孔 隙内的物理 -- 化学作用等，由此导致误差和不确定 性. 过去都把这种误差归因于土样的扰动. 但实际上 除应力外还有一些其他影响因素难以在三轴仪中得 到有效控制， 由此产生误差. 基于三轴实验所得到的 变形参数，进行变形计算或预测则必然具有很大的 不确定性和误差. 第 3 种情况是实验使用的土样及 其边界条件与场地具体的实际情况的差别, 由此产 生的不确定性. 当然从理论的角度， 模型与实际情况 的差别也会产生不确定性.
式中，As , Aw 和 Aa 分别表示图 1(a) 右侧竖向切割面 上土颗粒、孔隙水和孔隙气的面积，As = As1 + As2 + As3 + As4 ，Aw = Aw1 + Aw2 + Aw3 ，Aa = Aa1 + Aa2 . 分别 对土骨架、 水和气相取隔离体， 并进行受力分析， 其 结果示于图 2. 图 2(a) 表示土骨架的受力情况， 土骨 sw 架所受到 i 方向孔隙水和气的作用分别用 fi 和 fisa 表示. 同样， 图 2(b) 和图 2(c) 分别表示液相和气相
2 非饱和土有效应力的表述 2.1 非饱和土总应力和各相应力的关系
隙水、 孔隙气的密度分别取为 ρs , ρw 和 ρa ， 则 REV 中 土骨架、 水和气的重力 (体积力) 分别为 V (1 − n) ρs g, VnS r ρw g 和 Vn (1 − S r ) ρa g. 用 σ ¯ i j , uw 和 ua 分别表示 切割面上土颗粒的本征应力 (即相内的真实应力)、 本 征孔隙水压力和本征孔隙气压力， 见图 1(a)； 将这 3 个应力在表征体元总截面面积 A 上进行平均等效， 分别用 σi j , σw 和 σa 表示， 称为各相的表征应力， 见 图 1(b).
第 47 卷 第 2 期 2015 年 3 月
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土力学有效应力及其作用的讨论
赵成刚 ∗,†,2) 刘真真 ∗ 李 舰 ∗ 刘 艳 ∗ 蔡国庆 ∗
T i j, j + ρgi = 0
(9)
比较式 (8) 和式 (9) 可得
¯ i j + nS r uw δi j + n (1 − S r ) ua δi j T i j = (1 − n) σ (10)
(b) 非饱和土 REV 孔隙水受力分析 (b) Stress analysis of soil pore water
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2015 年 第 47 卷
达式
(1 − n) σ ¯ i j, j + nS r uw,i + n (1 − S r ) ua,i + ρgi = 0 (8)
用 T i j 表示非饱和土的总应力， 由非饱和土的总 体平衡可得到
(a) 非饱和土 REV 土骨架受力分析 (a) Stress analysis of soil skeleton
∗ (北京交通大学土木建筑工程学院岩土工程系,
1)
北京 100044) 541004)
† (桂林理工大学土木与建筑工程学院，广西桂林
摘要 讨论了饱和土有效应力的作用及其使用中应注意的问题， 以及土力学预测中存在的不确定性的几种情况. 从土的各相平衡方程出发推导得到了非饱和土的总应力和各相应力之间的关系, 以及非饱和土的平均骨架应力 的表达式，并定义该式为非饱和土的有效应力；该表达式与变形功推导得到的有效应力公式是一致的. 文中还 就非饱和土有效应力的一些问题进行了探讨. 关键词 有效应力原理的作用， 饱和土， 非饱和土， 局限性 中图分类号：TU 43 文献标识码：A doi：10.6052/0459-1879-14-189
1) 国家自然科学基金 (51278047， 51478135) 和中央高校基本科研业务费专项基金 (2013YJS066) 资助项目. 2) 赵成刚，教授，主要研究方向：理性土力学、非饱和土力学及多场耦合理论. E-mail： cgzhao@bjtu.edu.cn
引用格式： 赵成刚, 刘真真, 李舰, 刘艳, 蔡国庆. 土力学有效应力及其作用的讨论. 力学学报, 2015, 47(2): 356-361 Zhao Chenggang, Liu Zhenzhen, Li Jian, Liu Yan, Cai Guoqing. Effective stress in soil mechanics and the discussions about its functions. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2015, 47(2): 356-361
2014–05–27 收稿，2014–07–22 录用, 2014–12–12 网络版发表.
式中，εi j 为土的应变，τf 为土的强度，σi j 为有效应 力， e 为孔隙比， ε ˙ i j 为应变率， C 为土的矿物成分， S 为土的结构，H 为土的应力历史，S p 为土的应力路 径， t 为时间， T 为温度，E 为周围环境和土的生成 条件； 还有其他一些影响因素没能列出， 用省略号表 示. 通过长期的研究和实践， 人们认识到： 就饱和土 而言，式 (2) 诸多影响因素中，有效应力 σi j 影响最 大. 如果仅选择一个变量描述土体的变形和强度， 那 就只能选具有最重要影响的有效应力. 土作为摩擦性材料, 它的变形和强度主要取决 于土颗粒之间的骨架应力 (有效压应力)、摩擦系数