导数的数值计算方法[文献综述]

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信息与计算科学

导数的数值计算方法

一、 前言部分

导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系．导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示．

导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它可以简捷地解决一些实际问题，导数的概念是用来研究函数在一点及其附近的局部性质的精确工具，而对于函数在某点附近的性质还可以应用另一种方法来研究，就是通过最为简单的线性函数来逼近，这就是微分的方法．微分学是数学分析的重要组成部分，微分中值定理作为微分学的核心，是沟通导数和函数值之间的桥梁， Rolle 中值定理， Lagrange 中值定理， Cauchy 中值定理， Taylor 公式是微分学的基本定理， 统称为微分学的中值定理，这四个定理作为微分学的基本定理，是研究函数形态的有力工具

]

1[．在微分学中，函数的导数是通过极限定义的，但

当函数用表格给出时，就不可用定义来求其导数，只能用近似方法求数值导数]

2[．最简单

的数值微分公式是用差商近似地代替微商，常见的有

[3]

．

()()()

'f x h f x f x h

+-≈

，

()()()

'f x f x h f x h

--≈，

()()()

'2f x h f x h f x h

+--≈

．

需要注意的是微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化]

4[．

二、主题部分

数学中研究导数，微分及其应用的部分称为微分学，定积分及其应用的部分称为积分学．微分学与积分学统称为微积分学．微积分学是高等数学最基本，最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界，探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一． 恩格斯(1820-1895)曾指出:“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”． 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观，科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材．积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生，从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业，农业，航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代．而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展．生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学，天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展．在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生: (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值．

这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题．导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的

]

5[．

下面我们就来研究几种推导数值微分公式的常用方法． （一）利用差商表求导数

[67]

，

最简单的数值微分公式是用向前差商近似代替导数： ()()()000'f x h f x f x h

+-≈

． （1．1）

类似地，也可用向后差商近似代替导数

()()()

000'f x f x h f x h

--≈

． （1．2）

或用中心差商近似代替导数

()()()

000'2f x h f x h f x h

+--≈

． （1．3）

数值微分示意图

在几何图形上，这3种差商分别表示弦AB ，AC 和BC 的斜率．将这3条弦同过A 点的切线AT 相比较，从上图可以看出，一般地说以BC 的斜率更接近于切线AT 的斜率()0'f x ，因此就精确度而言，以式（1．3）更为可取．称 ()()()002f x h f x h D h h

+--= （1．4）

为求()0'f x 的中点公式．

现在来考察用式（1．4）代替()0'f x 所产生的截断误差．首先分别将()0f x h ±在0x 处作Taylor 展开，有

()()()()()()

()2344000000''''''2!3!4!

h h h f x h f x hf x f x f x f x ±=±+±+±

()

()5505!

h f x +L ． 然后代入中点公式（1．4），得

()()()()

()245000''''3!5!

h h D h f x f x f x =+++L ．

所以截断误差

()()()()

()245000''''3!5!

h h f x D h f x f x -=--+L （1．5）

由此可以得到：从截断误差的角度来看，步长h 越小，计算结果越准确．但从计算角度看，h 越小，()0f x h +与()0f x h -越接近，直接相减会造成有效数字的严重损失，因此从舍入误差的角度看步长h 不宜去的太小．怎样选取合适的步长呢？可采用二分步长及误差事后估计法，即比较二分前后所得值()D h 与2h D ⎛⎫

⎪⎝⎭，若()2h D h D ε⎛⎫

-< ⎪

⎝⎭

，则2h 为所需的合适的步长且()0'2h D f x ⎛⎫

≈

⎪⎝⎭

． （二）插值型求导公式 对于列表函数()y f x =

x

0x 1x … n x

y

0y 1y

…

n y

应用插值原理，可以建立插值多项式()n p x 作为()f x 的近似．由于多项式的求导比较容易，因此可以取()'n p x 的值作为()'f x 的近似值，这样建立的数值公式

()()

''n f x p x ≈ （2．1）

统称为插值型求导公式

[8,9]

．

()'n p x 的截断误差可由()n p x 的截断误差求导数得到．因为

()()()()

()()111!

n n n f f x p x W x n ξ++-=

+

式中，[],a b ξ∈且依赖于x ；()()

10

n

n j j W x x x +==∏-．于是()'n p x 的截断误差为

()()(

)

()()()()()()()1111'''1!1!n n n n n f W x d

f x p x W x f n n dx

ξξ++++-=

+++．

（2．2）