投影定理
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⊥
定理2(投影定理) 设Y是Hilbert空间的闭子空间 Hilbert空间的闭子空间 定理2(投影定理) 2(投影定理 那么成立 X = Y + Y ⊥ .
证明: 因为Y是X的闭子空间,所以Y是X的完备子 空间,由推论1及引 理1,对于任何 x ∈ X , 存在唯一的 y∈ Y 及 z ∈Y⊥ , 使 x=y + z ⊥ 若另有 y1 ∈ Y 及 z1 ∈Y ,使 x = y 1 + z 1 , 则 y 1 - y = z 1 - z , 因为
2
.
≥δ 有M的凸性, 所以 ,因此 2 0 ≤ y y0 ≤ 4δ2 4δ2 = 0 因而 y y = 0 , 即 y = y 0 .这就证明了唯一性.证毕. 1 ( y 0 + y) x 2
2
1 ( y 0 + y) ∈ M , 2
2
0
评注: 极小化向量定理是内积空间的一个基本定理,他在微分方程, 现代控制论和逼近论中有重要应用.
y1 y ∈ Y , z 1 - z ∈ Y ⊥ , y1 y = z 1 - z ∈ Y ∩ Y 因此, y1 = y, z1 = z ,这就证明了 X = Y + Y ⊥ .证毕.
⊥
= {0}
定义(4) 当X=Y+Z，且Y垂直Z时，称X是Y和Z的正交和，记 为 X = Y⊕Z .
下面给出正交投影的概念
重要性质 1. P是X到Y上的有界线性算子,且当 Y ≠ {0} 时, P = 1 ⊥ 2. PX = Y, PY = Y, PY ={0} P2 = P, 其 P2 = P P 中 3.
作业:
(1) 考虑投影算子在迭代中的应用. (2)M ),由 明令 下确 定 ， 在 n ∈M, 界 义 存 y n =1,2,3,, 使 vn + vm = yn + ym 2x = 2 1 ( yn + ym ) x , 2
1 因 M是 为 凸集 所 ， 以 ( yn + ym ) ∈M， 此 得 vn + vm ≥ 2δ 由 可 2 又 为 n ym = vn vm， 平 四 形 则 有 因 y 有 行 边 法 ，
第二节
投影定理
提示：
（1）重点：投影定理 （2）难点：对定理的 理解和应用
概念一 设X是度量空间,M是X的非空子集,x是X中的一点, 称 是度量空间,M是 的非空子集,x是 中的一点, inf d(x, y) ,为点x到M的距离,记为 d(x, M) 为点x 的距离, y∈ M 在赋范线性空间中, 在赋范线性空间中, d(x, M) = inf x y
有,
yn ym = vn vm
2
2
= - vn + vm + 2( vn + vm )
2 2 2
有(4)式知,是M中柯西点列,单M按内积导出的距离完备, 因而存在 y∈M,使 yn → y(n →∞) , 因为 y∈M,所以, x y ≥ δ ，但是 x y ≤ x - yn + y yn
A X, x ⊥ A < x, a >= 0, a ∈ A B X, A ⊥ B < a, b >= 0, a ∈ A, b ∈ B
(极 小化 理 设 是 积 间 M是 中 定 ) X 内 空 ， X 非空 集 并 凸 ， 且 X中 内 导出 距 完 ， 么 每 x ∈ X， 在 按 由 积 的 离 备 那 对 个 存 唯 一的 y ∈M, 使 得 x y = d(x, M).
定义(5) 当Y是Hilbert空间X的闭子空间时,对每个x ∈ X , ⊥ 存在唯一的 y ∈ Y 及 z ∈ Y ,使 x = y ⊕ z .称y为x在空间Y 上的正交投影,简称为投影. 定义(6) 对任一 x ∈ X ,令 Px = y , 其中y是x在Y上的投影,称P为X到Y上的投影算子
= δn + yn y
≤ -(2δ)2 + 2(δn + δm )
,
上面不等式右端当时 n →∞ ,极限为 δ ,所以得到 x y = δ .若又有 y0 ∈ M ,使得 x y0 = δ ,
y y0 = ( y x) ( y0 x)
2 2 2 2 2
= 2 y - x + 2 y0 - x (y - x) + (y0 - x) 1 = 2δ 2 + 2δ 2 4 ( y + y0 ) x 2
推论1 设X是内积空间,M是X的完备子空间,则 对每一个 x ∈ X ,存在唯一的 y∈ M , 使 x y = d(x, M ) .
引理1 是内积空间,M ,M是 的线性子空间, 引理1 设X是内积空间,M是X的线性子空间,则对 每一个 x ∈ X ,存在唯一的 y ∈ M ,使得 那么, x y = d ( x , M ) ,那么 x y ⊥ M . 定义(3) 设X是内积空间,M是X的子集,称集合 M 为M 在X中的正交补,其中 M⊥ = {x ∈X | x ⊥ M} .
y∈M
引入问题1: 引入问题1:
是否存在 y∈ M 使得 d(x, M) = x y ? , 如果存在这样的y,是否唯一? 如果存在这样的y,是否唯一?
(1 )
主要定义:
定义(1)设X是线性空间, x,y 是X中的两点, 称集合 {z = αx + (1 α) y | 0 ≤ α ≤ 1} 为X中连接x和y的线段,记为[x,y].如果M是X的子集,对 M中的任何两点x,y,必有[x,y],则称M为X中的凸集. 定义(2)设X是内积空间,则 x, y ∈ X, x ⊥ y < x, y >= 0
定理2(投影定理) 设Y是Hilbert空间的闭子空间 Hilbert空间的闭子空间 定理2(投影定理) 2(投影定理 那么成立 X = Y + Y ⊥ .
证明: 因为Y是X的闭子空间,所以Y是X的完备子 空间,由推论1及引 理1,对于任何 x ∈ X , 存在唯一的 y∈ Y 及 z ∈Y⊥ , 使 x=y + z ⊥ 若另有 y1 ∈ Y 及 z1 ∈Y ,使 x = y 1 + z 1 , 则 y 1 - y = z 1 - z , 因为
2
.
≥δ 有M的凸性, 所以 ,因此 2 0 ≤ y y0 ≤ 4δ2 4δ2 = 0 因而 y y = 0 , 即 y = y 0 .这就证明了唯一性.证毕. 1 ( y 0 + y) x 2
2
1 ( y 0 + y) ∈ M , 2
2
0
评注: 极小化向量定理是内积空间的一个基本定理,他在微分方程, 现代控制论和逼近论中有重要应用.
y1 y ∈ Y , z 1 - z ∈ Y ⊥ , y1 y = z 1 - z ∈ Y ∩ Y 因此, y1 = y, z1 = z ,这就证明了 X = Y + Y ⊥ .证毕.
⊥
= {0}
定义(4) 当X=Y+Z，且Y垂直Z时，称X是Y和Z的正交和，记 为 X = Y⊕Z .
下面给出正交投影的概念
重要性质 1. P是X到Y上的有界线性算子,且当 Y ≠ {0} 时, P = 1 ⊥ 2. PX = Y, PY = Y, PY ={0} P2 = P, 其 P2 = P P 中 3.
作业:
(1) 考虑投影算子在迭代中的应用. (2)M ),由 明令 下确 定 ， 在 n ∈M, 界 义 存 y n =1,2,3,, 使 vn + vm = yn + ym 2x = 2 1 ( yn + ym ) x , 2
1 因 M是 为 凸集 所 ， 以 ( yn + ym ) ∈M， 此 得 vn + vm ≥ 2δ 由 可 2 又 为 n ym = vn vm， 平 四 形 则 有 因 y 有 行 边 法 ，
第二节
投影定理
提示：
（1）重点：投影定理 （2）难点：对定理的 理解和应用
概念一 设X是度量空间,M是X的非空子集,x是X中的一点, 称 是度量空间,M是 的非空子集,x是 中的一点, inf d(x, y) ,为点x到M的距离,记为 d(x, M) 为点x 的距离, y∈ M 在赋范线性空间中, 在赋范线性空间中, d(x, M) = inf x y
有,
yn ym = vn vm
2
2
= - vn + vm + 2( vn + vm )
2 2 2
有(4)式知,是M中柯西点列,单M按内积导出的距离完备, 因而存在 y∈M,使 yn → y(n →∞) , 因为 y∈M,所以, x y ≥ δ ，但是 x y ≤ x - yn + y yn
A X, x ⊥ A < x, a >= 0, a ∈ A B X, A ⊥ B < a, b >= 0, a ∈ A, b ∈ B
(极 小化 理 设 是 积 间 M是 中 定 ) X 内 空 ， X 非空 集 并 凸 ， 且 X中 内 导出 距 完 ， 么 每 x ∈ X， 在 按 由 积 的 离 备 那 对 个 存 唯 一的 y ∈M, 使 得 x y = d(x, M).
定义(5) 当Y是Hilbert空间X的闭子空间时,对每个x ∈ X , ⊥ 存在唯一的 y ∈ Y 及 z ∈ Y ,使 x = y ⊕ z .称y为x在空间Y 上的正交投影,简称为投影. 定义(6) 对任一 x ∈ X ,令 Px = y , 其中y是x在Y上的投影,称P为X到Y上的投影算子
= δn + yn y
≤ -(2δ)2 + 2(δn + δm )
,
上面不等式右端当时 n →∞ ,极限为 δ ,所以得到 x y = δ .若又有 y0 ∈ M ,使得 x y0 = δ ,
y y0 = ( y x) ( y0 x)
2 2 2 2 2
= 2 y - x + 2 y0 - x (y - x) + (y0 - x) 1 = 2δ 2 + 2δ 2 4 ( y + y0 ) x 2
推论1 设X是内积空间,M是X的完备子空间,则 对每一个 x ∈ X ,存在唯一的 y∈ M , 使 x y = d(x, M ) .
引理1 是内积空间,M ,M是 的线性子空间, 引理1 设X是内积空间,M是X的线性子空间,则对 每一个 x ∈ X ,存在唯一的 y ∈ M ,使得 那么, x y = d ( x , M ) ,那么 x y ⊥ M . 定义(3) 设X是内积空间,M是X的子集,称集合 M 为M 在X中的正交补,其中 M⊥ = {x ∈X | x ⊥ M} .
y∈M
引入问题1: 引入问题1:
是否存在 y∈ M 使得 d(x, M) = x y ? , 如果存在这样的y,是否唯一? 如果存在这样的y,是否唯一?
(1 )
主要定义:
定义(1)设X是线性空间, x,y 是X中的两点, 称集合 {z = αx + (1 α) y | 0 ≤ α ≤ 1} 为X中连接x和y的线段,记为[x,y].如果M是X的子集,对 M中的任何两点x,y,必有[x,y],则称M为X中的凸集. 定义(2)设X是内积空间,则 x, y ∈ X, x ⊥ y < x, y >= 0