2019届人教B版(文科数学) 圆的方程 单元测试
2019届人教版数学九年级上《第24章圆》单元综合测试试题(有答案)加精
圆单元综合测试试题一.选择题1.已知⊙O中最长的弦为8cm,则⊙O的半径为()cm.A.2 B.4 C.8 D.162.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,已知∠AOC=80°,则∠ABC的度数为()A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠ABC=30°,AC=4,则⊙O的半径为()A.4 B.8 C.D.4.如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上的一点,过点C作⊙O的切线,交直径AB的延长线于点D;若∠A=23°,则∠D的度数是()A.23°B.44°C.46°D.57°5.如图,正三角形ABC的边长为4cm,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,以A,B,C三点为圆心,2cm长为半径作圆.则图中阴影部分的面积为()A.(2﹣π)cm2B.(π﹣)cm2C.(4﹣2π)cm2D.(2π﹣2)cm26.如图,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点,P是优弧AB上任意一点(与A、B不重合),则∠APB的度数为()A.60°B.45°C.30°D.25°7.在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,5为半径作圆,若点P的坐标是(3,4),则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O外B.点P在⊙O内C.点P在⊙O上D.点P在⊙O上或在⊙O外8.已知⊙O的半径为4,直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.相切、相交均有可能9.如图,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,BC =5,则△ABC的周长为()A.16 B.14 C.12 D.1010.如图,在矩形AB CD中,AB=8,AD=12,经过A,D两点的⊙O与边BC相切于点E,则⊙O的半径为()A.4 B.C.5 D.二.填空题11.若四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠A=120°,则∠C的度数是.12.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠C=130°,则∠BOD的度数是.13.如图,四边形ABCD是菱形,∠B=60°,AB=1,扇形AEF的半径为1,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是.14.如图,已知AB是⊙O的直径,AB=2,C、D是圆周上的点,且∠CDB=30°,则BC 的长为.15.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与边BC相交于点E,过点E作EF ⊥AB于点F,延长FE、AC相交于点D,若CD=4,AF=6,则BF的长为.16.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=6cm,AC=8cm.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动,点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动,当点P到达点A时,点Q也随之停止运动.设运动时间为t(s),当△APQ是直角三角形时,t的值为.三.解答题17.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD⊥CE于点D,AC平分∠DAB.(1)求证:直线CE是⊙O的切线;(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.18.如图,⊙O的直径AB为10cm,弦BC=8cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,连接AD,BD,求四边形ACBD的面积.19.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC 于点D、E,过点B作直线BF,交AC的延长线于点F.(1)求证:BE=CE;(2)若AB=6,求弧DE的长;(3)当∠F的度数是多少时,BF与⊙O相切,证明你的结论.20.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,连接AC,BC.(1)求证:∠A=∠BCD;(2)若AB=10,CD=6,求BE的长.21.如图,在圆O中,弦AB=8,点C在圆O上(C与A,B不重合),连接CA、CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是点D、E.(1)求线段DE的长;(2)点O到AB的距离为3,求圆O的半径.22.如图,AB=AC,CD⊥AB于点D,点O是∠BAC的平分线上一点,⊙O与AB相切于点M,与CD相切于点N(1)求证:∠AOC=135°;(2)若NC=3,BC=2,求DM的长.23.如图,AB是⊙O的直径,C为AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线CD,D为切点,点F是的中点,连接OF并延长交CD于点E,连接BD,BF.(1)求证:BD∥OE;(2)若OE=3,tan C=,求⊙O的半径.参考答案一.选择题1.解:∵⊙O中最长的弦为8cm,即直径为8cm,∴⊙O的半径为4cm.故选:B.2.解:∵=,∴∠ABC=∠AOC=×80°=40°,故选:C.3.解:∵AB是直径,∴∠C=90°,∵∠ABC=30°,∴AB=2AC=8,∴OA=OB=4,故选:A.4.解:连接OC,如图,∵CD为⊙O的切线,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∵∠COD=2∠A=46°,∴∠D=90°﹣46°=44°.故选:B.5.解:连接AD,∵△ABC是正三角形,BD=DC,∴∠B=60°,AD⊥BC,∴AD=AB=2,∴图中阴影部分的面积=×4×2﹣×3=(4﹣2π)cm2故选:C.6.解:由题意得,∠AOB=60°,则∠APB=∠AOB=30°.故选:C.7.解:∵点P的坐标是(3,4),∴OP==5,而⊙O的半径为5,∴OP等于圆的半径,∴点P在⊙O上.故选:C.8.解:∵若直线L与⊙O只有一个交点,即为点P,则直线L与⊙O的位置关系为:相切;若直线L与⊙O有两个交点,其中一个为点P,则直线L与⊙O的位置关系为:相交;∴直线L与⊙O的位置关系为:相交或相切.故选:D.9.解:∵△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∴AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,∵BE+CE=BC=5,∴BD+CF=BC=5,∴△ABC的周长=2+2+5+5=14,故选:B.10.解:如图,连结EO并延长交AD于F,连接AO,∵⊙O与BC边相切于点E,∴OE⊥BC,∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴OF⊥AD,∴AF=DF=AD=6,∵∠B=∠DAB=90°,OE⊥BC,∴四边形ABEF为矩形,∴EF=AB=8,设⊙O的半径为r,则OA=r,OF=8﹣r,在Rt△AOF中,∵OF2+AF2=OA2,∴(8﹣r)2+62=r2,解得r=,故选:D.二.填空题(共6小题)11.解:四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∴∠C=180°﹣∠A=60°,故答案为:60°.12.解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∵∠C=130°,∴∠A=50°,∴∠BOD=2∠A=100°,故答案为100°.13.解:连接AC.∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D=60°,AB=AD=DC=BC=1,∴∠BCD=∠DAB=120°,∴∠1=∠2=60°,∴△ABC、△ADC都是等边三角形,∴AC=AD=1,∵AB=1,∴△ADC的高为,AC=1,∵扇形BEF的半径为1,圆心角为60°,∴∠4+∠5=60°,∠3+∠5=60°,∴∠3=∠4,设AF、DC相交于HG,设BC、AE相交于点G,在△ADH和△ACG中,,∴△ADH≌△ACG(ASA),∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积,∴图中阴影部分的面积是:S扇形AEF﹣S△ACD=﹣×1×=﹣.故答案为﹣.14.解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=∠CDB=30°,∴BC=AB=1,故答案为1.15.解:如图,连接AE,OE.设BF=x.∵AC是直径,∴∠AEC=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴∠EAB=∠EAC,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠EAB=∠AEO,∴OE∥AB,∴=,∴AF=6,CD=4,BF=x,∴AC=AB=x+6,∴OE=OA=OD=,∴=,整理得:x 2+10x ﹣24=0,解得x =2或﹣12(舍弃),经检验x =2是分式方程的解,∴BF =2.故答案为2.16.解:如图,∵AB 是直径,∴∠C =90°.又∵BC =6cm ,AC =8cm ,∴根据勾股定理得到AB ==10cm .则AP =(10﹣2t )cm ,AQ =t .∵当点P 到达点A 时,点Q 也随之停止运动,∴0<t ≤2.5.①如图1,当PQ ⊥AC 时,PQ ∥BC ,则△APQ ∽△ABC .故=,即=,解得t =.②如图2,当PQ ⊥AB 时,△APQ ∽△ACB ,则=,即=,解得t =.综上所述,当t =s 或t =时,△APQ 为直角三角形.故答案是: s 或s .三.解答题(共7小题)17.(1)证明:连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ACO,∴AD∥OC,∵AD⊥DE,∴OC⊥DE,∴直线CE是⊙O的切线;(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵AD⊥CD,∴∠ADC=∠ACB=90°,∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴=,∴BC•AC=40,∵BC2+AC2=100,∴BC+AC=6,AC﹣BC=2或BC﹣AC=2,∴BC=2或4.18.解:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,又∵CD平分∠ACB,即∠ACD=∠BCD,∴=,∴AD=BD,∵直角△ABD中,AD=BD,则AD=BD=AB=5,=AD•BD=×5×5=25(cm2),则S在直角△ABC中,AC===6(cm),则S△ABC=AC•BC=×6×8=24(cm2),则S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC=25+24=49(cm2).19.(1)证明:连接AE,如图,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE;(2)解:∵AB=AC,AE⊥BC,∴AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAC=×54°=27°,∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°,∴弧DE的长==π;(3)解:当∠F的度数是36°时,BF与⊙O相切.理由如下:∵∠BAC=54°,∴当∠F=36°时,∠ABF=90°,∴AB⊥BF,∴BF为⊙O的切线.20.(1)证明:∵直径AB⊥弦CD,∴弧BC=弧BD.∴∠A=∠BCD;(2)连接OC∵直径AB⊥弦CD,CD=6,∴CE=ED=3.∵直径AB=10,∴CO=OB=5.在Rt△COE中,∵OC=5,CE=3,∴OE==4,∴BE=OB﹣OE=5﹣4=1.21.解:(1)∵OD经过圆心O,OD⊥AC,∴AD=DC,同理:CE=EB,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=AB,∵AB=8,∴DE=4.(2)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,OH=3,连接OA,∵OH经过圆心O,∴AH=BH=AB,∵AB=8,∴AH=4,在Rt△AHO中,AH2+OH2=AO2,∴AO=5,即圆O的半径为5.22.解:(1)如图,作OE⊥AC于E,连接OM,ON.∵⊙O与AB相切于点M,与CD相切于点N,∴OM⊥AB,ON⊥CD,∵OA平分∠BAC,OE⊥AC,∴OM=OE,∴AC是⊙O的切线,∵ON=OE,ON⊥CD,OE⊥AC,∴OC平分∠ACD,∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴∠AOC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)=180°﹣45°=135°.(2)∵AD,CD,AC是⊙O的切线,M,N,E是切点,∴AM=AE,DM=DN,CN=CE=3,设DM=DN=x,AM=AE=y,∵AB=AC,∴BD=3﹣x,在Rt△BDC中,∵BC2=BD2+CD2,∴20=(3﹣x)2+(3+x)2,∴x=1或﹣1(舍弃)∴DM=1.23.(1)证明:∵OB=OF,∴∠1=∠3,∵点F是的中点,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴BD∥OE;(2)解:连接OD,如图,∵直线CD是⊙O的切线,∴OD⊥CD,在Rt△OCD中,∵tan C==,∴设OD=3k,CD=4k.∴OC=5k,BO=3k,∴BC=2k.∵BD∥OE,∴.即.∴DE=6k,在Rt△ODE中,∵OE2=OD2+DE2,∴(3)2=(3k)2+(6k)2,解得k=∴OB=3,即⊙O的半径的长.。
高中数学 4.1《圆的方程》单元测试(新人教必修2). 新人教版必修2A
4.1 圆的方程第1题.ABC △的顶点B ,C 的坐标分别是()3,1--,()2,1,顶点A 在圆()()22244x y ++-=上运动,求ABC △的重心G 的轨迹方程.答案:解:设ABC △的顶点A 的坐标为()00,x y ,重心G 的坐标为(),x y . 因为03233A B C x x x x x ++-+==,01133A B C y y y y y ++-+==, 所以,031x x =+,03y y =. ① 又点A 在圆()()22244x y ++-=上运动, 所以()()2200244x y ++-=②把①式代入②式,得()()2233344x y ++-=.整理得()2244139x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.所以,ABC △的重心G 的轨迹方程是()2244139x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.第2题. 点2(5)P m ,与圆2224x y +=的位置关系是( ) A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定答案:A.第3题. 已知动点M 到定点(80),的距离等于M 到(20),的距离的2倍,那么点M 的轨迹方程是( ) A.2232x y += B.2216x y += C.22(1)16x y -+=D.22(1)16x y +-=答案:B.第4题. 已知圆心在x 轴上,半径是5且以(54)A ,为中点的弦长是是.答案:22(3)25x y -+=或22(7)25x y -+=第5题. 圆在x ,y 轴上分别截得弦长为4和14,且圆心在直线230x y +=上,求此圆方程.答案:解:设圆的圆心为()a b ,,圆的半径为r , 则圆的方程为222()()x a y b r -+-=.∵圆在x 轴,y 轴上截得的弦长分别为4和14.则有22222227a r b r ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②又∵圆心在直线230x y +=上,230a b +=∴ ③ 由①②③可得29685a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩,或29685a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩∴适合题意的圆的方程为22(9)(6)85x y -++=或22(9)(6)85x y ++-=.第6题. 已知圆C 和y 轴相切,圆心在直线30x y -=上,且被直线y x =截得的弦长为C 的方程.答案:解:设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=.由圆C 与y 轴相切得a r =. ①又圆心在直线30x y -=上,30a b -=∴. ②圆心()C a b ,到直线y x =的距离为d =由于弦心距d ,半径r 及弦的一半构成直角三角形,222r +=∴③联立①②③解方程组可得111313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩,或222313a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=.第7题. 一个动点在圆221x y +=上移动时,它与定点(30),连线中点的轨迹方程是( ) A.22(3)4x y ++=B.22(3)1x y -+=C.22(23)41x y -+=D.2231()22x y ++=答案:C.第8题. 方程222460x y x y ++--=表示的图形是( ) A.以(12)-,为半径的圆 B.以(12),为半径的圆 C.以(12)--,为半径的圆D.以(12)-,为半径的圆答案:D.第9题. 在方程220x y Dx Ey F ++++=中,若224D E F =>,则圆的位置满足( ) A.截两坐标轴所得弦的长度相等 B.与两坐标轴都相切 C.与两坐标轴相离 D.上述情况都有可能答案:A.第10题. 圆22(2)(1)9x y -++=的弦长为2,则弦的中点的轨迹方程是.答案:22(2)(1)8x y -++=第11题. 求经过(42)A ,,(13)B -,两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程. 答案:设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=①∵圆经过(42)A ,,(13)B -,两点,则有1644201930D E F D E F ++++=⎧⎨+-++=⎩即422003100D E F D E F +++=⎧⎨---=⎩ ② ③令①中的0x =,得20y Ey F ++=,由韦达定理12y y E +=-. 令①中的0y =,得20x Dx F ++=, 由韦达定理12x x D +=-.由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2,从而有12122x x y y +++=, 即2E D --=,也就是20D E ++=④由②③④可得到2012D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求圆的方程为222120x y x +--=.第12题. 以点(34)-,为圆心,且与x 轴相切的圆的方程是( ) A.22(3)(4)16x y -++=B.22(3)(4)16x y ++-= C.22(3)(4)9x y -++=D.22(3)(4)9x y ++-=答案:B.第13题. 圆的直径端点为(20),,(22)-,,则此圆的方程为.答案:22(2)(1)1x y -++=第14题. 过点(11)C -,和(13)D ,,圆心在x 轴上的圆的方程是( ) A.22(2)10x y +-=B.22(2)10x y ++= C.22(2)10x y ++=D.22(2)10x y -+=答案:D.第15题. 已知一曲线是与两个定点(00)O ,,(0)(0)A a a ≠,距离的比为(1)k k ≠的点的轨迹,求此曲线的方程,并判断曲线的形状. 答案:解:设()M x y ,是曲线上的任意一点,也就是M 属于集合|OM P M k AM ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭.由两点间的距离公式,点M k =,两边平方得22222()x y k x a y+=-+, 化简得2222222(1)(1)20k x k y k ax k a -+--+=.01k <<∵或1k >,210k -≠∴.22222222011k a k a x y x k k -+++=--∴.224D E F +-∵422222244(1)1k a k a k k =---222240(1)k a k =>-, ∴所求曲线的方程是22222222011k a k a x y x k k -+++=--,曲线是一个圆.第16题. 若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称,则圆C 的方程是( ) A.22(2)(1)1x y -++=B.22(2)(1)1x y -+-= C.22(1)(2)1x y -++=D.22(1)(2)1x y ++-=答案:A.第17题. 的点的坐标所满足的条件是.答案:223x y +=第18题. 已知一圆经过点(30)A ,,18()55B -,两点,且截x 轴所得的弦长为2.求此圆的方程.答案:解:设圆方程为222()()x a y b r -+-=,则222222222(3)18()()551a b r a b r r b ⎧-+=⎪⎪--+-=⎨⎪⎪=+⎩22a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴或46a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴所求圆的方程为22(2)(2)5x y -+-=或22(4)(6)37x y -+-=.第19题. 若圆220x y Dx Ey F ++++=与x 轴切于原点,则( ) A.0D =,0E =,0F ≠B.0F =,0D ≠,0E ≠ D.0D =,0F =,0E ≠D.0E =,0F =,0D ≠答案:C.第20题.设直线20x y -=与y 轴交点为P ,点P 把圆22(1)25x y ++=的直径分为两段,则其长度之比为( )A.73或37B.74或47 C.75或57D.76或67答案:A.第21题. 如果实数x ,y 满足22(2)3x y -+=,那么yx的最大值是.第22题. 已知圆22(2)1C x y ++=:,()P x y ,为圆上任意一点, 求(1)21y x --的最值;(2)2x y -的最值.答案:解:(1)设21y k x -=-,即20kx y k --+=. 已知圆心为(20)C -,,半径1r =,当圆心到该直线的距离等于圆的半径1时,1=,解得34k ±=, 21y x --∴.(2)设2x y b -=,即20l x y b --=:,当直线l 与圆C 相切时,1d =,1=,2b =-±2x y -∴的最大值为2-+,最小值为2--第23题. 圆心在直线40x y +=上且与直线110l x y +-=:切于点(32)P -,的圆的方程是.答案:22(1)(4)8x y -++=第24题. 以为圆心,截直线y =得弦长为8的圆的方程是.答案:22(25x y -+=第25题. 点(11),在圆22()()4x a y a -++=的内部,则a 的取值X 围是( ) A.11a -<<B.01a << C.1a <-或1a >D.1a =±答案:A.第26题. 动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是( ) A.210x y +-=B.210x y -+= C.210x y -+=D.210x y --=答案:D.第27题. 若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆,则λ的取值X 围是( )A.(0)+,∞B.114⎡⎤⎢⎥⎣⎦,C.1(1)()5+-,∞∞,D.R答案:C .。
2019届人教B版(文科数学) 圆的方程 单元测试
第10单元 圆的方程一、选择题1.若圆C 的半径为1,圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C 的标准方程为( ) A .x 2+y 2=1 B .(x -3)2+y 2=1 C .(x -1)2+y 2=1D .x 2+(y -3)2=1解析:因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称, 故由中点坐标公式可得C (0,0),所以所求圆的标准方程为x 2+y 2=1. 答案:A2.若曲线C :x 2+y 2+2ax -4ay +5a 2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a 的取值范围为( )A .(-∞,-2)B .(-∞,-1)C .(1,+∞)D .(2,+∞)[解析] 曲线C 的方程可以化为(x +a )2+(y -2a )2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a ),半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限,所以a >2. [答案] D3.(2017·东北三省四市二模)直线x -3y +3=0与圆(x -1)2+(y -3)2=10相交所得弦长为( )A.30B.532C .4 2D .3 3[解析] 由题知,题中圆的圆心坐标为(1,3),半径r =10,则圆心到直线的距离d =|1-9+3|12+(-3)2=102,所以弦长为2r 2-d 2=210-104=30.[答案] A4.已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( ) A .相切 B .相交 C .相离D .不确定解析:由点M 在圆外,得a 2+b 2>1,∴圆心O 到直线ax +by =1的距离d =1a 2+b2<1=r ,则直线与圆O 相交,选B. 答案:B5.(2018·河北省定兴三中月考)圆O :x 2+y 2=50与圆x 2+y 2-12x -6y +40=0的公共弦长为( )A. 5B. 6 C .2 5 D .2 6[解析] 由题意得,两圆公共弦所在直线的方程为2x +y -15=0.又圆心O (0,0)到公共弦所在直线2x +y -15=0的距离为|-15|22+12=35,则两圆的公共弦长为250-(35)2=2 5.故选C.[答案] C6.已知圆x 2+y 2-4ax +2by +b 2=0(a >0,b >0)关于直线x -y -1=0对称,则ab 的最大值是( ) A.12 B.18 C.14D.24解析:由圆x 2+y 2-4ax +2by +b 2=0(a >0,b >0)关于直线x -y -1=0对称,可得圆心(2a ,-b )在直线x -y -1=0上,故有2a +b -1=0,即2a +b =1≥2 2ab ,解得ab ≤18,故ab的最大值为18,故选B.答案:B7..(2018·惠州模拟)已知圆O :x 2+y 2=4上到直线l :x +y =a 的距离等于1的点恰有3个,则实数a 的值为( ) A .2 2 B. 2C .-2或 2D .-22或2 2解析:因为圆上到直线l 的距离等于1的点恰好有3个,所以圆心到直线l 的距离d =1,即d =|-a |2=1,解得a =±2.故选C.答案:C8.点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y +1)2=4 C .(x +4)2+(y -2)2=4 D .(x +2)2+(y -1)2=1[解析] 设圆上任一点坐标为(x 0,y 0),则x 20+y 20=4,连线中点坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x =x 0+4,2y =y 0-2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4,y 0=2y +2,代入x 20+y 20=4中得(x -2)2+(y +1)2=1. [答案] A9.(2017·宁夏银川九中五模)直线l :kx +y +4=0(k ∈R )是圆C :x 2+y 2+4x -4y +6=0的一条对称轴,过点A (0,k )作斜率为1的直线m ,则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6 D .2 6 [解析] 圆C :x 2+y 2+4x -4y +6=0,即(x +2)2+(y -2)2=2,表示以C (-2,2)为圆心,2为半径的圆.由题意可得,直线l :kx +y +4=0经过圆心C (-2,2),所以-2k +2+4=0,解得k =3,所以点A (0,3),故直线m 的方程为y =x +3,即x -y +3=0,则圆心C 到直线m 的距离d =|-2-2+3|2=12,所以直线m 被圆C 所截得的弦长为22-12= 6.故选C. [答案] C10.(2017·福建厦门4月联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2,0,1,34,则方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a-1=0表示的圆的个数为( )A .0B .1C .2D .3[解析] 方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆的条件为a 2+4a 2-4(2a 2+a -1)>0,即3a 2+4a -4<0,解得-2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2,0,1,34,∴仅当a =0时,方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,故选B.[答案] B 二、填空题11.已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,5)在圆C 上,且圆心到直线2x -y =0的距离为455,则圆C 的方程为 .解析:设圆心为(a,0)(a >0),则圆心到直线2x -y =0的距离d =|2a -0|4+1=455,得a =2,半径r =(2-0)2+(0-5)2=3,所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=9. 答案:(x -2)2+y 2=912.已知圆C 1:x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0与圆C 2:x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,若圆C 1与圆C 2相外切,则实数m = .[解析] 圆C 1和圆C 2的标准方程分别为(x -m )2+(y +2)2=9,(x +1)2+(y -m )2=4,圆心分别为C 1(m ,-2),C 2(-1,m ),半径分别为3和2.当两圆外切时,(m +1)2+(m +2)2=5,解得m =2或m =-5.[答案] 2或-513.已知直线l :x -y +4=0与圆C :(x -1)2+(y -1)2=2,则圆C 上各点到l 的距离的最小值为 .[解析] 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径,即|1-1+4|2-2= 2.[答案] 214.(2018·滨州模拟)在平面直角坐标系xOy 中,以点(2,1)为圆心且与直线mx +y -2m =0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .解析:直线mx +y -2m =0过定点(2,0),则以点(2,1)为圆心且与直线mx +y -2m =0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的半径为1,∴半径最大的圆的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=1.答案:(x -2)2+(y -1)2=1 三.解答题15.已知圆C 经过点(0,1),且圆心为C (1,2). (1)写出圆C 的标准方程;(2)过点P (2,-1)作圆C 的切线,求该切线的方程及切线长. 解析:(1)由题意知,圆C 的半径r =(1-0)2+(2-1)2=2, 所以圆C 的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=2.(2)由题意知切线斜率存在,故设过点P (2,-1)的切线方程为y +1=k (x -2),即kx -y -2k -1=0,则|-k -3|1+k 2=2,所以k 2-6k -7=0,解得k =7或k =-1, 故所求切线的方程为7x -y -15=0或x +y -1=0.由圆的性质易得所求切线长为PC 2-r 2=(2-1)2+(-1-2)2-2=2 2.16.已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0),边AB 所在的直线方程为x +y -2=0,点(-1,1)在边AD 所在的直线上. (1)求矩形ABCD 的外接圆方程;(2)已知直线l :(1-2k )x +(1+k )y -5+4k =0(k ∈R),求证:直线l 与矩形ABCD 的外接圆相交,并求最短弦长.解析:(1)依题意得AB ⊥AD ,∵k AB =-1, ∴k AD =1,∴直线AD 的方程为y -1=x +1,即y =x +2. 解{ x +y -2=0,x -y +2=0,得{ x =0,y =2,即A (0,2).矩形ABCD 的外接圆是以P (2,0)为圆心, |AP |=22为半径的圆,方程为(x -2)2+y 2=8.(2)直线l 的方程可整理为(x +y -5)+k (y -2x +4)=0,k ∈R , ∴{ x +y -5=0,y -2x +4=0,解得{ x =3,y =2, ∴直线l 过定点M (3,2).又∵点M(3,2)在圆内,∴直线l与圆相交.∵圆心P与定点M的距离d=5,最短弦长为28-5=2 3.。
2019届人教B版(理科数学) 8.3 圆的方程 单元测试
一、选择题1.(2017·豫北名校联考)圆(x -2)2+y 2=4关于直线y =33x 对称的圆的方程是( )A .(x -3)2+(y -1)2=4B .(x -2)2+(y -2)2=4C .x 2+(y -2)2=4D .(x -1)2+(y -3)2=4 答案 D解析 设圆(x -2)2+y 2=4的圆心(2,0)关于直线y =33x 对称的点的坐标为(a ,b ),则有⎩⎨⎧b a -2·33=-1,b 2=33·a +22,解得a =1,b =3,从而所求圆的方程为(x -1)2+(y -3)2=4.故选D.2.(2017·湖南长沙二模)圆x 2+y 2-2x -2y +1=0上的点到直线x -y =2距离的最大值是( )A .1+ 2B .2C .1+22 D .2+2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x -1)2+(y -1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x -y =2的距离d =|1-1-2|2=2,故圆上的点到直线x -y =2距离的最大值为d +1=2+1,故选A.3.已知点P 在圆x 2+y 2=5上,点Q (0,-1),则线段PQ 的中点的轨迹方程是( )A .x 2+y 2-x =0B .x 2+y 2+y -1=0C .x 2+y 2-y -2=0D .x 2+y 2-x +y =0答案 B解析 设P (x 0,y 0),PQ 中点的坐标为(x ,y ),则x 0=2x ,y 0=2y +1,代入圆的方程即得所求的方程是4x 2+(2y +1)2=5,化简得x 2+y 2+y -1=0.故选B.4.(2018·山西运城模拟)已知圆(x -2)2+(y +1)2=16的一条直径通过直线x -2y +3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( )A .3x +y -5=0B .x -2y =0C .x -2y +4=0D .2x +y -3=0答案 D解析 直线x -2y +3=0的斜率为12,已知圆的圆心坐标为(2,-1),该直径所在直线的斜率为-2,所以该直径所在的直线方程为y +1=-2(x -2),即2x +y -3=0,故选D.5.(2018·唐山期末)若当方程x 2+y 2+ x +2y + 2=0所表示的圆取得最大面积时,则直线y =( -1)x +2的倾斜角α=( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π4答案 A解析 将圆x 2+y 2+ x +2y + 2=0化成标准方程,得 ⎝⎛⎭⎪⎫x +k 22+(y +1)2=1-3k 24,∵半径r 满足r 2=1-3k24,当圆取得最大面积时, =0,半径r =1.因此直线y =( -1)x +2即y =-x +2.得直线的倾斜角α满足tan α=-1,∵直线的倾斜角α∈[0,π),∴α=3π4.故选A.6.若方程16-x 2-x -m =0有实数解,则实数m 的取值范围( )A .-42≤m ≤4 2B .-4≤m ≤4 2C .-4≤m ≤4D .4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16-x 2=x +m 有实数解,分别作出y =16-x 2与y =x +m 的图象,如图,若两图象有交点,需-4≤m ≤4 2.故选B.7.(2017·广东七校联考)圆x 2+y 2+2x -6y +1=0关于直线ax -by +3=0(a >0,b >0)对称,则1a +3b 的最小值是( )A .2 3 B.203 C .4 D.163答案 D解析 由圆x 2+y 2+2x -6y +1=0知其标准方程为(x +1)2+(y -3)2=9,∵圆x 2+y 2+2x -6y +1=0关于直线ax -by +3=0(a >0,b >0)对称,∴该直线经过圆心(-1,3),即-a -3b +3=0,∴a +3b =3(a >0,b >0).∴1a +3b =13(a +3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +3b =13⎝ ⎛⎭⎪⎫1+3a b +3b a +9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10+23a b ·3b a =163,当且仅当3b a =3ab ,即a =b 时取等号,故选D.8.由直线y =x +1上的一点向圆C :x 2-6x +y 2+8=0引切线,则切线长的最小值为( )A.1 B.2 2 C.7 D.3答案 C解析解法一:切线长的最小值在直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为d=|3-0+1|2=22,圆的半径长为r=1,故切线长的最小值为d2-r2=8-1=7.解法二:易知P(m,m+1)在直线y=x+1上,由切线长公式得|PC|=m2-6m+(m+1)2+8=2(m-1)2+7,由m∈R可得|PC|min=7.9.(2017·山东菏泽一模)已知在圆M:x2+y2-4x+2y=0内,过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.3 5 B.6 5C.415 D.215答案 D解析圆x2+y2-4x+2y=0可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆心M(2,-1),半径r=5,最长弦为圆的直径,∴AC=2 5.∵BD为最短弦,∴AC与BD垂直,易求得ME=2,∴BD=2BE=25-2=2 3.S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=12BD·EA+12BD·EC=12BD·(EA+EC)=12BD·AC=12×23×25=215.故选D.10.已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上,则x+y 的最大值与最小值是()A.6+22,6-2 2 B.6+2,6- 2C.4+22,4-2 2 D.4+2,4- 2答案 A解析 设x +y =b ,则b 表示动直线y =-x +b 在y 轴上的截距,显然当动直线y =-x +b 与圆(x -3)2+(y -3)2=4相切时,b 取得最大值或最小值,如图所示.由圆心C (3,3)到切线x +y =b 的距离等于圆的半径2,可得|3+3-b |12+12=2,即|b -6|=22,解得b =6±22,所以x +y 的最大值为6+22,最小值为6-2 2.故选A.二、填空题11.(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,5)在圆C 上,且圆心到直线2x -y =0的距离为455,则圆C 的方程为________.答案 (x -2)2+y 2=9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,设C (a,0),且a >0,所以圆心到直线2x -y =0的距离d =2a 5=455,解得a =2,所以圆C 的半径r =|CM |=4+5=3,所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=9.12.(2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切,圆心在直线x -3y =0上,且在直线y =x 上截得的弦长为27,则该圆的方程为________.答案 (x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9 解析 ∵所求圆的圆心在直线x -3y =0上, ∴设所求圆的圆心为(3a ,a ),又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|又所求圆在直线y=x上截得的弦长为27,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=|2a| 2,∴d2+(7)2=r2,即2a2+7=9a2,∴a=±1.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.13.(2017·金牛期末)已知a∈R,若方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y +5a=0表示圆,则此圆心坐标是________.答案(-2,-4)解析∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=-1或a=2,当a=-1时,方程化为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程化为x2+y2+x+2y+2.5=0,此时D2+E2-4F<0,方程不表示圆,所以圆心坐标为(-2,-4).14.(2018·河北邯郸模拟)已知圆O:x2+y2=8,点A(2,0),动点M在圆上,则∠OMA的最大值为________.答案π4解析设|MA|=a,因为|OM|=22,|OA|=2,由余弦定理知cos∠OMA=|OM|2+|MA|2-|OA|22|OM||MA|=(22)2+a2-222×22a=142⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +a ≥142×24a ·a =22,当且仅当a =2时等号成立,∴∠OMA ≤π4,即∠OMA 的最大值为π4.三、解答题15.已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ,B .(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程.解 (1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x -3)2+y 2=4,∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0).(2)设M (x ,y ),∵A ,B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点,且M 为AB 的中点,∴由圆的性质知:MC 1⊥MO ,∴MC 1→·MO →=0. 又∵MC 1→=(3-x ,-y ),MO →=(-x ,-y ), ∴由向量的数量积公式得x 2-3x +y 2=0.易知直线l 的斜率存在,∴设直线l 的方程为y =mx , 当直线l 与圆C 1相切时,d =|3m -0|m 2+1=2,解得m =±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2-30x +25=0,解得x =53.当直线l 经过圆C 1的圆心时,M 的坐标为(3,0).又∵直线l 与圆C 1交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2-3x +y 2=0,其中53<x ≤3,其轨迹为一段圆弧.16.已知圆C 经过P (4,-2),Q (-1,3)两点,且y 轴被圆截得的弦长为43,半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程;(2)若直线l ∥PQ ,且l 与圆C 交于点A ,B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点,求直线l 的方程.解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x +y -2=0. 设圆心C (a ,b ),半径为r ,由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y -12=x -32,即y =x -1,所以b =a -1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43, 知r 2=12+a 2,可得(a +1)2+(b -3)2=12+a 2,② 由①②得a =1,b =0或a =5,b =4. 当a =1,b =0时,r 2=13,满足题意, 当a =5,b =4时,r 2=37,不满足题意. 故圆C 的方程为(x -1)2+y 2=13. (2)设直线l 的方程为y =-x +m (m ≠2), A (x 1,m -x 1),B (x 2,m -x 2). 由题意可知OA ⊥OB ,即OA →·OB →=0, ∴x 1x 2+(m -x 1)(m -x 2)=0, 化简得2x 1x 2-m (x 1+x 2)+m 2=0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +m ,(x -1)2+y 2=13, 得2x 2-2(m +1)x +m 2-12=0, ∴x 1+x 2=m +1,x 1x 2=m 2-122, 代入③,得m 2-12-m ·(1+m )+m 2=0,∴m=4或m=-3,经检验都满足题意,∴直线l的方程为x+y-4=0或x+y+3=0.。
人教B版高中数学必修二同步检测圆的一般方程
第2章 2.3 第2课时等比数列的性质一、选择题1.在等比数列{a n }中,a 4+a 5=10,a 6+a 7=20,则a 8+a 9等于( ) A .90 B .30 C .70 D .40[答案] D [解析] ∵q 2=a 6+a 7a 4+a 5=2, ∴a 8+a 9=(a 6+a 7)q 2=20q 2=40.2.等比数列{a n }各项为正数,且3是a 5和a 6的等比中项,则a 1·a 2·…·a 10=( ) A .39B .310C .311D .312[答案] B[解析] 由已知,得a 5a 6=9,∴a 1·a 10=a 2·a 9=a 3·a 8=a 4·a 7=a 5·a 6=9, ∴a 1·a 2·…·a 10=95=310.3.在等比数列{a n }中,若a 3a 5a 7a 9a 11=243,则a 29a 11的值为( )A .9B .1C .2D .3[答案] D[解析] a 3a 5a 7a 9a 11=a 51q 30=243,∴a 29a 11=a 1q 82a 1q10=a 1q 6=5243=3. 4.已知等比数列{a n }中,有a 3a 11=4a 7,数列{b n }是等差数列,且b 7=a 7,则b 5+b 9等于( )A .2B .4C .8D .16[答案] C[解析] ∵a 3a 11=a 27=4a 7,∵a 7≠0, ∴a 7=4,∴b 7=4,∵{b n }为等差数列, ∴b 5+b 9=2b 7=8.5.在等比数列{a n }中,a n >a n +1,且a 7·a 11=6,a 4+a 14=5,则a 6a 16等于( ) A.32 B.23 C.16 D .6[答案] A[解析] ∵⎩⎨⎧a 7·a 11=a 4·a 14=6a 4+a 14=5,解得⎩⎨⎧a 4=3a 14=2或⎩⎨⎧a 4=2a 14=3.又∵a n >a n +1,∴a 4=3,a 14=2.∴a 6a 16=a 4a 14=32. 6.(2010·湖北文)已知等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 9+a 10a 7+a 8=( ) A .1+ 2 B .1- 2 C .3+2 2 D .3-2 2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的公比为q , ∵a 1,12a 3,2a 2成等差数列,∴a 3=a 1+2a 2,∴a 1q 2=a 1+2a 1q ,∴q 2-2q -1=0, ∴q =1±2,∵各项都是正数, ∴q >0,∴q =1+2, ∴q 9+a 10a 7+a 8=q 2=(1+2)2=3+2 2. 二、填空题7.等比数列{a n }中,a n >0,且a 2=1-a 1,a 4=9-a 3,则a 4+a 5等于________. [答案] 27[解析] 由题意,得a 1+a 2=1,a 3+a 4=(a 1+a 2)q 2=9, ∴q 2=9,又a n >0,∴q =3.故a 4+a 5=(a 3+a 4)q =9×3=27.8.已知等比数列{a n }的公比q =-13,则a 1+a 3+a 5+a 7a 2+a 4+a 6+a 8等于________.[答案] -3 [解析]a 1+a 3+a 5+a 7a 2+a 4+a 6+a 8=a 1+a 3+a 5+a 7a 1q +a 3q +a 5q +a 7q=1q=-3.三、解答题9.在等比数列{a n }中,已知a 4·a 7=-512,a 3+a 8=124,且公比为整数,求a 10. [解析] ∵a 4·a 7=a 3·a 8=-512,∴⎩⎨⎧a 3+a 8=124a 3·a 8=-512,解得⎩⎨⎧a 3=-4a 8=128或⎩⎨⎧a 3=128a 8=-4.又公比为整数,∴a 3=-4,a 8=128,q =-2. ∴a 10=a 3·q 7=(-4)×(-2)7=512.10.等差数列{a n }中,a 4=10,且a 3,a 6,a 10成等比数列.求数列{a n }前20项的和S 20.[解析] 设数列{a n }的公差为d ,则a 3=a 4-d =10-d ,a 6=a 4+2d =10+2d ,a 10=a 4+6d =10+6d .由a 3,a 6,a 10成等比数列得a 3a 10=a 26, 即(10-d )(10+6d )=(10+2d )2, 整理得10d 2-10d =0,解得d =0或d =1. 当d =0时,S 20=20a 4=200,当d =1时,a 1=a 4-3d =10-3×1=7, 于是,S 20=20a 1+20×192d =20×7+190=330.能力提升一、选择题1.已知公差不为零的等差数列的第k 、n 、p 项构成等比数列的连续三项,则等比数列的公比为( )A.n -pk -n B.p -np -k C.n -kn -pD.k -pn -p[答案] A[解析] 设等差数列首项为a 1,公差为d ,则q =a n a k =a p a n =a p -a n a n -a k=[a 1+p -1d ]-[a 1+n -1d ][a 1+n -1d ]-[a 1+k -1d ]=p -n n -k =n -pk -n.2.如果数列{a n }是等比数列,那么( ) A .数列{a 2n }是等比数列 B .数列{2a n }是等比数列 C .数列{lg a n }是等比数列 D .数列{na n }是等比数列 [答案] A[解析] 设b n =a 2n ,则b n +1b n =a 2n +1a 2n =(a n +1a n)2=q 2,∴{b n }成等比数列;2a n +12a n =2a n +1-a n ≠常数;当a n <0时,lg a n 无意义,设c n =na n 则c n +1c n =n +1a n +1na n =n +1nq ≠常数. 二、填空题3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是__________.[答案] 3或27[解析] 设此三数为3,a ,b则⎩⎨⎧2a =3+b a -62=3b ,解得⎩⎨⎧a =3b =3,或⎩⎨⎧a =15b =27.∴这个未知数为3或27.4.一种专门占据内存的计算机病毒的大小为2 KB ,它每3s 自身复制一次,复制后所占内存是原来的两倍,则内存为64 MB(1 MB =210KB)的计算机开机后经过________s ,内存被占完.[答案] 45[解析] 计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{a n },且a 1=2×2=4,q =2,则a n =4·2n -1,令4·2n -1=64×210,得n =15,即复制15次,共用45 s.三、解答题5.设正整数数列{a n }为一个等比数列,且a 2=4,a 4=16,求lg a n +1+lg a n +2+…+lg a 2n .[解析] 由a 2=4,a 4=16,得a 1=2,q =2,∴a n =2n . ∴lg a n +1+lg a n +2+…+lg a 2n =lg(a n +1·a n +2·…·a 2n )=lg2(n +1)+(n +2)+…+2n =lg23n 2+n 2=12(3n 2+n )lg2.6.已知a 1=2,点(a n ,a n +1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上,其中n =1,2,3,…. (1)证明数列{lg(1+a n )}是等比数列; (2)求a n 的通项公式.[解析] (1)由已知得a n +1=a 2n +2a n ,∴a n +1+1=a 2n +2a n +1=(a n +1)2∵a 1=2,∴a n +1+1=(a n +1)2>0, ∴lg(1+a n +1)=2lg(1+a n )即lg 1+a n +1lg 1+a n=2,且lg(1+a 1)=lg3 ∴{lg(1+a n )}是首项为lg3,公比为2的等比数列. (2)由(1)知,lg(1+a n )=2n -1·lg3=lg32n -1 ∴1+a n =32n -1∴a n =32n -1-1.7.容积为a L(a >1)的容器盛满酒精后倒出1 L ,然后加满水,混合溶液后再倒出1 L ,又用水加满,如此继续下去,问第n 次操作后溶液的浓度是多少?若a =2,至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%.[解析] 开始的浓度为1,操作一次后溶液的浓度是a 1=1-1a.设操作n 次后溶液的浓度是a n ,则操作n +1次后溶液的浓度是a n +1=a n (1-1a ).所以{a n }构成以a 1=1-1a为首项,q =1-1a 为公比的等比数列.所以a n =a 1q n -1=(1-1a)n ,即第n 次操作后溶液的浓度是(1-1a )n .当a =2时,由a n =(12)n <110,得n ≥4.因此,至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.。
2019届人教B版(文科数学) 圆的方程 单元测试
2019届人教B 版(文科数学) 圆的方程 单元测试1.若方程22448430x y x y +-+-=表示圆,则其圆心为 A .11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B .11,2⎛⎫⎪⎝⎭ C .11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,2⎛⎫-⎪⎝⎭2.若直线0x y a ++=是圆2220x y x +-=的一条对称轴,则a 的值为 A .1 B .1- C .2D .2-3.对于a ∈R ,直线()1210a x y a -++-=恒过定点P ,则以P 为圆心,2为半径的圆的方程是 A .224210x y x y +-++= B .224230x y x y +-++= C .224210x y x y ++-+=D .224230x y x y ++-+=4.若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切,则实数m 的取值范围是 A .(),1-∞- B .()1,-+∞ C .()1,0-D .()1,1-5.已知A (-4,-5)、B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程 A .(x +1)2+(y -3)2=29 B .(x -1)2+(y +3)2=29 C .(x +1)2+(y -3)2=116D .(x -1)2+(y +3)2=116 6.圆上的点到直线的距离最大值是 A .B .C .D .7.圆C 的圆心在y 轴正半轴上,且与x 轴相切,被双曲线2213y x -=,则圆C 的方程为A .()2211x y +-=B .(223x y +-=C .221x y ⎛+= ⎝D .()2224x y +-=8.若直线10l ax by ++=:经过圆M :224210x y x y ++++=的圆心,则()222(2)a b -+-的最小值为A B .5C .D .109.已知圆C :()()22341x y -+-=与圆M 关于x 轴对称,Q 为圆M 上的动点,当Q 到直线2y x =+的距离最小时,Q 点的横坐标为A .2-B .2C .3-D .3±10.过点()1,1P 的直线将圆形区域22{()4|,}x y x y +≤分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 A .20x y +-= B .10y -= C .0x y -=D .340x y +-=11.已知点()1,,Q m -,P 是圆C :()()22244x a y a -+-+=上任意一点,若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=,则m 的值为A .1B .2C .3D .412.已知圆22:230C x y x +--+=,点()0,(0)A m m >,A B 、两点关于x 轴对称.若圆C 上存在点M ,使得0AM BM ⋅=,则当m 取得最大值时,点M 的坐标是A .32⎛⎝B .32⎫⎪⎪⎭C .32⎛ ⎝D .32⎫⎪⎪⎭13.在平面直角坐标系中,三点()0,0O ,()2,4A ,()6,2B ,则三角形OAB 的外接圆方程是 . 14.设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是 . 15.已知x ,y 满足2x -4x -4+2y =0, 则22x y +的最大值为 . 16.已知圆C 的圆心坐标为()00,C x x ,且过定点()6,4P .(1)写出圆C 的方程;(2)当0x 为何值时,圆C 的面积最小,并求出此时圆C 的标准方程.17.在平面直角坐标系xOy 中,已知点()1,2A ,()0,0O .(1)在x 轴的正半轴上求一点M ,使得以OM 为直径的圆过A 点,并求该圆的方程; (2)在(1)的条件下,点P 在线段OM 内,且AP 平分OAM ∠,试求P 点的坐标.18.已知圆过点()1,2A -,()1,4B -.求:(1)周长最小的圆的方程;(2)圆心在直线240x y --=上的圆的方程.19.已知圆()22:25C x y ++=,直线:120l mx y m -++=,m ∈R .(1)求证:对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ; (2)求弦AB 的中点M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.1.(2018天津文)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .1.【答案】C【解析】由题意可知,()()0,0,6,8O C -,则圆心坐标为()3,4-10=,据此可得圆的方程为()()22210342x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭,即()()223425x y -+-=. 本题选择C 选项. 2.【答案】D【名师点睛】本题主要考查两圆关于直线对称的性质,解答本题的关键是利用了两圆关于某直线对称时,两圆圆心的连线和对称轴垂直,斜率之积等于1-,属于基础题. 3.【答案】(1)()()22132x y -+-=;(2)165. 【解析】(1)圆C 的方程可化为()22416x y +-=, 所以圆心为()0,4C ,半径为4,设(),M x y ,则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--,由题意知0CM MP ⋅=,故()()()2420x x y y -+--=,即()()22132x y -+-=, 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.【思路点拨】(1)由圆C 的方程求出圆心坐标和半径,设出M 坐标,由CM 与MP 数量积等于0列式得M 的轨迹方程;(2)设M 的轨迹的圆心为N ,由OP OM =得到ON PM ⊥.求出ON 所在直线的斜率,由直线方程的点斜式得到PM 所在直线方程,由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离,再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM 的长度,代入三角形面积公式得答案. 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:直接利用条件建立x ,y 之间的关系(),0F x y =; (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程;(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; (4)代入(相关点)法:动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而运动,常利用代入法求动点(),P x y 的轨迹方程.4.【答案】B【解析】由224240x y x y ++--=,得圆的标准方程为()()22219x y ++-=,表示以()2,1B -为圆心,3为半径的圆,如图所示,连接OB ,并延长交圆于点A ,此时22x y +取得最大值,又33OA OB r =+=+=,所以(22314OA ==+,即22xy +的最大值为14+,故选B.【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程,以及两点间的距离公式的应用,其中解答中利用数形结合思想,借助圆的特征,找出适当的点A ,把22x y +的最大值转化为原点与A 的距离的平方是解答的关键,着重考查了数形结合思想和推理、计算能力.1.【答案】D【解析】圆的一般方程为:223204x y x y +-+-=,据此可得,其圆心坐标为:21,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,即11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.本题选择D 选项. 2.【答案】B【名师点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程,以及由标准方程求圆心坐标,意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况,属于简单题.由题意可知直线通过圆的圆心,求出圆心坐标代入直线方程,即可得到a 的值. 3.【答案】A【解析】由条件知()1210a x y a -++-=,可以整理为()120,x y x a +-+-=故直线()1210a x y a -++-=过定点P ()2,1-,所求圆的方程为()()22214x y -++=,化为一般方程为224210x y x y +-++=.故选A .4.【答案】D【解析】圆的方程化为标准式为()()22111x y m -++=-,因为过点()2,0有两条直线与圆()()22111x y m -++=-相切,所以点()2,0在圆外.所以()()221021011m m->⎧⎪⎨-++>-⎪⎩,解不等式组得11m -<<,故选D.【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用,属于基础题.由于有两条直线与圆相切,所以可知点在圆外;由点与圆的位置关系及圆的判断条件,可得m 的取值范围. 5.【答案】B6.【答案】D【解析】因为圆心(1,1)C 到直线的距离是,又圆222210x y x y +--+=的半径,所以圆上的点到直线的距离最大值是,故选D .7.【答案】A【解析】设圆C 的方程为()222()0x y a aa +-=>,圆心坐标为()0,a ,∵双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =,∴2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴a =1,∴圆C 的方程为x 2+(y −1)2=1.故选A . 【名师点睛】求圆的方程,主要有两种方法:(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式. 8.【答案】B【解析】由圆的方程知圆心为()2,1--,所以21a b +=,()222(2)a b -+-的几何意义为直线21a b +=上的动点(),a b 与定点()2,2的距离的平方,故过点()2,2向直线21a b +=作垂线段,其长的平方最小,最小值为25d =,故选B.9.【答案】C【解析】圆M 的方程为:()()22341x y -++=,过M (3,−4)且与直线2y x =+垂直的直线方程为1y x =--,代入()()22341x y -++=,得3x =±,故当Q 到直线2y x =+的距离最小时,Q 的坐标为3x =- 10.【答案】A【解析】两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.因为过点()1,1P 的直径所在直线的斜率为1,所以所求直线的斜率为1-,即方程为20x y +-=. 11.【答案】D12.【答案】C【解析】由题得圆的方程为()(2211,x y -+=()0,,B m -设(),,M x y 由于0AM BM ⋅=,所以()()222222,,0,0,,x y m x y m x y m m x y -⋅+=∴+-=∴=+由于22x y +表示圆C 上的点到原点距离的平方,所以连接OC ,并延长和圆C 相交,交点即为M ,此时2m 最大,m 也最大.故选C.13.【答案】22620x y x y +--=【名师点睛】本题主要考查圆的方程和性质,属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标(),x y ,根据题意列出关于,x y 的方程即可; ②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径,写出方程;③待定系数法,可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程,再根据所给条件求出参数即可. 14.【答案】 [-1,1]【解析】由已知圆心(0,0),半径r =1,M 位于直线y =1上,过M 作圆的切线,切点为C ,D (如图).则∠OMN ≤12∠CMD ,∴∠CMD ≥90°.当∠CMD =90°时,则OCM △为等腰直角三角形,故OC =CM =1. ∴所求x 0的取值范围是-1≤x 0≤1.15.【答案】12+【解析】由题意,曲线22440x x y --+=,即为()2228x y -+=, 所以曲线表示一个圆心在()2,0,半径为的圆,又由22x y +表示圆上的点到原点之间距离的平方,且原点到圆心的距离为2,所以原点到圆上的点的最大距离为2+,所以22x y +的最大值为(2210+=+.【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用,其中把22x y +转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.16.【答案】(1) ()()2220000=22052x x y x x x -+--+;(2)05x =,()()22552x y -+-=.【解析】(1) ()()()()2222200000064=22052x x y x x x x x -+-=-+--+;(2)()()()22222000006422052252r x x x x x =-+-=-+=-+,所以05x =时,r,所以min 2,S =π此时圆的标准方程为()()22552x y -+-=. 17.【答案】(1)M ()5,0,2250x y x +-=;(2)5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)设P 的坐标为(),0a ,依题可得,直线OA 的方程为:20x y -=, 直线AM 的方程为:250x y +-=. 因为AP 平分OAM ∠,所以P 点到直线OA 和AM 的距离相等.,得25a a =-,解得5a =-或53a =. 05a <<,53a ∴=,P ∴的坐标为5,03⎛⎫⎪⎝⎭.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的知识,涉及的知识点有:在圆中,直径所对的圆周角为直角;向量垂直,数量积等于零;以某条线段为直径的圆的方程;角平分线的性质.根据题的条件,得到相应的等量关系式,求得结果.18.【答案】(1)x 2+(y -1)2=10;(2)(x -3)2+(y -2)2=20.(2) 解法1:直线AB 的斜率为k =-3,则线段AB 的垂直平分线的方程是y -1=13x .即x -3y +3=0.由圆心在直线240x y --=上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C (3,2).r =|AC |=.∴所求圆的方程为(x -3)2+(y -2)2=20. 解法2:待定系数法设圆的方程为:(x -a )2+(y -b )2=r 2.则.∴所求圆的方程为:(x -3)2+(y -2)2=20.19.【答案】(1)见解析;(2)M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心,12为半径的圆.【解析】(1)圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -,半径为,所以圆心C 到直线:120l mx y m -++=所以直线l 与圆C 相交,即直线l 与圆C 总有两个不同的交点;或:直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=,无论m 怎么变化,直线l 过定点()2,1-.由于()2222115-++=<,所以点()2,1-是圆C 内一点,故直线l 与圆C 总有两个不同的交点.(2)设中点为(),M x y ,因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-, 当直线l 的斜率存在时, 12AB y k x -=+,又2MC yk x =+, 1AB MC k k ⋅=-, 所以1122y y x x -⋅=-++,化简得()()22112224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时,中点()2,0M -也满足上述方程.所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心,12为半径的圆.1.【答案】2220x y x +-=【名师点睛】求圆的方程,主要有两种方法:(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.。
圆与方程单元测试题和答案
圆与方程单元测试题和答案圆与方程单元测试题和答案集团标准化工作小组#Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#圆与方程单元测试题出卷人:杜浩勤一.选择题1.已知A (-4,-5)、B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A .(x +1)2+(y -3)2=29B .(x -1)2+(y +3)2=29C .(x +1)2+(y -3)2=116D .(x -1)2+(y +3)2=1162.圆(x -1)2+y 2=1的圆心到直线y =33x 的距离是( ) C .13.过三点A (-1,5),B (5,5),C (6,-2)的圆的方程是( )A .x 2+y 2+4x -2y -20=0B .x 2+y 2-4x +2y -20=0C .x 2+y 2-4x -2y -20=0D .x 2+y 2+4x +4y -20=04.(08·广东文)经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心C ,且与直线x +y =0垂直的直线方程是( )A .x +y +1=0B .x +y -1=0C .x -y +1=0D .x -y -1=05.与圆x 2+y 2-4x +6y +3=0同圆心,且过(1,-1)的圆的方程是( )A .x 2+y 2-4x +6y -8=0B .x 2+y 2-4x +6y +8=0C .x 2+y 2+4x -6y -8=0D .x 2+y 2+4x -6y +8=06.直线x -y -4=0与圆x 2+y 2-2x -2y -2=0的位置关系( )A .相交B .相切C .相交且过圆心D .相离7.(2012·安徽卷)若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 取值范围是( )A .[-3,-1]B .[-1,3]C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞)8.圆x 2+y 2-2x +4y -20=0截直线5x -12y +c =0所得的弦长为8,则c 的值是( )A .10B .10或-68C .5或-34D .-689.若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x -2)2+y 2=1有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( )A .(-3,3)B .[-3,3] C. ? ????-33,33 D. -33,3310.已知直线ax-by+c=0(ax≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在11.过点P(2,3)引圆x2+y2-2x+4y+4=0的切线,其方程是() A.x=2 B.12x-5y+9=0C.5x-12y+26=0 D.x=2和12x-5y-9=012.点M在圆(x-5)2+(y-3)2=9上,点M到直线3x+4y-2=0的最短距离为() A.9 B.8 C.5 D.213.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y -1=0的位置关系为() A.相交 B.外切 C.内切 D.外离14.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A、B,则线段AB的垂直平分线方程为()A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=015.已知圆C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆C2与圆C1关于点(2,1)对称,则圆C2的方程是()A.(x-3)2+(y-5)2=25 B.(x-5)2+(y+1)2=25C.(x-1)2+(y-4)2=25 D.(x-3)2+(y+2)2=2516.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)连线段PQ中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=117.(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于()A.3 3 B.23 D.1二、填空题18.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m上,则实数m=________.19.圆C:(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C到直线4x+3y-1=0的距离等于________.20.圆心是(-3,4),经过点M(5,1)的圆的一般方程为________.21.圆x2+2x+y2=0关于y轴对称的圆的一般方程是________.22.已知点A(1,2)在圆x2+y2+2x+3y+m=0内,则m的取值范围是________.23.已知直线5x+12y+m=0与圆x2-2x+y2=0相切,则m=________.24.圆:06422=+-+y x y x 和圆:0622=-+x y x 交于,A B 两点,则AB 的垂直平分线的方程是25.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切,则实数a 的值为三、解答题26.已知圆O 以原点为圆心,且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切.(1)求圆O 的方程;(2)求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长.27.(10分)求经过点P (3,1)且与圆x 2+y 2=9相切的直线方程.28.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x -2y -20=0相交于A ,B 两点,求公共弦AB 的长.29.已知直线l :y =2x -2,圆C :x 2+y 2+2x +4y +1=0,请判断直线l 与圆C 的位置关系,若相交,则求直线l 被圆C 所截的线段长.30.已知圆C 1:x 2+y 2-2x -4y +m =0,(1)求实数m 的取值范围;(2)若直线l :x +2y -4=0与圆C 相交于M 、N 两点,且OM ⊥ON ,求m 的值。
2019届人教B版(理科数学) 圆的方程 单元测试
精选题专练(47)圆的方程1.两条直线y=x+2a,y=2x+a 的交点P 在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a 的取值范围是( ) A. B.∪(1,+∞) C. D.∪[1,+∞)【解析】选A.联立解得P(a,3a), 因为点P 在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)2<4,所以-<a<1.2.圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为( )A .2 B.22 C .1 D. 2 解析:圆心C(1,-2),圆心到直线x -y -1=0的距离为d =|1+2-1|2= 2. 答案:D3.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=9【解析】选C.因为圆心(2,-1)到直线3x-4y+5=0的距离d==3,所以圆的半径为3,即圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.4.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点,则△ABC 面积的最小值是( )A .3- 2B .3+ 2C .3-22 D.3-22答案:A5.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积时,该圆的圆心的坐标为 ( ) A.(-1,1) B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,当k=0时,r max==1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).6.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A.5 2 B.10 2C.15 2 D.20 27.圆C通过不同的三点P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,则圆C 的方程为 .【解析】设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则k,2为x2+Dx+F=0的两根,所以k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k,又圆过R(0,1),故1+E+F=0.所以E=-2k-1.故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心C的坐标为.因为圆C在点P处的切线斜率为1,所以k CP=-1,即=-1,所以k=-3.所以D=1,E=5,F=-6.所以所求圆C 的方程为x 2+y 2+x+5y-6=0.答案:x 2+y 2+x+5y-6=08.圆心在直线2x -y -7=0上的圆C 与y 轴交于两点A (0,-4),B (0,-2),则圆C 的方程为 。
2019届北师大版(文科数学) 圆的方程 单元测试
1. 方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,则a 的取值范围是( ) A .a <-2或a >23B .-23<a <0C .-2<a <0D .-2<a <23【答案】D【解析】由题意知a 2+4a 2-4(2a 2+a -1)>0, 解得-2<a <23.2. 若圆心在x 轴上,半径为5的圆O 位于y 轴左侧,且与直线x +2y =0相切,则圆O 的方程是( ) A .(x -5)2+y 2=5 B .(x +5)2+y 2=5 C .(x -5)2+y 2=5 D .(x +5)2+y 2=5【答案】D3. (2017·济南调研)圆心在直线x -2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程是________. 【答案】(x -2)2+(y -1)2=4【解析】设圆C 的圆心为(a ,b )(b >0), 由题意得a =2b >0,且a 2=(3)2+b 2, 解得a =2,b =1,∴所求圆的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4. 4. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A .(x -1)2+(y -1)2=1 B .(x +1)2+(y +1)2=1 C .(x +1)2+(y +1)2=2 D .(x -1)2+(y -1)2=2【答案】D【解析】圆的半径r =12+12=2,∴圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2.5. 在直角坐标系xOy 中,已知A (-1,0),B (0,1),则满足PA 2-PB 2=4且在圆x 2+y 2=4上的点P 的个数为________.【答案】2【解析】设P (x ,y ),则由PA 2-PB 2=4,得(x +1)2+y 2-x 2-(y -1)2=4,即x +y -2=0,所以满足PA 2-PB 2=4的点P 的轨迹是一条直线,方程为x +y -2=0,利用点到直线的距离公式可得圆心(0,0)到直线x +y -2=0的距离d =22=2<2=r .故直线x +y -2=0与圆x 2+y 2=4相交,因此满足题意的点P 的个数为2.6. 抛物线y 2=4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ,B 两点,其准线与x 轴的交点为M ,则过M ,A ,B 三点的圆的标准方程是________.【答案】 (x -1)2+y 2=47. 【盐城市2017届高三年级第三次模拟考试】已知,,,A B C D 四点共面,2BC =,2220AB AC +=,3CD CA =,则||BD 的最大值为 ▲ .【答案】10【解析】 以B ,C 中点为原点,BC 所在直线为x 轴建立坐标轴 设),(y x A ),(00y x D 则)0,1()0,1(C B -2220AB AC +=⇔20)1()1(2222=+-+++y x y x ⇔922=+y x3CD CA =⇔),1(3),1(00y x y x -=-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=33200y y x x⇔ 81)2(2020=++y x 令θθsin 9,cos 9200==+y x(第2020)1(y x ++=θθ22sin 81)1cos 9(+-=θcos 1882-=当1cos -=θ时取到最大值100,故||BD 最大值为108. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :22280x y x ++-=,直线l :(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ,且交圆C 于点B ,D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则三角形AEC 的周长为 ▲ . 【答案】5【解析】易得圆C :22(1)9x y -+=,定点A (10)-,,EA ED =,则3EC EA EC ED +=+=, 从而三角形AEC 的周长为5.9. (2016年全国I 高考)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;【答案】13422=+y x (0≠y )10. 如图,在圆O :224x y +=上取一点(1)A ,E F ,AF =,延长AE ,AF 分别与圆交于点M N ,,则直线MN 的斜率为▲ .【答案】【解析】取点A 关于y 轴的对称点1)A ',易知A '为MN 的中点,连接OA ',则O A MN '⊥,因为OAk '=所以MN k =(提示:本题还可以采取特殊化处理).11平面直角坐标系中,已知点A (1,-2),B (4,0),P (a,1),N (a +1,1),当四边形PABN 的周长最小时,过三点A ,P ,N 的圆的圆心坐标是________.【答案】⎝⎛⎭⎪⎫3,-9812.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(3,4)A -,(9,0)B ,若C ,D 分别为线段OA ,OB 上的动点,且满足AC BD =.(1) 若4AC =,求直线CD 的方程;(2)证明:△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O ).【答案】(1)750x y +-=;(2)△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-. 【解析】(1) 因为(3,4)A -,所以5OA ==,又因为4AC =,所以1OC =,所以34(,)55C -,由4BD =,得(5,0)D ,所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--,即750x y +-=. (2)设(3,4)(01)C m m m -<≤,则5OC m =.则55AC OA OC m =-=-,因为AC BD =,所以5+4OD OB BD m =-=, 所以D 点的坐标为(5+4,0)m ,又设△OCD 的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=,则有()()2220,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以△OCD 的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=, 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=,令2243=0,+2=0x y x y x y ⎧+--⎨⎩,所以0,0.x y =⎧⎨=⎩(舍)或2,1.x y =⎧⎨=-⎩所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-.13. 已知椭圆2221x y m m m+=+的右焦点为F ,右准线为l ,且直线y x =与l 相交于A 点. (Ⅰ)若⊙C 经过O 、F 、A 三点,求⊙C 的方程;(Ⅱ)当m 变化时, 求证:⊙C 经过除原点O 外的另一个定点B ;【答案】(1)22(2)0x y mx m y +--+=;(2)⊙C 经过除原点O 外的另外一个定点B (1,1)-14.【南外仙林分校中学部2017-2018学年第一学期高二年级期中测试】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22116x y m m+=+(m >0)的离心率为45,,A B 分别为椭圆的左、右顶点,F 是其右焦点,P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点.(1)求m 的值及椭圆的准线方程;(2)设过点B 且与x 轴的垂直的直线交AP 于点D ,当直线AP 绕点A 转动时,试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系,并加以证明.(2)由题可知()()()5,0,5,0,4,0A B F -,设()00,P x y .由椭圆的对称性,不妨设00y > ①若04x =,则94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,PF 方程为4x =, AP 方程为15xy =+,()5,2D 以BD 为直径的圆的圆心()5,1,半径为1与直线PF 相切; ②若04x ≠,则AP 方程为()0055y y x x =++ 令5x =,得00105y y x =+,则00105,5y D x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭以BD 为直径的圆的圆心0055,5y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,半径为0055y x + 直线PF 方程为()0044y y x x =--,即()000440y x x y y ---= 圆心M 到直线PF 的距离d ==()002545455x yxx-+=-=055yx+所以圆M与直线PF相切综上所述,当直线AP绕点A转动时,以BD为直径的圆与直线PF相切.。
易错题库-2019年高考数学课时23圆的方程单元滚动精准测试卷文
离等于 1 时,需保证圆心到直线的距离小于
| c| 1,即 13 <1,故- 13<c<13. 本题考查直线与圆的位置
关系,这类试题一般是通过圆心到直线的距离作出判断,转化为圆心到直线的距离问题加以解决.
[ 新题训练 ] (分值: 10 分 建 议用时: 10 分钟)
11.( 5 分) 方程 x- 1lg( x2+ y2- 1) = 0 所表示的曲线图形是 (
)
【答案】 D
【解析】
x2+ y2- 1>0, x- 1lg( x2+ y2- 1) =0 等价于
x- 1= 0
x2+ y2- 或
x>1,
= 0,
)
A. ( - 1,1)
B . ( - 1,0) C
.(0 ,- 1) D
. (1 ,- 1)
【答案】 C
【解析 】方程为 x 2+y 2+ kx + 2y +k2= 0 化为标准方程为
k x+2
2 + (y
+
1)
2=
1-
3k 2 4 ,因为
r 2 =1
3k2 - 4 ≤1,所以当 k= 0 时, r 最大,圆的面积最大,此时圆心为
故选
项 D 中的图形正确.注意其中的变量的限制条件. 12.( 5 分) 在平面直角坐标系 xOy中, 已知圆 x2+ y2=4 上有且仅有四个点到直线
12x- 的取值范围是 ________.
【答案】 ( -13,13) 【解析】 直线 12x- 5y+ c= 0 是平行直线系, 当圆 x2+ y2= 4 上有且只有四个点到该直线的距
C.半个圆
D.两个半圆
【答案】 D
x| - 2+ y- 【解析】原方程即
人教B版高中数学必修二圆的一般方程同步练习
《圆的方程》单元检测 高一数学试题说明:本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为填空题和解答题,共150分,考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷(共60分)一.选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.圆22220x y x y +-+=的周长是( )A .B .2πC D .4π2.点(1,2-a a )在圆x 2+y 2-2y -4=0的内部,则a 的取值范围是( ) A .-1<a <1 B . 0<a <1 C .–1<a <51 D .-51<a <1 3. 圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y -4)2=2B.(x-4)2+(y +3)2=2C.(x+4)2+(y -3)=2D.(x-3)2+(y -4)2=24.两圆x 2+y 2-4x +6y =0和x 2+y 2-6x =0的连心线方程为( ) A .x +y +3=0B .2x -y -5=0C .3x -y -9=0D .4x -3y +7=05.圆心为(11),且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ( )A.22(1)(1)2x y -+-=B.22(1)(1)2x y -++=C.22(1)(1)2x y ++-= D.22(1)(1)4x y -+-=6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( )A.8B.4C.22D.427.如果圆x 2+y 2+D x +E y +F=0与x 轴相切于原点,则( )A .E ≠0,D=F=0B .D ≠0,E ≠0,F=0C .D ≠0,E=F=0D .F ≠0,D=E=08.圆022222=---+y x y x 与直线04=--y x 的位置关系是 ( ) (A)相切 (B)相离 (C)相交 (D)相交且过圆心 9.方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是( ) A .一条直线及一个圆 B .两个点 C .一条射线及一个圆D .两条射线及一个圆10.圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y -11=0的距离等于1的点有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个11.由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线,则切线长的最小值为 ( )A .1B .C D .312.若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点,且∠POQ =120(其中O 为原点),则k 的取值为 ( )A .BC .D 《圆的方程》单元检测高一数学试题 第Ⅱ卷(共90分)二 .填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)13.已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ,两点,则直线AB 的方程是 .14.在空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)与点B(2,-1,6)的距离是__________.15.满足6)3()3(22=-+-y x 的所有实数对),(y x 中,xy的最大值是 __ 16.圆221x y +=上的点到直线8x y -=的距离的最小值 . 三.解答题:(本题共6小题,共74分)17.求圆心在直线2x-y -3=0上,且过点(5,2)和(3,-2)的圆的方程. (12分)18. 过圆(x -1)2+(y -1)2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程. (12分)19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若︒=∠90APB .求m 的值.(12分)20.已知直角坐标平面内点Q(2,0),圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. (12分)21. 自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线m所在直线与圆C:x2 + y2 -4x-4y +7 = 0相切,求光线L、m所在的直线方程.(12分)22.已知圆C :034222=+-++y x y x⑴若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等,求此切线方程;⑵从圆C 外一点P(x,y)向该圆引一条切线,切点为M ,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P 的坐标。
2019-2020年高考数学总复习9.3圆的方程演练提升同步测评文新人教B版
2019-2020年高考数学总复习9.3圆的方程演练提升同步测评文新人教B版2 21. (xx •课标全国n )圆x + y -2x—8y +13= 0的圆心到直线ax+ y —1 = 0的距离为1,则a=( )A.C. 3 D . 2【解析】圆的方程可化为(x —1)2+ (y —4) 2= 4,则圆心坐标为(1 , 4),圆心到直线ax【答案】A2. (xx •北京)圆(x+ 1)2+ y2= 2的圆心到直线y= x+ 3的距离为(A. 1 B . 2C. 2 D . 2 2【解析】由题知圆心坐标为(一1, 0),将直线y = x+ 3化成一般形式为x —y+ 3= 0,故圆心到直线的距离d=丄二一0i工=书.故选C. 寸12+(- 1) 2址【答案】C3. (xx •石家庄一检)若圆C的半径为1,点C与点(2 , 0)关于点(1 , 0)对称,则圆C的标准方程为()A. x2+ y2= 1 B . (x—3)2+ y2= 12 2 2 2C. (x—1) + y = 1 D . x + (y—3) = 1【解析】因为点C与点(2 , 0)关于点(1 , 0)对称,故由中点坐标公式可得C(0 , 0),所以所求圆的标准方程为x2+ y2= 1.【答案】A4. (xx •全国卷n)已知三点A(1 , 0) , B(0 , 3) , C(2 , 3),则△ ABC外接圆的圆心到原点的距离为()5A-33c.I D.433【解析】设圆的- 「般方程为2 2x + y + Dx+ Ey+ F= 0,B.+ y —1 = 0的距离为| a+ 4—1|a2+ 14=1,解得a= — 3.故选A.2=20. 又圆与直线2x + y + 1 = 0相切,所以圆心到直线的距离 2当且仅当2a =-,即卩a = 1时取等号,a.5,所以圆心坐标为(1 , 2), 圆的半径的最小值为,5,则所求圆的方程为(x — 1)2+ (y — 2)2= 5. 【答案】A6. (xx •福建师大附中联考)与圆C: x 2+ y 2— 2x + 4y = 0外切于原点,且半径为 2 5的圆的标准方程为 __________ .【解析】 所求圆的圆心在直线 y = — 2x 上,所以可设所求圆的圆心为(a ,— 2a )(a v 0), 又因为所求圆与圆2 2 .,C : x + y — 2x + 4y = 0外切于原点,且半径2 , 5,所以 I a 2+(— 2a )=2 5,可得a 2= 4,则a = — 2或a = 2(舍去)•所以所求圆的标准方程为2(x + 2) + (y — 4)【答案】(x + 2)2+ (y — 4)2= 20丁1 + D + F = 0, 则 3+ 3E + F = 0,.7 + 2D + 寸3E + F = 0,5. (xx •绥化重点中学联考)圆心在曲线y = -(x >0)上,且与直线2x + y + 1 = 0相切的X面积最小的圆的方程为()22A. (x — 1) + (y — 2) = 522B. (X — 2) + (y — 1) = 522C. (x — 1) + (y — 2) = 2522D. (x — 2) + (y — 1) = 252【解析】 由圆心在曲线y = x ( x >0)上,xD=— 2,解得E =—学,3F = 1.••• △ ABC 外接圆的圆心为故△ ABC 外接圆的圆心到原点的距离为设圆心坐标为a a 卜 a >0.22a +a +14+ 1. . 2 2 . .7. 已知圆O x + y = 1,直线x — 2y + 5= 0上动点P ,过点P 作圆O 的一条切线,切点为A,则PO PA 勺最小值为【解析】圆心O 到直线x — 2y + 5= 0的距离为三=5,即 | P O min = ■ 5.•/ PA 与圆 O 相切,••• PAIOA 即 P A- AO= 0,—P —P —P —P —P —P 2 ~P 2 ~P 2• PO- PA= (PA^A O - PA=P A = | PO 2— | A O 2》5 — 1 = 4.【答案】4.. 2 2 ..8. (xx •山东烟台一模)已知直线I : x — y + 4= 0与圆C : (X — 1) + (y — 1) = 2,圆C 上各点到直线I 的距离的最小值为a ,最大值为b ,贝U a + b= _________ .【解析】 由圆的标准方程得圆心 C 的坐标为(1 , 1),半径r = .2,则圆心(1 , 1)到直离的最小值 a = d — r = 2 2 — 2= 2,最大值 b = d + r = 2 2 + 2 = 3 2,故 a + b = 4 2.【答案】429.一圆经过 A (4 , 2) , B ( — 1, 3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,求此圆的方程.【解析】 设所求圆的方程为 x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0. 令 y = 0,得 x 2+ Dx + F = 0,所以 X 1 + X 2=— D. 令 x = 0,得 y 2+ Ey + F = 0,所以 y 1 + y 2=— E . 由题意知一D- E = 2, 即卩D + E + 2 = 0.① 又因为圆过点 A B ,所以16+ 4 + 4D + 2E + F = 0.② 1 + 9 — D + 3E + F = 0.③解①②③组成的方程组得 D =— 2, E = 0, F =— 12. 故所求圆的方程为 x 2+ y 2— 2x — 12 = 0.10. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为 2.2,在y 轴上截得线 段长为2 3.(1) 求圆心P 的轨迹方程;(2) 若P 点到直线y = x 的距离为石2,求圆P 的方程. 【解析】(1)设Rx , y ),圆P 的半径为r .2 2 2 2• y + 2 = x + 3, 即卩 y — x = 1.线I 的距离d =|1 — 1 + 4|2 2>〔2 = r ,所以直线l 与圆C 相离,则圆C 上各点到l 的距2=20.2只 2 2小2则 y + 2= r , x + 3= r .2 < b —1 a +1 题意得\=—1 , b +1一 21 = o ,a = 2,22解得^=_2,所以圆°的方程为(x 一 2)+ (y + 2)= 1.••• P 点的轨迹方程为y 2— x 2= 1.(2)设P 的坐标为(x o , y o ), 则 1 x o—2y o 1=# 即 I —屮|= 1.•• y o 一 x o =± 1,即 y o = x o ± 1.2 o22① 当 y o = x o + 1 时,由 y o — x o = 1 得(x o + 1) — x o = 1.£ 小 x o= 0,2 o • r = 3.y o = 1,•••圆 P 的方程为 x 2 + (y — 1)2= 3.② 当 y °= X o — 1 时,由 y O — x O = 1 得(X o — 1)2— x O = 1.x O= o , 2 _--r = 3.y °=— 1,•••圆 P 的方程为 x 2 + (y + 1)2= 3. 综上所述,圆P 的方程为x 2+ (y ± 1)2= 3.B 组专项能力提升 (时间:3o 分钟)11.(xx •深圳五校联考)已知直线I : x + my+ 4 =o ,若曲线x 2+ y 2+ 2x — 6y + 1 = o 上 存在两点P, Q 关于直线I 对称,则m 的值为()A. 2 B 2 C. 1D. — 12 2 2 2 2【解析】 因为曲线x + y + 2x — 6y + 1 = o 是圆(x + 1) + (y — 3) = 9,若圆(x + 1) +(y2—3) = 9上存在两点P, Q 关于直线I 对称,则直线I : x + my^ 4= o 过圆心(一 1, 3),所以 —1 + 3讨4= o ,解得 m=— 1.【答案】D12. (xx •济南模拟)已知圆C : (x + 1)2 + (y — 1)2= 1,圆C 2与圆C 关于直线x — y — 1 =o 对称,则圆C 2的方程为()22A. (x + 2) + (y — 2) = 122B. (x — 2) + (y + 2) = 122C. (x + 2) + (y + 2) = 122D. (x — 2) + (y — 2) = 1【解析】 设圆C 的圆心坐标 G ( — 1, 1)关于直线x — y — 1 = 0的对称点为(a , b ),依【答案】B13. (xx •浙江)已知a € R,方程a 2x 2+ ( a + 2) y 2 + 4x + 8y + 5a = 0表示圆,则圆心坐标 是 ________ ,半径是 ________ .2 2 2 ____________________________________________________ 2【解析】 方程ax + (a + 2)y + 4x + 8y + 5a = 0表示圆,则 a = a + 2,故a =- 1或2.5f 1 ¥当 a = 2 时,方程为 4X 2+ 4y 2 + 4x + 8y + 10= 0,即 x 2 + y 2 + x + 2y + 0,亦即 j x ++ (y5+1) 2=- 4,不成立,故舍去;当a =- 1 时,方程为 x 2 + y 2 + 4x + 8y — 5= 0,即(x + 2)2 +(y + 4) = 25,故圆心为(一2,— 4),半径为5.【答案】(一2,— 4)514. 已知定点 A (0 , 1),巳0 ,- 1), C (1 , 0),动点 P 满足:AP- B F = k | P C 2. (1) 求动点P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;⑵ 当k = 2时,求|2 AP+ Bp 的最大值、最小值.【解析】(1)设动点坐标为F ( x , y ),则AF = (x , y - 1), BP = (x , y + 1) , PC = (1 - x ,- y ). 因为云P ・ BF = k | P C 2,所以 x 2+ y 2- 1 = k [( x - 1)2+ y 2], 整理得(1 - k ) x 2+ (1 - k ) y 2+ 2kx - k - 1 = 0.若k = 1,则方程为x = 1,表示过点(k , 0)且平行于y 轴的直线.(2) 最大值为3+ .37,最小值为.37— 3. 15. (xx •河南中原名校第三次联考)已知圆C 的方程为x 2+ (y - 4)2= 1 ,直线I 的方程为2x - y = 0,点P 在直线l 上,过点P 作圆C 的切线PA PB 切点为 A, B.(1) 若/ APB= 60°,求点P 的坐标;(2) 求证:经过 A , P , Q 其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定 点的坐标.【解析】(1)由条件可得圆 C 的圆心坐标为(0 , 4) , PC = 2,设P (a , 2a ),则 a 2+( 2a -4) 2 = 2,解得a = 2或a =6,所以点P 的坐标为(2 , 4)或5 , 12 . (2)设Ra ,2a ),过点A, P, C 的圆即是以PC 为直径的圆,其方程为x (x -a ) + (y -4)( y为圆心,以占为半径的圆.若k 丰1,则方程为2 2 2 2-2a) = 0,整理得x + y - ax -4y- 2ay+ 8a= 0,即(x + y -4y) - a(x + 2y- 8) = 0.X 2 + y 2— 4y = 0,由1x + 2y — 8 = 0 •••该圆必经过定点(0, 4)和5,16 .2019-2020年高考数学总复习9.4直线与圆圆与圆的位置关系演练提升同1.(xx •广东)平行于直线2x + y +1 = 0且与圆x 2+ y 2= 5相切的直线的方程是()A. 2x + y + 5 = 0 或 2x + y — 5 = 0B. 2x + y + 5= 0 或 2x + y — 5= 0C. 2x — y +5= 0 或2x — y — 5 = 0D.2x — y +5= 0 或 2x — y —「5 = 0|0 + 0 + c | I —【解析】 设所求直线方程为 2x + y + c = 0,依题有 ------ 2 2 = 5,解得c =± 5,所半 + 12¥以所求直线方程为 2x + y + 5= 0或2x + y — 5= 0,故选A.【答案】A2. (xx •江西吉安一中月考 )圆 x 2+ y 2— 2x + 4y = 0 与直线 2tx — y — 2 — 2t = 0(t € R)的 位置关系为()A.相离 B .相切 C.相交D.以上都有可能【解析】 直线2tx — y — 2— 2t = 0恒过点(1 , — 2),2 2•/ 1 + ( — 2) — 2X 1+ 4X ( — 2) =— 5V 0, •••点(1 , — 2)在圆 x 2+ y 2— 2x + 4y = 0 内.2 2•直线 2tx — y — 2— 2t = 0 与圆 x + y — 2x + 4y = 0 相交,故选 C. 【答案】C 3. (xx •山西太原模拟)若圆C : x 2+ y 2= 1与圆C 2: x 2 + y 2— 6x — 8y + m = 0外切,则 m=( )x = 0,得「 y = 4 或16y =,A. 21B.19C. 9D.—11【解析】圆C的圆心为C(0 , 0),半径「1= 1,因为圆C2的方程可化为(x —3)2+ (y —4)2 = 25- m 所以圆 C 2 的圆心为 C 2(3 , 4),半径 “*25 — m * 25).从而 | CQ| 32 + 42=5.由两圆外切得|CC | = r i + g 即卩1+寸25— m= 5,解得 m= 9,故选C.【答案】C. . 2 2 __________________________________________________________________________ _)已知直线y = x + m 和圆x + y = 1交于A, B 两点,O 为坐2 2m — 1m — 1y 1), B (X 2, y 2),贝U X 1 + X 2= — mX 1X 2=—,所以y 1y 2= —因为 AO = ( — X 1,— y 1), AB= (X 2 — X 1, y 2 — y 1),所以 X O- AB= ( — X 1,— yj •( X 2 —X 1,222m — 1 3 &力 / 口y 2 — y" = — X 1( X 2— X 1)+ ( — y”( y 2 — yj =— X 1X 2—y 1y 2+ X 1 + y 1 = — 2 ・一—+1 =刁 解得 m=±^~,满足题意.故选 C.【答案】C5. (xx •四川宜宾模拟)如果实数x , y 满足(X — 2)2+ y 2= 3,那么y 的最大值是()A 迪 A.3 B 亜 B 3C. 3 1D. 1【解析】设- =k ,则y = kx 表示经过原点的直线,k 为直线的斜率.X所以求X 的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值. 从图中可知,斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切, 此时的斜率就是其倾斜角/ EOC 勺正切值.由题意,得| OC = 2, | CE = ' 3,所以| OE = 1. k = | O E = . 3,即为-的最大值,故选 丨OE xC.4. (xx •辽宁大连双基测试 标原点.__ Q 若A O - A B =刁则实数m=( )A.C.【解析】 r 22彳x + y = 1, y = x + n , 得 2x 2+ 2 m )+ 卅一1 = 0. △= 8 — 4用> 0,所以一2v m< 2 设 A (x ,【答案】C6. (xx •云南名校联考)已知圆O x 2 + y 2= 1直线x — 2y + 5= 0上动点P ,过点P 作圆0的一条切线,切点为 A,则| PA 的最小值为 ___________ .【解析】 过0作0P 垂直于直线x — 2y + 5 = 0,过P 作圆O 的切线PA 连接OA 易知 |1 X 0 — 2X 0+ 5| 厂此时|PA 的值最小•由点到直线的距离公式,得 |OP = ------------- 2= 5.又|OA = 1, 所以 I PA = .|OP 2—|OA 2= 2.【答案】2 7.(xx •北京海淀模拟)已知圆C :(X — 2)2+ y 2= 4, 直线 11: y =^x ,丨2: y = kx — 1.若1i , 12被圆C 所截得的弦的长度之比为 1 : 2,则k 的值为 _____________ .【解析】 圆C: (x — 2)2 + y 2= 4的圆心为C (2 , 0),半径为2.圆心到直线1 i : y = 3x 的距离为2 =材3,所以直线1 i 被圆C 所截得的弦长为2 4 — 3 =2.圆心到直线12: y = kx — 1的距离d = --- 2,所以12被圆C 所截得的弦长为4 = 2 4 — d ,\1 + k所以d = 0,所以 12k — 1 = 0, k =—.2【答案】12 28. (xx •课标全国I )设直线y = x + 2a 与圆C : x + y — 2ay — 2 = 0相交于 若I AB = 2心,则圆C 的面积为 _________ .【解析】 把圆C 的方程化为x 2+ (y — a )2= 2+ a 2,则圆心为(0 , a ),半径圆心到直线x — y + 2a = 0的距离d =吁!.由r 2= d 2+ 则『=4,所以圆的面积 S = n r 2 = 4 n . 【答案】4 nt € R,0)为圆心的圆与x 轴交于点 O A ,与y 轴交于点 O B,其中O 为原点.(1)求证:△ OAB 勺面积为定值;A B 两点,r = a 2+ 2.今 2,得 a 2+ 2=a + 3,解得a 2= 2,⑵设直线y =-2x + 4与圆C交于点M N若|0M = |ON,求圆C的方程.2 2 4【解析】⑴证明•••圆C过原点Q且|0C = t +:p.•••圆C的方程是(x-1)2+ y —2= t2+ 右,人 f 4令x = 0,得y i= 0, y2 = ”;令y = 0,得x i= 0, X2 = 2t ,1 1 4••• & OAB= 2 |OA • |OB = x t|2t| = 4,即△ OAB勺面积为定值.(2)•••|OM =|ON, |CM =|CN ,• OC垂直平分线段MN-k MN= —2,2 1•-1 =才,解得t = 2 或t = — 2.当t = 2时,圆心C的坐标为(2 , 1) , | OC = _ 5, 此时C到直线y=—2x + 4的距离d=^<、/5,圆C与直线y= —2x + 4相交于两点.当t = —2时,圆心C的坐标为(一2,—1), |OC = 5,此时C到直线y=—2x + 4的距离d =圆C与直线y= —2x + 4不相交,• t =—2不符合题意,舍去. •••圆C 的方程为(x —2)2+ (y —1)2= 5.10. (xx •广东)已知过原点的动直线I与圆C: x2+ y2—6x+ 5= 0相交于不同的两点A,B(1) 求圆C的圆心坐标;(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3) 是否存在实数k,使得直线L:y= k(x—4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)由已知得,圆C的标准方程为(x—3)2+ y2= 4,所以圆C的圆心坐标为(3 ,⑵由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y = tx ,A(X1,y1), B(X2, y2)( X 10)., , X i + X 2y i +、2、丰X 2),线段 AB 的中点 Mx o , y o ) i 其中x o = 2—,y o = 2—,将y = tx 代入圆C 的方程,整理得(1 +12) x 2 - 6x + 5 = 0. n「亠 6 则有 X l + X 2= i + t 2,3^ 、 3t所以X o = 1 + t 2,代入直线 l 的方程,得y o = 1 + t 2.2 2因为 2, 2 9 , 9t 9 ( 1+1 ) 93因为 X o +y o =( 1 +12)2 +( 1 +12)2 =( 1 +12)2 = 1+T = 3X 0, 所以 X o -1 2+ y 2 = 4.又因为方程(1 + t 2)x 2-6x + 5 = 0有两个不相等的实根,所以 △ = 36 — 20(1 +12) > 0,o 45解得t 2v 4,所以5v X 0<3.5 3所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为j x -1 + y 2 = 9|v x < 3 .3 229由 x -2+ y= 4,得y = k (x — 4)2 2 2 2(1 + k )x -(3 + 8k )x + 16k = 0.当直线L 与曲线C 相切时,判别式 △= 0,解得k =± |结合图形可以判断,当直线 LB 组专项能力提升(时间:30分钟)11. (xx •四川双流中学月考)已知点Rx , y )是直线kx + y + 4 = 0( k >0)上一动点,PA 是圆C: x 2+ y 2-2y = 0的一条切线,A 为切点,若PA 长度的最小值为2,则k 的值为()⑶由⑵知,曲线C :243v x <3.如图,D 5,竽)<!,-,F (3 , 0),直线L 过定点G 4 , 0).与曲线C 只有一个交点时, 有 k ocr C k w k EG 或 k = k GH 或 k = k Gi ,即卩k €-铲,【答案】|)已知矩形ABCD 勺对角线交于点 P (2 , 0),边AB 所在的直A. 3B..21 C. 2【解析】圆C: x 2+ y ,2— 2y = 0 的圆心为 C (0 , 1), r = 1.当 PC 与直线 kx + y + 4= 0( k> 0)垂直时,切线长 | PA 最小.在 Rt △ PAC 中,| PC =」PA 2 + |AC 2= ,5,即点 C 到直线 kx + y + 4= 0( k >0)的距离 为 5, d =「k 2+ 1【答案】D-J 5,「. k =± 2.又T k >0,二 k = 2.故选 D. )已知圆 C : (x — 3)2+ (y — 1)2= 1 和两点 A — t , 0), B (t ,0), (t >0).若圆C 上存在点P,使得/ APB= 90°,则t 的最小值为()12. (xx •重庆巴蜀中学月考 A. 4 C. 2【解析】由题意以AB 径为1,以AB 为直径的圆的圆心为(0 , 0),半径为t ,则| t — 1| < .(I 3) 2+ 12< t + 1 , 解得K t < 3.所以t 的最小值为1,故选D.【答案】D13 . •河南郑州一中模拟)过点F (1 , 3)作圆x 2+ y 2= 1的两条切线,切点分别为 A,B,则 PA- PB=【解析】如图,连接OA OB PQ 则 |OA = |OB = 1, |PO = 2, OAL PA OBL PB在 Rt △ PAO 中,|OA = 1, | PO = 2, | PA = 3,.・./ OP = 30°,.・./ BPA= 2 / OPA=60° . 14. (xx •福建四地六校联考线方程为x + y — 2= 0,点(一1,(1)求矩形ABCD 勺外接圆方程;⑵ 已知直线l : (1 — 2k ) x + (1 + k )y — 5+ 4k = 0( k € R),求证:直线l 与矩形ABCD 的 外接圆相交,并求最短弦长.【解析】(1)依题意得 ABL AD ,•/ k A ^— 1,「. k AD = 1, •••直线AD 的方程为y — 1 = x + 1,即卩y = x + 2.f x + y — 2= 0, f x = 0,解得 即A (0 , 2).x — y + 2= 0, y = 2,矩形ABCD 的外接圆是以 P (2 , 0)为圆心,|AP = 为半径的圆,方程为(x — 2)3 4 5 + y 2 =8.⑵ 证明•••直线I 的方程可整理为(x + y — 5) + k (y — 2x + 4) = 0, k € R,x + y — 5= 0,f x = 3,•解得•直线I 过定点M 3 , 2).y — 2x + 4 = 0. y = 2,又•••点M 3 , 2)在圆内,.••直线I 与圆相交. •••圆心P 与定点M 的距离d = 5,•最短弦长为2 8— 5 = 2 3.15. (xx •江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以M 为圆心的圆 M x 2+ y 2 — 12x—14y + 60= 0 及其上一点 A (2 , 4).3 设圆N 与x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心N 在直线x = 6上,求圆N 的标准方程;4 设平行于0A 的直线l 与圆M 相交于B , C 两点,且BC = OA 求直线l 的方程;5 设点T (t , 0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q 使得节A + T P = T Q 求实数t 的取值范 围.【解析】 圆M 的标准方程为(x — 6)2+ (y — 7)2= 25,所以圆心 M 6 , 7),半径为5. (1) 由圆心N 在直线x = 6上,可设N (6 , y o ).因为圆N 与x 轴相切、与圆 M 外切,所以 0v y °v 7,于是圆N 的半径为y ° ,从而7— y °= 5+ y ,解得y °= 1.因此,圆N 的标准方程为(x — 6)2+ (y — 1) 2= 1.4 — 0(2) 如图所示,因为直线l // OA 所以直线l 的斜率为=2.2 — 01)在边AD 所设直线I 的方程为y = 2x + m即 2x — y + m= 0,因为 BC= OA=述2 + 4 = 2 5,解得 n == 5 或 n ==— 15. 故直线I 的方程为2x — y + 5 = 0或2x — y — 15= 0. (3)设 Rx i , y i ), Q X 2, y 2).因为 A (2 , 4) , T (t , 0),节A + T P = T Q因为点Q 在圆M 上,所以(X 2— 6)6+ (y 2— 7)2= 25.② 将①代入②,得(X 1 — t — 4)2+ (y 1— 3)2= 25._226 2 2 2从而圆(x — 6) + (y — 7) = 25与圆[x — (t + 4)] + (y — 3) = 25 有公共点, 所以 5— 5W 〔[ (t + 4)— 6]2+( 3— 7) 2< 5 + 5, 解得 2— 2 21 < t < 2 + 2 21.因此,实数t 的取值范围是[2 — 2 21, 2 + 2 .21].则圆心M 到直线I 的距离d = |2 x 6—7+m|耐5|所以25=2-+ 5,所以 X 2= x i + 2 — t y 2= y 1+ 4.而 MC = d 2+于是点P(X1, y1)既在圆M上,又在圆[x—(t + 4)] + (y—3) = 25上,。
圆的一般方程(基础过关练习)-2023学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2.3.2圆的一般方程(基础过关)题型一:理解圆的一般方程1、圆(x+1)2+(y−3)2=2的一般方程是()A.x2+y2=6B.x2+y2+8=0C.x2+y2−2x+8y+6=0D.x2+y2+2x−6y+8=02、圆x2+y2+4x−6y−3=0的标准方程是()A.(x−2)2+(y−3)2=16B.(x−2)2+(y+3)2=16C.(x+2)2+(y−3)2=16D.(x+2)2+(y+3)2=163、已知点A(1,2)在圆C:x2+y2+2x+3y+m=0外,则实数m的取值范围是()A.(−13,+∞)B.(−13,134)C.(−∞,134)D.(−∞,−13)∪(134,+∞)4、若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x−4y=0的圆心,则a的值为()A.−1B.1C.3D.−35、圆的方程为(x−1)(x+2)+(y−2)(y+4)=0,则圆心坐标为()A.(1,−1)B.(12,−1)C.(−1,2)D.(−12,−1)6、如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为7、圆的方程为x2+y2+2ax−2ay=0,给出下列叙述:①圆心在直线y=−x上;②圆心在x轴上;③过原点;④半径为√2a,其中叙述正确的是题型二:求圆的一般方程8、过点A(1,√5)和B(2,−2√2),且圆心在x轴上的圆的一般方程为()A.x2+y2−6y=0B.x2+y2+6y=0C.x2+y2+6x=0D.x2+y2−6x=09、经过三点(0,0)、(1,1)、(2,0)的圆的一般方程为10、圆心在直线y=x上,且经过点A(−1,1)、B(3,−1)的圆的一般方程是11、求过点(−1,1),且圆心与圆x2+y2−6x−8y+15=0的圆心相同的圆的方程12、已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y−1=0上,且圆心在第二象限,半径为√2,求圆的一般方程题型三:圆的一般方程的应用13、已知圆C:x2+y2+mx−4=0上存在两点关于直线x−y+3=0对称,则实数m的值为()A.8B.−4C.6D.无法确定14、已知两定点A(−2,0)、B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π15、已知圆C:x2+y2−4x−14y+45=0及点Q(−2,3)(1)若点P(a,a+1)在圆上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率(2)若M为圆C上的任一点,求|MQ|的最大值和最小值。
2019-2020学年高一数学必修二(圆的方程)单元测试卷及答案详解
2019-2020学年高一数学必修二(圆的方程)单元测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知圆22:4C x y +=,若点()00,P x y 在圆外,则直线00:4l x x y y +=与圆C 的位置关系为 ( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定2.圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点()3,1A ,则直线l 的方程为( ). A. 250x y --= B. 210x y --= C. 20x y --= D. 40x y +-=3.若220x y x y m +-+-=,表示一个圆的方程,则m 的取值范围是( ). A. 12m <- B. 12m ≥- C. 12m >- D. 2m >- 4.直线30x y -+=被圆()()22222x y ++-=截得的弦长等于( )A.B.C.D.5.已知点()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为( ).A. 30x y --=B. 230x y +-=C. 210x y +-=D. 250x y --=6.圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系是( )A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切7.若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A. 1⎡-+⎣B. 1⎡⎤-⎣⎦C. 1,1⎡-+⎣D. 1⎡⎤-⎣⎦8.若直线l :ax +by +1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x +2y +1=0的周长,则(a -2)2+(b -2)2的最小值为 ( )A. B. 5D. 109.若圆x 2+y 2-2ax +3by =0的圆心位于第三象限,那么直线x +ay +b =0一定不经过 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10.已知圆C 过点M (1,1),N (5,1),且圆心在直线y =x -2上,则圆C 的方程为 ( )A. x 2+y 2-6x -2y +6=0B. x 2+y 2+6x -2y +6=0C. x 2+y 2+6x +2y +6=0D. x 2+y 2-2x -6y +6=011.若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1,则实数a 的值为( )A. 1±B. 4±C.D. 2± 12.已知直线l 为圆224x y +=在点处的切线,点P 为直线l 上一动点,点Q 为圆。
2019届二轮(文科数学) 圆的标准方程 专题卷(全国通用)
2019届二轮(文科数学) 圆的标准方程 专题卷(全国通用)一、选择题1.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,3)的圆的方程为 A .x 2+(y –3)2=1 B .x 2+(y +3)2=1C .(x –3)2+y 2=1D .(x +3)2+y 2=1【答案】A【解析】设圆心坐标为(0,a ),∵圆的半径为1,且过点(1,3),∴(0–1)2+(a –3)2=1,解得a =3,∴所求圆的方程为x 2+(y –3)2=1,故选A .2.已知圆C :(x –6)2+(y –8)2=4,O 为坐标原点,则以OC 为直径的圆的方程为 A .(x –3)2+(y +4)2=100 B .(x +3)2+(y –4)2=100 C .(x –3)2+(y –4)2=25D .(x +3)2+(y –4)2=25【答案】C3.圆(x –1)2+(y –1)2=2关于直线y =kx +3对称,则k 的值是 A .2B .–2C .1D .–1【答案】B【解析】圆(x –1)2+(y –1)2=2关于直线y =kx +3对称,则直线过圆心(1,1),即1=k +3,解得k =–2.故选B .4.已知圆M 经过点(1,2),且圆心为(2,0),那么圆M 的方程为 A .(x –2)2+y 2=5 B .(x +2)2+y 2=5C .(x –2)2+y 2=3D .(x +2)2+y 2=3【答案】A【解析】因为圆M 经过点(1,2),且圆心为(2,0),所以圆的半径为22(12)(20)5-+-=.所以圆的标准方程为(x –2)2+y 2=5.故选A .5.以两点A (–3,–1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是 A .(x –1)2+(y –2)2=25 B .(x +1)2+(y +2)2=25 C .(x +1)2+(y +2)2=100D .(x –1)2+(y –2)2=100【答案】A【解析】由题意可得,圆心为线段AB的中点C(1,2),半径为r=12AB=221862+=5,故要求的圆的方程为(x–1)2+(y–2)2=25,故选A.学6.与x轴相切,且圆心坐标为(–2,3)的圆的标准方程为A.(x+2)2+(y–3)2=4 B.(x–2)2+(y+3)2=4C.(x+2)2+(y–3)2=9 D.(x–2)2+(y+3)2=9【答案】C【解析】∵与x轴相切,且圆心坐标为(–2,3)的圆的半径为3,故该圆的标准方程为(x+2)2+ (y–3)2=9,故选C.7.圆心在直线2x+y=0上,并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C8.以A(1,–1)为圆心且与直线x+y–2=0相切的圆的方程为A.(x–1)2+(y+1)2=4 B.(x–1)2+(y+1)2=2C.(x+1)2+(y–1)2=4 D.(x+1)2+(y–1)2=2【答案】B【解析】根据题意,圆的圆心到直线的距离,就是半径,则r=222-=.∴圆的方程为(x–1)2+(y+1)2=2.故选B.9.点P(m2,6)与圆的x2+y2=25的位置关系是A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定【答案】A【解析】将点P的坐标代入x2+y2得,m4+62>25,所以,点P在圆x2+y2=25外,故选A.二、填空题10.已知圆C的圆心在坐标原点,截直线x–9y+41=0所得的弦长为82,则圆的方程为.【答案】x2+y2=41【解析】由题意可得圆心C 到直线x –9y +41=0的距离为00414118182-+=+,故半径r =22418241282⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故所求的圆的方程为x 2+y 2=41,故答案为:x 2+y 2=41.学 11.已知圆M 与直线x –y =0及x –y +4=0都相切,圆心在直线y =–x +2上,则圆M 的标准方程为 .【答案】x 2+(y –2)2=212.圆心为(1,0),且与直线y =x +1相切的圆的方程是 .【答案】(x –1)2+y 2=2【解析】圆的半径为点(1,0)到直线直线y =x +1的距离,即r =10122-+=,故圆的方程为(x –1)2+y 2=2,故答案为:(x –1)2+y 2=2.13.圆(x +1)2+(y –3)2=36的圆心C 坐标 ,半径r = .【答案】(–1,3),6【解析】圆(x +1)2+(y –3)2=36的圆心C 的坐标为(–1,3),半径为r =6.故答案为:(–1,3),6. 14.已知圆的圆心在点(1,2),半径为2,则圆的标准方程为 .【答案】(x –1)2+(y –2)2=4【解析】∵圆的圆心在点(1,2),半径为2,∴圆的标准方程为:(x –1)2+(y –2)2=4. 三、解答题15.已知圆C 的圆心在直线x –2y –3=0上,并且经过A (2,–3)和B (–2,–5),求圆C 的标准方程.【解析】由已知,线段AB 的中垂线所在直线与直线x –2y –3=0的交点即为圆C 的圆心. 线段AB 的斜率为:K AB =()351222-+=--,∴线段AB 的中垂线所在直线的斜率为–1ABK =–2,又∵线段AB 的中点为(0,–4),∴线段AB 的中垂线所在直线方程为:y +4=–2x ,即2x +y +4=0.由230240x yx y--=⎧⎨++=⎩,求得12xy=-⎧⎨=-⎩,∴圆C的圆心坐标为(–1,–2),∴圆C的半径r满足:r2=(2+1)2+(–3+2)2=10,∴圆C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.16.若直线3x+4y–12=0与两坐标轴的交点分别为A,B,求以AB为直径的圆的方程.17.求过点A(–3,2),B(–5,–2)且圆心在直线2x–y+3=0上的圆的方程.【解析】设圆心为C(a,2a+3),根据CA=CB,可得(a+3)2+(2a+3–2)2=(a+5)2+(2a+3+2)2,求得a=–2,∴圆心为C(–2,–1),∴半径CA=10,∴圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=10.18.圆C经过点A(2,–1)和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=–2x上,求圆C的方程.【解析】∵圆心C在直线y=–2x上,可设圆心为C(a,–2a).则点C到直线x+y=1的距离d=12a+,根据题意,d=|AC|,则(12a+)2=(a–2)2+(–2a+1)2,∴a2–2a+1=0,解得a=1.∴圆心为C(1,–2),半径r=d=2,∴所求圆的方程是(x–1)2+(y+2)2=2.。
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第48讲圆的方程
基础热身
1.方程x2+y2-2x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是()
A.m<1
B.m<2
C.m≤
D.m≤1
2.已知点P是圆(x-3)2+y2=1上的动点,则点P到直线y=x+1的距离的最小值是()
A.3
B.2
C.2-1
D.2+1
3.[2017·天津南开区模拟]圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()
A.x2+y2+10y=0
B.x2+y2-10y=0
C.x2+y2+10x=0
D.x2+y2-10x=0
4.[2017·武汉三模]若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为.
5.[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程
为.
能力提升
6.[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()
A.-+-=4
B.-+-=4
C.x2+-=4
D.-+-=4
7.已知两点A(a,0), B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为()
A.(0,3]
B.[1,3]
C.[2,3]
D.[1,2]
8.[2017·九江三模]已知直线l经过圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心,且坐标原点O到直线l的距离为,则直线l的方程为()
A.x+2y+5=0
B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0
D.x-2y+3=0
9.[2017·海南中学、文昌中学联考]抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()
A.x2+-=4
B.-+-=4
C.-+y2=4
D.-+=5
10.[2017·广州一模]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上,则ab的取值范围是()
A.-
B.-
C.
D.
11.已知直线l1:x+2y-5=0与直线l2:mx-ny+5=0(n∈Z)相互垂直,点(2,5)到圆C:(x-m)2+(y-n)2=1的最短距离为3,则mn= .
12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分,则+的最小值为.
13.(15分)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求该圆半径r的取值范围;
(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.
14.(15分)已知曲线C1:x2+y2=1,点N是曲线C1上的动点,O为坐标原点.
(1)已知定点M(-3,4),动点P满足=+,求动点P的轨迹方程;
(2)设点A为曲线C1与x轴正半轴的交点,将A沿逆时针旋转得到点B,若=m+n,求m+n的最大值.
难点突破
15.(5分)[2018·赣州红色七校联考]已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
16.(5分)[2017·北京朝阳区二模]已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()
A.150°
B.135°
C.120°
D.30°
课时作业(四十八)
1.A[解析] 由D2+E2-4F=(-2)2-4m>0,解得m<1,故选A.
2.C[解析] 易知圆心的坐标为(3,0),半径为1,∴点P到直线y=x+1的距离的最小值是
-1=2-1,故选C.
3.B[解析] 由题意,设圆心的坐标为(0,r),半径为r,则-=r,解得r=5.所以所求圆的方程为x2+(y-5)2=25,即x2+y2-10y=0.故选B.
4.0[解析] 由圆的方程可知,圆心坐标为(1,-2),所以2×1+(-2)+m=0,则m=0.
5.(x-1)2+(y-2)2=5[解析] 由题设可知,圆心坐标为(1,2),半径r==,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
6.D[解析] 由题意,得已知圆的圆心为A(2,0),设点A关于直线y=x的对称点为点B,则∠BOA=60°,所以(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的圆心为B(1,),故选D.
7.B[解析] 把圆的方程x2+y2-2x-2y+3=0化为(x-)2+(y-1)2=1,易知以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,若圆(x-2+(y-1)2=1上存在点P,使得∠APB=90°,则两圆有交点,所以|a-1|≤2≤a+1,解得1≤a≤3.故选B.
8.C[解析] 圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,∴圆心为C(1,2),半径为.易知圆C经过原点,OC⊥直线l.由k OC=2,得k l=-,∴直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选C.
9.D[解析] 抛物线y=x2-2x-3关于直线x=1对称,与坐标轴的交点为A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),设圆心为M(1,b),可得|MA|2=,即4+b2=1+(b+3)2,解得b=-1,则半径为=,∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5,故选D.
10.B[解析] 把圆的方程化为标准方程,得(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心坐标为(-1,2),半径r=2.根据题意可得-a-2b+1=0,即a=1-2b,则ab=b(1-2b)=-2b2+b,∴当b=时,ab有最大值,最大值为,则ab的取值范围是-∞,.故选B.
11.2[解析] 依题意,得m-2n=0,-=3+1,得m=2,n=1,故mn=2.
12.[解析] ∵m<0,且圆C上的点到直线l的最短距离为
-5=1,∴m=-55,∴3a+4b=55,又a>0,b>0,则+=+×=7++≥
当且仅当=时等号成立,即+的最小值为.
13.解:(1)∵方程表示圆,∴D2+E2-4F=4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0,
解得-<m<1.
(2)半径r=--≤,得0<r≤.
(3)设圆心的纵坐标为y,则y=4m2-1,
由于-<m<1,所以-1≤y<3.
所以所求纵坐标的最小值是-1.
14.解:(1)由=+,得||=||=1,所以点P在以M为圆心,1为半径的圆上,故点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=1.
(2)易知A(1,0),B-,,设N(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),
由=m+n,得(cos θ,sin θ)=m(1,0)+n-,,
得-
整理得
所以m+n=cos θ+sin θ=2sinθ+,故m+n的最大值为2.
15.C[解析] 圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心为(a,b),所以a-b+=0,则b=(a+1).又圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+=+1,所以|a+b|=2,得|2a+1|=2,又a<0,所以a=-,故a2+b2=a2+3(a+1)2=3.
16.A[解析] 曲线y=为圆x2+y2=2的上半圆,由题意可得,△AOB的面积
S=·|OA|·|OB|sin∠AOB=××∠AOB=sin∠AOB,所以当sin∠AOB=1,即∠AOB=90°时,△AOB的面积取到最大值.此时在Rt△AOB中,易得O到直线l的距离|OD|=1,所以sin∠OPA==,可得∠OPA=30°,所以直线l的倾斜角为150°,故选A.。